STK1100 våren Betinget sannsynlighet og uavhengighet. Vi trenger en definisjon av betinget sannsynlighet! Eksempel 1

Størrelse: px

Begynne med side:

Download "STK1100 våren Betinget sannsynlighet og uavhengighet. Vi trenger en definisjon av betinget sannsynlighet! Eksempel 1"

Helle Bjerke
7 år siden
Visninger:

STK00 våren 07 Betinget sannsynlighet og uavhengighet Esempel Vi vil først ved hjelp av et esempel se intuitivt på hva

5 i læreboa Ørnulf Borgan Matematis institutt Universitetet i Oslo Vi treer tilfeldig ett ort og så ett ort til: Se på

Hvis A har inntruffet er sannsynligheten for B li /5. Dette er den betingede sannsynligheten for B gitt A.

Det er ie alltid lie enelt: Hva er den betingede sannsynligheten for at begge ortene er røde gitt at minst ett av dem

1 STK00 våren 07 Betinget sannsynlighet og uavhengighet Esempel Vi vil først ved hjelp av et esempel se intuitivt på hva betinget sannsynlighet betyr. Vi legger fire røde ort og to svarte ort i en bune. Svarer til avsnittene.4 og.5 i læreboa Ørnulf Borgan Matematis institutt Universitetet i Oslo Vi treer tilfeldig ett ort og så ett ort til: Se på begivenhetene: A «første ort er rødt» B «andre ort er svart» Vi har at P(A 4/6 /3. Hvis A har inntruffet er sannsynligheten for B li /5. Dette er den betingede sannsynligheten for B gitt A. I esempel er det intuitivt lart hva betinget sannsynlighet er. Det er ie alltid lie enelt: Hva er den betingede sannsynligheten for at begge ortene er røde gitt at minst ett av dem er rødt? Hva er den betingede sannsynligheten for at det første ortet er rødt gitt at det andre er svart? Vi trenger en definisjon av betinget sannsynlighet! Vi vil brue et esempel til å motivere definisjonen. Vi sriver P(B A /5. 4

2 Esempel Se på de som handler i en olonialbuti en dag: Brød Ie brød Totalt Mel Ie mel Totalt Vi velger tilfeldig en unde og ser på begivenhetene: A «handler mel» B «handler brød» Vi har P( B Det er «opplagt» at: P( A B og 40 / / 00 P( A B ( A B P( B 5 Esemplet motiverer definisjonen: ( ( A B P A B P( B Ved å bytte om «rollene» til A og B ( ( A B P B A P( A 6 Esempel 3 Vi ser igjen på ortesemplet. Vi treer tilfeldig ett ort og så ett ort til. Se på begivenhetene: A «første ort er rødt» B «andre ort er svart» Vi an tree to ort på måter. Vi an tree først et rødt og så et svart ort på 4. 8 måter. Vi an tree det første ort rødt på måter. Det gir Dermed er P ( A B 8 og P( A P( B A ( A B 8 / 30 P( A 0 / Vi vil bestemme P( B A ut fra definisjonen. Det gir en sje på at definisjonen er rimelig. 7 (selvfølgelig! 8

3 Esempel 4 Hva er den betingede sannsynligheten for at det første ortet er rødt gitt at det andre er svart? (Jf. det andre spørsmålet ovenfor. Vi har funnet at P( A B Vi an få et svart ort andre gang på to måter: først rødt, så svart ort, dvs A B to svarte ort, dvs A B Se på begivenhetene: A «første ort er rødt» B «andre ort er svart» Vi vil bestemme. Derfor an vi srive B som en disjunt union: B ( A B ( A B Det gir at P( B P( A B + P( A B Altså har vi at ( ( A B P A B P( B 8 / 30 0 / P( A B 9 0 Hva betyr det egentlig at den betingede sannsynligheten er 4/5 80% for at det første ortet er rødt gitt at det andre er svart? Hus at sannsynlighet er relativ frevens «i det lange løp». Vi tener oss at vi treer to ort mange ganger. Produtsetningen Definisjon av betinget sannsynlighet: ( ( A B P A B P( B Denne gir produtsetningen: At P(A /3 betyr at det første ortet vil være rødt ca /3 av gangene. P( A B P( A B P( B At P(A B 4/5 betyr at hvis vi bare teller med de gangene der det andre ortet er svart, så vil det første ortet være rødt ca 4/5 av disse gangene. Tilsvarende: P( A B P( A P( B A

