Tidligere eksamensoppgaver

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "Tidligere eksamensoppgaver"

Transkript

1 Tillegg B Tidligere eksamensoppgaver Her følger et kronologisk utvalg av tidligere eksamensoppgaver innenfor temaet differenslikninger, og noen om komplekse tall, gitt ved UiO. Den første oppgaven gir samtidig litt repetisjon fra Kompendium 1. Utvalget er gjort med hensyn på at de skal kunne løses med pensumet i MAT1001. Vær oppmerksom på at språk og notasjon kan variere noe. Eksamen i MA 001, 11. mai 1987 Oppgave 5 a) Finn egenverdier og egenvektorer til matrisen M = [ 2 5/2 0 1/2 ] b) Vi definerer to tallfølger {x n } og {y n } ved at x 1 = 1, y 1 = 1, og for n = 1, 2, 3,... er x n+1, y n+1 gitt ved x n+1 = 2x n y n y n+1 = 1 2 y n 136

2 [ ] [ ] x1 1 Uttrykk vektoren = som en sum av egenvektorer til y 1 1 matrisen M, og bruk dette til å avgjøre hvilke av grensene som eksisterer. lim x n og lim y n n n Eksamen i MA 100, 4. desember 1995 Oppgave 6A (tilpasset Lindstrøm: Kalkulus ) a) Finn løsningene til z 2 6z + 12 = 0 og skriv dem på polarform. b) Finn en løsning av differensligningen x n+2 6x n x n = 49n slik at x 0 = 4, x 1 = 12. Eksamen i MA 100, 9. juni 1997 Oppgave 1 a) Finn den generelle reelle løsningen til differenslikningen x n+2 4x n+1 + 8x n = 0 b) Finn løsningen til differenslikningen x n+2 4x n+1 + 8x n = 5n + 8 med x 0 = 3 og x 1 =

3 Eksamen i MA 100, 16. desember 1998 Oppgave 5 Finn den generelle reelle løsningen av differenslikningen x n+1 = 2 cos α x n x n 1, n = 1, 2,... (der α er en reell konstant). Eksamen i MA 100, 10. desember 1999 Oppgave 4 Et fond for kunstnerisk utsmykking blir opprettet i begynnelsen av et år. Fondet har en startkapital x 0 = 15 millioner kroner, og renteinntekter på 6% per år. I slutten av hvert år deler fondet ut penger. Det første året utbetales det kroner og beløpet økes med kroner hvert år. a) La x n være størrelsen på fondet etter n år målt i millioner kroner. Forklar hvorfor x n+1 = 1.06x n n, x 0 = 15. Finn x n. b) Hva skjer med x n når n? Hvor stor måtte startkapitalen x 0 ha vært for at fondet skulle fortsette utbetalingene i evig tid? Eksamen i MA 100, 9. juni 2000 Oppgave 2 a) La z = 1 + i og w = 2 i. Skriv z w og z w z på a + ib form. b) (tatt ut) 138

4 Eksamen i MA 100, 8. desember 2000 Oppgave 2 a) Finn den generelle løsningen til differensligningen x n+2 x n+1 + x n = 0 og skriv den på både kompleks og reell form. b) Finn løsningen av x n+2 x n+1 + x n = 2n + 1 slik at x 0 = 1, x 1 = 0. Eksamen i MA 100, 13. juni 2002 Oppgave 1a Finn den partikulære løsningen av differensligningen x n+2 x n+1 12x n = 0 som oppfyller x 0 = 1 og x 1 = 11. Eksamen i MAT 100, 14. juni Oppgave- og svarark for del 1 Regn ut (forenkle) uttrykkene (iv) 1 + i 1 i i i 139

5 (v) 1 2 (1 + i) e i π i Eksamen i MAT 100, 12. desember 2001 Oppgave 1 i Del 1, Oppgave- og svarark Hvilket av følgende uttrykk er en forenkling av z = 1 2 ( 3 + i) e π 3 i? i i Oppgave 2 i Del 1, Oppgave- og svarark Tallmengden {z C z + z = 1} i det komplekse plan beskriver: Et punkt En linje En sirkel Underveiseksamen i MAT-INF1100, 17. oktober ) Hvilken av følgende differensligninger er lineær? x n log(x n 1 ) + x n 2 = 0 e sin xn + x n 1 = 0 x 2 n + x n 2 = 0 x n + n 1/2 x n 1 + x n 2 = 0 x n x n 1 = 0 12) Løsningen av differensligningen er gitt ved x n = (1 4 n )/2 x n = ( 1) n 2 n x n+2 x n+1 2x n = 0, x 0 = 0, x 1 = 3 140

6 x n = 3n x n = n 1 3 n x n = ( (n 1) 2 2 n 13) En differensligning har karakteristisk ligning med røtter r 1 = 3 + 2i og r 2 = 3 2i. Differensligningen er da gitt ved x n+2 2x n+1 + 2x n = 0 x n+2 x n = 0 x n+2 + x n+1 x n = 0 x n+2 6x n x n = 0 x n+2 8x n+1 + x n = 0 14) Løsningen av differensligningen x n+2 + 2x n+1 + 4x n = 0, x 0 = 0, x 1 = 3 er gitt ved x n = 4 n 1 x n = 2 n cos(2nπ/3) x n = 2 n sin(2nπ/3) x n = n 3 x n = 2 n sin(nπ/3) 18) (NB! I MAT1001 lærer vi ikke å løse slike likninger, men dere kan løse oppgaven ved å sette inn de ulike alternativene i likningen og se hvilket svar som passer.) Løsningen av den inhomogene differensligningen x n+2 4x n+1 + 4x n = 3 n der x 0 = 1 og x 1 = 1 er 141

7 x n = 2 n n x n = 2 n n( 3) n x n = (n 2 + n)/2 x n = n n x n = 3 n n2 n 19) Løsningen av den inhomogene differensligningen x n+1 2x n = n 2 der x 0 = 0 er gitt ved x n = n x n = n 2 x n = 3(2 n 1) 2n n 2 x n = 2 n 1 x n = 2 n n 2 1 Eksamen i MAT-INF1100, 12. desember 2003 Oppgave 1 i Del 2 Løs differensligningen x n+2 4x n+1 + 4x n = n + 1, n 0, med initialverdier x 0 = 0 og x 1 = 0. Underveiseksamen i MAT-INF1100, 15. oktober 2004 Oppgave 13. Hvilken av de følgende differensligningene er lineær og har konstante koeffisienter? x n+1 + nx n = 1 x n x n+1 + x n = sin(2n) 142

