Regresjon med GeoGebra 4.0

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "Regresjon med GeoGebra 4.0"

Transkript

1 Regresjon med GeoGebra 4.0 av Sigbjørn Hals Innhold Liste over kommandoene... 2 Lineær regresjon... 3 Potensregresjon... 5 Eksponentiell regresjon... 5 Logaritmisk regresjon... 6 Logistisk regresjon... 6 Sinusregresjon... 7 Egendefinert regresjon... 7 Fordeler med egendefinerte funksjoner ved kurvetilpasning Hvilken regresjonsmodell er best? Sum av kvadratavvik... 11

2 Liste over kommandoene I GeoGebra 4.0 er det flere forandringer i forhold til versjon 3.2. Her er en oversikt over de ulike kommandoene for regresjon (kurvetilpasning): Kommando Syntaks Eksempel Eksempel på resultat RegLin RegLin[ <liste med punkt> ] RegLin[ liste1 ] a : 280x 80y 624 a : y 3.5x 7.8 RegLinX RegLinX[ <liste med punkt> ] RegLinX[ liste1 ] a : 35x 10y 78 a : y 3.5x 7.8 RegPoly RegPoly[ <liste med punkt>, <polynomgrad> ] RegPoly[ liste1,1 ] f( x) 3.5x 7.8 RegPot RegPot[ <liste med punkt> ] RegPot[ liste2 ] 1.44 f( x) 4.91 x RegEksp RegEksp[ <liste med punkt> ] RegEksp[ liste3 ] f( x) x RegEksp2 RegEksp2[ <liste med punkt> ] RegEksp2[ liste3 ] g( x) 4.98 e RegLog RegLog[ <liste med punkt> ] RegLog[ liste4 ] f( x) ln( x) RegLogist RegLogist[ <liste med punkt> ] RegLogist[ liste5 ] 5634,29 f( x) 0.36x e RegSin RegSin[ <liste med punkt> ] RegSin[ liste6 ] f( x) sin(2.45 x 3) Se kommentarer på Reg a*sin(x)+b*x+c ] Reg[ <liste med punkt >, <liste side med funksjoner> ] Reg[ liste7, f( x) 1.5sin( x) 0.5x 2 De to øverste er eldre kommandoer, som gir rette linjer med likninger av typen ax by c, som kan omformes til y = ax + b. Resten av regresjonskommandoene viser resultatet på funksjonsformen f(x) = Nedenfor vises listene som er brukte i eksemplene. Liste 1 Liste 3 Liste 4 Liste 6 Liste 7 Liste 8 1-4, ,9 0,0 4,2 0 2, , ,4 0,8 2,9 1 3, , ,7 1,6 5,9 2 4, , ,9 2,4 4,9 3 3, ,0 3,1 2,7 4 2, ,9 5,4 5 3, Liste 2 Liste 5 4,7 5,5 6 4, ,6 7 6, ,4 8 7, ,5 9 7, ,3 10 6, , , , , ,6 Liste 5 er hentet fra eksempelet på side 324 i Sinus R x 2

3 Lineær regresjon En plasserer først de aktuelle punktene direkte på grafikkfeltet med punktverktøyet, eller ved å skrive x- og y-verdiene inn i hver sin kolonne i regnearket, merke disse, høyreklikke og velge Lag og deretter Lag liste med punkt. (Figur 1.) Dette gjelder for alle typer regresjon. Figur 1 Figur 2 Når punktene er plasserte, er det enklest å bruke verktøyet Beste tilpasset linje for å finne likningen for ei rett linje som er tilpasset disse punktene (Figur 2). En velger dette verktøyet og klikker på ett av punktene (dersom det er et punkt i ei liste) eller drar et rektangel over de aktuelle punktene. Likningen for linja kommer da automatisk opp i algebrafeltet. I dette tilfellet er ikke likningen ferdig forkortet. Ved å høyreklikke på likningen i algebrafeltet og velge Likning y = ax + b, blir denne omformet til formen a: y = 3.5x 7.8. Figur 3 3

4 OBS: I GeoGebra 4.0, kan vi nå skrive for eksempel: a(3.2) og trykke Enter. Da får vi regnet ut y-verdien for x = 3,2. Kommandoen RegLinX gir det samme resultatet som RegLin, når vi omformer likningene til formen y = ax + b. Figur 4 Dersom vi ønsker å få likningen for den rette linja på funksjonsform f(x) = ax + b, må vi bruke kommandoen RegPoly[ navn på liste, 1]. Se mer om dette under Polynomregresjon. Polynomregresjon I eksempelet i oversikten har jeg valgt å finne en polynomfunksjon av første grad (en lineær funksjon). Som vist i oversikten på side 2, skriver vi da inn RegPoly[ liste1, 1]. Figur 5 Dersom vi vil finne polynomfunksjoner av høyere grad, skriver vi bare: RegPoly[ navn på liste, 2 ] for å få en andregradsfunksjon, og RegPoly[ navn på liste, 3 ] for å få en tredjegradsfunksjon, osv. 4

5 Potensregresjon b En potenspunksjon av typen f ( x) a x vil alltid gå gjennom origo. OBS! Ved potensregresjon må alle punktene ligge i første kvadrant (x > 0 og y > 0). Vi skriver inn RegPot [ liste2 ] og trykker Enter (dersom navnet på lista som blir laget er liste2). Eksponentiell regresjon Figur 6 x bx En eksponentialfunksjon av typen f( x) a b eller g( x) a e vil skjære y-aksen i punktet (0, a). OBS! Fordi funksjoner av denne typen ikke kan gi negative y-verdier, må punktene ligge i første og/eller andre kvadrant (y > 0). I tidligere versjoner av GeoGebra ga kommandoen RegEksp[ navn på liste ] bx resultatet på formen f ( x) a e. En måtte da regne ut verdien av b e for å få x likningen på formen f ( x) a b. I GeoGebra 4.0 har vi valgt å la RegEksp gi x bx likningen f ( x) a b og RegEksp2 resultere i likningen g( x) a e. 5

