Vi kan finne formler som gir oss neste tall i tallfølgen dersom vi kjenner ett tall. Det er den rekursive formelen. gir oss gir oss alle tallene a
|
|
- Agnar Askeland
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Tallfølger, figurtall, algebra (utgave beregnet for GLU1-7). Av Geir Martinussen, Høgskolen i Oslo og Akershus (Se også: ) Tallfølger er en nyttig ressurs i arbeid med algebra og funksjoner. Ved å studere tallfølger kan elevene få trening i å se og beskrive systemer som de deretter kan utvikle formler for. Her skal vi spesielt se på arbeid med eksplisitt formel for tallfølger med kopling til figurtall. Hva blir neste tall og neste, og så videre i disse tallfølgene? a), 4, 6, 8, b) 1, 3, 5, 7, c), 4, 7, 11, d) 1, 4, 9, 16, e) 1, 3, 6, 10, f), 6, 1, 0, Og hvordan kan utviklingen beskrives med ord? Alle disse tallfølgene kan illustreres ved (feks) antall kryss, streker, prikker e. l. som figurtall. For eksempel representerer tallfølgen i f) rektangeltallene. Å illustrere tallfølgene med figurtall kan gi oss et bredere utvalg av metoder for å beskrive mønstre og utvikle formler. Vi kan finne formler som gir oss neste tall i tallfølgen dersom vi kjenner ett tall. Det er den rekursive formelen. gir oss gir oss alle tallene a n i tallfølgen uansett hva n er. Denne formelen kaller vi den eksplisitte formelen. Det er den vi skal legge vekt på her. Vi ser på partallene først (følge a) ovenfor). Elever langt ned i skolen kan se at vi får neste tall ved å legge til. Da har vi den rekursive formelen. Hvis vi kaller partall nr n for P n, blir rekursiv formel P n 1 Pn. Vi ser at alle partallene er gitt ved formelen P n n. Det er den eksplisitte formelen for partallene. Tilsvarende blir eksplisitt formel for oddetallene n 1, mens rekursiv formel blir O n 1 On. To tallfølger kan altså godt ha samme rekursive formel selv om de eksplisitte formlene er ulike. I det følgende skal vi konsentrere oss om den eksplisitte formelen. Når det gjelder eksplisitt formel for partall og oddetall, og mange flere, gir de oss et funksjonsuttrykk. For partallene kunne vi skrevet y x eller y n eller f ( n) n eller, slik vi har gjort: P n n. Hva slags funksjon er det? Hvordan vil grafen til funksjonen se ut (hvis vi utvider definisjonsmengden fra heltallene til alle reelle tall)? Eksempel c) er (litt) vanskeligere. Her legger vi ikke til et fast tall, men vi øker tillegget med 1 hver gang. Med andre ord: Vi får først en differanse som ikke er fast den kaller vi for første differanse. Denne første differansen økes med 1 for hver gang. Differansen av differansene (som her er 1) kaller vi andre differanse. (Dette har sammenheng med den 1. og O n 1
2 . deriverte av funksjonsuttrykket, men det trenger ikke elevene, eller vi, vite dersom de/vi ikke er fortrolige med derivasjon og integrasjon.) Dette kan vises i en tabell (sett selv inn F5 osv): Tall F1 F F3 F4 F5 Fn Fn+1 Tallverdi differanse 3 4. differanse 1 1 Tabell 1 Her er det ikke like lett å finne formel, men dette skal vi se på noen metoder for etter hvert. Imidlertid kan følgen greit beskrives med ord også av elever. Hvordan da? Utvikling av formler for figurtall som gir andregradsfunksjoner. OBS: Generell formel er Fn = an + bn + c Tallfølgen i f) er rektangeltallene. Her er den eksplisitte formelen R n n( n 1) eller R n n n. Dette er en andregradsfunksjon. I figurtallsammenheng forutsetter vi at den lengste siden er (nøyaktig) 1 større/lengre enn den korteste. Den lengste siden inneholder altså ett kryss/ en strek/ en prikk e. l. mer enn den korteste.) Se på den generelle formelen = an + bn + c. Vi ser at her er a = 1, b = 1 og c = 0 Den enkleste andregradsfunksjonen er eksplisitt formel K n n. Her er a = 1, b = 0 og c = 0 y x. Den representerer kvadrattallene, som har Noen ganger kan det være en utfordring å finne formlene. Da må vi ty til andre metoder. For å illustrere kan vi sette opp følgende tabell for kvadrattallene (sett selv inn K5 osv): Tall K1 K K3 K4 K5 K.. Kn Kn+1 Tallverdi differanse differanse Tabell Vi ser at økningen fra K 1 til K er 3. Fra K til K 3 er økningen 5 og så videre. Den andre økningen er altså større enn den første. Så 1. differansen øker med. differansen, som er en konstant lik. Merk dette vi skal benytte oss av slike sammenhenger senere. Merk også at når. differansen er konstant, har vi en andregradsfunksjon. Vi kan lage tilsvarende tabeller for rektangeltallene: Tall R0 R1 R R3 R4 R5 R.. Rn Rn+1 Tallverdi differanse differanse Tabell 3 OBS: Her er også R0 med. Hvordan fant vi, og hvordan nyttiggjøre seg, R0?