8 x n x n+1 + x 2 n = 0 x n+2 log(x n+1 ) + x n = 2 x n+1 = Ax n (1 x n ) der A er en konstant Oppgave 15. Vi har gitt en differensligning med initialbetingelser, 2x n+2 5x n+1 + 3x n = 0, x 0 = 1, x 1 = 3 2. Hva er løsningen? x n = n x n = 2 ( 3 2 x n = ( ) 3 n 2 ) n x n = 2 n 3 2 A sin(n) der A er en vilkårlig konstant Oppgave 17. Vi har differensligningen x n+1 x n = n. Hvilken av følgende er en partikulærløsning? x n = n 2 n! 1 2 n2 1 2 n An + B der A og B er konstanter 2 n Eksamen i MAT-INF1100, 7. desember 2004 Oppgave 3 i Del 2 Tom har et akvarium der vannet har blitt for hardt, dvs. at konsentrasjonen av salter er for stor. Denne konsentrasjonen måles i gram per liter, g/l, og har kommet opp i c 0 = 1.0g/l. Av hensyn til sine kjære dyr og planter, kan 143

9 Tom bytte alt vannet på en gang, men må nøye seg med å bytte S liter en gang i uka. Dette gjør han ved å tappe S liter vann fra akvariet og deretter fylle på med S liter vann fra springen. Vi ser bort fra fordampning etc. a) Forklar hvorfor konsentrasjonen av salter etter n uker, c n, er styrt av differenslikningen c n = ( 1 S ) c n 1 + S V V K, der K er konsentrasjonen av salt i vannet i springen og V er det totale vannvolumet i akvariet, målt i liter. b) Vi setter nå K = 0.1g/l, V = 100.0l, S = 10.0l i tillegg til c 0 = 1.0g/l. Løs differensligningen og finn et uttrykk for saltkonsentrasjonen etter n uker. Hvor mange uker går det før Tom får saltinnholdet ned til det halve av c 0, dvs. til 0.5g/l? Eksamen i MAT-INF1100, 7. desember 2005 Oppgave 1 i Del 2 Løs differensligningen x n+2 3x n+1 + 2x n = 1, x 0 = 1, x 1 = 0. Underveiseksamen i MAT-INF1100, 12. oktober 2006 Oppgave 13. Hvilken av de følgende differensligningene er lineær og har konstante koeffisienter? x n+1 + nx n = 1 x n+2 4x n+1 + x 2 n = 0 x n+2 x n+1 + x n = sin(x n ) x n+2 + 4x n+1 + x n = sin(2 n ) 144

10 x n+1 = n 2 x n Oppgave 14. Differensligningen 2x n+2 x n = n 2 har en partikulærløsning x n = n 2 x n = n 2 3n + 4 x n = n 2 x n = n 2 8n + 24 x n = n 2 4n + 12 Oppgave 15. Vi har gitt en differensligning med initialbetingelser, 2x n+2 + 2x n+1 + x n = 0, x 0 = 1, x 1 = 0. Hva er løsningen? x n = 2 n/2 (cos(3nπ/4) + sin(3nπ/4)) x n = 3 n/2 (cos(nπ/2) + sin(nπ/2)) x n = 3 n + ( 2) n /6 x n = 2 n/2 (cos(3nπ)) x n = 2 n/2 (cos(3nπ/4) + sin(3nπ/4)) Oppgave 16. (NB! I MAT1001 har vi ikke lært å løse slike likninger, men dere kan løse oppgaven ved å sette de ulike alternativene inn i likningen.) Vi har gitt en differensligning med tilhørende startverdi, x n+1 = (n + 1) 2 x n, n 1, x 1 = 1. Hva er løsningen? 145

11 x n = n! x n = n x n = n 2 x n = (n!) 2 x n = ((n 1)!) 2 Oppgave 17. (NB! I MAT1001 har vi ikke lært å løse slike likninger, men dere kan løse oppgaven ved å sette de ulike alternativene inn i likningen.) Differensligningen x n+1 3x n = 2 n, n 1 med startverdi x 1 = 1 har løsningen x n = n x n = 3 n 1 x n = 2 n 1 x n = 3 n 2 n x n = (3 n + 2 n )/5 Oppgave 19. En andreordens differensligning har den generelle løsningen x n = C 1 + C 2 8 n, n 0. Hva er differensligningen? x n+2 9x n+1 + 8x n = 0 x n+2 9x n+1 8x n = 0 x n+2 + 7x n+1 8x n = 0 x n+2 7x n+1 + 8x n = 0 x n+2 + 9x n+1 + 8x n = 0 146

12 Eksamen i MAT-INF1100, 7. desember 2006 Oppgave 1 i Del 2 Løs differensligningen x n+2 3x n+1 + 2x n = 1, x 0 = 1, x 1 = 0. Underveiseksamen i MAT-INF1100, 11. oktober 2007 Oppgave 9. Hvilken av de følgende differensligningene er lineær og homogen? x n+1 + log x n = 0 x n+2 9nx n+1 + x 2 n 2 = 0 x n+2 (n + 1)x n+1 + nx n sin(x n ) = 0 x n+1 + ( 1) n x n = 0 x n+2 4(x n+1 + 1)x n = 0 Oppgave 13. (NB! I MAT1001 har vi ikke lært å løse slike likninger, men dere kan løse oppgaven ved å sette de ulike alternativene inn i likningen.) Differensligningen x n+2 6x n+1 + 8x n = 2 n har en partikulærløsning x n = n2 n x n = n2 n 2 x n = n 2 x n = 2 n x n = n 2 2 n Oppgave 14. Vi har gitt en differensligning med initialbetingelser x n+2 5x n+1 + 6x n = 0, x 0 = 0, x 1 =

13 Hva er løsningen? x n = 3 n x n = sin(nπ/2) x n = 3 n + 2 n+1 x n = 3 n 2 n x n = 1 Oppgave 16. Differensligningen med startverdi x 0 = 0 har løsningen x n = n x n = 2n + n x n = ( 2)n + n x n = 2 n + n x n = (3 n 2 n ) + n x n+1 + 2x n = 3n, n En lineær, homogen, andreordens differensligning med konstante koeffisienter, har den generelle løsningen Hva er differensligningen? x n+2 9x n+1 + 8x n = 0 x n+2 9x n+1 8x n = 0 x n+2 6x n+1 + 9x n = 0 x n+2 + 9x n+1 + 6x n = 0 x n+2 4x n+1 + 3x n = n x n = (C 1 + C 2 n)3 n, n

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT-INF 1100 Modellering og beregninger del 1 Eksamensdag: Tirsdag 7. desember 2004 Tid for eksamen: 14:30 17:30 Oppgavesettet

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT-INF 11 Modellering og beregninger. Eksamensdag: Torsdag 12. oktober 26. Tid for eksamen: 9: 11:. Oppgavesettet er på 8 sider.

