Løsningsforslag til eksamen i TFY4205 Kvantemekanikk 12. august 2004

Transkript

1 NTNU Side 1 av 6 Institutt for fysi Faultet for naturvitensap og tenologi Løsningsforslag til esaen i TFY405 Kvanteeani 1. august 004 Dette løsningsforslaget er på 6 sider. Oppgave 1. To-diensjonal eletron-gass a) Hailton-operatoren er Ĥ 1 ˆp qa ) + ˆp y qa y ) ], 1) der ˆp og ˆp y er ipuls-operatorer langs - og y-retningen og agnet-feltet er gitt ved B A. Vi bruer en sirulær justering, sli at A 1 yb, B, 0). ) I denne justeringen ser vi at ˆp A 0 ˆp y A y 0 sli at vi an srive Hailton-operatoren på foren Ĥ 1 ˆp + ˆp y qa ˆp qa y ˆp y + q A + q A ] y, 3) Vi bruer sirulære oordinater sli at r cos ϕ og y r sin ϕ. Den inverse transforasjonen er dered r + y ϕ arctany/). Enhetsvetorene for polaroordinatene er e r cos ϕ, sin ϕ, 0) og e ϕ sin ϕ, cos ϕ, 0). I polar-oordinatbasisen finner vi dered A ϕ 1 rb og A r 0. Vi å transforere ipuls-operatorene: e ˆp + e y ˆp y e r ˆp r + e ϕ ˆp ϕ.

2 Løsning TFY405 Kvanteeani, 1-08/04 Side av 6 Vi finner Vi finner dered Den vadratise ipul-operatoren blir ˆp i r i r + ϕ ] ϕ ] y i r r 1 + y ) ϕ cos ϕ i r sin ϕ ] r ϕ ˆp y i y r i y r + ϕ ] y ϕ ] 1 y i r r y ) ϕ sin ϕ i r + cos ϕ ] r ϕ ˆp r i r ˆp ϕ 1 i r ϕ ˆp + ˆp y e r ˆp r + e ϕ ˆp ϕ ) ˆp r + ˆp ϕ + e r e ϕ ˆp r ˆp ϕ + e ϕ ˆp ϕ e r ˆp r I tillegg har vi ˆp r + ˆp ϕ + e ϕ ˆp ϕ e r ) ˆp r ˆp r + ˆp ϕ + 1 i r ˆp r 1 r ) + 1r ] r r r ϕ qa p qa y p y + q A + q A y qa ϕ p ϕ + q A ϕ q 1 rb 1 i r ϕ + 1 q 4 r B Schrødinger ligningen an dered srives so der Ĥr, θ) 1 r r Ĥr, θ)ψr, θ) Eψr, θ), 4) r ) + 1r ] r ϕ q 1 4 B i Vi introduserer den agnetise lengden l B qb ϕ + 1 q 8 r B 5)

3 Løsning TFY405 Kvanteeani, 1-08/04 Side 3 av 6 dvs. lb /qb og finner at Hailton-operatoren an srives so Ĥr, θ) 1 r r r ) 1 + r r b) Bølgefunsjonen å være en-entydig. Det betyr at sli at vantetallet l å tilfredsstille dvs. at l å være et heltall. ψr, θ + π) ψr, θ) epilπ) 1 ϕ + ir lb c) Med diensjonsløs variabel r l B blir ligningen for χ) 1 d d d d l l 1 ] 4 + ɛ χ) 0 Vi antar videre at χ) P ) ep /4). Ligningen for P ) blir dered ) P 1 + P l P + l + 1 ɛ) P 0. ) ]. 6) Oppgave. Fullstendighetsrelasjoner a) Vi bruer fullstendighetsrelasjonen 1 til å finne at en vilårlig tilstand an utviles so ψ ψ. b) Ved hjelp av fullstendighetsrelasjonen har vi s ˆ s s ˆ ˆ s ˆ s. c) Vi har ˆp, ˆ] so steer ed forelen for n 1. Vi bruer indusjonsbevis for generell n: ˆp n, ˆ] ˆp n ˆ ˆˆp n n 1 ˆp ˆp ˆ ˆˆp n 1 ] + ˆpˆ ˆˆp ] ˆp n 1 ˆp n 1) ˆp n nˆp n 1. ) ˆp n 1