3 Siden vi vet at. differansen er, kan vi regne oss tilbake og finner at R0 = 0. Det betyr at vi ikke har noe c-ledd, at c = 0. Vi ser at det stemmer med det vi fant foran. I den generelle eksplisitte formelen an + bn + c er a = 1, b = 1 og c = 0, derfor Rn = n + n (+ 0) el n(n+1) Siden c alltid er verdien av uttrykket når n = 0, kan vi utnytte dette også ved andre tallfølger/ figurtall (også der c ikke er 0). Men først ser vi på trekanttallene. Vi kan betrakte dem som halvparten av rektangeltallene: For eksempel ser rektangeltall nummer 3 slik ut: x x x Her er det satt inn en delestrek, som gir oss trekanttall nummer 3. Det kan vi framstille slik: x x x Tabell for trekanttallene, der også T0 er med (sjekk at du har forstått hvorfor den er 0): Tall T0 T1 T T3 T4 T5 T.. Tn Tn+1 Tallverdi differanse differanse Tabell 4 V ser at dette stemmer med den eksplisitte formelen, som gir verdien lik halvparten av ( n 1) n rektangeltallene, altså T n, der vi gjerne kan regne ut telleren til n + n Siden T0 = 0, betyr det at c = 0. Hva om c ikke er lik 0? Her kommer et eksempel som illustrerer dette: Vi lager først ei tallfølge ut fra den eksplisitte formelen n 5n 7 Formelen gir denne tallfølgen: 13, 1, 31, 43, Den ser slik ut i tilsvarende tabell som vi har brukt før (sett selv inn F5 osv): Tall F0 F1 F F3 F4 F5 F.. Fn Fn+1 Tallverdi differanse differanse Tabell 5 Vi ser at 6 framkommer når vi trekker fra 8 altså er 1. differansen fra F0 til F1 lik 6. Da må F0 være lik 7, som er c-leddet i den eksplisitte formelen. (Å regne ut 1. differansen fra F0 til F1, vil lette arbeidet når vi skal finne formler.) Var dette vanskelig? Sjekk i så fall på nytt! 3
4 Å finne verdien for c, vil kunne lette arbeidet med å utvikle eksplisitt formel. Utvikling av eksplisitt formel. For førstegradsuttrykk er det ofte relativt greit å finne eksplisitt formel. Her er det bare en 1. differanse. Tidligere så vi at partallene kan skrives slik: P n n og at oddetallene kan skrives slik: O n n 1. Har vi denne tallrekka: 3, 9, 15, 1,. ser vi at vi legger til 6 for hvert skritt, så 1. differansen er konstant lik 6, mens. differansen er 0. Hvordan finne den eksplisitte formelen altså en formel som gir oss tallverdien uansett hvilket nummer, n, i rekka vi har. Siden dette er et førstegradsuttrykk (det er det alltid når det bare er 1. differanse), er det generelle uttrykket y ax b. Vi skriver det som: an b Vi har at F1 = 3. Det betyr at a 1 b 3,eller a + b = 3, som gir b = 3 a. At F = 9, gir oss at a b 9. Eller a + b = 9 Ovenfor fant vi at b = 3 a. Vi setter inn i a b 9 og får a 3 a 9 som gir a 6. Siden b 3 a får vi at b 3 6, altså er b 3. Dermed har vi den eksplisitte formelen: 6n 3 (Sett inn n = 1,, 3, osv for å sjekke at det stemmer.) Dette gir fine eksempler på likningssett med to ukjente. Siden funksjonen bare er definert for hele tall (vi opererer jo med tallfølger), gir funksjonen egentlig ikke ei linje, men punkter (en punktfunksjon). Utvikling av eksplisitt formel for figurtall som gir andregradsfunksjoner. Vi har allerede sett på K-tall, R-tall og T-tall. Nå skal vi utvikle noen metoder for å finne den eksplisitte formelen også for andre figurtall som har utgangspunkt i andregradsfunksjoner. I slike tilfeller vet fra det vi har sett på tidligere, at det er en konstant andredifferanse. Vi husker også på at den generelle formelen for en andregradsfunksjon er f ( x) ax bx c eller eventuelt y ax bx c Eller som vi vil skrive for figurtall: an bn c 4
5 Vi prøver oss på tallfølgen 9, 15, 3, 33,. Vi setter inn i tabell: Tall F1 F F3 F4 F5 F.. Fn Fn+1 Tallverdi differanse differanse Tabell 6 Den eksplisitte formelen kan vi finne ved å sette opp tre likninger med tre ukjente a, b og c. Vi hadde jo at den generelle eksplisitte formelen er an bn c Men her kjenner vi verken a, b eller c. Imidlertid vet vi at a 1 b 1 c 9, som gir a b c 9 a b c 15, som gir 4a b c 15 a 3 b 3 c 3, som gir 9a 3b c 3 Så da har vi tre likninger med tre ukjente og kan finne a, b og c. OBS: Her har vi ikke benyttet oss av å finne c først, noe som ville gitt oss «bare» to likninger med to ukjente. Vi kan utvide tabell 6 til også å ha med F0. Gjør det! Og vi vet at F0 = c. Siden. differansen er, må tillegget fra F0 til F1 være 4, så da er F0 = 5. Gikk dette litt for fort? I så fall lager du en ny tabell, tilsvarende tabell 5, der F0 er med. Generell formel er Fn = an + bn + c. Vi har funnet at c = 5. Altså har vi at Fn = an + bn + 5, og vi kan nøye oss med «bare» to likninger med to ukjente. F1 = a 1 + b = 9, som gir a + b + 5 = 9, a + b = 4, og a = 4 b (eller b = 4 a) F = a + b + 5 = 15, som gir 4a + b + 5 = 15, 4a + b = 10 Fra F1 hadde vi a = 4 b. Vi setter inn og får 4(4 b) + b = 10, som gir b = 6, dvs b = 3 Siden a = 4 b, får vi a = 1. Eksplisitt formel blir altså Fn = n + 3n + 5 En enda enklere metode: Vi kan ha oppdaget at a i eksemplene ovenfor er halvparten av andredifferansen. Dette gjelder generelt (og kan selvsagt vises ved henvisning til derivasjon og integrasjon, som vi imidlertid ikke tar opp her). Siden. differansen er, blir a = 1. Det gjør oppgaven enda enklere. Vi kan benytte oss av bare en likning med en ukjent, siden vi nå vet at a = 1 og c = 5. Den generelle formelen Fn = an + bn + c gir i vårt tilfelle Fn = n + bn + 5 Her kan vi velge hvor vi vil sette inn verdiene, for eksempel for F1. Da får vi: F1 = 1 + b = 9, som gir b = 3. Og fra før vet vi at a = 1 og c = 5 Altså er eksplisitt formel i dette tilfellet Fn = n + 3n + 5, slik vi også så ovenfor. På neste side skal vi se på to eksempler der vi «lager» figurtall. Deretter finner vi eksplisitt formel både ved å se på hva figurene er satt sammen av, og ved å benytte oss av metodene foran. På de to siste sidene bruker vi metodene på oppgaver fra oppgaveheftet. 5