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT-INF 1100 Modellering og beregninger. Eksamensdag: Fredag 7. januar 2005. Tid for eksamen: 14:30 17:30. Oppgavesettet er på

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT-INF Modellering og beregninger. Eksamensdag: Fredag. oktober 28. Tid for eksamen: 5: 7:. Oppgavesettet er på 6 sider. Vedlegg:

Detaljer

Løsningsforslag til prøveunderveiseksamen i MAT-INF 1100, H-03

Løsningsforslag til prøveunderveiseksamen i MAT-INF 1100, H-03 Løsningsforslag til prøveunderveiseksamen i MAT-INF 1100, H-03 Denne prøveeksamenen har samme format som den virkelige underveiseksamenen, og inneholder oppgaver av samme type og vanskelighetsgrad. De

Detaljer

Prøveunderveiseksamen i MAT-INF 1100, H-03

Prøveunderveiseksamen i MAT-INF 1100, H-03 Prøveunderveiseksamen i MAT-INF 1100, H-03 Denne prøveeksamenen har samme format som den virkelige underveiseksamenen, og inneholder oppgaver av samme type og vanskelighetsgrad. De 15 første oppgavene

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Deleksamen i: MAT-INF 1100 Modellering og beregninger. Eksamensdag: Onsdag 12. oktober 2016. Tid for eksamen: 15:00 17:00. Oppgavesettet

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT-INF 1100 Modellering og beregninger Eksamensdag: 15. oktober 004 Tid for eksamen: 11:00 13:00 Oppgavesettet er på 8 sider.

Detaljer

UNIVERSITETET I BERGEN

UNIVERSITETET I BERGEN LØSNINGSFORSLAG UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. H.007. Eksamen i emnet MAT131 - Differensialligninger I 8. september 007 kl. 0900-100 Tillatte hjelpemidler: Ingen (heller

Detaljer

y(x) = C 1 e 3x + C 2 xe 3x.

y(x) = C 1 e 3x + C 2 xe 3x. NTNU Institutt for matematiske fag TMA4115 Matematikk eksamen 4 juni 9 Løsningsforslag 1 Innsatt for z = x + iy kan ligningen skrives x + 1 + i(y ) = x 1 + i(y + ) Ved å benytte at z = a + b for et kompleks

Detaljer

Emne 11 Differensiallikninger

Emne 11 Differensiallikninger Emne 11 Differensiallikninger Differensiallikninger er en dynamisk beskrivelse av et system eller en prosess, basert på de balanselikningene vi har satt opp for prosessen. (Matematisk modellering). Vi

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Deleksamen i: MAT-INF 1100 Modellering og beregninger. Eksamensdag: Onsdag 7. oktober 2015. Tid for eksamen: 15:00 17:00. Oppgavesettet

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN, MAT 1001, HØSTEN (x + 1) 2 dx = u 2 du = u 1 = (x + 1) 1 = 1 x + 1. ln x

LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN, MAT 1001, HØSTEN (x + 1) 2 dx = u 2 du = u 1 = (x + 1) 1 = 1 x + 1. ln x LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN, MAT 00, HØSTEN 06 DEL.. Hvilken av funksjonene gir en anti-derivert for f(x) = (x + )? Løsning. Vi setter u = x +, som gir du = dx, (x + ) dx = u du = u = (x + ) = x + a) x+ b)

Detaljer

Løsningsforslag. Oppgave 1 Gitt matrisene ] [ og C = A = 4 1 B = 2 1 3

Løsningsforslag. Oppgave 1 Gitt matrisene ] [ og C = A = 4 1 B = 2 1 3 Prøve i Matematikk BYFE DAFE Dato: 27. mai 26 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Løsningsforslag Oppgave Gitt matrisene [ 2 A 4 B [ 2 og C [ 2

Detaljer

TMA4123/TMA4125 Matematikk 4M/4N Vår 2013

TMA4123/TMA4125 Matematikk 4M/4N Vår 2013 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4123/TMA4125 Matematikk 4M/4N Vår 2013 Løsningsforslag Øving 4 1 a) Bølgeligningen er definert ved u tt c 2 u xx = 0. Sjekk

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT-INF 1100 Modellering og beregninger Eksamensdag: Torsdag 10 januar 2008 Tid for eksamen: 9:00 12:00 Oppgavesettet er på 6

Detaljer

MAT UiO. 10. mai Våren 2010 MAT 1012

MAT UiO. 10. mai Våren 2010 MAT 1012 MAT Våren UiO. / 7 Betrakt et system x = A x der A M n (R) er diagonaliserbar. Vi har sett at systemet kan løses ved frakoblingsmetoden: Vi finner da P = [v v n ] (inverterbar) og D (diagonal) som diagonaliserer

Detaljer

Difflikninger med løsningsforslag.

Difflikninger med løsningsforslag. Repetisjon i Matematikk : Difflikninger med løsningsforslag. Høgskolen i Gjøvik Avdeling TØL Eksamensrepetisjon REA4 Matematikk Difflikninger med løsningsforslag. Difflikninger med løsningsforslag. Dette

Detaljer

MAT UiO mai Våren 2010 MAT 1012

MAT UiO mai Våren 2010 MAT 1012 200 MAT 02 Våren 200 UiO 0-2. 200 / 48 200 Betrakt et system x = A x der A M n (R) er diagonaliserbar. Vi har sett at systemet kan løses ved frakoblingsmetoden: Vi finner da P = [v v n ] (inverterbar)

Detaljer

TMA4110 Matematikk 3 Høst 2010

TMA4110 Matematikk 3 Høst 2010 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4110 Matematikk 3 Høst 010 Løsningsforslag Øving 4 Fra Kreyszig (9. utgave) avsnitt.7 3 Vi skal løse ligningen (1) y 16y

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT-INF 1100 Modellering og beregninger Eksamensdag: 12. desember 2003 Tid for eksamen: 9:00 12:00 Oppgavesettet er på 7 sider.

