Kapittel Praktiske eksempler på førsteordens differensialligninger
|
|
- Per-Arne Ludvigsen
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Kapittel Pratise esempler på førsteordens differensialligninger Versjon: (En del tryfeil og direte feil er rettet.) De vanligste pratise esemplene på anvendelser av førsteordens differensialligninger Innhold: Oversit over alle i tabell Oversit med ommentarer og løsningsmetoder. Esemplifsert med løsningssisser fra oppgaver i læreboen. Oversit: Differensialligningene i tabellen blir løst og esemplifisert i oppgaver senere i dette notatet. Differensialligning: Orden: Løsning: Pratise esempler: y y y Ce x Populasjonsvest. (Es. 3 s. 284) y y y Ce x Radioativ nedbrytning. (Es. 8 s. 295) Oppgaver 649, 655 h h ht C 2 t2 Toricelli: Tømming av tan. T TT omg T T omg Ce t Temperaturfall i en affeopp. (642 s. 402) y u g V Oppgaver 683, 687 y y Vu g Ce g V t Utslipp i fjellvann eller tan. (Es. 4 s.284) mg v 2 mv y mg Ce 2 Ce 2 g Oppgaver 646, 657, X6.7, X6.8 Fritt fall med luftmotstand( Es. 7 s. 29) g Oppgaver 644, 645, 679, X6.2 y yn y y N Ce Nt Populasjonsvest med begrensning. (s. 288) Oppgaver 647, 652, 653 y y t y y t Cet Utviling av epidemi (Siste i es. 4 s. 267) y 3y 2y x 2 Se 6.6 Svingninger, andre ordens diff. ligning. I Esponentiell vest som enel populasjonsutviling: (Esempel side 284 og side 287.) Ulven av 7 esempler.tex
2 En populasjon har en endringshastighet (fødsler-døde)/tidsenhet som naturlig vil være proporsjonal med populasjonen. Dette gir: y y med løsning y Ce x, C y0 Løsningsmetode: Separabel: y dy dx ln y x D y Ce x (Eller integrerende fator e dx på y y 0) II Radioativ nedbrytning: (Esempel 8 side 295.) Tilsvarende vil massen av en radioativitet avta og ha en negativ endringshastighet proporsjonal med den massen som er igjen: y y med løsning y Ce x, C y0 Løsningsmetode: Som I, se over. III Esponentiell vest med bæreevne - Logistis modell: (Esempel 5 side 288.) Istedenfor y y har vi her en masimal bæreevne (), det vil si et mas antall individer og det an modelleres sli: y y y med løsning y Ce t eller y 0 eller y. Vi ser av differensialligningen at vesten (y ) blir liten hvis y nærmer seg. Dette medfører at y flater ut med y som asymptote: Når t vil Ce t 0 og vi ser at y. Dette alles logistis modell og logistis vest. Løsningsmetode: Separabel: dy dt, yy y 0, y Delbrøoppspaltning: y ln y ln y t C y ln t C y 2 y C y 3 e t y C 3 e t yc 3 e t y yc 3 e t C 3 e t y dy dt Ulven av 7 esempler.tex
3 y C 3e t y y C 3 e t C 3 et Ce t Vi merer oss: y y0 C Dessuten:y 0 eller y! (Se forutsetninger!) (Når t ) eller C y0 y0 y0 Ligningen y y y forteller oss også at y er masimal når y 2. (Se på gy y 2 y og g y 2y g y 0 y 2 2!) Kurven er symmetris om vendepuntet: 2 Ce t 2 Ce Nt C et ln ln C et t ln C ln ln C ln C som gir vendepuntet: VP ln C, 2 Og det ser sli ut: (oppgave 647, se løsningssisse senere) 500 y, y0, y 499e 0.6t 500, C ln 499 VP, , IV Utviling av epidemi: (Esempel 4 side 267, tredje og siste del.) Sletninger av logistis vest er: Ulven av 7 esempler.tex
4 I y y t (Enel variant) og II y y t y (Litt mer omplisert variant) Poenget her er at endringen i antall smittede er proporsjonal med antall smittede, begrenset av antall individer i populasjonen, møter og smittesituasjoner ( ) og at de fleste blir frise etterhvert soiden går t. Grafen går derfor ned mot null igjen. Løsningsmetode: I er separabel og gir løsningen: y dy tdt ln y t 2 t2 D y Ce t 2 t2 eller med initialbetingelse: y y 0 e t 2 t2 Masimal når t : y max y 0 e 2 2 (Derivasjon av yt) II er litt verre: y y ty 2 Dette har vi ie lært, men dette er en såalt ernoulli-ligning og illustrerer variabelsifte: Vi fjerner de brysomme y-ene på høyre side og multipliserer med y 2 : y 2 y y t, y 0 Så gjør vi et variabelsifte til u y, som har u y 2 y Da an vi sifte ut alle y-ene: u u t Og løser med integrerende fator IF e dt e t ue t e t t et t et et De t u t 2 y u t, 2 Det t Cet Ser vi på løsningen y t Cet ser vi at y 0 når t, da Ce t 0 og t et t 2 D eller y 0 (Se forutsetning!) 0 når t. En digresjon: Avsnittene V, VI og VII som følger, med fritt fall, Newtons avjølingslov og utslipp i vassdrag og vanntaner styres alle av den samme differensialligningen: y ay b, der a og b er onstanter. Kan derfor være greit å studere denne litt mer inngående: Separerer og løser: y dx dx dy dx bay bay a ln b ay x C Ulven av 7 esempler.tex
5 ln b ay ax C 2 b ay e axc 2 b ay C3 e ax y b a Ce ax, C y0 b a Disse løsningene vil derfor alltid gå asymptotis mot y b a når x blir stor. Fritt fall mot stabil hastighet, temperatur mot omgivelsestemperatur, utslipp mot et stabilt nivå. ( b a ) V Fallsjermhopp og fritt fall med luftmotstand (Esempel 7 side 29.) Newtons andre lov sier: raft masse asellerasjon, og vi får derfor: Tyngde-luftmotstandmasseasellerasjon Med aselerasjon som den deriverte av hastigheten får vi differensialligningen mg v mv hvis luftmotstanden er proporsjonal med hastigheten og mg v 2 mv hvis luftmotstanden er proporsjonal med vadratet av hastigheten. Den første er enlest å løse, da den er på formen y ay b, som vi tidligere har vist har løsningen y b a Ce ax, som i dette tilfellet med v m v g gir løsningen v mg Ce m t, der C v0 mg, og v mg Den andre er litt mer plundrete å løse, og vil antagelig ie bli revet løst på esamen, men løsningen er uansett: v mg Kan srives: v v Ce pt Ce pt, der v Vi legger mere til at den også an srives som v 2 mg Ce 2 g "bæreraft" nedover. mg g 2 Ce g 2 Ce mg og C vv 0 v v 0, altså som en logistis modell flyttet en halv Løsningsmetode: mv mg v 2 m v mg v 2 bv a 2 v 2 der vi har innført: a 2 mg og b m for å få en enlere form: bv a 2 v 2 Ulven av 7 esempler.tex
