Kapittel Praktiske eksempler på førsteordens differensialligninger

Transkript

1 Kapittel Pratise esempler på førsteordens differensialligninger De vanligste pratise esemplene på anvendelser av førsteordens differensialligninger Versjon: Har lagt inn henvisninger til 206-utgaven av læreboen. Oppgaver er fra tidligere utgaver av læreboen. Innhold: Oversit over alle i tabell Oversit med ommentarer og løsningsmetoder. Esemplifsert med løsningssisser fra oppgaver i eldre utgave av læreboen. Oversit: Differensialligningene i tabellen blir løst og esemplifisert i oppgaver senere i dette notatet. Ulven av 8 esempler.tex

2 Differensialligning: Orden: Løsning: Pratise esempler: y y y Ce x Populasjonsvest. (Es. 3 s. 284) (Ny bo: 6.65, 6.66) y y y Ce x Radioativ nedbrytning. (Es. 8 s. 295) (Ny bo: Es. 26 s , 6.7) Oppgaver 649, 655 h h ht C 2 t2 Toricelli: Tømming av tan. (Ny bo: 6.84, E75) T TT omg T T omg Ce t Temperaturfall i en affeopp. (642 s. 402) y u g V Oppgaver 683, 687 (Ny bo: Es. 20 s. 34, 6.59, E77, E78, E8) y y Vu g Ce g V t Utslipp i fjellvann eller tan. (Es. 4 s.284) mg v 2 mv y mg Ce 2 Ce 2 g m t Oppgaver 646, 657, X6.7, X6.8 (Ny bo: Es 23 s. 38, 6.63, 6.64, 6.85) Fritt fall med luftmotstand( Es. 7 s. 29) g m t Oppgaver 644, 645, 679, X6.2 (Ny bo: Es. 25 s. 322, 6.69, E74) y yn y y N Ce Nt Populasjonsvest med begrensning. (s. 288) Oppgaver 647, 652, 653 (Ny bo: Es. 24 s. 32, 6.67, 6.68, 6.87) y y t y y t Cet Utviling av epidemi (Siste i es. 4 s. 267) y 3y 2y x 2 Se 6.6 Svingninger, andre ordens diff. ligning. I Esponentiell vest som enel populasjonsutviling: (Esempel side 284 og side 287.) (Ny bo: Side 39.) En populasjon har en endringshastighet (fødsler-døde)/tidsenhet som naturlig vil være proporsjonal med populasjonen. Dette gir: y y med løsning y Ce x, C y0 Løsningsmetode: Separabel: y dy dx ln y x D y Ce x (Eller integrerende fator e dx på y y 0) Ulven av 8 esempler.tex

3 II Radioativ nedbrytning: (Esempel 8 side 295.) (Ny bo: Es. 26 side 324.) Tilsvarende vil massen av en radioativitet avta og ha en negativ endringshastighet proporsjonal med den massen som er igjen: y y med løsning y Ce x, C y0 Løsningsmetode: Som I, se over. III Esponentiell vest med bæreevne - Logistis modell: (Esempel 5 side 288.) (Ny bo: Es. 24 side 32.) Istedenfor y y har vi her en masimal bæreevne (), det vil si et mas antall individer og det an modelleres sli: y y y med løsning y Ce t eller y 0 eller y. Vi ser av differensialligningen at vesten (y ) blir liten hvis y nærmer seg. Dette medfører at y flater ut med y som asymptote: Når t vil Ce t 0 og vi ser at y. Dette alles logistis modell og logistis vest. Løsningsmetode: Separabel: dy dt, yy y 0, y Delbrøoppspaltning: y ln y ln y t C y ln t C y 2 y C y 3 e t y C 3 e t yc 3 e t y yc 3 e t C 3 e t y C 3e t y y Vi merer oss: y C 3 e t C 3 et Ce t y0 C y dy dt Dessuten:y 0 eller y! (Se forutsetninger!) (Når t ) eller C y0 y0 Ligningen y y y forteller oss også at y er masimal når y 2. y0 (Se på gy y 2 y og g y 2y Ulven av 8 esempler.tex