Detaljer

=cos. =cos 6 + i sin 5π 6 = =cos 2 + i sin 3π 2 = i.

=cos. =cos 6 + i sin 5π 6 = =cos 2 + i sin 3π 2 = i. Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 9 L SNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I SIF59 MATEMATIKK Bokmål Fredag. desember Oppgave a) Vi har z = i r e iθ = e i π r =,

Detaljer

Tallfølger er noe av det første vi treffer i matematikken, for eksempel når vi lærer å telle.

Tallfølger er noe av det første vi treffer i matematikken, for eksempel når vi lærer å telle. Kapittel 1 Tallfølger 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,... Det andre temaet i kurset MAT1001 er differenslikninger. I en differenslikning er den ukjente en tallfølge. I dette kapittelet skal vi legge grunnlaget

Detaljer

MA1201 Lineær algebra og geometri Løsningsforslag for eksamen gitt 3. desember 2007

MA1201 Lineær algebra og geometri Løsningsforslag for eksamen gitt 3. desember 2007 Norges teknisknaturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA101 Lineær algebra og geometri Løsningsforslag for eksamen gitt 3 desember 007 Oppgave 1 a) Vi ser på ligningssystemet x +

Detaljer

Vi skal nå lære hvordan vi kan finne en formel for å bestemme det n te elementet i en tallfølge av 2. grad.

Vi skal nå lære hvordan vi kan finne en formel for å bestemme det n te elementet i en tallfølge av 2. grad. Differensligninger Vi startet med en repetisjon om løsning av. ordens differensligninger.. ordens differensligning. a n = c 1 a n-1 + c a n-, der c 1 og c er konstanter. Vi ser her at neste ledd i følgen

Detaljer

UNIVERSITETET I BERGEN

UNIVERSITETET I BERGEN BOKMÅL MAT - Høst 03 UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i emnet MAT Grunnkurs i Matematikk I Mandag 6. desember 03, kl. 09- Tillatte hjelpemidler: Lærebok ( Calculus

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Ny/Utsatt eksamen i: MAT1001 Matematikk 1 Eksamensdag: Torsdag 15 januar 2015 Tid for eksamen: 14:30 18:30 Oppgavesettet er på 5 sider Vedlegg:

Detaljer

3.1 Første ordens lineære difflikninger. y + f(x)y = g(x) (3.1)

3.1 Første ordens lineære difflikninger. y + f(x)y = g(x) (3.1) Kapittel 3 Differensiallikninger 3.1 Første ordens lineære difflikninger Definisjon 3.1 En første ordens lineær difflikning er en likning på formen y + f(x)y = g(x) (3.1) der f og g er kjente funksjoner.

Detaljer

Eksamensoppgavehefte 2. MAT1012 Matematikk 2: Mer lineær algebra

Eksamensoppgavehefte 2. MAT1012 Matematikk 2: Mer lineær algebra Eksamensoppgavehefte 2 MAT1012 Matematikk 2: Mer lineær algebra Matematisk institutt, UiO, våren 2010 I dette heftet er det samlet et utvalg av tidligere eksamensoppgaver innenfor temaet Lineær algebra

Detaljer

differensiallikninger-oppsummering

differensiallikninger-oppsummering Kapittel 12 differensiallikninger-oppsummering I vår verden endres størrelsene og verdiene som populasjon, vekt, lengde, posisjon, hastighet, temperatur ved tiden eller ved en annen uavhengig variabel.

Detaljer

EKSAMEN I TMA4110 MATEMATIKK 3 Bokmål Mandag 6. juni 2011 løsningsforslag

EKSAMEN I TMA4110 MATEMATIKK 3 Bokmål Mandag 6. juni 2011 løsningsforslag Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 6 EKSAMEN I TMA4 MATEMATIKK 3 Bokmål Mandag 6. juni løsningsforslag Hjelpemidler (kode C): Enkel kalkulator (HP3S eller

Detaljer

MAT Vår Oblig 2. Innleveringsfrist: Fredag 23.april kl. 1430

MAT Vår Oblig 2. Innleveringsfrist: Fredag 23.april kl. 1430 MAT 00 Vår 00 Oblig Innleveringsfrist: Fredag 3.april kl. 430 Oppgaven leveres stiftet med forsideark på ekspedisjonskontoret til Matematisk institutt i 7. etg. i Niels Henrik Abels hus innen fristen.

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT-INF 1100 Modellering og beregninger. Eksamensdag: Mandag 5. desember 2011. Tid for eksamen: 9:00 13:00. Oppgavesettet er på

Detaljer

Emne 9. Egenverdier og egenvektorer

Emne 9. Egenverdier og egenvektorer Emne 9. Egenverdier og egenvektorer Definisjon: Vi starter med en lineær transformasjon fra til, hvor Dersom, hvor, sier vi at: er egenverdiene til A er tilhørende egenvektorer. betyr at er et reelt eller

Detaljer

Løsningsforslag Prøveeksamen i MAT-INF 1100, Høsten 2003

Løsningsforslag Prøveeksamen i MAT-INF 1100, Høsten 2003 Løsningsforslag Prøveeksamen i MAT-INF 1100, Høsten 003 Denne prøveeksamenen har samme format som den virkelige eksamenen, og inneholder oppgaver av samme type og vanskelighetsgrad. Første del av eksamen

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT-INF 00 Modellering og beregninger. Eksamensdag: Torsdag 6. desember 202. Tid for eksamen: 9:00 3:00. Oppgavesettet er på 8

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Ny/utsatt eksamen i Eksamensdag: 9. august 2. Tid for eksamen: 9 2. Oppgavesettet er på 8 sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler: MAT Kalkulus

Detaljer

x n+1 rx n = 0. (2.2)

x n+1 rx n = 0. (2.2) Kapittel 2 Første ordens lineære differenslikninger 2.1 Homogene likninger Et av de enkleste eksemplene på en følge fås ved å starte med et tall og for hvert nytt ledd multiplisere det forrige leddet med

Detaljer

Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt.

Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Oppgave Vi denerer matrisene A, B, og C som A = [ ] 3, B = 5 9, C = 3 3. a) Regn ut følgende matrisesummer og matriseprodukter, om mulig. Dersom

Detaljer

Differenslikninger. Inger Christin Borge. Matematisk institutt, UiO. Kompendium 2 i MAT1001 Matematikk 1. Våren 2009

Differenslikninger. Inger Christin Borge. Matematisk institutt, UiO. Kompendium 2 i MAT1001 Matematikk 1. Våren 2009 Differenslikninger Kompendium 2 i MAT1001 Matematikk 1 Våren 2009 Inger Christin Borge Matematisk institutt, UiO Forord Trilogien fortsetter, og du tar nå fatt på Kompendium 2 i MAT1001. Her skal vi ta

Detaljer

Numerisk løsning av differensiallikninger Eulers metode,eulers m

Numerisk løsning av differensiallikninger Eulers metode,eulers m Numerisk løsning av differensiallikninger Eulers metode, Eulers midtpunktmetode, Runge Kuttas metode, Taylorrekkeutvikling* og Likninger av andre orden MAT-INF1100 Diskretsering Utgangspunkt: differensiallikning

Detaljer

EKSAMEN I MATEMATIKK 3 (TMA4110)

EKSAMEN I MATEMATIKK 3 (TMA4110) Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 7 EKSAMEN I MATEMATIKK 3 (TMA) Tirsdag 3. november Tid: 9: 3: LØSNINGSFORSLAG MED KOMMENTARER Oppgave I denne oppgaven

Detaljer

UNIVERSITET I BERGEN

UNIVERSITET I BERGEN UNIVERSITET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet BOKMÅL Løsningsforslag eksamen MAT - Lineær algebra H Med forbehold om skrivefeil. Oppgave. Betrakt A = 6 5, b = 6 b (a) (b) Finn den reduserte

Detaljer

Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt.

Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Oppgave Vi denerer matrisene A, B, og C som A = [ ] 3, B = 5 9, C = 3 3. a) Regn ut følgende matrisesummer og matriseprodukter, om mulig. Dersom

Detaljer

EKSAMENSOPPGAVER FOR TMA4110/TMA4115 MATEMATIKK 3

EKSAMENSOPPGAVER FOR TMA4110/TMA4115 MATEMATIKK 3 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 25 2. januar 25 EKSAMENSOPPGAVER FOR TMA4/TMA45 MATEMATIKK 3 Oppgave A- a) Finn kvadratrøttene til det komplekse tallet

Detaljer

UNIVERSITETET I BERGEN

UNIVERSITETET I BERGEN BOKMÅL UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. V.008. Løsningsforslag til eksamen i emnet MAT131 - Differensialligninger I 8. mai 008 kl. 0900-1400 Vi har ligningen der α er

Detaljer

MA1410: Analyse - Notat om differensiallikninger

MA1410: Analyse - Notat om differensiallikninger Høgskolen i Agder Avdeling for realfag MA40: Analyse - Notat om differensiallikninger Dato: Høsten 2000 Merknader: Dette notatet kommer i tillegg til 4.2 og 6. i læreboka. Ma 40: Analyse skal inneholde

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen M001 Våren 2002

Løsningsforslag Eksamen M001 Våren 2002 Løsningsforslag Eksamen M Våren Oppgave f(x) = (x )e x Bruker produktregelen i derivasjonen f (x) = e x + (x ) (e x ) For å derivere e x velges kjernen u = x, og vi får (e x ) = e u. f (x) = e x + (x )

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen M100 Høsten 1998

Løsningsforslag Eksamen M100 Høsten 1998 Løsningsforslag Eksamen M00 Høsten 998 Oppgave { x y = f(x) = + x + a hvis x ln( + x ) x hvis < x lim f(x) = f( ) = + a = a x lim f(x) = ln( + x ( ) ) ( ) = ln + For at f(x) skal være kont. i x = må lim

Detaljer

Forelesningsplan M 117

Forelesningsplan M 117 Forelesningsplan M 117 Innledning Kan du gi et eksempel på et fenomen eller en prosess som er lineær? Har du eksempel på ikke-lineære fenomen? Hva er henholdsvis en ordinær (ODL) og en partiell differensialligning

Detaljer

Lineære diffligning(ssystem)er i ECON 4140 V2017: Hva er pensum, hva er forelest, og hva er vesentlig.

Lineære diffligning(ssystem)er i ECON 4140 V2017: Hva er pensum, hva er forelest, og hva er vesentlig. Lineære diffligning(ssystem)er i ECON 4140 V2017: Hva er pensum, hva er forelest, og hva er vesentlig. (If you need an English version, please notify me. Nils) Jeg har blitt gjort oppmerksom på at forelesningsplanen

Detaljer

Løsningsforslag for eksamen i Matematikk 3 - TMA4115

Løsningsforslag for eksamen i Matematikk 3 - TMA4115 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag for eksamen i Matematikk 3 - TMA4115 Vår 1 1 a) La z = x iy. Da er Re z = x og z = x y. Siden y er et reelt

Detaljer

Løsningsforslag. og B =

Løsningsforslag. og B = Prøve i Matte EMFE DAFE ELFE BYFE Dato: august 25 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Oppgave a) Gitt matrisene A = 2 3 2 4 2 Løsningsforslag og

Detaljer

Institutt for Samfunnsøkonomi

Institutt for Samfunnsøkonomi Institutt for Samfunnsøkonomi Løsninger i: ELE 379 Matematikk valgfag Dato: 6.6., 9: 4: Tillatte hjelpemidler: Alle hjelpemidler + Eksamenskalkulator: TEXAS INSTRUMENTS BA II Plus TM Innføringsark: Ruter

Detaljer

Simulering av differenslikninger

Simulering av differenslikninger Forelesning uke 37, 2007 Løsning av differenslikninger i formel Mulig for lineære likninger med konst. koeff. og enkelte inhomogeniteter. Eksempel: (b, c er konstante) x n+2 + bx n+1 + cx n = cos(n), x

Detaljer

Tidligere eksamensoppgaver

Tidligere eksamensoppgaver Tillegg B Tidligere eksamensoppgaver Her følger et kronologisk utvalg av tidligere ekamensoppgaver innenfor temaet lineær algebra gitt i tilsvarende kurs som MAT1001 ved UiO. Utvalget er gjort med hensyn