6 Separabel: b a 2 v 2 dv dt Delbrøoppspaltning: av av dv 2a b b 2a av dt ln a v ln a v 2a b t C ln av av 2a av av t C b C 2 e 2a b t a v ac 2 e 2a b t vc 2 e 2a v a C 2e 2a t b C 2 e 2a b t v a Eller: Ce 2a b t 2a Ce b t v v Ce 2 Ce 2 der C vv 0 v v 0 b t a Ce 2a b t g g 2a Ce b t mg og v VI Newtons avjølingslov: Ce 2 Ce 2 mg g g av dv dt etter divisjon med C 2 e 2a b t er grenseverdien når t går mot. (Oppgave 642 side 402.) Endringen i temperatur pr tidsenhet er ifølge Newton proporsjonal med temperaturforsjellen fra omgivelsene, og vi har derfor differensialligningen: T TT omg Løsning: Kan også srives på formen y ay b, T T T omg, som vi tidligere har vist har løsningen y b a Ce ax, sli at vi får løsningen: T T omg Ce t, der C T0 T omg Løsningsmetode: T T T omg og integrerende fator, eller separabel: TT omg dt dt ln TT omg t C TT omg Ce t T T omg Ce t (Her er C T0 T omg ) VII Utslipp i tan eller innsjø: (Esempel 4 side 284.) I den lille byen Renvi har familiene Rierud og Gris nettopp startet en jemis fabri, Splux AS, som produserer innsetmidlet KillAll. All produsjon esporteres til fattige utvilingsland, da innsetmidlet har visse bivirninger også for menneser. Splux AS vil hvert år slippe ut 200 g gift i den tilliggende idyllise innsjøen Renvisvannet, da de ie er interesserte i unødige Ulven av 7 esempler.tex
7 utgifter på sier destruering av produsjonsavfall. Volumet av Renvisvannet er V m 3, og gjennomstrømmingen er hvert døgn 5000 m 3. Vi vil finne giftmengden i vannet som funsjon av tiden. (y) Endring i giftmengde pr. tidsenhet t: y t 200 g y g 5000m døgn m 3 døgn Generelt, med utslipp og gjennomstrømming får vi: u 200 g 365 døgn g 5000m3 døgn y u g V y Ligningen er igjen på formen y ay b, (y g y u) med løsningen V y b a Ce ax, så vi får i dette tilfellet: y Vu g Ce g V t, der C y0 Vu g Løsningsmetode: Separabel: dy dt V u g V y g ln u g y t C V ln u g y C V 2 g t V u g y C V 3e g V t g y u C V 3e g V t y Vu g Ce g V t Der y Vu g og C y y0 VII Toricellis tømming av vanntan: (Fra forsø tidligere semestere.) Ulven av 7 esempler.tex
8 I et lite tidsro vil volumet i flasen avta med V h d 2 som er lie volumet som passerer ut av det lille hullet: V d 2 vt (Hastighet v) 4 Altså har vi ligningen: 4 2 Eller etter fororting: h d 2 4 d vt h d 2 d 2 2 vt Potensiell høydeenergi går over i inetis energi, så vi har: mgh 2 mv2 v 2gh Setter vi inn v 2gh i høyresiden av ligningen, får vi: h d 2 d 2 2 2ght Differensialligningen er da grenseverdien av denne ligningen: Eller enlere: h d 2 d 2 2g h h h Løsningsmetode: Separabel: h 2 dh dt h 2 2 t D 2 h Dt h C 2 t2 der C h0, d 2 d 2 2g Oppgaver I Esponentiell vest - y y 680 a) N N N N 0 Lineær, første orden, homogen med onstante oeffisienter, dessuten separabel. b) dn dt, N 0 ln N t D N Cet N t 0 : N0 C : N N0e t ) N30 2N0 2N0 N0e 30 e ln 2 ln [/h] 30 Ulven av 7 esempler.tex
9 (Kunne altså srevet som: N N02 t 30 ) 2) e ln [/h] II Esponentielt avtagende y y 649 A t At At 0 : da dt ln A t D At Cet A der A0 C a) A4. 3 A0 A0 A0e e4.3 ln [/døgn] b) A A0e t e t t ln [døgn] 683 y 0. 02y a) Temperaturfall i C/ min er proporsjonalt med roppstemperaturen. Proporsjonalitetsfator: [/min] b) Separabel: y dy 0. 02dt, y 0 ln y 0. 02t C y Ce 0.02t t 0 : y0 C y y0e 0.02t y0 37 [ C] c) 25 37e 0.02t e 0.02t t ln [min] y y e [ C/min] III Logistis vest - Vest med begrensning 647 N N500 N [Smittede], t 0, [uer] a) egrensningen 500 sier oss at at antall mottagelige for smitte er større enn 500. (Jeg ville ie sagt at antallet var esat 500, det an jo hende noen mottagelige aldri traff noen smitteilder...) b) N fn 0. 6N N 2 f N N f N 0 N 750! Nt er symmetris om dette puntet, som er vendepunt! Masimal vest altså når N x-oordinat: Se d) c) Den opprinnelige smitteilden: N0 d) Separabel: dn dt, N 0, N 500 N500N Delbrøoppspaltning: dn dt 500 N 500N Ulven av 7 esempler.tex
10 ln N ln 500 N t C 500 N ln t C 500N 2 N C 500N 3e 0.6t N 500C 3 e 0.6t NC 3 e 0.6t N 500C 3e 0.6t 500 C 3 e 0.6t Ce 0.6t Vi har dessuten løsningen (se forutsetninger): N 0 (N 500 inludert i C 0.) Initialbetingelse: N0 500 C (C er generelt forholdet: 500N0 N0 Nt e 0.6t C Ie smittede Smittede når t 0.) t oordinat for vendepunt med masimal vest: e 0.6t 2 e 0.6t 499e 0.6t 499 t ln [uer] 0.6 a) b) c) Aurat som 647 og tidligere under oversiten i dette notatet: N, der C N0 Ce t N0 Masimal vetst/vendepunt når Nt og t gitt av: 2 Ce t 2 Ce t 2 Ce t t ln C ln ln C ln C ln C N0 ln N0 a) Se ommentar under b). b) 803 : t 0 : y0 23 [sauer] æreevne: [sauer] y y y gir da som i oppgavene foran og tidligere under oversiten i dette notatet: y, der C y0 Ce t y0 Initialbetingelser og bæreevne gir: C y 69600e 0.368t Ulven av 7 esempler.tex