4 Esempel 5 Ovenfor fant vi P( A B i ortesemplet som antall gunstige utfall delt på antall mulige utfall (når vi treer to ort. Vi an også finne denne sannsynligheten ved produtsetningen. Vi har P( A 4 og P( B A 6 5 Dermed gir produtsetningen: 4 4 P( A B P( A P( B A Produtsetningen for tre begivenheter: P( A A A 3 P( A A P( A A A 3 P( A P( A A P( A A A 3 Produtsetningen gjelder på tilsvarende måte for fire og flere begivenheter. 4 Esempel 6 Etter offentlig statisti er sannsynligheten 95% for at 65 år gammel vinne sal bli minst 70 år 9% for at 70 år gammel vinne sal bli minst 75 år 87% for at 75 år gammel vinne sal bli minst 80 år Opplysningene gir: P( A 0.95 P( A A 0.9 P( A A A Hva er sannsynligheten for at 65 år gammel vinne sal bli minst 80 år? Vi tar for oss 65 år gammel vinne og ser på begivenhetene A «vinnen blir minst 70 år» A «vinnen blir minst 75 år» A 3 «vinnen blir minst 80 år» 5 Hvis vinnen blir minst 80 år, blir hun også minst 70 år og minst 75 år Derfor er A A A3 A3 P(minst 80 år P( A 3 P( A A A3 P( A P( A A P( A A A

5 Total sannsynlighet Anta at A, A,..., A er disjunte og at A A... A S Dette og produtsetningen gir setningen om total sannsynlighet P( B P( A B i i A Vi an da srive en begivenhet B som en union av disjunte begivenheter: B ( A B ( A B... ( A B i B A 3 A A 4 P( B A P( A i i 7 Esempel 7 En bedrift produserer varer på to masiner. Masin I produserer 35% av varene. Masin II produserer 65% av varene. 3% av varene fra masin I er defete. % av varene fra masin II er defete. En vare velges tilfeldig fra lageret. Hva er sannsynligheten for at varen er defet? 8 Vi ser på hendelsene: B «varen er defet» A «varen ommer fra masin I» A «varen ommer fra masin II» Da er: P( A 0.35 P( A 0.65 P( B A 0.03 P( B A 0.0 Esempel 8 Vi legger fire røde ort og to svarte ort i bune I to røde ort og fire svarte ort i bune II Vi velger tilfeldig en bune og treer to ort fra denne. Setningen om total sannsynlighet gir: P( B P( B A P( A + P( B A P( A Hva er sannsynligheten for at vi får to røde ort? 0

6 A «vi treer fra bune I» A «vi treer fra bune II» B «vi treer to røde ort» Opplysningene gir: P( A P( A P( B A P( B A Bayes' setning Anta at A, A,..., A er disjunte og at A A... A S Definisjonen av betinget sannsynlighet gir at ( ( A j B P Aj B P( B Vi bruer produtsetningen for telleren og total sannsynlighet for nevneren og får Bayes' setning: Setningen om total sannsynlighet gir 6 7 P( B P( A B P( B A P( A i i 30 i j j P( B A P( A j Esempel 9 Se på esempelet med produsjon av varer. Hvis varen er defet, hva er da sannsynligheten for at den ommer fra den første masinen? Vi har disse begivenhetene og sannsynlighetene: B «varen er defet» A «varen ommer fra masin I» A «varen ommer fra masin II» Bayes setning gir: P( B A P( A P( A B P( B A P( A + P( B A P( A P( A 0.35 P( A 0.65 P( B A 0.03 P( B A I det lange løp ommer 6% av de defete varene fra masin I. 4