Detaljer

13 Oppsummering til Ch. 5.1, 5.2 og 8.5

13 Oppsummering til Ch. 5.1, 5.2 og 8.5 3 Oppsummering til Ch. 5. 5. og 8.5 3. Motivasjon Det er veldig viktig å kunne beregne funksjonsverdier f (A) for kvadratiske matriser A. I kalkulus (teori av differensiallikninger) er det viktig å beregne

Detaljer

EKSAMEN I MATEMATIKK 1000

EKSAMEN I MATEMATIKK 1000 EKSAMEN I MATEMATIKK 1000 Oppgave 1 a) Finn den deriverte av disse funksjonene: f(x) = x 3 e 5x og g(x) = ln(tan(x)) + x 3. b) Finn de følgende ubestemte integralene: i) (x 3 + xe x2 ) dx og ii) cos 2

Detaljer

Fasit eksamen i MAT102 4/6 2014

Fasit eksamen i MAT102 4/6 2014 Fasit eksamen i MAT /6. (a Løs ligningssstemene. Svar: i ( x i = 3x + = 7 x + = ( 6, ii x z ii = x + z = 3x + 6 + z = +. er fri. (b Ved å bruke MATLAB-kommandoen rref på totalmatrisen til ligningssstemet

Detaljer

12 Diagonalisering av matriser og operatorer (Ch. 5.1, 5.2 og 8.5)

12 Diagonalisering av matriser og operatorer (Ch. 5.1, 5.2 og 8.5) Diagonalisering av matriser og operatorer (Ch 5, 5 og 85) Motivasjon Det er veldig viktig å kunne beregne funksjonsverdier f (A) for kvadratiske matriser A I kalkulus (teori av differensiallikninger) er

Detaljer

Løsningsforslag til utvalgte oppgaver i kapittel 10

Løsningsforslag til utvalgte oppgaver i kapittel 10 Løsningsforslag til utvalgte oppgaver i kapittel 0 I kapittel 0 får du trening i å løse ulike typer differensialligninger, og her får du bruk for integrasjonsteknikkene du lærte i forrige kapittel. Men

Detaljer

2 3 2 t der parameteren t kan være et vilkårlig reelt tall. i) Finn determinanten til M. M =

2 3 2 t der parameteren t kan være et vilkårlig reelt tall. i) Finn determinanten til M. M = Oppgave a) Løs likningssystemet x + 3x + x 3 = x + x 3 = 0 3x + x + 3x 3 = 8 Svar: Rekkereduksjon av totalmatrisen gir 0 0 0 0 7 0 0 0 0 Det betyr at løsningen er gitt ved x +x 3 = 0, x = 7 og x 3 en fri

Detaljer

Rekurrens. MAT1030 Diskret matematikk. Rekurrens. Rekurrens. Eksempel. Forelesning 16: Rekurrenslikninger. Dag Normann

Rekurrens. MAT1030 Diskret matematikk. Rekurrens. Rekurrens. Eksempel. Forelesning 16: Rekurrenslikninger. Dag Normann MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 16: likninger Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo INGEN PLENUMSREGNING 6/3 og 7/3 5. mars 008 MAT1030 Diskret matematikk 5. mars 008 Mandag ga

Detaljer

Eksamensoppgave MAT juni 2010 (med løsningsforslag)

Eksamensoppgave MAT juni 2010 (med løsningsforslag) Eksamensoppgave MAT-4 juni (med løsningsforslag) Contents OPPGAVE OPPGAVE 4 OPPGAVE 5 4 OPPGAVE 6 5 Fasit 7 5 Oppgave 7 5 Oppgave 7 5 Oppgave 8 54 Oppgave 8 6 Løsningsforslag 9 6 Oppgave 9 6 Oppgave 6

Detaljer

TMA4123/TMA4125 Matematikk 4M/4N Vår 2013

TMA4123/TMA4125 Matematikk 4M/4N Vår 2013 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA41/TMA415 Matematikk 4M/4N Vår 1 Løsningsforslag Øving 1 Skriv om følgende trigonometriske funksjoner til fourierrekker ved

Detaljer

Universitet i Bergen. Eksamen i emnet MAT121 - Lineær algebra

Universitet i Bergen. Eksamen i emnet MAT121 - Lineær algebra Universitet i Bergen Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Bokmål Eksamen i emnet MAT2 - Lineær algebra Onsdag 29 mai, 20, kl. 09.00-4.00 Tillatte hjelpemidler. kalkulator, i samsvar med fakultetets

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO. Løsningsforslag

UNIVERSITETET I OSLO. Løsningsforslag UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Deleksamen i: MAT00 Kalkulus Eksamensdag: Fredag 4. oktober 20 Tid for eksamen: 5.00 7.00 Oppgavesettet er på 8 sider. Vedlegg: Tillatte

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT-INF 11 Modellering og beregninger. Eksamensdag: Fredag 7. desember 27. Tid for eksamen: 9: 12:. Oppgavesettet er på 8 sider.

Detaljer

Løsninger for eksamen i MAT Lineær algebra og M102 - Lineær algebra, fredag 28. mai 2004, Oppgave 1. M s = = 1 2 (cofm 2) T.

Løsninger for eksamen i MAT Lineær algebra og M102 - Lineær algebra, fredag 28. mai 2004, Oppgave 1. M s = = 1 2 (cofm 2) T. Løsninger for eksamen i MAT - Lineær algebra og M - Lineær algebra, fredag 8. mai 4, (a) Finn determinanten til matrisen M s = Oppgave s uttrykt ved s, og bruk dette til å avgjøre for hvilke s matrisen

Detaljer

Differensiallikninger definisjoner, eksempler og litt om løsning

Differensiallikninger definisjoner, eksempler og litt om løsning Differensiallikninger definisjoner, eksempler og litt om løsning MAT-INF1100 Differensiallikninger i MAT-INF1100 Definsjon, litt om generelle egenskaper Noen få anvendte eksempler Teknikker for løsning

Detaljer

FORELESNINGER I OPTIMAL KONTROLLTEORI (MAT 2310)

FORELESNINGER I OPTIMAL KONTROLLTEORI (MAT 2310) FORELESNINGER I OPTIMAL KONTROLLTEORI (MAT 2310) TERJE SUND Innledning I matematisk optimering søker en å bestemme maksimums- og minimumspukter for funksjoner som avhenger av reelle variable og av andre

Detaljer

Løs likningssystemet ved å få totalmatrisen på redusert trappeform

Løs likningssystemet ved å få totalmatrisen på redusert trappeform Emne: IRF 10014 Matematikk 1. Lærer: Øystein Holje og Kent Ryne Grupper: Diverse. Dato: 04.1.015 Tid: 9.00 13.00. Antall oppgavesider:. Antall vedleggsider: 3, formelark. Sensurfrist: Hjelpemidler: Godkjent

Detaljer

6.8 Anvendelser av indreprodukter

6.8 Anvendelser av indreprodukter 6.8 Anvendelser av indreprodukter Vektede minste kvadraters problemer Anta at vi approksimerer en vektor y = (y 1,..., y m ) R m med ŷ = (ŷ 1,..., ŷ m ) R m. Et mål for feilen vi da gjør er y ŷ, der betegner

Detaljer

3x + 2y 8, 2x + 4y 8.

