3. Hvilken av Maxwells ligninger beskriver hvordan en leder som fører en jevn strøm genererer et magnetisk felt?

Transkript

1 Flervalgsoppgaver 1. En stavmagnet slippes gjennom ei strømsløyfe som vist i venstre del av figuren under. Pilene i sløyfa viser valgt positiv strømretning. Husk at magnetiske feltlinjer går ut fra nordpol og inn mot sørpol på en magnet. Strømmen I som funksjon av tida t når magneten faller gjennom sløyfa er illustrert kvalitativt med hvilken graf? (Tidspunktet som mipunktet av magneten passerer sløyfa er vist med linja C.) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 E. 5 Løsning: Når magneten nærmer seg strømsløyfa øker magnetfluksen nedover inni sløyfa. Ifløge Lenz lov settes opp en strøm som motvirker økningen, og ifølge høyrehåndsregelen må strømmen gå i positiv retning gitt i figuren. Når magneten er mi i øker ikke fluksen lenger, for deretter å avta. Da blir strømretningen motsatt. 2. En rektangulær sløyfe er plassert parallelt med en lang rett strømførende leder som vist i figuren. Den rette lederen fører en strøm I mot høyre og avstanden c mellom lederen eg den nærmeste sidekanten av sløyfa er fast. Strømmen i den rette lederen øker jevnt med tida: I(t) = I 0 + kt, der k er en konstant med enhet A/s. Strømmen indusert i den rektangulære sløyfa A. går med klokka og er proporsjonal med k 2 B. går mot klokka og er proporsjonal med k 2 C. går med klokka og er proporsjonal med k D. går mot klokka og er proprosjonal med k E. er lik null. Løsning: Magnetfeltet B har inni strømsløyfa retning ned i papirplanet (høyrehåndsregelen) og øker med tida idet I øker. Magnetisk fluks Φ B øker altså nedover, og ifølge Lenz lov induseres en sløyfestrøm som gir magnetisk fluks oppover, ergo må strømretningen være mot klokka. B-feltet ved enhver posisjon er proporsjonal med I, derfor er også Φ B proporsjonal med I og indusert ems. E = Φ B t I t = k. 3. Hvilken av Maxwells ligninger beskriver hvordan en leder som fører en jevn strøm genererer et magnetisk felt? A. E d A = Q encl ɛ 0 B. B d A = 0 C. E d l = dφ B D. B d ( dφ l = µ 0 ic + ɛ E ) 0 encl E. Ingen av disse. Løsning: Amperes lov beskriver hvordan alle typer strømmer (både strøm i ledere og forskyvningsstrøm) gir opphav til magnetiske felter. 4. Hvilken av Maxwells ligninger forklarer hvordan en bankkortleser (magnetstripe) virker? A. E da = Q encl ɛ 0 B. B da = 0 C. E d l = dφb E. Ingen av disse. D. B d l = µ0 ( ic + ɛ 0 dφ E ) encl

2 Løsning: Faradays lov er riktig, da en kortleser virker ved å indusere strømmer i spoler når kortet dras. 5. Hvilken av følgende påstander strider mot en av Maxwells ligninger? A. Netto magnetisk fluks gjennom ei lukka overflate avhenger av strømmen inni B. Et tidsvarierende magnetisk felt produserer et elektrisk felt C. Et tidsvarierende elektrisk felt produserer et magnetisk felt D. Netto elektrisk fluks gjennom ei lukka overflate avhenger av ladningen innenfor E. Ingen av disse påstandene strider mot noen av Maxwells ligninger. Løsning: Netto magnetisk fluks gjennom ei lukka overflate er alltid lik null. 6. En metallstav med null nettoladning beveges med konstant hastighet til høyre i et område som har et magnetisk felt B i retning opp av papirplanet. Hvilken av figurene beskriver best ladningsfordelingen i metallstaven under bevegelsen? A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 E. 5 Løsning: Metallet har frie valenselektroner. Ifølge Lorenzkrafta vil disse bevege seg mot øvre enden av staven (høyrehåndsregelen). 7. Jordas magnetfelt peker mot (den magnetiske) nordpolen. Vi antar at det ikke har noen vertikal komponent, som er tilfelle ved ekvator. Hvis du holder en metallstav og går mot øst, hvordan må du orientere staven for å få maksimal bevegelsesindusert ems mellom endene på staven? A. Opp-ned B. Øst-vest C. Nord-sør D. Alle retninger gir samme ems E. Det er ikke mulig å indusere ems på denne måten Løsning: Man får maksimum ems om man holder staven vertikalt, slik at den står vinkelrett på magnetfeltet og fartsretningen. Da er stavens lengdevektor L parallell med v B, NB: I oppgave 8 og 9 spørres det om H og M i tillegg til B-felt. Fokuser på B-felt, så kan de som vil regne ut H og M. Magnetfelt ved longitudinalt materialskille 8. En sylinderformet stav av jern med relativ permeabilitet µ r = 2000 er plassert mi (koaksialt) inne i en solenoide. Page 2