6 Figur 7 Logaritmisk regresjon Vi kan ikke ta logaritmen av et negativt tall. Grafen vil derfor her bli tegnet for positive x-verdier. Vi skriver inn koordinatene for RegLog[ liste3 ] og trykker Enter. Likningen som er best tilpasset punktene i liste3, er f( x) ln( x). OBS! Fordi vi ikke kan ta logaritmen av et negativt tall, må derfor punktene ligge i første og/eller fjerde kvadrant (x > 0). Figur 8 Logistisk regresjon Her er det viktig at en velger punkt som representerer alle deler av den logistiske utviklingen. Problemer i forbindelse med logistisk regresjon skyldes ofte at en har lagt inn urimelige verdier, eller verdier fra et for snevert område av utviklingen. Det er veldig viktig at det er tilstrekkelig med punkt fra krumningene på begge sider av vendepunktet. Dersom dette kravet ikke er oppfylt, blir det vanskelig å få en god kurvetilpasning ved logistisk regresjon. Du vil heller ikke få en fornuftig likning dersom du har med y-verdier som er lik 0. 6

7 Figur 9 Sinusregresjon Her bruker vi radianer som vinkelmål. Vi kunne også ha latt x-verdiene vere grader, men da måtte vi brukt tegnet etter hver x-verdi i tabellen. I GeoGebra fungerer gradetegnet bare som en omregningskonstant fra grader til radianer. Når vi skriver 45 sin(45 ), er GeoGebra programmert til å regne ut sin 180. Vi skriver inn RegSin[ liste6 ] og trykker Enter. Som for de andre regresjonstypene får vi tegnet den best tilpassede grafen, og får fram likningen for denne i grafikkfeltet. Figur 10 Egendefinert regresjon Den generelle kommandoen Reg lar oss kombinere funksjoner, og selv bestemme utformingen av likningen som er best tilpasset de gitte punktene. Vi har to muligheter for egendefinerte funksjoner ved kurvetilpasning: 1. Reg[ navn på liste, funksjon ] 2. Reg[ navn på liste, liste med funksjoner ] 7

8 Nedenfor vil jeg vise begge disse variantene på datasettet i liste7. Plotter vi punktene i liste7, ser vi at de avbilder en kombinasjon av periodiske svingninger og en gradvis stigning mot høyre. Det ser også ut til at symmetrilinja for grafen skjærer y-aksen i punktet (0, 2). Mye tyder på at grafen representerer en funksjon med likningen f( x) a sin( x) b x c. Vi sier at f er en lineær kombinasjon av delfunksjonene sin(x), x og konstanten c, når vi kan skrive funksjonsuttrykket til f som en sum av disse delfunksjonene, og der delfunksjonene er multipliserte med konstanter som vi ønsker å finne. Figur 11 Første variant Vi definerer først de aktuelle delfunksjonene som f(x) er en lineær kombinasjon av, og skriver da g(x) = sin(x), h(x) = x og i(x) = 1. Vi trykker Enter etter å ha skrevet inn hver av delfunksjonene, og kan skjule grafene til disse i grafikkfeltet ved å klikke i punktene foran hver av likningene i algebrafeltet. Deretter skriver vi inn Reg[liste7, {g,h,i}]. Pass på parentesene. Med avrunding til en desimal, får vi svaret som er vist i figur 14 på neste side. Figur 13 Figur 12 8

9 Figur 14 Andre variant Vi antar også her at likningen vi skal fram til har formen f( x) a sin( x) b x c. Vi må da først gi parameterne a, b og c startverdier, og skriver inn a = 1, b = 1 og c = 2. (Vi får det samme resultatet om vi bruker startverdien 1 for c også.) Vi trykker Enter mellom hver inntasting. Så skriver vi Reg[ liste7, a*sin(x) + b*x + c ]. Grafen blir tegnet i grafikkfeltet, og likningen blir vist i algebrafeltet, som i første variant. Legg merke til at der var konstantleddet skrevet som 21, men her blir det skrevet som 2. Hadde vi valgt i(x) = 0.5 i første variant, ville konstantleddet blitt skrevet som Figur 15 9

10 Dersom vi har en ikke-lineær kombinasjon av funksjoner, som for eksempel f( x) a sin( x) ln( x), må vi bruke Reg[ navn på liste, funksjon ], der a er definert først som en glider. (Glideren behøver ikke å vises i grafikkfeltet.) Vi kaller dette en ikke-lineær kombinasjon, fordi f her ikke består av en sum, men et produkt av delfunksjoner. Fordeler med egendefinerte funksjoner ved kurvetilpasning Vi skal nå se på et eksempel som viser fordelene med det kraftige generelle regresjonsverktøyet Reg. Du har stående en kopp te med temperatur 80 C. Romtemperaturen er 22 C. Som et forsøk måler du temperaturen i teen hvert 5. minutt i en hel time. Resultatet av målingene er gitt i liste nr. 8. Vi skriver disse målingene inn i regnearket i GeoGebra, lager ei liste med punkt og plotter punktene i grafikkfeltet. Dersom vi bruker kommandoene RegEksp eller RegEksp2, får vi en graf som nærmer seg x-aksen når x går mot uendelig. Vi ser at dette ikke er noen god kurvetilpasning, fordi grafen ikke nærmer seg 22 C. Det er ikke logisk at temperaturen i teen skal bli lavere enn romtemperaturen. Figur 16 Vi kan bruke kommandoen Reg og avkjølingsloven til Newton for å finne verdiene til kx parameterne i likningen t( x) ( t0 r ) e r. Her er t(x) temperaturen etter x minutter, t 0 er starttemperaturen og r er romtemperaturen. Vi vet at t 0 er 80 og at r = 22. Da blir likningen t( x) 58 e kx 22. Her blir det bare å bestemme verdien til k. Vi vil imidlertid jobbe mer generelt, som om vi ikke kjenner romtemperaturen, og vil kx se om GeoGebra kan finne parameterverdiene i likningen t( x) a e b, ut fra datasettet. Vi må først gi a, b og k noen startverdier, og skriver for eksempel inn a = 70, b = 25 og k = t(x) = Reg[ liste8, a*e^(-k*x)+b ] gir oss da likningen t x x ( ) 58 e 22. I figur 17 på neste side ser vi at grafen til denne likningen passer perfekt til de målte verdiene. 10