6 Å lage et figurtall 1 Nedenfor følger de tre første figurene til figurtallet F x x x x Hva er figurtallet satt sammen av? Kan vi finne eksplisitt formel ut fra det? Ser vi nærmere etter, oppdager vi (kanskje?) at i dette tilfellet er figurtallet sammensatt av et kvadrat og et rektangel. Vi kan skrive F1 K1 R1, F K R osv, så eksplisitt formel finner vi ut fra at: Fn K n Rn, altså ved å summere uttrykkene for K n og R n. Siden vi kjenner de eksplisitte formlene for begge disse, får vi n n( n 1) n n n n n Her får elevene god trening i enkel omskriving av algebrauttrykk. OBS: Naturligvis kunne vi også benyttet oss av de enkle metodene foran. Gjør det! Vi har F1 = 3, F = 10, F3 = 1 Finn 1. differanse og. differanse, og ut fra det c, a og b Stemmer det med formelen ovenfor?: Fn = n + n Å lage et figurtall Vi kaller figurtallet B. Nedenfor er de tre første figurene. x x x x x x Hva er figurtallet satt sammen av? Kan vi finne eksplisitt formel ut fra det? Vi ser at B K T 1. B K T. Generelt: B K T 1 n. Den generelle eksplisitte formelen kan vi regne ut som B 3 n n 1. Naturligvis kunne vi også benyttet de enkle metodene foran. Gjør det! (Vi har at F1 = 5, F = 1, F3 =.. differanse = 3, dvs a = 3. F0 = c = 1. Vi får b = 5 ) Til slutt: Tallfølger og figurtall gir en god kontekst for å arbeide med funksjoner og algebrauttrykk som gir forholdsvis enkle oppgaver og hvor man kan sjekke svaret til slutt. Slik kan man både styrke funksjonsbegrepet og få god trening i algebra generelt. Det kan også arbeide med tallfølger som gir for eksempel tredjegradsfunksjoner. Da vil tredjedifferansen være konstant og så videre. Men dette er ikke tema her. På de neste sidene kommer oppgaver fra oppgavesamlingen, løst ved de «enkle metodene». n n n 6
7 Her følger noen oppgaver fra oppgavesamlingen. Et par er løst, løs selv resten. Deretter kan du prøve samme framgangsmåte på oppgaver som har vært gitt til eksamen. OBS: Med disse metodene er det greit å finne eksplisitt formel etter at du (eventuelt) har tegnet neste figur (eller før det også), og før du finner antall prikker, streker, punkter e.l. i Fx (der x kan være «hva som helst»). Fasit finner du i oppgaveheftet. Bruk den som kontroll. 3 xxx xx xxxxxx x xxxx xxxxxx xx xxxx xxxxxx F1 F F Tall F0 F1 F F3 F4 F5 F.. F.. Fn Tallverdi differanse differanse 4 4 c = 0, så Fn = an + bn + 0 Det gir F1 = a 1 + b = 3, eller a + b = 3, som også gir a= 3 b Og F = a + b + 0 = 10, eller 4a + b = 10 Vi setter a = 3 b inn i det siste uttrykket og får: 4(3 b) + b = 10, eller 1 4b + b = 10, som gir b =, altså b = 1 Innsatt i a = 3 b får vi a = 3 1, dvs a = Da har vi den eksplisitte formelen for dette figurtallet: Fn = n + n Den viser også at F4 = = 36. På samme måte kan du bestemme alle Fn OBS: Hvis vi benytter oss av at a er halvparten av. differansen, får vi her direkte at a =. Dermed kunne vi klart oss med ei likning med en ukjent, f.eks: F1 = 1 + b = 3, som gir + b = 3, og altså b = 1 Men selvsagt gir det mer regnetrening å velge det første alternativet. 4 løser du selv xxxxx xxxx xxxxx xxx xxxx xxxxxxxx xxx xxxxxx xxxxxxxx xxxx xxxxxx xxxxxxxx F1 F F Tall F0 F1 F F3 F4 F5 F.. F.. Fn Tallverdi 1. differanse. differanse 7
8 5 xxxxxxx xxxxx xxxxxxx xxx xxxxx xxxxxxx xxx xxxxx xxxxxxx F1 F F Tall F0 F1 F F3 F4 F5 F.. F.. Fn Tallverdi differanse differanse 4 4 Den enkleste metoden gir oss a = 4 = og c = F0 = 1 Da kan vi regne ut b fra F1 = a 1 + b 1 + c = 6, altså F1 = 1 + b = 6 Altså + b + 1 = 6, som betyr at b = 3. Nå har vi a =, b = 3, c = 1, så Fn = n + 3n løser du selv xxxxx xxxx xxxxxxxx xxx xxxxxx xxxxxxxx xxxx xxxxxx xxxxxxxx xxxx xxxxxx xxxxxxxx Tall F0 F1 F F3 F4 F5 F.. F.. Fn Tallverdi 1. differanse. differanse 7 løser du selv xxxx xxx xxxxxxxx xx xxxxxx xxxxxxxx xxxx xxxxxx xxxxxxxx Tall F0 F1 F F3 F4 F5 F.. F.. Fn Tallverdi 1. differanse. differanse 8
Vi sier også at for eksempel 16 er kvadratet av 4. Kvadrattallene kan vi framstille som figurtall av kuler på denne måten:
10 Tall og figurer Tallene 1,, 3, 4,, kaller vi de naturlige tallene De naturlige tallene deler vi ofte i partall og oddetall Partallene er de tallene vi kan dele med Det er tallene, 4, 6, 8, 10, Oddetallene
DetaljerOppgavesamling i matematikk
Oppgavesamling i matematikk Grunnskolelærerutdanning 1-7 Repetisjonsoppgaver knyttet til matematikkfaglige temaer som er aktuelle ved skriftlig eksamen i Matematikk 1 Geir Martinussen og James Gray Høgskolen
DetaljerOPPGAVE 4 LØSNINGSFORSLAG OPPGAVE 5 LØSNINGSFORSLAG UTVIKLING AV REKURSIV FORMEL FOR FIGURTALL SOM GIR ANDREGRADSFUNKSJONER
OPPGAVE 4 LØSNINGSFORSLAG Tallfølge i f) rektageltallee. Her er de eksplisitte formele R = ( +1) eller R = +. Dette er e adregradsfuksjo. I figurtallsammeheg forutsetter vi at de legste side er (øyaktig)
DetaljerR2-01.09.14 - Løsningsskisser
R - 0.09.4 - Løsningsskisser Algebra Oppgave Finn den eksplisitte formelen for n te ledd i tallfølgene: a), 4, 6, 8, 0,... b),, 5, 7, 9,... c), 4, 9, 6, 5,... d),, 4, 5 4, 6 5,... a) Vi ser at følgen med
DetaljerMangekanter og figurtall
Mangekanter og figurtall ra papirbretting til algebra og funksjoner eskrivelse Opplegget starter med bretting av noen regulære mangekanter og en analyse av dem Her er vinkelberegning, kongruente og formlike
DetaljerFunksjoner og andregradsuttrykk
88 4 Funksjoner og andregradsuttrykk Mål for opplæringen er at eleven skal kunne bruke matematiske metoder og hjelpemidler til å løse problemer fra ulike fag og samfunnsområder løse likninger, ulikheter
DetaljerFunksjoner 1T Quiz. Test, 4 Funksjoner
Test, 4 Funksjoner Innhold 4.1 Funksjonsbegrepet... 4. Lineære funksjoner... 6 4.3 Andre funksjonstyper... 14 4.4 Vekstfart og derivasjon... 0 4.5 Drøfting av funksjoner på grunnlag av egenskaper hos den
DetaljerRette linjer og lineære funksjoner
Rette linjer og lineære funksjoner 3.1 Læreplanmål 1 4.1 Lineære funksjoner 4. Matematiske modeller i dagliglivet 10 4.3 Lineære modeller 14 4.4 Digital graftegning 18 4.5 Lineær regresjon 4 4.6 Tall og
DetaljerTest, 2 Algebra. Innhold. 2.1 Tallfølger. R2, Algebra Quiz
Test, Algebra Innhold. Tallfølger.... Tallrekker.... Uendelige geometriske rekker... 7. Induksjonsbevis... 0 Grete Larsen. Tallfølger ) En rekursiv formel uttrykker et ledd i en tallfølge ved hjelp av
DetaljerFagdag 1 - S2. Kommentarer og oppsummering. Oppgave 1 - Tre grunnleggende aritmetiske følger og rekker
Fagdag - S Kommentarer og oppsummering Oppgave - Tre grunnleggende aritmetiske følger og rekker De naturlige tallene: Det n-te leddet er rett og slett det samme som nummeret (indeksen) i rekken: (Kunne
Detaljera) Blir produktet av to vilkårlige oddetall et partall eller et oddetall? Bevis det.