3x + 2y 8, 2x + 4y 8. Oppgave En møbelfabrikk produserer bord og stoler Produksjonen av møbler skjer i to avdelinger, avdeling I og avdeling II Alle møbler må innom både avdeling I og avdeling II Det å produsere et bord tar

Detaljer

Prøve i Matte 1000 BYFE DAFE 1000 Dato: 03. mars 2016 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark. Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt.

Prøve i Matte 1000 BYFE DAFE 1000 Dato: 03. mars 2016 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark. Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Prøve i Matte 1 BYFE DAFE 1 Dato: 3. mars 216 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. LØSNINGSFORSLAG Oppgave 1 Gitt matrisene A = [ 8 3 6 2 ] [ og

Detaljer

Øving 6 Tallfølger og differenslikninger

Øving 6 Tallfølger og differenslikninger Øving Tallfølger og differenslikninger Teori Se også Mathematicakompendiet kap. En tallfølge er en liste av elementer satt opp i en bestemt rekkefølge { a[0]a[]a[]...a[n]... } = {a[n]} 0. Vi kaller elementet

Detaljer

Løsningsforslag. og B =

Løsningsforslag. og B = Prøve i Matte Dato: vår 5 ENDRE Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver ar lik vekt. Oppgave a Gitt matrisene A regn ut A + B, AB. Løsningsforslag 4 og B 7 5 Vi

Detaljer

MAT Prøveeksamen 29. mai - Løsningsforslag

MAT Prøveeksamen 29. mai - Løsningsforslag MAT0 - Prøveeksamen 9 mai - Løsningsforslag Oppgave Sett A = 4 4 0 x 0, x = x, b =, x 0 og la v, v, v betegne kolonnevektorene til A a) Skriv A x = y som en vektorlikning x Svar : Siden A x = [v v v ]

Detaljer

Programmering i Java med eksempler

Programmering i Java med eksempler Simulering av differenslikninger Programmering i Java med eksempler Forelesning uke 39, 2006 MAT-INF1100 Differenslikn. p. 1 Løsning av differenslikninger i formel Mulig for lineære likninger med konst.

Detaljer

1 Mandag 1. februar 2010

1 Mandag 1. februar 2010 Mandag. februar 200 I dag skal vi fortsette med rekkeutviklinger som vi begynte med forrige uke. Vi skal se på litt mer generell rekker og vurdere når de konvergerer, bl.a. gi et enkelt kriterium. Dette

Detaljer

Grunnleggende notasjon ℕ = 1, 2, 3, 4, 5, 6, ℤ =, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,

Grunnleggende notasjon ℕ = 1, 2, 3, 4, 5, 6, ℤ =, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, Grunnleggende notasjon ℕ,, 3, 4, 5, 6, ℤ, 3,,, 0,,, 3, ℝ 𝑎𝑙𝑙𝑒 𝑟𝑒𝑒𝑙𝑒 𝑡𝑎𝑙𝑙 ℚ 𝑎𝑙𝑙𝑒 𝑟𝑎𝑠𝑗𝑜𝑛𝑎𝑙𝑒 𝑡𝑎𝑙𝑙 𝑎 𝑎, ℤ, 0 Induksjonsprinsippet Anta at for hver 𝑛 ℕ har vi gitt et utsagn 𝑃. Anta videre at vi vet at følgende

Detaljer

Lineære ligningssystemer. Forelesning, TMA4110 Torsdag 17/9. Lineære ligningssystemer (forts.) Eksempler

Lineære ligningssystemer. Forelesning, TMA4110 Torsdag 17/9. Lineære ligningssystemer (forts.) Eksempler Lineære ligningssystemer Generell form; m ligninger i n ukjente, m n-system: Forelesning, TMA4110 Torsdag 17/9 Martin Wanvik, IMF MartinWanvik@mathntnuno a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1

Detaljer

R: 0, , = 6000 D : 0, , = 4000 La v n = angi fordelingen etter n år (dvs. a b n stemmer for R og

R: 0, , = 6000 D : 0, , = 4000 La v n = angi fordelingen etter n år (dvs. a b n stemmer for R og EGENVERDIER FOR MATRISER a Motiverende eksempel En by i USA har 0000 innbyggere som stemmer ved valget hvert år. I dag stemmer 8000 for R og 000 for D. Hvert år går 30% fra R til D og 0% fra D til R. Hva

Detaljer

Høgskolen i Oslo og Akershus. 1 (x 2 + 1) 1/2 + x 1 2 (x2 + 1) 1/2 (x 2 + 1) = x 2x 2 x = = 3 ln x sin x

Høgskolen i Oslo og Akershus. 1 (x 2 + 1) 1/2 + x 1 2 (x2 + 1) 1/2 (x 2 + 1) = x 2x 2 x = = 3 ln x sin x Løysingsforslag til eksamen i matematikk, mai 4 Oppgåve a) i) ii) f(x) x x + x(x + ) / ( f (x) x (x + ) / + x (x + ) /) g(x) ln x sin x x (x + ) / + x (x + ) / (x + ) x + + x x x + x + + x x + x + x +

Detaljer

Differenslikninger. Inger Christin Borge. Matematisk institutt, UiO. Kompendium 2 i MAT1001 Matematikk 1. Våren 2009

Differenslikninger. Inger Christin Borge. Matematisk institutt, UiO. Kompendium 2 i MAT1001 Matematikk 1. Våren 2009 Differenslikninger Kompendium 2 i MAT1001 Matematikk 1 Våren 2009 Inger Christin Borge Matematisk institutt, UiO Forord Trilogien fortsetter, og du tar nå fatt på Kompendium 2 i MAT1001. Her skal vi ta