11 Figur 17 Hvilken regresjonsmodell er best? Sum av kvadratavvik Vi vil nå se på datasettet i liste2 på nytt. I eksempelet i oversikten på side 2, så vi at kommandoen RegPot gav likningen f ( x) x. Dersom vi prøver polynomregresjon av andre grad ved å skrive inn RegPoly[ liste2, 2 ], får vi likningen 2 g( x) 1.29x 3.89x. Tegner vi begge grafene i det samme koordinatsystemet, ser vi at det ikke er lett å avgjøre hvilken av grafene som er best tilpasset punktene i liste2. Figur 18 For å få et objektivt mål på hvilken kurvetilpasning som er best, kan vi regne ut summen av kvadratavvikene. Det gjør vi ved å finne ut hvor mye hver av funksjonene ligger over eller under hvert av punktene på grafen. Vi kvadrerer så denne avstanden (tar avstanden og ganger med seg selv), og summerer de kvadrerte avstandene for 11

12 alle punktene. Den grafen som har den minste summen av kvadratavvik, er best tilpasset de aktuelle punktene. Figur 19 For å regne ut kvadratavviket for f(x) i det første punktet tar vi altså: 2 (5 4,908) 0,008. Summen av kvadratavvikene er 2,1 for g(x) og 5,7 for f(x). Andregradslikningen punktene enn grafen til for g(x). 2 g( x) 1.29x 3.89x gir altså en graf som passer bedre med f ( x) x, fordi summen av kvadratavvikene er minst Vi finner den største forskjellen i kvadratavvik for det siste punktet. I figuren nedenfor er det aktuelle utsnittet forstørret opp. Aksene er stilt inn slik at forholdet x : y = 1 : 1. Figur 20 12

13 Nå er dette en nokså omstendelig metode å utføre trinnvis, slik jeg har vist ovenfor. I GeoGebra 4.0 er det imidlertid en kommando som gjør hele jobben for oss: Dersom vi skriver SumKvadratavvik[ liste2, f ], får vi resultatet Skriver vi SumKvadratavvik[ liste2, g ], får vi resultatet 2,0571. GeoGebra 4.0 regner altså ut summen av kvadratavvikene direkte. Denne summen er et bedre mål enn korrelasjonskoeffisienten for hvor god kurvetilpasningen er. Korrelasjonskoeffisienten r er bare et mål for om punktene ligger på ei rett linje. Nedenfor ser vi to eksempler på punktmengder som begge har en korrelasjonskoeffisient på 0,8. Da er r 2 = 0,64. Det betyr at 64 % av dataene har en direkte lineær sammenheng. Korrelasjonskoeffisienten er altså bare et mål for lineariteten til punktene, og ikke et mål på hvor godt tilpasset for eksempel en tredjegradsfunksjon er til en bestemt punktmengde. På figur 21 kan det jo godt være at det siste punktet er en målefeil, og at alle de andre målingene er korrekte. Tar vi bort det siste punktet, vil korrelasjonskoeffisienten være 1,0, og vi har 100 % linearitet. På figur 22 ligger punktene på en parabel. Her er det tydelig at vi ikke har en lineær sammenheng mellom x- og y-verdiene. r = 0,8 r = 0,8 Figur 21 Figur 22 GeoGebra 4.0 kan også gi korrelasjonskoeffisienten for lister med punkt. Du skriver da inn Korrelasjonskoeffisient[ navn på liste ], og trykker Enter. Som vi ser, er dette en egenskap ved forholdet mellom x- og y-verdiene i lista med punkt. Det har ingenting med forholdet mellom regresjonsgrafen og punktene å gjøre, bortsett fra at korrelasjonskoeffisienten forteller oss i hvilken grad punktene ligger på ei rett linje. Dersom korrelasjonskoeffisienten er 1,0, vil det finnes ei rett linje som går gjennom alle punktene. 13

14 For ikke-lineære grafer, kan en også bruke kommandoen RKvadrat[ navn på liste, funksjon ]. I eksempelet som er illustrert i figur 18, får vi en mindre verdi av RKvadrat for potensfunksjonen f enn for andregradsfunksjonen g. Dette stemmer med at potensfunksjonen har et større kvadratavvik enn andregradsfunksjonen. (For å se forskjellen må vi endre innstillingene for avrunding til minst fire desimaler. Dette er gjerne upraktisk i andre sammenhenger.) Figur 23 Korrelasjonskoeffisienten r ligger i dette området: r 1,1. RKvadrat ligger i dette området: R,1. Dersom alle punktene ligger på ei rett linje, vil både Korrelasjonskoeffisienten og RKvadrat ha verdien 1, men RKvadrat vil også ha verdien 1 dersom alle punktene ligger på en ikke-lineær graf. Det er ikke tilfellet med r. Jeg foretrekker SumKvadratavvik som mål på beste kurvetilpasning. Som vi har sett av eksemplene, krever regresjonsanalyse en kritisk og reflektert behandling av alle data som vi har tenkt å bruke i modelleringsprosessen. Kilder: Anscombe, F. (1973) Graphs in statistical analysis. American Statistician, 27, Ulven, 2011 Oldervoll, Orskaug, Vaaje, Hanisch og Hals, Sinus R2, Cappelen Damm 14

Kurvetilpasning (regresjon) med GeoGebra 4.0

Kurvetilpasning (regresjon) med GeoGebra 4.0 Kurvetilpasning (regresjon) med GeoGebra 4.0 av Sigbjørn Hals Innhold Liste over kommandoene... 2 Lineær regresjon... 3 Potensregresjon... 5 Eksponentiell regresjon... 5 Logaritmisk regresjon... 6 Logistisk

Detaljer

GeoGebra 4.2 for Sinus Påbyggingsboka T. av Sigbjørn Hals

GeoGebra 4.2 for Sinus Påbyggingsboka T. av Sigbjørn Hals GeoGebra 4.2 for Sinus Påbyggingsboka T av Sigbjørn Hals Innhold Litt om GeoGebra... 3 Nullpunkt. Side 11 i læreboka... 3 Andregradslikninger. Side 18 i læreboka... 3 Momentan vekstfart. Side 47 i læreboka...