Prøve i R1 04.1.15 Del 1 Hjelpemidler: vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler Husk å begrunne alle svar. Det skal gå klart frem av besvarelsen hvordan du har tenkt. Oppgave
DetaljerFasit og løsningsforslag til Julekalenderen for mellomtrinnet
Fasit og løsningsforslag til Julekalenderen for mellomtrinnet 01.12: Svaret er 11 For å få 11 på to terninger kreves en 5er og en 6er. Siden 6 ikke finnes på terningen kan vi altså ikke få 11. 02.12: Dagens
DetaljerGrafer og funksjoner
Grafer og funksjoner Fredrik Meyer Sammendrag Vi går raskt igjennom definisjonen på hva en funksjon er. Vi innfører også begrepet førstegradsfunksjon. Det forutsettes at du husker hva et koordinatsystem
DetaljerTallregning og algebra
30 Tallregning og algebra Mål for opplæringen er at eleven skal kunne tolke, bearbeide og vurdere det matematiske innholdet i ulike tekster bruke matematiske metoder og hjelpemidler til å løse problemer
DetaljerTest, 5 Funksjoner (1P)
Test, 5 Funksjoner (1P) 5.1 Funksjonsbegrepet 1) f ( x) = 16x + 0 f (0) = 0 16 0 ) f ( x) = 4x 6 f ( ) = 14 6 3) f er en funksjon av x dersom hver verdi av x gir nøyaktig en verdi av f. Riktig Galt 4)
DetaljerHøgskoleni østfold EKSAMEN. Ikke-programmerbar lommeregner uten grafisk skjerm Monica Nordbakke Marianne Maugesten
Høgskoleni østfold EKSAMEN Emnekode: Emne: LUMAT10115 Tall, algebra og funksjoner 1 Dato: 16.12.2015 Eksamenstid: kl. 9 til k1.15 Hjelpemidler: Faglærere: Ikke-programmerbar lommeregner uten grafisk skjerm
DetaljerQED 1 7. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 2. Fasit kapittel 1 Tallenes hemmeligheter
QED 1 7 Matematikk for grunnskolelærerutdanningen Bind 2 Fasit kapittel 1 Tallenes hemmeligheter Kapittel 1 Oppgave 8. Nei Oppgave 9. Det nnes ikke nødvendigvis et minste element i mengden. Et eksempel
DetaljerNår tallene varierer.
Når tallene varierer. Innføring i algebra med støtte i konkreter Astrid Bondø Ny GIV, februar/mars 2013 Når tallene varierer Det første variable skritt! Treff 10 Hesteveddeløp Rød og sort (Et Ess i Ermet,
DetaljerUtforsking av funksjonsuttrykk og de tilhørende grafene ved hjelp av GeoGebra
Anne-Mari Jensen Utforsking av funksjonsuttrykk og de tilhørende grafene ved hjelp av GeoGebra Innledning I ungdomsskolen kommer funksjoner inn som et av hovedområdene i læreplanen i matematikk. Arbeidet
DetaljerHøgskoleni østfold EKSAMEN. LSVIMAT12 Matematikk 1, V 1: Tall og algebra. funksjoner 1. Dato: 16. desember Eksamenstid: kl til kl 15.
Høgskoleni østfold EKSAMEN Emnekode: Emne: LSVIMAT12 Matematikk 1, V 1: Tall og algebra. funksjoner 1 Dato: 16. desember Eksamenstid: kl 09.00 til kl 15.00 2015 Hjelpemidler: Faglærer: Khaled Jemai Kalkulator
DetaljerEksamen REA3028 S2, Høsten 2012
Eksamen REA308 S, Høsten 01 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (6 poeng) Deriver funksjonene 3x x a) gx 3 3x x 3x
DetaljerSemester: Høst År: 2015 Eksamenstype: Individuell skriftlig
Sensurveiledning Emnekode: 4MX230UM1 Emnenavn: Matematikk 2 (5-10) KfK, emne 1 Semester: Høst År: 2015 Eksamenstype: Individuell skriftlig Oppgave 1 I denne oppgaven får du oppgitt tre situasjoner som
DetaljerTallfølger med figurer.
Tallfølger med figurer. Når du skal lese til eksamen i forhold til oppgaver gitt på delprøve 1 med temaet tallfølger er det første du kan lære deg er aritmetiske tallfølger. Aritmetiske tallfølger er alle
DetaljerFigurtall en kilde til kreativitet
Vigdis Brevik Petersen Figurtall en kilde til kreativitet I læreplanen er det lagt vekt på at elevene skal bruke initiativ, kreativitet og utforskning for å etablere kjennskaper og innsikt i matematikkfaget.
DetaljerAddisjon og subtraksjon i fire kategorier
Mona Røsseland Nasjonalt senter for matematikk i Opplæringen 7-Feb-07 Addisjon og subtraksjon i fire kategorier Problemstillinger som inkluderer addisjon og subtraksjon kan ha svært varierende strukturer.