4 g y 0 y 2 2!) Kurven er symmetris om vendepuntet: 2 Ce t 2 Ce Nt C et ln ln C et t ln C ln ln C ln C som gir vendepuntet: VP ln C, 2 Og det ser sli ut: (oppgave 647, se løsningssisse senere) 500 y, y0, y 499e 0.6t 500, C ln 499 VP, , IV Utviling av epidemi: (Esempel 4 side 267, tredje og siste del.) Sletninger av logistis vest er: I y y t (Enel variant) og II y y t y (Litt mer omplisert variant) Poenget her er at endringen i antall smittede er proporsjonal med antall smittede, begrenset av antall individer i populasjonen, møter og smittesituasjoner ( ) og at de fleste blir frise etterhvert som tiden går t. Grafen går derfor ned mot null igjen. Løsningsmetode: I er separabel og gir løsningen: y dy tdt ln y t 2 t2 D Ulven av 8 esempler.tex

5 y Ce t 2 t2 eller med initialbetingelse: y y 0 e t 2 t2 Masimal når t : y max y 0 e 2 2 (Derivasjon av yt) II er litt verre: y y ty 2 Dette har vi ie lært, men dette er en såalt ernoulli-ligning og illustrerer variabelsifte: Vi fjerner de brysomme y-ene på høyre side og multipliserer med y 2 : y 2 y y t, y 0 Så gjør vi et variabelsifte til u y, som har u y 2 y Da an vi sifte ut alle y-ene: u u t Og løser med integrerende fator IF e dt e t ue t e t t et t et et De t u t 2 y u t, 2 Det t Cet Ser vi på løsningen y t Cet ser vi at y 0 når t, da Ce t 0 og t et t 2 D eller y 0 (Se forutsetning!) 0 når t. En digresjon: Avsnittene V, VI og VII som følger, med fritt fall, Newtons avjølingslov og utslipp i vassdrag og vanntaner styres alle av den samme differensialligningen: y ay b, der a og b er onstanter. Kan derfor være greit å studere denne litt mer inngående: Separerer og løser: y dx dx dy dx bay bay a ln b ay x C ln b ay ax C 2 b ay e axc 2 b ay C3 e ax y b a Ce ax, C y0 b a Disse løsningene vil derfor alltid gå asymptotis mot y b a når x blir stor. Fritt fall mot stabil hastighet, temperatur mot omgivelsestemperatur, utslipp mot et stabilt nivå. ( b a ) V Fallsjermhopp og fritt fall med luftmotstand (Esempel 7 side 29.) (Ny bo: Es. 25 side 322.) Ulven av 8 esempler.tex

6 Newtons andre lov sier: raft masse asellerasjon, og vi får derfor: Tyngde-luftmotstandmasseasellerasjon Med aselerasjon som den deriverte av hastigheten får vi differensialligningen mg v mv hvis luftmotstanden er proporsjonal med hastigheten og mg v 2 mv hvis luftmotstanden er proporsjonal med vadratet av hastigheten. Den første er enlest å løse, da den er på formen y ay b, som vi tidligere har vist har løsningen y b a Ce ax, som i dette tilfellet med v m v g gir løsningen v mg Ce m t, der C v0 mg, og v mg Den andre er litt mer plundrete å løse, og vil antagelig ie bli revet løst på esamen, men løsningen er uansett: v mg Kan srives: v v Ce pt Ce pt, der v Vi legger mere til at den også an srives som v 2 mg Ce 2 g m t "bæreraft" nedover. Løsningsmetode: mg g 2 Ce m t g 2 Ce m t mg og C vv 0 v v 0, altså som en logistis modell flyttet en halv mv mg v 2 m v mg v 2 bv a 2 v 2 der vi har innført: a 2 mg og b m for å få en enlere form: bv a 2 v 2 Separabel: b a 2 v2 dv dt Delbrøoppspaltning: av av dv 2a b b 2a av dt ln a v ln a v 2a b t C ln av av 2a av av t C b C 2 e 2a b t a v ac 2 e 2a b t vc 2 e 2a v a C 2e 2a t b C 2 e 2a b t v a Eller: Ce 2a b t 2a Ce b t v v Ce 2 Ce 2 der C vv 0 v v 0 b t a Ce 2a b t g m t g m t 2a Ce b t mg og v Ce 2 Ce 2 mg g m t g m t av dv dt etter divisjon med C 2 e 2a b t er grenseverdien når t går mot. Ulven av 8 esempler.tex