Detaljer

GeoGebra 4.2 for Sinus 2P. av Sigbjørn Hals

GeoGebra 4.2 for Sinus 2P. av Sigbjørn Hals GeoGebra 4.2 for Sinus 2P av Sigbjørn Hals Innhold Litt om GeoGebra... 3 Linjediagram. Side 46 i læreboka... 3 Søylediagram. Side 57 i Læreboka... 5 Histogram. Side 81 i læreboka... 6 Lineær regresjon.

Detaljer

Sigbjørn Hals, Cappelen Damm Undervisning. Sinus 2P. Digitale løsninger av oppgaver og eksempler med noen utvalgte matematikkverktøy

Sigbjørn Hals, Cappelen Damm Undervisning. Sinus 2P. Digitale løsninger av oppgaver og eksempler med noen utvalgte matematikkverktøy Sinus 2P Digitale løsninger av oppgaver og eksempler med noen utvalgte matematikkverktøy GeoGebra 4.0 og 4.2 wxmaxima Microsoft Mathematics WordMat TI-Nspire CAS 1 Innhold Litt om programmene... 4 GeoGebra

Detaljer

Regresjon med GeoGebra

Regresjon med GeoGebra Praksis og Teori Askim videregående skole 14.08.14 1 Lærplanmål 2 Punkter og Lister 3 Regresjon 4 Teori 5 Nytt verktøy Læreplanmål i 2P Modellering gjere målingar i praktiske forsøk og formulere matematiske

Detaljer

GeoGebra for Sinus 2T

GeoGebra for Sinus 2T GeoGebra for Sinus 2T Innhold Vektorer med GeoGebra Skalarproduktet med GeoGebra Parameterframstilling med GeoGebra Ordnede utvalg eksempelet på side 89 med GeoGebra Uordnede utvalg eksempelet på side

Detaljer

GeoGebra 4.2 for Sinus 1T. av Sigbjørn Hals

GeoGebra 4.2 for Sinus 1T. av Sigbjørn Hals GeoGebra 4.2 for Sinus 1T av Sigbjørn Hals Innhold Litt om GeoGebra... 3 Faktorisering. Side 55 i læreboka... 3 Rette linjer. Side 73 i læreboka... 3 Digital løsning av likninger. Side 77 i læreboka...

Detaljer

GeoGebra-opplæring i 2P-Y

GeoGebra-opplæring i 2P-Y GeoGebra-opplæring i 2P-Y Emne Underkapittel Terningkast 2.1 Valgtre I 2.3 Valgtre II 2.7 Graftegning 3.2 Nullpunkter 3.3 Å finne y- og x-verdier 3.4 Andregradsfunksjoner 3.5 Grafisk løsning 3.5 Tredjegradsfunksjoner

Detaljer

GeoGebra-opplæring i Matematikk 2T

GeoGebra-opplæring i Matematikk 2T GeoGebra-opplæring i Matematikk 2T Emne Underkapittel Vektorer 1.4 Lengden av vektorer 1.5 Skalarprodukt. Vinkel mellom to vektorer 1.6 Parameterframstilling 1.8 Binomialkoeffisient I 2.7 Binomialkoeffisient

Detaljer

Basisoppgaver til Tall i arbeid Påbygging kap. 4 Modellering

Basisoppgaver til Tall i arbeid Påbygging kap. 4 Modellering Basisoppgaver til Tall i arbeid Påbygging kap. 4 Modellering 4.1 Mer om lineær vekst 4.2 En lineær modell på øyemål 4.3 Lineær regresjon 4.4 Modellering med polynomfunksjoner 4.5 Modellering med eksponentialfunksjoner

Detaljer

GeoGebra i 1T. Grafer. Å tegne grafen til en funksjon. GeoGebra tegner grafen til f(x) = 0,5x 2 for 0 x 10.

GeoGebra i 1T. Grafer. Å tegne grafen til en funksjon. GeoGebra tegner grafen til f(x) = 0,5x 2 for 0 x 10. 2 Grafer Å tegne grafen til en funksjon Akser Rutenett Avrunding GeoGebra tegner grafen til f(x) = 0,5x 2 for 0 x 10. Funksjonen får automatisk navnet f. Hvis grafen ikke vises, kan du høyreklikke i grafikkfeltet

Detaljer

Funksjoner med og uten hjelpemidler

Funksjoner med og uten hjelpemidler Funksjoner med og uten hjelpemidler Plan for i dag og i morgen Dag 1: 09.00-11.45 Del 1: teori. 11.45-12.30 Lunsj 12.30-13.15 Del 2: bruk av GeoGebra. 13.15-15.15 Oppgaveregning, del 1. Dag 2: 09.00-10.45

Detaljer

Kurs. Kapittel 2. Bokmål

Kurs. Kapittel 2. Bokmål Kurs 9 Kapittel 2 Bokmål 1 av 9 Kurs i GeoGebra Funksjoner og grafer I dette kurset skal vi se nærmere på hvordan vi kan bruke GeoGebra som en graftegner. Grunnleggende innstillinger Når vi skal bruke

Detaljer

Sinus Påbyggingsboka T

Sinus Påbyggingsboka T Sinus Påbyggingsboka T Digitale løsninger av oppgaver og eksempler med noen utvalgte matematikkverktøy GeoGebra 4.2 wxmaxima Microsoft Mathematics WordMat TI-Nspire CAS Innhold Litt om programmene... 4

Detaljer

GeoGebra 4.2 for Sinus Påbyggingsboka P. av Sigbjørn Hals

GeoGebra 4.2 for Sinus Påbyggingsboka P. av Sigbjørn Hals GeoGebra 4.2 for Sinus Påbyggingsboka P av Sigbjørn Hals Innhold Litt om GeoGebra... 3 Eksponentiell vekst. Side 45 i læreboka... 3 Søylediagram. Side 50-52 i læreboka... 4 Kurvediagram. Side 55-56 i læreboka...