Detaljer

Fasit MAT102 juni 2016

Fasit MAT102 juni 2016 Fasit MAT02 juni 206. (a) Finn egenverdiene og egenvektorene til matrisen ( ) 6 A = 2 7 Svar: λ = 8 og ( ) x = y y ( ) /2, λ = 5 og ( ) x = y y ( ) for alle y 0. (b) Finn den generelle løsningen på systemet

Detaljer

Sammendrag R2. www.kalkulus.no. 31. mai 2009

Sammendrag R2. www.kalkulus.no. 31. mai 2009 Sammendrag R2 www.kalkulus.no 31. mai 2009 1 1 Trigonometri Definisjon av sinus og cosinus Sirkelen med sentrum i origo og radius 1 kalles enhetssirkelen. La v være en vinkel i grunnstilling, og la P være

Detaljer

Vær OBS på at svarene på mange av oppgavene kan skrives på flere ulike måter!

Vær OBS på at svarene på mange av oppgavene kan skrives på flere ulike måter! Vær OBS på at svarene på mange av oppgavene kan skrives på flere ulike måter! Oppgave.. a x y = x + y = r r r +r r x y = y fri x y = y fri Vi får én fri variabel, og løsningens har følgelig dimensjon.

Detaljer

Oppgaver til seksjon med fasit

Oppgaver til seksjon med fasit Oppgaver til seksjon.6-. med fasit Oppgaver til seksjon.6. Skriv b som en lineærkombinasjon av a og a når a = ( ( a = og b =.. Skriv b som en lineærkombinasjon av a, a og a når a = a =, a = og b = 5. (.

Detaljer

Differenslikninger. Inger Christin Borge. Matematisk institutt, UiO. Kompendium 2 i MAT1001 Matematikk 1. Høsten 2008

Differenslikninger. Inger Christin Borge. Matematisk institutt, UiO. Kompendium 2 i MAT1001 Matematikk 1. Høsten 2008 Differenslikninger Kompendium 2 i MAT1001 Matematikk 1 Høsten 2008 Inger Christin Borge Matematisk institutt, UiO Forord Trilogien fortsetter, og du tar nå fatt på Kompendium 2 i MAT1001. Her skal vi ta

Detaljer

Systemer av første ordens lineære differensiallikninger

Systemer av første ordens lineære differensiallikninger Kapittel 4 Systemer av første ordens lineære differensiallikninger Differensiallikninger, forkortet difflikninger, er svært viktige, og dukker opp nærmest overalt i anvendelser. En difflikning er en likning

Detaljer

16 Ortogonal diagonalisering

16 Ortogonal diagonalisering Ortogonal diagonalisering Ortogonale matriser Definisjon (Def 7) En n n matrise A kalles ortogonal dersom den er invertibel og A A T Denne betingelsen er ekvivalent til at der I n er n n identitesmatrisen

Detaljer

Manual for wxmaxima tilpasset R2

Manual for wxmaxima tilpasset R2 Manual for wxmaxima tilpasset R Om wxmaxima wxmaxima er en utvidet kalkulator som i tillegg til å regne ut alt en vanlig kalkulator kan regne ut, også regner symbolsk. Det vil si at den kan forenkle uttrykk,

Detaljer

Forelesning 14 Systemer av dierensiallikninger

Forelesning 14 Systemer av dierensiallikninger Forelesning 14 Systemer av dierensiallikninger Eivind Eriksen 9. april 010 Dierensiallikninger En dierensiallikning inneholder en avhengig variabel (typisk y ) og en uavhengig variabel (typisk x), som

Detaljer

Løsningsforslag eksamen 18/ MA1102

Løsningsforslag eksamen 18/ MA1102 Løsningsforslag eksamen 8/5 009 MA0. Dette er en alternerende rekke, der leddene i størrelse går monotont mot null, så alternerenderekketesten gir oss konvergens. (Vi kan også vise konvergens ved å vise

Detaljer

Optimal kontrollteori

Optimal kontrollteori Optimal kontrollteori 1. og 2. ordens differensialligninger Klassisk variasjonsregning Optimal kontrollteori er en utvidelse av klassisk variasjonsregning, som ble utviklet av Euler og Lagrange. Et vanlig

Detaljer

EKSAMEN. Om eksamen. EMNE: MA2610 FAGLÆRER: Svein Olav Nyberg, Morten Brekke. Klasser: (div) Dato: 18. feb Eksamenstid:

EKSAMEN. Om eksamen. EMNE: MA2610 FAGLÆRER: Svein Olav Nyberg, Morten Brekke. Klasser: (div) Dato: 18. feb Eksamenstid: . EKSAMEN EMNE: MA61 FAGLÆRER: Svein Olav Nyberg, Morten Brekke Klasser: (div) Dato: 18. feb. 4 Eksamenstid: 9 1 Eksamensoppgaven består av følgende: Antall sider (ink. forside): 8 Antall oppgaver: 5 Antall

Detaljer

MAT Grublegruppen Uke 37

MAT Grublegruppen Uke 37 MAT00 - Grublegruppen Uke 37 Jørgen O. Lye Bemerkning: Mye av stoffet i dette notatet er å finne i Kalkulus, kapittel. Dette kapittelet er leselig etter man vet hva følger er, men er ikke pensum før i

Detaljer

I et eksperiment er det målt følgende sammenheng mellom to størrelser x og y. x Y = ax + b:

I et eksperiment er det målt følgende sammenheng mellom to størrelser x og y. x Y = ax + b: OPPGAVE I et eksperiment er det målt følgende sammenheng mellom to størrelser x og y. x 7 74 546 y 48 6 45 a) Plott Y ln y mot X ln x i et rettvinklet koordinatsystem. ) Finn en lineær sammenheng mellom

Detaljer

Fasit til eksamen i emnet MAT102 - Brukerkurs i matematikk II Mandag 21.september 2015

Fasit til eksamen i emnet MAT102 - Brukerkurs i matematikk II Mandag 21.september 2015 Fasit til eksamen i emnet MAT02 - Brukerkurs i matematikk II Mandag 2.september 205 Fasit. (a) Løs ligningssystemene. i) 5x + 7y = 4 3x + 2y = ii) 3x + 4y + z = 2 2x + 3y + 3z = 7 Svar: i) x = 85/, y =

Detaljer