7 VI Newtons avjølingslov: (Oppgave 642 side 402.) (Ny bo: Es. 20 side 34.) Endringen i temperatur pr tidsenhet er ifølge Newton proporsjonal med temperaturforsjellen fra omgivelsene, og vi har derfor differensialligningen: T TT omg Løsning: Kan også srives på formen y ay b, T T T omg, som vi tidligere har vist har løsningen y b a Ce ax, sli at vi får løsningen: T T omg Ce t, der C T0 T omg Løsningsmetode: T T T omg og integrerende fator, eller separabel: TT omg dt dt ln TT omg t C TT omg Ce t T T omg Ce t (Her er C T0 T omg ) VII Utslipp i tan eller innsjø: (Esempel 4 side 284.) (Ny bo: Es. 23 side 38.) I den lille byen Renvi har familiene Rierud og Gris nettopp startet en jemis fabri, Splux AS, som produserer innsetmidlet KillAll. All produsjon esporteres til fattige utvilingsland, da innsetmidlet har visse bivirninger også for menneser. Splux AS vil hvert år slippe ut 200 g gift i den tilliggende idyllise innsjøen Renvisvannet, da de ie er interesserte i unødige utgifter på sier destruering av produsjonsavfall. Volumet av Renvisvannet er V m 3, og gjennomstrømmingen er hvert døgn 5000 m 3. Vi vil finne giftmengden i vannet som funsjon av tiden. (y) Endring i giftmengde pr. tidsenhet t: y t 200 g y g 5000m døgn m 3 døgn Generelt, med utslipp og gjennomstrømming u 200 g 365 døgn g 5000m3 døgn får vi: y u g V y Ligningen er igjen på formen y ay b, (y g y u) med løsningen V y b a Ce ax, så vi får i dette tilfellet: y Vu g Ce g V t, der C y0 Vu g Løsningsmetode: Ulven av 8 esempler.tex

8 Separabel: dy dt V u g V y g ln u g y t C V ln u g y C V 2 g t V u g y C V 3e g V t g y u C V 3e g V t y Vu g Ce g V t Der y Vu g og C y y0 VII Toricellis tømming av vanntan: (Ny bo: Se oppgavene 6.84 og E 75.) Fra forsø tidligere semestere: I et lite tidsrom t vil volumet i flasen avta med V h d 2 som er lie volumet som passerer ut av det lille hullet: V d 2 vt (Hastighet v) 4 Altså har vi ligningen: 4 2 Eller etter fororting: h d 2 4 d vt h d 2 d 2 2 vt Potensiell høydeenergi går over i inetis energi, så vi har: mgh 2 mv2 v 2gh Setter vi inn v 2gh i høyresiden av ligningen, får vi: h d 2 d 2 2 2ght Differensialligningen er da grenseverdien av denne ligningen: Eller enlere: h d 2 d 2 2g h Ulven av 8 esempler.tex

9 h h Løsningsmetode: Separabel: h 2 dh dt h 2 2 t D 2 h Dt h C 2 t2 der C h0, d 2 d 2 2g Oppgaver I Esponentiell vest - y y 680 (Tilsvarende oppgaver i ny bo: 6.65, 6.66) Dyrepopulasjon N voser i henhold til modellen N N. Hvilen type ligning? Finn hvis populasjonen fordobles på 30 timer eller 30 døgn. a) N N N N 0 Lineær, første orden, homogen med onstante oeffisienter, dessuten separabel. b) dn dt, N 0 ln N t D N Cet N t 0 : N0 C : N N0e t ) N30 2N0 2N0 N0e 30 e ln 2 ln [/h] 30 (Kunne altså srevet som: N N02 t 30 ) 2) e ln [/h] II Esponentielt avtagende y y 649 En radioativ isotop har halveringstid på 4.3 døgn. Ativiteten gitt av differensialligningen A t At, der t er målt i døgn. Finn omdanningsonstanten og hvor lang tid til ativiteten er redusert med 25%. At 0 : da dt ln A t D At Cet A der A0 C a) A4. 3 A0 2 A0 2 A0e e4.3 ln [/døgn] b) A A0e t e t t ln [døgn] 683 Kroppstemperatur til person i vann som holder 0 C utviler seg i henold til Ulven av 8 esempler.tex