DetaljerR2 eksamen våren 2018 løsningsforslag
R eksamen våren 08 løsningsforslag DEL Uten hjelpemidler Oppgave ( poeng) Deriver funksjonene a) f ( x) = cos ( x ) f ( x) = sin( x ) = sin( x ) b) g ( x) = x sin x g ( x) = sin x + x cos x = sin x + x
DetaljerFunksjoner og andregradsuttrykk
4 110 Funksjoner og andregradsuttrykk Studentene skal kunne benytte begrepet funksjoner og angi definisjonsmengde og verdimengde til funksjoner regne med lineære funksjoner og andregradsfunksjoner og bestemme
DetaljerPotensrekker. Binomialrekker
Potensrekker Potensrekker er rekker på formen: Potensrekker kan brukes på en rekke områder for å finne tilnærmede eller eksakte løsninger på problemer som ellers kanskje må løses numerisk eller krever
DetaljerSmå og store AGILITY-kombinasjoner
Små og store AGILITY-kombinasjoner alle har en definert plan for treningen alle passer for både nybegynnere og videregående alle kan varieres (ved å erstatte/sette inn hindre) OBS: Nummereringen på banene
DetaljerLøsningsforslag MATEMATIKK 1, MX130
Løsningsforslag ATEATIKK 1, X130 UTSATT EKSAEN 8. januar 2010 Oppgave 1 a) Alle flisene forutsettes å være like store. Vi tenker oss at sidekantene på flisene er 1 enhet lang og at arealet av hver flis
DetaljerLær å bruke Microsoft Mathematics, Matematikk-tillegget i Word og WordMat. Av Sigbjørn Hals
Lær å bruke Microsoft Mathematics, Matematikk-tillegget i Word og WordMat Av Sigbjørn Hals 1 Innhold Hva er matematikktillegget for Word?... 2 Nedlasting og installasjon av matematikktillegget for Word...
Detaljer1T eksamen høsten 2017 løsning
1T eksamen høsten 017 løsning Tid: 3 timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 ( poeng) Regn ut og skriv svaret på standardform. 105000 0,15
DetaljerLøsningsforslag Prøveeksamen i MAT-INF 1100, Høsten 2003
Løsningsforslag Prøveeksamen i MAT-INF 1100, Høsten 003 Denne prøveeksamenen har samme format som den virkelige eksamenen, og inneholder oppgaver av samme type og vanskelighetsgrad. Første del av eksamen
DetaljerPRIMTALL FRA A TIL Å
PRIMTALL FRA A TIL Å VEILEDER FOR FORELDRE MED BARN I 5. 7. KLASSE EMNER Side 1 Innledning til primtall P - 2 2 Grunnleggende om primtall P - 2 3 Hvordan finne et primtall P - 5 Innledning til primtall
DetaljerKommentarer til oppgavene
Kommentarer til oppgavene 7.4, 7.7, 7.0, 7.4, 7., 7.98, 7.9 Teknikker: Se/gjette/prøve, gjerne i kombinasjon med tabeller, differanser og: Figurtall. (Eksempel 5, eksempel og figuren nederst side 59, 7.5,
DetaljerMAT 100a - LAB 3. Vi skal først illustrerere hvordan Newtons metode kan brukes til å approksimere n-te roten av et positivt tall.
MAT 100a - LAB 3 I denne øvelsen skal vi bruke Maple til å illustrere noen anvendelser av derivasjon, først og fremst Newtons metode til å løse likninger og lokalisering av min. og max. punkter. Vi skal
DetaljerEksamen R2, Våren 2009
Eksamen R, Våren 009 Del Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave a) Deriver funksjonen f xlnx 3 uln x u x 3 u 6u g u g u f x g
DetaljerEksamen vår 2009 Løsning Del 1
S Eksamen, våren 009 Løsning Eksamen vår 009 Løsning Del Oppgave a) Deriver funksjonene: ) f f f 3 3 f f 4 ) g e 3 g e g e e g e b) ) Gitt rekka 468 Finn ledd nummer 0 og summen av de 0 første leddene.
DetaljerMAT1030 Diskret Matematikk
MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 16: Rekursjon og induksjon Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 17. mars 009 (Sist oppdatert: 009-03-17 11:4) Forelesning 16 MAT1030 Diskret
DetaljerSentralmål og spredningsmål
Sentralmål og spredningsmål av Peer Andersen Peer Andersen 2014 Sentralmål og spredningsmål i statistikk I dette notatet skal vi se på de viktigste momentene om sentralmål og spredningsmål slik de blir
DetaljerHøgskoleni østfold EKSAMEN. LSV1MAT12 Vl: Tall og algebra, funksjoner 1. Dato: Eksamenstid: kl til kl
Høgskoleni østfold EKSAMEN Emnekode: Emne: LSV1MAT12 Vl: Tall og algebra, funksjoner 1 Dato: Eksamenstid: kl. 09.00 til kl. 15.00 9. desember 2014 Hjelpemidler: Kalkulator uten grafisk vindu Faglærer:
DetaljerTall og mengder. Per G. Østerlie. 30. september 2013
Tall og mengder Per G. Østerlie 30. september 2013 1 Introduksjon Nå skal vi se på hva mengder og intervaller er og hvilke symboler vi benytter. Vi starter med å se på tall og hvordan vi kan dele opp i
DetaljerSAMMENDRAG OG FORMLER. Nye Mega 9A og 9B
SAMMENDRAG OG FORMLER Nye Mega 9A og 9B 1 Sammendrag og formler Nye Mega 9A Kapittel A GEOMETRI Regulære mangekanter Når alle sidene er like lange og alle vinklene er like store i en mangekant, sier vi
DetaljerMAT1030 Diskret Matematikk
MAT1030 Diskret Matematikk Plenumsregning 11: Ukeoppgaver Mathias Barra Matematisk institutt, Universitetet i Oslo 7. mars 009 (Sist oppdatert: 009-03-30 09:39) Oppgave 7. Finn en rekursiv og en ikke-rekursiv
DetaljerSENSORVEILEDNING. Emnekode: LSV1MAT12 V1. Emnenavn: Tall og algebra, funksjoner 1 ( trinn) 6 timers individuell skriftlig eksamen.