11 Kommentar: Den forenlede logistise modellen er litt virelighetsfjern, da populasjonen i prasis alltid vil gå over begrensningen før den svinger tilbae og stabiliserer seg... Kunne lagt inn virelig utviling som først en logistis urve med begrensning 2.2 mill. som passeres i t 50 (853) og deretter en logistis urve som starter på 2.2 mill. og rast flater ut på.6 mill. Prøv i GeoGebra! c) Vendepunt/rasest vest i vendepuntet ( ln C, : 2 y x gitt av: e 0.368t e 0.368t e 0.368t t ln IV Fritt fall - Falsjemhopp 644 g 9. 8 [m/s 2 ] m 0. 5 [Kg] v0 20 [m/s] (Positiv retning oppover.) [g/s] 30 a) Newtons andre lov: Kraftmasse*asellerasjon Tyngde-luftmostandmasse*derivert av hastighet mg v mv v g m v Kan løses med integrende fator på formen v m v g eller som separabel: dv dt m ln g g m v m v t C ln g m v m t C 2 g m v C 3 e m t m v C 3 e m t g v Ce m t mg t : v mg [m/s] 30 t 0 : v0 20 : 20 C mg C v 64. e 0.222t 44. ln allen snur når v 0 : 64. e 0.222t t Høyde (veilengde) gitt av: vt s t st vtdt Så vi får: st 64. e 0.222t 44. dt e0.222t 44. t C. 68 [s] Ulven av 7 esempler.tex
12 C 44. t 289e t s0 0 gir: 0 C 289 C 289 Altså: st t 289e 0.222t h s e [m] (Tilsvarer 45.9 m over baen.) aenivå når: st t 289e 0.222t t 289e 0.222t 259 Denne ligningen an ie løses esat, men vi an løse den grafis på lommeregner eller i GeoGebra. (Grafe venstre og høyre side og finne sjæringspunt.) Får da: t 5. [s] 645 Mer realistis enn 644: L v 2 Da får vi isteden: mg v 2 mv (Positiv retning nedover.) v g m v 2 Initialbetingelse: v0 v 0 Oppgaven ber ie om løsning, men vi har tidligere utledet at løsningen blir v mg Kan srives: v v Ce pt Ce pt, der v V Newtons avjølingslov g 2 Ce g 2 Ce mg og C vv 0 v v 0 Ulven av 7 esempler.tex
13 642 T TT omg (T omg istedenfor T o, for ie å forvesle med T 0. (Initialtemperatur.)) Endringen i temperatur per tidsenhet (T ) er proporsjonal med temperaturforsjellen (TT omg ) i forhold til omgivelsene. Hvis temperaturen T er større en omgivelsene, vil temperaturen avta, derfor er endringen negativ. 687 Se 642 og utledninger under oversiten tidligere i dette notatet: a) T TT omg Separabel: TT omg dt dt ln TT omg t D TT omg Ce t T T omg Ce t Initialbetingelse: T0 T 0 gir: T 0 T omg C C T 0 T omg Altså: T T omg T 0 T omg e t [ C], t 0, [min] b) T 0 00 [ C], T omg 20 [ C], [/min] gir: T 20 80e 0.023t ) e 0.023t e 0.023t 3 t ln ) 3) Tilsvarende [min] VI Utslippsproblemati og vanntaner 657 V 200 [L], 5 [g/l], i 6 [L/min], u 8 [L/min] m0 0 [g] a) ut tom it tom V t tom V ui [min] b) Saltonsentrasjon ved tiden t: m Vitut m 2006t8t m 2002t [g/l] Ulven av 7 esempler.tex
14 X6.7 c) Endring saltmengde per tidsenhet inn - ut m m i u eller Vitut m m t8t m 8 30 m 2002t m 4 m 30, m0 0 [g] 00t d) Integrerende fator: IF e 4 00t dt e 4 ln00t 00t 4 m 00t t 4 m 30 0 dt 00t 4 00t 4 00t 3 C (Variabelsifte: u 00 t) m 000 t C00 t 4 m0 0 gir: C 00 4 C m 000 t t 4 m t t 3 0 m t t t t [min] m [g] Forurensing: y0 500 [g] Utslipp per år: u 00 [g/år] Utsiftingsfator: 0. a) Endring per tidsenhet (år) utslipp per år - utsiftingsfatorforurensing y 00 y [g/år], t 0, [år] y y, y0 500 [g] b) Separabel: dy dt, y y ln y t C 0. ln y 0. t C y C 3 e 0.t y 000 Ce 0.t Initialbetingelse gir: C C 500 y e 0.t c) t y 000 [Kg] (Stabiliserer seg på et stabilt nivå.) For moro syld tar vi dette også som en følge og ree oppgave. (K2: Algebra) Tilnærmet unne vi også løst dette som en reeutviling: a 500 a 2 a a a osv... Ulven av 7 esempler.tex
15 Reursivt definert: a 500, a n a n Dette tilsvarer øonomise ontoesempler med faste innsudd: I tabell: n n n n Etter n år har vi altså, som summen av siste olonne: a n n n n n a n n n n Setter vi inn: 0. 9 e ln 0.9 e 0.05, får vi: a n e 0.05n som ie er så lang unna den mer nøyatige løsningen differensialligningen ga: y e 0.t Grafis:y som urve og a n som prier: Forsjellen i disse to modellene er at differensialligningen tilsvarer vireligheten bedre, med ontinuerlige utslipp hele året gjennom, mens reeutvilingen tilsvarer at både utslippet og utsifting sjedde en gang i året på 3 desember. Grunnen til at tilnærmingen er bra her, er at tidsintervallet på et år er lite i forhold til den 40 års perioden jeg har tatt med i grafen. Ulven av 7 esempler.tex
16 VII Toricellis lov Ifølge oversiten tidligere i dette notatet vil høyden på en væsemengde i en sylindris tan med hull avta etter denne differensialligningen: h d 2 d 2 2g h der d og d 2 er diameterene i tanen og hullet. Løsning: h C 2 t2 der C h0, d 2 d 2 2g Vi hadde disse målene: Diameter i flase: d m Diameter i hull: d m Starthøyde: h m Og får derfor: ht t t t t Regresjonen i GeoGebra ga: rt t t Nivå 0 når: t 2 t [s] (Differensialligning) ca. 80 [s] (Måling og regresjon) Vi ser av grafen at differensialligningen ie stemmer helt, antageligvis fordi det er en viss frisjon i utløpet og tap av energi. Tiden på tømming er også ca. 3 seunder for ort. Vi innfører en alibrering/orresjon: orr t målt t slutt Sli at ligningen blir: Og løsningen blir: h t orr h ht orr t 2 Med GeoGebra og orr som glider får vi bra resultat når orr : Ulven av 7 esempler.tex