Detaljer

Plotting av grafer og funksjonsanalyse

Plotting av grafer og funksjonsanalyse Opplæringshefte i GeoGebra Innholdsfortegnelse: Plotting av grafer og funksjonsanalyse... 2 Oppgave 1... 2 Oppgave 2... 4 Oppgave 3... 8 Å plassere et bilde i GeoGebra... 8 Oppgave 4... 8 Vektorregning

Detaljer

Sandvold Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 2P. Geogebra

Sandvold Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 2P. Geogebra Sandvold Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Geogebra 1 Geogebra for Sigma matematikk 2P Innledning Denne bruksanvisningen er ment som en beskrivelse av dataprogrammet

Detaljer

GeoGebra-opplæring i Matematikk 2P

GeoGebra-opplæring i Matematikk 2P GeoGebra-opplæring i Matematikk 2P Emne Underkapittel Graftegning 2.1 Linje gjennom to punkter 2.1 Å finne y- og x-verdier 2.1 Lineær regresjon 2.3 Andregradsfunksjoner 2.4 Polynomregresjon 2.4 Eksponential-

Detaljer

S1 kapittel 5 Funksjoner Løsninger til oppgavene i boka

S1 kapittel 5 Funksjoner Løsninger til oppgavene i boka S1 kapittel 5 Funksjoner Løsninger til oppgavene i boka 5.1 a f( x) = 4x+ 0 I GeoGebra skriver vi f(x)=funksjon[-4x+0,-5,5]. Grafen viser at [ 0, 40] V =. f b gx ( ) =,5x+ 10 I GeoGebra skriver vi f(x)=funksjon[,5x+10,-10,4].

Detaljer

2P kapittel 2 Modellering Løsninger til innlæringsoppgavene

2P kapittel 2 Modellering Løsninger til innlæringsoppgavene P kapittel Modellering Løsninger til innlæringsoppgavene.1 a c d e y = 4x+ 1 Stigningstallet er 4. Konstantleddet er 1. Linja skjærer altså y-aksen i punktet (0,1). y = 3x 4 Stigningstallet er 3. Konstantleddet

Detaljer

Lær å bruke GeoGebra 4.0

Lær å bruke GeoGebra 4.0 Lær å bruke GeoGebra 4.0 av Sigbjørn Hals Innhold: Generelt om GeoGebra... 2 Innstillinger... 2 Likninger og ulikheter... 5 Implisitte likninger... 5 Ulikheter... 9 Statistikkberegninger i regnearket...

Detaljer

GeoGebra-opplæring i Matematikk S1

GeoGebra-opplæring i Matematikk S1 GeoGebra-opplæring i Matematikk S1 Emne Underkapittel Utregning av algebraiske uttrykk 1.4 Forenkle uttrykk 1.5 Faktorisering 1.5 Kvadratsetningene 1.6 Grafisk løsning av eksponentiallikninger 1.8 Grafisk

Detaljer

Hvordan forandrer jeg på innstillingene langs aksene, slik at hele grafen viser? Dette kan du gjøre på seks ulike måter:

Hvordan forandrer jeg på innstillingene langs aksene, slik at hele grafen viser? Dette kan du gjøre på seks ulike måter: Spørsmål og svar om GeoGebra, versjon 3.0 bokmål. Jeg har lastet ned en installasjonsfil fra www.geogebra.org og installert programmet, men får det ikke til å fungere. Hva kan dette skyldes? Den vanligste

Detaljer

Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet

Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet Innhold FUNKSJONSTEGNER... 3 Skjermbildet i GeoGebra... 3 Verktøylinja... 4 Verktøyet Flytt eller velg objekt... 4 Oppsett av skjermbildet... 5 Flytte tegneflaten, endre enheter på aksene... 5 Flytt inntastingsfeltet

Detaljer

2P kapittel 2 Modellering Utvalgte løsninger oppgavesamlingen

2P kapittel 2 Modellering Utvalgte løsninger oppgavesamlingen P kapittel Modellering Utvalgte løsninger oppgavesamlingen 01 a Av tabellen ser vi at y minker like mye hver gang x øker med 1. Tallene passer derfor med en lineær funksjon. b Hver gang x øker med 1, minker

Detaljer

GeoGebra-opplæring i Matematikk S2

GeoGebra-opplæring i Matematikk S2 GeoGebra-opplæring i Matematikk S Emne Underkapittel Faktorisering.1 Grafisk løsning av likningssett I.3 Størst mulig overskudd 3. Vendepunkter 3.4 Den naturlige eksponentialfunksjonen 3.5 3.6 Den naturlige

Detaljer

Sigbjørn Hals. Øving i bruk av GeoGebra på eksamensoppgaver for 10. Klasse. Eksamensoppgave, Utdanningsdirektoratet V-2011

Sigbjørn Hals. Øving i bruk av GeoGebra på eksamensoppgaver for 10. Klasse. Eksamensoppgave, Utdanningsdirektoratet V-2011 Øving i bruk av GeoGebra på eksamensoppgaver for 10. Klasse Eksamensoppgave, Utdanningsdirektoratet V-2011 1 Framgangsmåten med GeoGebra Vi vil her bare se på løsningen av oppgavene c og d. Åpne GeoGebra.

Detaljer

GeoGebra finner nullpunktene til en innlagt polynomfunksjon f. GeoGebra finner nullpunktene til en innlagt funksjon f i intervallet [1, 8].

GeoGebra finner nullpunktene til en innlagt polynomfunksjon f. GeoGebra finner nullpunktene til en innlagt funksjon f i intervallet [1, 8]. 413 GeoGebra i S2 Grafer Nullpunkter GeoGebra finner nullpunktene til en innlagt polynomfunksjon f. Topp- og bunnpunkter GeoGebra finner nullpunktene til en innlagt funksjon f i intervallet [1, 8]. GeoGebra

Detaljer

QED 5 10. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 1 og 2. GeoGebra-øvelser i funksjonslære. Av Peer Sverre Andersen

QED 5 10. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 1 og 2. GeoGebra-øvelser i funksjonslære. Av Peer Sverre Andersen QED 5 10 Matematikk for grunnskolelærerutdanningen Bind 1 og 2 GeoGebra-øvelser i funksjonslære Av Peer Sverre Andersen Innhold INNLEDNING... 3 KORT INNFØRING I GEOGEBRA... 4 ØVELSE 1. TEGNE GRAFER...