SENSORVEILEDNING Emnekode: LSV1MAT1 V1 Emnenavn: Tall og algebra, funksjoner 1 (5.-10. trinn) Eksamensform: 6 timers individuell skriftlig eksamen. Dato: 18.1.018 Faglærer(e): Ali Reza Ludvigsen Eventuelt:
DetaljerSammensetningen h = f g er en funksjon fra A til C, h: A -> C og er definert ved h(a) = f(g(a)) Viktig: f g g f
Sammensetningen av to funksjoner. Gitt mengdene A, B og C. La f og g være funksjonene der g: A -> B f: B -> C Da kan vi lage sammensetningen h av f og g. Den betegnes som h = f g (lese som «f ring g»).
DetaljerFasit. Funksjoner Vg1T. Innhold
Fasit Innhold 4.1 Funksjonsbegrepet... 4. Lineære funksjoner... 6 4.3 Andre funksjoner... 15 Andregradsfunksjoner... 15 Polynomfunksjoner... 18 Rasjonale funksjoner... 19 Potensfunksjoner og eksponentialfunksjoner...
DetaljerHva skal til for toppkarakter i matematikk?
Hva skal til for toppkarakter i matematikk? THOR ANDERSEN Bruk av geogebra Mest aktuelt for eksamen Funksjoner, grafer Mest aktuelt for å bedre forståelse Glidere og for eksempel tolking av lineære
DetaljerFasit til utvalgte oppgaver MAT1100, uka 15/11-19/11
Fasit til utvalgte oppgaver MAT uka 5/-9/ Øyvind Ryan oyvindry@ifi.uio.no) November Oppgave 9.. Vi skriver 5x 5 x )x ) A x B x og ser at vi må løse likningene Ax ) Bx ) x )x ) A B 5 A B 5. A B)x A B x
Detaljer4 Funksjoner og andregradsuttrykk
4 Funksjoner og andregradsuttrkk KATEGORI 1 4.1 Funksjonsbegrepet Oppgave 4.110 Regn ut f (0), f () og f (4) når a) f () = + b) f () = 4 c) f () = + 5 d) f () = 3 3 Oppgave 4.111 f() = + + 1 4 3 1 0 1
DetaljerDiofantiske likninger Peer Andersen
Diofantiske likninger av Peer Andersen Peer Andersen 2013 Innhold Når en diofantisk likning har løsning... 3 Generell løsning av den diofantiske likningen... 4 Løsningsmetode når vi kjenner en spesiell
DetaljerINNHOLD SAMMENDRAG ALGEBRA OG FUNKSJONER
INNHOLD ALGEBRA OG FUNKSJONER... PARENTESER... USYNLIGE PARENTESER... USYNLIGE MULTIPLIKASJONSTEGN... DE TI GRUNNLEGGENDE ALGEBRAISKE LOVENE... REGNEUTTRYKK INNSATT FOR VARIABLER... 3 SETTE OPP FORMLER...
DetaljerLøsningsforslag AA6516 Matematikk 2MX - 07. desember 2005. eksamensoppgaver.org
Løsningsforslag AA6516 Matematikk 2MX - 07. desember 2005 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 2MX er gratis, og det er lastet ned
Detaljer1T 2014 høst LØSNING 25000000000 0, 0005 = 2, 5 10 10 5 10 4 = 12, 5 10 6 = 1, 25 10 7. 2 2+ x 2 = 2 4 x 2 4 + x = 8 x = 4
3/8/06 T 0 høst LØSNING - matematikk.net T 0 høst LØSNING Contents Diskusjon av denne oppgaven Løsning av del Matteprat spørsmål om oppgave 6 del DEL EN Oppgave 5000000000 0, 0005 =, 5 0 0 5 0 =, 5 0 6
DetaljerTall og algebra - begrep, forutsetninger og aktiviteter
Tall og algebra - begrep, forutsetninger og aktiviteter Astrid Bondø NSMO 17-Sep-08 Hvordan gjøre oppgavene rikere? Oppgave A Regn ut svaret: a. 985 67 b. 897 65 c. 875 96 d. 586 97 addisjon subtraksjon
DetaljerKapittel 4. Algebra. Mål for kapittel 4: Kompetansemål. Mål for opplæringen er at eleven skal kunne
Kapittel 4. Algebra Mål for kapittel 4: Kompetansemål Mål for opplæringen er at eleven skal kunne gjøre overslag over svar, regne praktiske oppgaver, med og uten digitale verktøy, presentere resultatene
DetaljerLøsningsforslag. e n. n=0. 3 n 2 2n 1. n=1
Eksamen i BYPE2000 - Matematikk 2000 Dato: 6. juni 2014 Målform: Bokmål Antall oppgaver: 7 (20 deloppgaver) Antall sider: 4 Vedlegg: Noen formler Hjelpemiddel: Ingen Alle svarene skal grunngis. Alle deloppgavene
DetaljerLøsningsforslag for eksamen i REA3026 Matematikk S1-08.05.2008. eksamensoppgaver.org
Løsningsforslag for eksamen i REA306 Matematikk S1-08.05.008 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i S1 er gratis, og det er lastet ned
DetaljerHøgskoleni østfold EKSAMEN. LSV1MAT12 Matematikk Vl: Tall, algebra og funksjoner 1
13/. Høgskoleni østfold EKSAMEN Emnekode: Emne: LSV1MAT1 Matematikk Vl: Tall, algebra og funksjoner 1 Dato: 1.1.013 Eksamenstid: kl. 9 til kl. 15 Hjelpemidler: Kalkulator uten grafisk skjerm. Faglærer:
DetaljerOppgaver med et odde nummer har fasit bakerst i læreboken. Her er løsningsforslag med mellomregninger for de gitte øvingsoppgavene.