10 differensialligningen y 0. 02y. Forlar modellen og finn ut hvor lang tid det tar før roppstemperaturen er 25 C. Hvor fort endrer temperaturen seg 5 minutter etter at personen falt i vannet? a) Temperaturfall i C/ min er proporsjonalt med roppstemperaturen. Proporsjonalitetsfator: [/min] b) Separabel: y dy 0. 02dt, y 0 ln y 0. 02t C y Ce 0.02t t 0 : y0 C y y0e 0.02t y0 37 [ C] c) 25 37e 0.02t e 0.02t t ln [min] y y e [ C/min] III Logistis vest - Vest med begrensning 647 (Tilsvarende i ny bo: 6.67, 6.68) Epidemi som følger modellen: N N500 N [Smittede], t 0, [uer] a) Hvor mange er mottagelige for smittet? b) Når øer antall smittede rasest? c) Hva er initialbetingelsen for differensialligningen? d) Finn Nt. a) egrensningen 500 sier oss at at antall mottagelige for smitte er større enn 500. (Jeg ville ie sagt at antallet var esat 500, det an jo hende noen mottagelige aldri traff noen smitteilder...) b) N fn 0. 6N N 2 f N N f N 0 N 750! Nt er symmetris om dette puntet, som er vendepunt! Masimal vest altså når N x-oordinat: Se d) c) Den opprinnelige smitteilden: N0 d) Separabel: dn dt, N 0, N 500 N500N Delbrøoppspaltning: dn dt 500 N 500N ln N ln 500 N t C 500 N ln t C 500N 2 N C 500N 3e 0.6t N 500C 3 e 0.6t NC 3 e 0.6t N 500C 3e 0.6t 500 C 3 e 0.6t Ce 0.6t Vi har dessuten løsningen (se forutsetninger): N 0 (N 500 inludert i C 0.) Initialbetingelse: N0 500 C C (C er generelt forholdet: 500N0 Ie smittede når t 0.) N0 Smittede Ulven av 8 esempler.tex

11 Nt e 0.6t t oordinat for vendepunt med masimal vest: e 0.6t 2 e 0.6t 499e 0.6t 499 t ln [uer] 0.6 a) b) c) Aurat som 647 og tidligere under oversiten i dette notatet: N, der C N0 Ce t N0 Masimal vetst/vendepunt når Nt og t gitt av: 2 Ce t 2 Ce t 2 Ce t t ln C ln ln C ln C ln C N0 ln N0 23 sauer ble i 803 satt ut i Tasmania. Toppnivå ble 2.2 mill. sauer i 853. Etter dette gi bestanden fort ned. Deretter og frem til 936 lå antallet sauer stabilt mellom.5 og.7 mill. individer. a) Sisser urve for perioden b) Anta at og at utvilingen følger logistis modell. Finn et uttry y for bestanden. c) Når voste bestanden rasest? a) Se ommentar under b). b) 803 : t 0 : y0 23 [sauer] æreevne: [sauer] y y y gir da som i oppgavene foran og tidligere under oversiten i dette notatet: y, der C y0 Ce t y0 Initialbetingelser og bæreevne gir: C y 69600e 0.368t Ulven av 8 esempler.tex