4 Løsning TFY405 Kvanteeani, 1-08/04 Side 4 av 6 Vi ser at dette steer. Tilsvarende for vi for outatorene ] ] ] ˆ, Ĥ0], ˆ ˆ, ˆp + ˆp y + ˆp z + V ˆ, ŷ, ẑ), ˆ ˆp ] ] ˆ,, ˆ 1 ˆp, ˆ] ). d) Vi benytter identiteten ] ˆ, Ĥ0], ˆ ˆĤ0ˆ Ĥ0ˆ ˆ Ĥ 0 og finner ] s ˆ, Ĥ0], ˆ s s ˆĤ0ˆ s s Ĥ0ˆ s s ˆ Ĥ 0 s s ˆĤ0 ˆ s E s s ˆ s E E s ) s ˆ ˆ s so sulle vises. 1 E E s ) s Oppgave 3. Tidsavhengig perturbasjonsteori a) Se forelesningsnotatene. Innsatt i Schrødinger-ligningen gir a t)ψ 0 Ĥ0 ) r, t) + V r, t) a t)ψ 0 r, t) t ȧ Ψ 0 + E a Ψ 0 ) E a Ψ 0 + a V Ψ 0 ) Vi an strye lie ledd på begge sider av ligningen: ȧ Ψ 0 a V Ψ 0 Anvendelse av gir 1 ȧ t) 1 d 3 r Ψ 0 ) ep ie t/ ).. ] i a t)v t) ep E E ) t

5 Løsning TFY405 Kvanteeani, 1-08/04 Side 5 av 6 når settet Ψ 0 r) er norert. Integrasjon gir så a t) a t 0 ) + 1 t t 0 dτa τ)v t) ep ] i E E ) τ. For så V t) an vi sette 0-te ordens verdien a t) a t 0 ) inn i integralet og få a t) til 1. orden i V t): a t) a t 0 ) + 1 t ] i a t 0 ) dτv t) ep t 0 E E ) τ. a t) gir sannsynligheten for at systeet sal være i tilstanden Ψ 0 r) ved tiden t. b) Veselvirningen ello partielen og eletronet i atoet er V r, R ) Ze 1 4πε 0 R, r der posisjonen til partielen er R b + vt Vi ser bort fra veselvirningen ello partielen og atojernen. Ved t t 0 er eletronet i tilstanden Ψ s : a t 0 ) δ s. Etter passeringen er da for s og ed ω s E E s )/ ) a ) 1 dτe iω sτ d 3 r Ψ 0 r)) Ze 4πε 0 l0 r l R l+1 τ) P l cos θ) Ψ 0 s r). Vi regner ed at partielen passerer helt utenfor atoet R b r 0 ed r 0 sli at Ψ r) 0 for r r 0. For b r 0 trenger vi bare leddet l 1 og får Vi har a ) 1 Ze 4πε 0 dτe iω sτ d 3 r Ψ 0 r)) rp 1 cos θ) r ˆR sin θ + z cos θ, r R τ) P 1cos θ)ψ 0 s r). der vinelen er tidsavhengig θ θτ). Monopol-delen l 0 gir intet bidrag til esitasjonen da d 3 r Ψ 0 r)) Ψ 0 s r) δ s so er 0 for s. Vi får altså a ) ize dτ eiω sτ 4πε 0 R sin θ τ) d 3 r Ψ 0 r)) Ψ 0 s r) + cos θ d 3 r ) Ψ 0 r)) zψ 0 s r). Vi setter inn e iω sτ 1 og innfører θ θτ) so integrasjonsvariabel, dτ dθ dτ/dθ): a ) ize 4πε 0 0 π ize 4πε 0 s R dτ dθ dθ s sin θ + z s cos θ R dτ dθ

6 Løsning TFY405 Kvanteeani, 1-08/04 Side 6 av 6 siden R dτ dθ bv onstant. Med dette innsatt gir den oppgitte a ) også sannsynligheten for at H-atoet sal være esitert til tilstand Ψ 0 r) : a ) Ze 4πε 0 ) s. bv c) Det totale energitap ved esitasjon til tilstandene Ψ 0 r) blir da E tot ) E E s ) a ) Ze 1 E E s ) s 4πε 0 bv ) Ze 1 4πε 0 bv ) Ze 4πε 0 v b.