3 Innerradien til solenoiden er b = 30 mm og radien til staven er a = 15 mm. Viklingstallet for solenoiden er n = 900 m 1 og den fører en strøm I = 3.00 A. Du kan anta både solenoiden og staven er svært lange slik at du kan se bort fra randeffekter. (a) Finn verdier for H 0, B 0 og M 0 inni solenoiden, utenfor jernstaven (a < r < b) (b) Finn verdier for H, B og M inne i jernstaven (r < a). Løsning: (a) og (b): Figuren viser et sidesnitt av solenoiden som har en sylinderformet stav av jern inni seg. Strømmen I genererer feltstyrken H uavhengig av materialet på langs i solenoiden. Fra Ampères lov på integrasjonsvegen vist i figuren har vi i tidligere øving eller Ex i læreboka vist at H = ni. Vi får derfor at feltstyrken inni solenoiden både utenfor og inni jernet er H = H 0 = ni = 900 m A = 2700 A/m. (Tangentkomponenten til H er alltid kontinuerlig over ei grenseflate.) Vi har relasjonen B = µ 0 (H + M) = µ r µ 0 H, som bestemmer B-feltet: B 0 = 1 µ 0 H 0 = 4π (10 7 Tm/A)(2700 A/m) = 3.40 mt, B = µ r µ 0 H = π (10 7 Tm/A)(2700 A/m) = 6.80 T. Og endelig er magnetiseringen M = (µ r 1)H, som gir M 0 = (1 1) H 0 = 0 A/m, M = (2000 1) H 0 = A/m. Denne verdien for magnetiseringen M vi har beregnet inni jernet er ikke mulig, da metning M s inntrer ved en lavere verdi. Vi har i forrige øving vist at metningsmagnetiseringen i jern er ca. M s = A/m. Den lineære relasjonen B = µ r µ 0 H er derfor bare rimelig for H-verdier opp til en viss grense. Dette kan en se utfra hysteresekurva under. Med M s = A/m, blir flukstettheten inni jernet B = µ 0 (H + M s ) = µ 0 ( ) 10 6 A/m = 2.0 T, og ikke 6.80 T som beregnet ovenfor. Page 3

4 Magnetfelt ved transversalt materialskille 9. En toroideformet kjerne av jern har relativ permeabilitet µ r = Midlere radius i toroiden er R = m og tverrsnittradien r til toroiden er mye mindre enn R. Tett utenpå kjernen er det tvunnet en ledning som fører strømmen I = 0.50 A og har N = 400 viklinger. Viklingene er jevnt fordelt og så tette at det magnetiske feltet kan regnes homogent inne i magnetkjernen. Det er skjært bort en smal luftfylt spalte av toroidekjernen. Anta at åpningen δ er mye mindre enn r slik at magnetfeltlinjer også over åpningen er asimutale (sirkelretning). (a) Finn verdier for H og B inne i den toroideformede kjernen. Løsning: For en lang og smal toroide kan vi se bort fra krumningen og H-feltet kan beregnes som for en solenoide: H = In = I N 2πR = 0.59 A 400 = 150 A/m, 2π 0.20 m B = µ r µ 0 H = π 10 7 Tm/A = T. (b) Finn verdier for H 0 og B 0 i den smale spalteåpningen. Løsning: I ei grenseflate er flukstettheten B kontinuerlig. Dette kan vises fra Gauss lov for B-feltet: B da = 0. Den lille figuren viser ei Gaussflate som en sylinder med en endeflate i jernet og andre i spalten. Kravet null B-fluks over sideflatene resulterer i at B-feltet må være likt i jernet og i luftspalten. Vi må da forutsette at gapet er så smalt at B ikke endres over gapet. Page 4