17 Ulven av 7 esempler.tex
Kapittel Praktiske eksempler på førsteordens differensialligninger
Kapittel 6.5 - Pratise esempler på førsteordens differensialligninger De vanligste pratise esemplene på anvendelser av førsteordens differensialligninger Versjon: 7.02.7 Har lagt inn henvisninger til 206-utgaven
DetaljerFagdag 7 - Start kapittel 6 - Differensialligninger. Arbeidsark
Fagdag 7 - Start kapittel 6 - Differensialligninger Arbeidsark Versjon: 11.04.09 - Var dessverre en del trykkfeil... Plan/innhold: Innledning Terminologi (6.1) Hva en differensialligning, orden, grad og
DetaljerR Differensialligninger
R - 6.0.05 - Differensialligninger Løsningssisser Oppgave Løs differensialligningene y x y b) y y x c) y 8y 7y 0 Separabel: y y x y dy xdx y x C y x 4 C y C x 4 Da ligningen er ulineær, bør vi også se
DetaljerFørsteordens lineære differensiallikninger
Førsteordens lineære differensiallininger Begrepet førsteordens lineære differensiallininger er ie sielig definert i Sinus R. Denne artielen omhandler det temaet. En førsteordens lineær differensiallining
DetaljerLøsningsforslag til utvalgte oppgaver i kapittel 10
Løsningsforslag til utvalgte oppgaver i kapittel 0 I kapittel 0 får du trening i å løse ulike typer differensialligninger, og her får du bruk for integrasjonsteknikkene du lærte i forrige kapittel. Men
DetaljerLøsning av utvalgte øvingsoppgaver til Sigma R2 kapittel 5
Løsning av utvalgte øvingsoppgaver til Sigma R kapittel 5 5.5 Ce kx y = kce kx Vi setter inn i y + ky og ser om vi får 0: 5.5 ax + a y = ax Vi setter inn i y 5.54 kce kx + k Ce kx = 0 x x + y: ax x(ax
DetaljerOppgaver i kapittel 1 - Løsningsskisser og kommentarer Lærebok:
Oppgaver i apittel - Løsningssisser og ommentarer Lærebo:.6 Vitig oppgave, viser hvordan ree-summer an tilnærmes med integraler. Atuelt hvis vi har formelen for n te ledd, men ie har noen summeformel.
DetaljerLøsningsskisser - Kapittel 6 - Differensialligninger
Løsningsskisser - Kapittel 6 - Differensialligninger Vi bruker det vi har lært i 6.3 om løsning av separable differensialligninger også i noen av oppgavene fra 6.1 og 6.2 for å knytte denne løsningsteknikken
Detaljer4 Differensiallikninger R2 Oppgaver
4 Differensiallikninger R2 Oppgaver 4.1 Førsteordens differensiallikninger... 2 4.2 Modellering... 7 4.3 Andreordens differensiallikninger... 13 Aktuelle eksamensoppgaver du finner på NDLA... 16 Øvingsoppgaver
DetaljerLøsningsskisser til oppgaver i Kapittel Integrerende faktor
Løsningsskisser til oppgaver i Kapittel 6.4 - Integrerende faktor Teori: Differensialligninger på formen y fx y gx (lineære i y av første orden) er ikke separable hvis ikke fx og gx er tallkonstanter.
DetaljerR Differensialligninger
R2-26.02.2015 - Differensialligninger Løsningsskisser Oppgave 1 Løs differensialligningene: a) y x e x b) y x y 0 c) y xy x d) y y x a) Eksakt dl: y x e x Løses direkte med vanlig integrasjon: y x2 2 e
DetaljerUDIRs eksempeloppgave høsten 2008
UDIRs eksempeloppgave høsten 008 Løsningsskisser Del Oppgave f x cos3x x sin3x 3 cos3x 6x sin3x fx 3u, u e 4x (Produktregel og kjerneregel på cos3x.) u e 4x 4 (Kjerneregel enda en gang...) d) f x 6uu 6u4e
DetaljerEksempelsett R2, 2008
Eksempelsett R, 008 Del Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave a) Deriver funksjonen f x x cosx f x cosx x s x f x cosx 6x sinx
DetaljerEksemplet bygger på en ide fra Thor Bernt Melø ved Institutt for fysikk ved NTNU og Tom Lindstrøms bok Kalkulus.
LÆRERARK...om å tømme en beolder for vann Esemplet bygger på en ide fra Tor Bernt Melø ved Institutt for fysi ved NTNU og Tom Lindstrøms bo Kalulus. Problemstilling: Vi ar et sylindris beger med et sirulært
DetaljerMA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2013
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2013 Løsningsforslag Øving 3 8.2.1 Anta at dy = y2 y) dx a) Finn likevektspunktene til
DetaljerTest, 4 Differensiallikninger
Test, 4 Differensiallikninger Innhold 4.1 Førsteordens differensiallikninger... 1 4. Modellering... 7 4.3 Andreordens homogene differensiallikninger... 13 Oppgaver og løsninger Grete Larsen/NDLA 4.1 Førsteordens
DetaljerMA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2016
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA000 Brukerkurs i matematikk B Vår 016 Separable og førsteordens lineære differensialligninger En differensialligning er separabel
DetaljerMAT1030 Forelesning 16
MAT1030 Forelesning 16 Reursjon og indusjon Roger Antonsen - 17 mars 009 (Sist oppdatert: 009-03-17 11:4 Forelesning 16 Reursjon og indusjon Forrige gang ga vi endel esempler på reursive definisjoner og
DetaljerHeldagsprøve R
Heldagsprøve R - 7.04. Løsningsskisser Versjon 03.05. Del - Uten hjelpemidler Oppgave a) Deriver funksjonene: ) fx x ln x ) gx 3 cos4x 3) hx ax ln x ) Produktregel: f x x ln x x x x ln x x x ln x ) Kjerneregel:
DetaljerOppgave 1. Oppgave 2. 3MX eksamen Privatister Løsningsskisse Ikke kontrollert og dobbeltsjekket! Kan være feil her...