12 Kommentar: Den forenlede logistise modellen er litt virelighetsfjern, da populasjonen i prasis alltid vil gå over begrensningen før den svinger tilbae og stabiliserer seg... Kunne lagt inn virelig utviling som først en logistis urve med begrensning 2.2 mill. som passeres i t 50 (853) og deretter en logistis urve som starter på 2.2 mill. og rast flater ut på.6 mill. Prøv i GeoGebra! c) Vendepunt/rasest vest i vendepuntet ( ln C, : 2 y x gitt av: e 0.368t e 0.368t e 0.368t t ln IV Fritt fall - Falsjemhopp 644 allast rett oppover fra toppen av en bygning 30 meter over baen: g 9. 8 [m/s 2 ] m 0. 5 [Kg] v0 20 [m/s] (Positiv retning oppover.) [g/s] 30 a) Hvor nøyt ommer ballen før den snur? b) Hvor lang tid tar det fra ballen ble astet til den lander på baen? a) Newtons andre lov: Kraftmasse*asellerasjon Tyngde-luftmostandmasse*derivert av hastighet mg v mv v g m v Kan løses med integrende fator på formen v m v g eller som separabel: dv dt m ln g g m v m v t C ln g m v m t C 2 g m v C 3 e m t m v C 3 e m t g v Ce m t mg t : v mg [m/s] 30 t 0 : v0 20 : 20 C mg C v 64. e 0.222t 44. allen snur når v 0 : 64. e 0.222t t Høyde (veilengde) gitt av: vt s t st vtdt Så vi får: ln [s] Ulven av 8 esempler.tex

13 st 64. e 0.222t 44. dt e0.222t 44. t C C 44. t 289e t s0 0 gir: 0 C 289 C 289 Altså: st t 289e 0.222t h s e [m] (Tilsvarer 45.9 m over baen.) aenivå når: st t 289e 0.222t t 289e 0.222t 259 Denne ligningen an ie løses esat, men vi an løse den grafis på lommeregner eller i GeoGebra. (Grafe venstre og høyre side og finne sjæringspunt.) Får da: t 5. [s] 645 (Tilsvarende oppgaver i ny bo: 6.69, E74) Gjenstand med masse m blir astet oppover med utgangsfart v0 v 0. Anta at luftmotstanden øer med vadratet av hastigheten. Positiv retning oppover. Utled differensialligning: Mer realistis enn 644: L v 2 Da får vi isteden: mg v 2 mv (Positiv retning nedover.) v g m v 2 Initialbetingelse: v0 v 0 V Newtons avjølingslov 642 T TT omg (T omg istedenfor T o, for ie å forvesle med T 0. (Initialtemperatur.)) Ulven av 8 esempler.tex

14 687 Endringen i temperatur per tidsenhet (T ) er proporsjonal med temperaturforsjellen (TT omg ) i forhold til omgivelsene. Hvis temperaturen T er større en omgivelsene, vil temperaturen avta, derfor er endringen negativ. Kjele med vann varmes opp til oing. Settes på benen til jøling. a) Sett opp differensialligning. b) Anta romtemperatur 20 C og at vannet startet på 00 C. Sett [min ] Hvor lang tid til 50 C, 40 C og 30 C? Se 642 og utledninger under oversiten tidligere i dette notatet: a) T TT omg Separabel: TT omg dt dt ln TT omg t D TT omg Ce t T T omg Ce t Initialbetingelse: T0 T 0 gir: T 0 T omg C C T 0 T omg Altså: T T omg T 0 T omg e t [ C], t 0, [min] b) T 0 00 [ C], T omg 20 [ C], [/min] gir: T 20 80e 0.023t ) e 0.023t e 0.023t 3 t ln ) 3) Tilsvarende [min] VI Utslippsproblemati og vanntaner 657 (Tilsvarende oppgaver i ny bo: 6.63, 6.64, 6.85) Vanntan med 200 liter rent vann, tilføres saltvann med 5.0 g/liter med fart på 6.0 liter/min. Tappes ut 8.0 liter/min i bunnen av tanen. a) Hvor lang tid tar det før tanen er tom? b) Finn uttry for saltonsentrasjonen ved tiden t. c) Sett opp differensialligning. d) Når inneholder vanntanen masimalt med salt, og hvor mye salt er det da? V 200 [L], 5 [g/l], i 6 [L/min], u 8 [L/min] Ulven av 8 esempler.tex