Detaljer

KORT INNFØRING I GEOGEBRA

KORT INNFØRING I GEOGEBRA Innhold INNLEDNING... 3 KORT INNFØRING I GEOGEBRA... 4 ØVELSE 1. TEGNE GRAFER... 9 ØVELSE 2. TEGNE GRAFER TIL RASJONALE FUNKSJONER... 11 ØVELSE 3. LIKNINGSLØSNING... 15 ØVELSE 4. TANGENTER OG MAKS OG MIN

Detaljer

2.1 Regnerekkefølge. 3.4 Rette linjer med digitale verktøy 2(3 + 1) (6+ 2):4+ 42

2.1 Regnerekkefølge. 3.4 Rette linjer med digitale verktøy 2(3 + 1) (6+ 2):4+ 42 Sinus T uten grafisk kalkulator Dette dokumentet oversetter kapittelet Lommeregnerstoff i Sinus T boka til Cappelen Damm til Excel- og GeoGebrastoff.. Regnerekkefølge ( + ) (6+ ):+ CTRL+J Bytter mellom

Detaljer

Funksjoner 1T Quiz. Test, 4 Funksjoner

Funksjoner 1T Quiz. Test, 4 Funksjoner Test, 4 Funksjoner Innhold 4.1 Funksjonsbegrepet... 4. Lineære funksjoner... 6 4.3 Andre funksjonstyper... 14 4.4 Vekstfart og derivasjon... 0 4.5 Drøfting av funksjoner på grunnlag av egenskaper hos den

Detaljer

2P kapittel 3 Modellering

2P kapittel 3 Modellering P kapittel 3 Modellering Løsninger til oppgavene i oka 3.1 a Forskerne fant 00 individer av fiskearten da de startet areidet. I løpet av de neste 10 årene sank estanden og etter 10 år var den utryddet.

Detaljer

Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet

Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet Innhold FUNKSJONSTEGNER... 3 Skjermbildet i GeoGebra... 3 Verktøylinja... 4 Verktøyet Flytt eller velg objekt... 4 Oppsett av skjermbildet... 5 Flytte tegneflaten, endre enheter på aksene... 5 Mer øving

Detaljer

Klarer dere disse abel-nøttene fra 2011?

Klarer dere disse abel-nøttene fra 2011? 2: Lineære funksjoner VG1-T - teoretisk retning En del av dere synes nok at innføringa i kapittel 1 er i vanskeligste laget. Trass i at vi stort sett har repetert foreløpig, ser jeg at dere merker overgangen

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen S2, våren 2016 Laget av Tommy Odland Dato: 29. januar 2017

Løsningsforslag Eksamen S2, våren 2016 Laget av Tommy Odland Dato: 29. januar 2017 Løsningsforslag Eksamen S, våren 016 Laget av Tommy Odland Dato: 9. januar 017 Del 1 - uten hjelpemidler Oppgave 1 a) Vi skal derivere f(x) = e x. Den generelle regelen er at (e ax ) = ae ax, i vårt tilfelle

Detaljer

Lineære funksjoner. Skjermbildet

Lineære funksjoner. Skjermbildet Lineære funksjoner I dette opplæringsløpet lærer du å tegne funksjoner i GeoGebra samt å bruke verktøy til å løse oppgaver som dreier seg om funksjoner. Alle oppgavene handler om lineære funksjoner. I

Detaljer

QED 1 7 Matematikk for grunnskolelærerutdanningen

QED 1 7 Matematikk for grunnskolelærerutdanningen QED 1 7 Matematikk for grunnskolelærerutdanningen Bind 1 og 2 GeoGebra-øvelser i funksjonslære, 2. utgave Av Peer Sverre Andersen Innhold INNLEDNING... 3 KORT INNFØRING I GEOGEBRA... 4 ØVELSE 1. TEGNE

Detaljer

GeoGebra 4.2 for Sinus 1P. av Sigbjørn Hals

GeoGebra 4.2 for Sinus 1P. av Sigbjørn Hals GeoGebra 4.2 for Sinus 1P av Sigbjørn Hals Innhold Litt om GeoGebra... 3 GeoGebra som kalkulator. Eksempel side 55... 3 Omforming av formler. Side 82 i læreboka... 4 Rette linjer. Side 89 i læreboka...

Detaljer

Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet

Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet Innhold Funksjonstegner... 3 Skjermbildet i GeoGebra... 3 Verktøylinja... 3 Verktøyet Flytt eller velg objekt... 4 Oppsett av skjermbildet... 4 Flytte tegneflaten, endre enheter på aksene... 5 Mer øving

Detaljer

GeoGebra-opplæring i Matematikk 1T

GeoGebra-opplæring i Matematikk 1T GeoGebra-opplæring i Matematikk 1T Emne Underkapittel Rettvinklede trekanter 2.4 Ikke-rettvinklede trekanter I 2.6 Ikke-rettvinklede trekanter II 2.7 Graftegning 3.2 Graftegning med definisjonsmengde 3.2

Detaljer

Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet

Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet Innhold FUNKSJONSTEGNER... 3 Skjermbildet i GeoGebra... 3 Verktøylinja... 4 Verktøyet Flytt eller velg objekt... 4 Oppsett av skjermbildet... 5 Flytte tegneflaten, endre enheter på aksene... 5 Mer øving

Detaljer

Funksjoner med og uten hjelpemidler

Funksjoner med og uten hjelpemidler Funksjoner med og uten hjelpemidler Plan for dagen Del 1: 09:00-11:45 Lunsj: 11:45-12:15 Del 2: 12:15-14:30 Eksamensinformasjon: 14:30-15:00 Plan for tiden før lunsj Økt 1: 09:00-09:45 Økt 2: 10:00-10:45

Detaljer

Lineær optimering med GeoGebra

Lineær optimering med GeoGebra Lineær optimering med GeoGebra av Sigbjørn Hals Eksempler fra læreboka Sinus S1 Cappelen, 2007 1 Før vi viser fremgangsmåten for lineær optimering, vil vi vise noen nyttige kommandoer og menyvalg i GeoGebra,