MX esamen.5.5 - Privatister Løsningssisse Ie ontrollert og dobbeltsjeet! Kan være feil her... Oppgave a) sin cos,, sin cos sin,tan sin.588.588.588 L.588 b) f lncos f fu lnu,u cos, i vadrant f f u u u sin
DetaljerLøsningsforslag til øving 10
FY11/TFY4145 Meanis fysi. Institutt for fysi, NTNU. Høsten 211. Løsningsforslag til øving 1 Vi utleder aller først ligningen som fastlegger vinelen φ r, dvs overgangen fra ren rulling til sluring. N2 for
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Ny/Utsatt eksamen i: MAT1001 Matematikk 1 Eksamensdag: Torsdag 15 januar 2015 Tid for eksamen: 14:30 18:30 Oppgavesettet er på 5 sider Vedlegg:
Detaljerd) Vi skal nne alle lsningene til dierensialligningen y 0 + y x = arctan x x pa intervallet (0; ). Den integrerende faktoren blir R x e dx = e ln x =
Lsningsforslag til utvalgte oppgaver i kapittel 0 I kapittel 0 far du trening i a lse ulike typer dierensialligninger, og her far du bruk for integrasjonsteknikkene du lrte i forrige kapittel. Men vel
DetaljerR2 - kapittel 5 EF og 6 ABCD
R2 - kapittel 5 EF og 6 ABCD Løsningsskisser Oppgave Løs differensialligningene: a) y x cosx b) y yx x c) y y x a) Eksakt DL, løses direkte: y cosx x y cosx x dx sin x 2 x2 C b) Lineær: y xy x (Kan løse
DetaljerRekursjon og induksjon. MAT1030 Diskret matematikk. Induksjonsbevis. Induksjonsbevis. Eksempel (Fortsatt) Eksempel
Reursjon og indusjon MAT1030 Disret matemati Forelesning 15: Indusjon og reursjon, reurenslininger Dag Normann Matematis Institutt, Universitetet i Oslo 3 mars 008 Onsdag ga vi endel esempler på reursive
DetaljerEksamen R2, Våren 2009
Eksamen R, Våren 009 Del Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave a) Deriver funksjonen f xlnx 3 uln x u x 3 u 6u g u g u f x g
DetaljerMA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2017
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2017 Løsningsforslag Øving 3 apittel 8.2: Likevektspunkter og deres stabilitet La oss si
DetaljerR2 - Algebra
R - Algebra - 9.09.14 Løsningsskisser Oppgave 1 Gitt 5 tallfølger: 1 1) 1,, 1, 1,... ) 7, 49, 343, 401,... 3 4 3 3) 1, 3, 7, 11,... 4) 1,, 5, 7,... 4 9 16 5) 1, 3, 6, 10, 15, 1,... Skriv opp det eksplisitte
DetaljerDifferensialligninger
Oslo, 30. januar, 2009 (http://folk.uio.no/lindstro/diffoslonyprint.pdf) Vanlige ligninger og differensialligninger En vanlig (algebraisk) ligning uttrykker en sammenheng mellom det ukjente tallet x og
DetaljerNå integrer vi begge sider og får på venstre side. der C 1 er en vilkårlig konstant. Høyre side blir. Dette gir. og dermed
Kapittel 6 Vekstmodeller For å forstå prosesser i naturen er matematiske modeller et nyttig verktøy. Matematiske modeller tar utgangspunkt i naturlover og modellerer disse i et matematisk språk. Naturlovene
DetaljerLøsningsforslag Eksamen M001 Våren 2002
Løsningsforslag Eksamen M Våren Oppgave f(x) = (x )e x Bruker produktregelen i derivasjonen f (x) = e x + (x ) (e x ) For å derivere e x velges kjernen u = x, og vi får (e x ) = e u. f (x) = e x + (x )
DetaljerNTNU. TMA4100 Matematikk 1 høsten Løsningsforslag - Øving 12. Avsnitt Ved Taylors formel (med a = 0) har vi at. 24 For x < 0 har vi at
NTNU Institutt for matematiske fag TMA400 Matematikk høsten 200 Løsningsforslag - Øving 2 Avsnitt 8.9 23 Ved Taylors formel (med a = 0) har vi at der R 2 (x) = f (n+) (c) (n+)! e x = + x + x2 2 + R 2(x),
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT-INF 1100 Modellering og beregninger del 1 Eksamensdag: Tirsdag 7. desember 2004 Tid for eksamen: 14:30 17:30 Oppgavesettet
Detaljere x = 1 + x + x2 2 + R 2(x), = e 3! ( 1) n x n = n! n=0 y n+1 = y 0 + f(t, y n (t)) dt 1 dt = 1 + x (1 + t) dt = 1 + x x2
NTNU Institutt for matematiske fag TMA400 Matematikk høsten 20 Løsningsforslag - Øving 2 Avsnitt 8.9 23 Ved Taylors formel (med a = 0) har vi at der R 2 (x) = f (n+) (c) (n+)! e x = + x + x2 2 + R 2(x),
DetaljerPrøve i R2. Innhold. Differensiallikninger. 29. november Oppgave Løsning a) b) c)...
Prøve i R2 Differensiallikninger 29. november 2010 Innhold 1 Oppgave 3 1.1 Løsning..................................... 3 1.1.1 a).................................... 3 1.1.2 b)....................................
