Tar først 2 metoder for å løse differensialligninger. Se forøvrig pdf-dokumentet del 9, diskretisering, sampling i Industriell IT.

Transkript

1 1 Tar først 2 metoder for å løse differensialligninger. Se forøvrig pdf-doumentet del 9, disretisering, sampling i Industriell IT. 1. Eulers 1-sritt metode. % Eulers metode. (forover) % Fil : simuler_diff_euler_indit_1.m % Steg 1: Oppgi startverdier % Steg 2; Lag en for-løe med formelen som sal beregnes % Steg 3: Plot løsningen. plot(t, x) % Funsjonen som sal løses er gitt ved. % x' = -2x + u ( der u settes til et enhetssprang ved t=0) % Kan nå sette at: f = -2x + u. % Disret blir det: f = -2*x() + u() % Sivebredden er gitt ved: delta_t = t1 - t0 % Ligningen som sal løses iterativt blir: % x(+1) = x() + delta_t*fun; % Setter u() = 1 i denne løsningen clear all % Slett alle variabler i arbeidsområdet % Steg 1. % Gi startpunt: t0 t0 = input('oppgi startpunt t0: ') % Gi sluttpunt: tn t_slutt = input('oppgi sluttpunt t_slutt: ') % Oppgi antall siver n = input('oppgi antall siver n: ') % Oppgi startverdi på x0 x0 = input('oppgi x0: ') delta_t = (t_slutt - t0)/n % Sivebredde x = zeros(n+1,1); % initierere y -vetoren med nuller x(1) = x0; % Startpuntet t = zeros(n+1,1); % initierer t-vetoren t(1) = t0; % start tidspunt t0. % Steg 2. Beregn uttryet for =1: 1: n f = -2*x() + 1; x(+1) = x() + delta_t*f; t(+1) = t() + delta_t; % Et sritt fram

2 2 % x % Kan vise beregnede verdier x % t % Tids-vetoren % Steg 3. Plott resultatet plot(t,x,'m') grid 2. Runge-Kutta 4-ordens metode. % Fil: simuler_diff_rk_indit_2.m % Mal for Runge-Kutta 4. ordens metode % Benytter ode45() - funsjonen % Steg 1: Oppgi startverdier % ex: x0 = 1; tspan = [t0 t_slutt] % Steg 2: Løs ode45() numeris % Steg 3: Plot løsningen. plot(t, x) % Lag en function som inneholder diff.ligningen % Steg 1. Startverdier for tiden t0 = input('oppgi startpunt t0: ') t_slutt = input('oppgi sluttpunt t_slutt: ') tspan = [t0 t_slutt]; % Oppgi startverdi på x0 x0 = input('oppgi x0: ') % Steg 2. Kaller ode45() [t,x] = ode45(@diff_lign_indit_2, tspan, x0 ); % Steg 3. Plott resultatet plot(t,x) grid % Lager funsjonen som inngår i uttryet. f =.. % Lagres på fil: diff_lign_indit_2.m function [ dx ] = diff_lign_indit_2(t, x) % Oppgir diff.ligning som sal løses: y_diff= 2t + x dx = 2.*t + x;

3 3 3. Esempel med retangelintegrasjon. Euler baovermetode. % Numeris integrasjon % Retangelintegrasjon % fil:retangel_int_1.m a=input('oppgi startpunt a: ') dx=(b-a)/ =0.0; fun_verdi= (a+m*dx)^2; % Beregner funsjonsverdien,(x 2 ) delsum = dx*fun_verdi; % av en sive = + delsum; % Summerer hver sive 4. Esempel med retangelintegrasjon (midtpunt) % Numeris integrasjon % Retangelintegrasjon. Midtpunt. % fil:retangel_int_mpunt.m a=input('oppgi startpunt a: ') dx=(b-a)/ =0.0; mpunt=(m-1)*dx + dx/2; % Finner midtpuntet fun_verdi= (a+mpunt)^2; % Beregner funsjonsverdien. (X 2 ) delsum = dx*fun_verdi; % av en sive = + delsum; % Summerer hver sive disp('arealet er : ' )

4 4 5. Esempel med Trapes-integrasjon. Tustins metode. % Integrasjon - Trapes-metoden % Fil: trapes_integrasjon_1.m % % Gi startpunt: a a = input('oppgi startpunt a: ') % Gi sluttpunt: b b = input('oppgi sluttpunt b: ') while ( true) % Gi antall siver/intervaller: n n = input('oppgi antall siver n: ') % Beregn sivebredde: delta_x dx = (b-a)/n; % Sett ved start = 0 = 0.0; % Bru en for-løe til beregningen for m = 1 : n x2 = (a + m*dx); fun_verdi_1 = int_fun(x2); % Kaller opp funsjon som sal integreres x1 = (a + (m-1)*dx); fun_verdi_2 = int_fun(x1); % Kaller opp funsjon som sal integreres sive_ = dx*(fun_verdi_1 + fun_verdi_2)/2; = + sive_; % sriver ut resultater dx m % while-løe % Funsjon som sal integreres % Fil: int_fun.m function y = int_fun(x) y = x^2; % Funsjonen y=f(x)

5 5 6. Esempel med Simpsons metode % Numeris integrasjon % Simpsons metode % fil:simpsons_int_oppg7_a.m a=input('oppgi startpunt a: ') dx=(b-a)/(2*) =0.0; % Hver beregning går over 2 siver. fun_verdi_1= f3(a+(2*m-2)*dx); fun_verdi_2= f3(a+(2*m-1)*dx); fun_verdi_3= f3(a+2*m*dx); % Beregner funsjonsverdien delsum = (fun_verdi_1+(4*(fun_verdi_2))+fun_verdi_3 )*dx/3; % av en dobbelsive = + delsum; % Sumerer hver dobbelsive disp('arealet er : ' ) % Funsjon f3 som sal benyttes til beregninger % Fil : f3.m % function y=f3(x) y=x.^2+4*x-1; 6. Hvordan lese data fra en data-fil som er generert av et «program» og plotte resultatet i Matlab. Tester med filen: mat_data1.dat >> [x1,x2]=textread('c://ladd//mat_data1.dat','%f %f'); >> plot(x1,x2);