Detaljer

Oppgave 1 a) Tegn grafene til de tre funksjonene nedenfor i samme koordinatsystem i GeoGebra

Oppgave 1 a) Tegn grafene til de tre funksjonene nedenfor i samme koordinatsystem i GeoGebra kompetansemålet: Funksjoner - undersøkje funksjonar som beskriv praktiske situasjonar, ved å fastsetje nullpunkt, ekstremalpunkt og skjeringspunkt og tolke den praktiske verdien av resultata. Oppgave 1

Detaljer

Spørsmål og svar om GeoGebra, versjon 2.7 bokmål

Spørsmål og svar om GeoGebra, versjon 2.7 bokmål Spørsmål og svar om GeoGebra, versjon 2.7 bokmål Jeg har lastet ned en installasjonsfil fra www.geogebra.org og installert programmet, men får det ikke til å fungere. Hva kan dette skyldes? Den vanligste

Detaljer

Funksjoner med GeoGebra

Funksjoner med GeoGebra Funksjoner med GeoGebra Wallace Anne Karin 2015 G e o G e b r a 5. 0 Innhold Oppsett for arbeid med funksjoner... 2 Flytte tegneflaten, endre enheter på aksene... 4 Flytt inntastingsfeltet øverst... 4

Detaljer

QED Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 1 og 2. GeoGebra-øvelser i funksjonslære. Av Peer Sverre Andersen

QED Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 1 og 2. GeoGebra-øvelser i funksjonslære. Av Peer Sverre Andersen QED 5 10 Matematikk for grunnskolelærerutdanningen Bind 1 og 2 GeoGebra-øvelser i funksjonslære Av Peer Sverre Andersen Innhold INNLEDNING... 3 KORT INNFØRING I GEOGEBRA... 4 ØVELSE 1. TEGNE GRAFER...

Detaljer

GeoGebra 4.0 for videregående skole med eget kapittel om CAS

GeoGebra 4.0 for videregående skole med eget kapittel om CAS Matematikksenteret Nasjonalt senter for matematikk i opplæringen GeoGebra 4.0 for videregående skole med eget kapittel om CAS Av: Tor Espen Kristensen Norsk GeoGebra-institutt/Matematikksenteret, 2012

Detaljer

Utforsking av funksjonsuttrykk og de tilhørende grafene ved hjelp av GeoGebra

Utforsking av funksjonsuttrykk og de tilhørende grafene ved hjelp av GeoGebra Anne-Mari Jensen Utforsking av funksjonsuttrykk og de tilhørende grafene ved hjelp av GeoGebra Innledning I ungdomsskolen kommer funksjoner inn som et av hovedområdene i læreplanen i matematikk. Arbeidet

Detaljer

R2 - Kapittel 4 - Funksjoner

R2 - Kapittel 4 - Funksjoner R2 - Kapittel 4 - Funksjoner 31.01.13 Løsningsskisser Generelle kommentarer: Kurvetilpasning med lommeregner eller med datamaskin, skal beskrives, eksempelvis: LR: La tabell i listene L1 og L2, brukte

Detaljer

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1T. Geogebra

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1T. Geogebra Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Geogebra Innhold 1 Om Geogebra 4 1.1 Menyer..................................... 4 2 Regning 5 2.1 Tallregning...................................

Detaljer

R2 - K4: Funksjoner. I Deriver de trigonometriske funksjonene: a) f x sinx x b) f x sin 2 x c) f x sinxtanx d) f x sin x. II Gitt funksjonen f x sin x

R2 - K4: Funksjoner. I Deriver de trigonometriske funksjonene: a) f x sinx x b) f x sin 2 x c) f x sinxtanx d) f x sin x. II Gitt funksjonen f x sin x R2 - K4: Funksjoner 19.02.10 Løsningsskisser I Deriver de trigonometriske funksjonene: a) fx sinx x b) fx sin 2 x c) fx sinxtanx d) fx sin x 2cos x a) f x cosx 1 b) Kjerneregel: fx u 2, u sinx f x 2u cosx

Detaljer

Spørsmål og svar om GeoGebra, versjon 2.7 nynorsk

Spørsmål og svar om GeoGebra, versjon 2.7 nynorsk Spørsmål og svar om GeoGebra, versjon 2.7 nynorsk Eg har lasta ned ei installasjonsfil frå www.geogebra.org og installert programmet, men får det ikkje til å fungere. Kva kan dette skuldast? Den mest vanlege

Detaljer

Hurtigstart. Hva er GeoGebra? Noen fakta

Hurtigstart. Hva er GeoGebra? Noen fakta Hurtigstart Hva er GeoGebra? En dynamisk matematisk programvare som er lett å ta i bruk Er egnet til læring og undervisning på alle utdanningsnivå Binder interaktivt sammen geometri, algebra, tabeller,

Detaljer

Ny, GeoGebra til forkurset ved HiOA sommeren 2016

Ny, GeoGebra til forkurset ved HiOA sommeren 2016 Ny, GeoGebra til forkurset ved HiOA sommeren 2016 Fra Prøveveiledning, Matematikk 1P + 2P, Sentralt gitt skriftlig prøve etter forkurs i lærerutdanningene, 2016 1.6.2.1 Graftegner (programvare på datamaskin).

Detaljer

Lær å bruke GeoGebra 4.0

Lær å bruke GeoGebra 4.0 Lær å bruke GeoGebra 4.0 av Sigbjørn Hals Innhold: Generelt om GeoGebra... 2 Innstillinger... 2 Statistikkberegninger i regnearket... 5 Nye muligheter for funksjonsanalyse... 8 Nullpunkt og ekstremalpunkt...

Detaljer

3 GeoGebra 1. Fartsdiagrammer 2. Likningsett 3. Funksjoner Maks og min punkter

3 GeoGebra 1. Fartsdiagrammer 2. Likningsett 3. Funksjoner Maks og min punkter 3 GeoGebra 1. Fartsdiagrammer 2. Likningsett 3. Funksjoner Maks og min punkter MKH Innholdsfortegnelse 1. Graftegner - GeoGebra... 2 1.1 Introduksjon GeoGebra... 2 1.2 Endre innstillinger på aksene...