Diskret matematikk - Høgskolen i Oslo Løsningsforslag for en del oppgaver fra boken Discrete Mathematics and Its Applications Forfatter: Kenneth H. Rosen Oppgaver med et odde nummer har fasit bakerst i
DetaljerMultiplikation och division av bråk
Geir Martinussen & Bjørn Smestad Multiplikation och division av bråk Räkneoperationer med bråk kan visualiseras för att ge stöd åt resonemang som annars kan upplevas som abstrakta. I denna artikel visar
DetaljerLøsningsforslag for eksamen i VG1340 Matematikk 1MX - 02.05.2008. eksamensoppgaver.org
Løsningsforslag for eksamen i VG1340 Matematikk 1MX - 02.05.2008 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 1MX er gratis, og det er lastet
DetaljerKrasjkurs MAT101 og MAT111
Krasjkurs MAT101 og MAT111 Forord Disse notatene ble skrevet under et åtte timer (to firetimers forelesninger) i løpet av 10. og 11. desember 2012. Det er mulig at noen av utregningene ikke stemmer, enten
DetaljerDEL 1 (Uten hjelpemidler, leveres etter 3 timer) 3(a + 1) 4(1 a) (6a 1) = 3a + 3 4 + 4a 6a + 1
HELDAGSPRØVE I MATEMATIKK 1T HØST DEL 1 (Uten hjelpemidler, leveres etter 3 timer) Oppgave 1. Trekk sammen uttrykkene: a) 3(a + 1) 4(1 a) (6a 1) 3(a + 1) 4(1 a) (6a 1) = 3a + 3 4 + 4a 6a + 1 = a. b) 1
DetaljerEKSAMEN. Emne: V1: Tall og algebra, funksjoner 1. Eksamenstid: 6 timer kl til kl.15.00
EKSAMEN Emnekode: LSMATAF11 Emne: V1: Tall og algebra, funksjoner 1 Dato: 13. desember 01 Eksamenstid: 6 timer kl. 09.00 til kl.15.00 Hjelpemidler: Kalkulator uten grafisk vindu Faglærer: Marianne Maugesten
DetaljerKompleksitetsanalyse Helge Hafting 25.1.2005 Opphavsrett: Forfatter og Stiftelsen TISIP Lærestoffet er utviklet for faget LO117D Algoritmiske metoder
Helge Hafting 25.1.2005 Opphavsrett: Forfatter og Stiftelsen TISIP Lærestoffet er utviklet for faget LO117D Algoritmiske metoder Innhold 1 1 1.1 Hva er en algoritme?............................... 1 1.2
DetaljerUnge Abel NMCC. Prosesslogg. Nord-Trøndelag, Norge 27.03.2015
2015 Unge Abel NMCC Prosesslogg Nord-Trøndelag, Norge 27.03.2015 Innhold UngeAbel logg... 2 Faglig rapport... 5 Innledning:... 5 UngeAbel oppgave Aa... 6 GeoGebra... 8 Excel... 9 Konklusjon... 10 UngeAbel
DetaljerEksamen 31.05.2011. REA3028 Matematikk S2. Nynorsk/Bokmål
Eksamen 1.05.2011 REA028 Matematikk S2 Nynorsk/Bokmål Bokmål Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemidler på Del 1: Hjelpemidler på Del 2: 5 timer: Del 1 skal leveres inn etter 2 timer. Del 2 skal leveres
DetaljerEnkel matematikk for økonomer 1. Innhold. Parenteser, brøk og potenser. Ekstranotat, februar 2015
Ekstranotat, februar 205 Enkel matematikk for økonomer Innhold Enkel matematikk for økonomer... Parenteser, brøk og potenser... Funksjoner...4 Tilvekstform (differensialregning)...5 Nyttige tilnærminger...8
DetaljerMassegeometri. Vi skal her se på noen begreper og utregninger som vi får stor bruk for videre i mekanikken.
Massegeometri Vi skal her se på noen begreper og utregninger som vi får stor bruk for videre i mekanikken. Tyngdepunktets plassering i ulike legemer og flater. Viktig for å kunne regne ut andre størrelser.
DetaljerVi anbefaler at elevene blir introdusert for likninger via en praktisk problemstilling. Det kan for eksempel være:
Likninger og algebra Det er større sprang fra å regne med tall til å regne med bokstaver enn det vi skulle tro. Vi tror at både likninger og bokstavregning (som er den algebraen elevene møter i grunnskolen)
DetaljerOppgaver i funksjonsdrøfting
Oppgaver i funksjonsdrøfting To av oppgavene er merket med *. Det betyr at de er ekstra interessante. Oppgave 1 Gitt funksjonen f(x) = x + 4. a) Finn nullpunktene til funksjonen. b) Bruk definisjonen på
DetaljerLøsningsforslag til eksamen i MAT111 Vår 2013
BOKMÅL MAT - Vår Løsningsforslag til eksamen i MAT Vår Oppgave Finn polarrepresentasjonen til i. i Skriv på formen x + iy. i Løsning Finner først modulus og argument til i: i = ( ) + ( ) = 4 = arg( ( )
DetaljerKompleksitet. IN algoritmer og datastrukturer Plenumstime / repetisjon
Kompleksitet IN2010 - algoritmer og datastrukturer Plenumstime / repetisjon Dagens agenda Kompleksitet - hva er det? Avgjørelsesproblemer Kompleksitetsklassene P og NP Reduksjoner - å redusere et problem
DetaljerModellering oppgaver. Innhold. Modellering Vg2
Modellering oppgaver Innhold Modul 1: Lineære modeller og lineær regresjon... 2 Modul 2: Potensfunksjon som modell... 5 Modul 3: Eksponentialfunksjon som modell... 6 Modul 4: Polynomfunksjon som modell...
DetaljerPosisjonsystemet FRA A TIL Å
Posisjonsystemet FRA A TIL Å VEILEDER FOR FORELDRE MED BARN I 5. 7. KLASSE EMNER Side 1 Innledning til posisjonsystemet P - 2 2 Grunnleggende om posisjonsystemet P - 2 3 Titallsystemet P - 3 4 Posisjonsystemet
DetaljerLøsningsforslag eksamen 4MX230UM2-K 5.desember 2013
Løsningsfrslag eksamen 4MX230UM2-K 5.desember 2013 Løsningsfrslag eksamen 4MX230UM2-K 5.desember 2013 Oppgave 1 a) Løs andregradslikningen med fullstendige kvadraters metde. En gutt står på en brygge.
