Overflatebølger på stasjonær strøm

Transkript

1 Overflatebølger på stasjonær strøm Stasjonær strøm La den stasjonære strømmen være gitt ved hastighetsfelt = (,V,W) = Φ og overflatehevning ζ. De horisontale omponentene an vi srive som en 2D vetor H = (,V ). Dersom vi ser bort fra hva slags bunnforhold som gjelder, har vi følgende lininger for den stasjonære strømmen: 2 Φ x + V y + W = 0 for z < ζ (1) H ζ = W ved z = ζ (2) gζ + 1 = 0 ved z = ζ (3) 2 Anta salering for horisontal strøm H = (,V ) og for horisontale oordinater x,y L. Det følger at overflatehevningen salerer som ζ 2 /g. Vi sal anta at strømmen er sva, dvs. ζ x 2 gl = ǫ 1. (4) Dermed følger det at den vertiale strømomponenten er liten W ǫ, og den vertiale oordinaten er ort z ǫl, og tilsvarende at ζ ǫl. Legg mere til at den dynamise overflatebetingelsen sier ζ = /(2g), eller med andre ord så vil overflaten bli lavere jo sterere strømmen er. Dette alles set-down. Korte bølger på stasjonær strøm La de orte bølgene være gitt ved hastighetspotensial φ og overflatehevning η. Det totale hastighetspotensialet er således Φ + φ og den totale overflatehevningen er ζ + η. Anta salering for bølgeamplitude η a, romoordinater x,y,z c 1, tid t c 1 = (g c ) 1/2 og hastighetspotensial φ g/ c a, hvor c og c er arateristise størrelser. La oss anta lineære bølger µ = c a 1. Den mest funamentale antaelsen som gjøres her er at den arateristise horisontale strømhastigheten er li med den arateristise fasehastigheten for bølgene, dvs. c g = (5) c c Dermed følger det at ( c L) 1 ǫ, eller med andre ord at bølgelengden er mye ortere enn den horisontale salaen for endringer i strømmen. Det følger videre at det vertiale utslaget for overflaten ζ indusert av strømmen er lie stort som en arateristis bølgelengde, så bølgene går i opp- og nedoverbae! 1

2 Lininger for bølger på strøm t 2 Φ + 2 φ = 0 for z < ζ + η (6) + ( φ + ) ( ζ + η) = + W at z = ζ + η (7) t + g(ζ + η) ( φ + )2 = 0 at z = ζ + η (8) Salaer La oss definere dimensjonsløse grunnleggende salaer for bølgene Det følger at salaene for strømmen er x 0 = c x, y 0 = c y, z 0 = c z, t 0 = c t x 1 = ǫx 0, y 1 = ǫy 0, z 0 Dimensjonsløse lininger 2 0φ + ǫ ( 1 H + W ) = 0 µ 0 for z 0 < ζ + µη (9) t 0 +µ 0 φ 0 η+ǫ 0 φ 1 ζ+ H 0 η+ ǫ µ H 1 ζ = 0 + ǫ µ W at z 0 = ζ + µη (10) +η+ 1 t 0 µ ζ+ µ 2 ( 0φ) 2 + H 0 φ+ǫw µ 2 H + ǫ2 2µ W 2 = 0 at z 0 = ζ + µη (11) Taylor-utvile rundt overflaten til den stasjonære strømmen z 0 = ζ Vi beholder un ledd til nullte orden i µ (lineær bølgeteori) og til første orden i ǫ (ta med modulasjon på grunn av strøm). 2 0φ + ǫ ( 1 H + W ) = 0 for z 0 < ζ (12) µ 0 +ǫ 0 φ 1 ζ + H 0 η+ ǫ t 0 µ H 1 ζ +ǫη H 1 ζ = + ǫ 0 0 µ W +ǫη W at z 0 = ζ 0 (13) +η + 1 t 0 µ ζ + H 0 φ+ǫw µ 2 H +η H H + ǫ2 0 2µ W 2 = 0 at z 0 = ζ (14) Nå ser vi at alle ledd som un besriver strømmen fatis er identise med liningene (1) (3), og disse antas å gjelde uavhengig av bølgene. Disse leddene an derfor stryes fra liningene ovenfor. Vi står da un igjen med ledd som er lineære i η og φ. Så an vi også legge mere til at den stasjonære strømmen er en potensial-strøm, så er = 0, og derfor an vi vise at H 0 = O(ǫ 2 ), 2