DetaljerHeldagsprøve. Matematikk - R April 2009 Løsningsskisser Ny versjon:
R -Heldagsprøve V10 Heldagsprøve Matematikk - R 9. April 009 Løsningsskisser Ny versjon: 05.05.10 Del 1 Oppgave 1 a) Deriver funksjonen f sinln Deriver funksjonen f 3sin 1 c) Bestem summen av rekken 4
DetaljerOblig 4-fasit 11.1: Funksjoner av flere variable
Oblig 4-fasit.: Funksjoner av flere variable..3 i. Vi har ingen, brøker eller andre funksjoner som krever begrensninger i hva vi kan sette inn som argumenter, så alle og y kan brukes. D f = R = {, y),
DetaljerLøsningsskisser eksamen R
R 9.. Løsningsskisser eksamen R 9.. Del - Uten hjelpemidler Oppgave a) ) Produktregel: f x e x xe x e x x ) Kjerneregel: g x sin u, u x g x cosu cosx ) Kjerneregel: h x u, u sin x h x u cosx sin x cosx
DetaljerTMA4100 Matematikk1 Høst 2009
TMA400 Matematikk Høst 2009 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 2 8926 Vi serieutvikler eksponentialfunksjonen e u om u 0 og får e u + u +
DetaljerTMA4100 Matematikk 1 Høst 2014
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4 Matematikk Høst 4 Løsningsforslag Øving 5.7.4 Vi observerer at både y = cos πx 4 og y = x er like funksjoner. Det vil si
DetaljerMA1410: Analyse - Notat om differensiallikninger
Høgskolen i Agder Avdeling for realfag MA40: Analyse - Notat om differensiallikninger Dato: Høsten 2000 Merknader: Dette notatet kommer i tillegg til 4.2 og 6. i læreboka. Ma 40: Analyse skal inneholde
DetaljerKommentarer til oppgavene
Kommentarer til oppgavene 7.4, 7.7, 7.0, 7.4, 7., 7.98, 7.9 Teknikker: Se/gjette/prøve, gjerne i kombinasjon med tabeller, differanser og: Figurtall. (Eksempel 5, eksempel og figuren nederst side 59, 7.5,
DetaljerR2 - Kapittel 2 - Algebra. I a) Hvilken av disse tallfølgene er aritmetiske, geometriske eller ingen av delene?
R2 - Kapittel 2 - Algebra I Hvilen av disse tallfølgene er aritmetise, geometrise eller ingen av delene?.,,,,... 2 4 2. 2,6,8,54,.... 2,6,0,4,... 4.,, 2, 4,... 2 9 5., 5, 7, 9,... 4 9 6 Sriv opp uttryet
DetaljerEksamen R2, Våren 2015, løsning
Eksamen R, Våren 05, løsning Tid: 3 timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave (4 poeng) Deriver funksjonene a) f () =- 3cos f =- 3 - sin
DetaljerR2 kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka
R kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka E Bruker formelen cos 36 cos( 8 ) E sin 8 v og sin8 5 cos v sin sin8 5 5 6 5 5 8 5 5 8 6 5 8 6 5 8 8 3 5 5 5 a f ( ) sin 5 cos f ( ) 5cos
DetaljerFysikkolympiaden Norsk finale 2012
Nors Fysilærerforening Fysiolympiaden Nors finale 3. uttaingsrunde Fredag 3. mars l. 9. til. Hjelpemidler: Tabell/formelsamling, lommeregner og utdelt formelar Oppgavesettet består av 7 oppgaver på 3 sider
DetaljerTFY4106 Fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Løsningsforslag til øving 4. m 1 gl = 1 2 m 1v 2 1. = v 1 = 2gL
TFY46 Fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Løsningsforslag til øving 4. Oppgave. a) Hastigheten v til kule like før kollisjonen finnes lettest ved å bruke energibevarelse: Riktig svar: C. m gl = 2 m v 2
DetaljerForkunnskaper i matematikk for fysikkstudenter. Integrasjon.
De grunnleggende definisjonene L oss strte med følgende prolem: Gitt en ontinuerlig funsjon y = f der f for [, ] Beregn relet A som er vgrenset v grfen til f, -sen, og de to vertile linjene = og = Vi n
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT-INF 1100 Modellering og beregninger Eksamensdag: 12. desember 2003 Tid for eksamen: 9:00 12:00 Oppgavesettet er på 7 sider.
DetaljerHeldagsprøve R2. Våren Onsdag 6. Mai Løsningsskisser - Versjon Del 1 - Uten hjelpemidler - 3 timer. Oppgave 1.
Heldagsprøve R Våren 015 Onsdag 6. Mai 09.00-14.00 Løsningsskisser - Versjon 1.05.15 Del 1 - Uten hjelpemidler - timer Oppgave 1 Deriver funksjonene: a) fx tanx Kjerneregel: fx tanu, u x f 1 x cos u x
DetaljerDifferensiallikninger definisjoner, eksempler og litt om løsning
Differensiallikninger definisjoner, eksempler og litt om løsning MAT-INF1100 Differensiallikninger i MAT-INF1100 Definsjon, litt om generelle egenskaper Noen få anvendte eksempler Teknikker for løsning
DetaljerK Andre Ordens Differensialligninger
K 6.6 - Andre Ordens Differensialligninger Innhold: H-P Ulven, 03.04.09 Terminologi Utvikling av regel for løsning av y ay by 0 (Tilfelle: y Ce r 1x De r x ) Utvikling av regel for løsning av y ay by 0
DetaljerBYFE DAFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 5 Innleveringsfrist Fredag 15. april 2016 kl 14 Antall oppgaver: 8
Innlevering BYFE DAFE Matematikk HIOA Obligatorisk innlevering 5 Innleveringsfrist Fredag 5. april 6 kl Antall oppgaver: 8 Funksjonen ft) er vist i guren over. Funksjonen F x) er denert som for x. F x)
DetaljerKapittel 4: Differensiallikninger
4.. Innledning og objekter i bevegelse. 57 Kapittel 4: Differensiallikninger 4.. Innledning og objekter i bevegelse. Oppgave 4..: (NY.) a) Vi har slik at venstre side er lik y + xy = xe x + x y(x) = e
DetaljerNewtons (og hele universets...) lover
Newtons (og hele universets...) lover Kommentarer og referanseoppgaver (2.25, 2.126, 2.136, 2.140, 2.141, B2.7) Newtons 4 lover: (Gravitasjonsloven og Newtons første, andre og tredje lov.) GL: N I: N III:
DetaljerMAT Vår Oblig 2. Innleveringsfrist: Fredag 23.april kl. 1430
MAT 00 Vår 00 Oblig Innleveringsfrist: Fredag 3.april kl. 430 Oppgaven leveres stiftet med forsideark på ekspedisjonskontoret til Matematisk institutt i 7. etg. i Niels Henrik Abels hus innen fristen.
Detaljerdifferensiallikninger-oppsummering
Kapittel 12 differensiallikninger-oppsummering I vår verden endres størrelsene og verdiene som populasjon, vekt, lengde, posisjon, hastighet, temperatur ved tiden eller ved en annen uavhengig variabel.
DetaljerR2 Eksamen V
R V011 R Eksamen V011-1.05.011 Del 1 - Uten hjelpemidler Oppgave 1 a) 1) Kjerneregel: fx sin u, u x f x cosu 4 cosx ) Produktregel (og kjerneregel på cosx): g x x cosx x sin x xcosx x sin x ) Kjerneregel:
DetaljerFasit. Funksjoner Vg1T. Innhold
Fasit Innhold 4.1 Funksjonsbegrepet... 4. Lineære funksjoner... 6 4.3 Andre funksjoner... 15 Andregradsfunksjoner... 15 Polynomfunksjoner... 18 Rasjonale funksjoner... 19 Potensfunksjoner og eksponentialfunksjoner...
DetaljerOPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 45. Oppgaver til seminaret 11/11. Oppgaver til gruppene uke 46
OPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 45 Avsn. 6.1: 19, 31 Avsn. 7.9: 9, 17, 22 På settet: S.1, S.2 Oppgaver til seminaret 11/11 Oppgaver til gruppene uke 46 Løs disse først så disse Mer dybde Avsn. 6.1 4, 5, 29
DetaljerEksamen R2 høst 2011, løsning
Eksamen R høst 0, løsning Oppgave (4 poeng) a) Deriver funksjonene f e ) Bruker produktregelen for derivasjon, uv uv uv f e e e e ) g sin Bruker kjerneregelen på uttrykket cos der u og g u sinu Vi har
DetaljerR2 eksamen våren 2017 løsningsforslag
R eksamen våren 07 løsningsforslag DEL Uten hjelpemidler Oppgave (5 poeng) Deriver funksjonene a) f 3sin cos f 3cos sin 3cos sin b) g cos uv uv uv der u og v cos Vi bruker produktregelen for derivasjon
DetaljerTFY4115: Løsningsforslag til oppgaver gitt
Institutt for fysikk, NTNU. Høsten. TFY45: Løsningsforslag til oppgaver gitt 6.8.9. OPPGAVER 6.8. Vi skal estemme Taylorrekkene til noen kjente funksjoner: a c d sin x sin + x cos x sin 3 x3 cos +... x
DetaljerR2 - Funksjoner, integrasjon og trigonometri
R - Funksjoner, integrasjon og trigonometri Løsningsskisser Del I - Uten hjelpemidler Oppgave 1 Regn ut integralene: a) x cosx dx b) x x 3x dx c) ex cose x dx a) Delvis integrasjon: x cosx dx x sin x sin
DetaljerFysikkolympiaden Norsk finale 2017
Norsk fysikklærerforening Fysikkolympiaden Norsk finale 7 Fredag. mars kl. 8. til. Hjelpemidler: abell/formelsamling, lommeregner og utdelt formelark Oppgavesettet består av 6 oppgaver på sider Lykke til!
DetaljerKapittel Flere teknikker
Innhold: Kapittel 6.7 - Flere teknikker H-P Ulven 22.04.09 Innledning Ligninger med potenser av y. ( Lærebok 6.7) Reduksjon av orden med variabelskiftet u y. (Lærebok 6.7) Innføring av u y 2 og u 2yy.
DetaljerNewtons lover i én dimensjon
Newtons lover i én dimensjon.01.014 Interessert å være studentrepresentant for YS-MEK kurset? ta kontakt med meg. YS-MEK 1110.01.014 1 Bok på bordet Gravitasjon virker på boken om den ligger på bordet
DetaljerUNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. Obligatorisk innlevering 3 i emnet MAT111, høsten 2016
UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Obligatorisk innlevering 3 i emnet MAT, høsten 206 Innleveringsfrist: Mandag 2. november 206, kl. 4, i Infosenterskranken i inngangsetasjen
DetaljerDel 1. 3) Øker eller minker den momentane veksthastigheten når x = 1? ( )
Del Oppgave a) Deriver funksjonen f( x) = x cos( x) b) Deriver funksjonen ( ) ( 4 x f x = e + ) c) Gitt funksjonen f( x) = x 4x + x+ ) Ligger grafen over eller under x-aksen når x =? ) Stiger eller synker
Detaljer4 Differensiallikninger
4 Differensiallikninger Innhold Kompetansemål Differensiallikninger, R... Hva er en differensiallikning?... 3 4. Førsteordens differensiallikninger... 5 Lineære førsteordens differensiallikninger... 5
DetaljerMA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2017
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA Brukerkurs i matematikk B Vår 7 Kapittel 7.3: Rasjonale funksjoner og delbrøkoppspaltning 7.3:3 Bruk polynomdivisjon for
DetaljerR2 Eksamen høsten 2014 ( )
R Eksamen høsten 0 (8..) Løsningsskisser Versjon:.05.6 (Rettet feil i del i oppgave ) Del I - Uten hjelpemidler Oppgave a) Kjerneregel: f x cosu, u x f x 6 sin x b) Produktregel: g x 5e x sin x 5e x cos
DetaljerHøgskolen i Oslo og Akershus. e 2x + x 2 ( e 2x) = 2xe 2x + x 2 e 2x (2x) = 2xe 2x + 2x 2 e 2x = 2xe 2x (1 + x) 1 sin x (sin x) + 2x = cos x
Oppgåve a) i) f(x) x e x f (x) ( x ) e x + x ( e x) xe x + x e x (x) xe x + x e x xe x ( + x) ii) g(x) ln(sin x) + x g (x) sin x (sin x) + x cos x sin x + x tan x + x b) i) Sidan både teljar og nemnar
DetaljerMAT1030 Forelesning 21
MAT00 Forelesning Mer ombinatori Roger Antonsen - 5. april 009 (Sist oppdatert: 009-0-5 00:05) Kapittel 9: Mer ombinatori Plan for dagen Mer om permutasjoner og ordnet utvalg ) Mer om ombinasjoner n velg
Detaljer3x + 2y 8, 2x + 4y 8.
Oppgave En møbelfabrikk produserer bord og stoler Produksjonen av møbler skjer i to avdelinger, avdeling I og avdeling II Alle møbler må innom både avdeling I og avdeling II Det å produsere et bord tar
DetaljerLøsningsforslag eksamen i TMA4100 Matematikk desember Side 1 av 7
Løsningsforslag eksamen i TMA4 Matematikk 2. desember 23. Side av 7 Oppgave Løs initialverdiproblemet y (2/x)y, y() 2. Løsning: y (2/x)y er en førsteordens lineær differensialligning. Vi finner en løsning
DetaljerELE Matematikk valgfag
SENSORVEILEDNING - Skriftlig eksamen ELE 3711 Matematikk valgfag Institutt for Samfunnsøkonomi Utlevering: 11.06.018 Kl. 0:00 Innlevering: 11.06.018 Kl. 14:00 For mer informasjon om formalia, se eksamensoppgaven.