DetaljerMAT 1001, Høsten 2009 Oblig 2, Løsningsforslag
MAT 1001, Høsten 009 Oblig, sforslag a) En harmonisk svingning er gitt som en sum av tre delsvingninger H(x) = cos ( π x) + cos (π (x 1)) + cos (π (x )) Skriv H(x) på formen A cos (ω(x x 0 )). siden H(x)
DetaljerFunksjoner med og uten hjelpemidler
Funksjoner med og uten hjelpemidler Plan for i dag og i morgen Dag 1: 09.00-11.45 Del 1: teori. 11.45-12.30 Lunsj 12.30-13.15 Del 2: bruk av GeoGebra. 13.15-15.15 Oppgaveregning, del 1. Dag 2: 09.00-10.45
DetaljerLøsning eksamen 1T våren 2010
Løsning eksamen 1T våren 010 Oppgave 1 a) 4 3 1 y - -1 1 3 4 5 6-1 x - -3-4 Nullpunktet er gitt ved f ( x) 0 x 30 x 3 3 x 1, 5 Dette ser vi stemmer med grafen. Den skjærer x-aksen i x = 1,5. b) x x 8x
DetaljerFagstoff til eksamen. Matematikk S2
Matematikk S2 Fagstoff til eksamen Innhold på ndla.no er nå tilgjengelig i PDF- eller epub-format som hjelpemidler til eksamen. Disse filene kan lagres på egen datamaskin og leses i digitalt format, eller
DetaljerLøsningsforslag for Eksamen i Matematikk 3MX - Privatister - AA6526 16.05.2008. eksamensoppgaver.org
Løsningsforslag for Eksamen i Matematikk 3MX - Privatister - AA656 16.05.008 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for eksamen i matematikke 3MX er gratis, og
DetaljerEksamen S1, Høsten 2013
Eksamen S1, Høsten 013 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 ( poeng) Funksjonen f er gitt ved Bestem f. f x 3x 3x 1, Df f
Detaljer2P, Modellering Quiz fasit. Test, 3 Modellering
Test, 3 Modellering Innhold 3.1 Lineære modeller og lineær regresjon... 3. Modell for svingetiden til en pendel... 8 3.3 Potensfunksjon som modell... 8 3.4 Eksponentialfunksjon som modell... 18 3.5 Polynomfunksjoner
DetaljerLØSNING: Eksamen 18. des. 2013
LØSNING: Eksamen 8. des. 03 MAT00 Matematikk, høst 03 Oppgave : ( algebra / faktorisering / brøk ) a) Setter inn ligningene i generalbudsjettligningen: R = C +I +G+X () = C 0 +c(r T) + I + G + X 0 br ()
DetaljerGeoGebra 4.2 for Sinus 2P. av Sigbjørn Hals
GeoGebra 4.2 for Sinus 2P av Sigbjørn Hals Innhold Litt om GeoGebra... 3 Linjediagram. Side 46 i læreboka... 3 Søylediagram. Side 57 i Læreboka... 5 Histogram. Side 81 i læreboka... 6 Lineær regresjon.
DetaljerEksamen S2 vår 2009 Del 1
Eksamen S2 vår 2009 Del 1 Oppgave 1 a) Deriver funksjonene: 1) f x x 2 1x 2 1 2 2x 2) gx x e b) 1) Gitt rekka2 468 Finn ledd nummer 20 og summen av de 20 første leddene 1 1 2) Gitt den uendelige rekka
DetaljerSigbjørn Hals, Cappelen Damm Undervisning. Sinus 1P. Digitale løsninger av oppgaver og eksempler med noen utvalgte matematikkverktøy
Sinus 1P Digitale løsninger av oppgaver og eksempler med noen utvalgte matematikkverktøy GeoGebra 4.0 og 4.2 wxmaxima Microsoft Mathematics WordMat TI-Nspire CAS 1 Innhold Litt om programmene... 4 GeoGebra
DetaljerTexas. Så trykker vi på zoom og velger 0:ZoomFit. Vi får fram det valget enten ved å trykke på tasten 0 eller ved å trykke på tasten noen ganger.
ON Lommeregnerstoff Texas 4.1 Rette linjer Her viser vi hvordan vi går fram for å få tegnet linja med likningen y = 2x 3 Vi trykker på Y= og legger inn likningen som vist nedenfor. Nå må vi velge vindu.
DetaljerSandefjordskolen BREIDABLIKK UNGDOMSSKOLE ÅRSPLAN FOR FORESATTE I MATEMATIKK 9.TRINN SKOLEÅR 2015-2016. Side 1 av 9
Sandefjordskolen BREIDABLIKK UNGDOMSSKOLE ÅRSPLAN FOR FORESATTE I MATEMATIKK 9.TRINN SKOLEÅR 2015-2016 Side 1 av 9 Periode 1: UKE 34-UKE 39 Tema: Statistikk gjennomføre undersøkelser og bruke databaser
DetaljerSystem av likninger. Den andre likningen løses og gir x=1, hvis man setter x=1 i første likning får man
System av likninger System av likninger er en mengde likninger med flere ukjente. I økonomiske sammenheng er disse svært vanlige ved optimering. Ofte må vi kreve deriverte lik null for å optimere. I kurset
DetaljerLegg merke til at summen av sannsynlighetene for den gunstige hendelsen og sannsynligheten for en ikke gunstig hendelse, er lik 1.
Sannsynlighet Barn spiller spill, vedder og omgir seg med sannsynligheter på andre måter helt fra de er ganske små. Vi spiller Lotto og andre spill, og håper vi har flaks og vinner. Men hvor stor er sannsynligheten
DetaljerObligatorisk oppgave i MAT 1100, H-03 Løsningsforslag
Oppgave : Obligatorisk oppgave i MAT, H- Løsningsforslag a) Vi skal regne ut dx. Substituerer vi u = x, får vi du = x dx. De xex nye grensene er gitt ved u() = = og u() = = 9. Dermed får vi: 9 [ ] 9 xe
DetaljerEmnenavn: Ny, utsatt eksamen. Eksamenstid: Faglærere: Monica Nordbakke. Marianne Maugesten
EKSAMEN Emnekode: LMUMAT10117 Emnenavn: MAT101: Tall, algebra og funksjoner 1 (5-10) Ny, utsatt eksamen Dato: 14.06.2018 Eksamenstid: 9.00 15.00 Hjelpemidler: Kalkulator (ikke grafisk) Faglærere: Monica
DetaljerOppgaver om derivasjon
Oppgaver om derivasjon Oppgave 1 Gitt funksjonen g(x) = x 3 6x 48x + 13 a) Finn g (x). b) Bruk den deriverte til å finne x-koordinaten til topp/bunn-punktene til grafen. Finn også de tilhørende y-koordinatene,
Detaljer03.10.2013 Manual til. GeoGebra. Ungdomstrinnet. Ressurs til. Grunntall 8 10. Bjørn Bakke og Inger Nygjelten Bakke ELEKTRONISK UNDERVISNINGSFORLAG AS
03.10.2013 Manual til GeoGebra Ungdomstrinnet Ressurs til Grunntall 8 10 Bjørn Bakke og Inger Nygjelten Bakke ELEKTRONISK UNDERVISNINGSFORLAG AS Innhold Verktøy... 4 Hva vinduet i GeoGebra består av...
Detaljer12 Vekst. Areal under grafer
MATEMATIKK: 2 Vekst. Areal under grafer 2 Vekst. Areal under grafer 2. Stigningstall og gjennomsnittlig vekst I kapitlene 8 og 0 viste vi hvordan vi kunne regne ut stigningen til en rett linje eller lineær
Detaljer