3 og følgelig er det ytterligere et ledd som faller bort i det dynamis overflateravet. Vi står nå igjen med følgende lininger: 2 0φ = 0 for z 0 < ζ (15) + ǫ 0 φ 1 ζ + H 0 η = ǫη 1 H at z 0 = ζ (16) t η + H 0 φ + ǫw = 0 at z 0 = ζ (17) t 0 0 Besrive med langsomme salaer Vi har hurtige salaer assosiert med bølgene x 0,y 0,t 0 og langsomme salaer assosiert med strømmen x 1 = ǫx 0 og y 1 = ǫy 0. Det er naturlig å anta at bølgene er modulert på de langsomme salaene til strømmen, og at det er en tilsvarende langsom tidssala t 1 = ǫt 0. Vi introduserer derfor de langsomme salaene x 1, y 1 og t 1 esplisitt i liningene over, vi beholder den vertiale salaen z 0, og deretter dropper vi lie godt indesene for salaene: ǫ 2 2 φ x + φ 2 ǫ2 2 y + 2 φ = 0 for z < ζ (18) 2 2 ǫ t + ǫ2 φ ζ + ǫ H η = ǫη H at z = ζ (19) ǫ + η + ǫ φ = 0 at z = ζ (20) t WKB-løsning Vi antar WKB-løsninger av formen φ = (A(x,y,z,t) + ǫa 1 (x,y,z,t) +...) e ǫ 1 iχ(x,y,t) η = (B(x,y,t) + ǫb 1 (x,y,t) +...) e ǫ 1 iχ(x,y,t) (21) (22) og definerer = Problemet til ledende orden O(1) er ( χ x, χ ), = χ y t som har løsning 2 A 2 2 A = 0 for z < ζ (23) ib + i H B = A at z = ζ (24) ia + B + i H A = 0 at z = ζ (25) A = i H Be (z ζ) (26) 3

4 og dispersjonsrelasjonen ( H ) 2 = g 2 (27) Vi aller for fysis vinelfrevens, er intrinsi frevens, og leddet H alles for Doppler sift. Problemet til neste orden O(ǫ) er 2 A A 1 = 2i A ia for z < ζ (28) ib 1 + i H B 1 A 1 = B t ia ζ H B B H at z = ζ (29) ia 1 + B 1 + i H A 1 = A A at z = ζ (30) t Vi ser altså at dette problemet er en inhomogen versjon av det homogene problemet til ledende orden. Det er ie nødvendig å løse problemet til orden O(ǫ). Dersom vi bruer Green s teorem ζ ( A 2 A 1 2 A 1 ) [ 2 A dz = A A 1 2 A 1 an vi utlede en transportlining for B ( ) ) B 2 B + (c 2 g = 0 t ] ζ A z= Størrelsen B 2 / er proporsjonal med energitetthet delt på intrinsi frevens, som alles for asjonstetthet eller bølgevirning. Kinematien til bølger på strøm La oss se på et litt mer generelt tilfelle av tyngde-apillærbølger: ( H ) 2 = g + γ 3 2 (31) Her er fysis frevens, er intrinsi frevens, og H er Doppler sift. Gruppehastigheten regner vi ut c g = = H ± g + 3γ2 (32) Det er interessant å legge mere til at gruppehastigheten ie lenger trenger å være parallell med bølgetallsvetor. La oss se på tilfellet at er parallell med H. Vi tener oss følgende situasjon: 1 1 NB! I figurene er det brut notasjonen = H og c g = / 4

5 z x For bølgeammer og strøm som beveger seg i samme retning har vi følgende muligheter: = 0 c g + L L 5

6 For bølgeammer og strøm som beveger seg i motsatt retning har vi følgende muligheter: o c g + c g + L L 6