7 Esempel 0 Vi ser på esempel 8 Hvis begge ortene er røde, hva er sannsynligheten for at vi tra fra bune I? A «vi treer fra bune I» A «vi treer fra bune II» B «vi treer to røde ort» Esempel En vinne tar en mamografiundersøelse. Se på begivenhetene: S «vinnen har brystreft» M «undersøelsen viser tegn på reft» 6 P( A P( A P( B A P( B A 5 5 Bayes setning gir: P( A B Fra erfaringer med mammografi har vi P( M S 0.95 P( M S Vi antar at P( S Anta at undersøelsen viser tegn på reft Hva er da sannsynligheten for at vinnen virelig har reft? Bayes setning gir: P( S M P( M S P( S P( M S P( S + P( M S P( S Selv om undersøelsen viser tegn på reft, er det bare 6% sannsynlig at hun virelig har det 7 Avhengige og uavhengige begivenheter Hus definisjonen av betinget sannsynlighet: ( ( A B P A B P( B Hvis P(A B P(A er A og B uavhengige begivenheter. Hvis P(A B P(A er A og B avhengige begivenheter. Mer at hvis P(A B P(A, så er ( ( A B P B A P( A P ( A P ( B P( A P( B 8

(5, (6, (, (, (3, (4, (5, (6, P( A P( B P( C 36 6 36 36 P( A B 36 P( A C 7 36 36 P( B A P( B 36 7 P( C A P( C 36 7 36 Hvis P(A B P(A, dvs A og B er uavhengige begivenheter, så er P( A B P( A, dvs A

8 Esempel : Kast én terning to ganger. A «minst fem øyne i første ast» B «sum øyne li sju» C «minst én seser» (,6 (,6 (3,6 (4,6 (5,6 (6,6 (,5 (,5 (3,5 (4,5 (5,5 (6,5 (,4 (,4 (3,4 (4,4 (5,4 (6,4 (,3 (,3 (3,3 (4,3 (5,3 (6,3 (, (, (3, (4, (5, (6, (, (, (3, (4, (5, (6, P( A P( B P( C P( A B 36 P( A C P( B A P( B 36 7 P( C A P( C Hvis P(A B P(A, dvs A og B er uavhengige begivenheter, så er P( A B P( A, dvs A og B er uavhengige P( A B P( A, dvs A og B er uavhengige P( A B P( A, dvs A og B er uavhengige Vitig resultat: A og B er uavhengige hvis og bare hvis P( A B P( A P( B Resultatet gjelder også når A og/eller B har sannsynlighet null. 30 Esempel 3: Kast ronestye og femrone La for esempel KM bety rone på ronstyet og mynt på femronen Utfallsrom U {MM, MK, KM, KK} A {MM, MK} B {MM, KM} C {MK, KM} MK KK MM KM P( A P( B P( A B 4 4 A og B er uavhengige A og C er uavhengige B og C er uavhengige 4 Uavhengighet for flere begivenheter Begivenhetene A, A,..., An er uavhenige hvis vi for enhver og enhver delmengde av indeser i, i,..., i har at P ( A A... A P ( A P ( A... P ( A i i i i i i Ovenfor har vi sett på situasjoner der vi an vise at begivenheter er uavhengige. Men P( A B C 0 Men vanligvis er uavhengighet en forutsetning så A, B og C er ie uavhengige for sannsynlighetsmodellen vår. 3

9 Esempel 4 Kast fem terninger. Hva er sannsynligheten for at vi ie får en eneste seser? Vi finner først P(ingen sesere Esempel 5 Kast fem terninger. Hva er sannsynligheten for at alle terningene viser samme antall øyne (yatzy. Vi har at P(yatzy P(fem enere + P(fem toere + P(fem treere + P(fem firere + P(fem femere + P(fem sesere Dermed er P(minst én seser P(ingen sesere

Like dokumenter

STK1100 våren Betinget sannsynlighet og uavhengighet. Svarer til avsnittene 2.4 og 2.5 i læreboka

STK1100 våren Betinget sannsynlighet og uavhengighet. Svarer til avsnittene 2.4 og 2.5 i læreboka STK1100 våren 2017 Betinget sannsynlighet og uavhengighet Svarer til avsnittene 2.4 og 2.5 i læreboka Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i Oslo 1 Eksempel 1 Vi vil først ved hjelp av et eksempel