5 Så i gapet er fremdeles B 0 = B = 0.40 T og følgelig får vi H 0 = B µ 0 = 0.40 T 4π 10 7 Tm/A = A/m. Det er klart at spalten må være svært smal for at dette skal holde. Hvis gapet blir breiere vil B-feltlinjer lure seg ut og dette igjen innvirker på H-feltet inne i jernet i nærheten av spalten, men på en slik måte at normalkomponenten av B alltid er kontinuerlig over grenseflata. Et slikt gap med sterkt H-felt brukes til magnetisering av f.eks. magnetbånd ( tape ) og harddisker. Bevegelsesindusert ems 10. En kvadratisk ledersløyfe med sidekant L, masse m og total resistans R ligger i horisontalplanet xy med et hjørne i origo, en sidekant langs x-aksen og en sidekant langs y-aksen, se figuren. Tyngdefeltet går i z-retning og et homogent magnetfelt B = B î er retta i x-retning. Sløyfa kan rotere fritt om sidekanten langs y-aksen og slippes fra denne horisontale stillingen i tyngdefeltet og begynner derfor å falle ved å rotere om y-aksen. Vinkelen mellom ledersløyfa og x-aksen angis som φ. Vinkelhastigheten er ω = φ og er avhengig av φ. (a) Vil ledersløyfa falle fortere, langsommere eller like fort med det angitte magnetiske feltet B sammenliknet med B = 0? Videre regning vil bekrefte svaret ditt. Løsning: Magnetisk induksjon i sløyfa vil gi et magnetisk moment og et kraftmoment som virker mot bevegelsen (Lenz lov/le Chateliers prinsipp), slik at den vil falle langsommere i et magnetiske felt. (b) Finn indusert strøm I i ledersløyfa uttrykt med bl.a. φ og ω og angi retning for denne. Løsning: Med sløyfeareal A = L 2 er magnetisk fluks gjennom strømsløyfa Φ B = L 2 B sin φ. Når strømsløyfa faller og φ endres induseres en ems. E = Φ B som gir en strøm i sløyfa med størrelse I = E R = 1 R Φ B = 1 R L2 B cos φ φ = 1 R L2 Bω cos φ. Page 5

6 Strømmens retning ved Lenz lov: Når sløyfa faller øker magnetisk fluks gjennom sløyfa i retning oppover, slik at det må induseres en strøm som gir magnetisk fluks nedover i sløyfa innvendig. Ifølge h.h.regelen må strømmen da ha retning med klokka sett ovenfra, dvs. magnetisk moment µ har retning som vist i figuren under. (c) Finn netto kraftmomentet τ som virker på sløyfa idet den faller ( τ pga. tyngden og τ pga. magnetisk effekt). Løsning: Tyngden mg virker i avstand L/2 fra omdreiningsaksen og har vinkel π/2 φ med armen. Kraftmoment pga. tyngden er da τ g = r m g = L 2 mg sin (π/2 φ) ĵ = L mg cos φ ĵ. 2 Kraftmoment pga. strømmen i sløyfa er gitt ved magnetisk moment µ = IA = IL 2, der arealnormalvektor A og µ har vinkel π/2 + φ med B τ B = µ B = IL 2 sin (π/2 + φ) B ( ĵ ) = 1 R ωl4 B 2 cos 2 φ ĵ, der uttrykk for I er satt inn ovenfra. Netto kraftmoment: ( L τ = τ g + τ B = 2 mg cos φ 1 ) R ωl4 B 2 cos 2 φ ĵ. (d) Ledersløyfas treghetsmomentet for rotasjon om en sidekant er I t = 5 12 ml2. Hva er vinkelakselerasjonen α uttrykt ved bl.a. φ og ω? Løsning: Newton 2 for rotasjon (spinnsatsen), τ = I t α = 5 12 ml2 α, gir α = τ I t = L 2 mg cos φ 1 R ωl4 B 2 cos 2 φ 5 = 6g 12L2 cos φ 12 ml2 5L 5mR ωb2 cos 2 φ. Idet α = dω dφ og ω = er altså dette en andreordens differensiallikning for vinkelen φ(t) som vi ikke skal løse. Det blir en dempet svingning. (e) Er mekanisk energi bevart idet sløyfa faller? Løsning: Mekanisk energi er ikke bevart. Bremsingen av bevegelsen pga. strøm i sløyfa gir oppvarming (mekanisk energitap) i resistansen R. Page 6