Strøm av olje og vann i berggrunnen matematisk model, simulering og visualisering

Transkript

1 Strøm av olje og vann i berggrunnen matematisk model, simulering og visualisering Hans Fredrik Nordhaug Matematisk institutt Faglig-pedagogisk dag,

2 Oversikt 1 Oversikt Introduksjon. Hva er et reservoar? Matematisk modell. Hvordan beskrive et reservoar i matematikkens språk? Simulering / numerisk metoder. Hvordan løse ligningene i den matematiske modellen? Visualisering av strøm i en- og to-dimensjoner.

3 Introduksjon. 2 Et reservoar består av Introduksjon. selve berggrunnen - den faste fasen, olje - den ikke-vetende fasen - og vann - den vetende fasen. Generelt vil det være flere faser - spesielt gass - men la oss holde det enkelt.

4 Introduksjon. 3 Hver fase kan bestå av flere komponenter. Oljefasen består for eksempel av mange forskjellige hydrokarboner. Vannfasen derimot består som regel bare av vann. Generelt vil det også være transport av masse mellom fasene (faseovergang), men vi vil ikke bry oss med det. Hvis man tillater faseovergang, så vil man vanligvis betrakte massen av komponentene i steden for av fasene.

5 Introduksjon. 4 Oljeutvinning foregår vet at man borer et hull ned i reservoaret. Til å begynne med er trykket høyt nok til at oljen kommer opp av seg selv. Etter hvert vil trykket falle, og man må bore en brønn til hvor man injiserer for eksempel vann for å holde trykket oppe.

6 Introduksjon. 5 For å forstå den prosessen må man lage matematiske modeller. Disse modellene gjør en i stand til å vite når, hvor mye og hvor man skal injisere. I tillegg er geologiske data helt nødvendig - ellers vet man jo ikke hvordan berggrunnen ser ut. Her gjør geologene en fremragende jobb så dette er vanligvis ikke noe problem.

7 Matematisk modell 6 Matematisk modell For å lage vår modell må vi definere noe variabler: V b V p V l φ = V p /V b S l = V l /V p K k rl bulkvolum porevolum volum av fase l porøsitet metning av fase l absoluttt permeabilitet relativ permeabilitet for fase l

8 Matematisk modell 7 u l hastighet for fase l u tot = u o + u w totalhastighet µ l viskositet for fase l λ l = k rl /µ l mobilitet for fase l p l trykk i fase l P c = p o p w kapillærtrykk ρ l tettheten til fasen l g tyngdens konstant kilde/slukledd for fase l q l

9 Matematisk modell 8 Permeabilitet er ledningsevnen til berggrunnen. Den kan også betraktes som inversen av motstanden. Permeabiliteten vil vanligvis variere med bergarten. Den relative permeabiliteten blir innført fordi forskjellige faser har forskjellig ledningsevne i den samme bergarten. Viskositet er et mål på seigheten eller den indre friksjonen i en væske eller gass. Kilde- og slukledd er i denne sammenhengen brønner.

10 Matematisk modell 9 for to-fase-strøm Darcys lov u l = Kk rl µ l ( p l ρ l g z). (1) for to faser Massekonservering (φs l ρ l ) t + (u l ρ l ) = q l. (2)

11 Matematisk modell 10 nå at vi har: Anta 1. Strøm kun i den horisontale dimensjonen!! 2. Samme trykk i begge fasene. 3. Konstant viskositet, porøsitet og tetthet. 4. Porevolumet er fullstendig fylt S w + S o = 1 5. Ingen kilde- eller slukledd. Dette gir...

12 Matematisk modell 11 Forenklet massekonservering for to faser φ S w t + u w x = 0, og Darcys lov φ S o t + u o x = 0 (3) u l = Kk rl µ l p l x. (4)

13 Matematisk modell 12 Ved å legge sammen de enkle massekonserveringsligningene (3) får vi (u o + u w ) x siden S w + S o = 1. = u tot x = 0 u tot = konstant (5) Ved hjelp av ligningene (3), (4) og (5) kan vi utlede...

14 Matematisk modell 13 Fraksjonstrømformuleringen Følgende enkle ligning beskriver strømmen av to faser i et horisontalt en-dimensjonalt reservoar (hvor trykka i fasene er like): S t + u φ f(s) x = 0 (6) S er vannmetningen og f(s) er den tilhørende fraksjonstrømfunksjonen.

15 Matematisk modell 14 Fraksjonstrømfunksjonen er gitt som f(s) = u w u tot = λ w λ w + λ g (7) hvor λ l er mobilitetene. Ligning (6) kalles gjerne Buckley-Leverett-ligningen og er en klassisk ikke-lineær hyperbolsk differensialligning.

16 Simulering 15 Simulering Her vil bare den aller enkleste metoden bli presentert - endelig differanser. Det første du gjør er å dele opp området ditt i intervaller. På hvert intervall vil vannmetningen - løsning av ligning (6) være konstant. Deretter tilnærmer du de partielt deriverte med (endelige) differanser på for eksempel følgende måte:

17 Simulering 16 hvor T m j S(x j, t m ) t f(s(x j, t m )) x T j m+1 t T m j f(t m j ) f (T m j 1 ) x er den tilnærmede verdien for S(j x, m t)..

18 Simulering 17 Differanseskjema Bruker man disse differansene får man følgende skjema hvor t og x er diskretiseringen i henholdsvis tid og rom. T m+1 j = T m j t x [f(t m j ) f(t m j 1)] (8) Se neste side for visualisering av et eksempel som er løst ved hjelp av dette skjemaet.

19 Visualisering 18 Her er noen eksempler: Visualisering Simulering av en-dimensjonal to-fase strøm i et homogent reservoar - uten kapillærtrykk - ved hjelp av et differanseskjema (8). Simulering av to-dimensjonal to-fase strøm i et heterogent reservoar. Simulering av et to-dimensjonalt reservoar ved hjelp av en nettverkmodell.

20 Visualisering 19 SLUTT! Du finner hele presentasjonen på min hjemmeside: hansfn

21 Visualisering 20 Et reservoar

22 Visualisering 21 Et to-dimensjonalt grid

23 Visualisering 22 Utledning av fraksjonstrømformuleringen Med utgangspunktet i (4) og at p w = p o får vi u w Kλ w = u o Kλ o. (9) Hvis du bytter ut u o med u u w i ligning (9) og løser for u w, så får du u w u tot = λ w λ w + λ g def = f(s w ). (10)

24 Visualisering 23 Sett dette inn ligning (3) for vannmetningen, S w, og du får S w t + u φ f(s w ) x = 0. (11) Dette kalles fraksjonstrømformuleringen og var det vi skulle utlede. Gå videre.