DetaljerLØSNINGSFORSLAG EKSAMEN MA0002, V08
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 5 LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN MA000, V08 Oppgave 1 Litt av hvert. a) (10%) Løs initialverdiproblemet gitt ved differensialligningen
DetaljerNei, jeg bare tuller.
Eksempel En medisin skilles ut fra kroppen med en hastighet proporsjonal med mengden i kroppen. Halveringstiden er timer. Anta at en dose injiseres i en pasient hver sjette time fra et visst tidspunkt.
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
Side 1 UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: FYS-MEK 1110 Eksamensdag: 16 mars 2016 Tid for eksamen: 15:00 18:00 (3 timer) Oppgavesettet er på 4 sider Vedlegg: Formelark
DetaljerProblem 1. Problem 2. Problem 3. Problem 4
Oppsummeringsproblemer som utgangspunkt til ekstraforelesninger i uke 48 i emnet MAT111, høsten 2008 Problem 1 Bruk den formelle definisjonen av grenseverdi til å vise at x 4 1 x 1 x + 1 = 4. Problem 2
DetaljerMA1102 Grunnkurs i analyse II Vår 2019
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA1102 Grunnkurs i analyse II Vår 2019 10.2.27 a) Vi skal vise at u + v 2 = u 2 + 2u v + v 2. (1) Som boka nevner på side 581,
DetaljerR2 eksamen våren ( )
R Eksamen V01 R eksamen våren 01. (1.05.01) Løsningsskisser (Versjon 1.05.1) Del 1 - Uten hjelpemidler Oppgave 1 a) f x sin x sin x b) Kjerneregel (u x): g x 6 cosx 6 cosx c) Produktregel: h x e x sinx
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Deleksamen i: MAT Kalkulus og lineær algebra Eksamensdag: Fredag. mars Tid for eksamen: 5. 7. Oppgavesettet er på 8 sider. Vedlegg: Tillatte
DetaljerEksamen R2, Våren 2011 Løsning
R Eksamen, Våren 0 Løsning Eksamen R, Våren 0 Løsning Del Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave (8 poeng) a) Deriver funksjonene
DetaljerLøsningsforslag, eksamen MA1101/MA6101 Grunnkurs i analyse I, vår 2009
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 6 Løsningsforslag, eksamen MA1101/MA6101 Grunnkurs i analyse I, vår 009 Oppgave 1 Funksjonen g er definert ved g(x)
DetaljerTMA Matematikk 4D Fredag 19. desember 2003 løsningsforslag
Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA Matematikk D Fredag 9. desember 23 løsningsforslag a Vi bruker s-forskyvningsregelen Rottmann L{gte at } Gs a med gt t.
DetaljerLøsningsforslag. Oppgave 1 Gitt matrisene ] [ og C = A = 4 1 B = 2 1 3
Prøve i Matematikk BYFE DAFE Dato: 27. mai 26 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Løsningsforslag Oppgave Gitt matrisene [ 2 A 4 B [ 2 og C [ 2
DetaljerDifferensjalligninger av førsteorden
Differensjalligninger av førsteorden Department of Mathematical Sciences, NTNU, Norway November 2, 2014 Forelesning (29.10.2014): kap 7.9 og 18.3 Førsteordens ordinæredifferensjalligninger Initialverdiproblem
DetaljerOppgavene er hentet fra fagets lærebok, Hass, Weir og Thomas, samt gamle eksamener.
NTNU Institutt for matematiske fag TMA45 Matematikk, øving, vår Løsningsforslag Notasjon og merknader Oppgavene er hentet fra fagets lærebok, Hass, Weir og Thomas, samt gamle eksamener. Oppgaver fra kapittel
DetaljerLØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I MA0001 BRUKERKURS A Tirsdag 14. desember 2010
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 6 LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I MA1 BRUKERKURS A Tirsdag 14. desember 1 Oppgave 1 Ligningen kan skrives 4 ln x 3 ln
DetaljerR2 - Eksamen Løsningsskisser
R - V0 R - Eksamen 04.06.0 - Løsningsskisser Del - Uten hjelpemidler Oppgave a) ) Kjerneregel: fx 3 sin u, u x f x 3 cosu 6 cosu 6 cosx ) 3) Produktregel: g x x sin x x cosx x sin x x cosx Kjerneregel:
DetaljerEn blomsterpotte faller fra en veranda 10 meter over bakken. Vi ser bort fra luftmotstand. , der a g og v 0 0 m/s.
Fy1 - Ekstra vurdering - 06.01.17 Løsningsskisser Bevegelse og krefter Oppgave 1 En blomsterpotte faller fra en veranda 10 meter over bakken. Vi ser bort fra luftmotstand. a) Hvor lang tid tar det før
DetaljerInstitutt for Samfunnsøkonomi
Institutt for Samfunnsøkonomi Løsninger i: ELE 379 Matematikk valgfag Dato: 6.6., 9: 4: Tillatte hjelpemidler: Alle hjelpemidler + Eksamenskalkulator: TEXAS INSTRUMENTS BA II Plus TM Innføringsark: Ruter
DetaljerLøysingsforslag for oppgåvene veke 17.
Løysingsforslag for oppgåvene veke 17. Oppgåve 1 Retningsfelt for differensiallikningar gitt i oppg. 12.6.3 med numeriske løysingar for gitt initalkrav (og eit par til). a) b) c) d) Oppgåve 2 a) c) b)
DetaljerSIF5003 Matematikk 1, 6. desember 2000 Løsningsforslag
SIF53 Matematikk 1, 6. desember 2 Oppgave 1 Dreid om y aksen: iv). Dreid om x = 1: iii). Oppgave 2 Om bredden på rektanglet er 2x og høyden er y finner vi for det ukjente arealet A og den kjente omkretsen
DetaljerHøgskolen i Telemark Eksamen Matematikk 2 modul Mai Fakultet for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 24.
Høgskolen i Telemark Eksamen Matematikk 2 modul 24. Mai 203 Høgskolen i Telemark Fakultet for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 24. mai 203 EKSAMEN I MATEMATIKK 2 Modul 5 studiepoeng
DetaljerForelesning 20. Kombinatorikk. Roger Antonsen - 7. april 2008
orelesning Kombinatori Roger Antonsen - 7. april 8 Kombinatori Kombinatori er studiet av opptellinger, ombinasjoner og permutasjoner. Vi finner svar på spørsmål Hvor mange måter...? uten å telle. Vitig
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT-INF 11L Programmering, modellering, og beregninger. Eksamensdag: Fredag 5. Desember 214. Tid for eksamen: 9: 13:. Oppgavesettet
Detaljer