15 m0 0 [g] a) ut tom it tom V t tom V ui [min] b) Saltonsentrasjon ved tiden t: m Vitut m 2006t8t c) Endring saltmengde per tidsenhet inn - ut m m i u eller Vitut m m t8t m 8 30 m 2002t m 4 m 30, m0 0 [g] 00t m 2002t [g/l] X6.7 d) Integrerende fator: IF e 4 00t dt e 4 ln00t 00t 4 m 00t t 4 m t 4 00t 4 00t 3 C (Variabelsifte: u 00 t) m 000 t C00 t 4 m0 0 gir: C 00 4 C m 000 t t 4 m t t 3 0 m t t t t [min] m [g] Insjø forurenses av fabri. 500 g forurensninger i innsjøen i starten. Fabrien slipper ut omtrent 00 g forurensninger per. år. Via et vassdrag forsvinner ca 0% av mengden med forurensninger årlig. Vi antar modellen y y og y a) Forlar modellen. b) Løs differensialligningen. c) Hvordan går det med forurensningen på sit? Forurensing: y0 500 [g] Utslipp per år: u 00 [g/år] Utsiftingsfator: 0. a) Endring per tidsenhet (år) utslipp per år - utsiftingsfatorforurensing y 00 y [g/år], t 0, [år] y y, y0 500 [g] Ulven av 8 esempler.tex

16 b) Separabel: dy dt, y y ln y t C 0. ln y 0. t C y C 3 e 0.t y 000 Ce 0.t Initialbetingelse gir: C C 500 y e 0.t c) t y 000 [Kg] (Stabiliserer seg på et stabilt nivå.) For moro syld tar vi dette også som en følge og ree oppgave. (K2: Algebra) (Ny bo: K7) Tilnærmet unne vi også løst dette som en reeutviling: a 500 a 2 a a a osv... Reursivt definert: a 500, a n a n Dette tilsvarer øonomise ontoesempler med faste innsudd: I tabell: n n n n Etter n år har vi altså, som summen av siste olonne: a n n n n n a n n n n Setter vi inn: 0. 9 e ln 0.9 e 0.05, får vi: a n e 0.05n som ie er så lang unna den mer nøyatige løsningen differensialligningen ga: y e 0.t Grafis:y som urve og a n som prier: Ulven av 8 esempler.tex

17 Forsjellen i disse to modellene er at differensialligningen tilsvarer vireligheten bedre, med ontinuerlige utslipp hele året gjennom, mens reeutvilingen tilsvarer at både utslippet og utsifting sjedde en gang i året på 3 desember. Grunnen til at tilnærmingen er bra her, er at tidsintervallet på et år er lite i forhold til den 40 års perioden jeg har tatt med i grafen. VII Toricellis lov (Oppgaver i ny bo: 6.84, E75) Ifølge oversiten tidligere i dette notatet vil høyden på en væsemengde i en sylindris tan med hull avta etter denne differensialligningen: h d 2 d 2 2g h der d og d 2 er diameterene i tanen og hullet. Løsning: h C 2 t2 der C h0, d 2 d 2 2g I et forsø fra tidligere år med en flase, hadde vi disse målene: Diameter i flase: d m Diameter i hull: d m Starthøyde: h m Og får derfor: ht t t t t Regresjonen i GeoGebra ga: rt t t Nivå 0 når: t 2 t [s] (Differensialligning) ca. 80 [s] (Måling og regresjon) Vi ser av grafen at differensialligningen ie stemmer helt, Ulven av 8 esempler.tex

18 antageligvis fordi det er en viss frisjon i utløpet og tap av energi. Tiden på tømming er også ca. 3 seunder for ort. Vi innfører en alibrering/orresjon: orr t målt t slutt Sli at ligningen blir: Og løsningen blir: h t orr h ht orr t 2 Med GeoGebra og orr som glider får vi bra resultat når orr : Ulven av 8 esempler.tex