Detaljer

Sigbjørn Hals, Cappelen Damm Undervisning. Sinus 1P. Digitale løsninger av oppgaver og eksempler med noen utvalgte matematikkverktøy

Sigbjørn Hals, Cappelen Damm Undervisning. Sinus 1P. Digitale løsninger av oppgaver og eksempler med noen utvalgte matematikkverktøy Sinus 1P Digitale løsninger av oppgaver og eksempler med noen utvalgte matematikkverktøy GeoGebra 4.0 og 4.2 wxmaxima Microsoft Mathematics WordMat TI-Nspire CAS 1 Innhold Litt om programmene... 4 GeoGebra

Detaljer

Del 1. Generelle tips

Del 1. Generelle tips Innhold Del 1. Generelle tips... 2 Bruk en "offline installer"... 2 Øk skriftstørrelsen... 3 Sett navn på koordinataksene... 3 Vis koordinater til skjæringspunkt, ekstremalpunkt m.m.... 4 Svar på spørsmålene

Detaljer

Funksjoner og andregradsuttrykk

Funksjoner og andregradsuttrykk 88 4 Funksjoner og andregradsuttrykk Mål for opplæringen er at eleven skal kunne bruke matematiske metoder og hjelpemidler til å løse problemer fra ulike fag og samfunnsområder løse likninger, ulikheter

Detaljer

Karakter 2: 10p Karakter 3: 16p Karakter 4: 22p Karakter 5: 28p Karakter 6: 34p

Karakter 2: 10p Karakter 3: 16p Karakter 4: 22p Karakter 5: 28p Karakter 6: 34p 13.03.2017 MATEMATIKK (MAT1005) Funksjoner og vekst DEL 1 (UTEN HJELPEMIDLER) 40 minutter DEL 2 (MED HJELPEMIDLER) 50 minutter (Del 1 leveres inn etter nøyaktig 40 minutter og før hjelpemidlene kan benyttes)

Detaljer

2.1 Regnerekkefølge. 2.4 Brøkregning. 3.6 Rette linjer 2(3 + 1) (6+ 2):4+ 42

2.1 Regnerekkefølge. 2.4 Brøkregning. 3.6 Rette linjer 2(3 + 1) (6+ 2):4+ 42 Dette dokumentet oversetter kapittelet Lommeregnerstoff i Sinus 1P boka til Cappelen Damm til Excel- og GeoGebrastoff. Se brukerveiledningen i Lokus for perspektivtegning med GeoGebra..1 Regnerekkefølge

Detaljer

1 Introduksjon GeoGebra 2 Speiling, rotasjon og parallellforskyvning 3 Perspektivtegning 4 Symmetriakser

1 Introduksjon GeoGebra 2 Speiling, rotasjon og parallellforskyvning 3 Perspektivtegning 4 Symmetriakser 1 Geometri i kunsten: 1 Introduksjon GeoGebra 2 Speiling, rotasjon og parallellforskyvning 3 Perspektivtegning 4 Symmetriakser MKH GeoGebra - Geometri i kunsten Innhold 1 Introduksjon GeoGebra... 1 1.1

Detaljer

MATEMATISK MODELLERING Modellering med pendel

MATEMATISK MODELLERING Modellering med pendel MATEMATISK MODELLERING Modellering med pendel Utstyr: Mynter, hyssing, tape, stoppeklokke Mål: 1. Hva påvirker svingtiden til en pendel? Lag hypoteser a. Lengden på hyssingen? b. Antall mynter (vekt)?

Detaljer

GeoGebra. Menylinje Angreknapp. Verktøylinje. Aktivt verktøy med mørkeblå kant. Innstillinger. Algebrafelt. Velge oppsett.

GeoGebra. Menylinje Angreknapp. Verktøylinje. Aktivt verktøy med mørkeblå kant. Innstillinger. Algebrafelt. Velge oppsett. GeoGebra Menylinje Angreknapp Verktøylinje Aktivt verktøy med mørkeblå kant Innstillinger Algebrafelt Grafikkfelt Inntastingsfelt Velge oppsett GEOGEBRA SOM FUNKSJONSTEGNER OPPSETT FLYTTE TEGNE- FLATEN,

Detaljer

GeoGebra-opplæring i Matematikk 1P

GeoGebra-opplæring i Matematikk 1P GeoGebra-opplæring i Matematikk 1P Emne Underkapittel Perspektivtegning I 3.8 Perspektivtegning II 3.8 Terningkast 4.1 Valgtre I 4.3 Valgtre II 4.7 Graftegning 5.2 Linje gjennom to punkter 5.2 Nullpunkter

Detaljer

Sandvold Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1P. Geogebra

Sandvold Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1P. Geogebra Sandvold Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Geogebra Geogebra for Sigma matematikk 1P Innledning Denne bruksanvisningen er ment som en beskrivelse av dataprogrammet

Detaljer

Eksamen REA3028 Matematikk S2. Nynorsk/Bokmål

Eksamen REA3028 Matematikk S2. Nynorsk/Bokmål Eksamen 6.05.010 REA308 Matematikk S Nynorsk/Bokmål Bokmål Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemidler på del 1: Hjelpemidler på del : Vedlegg: Framgangsmåte: Veiledning om vurderingen: 5 timer: Del

Detaljer

R2 - Funksjoner, integrasjon og trigonometri

R2 - Funksjoner, integrasjon og trigonometri R - Funksjoner, integrasjon og trigonometri Løsningsskisser Del I - Uten hjelpemidler Oppgave 1 Regn ut integralene: a) x cosx dx b) x x 3x dx c) ex cose x dx a) Delvis integrasjon: x cosx dx x sin x sin

Detaljer

R2 - Løsningsskisser til noen oppgaver i kapittel 4.1 og 4.2

R2 - Løsningsskisser til noen oppgaver i kapittel 4.1 og 4.2 R2 - Løsningsskisser til noen oppgaver i kapittel 4. og 4.2 405, 406, 4, 43, 49, 420, 422, 424 Versjon: 04..4 405 a) Kjerneregel: f x sin u,u x 2 2x f x cos u 2x 2 2x 2 cos x 2 2x b) Produktregel: uv u

Detaljer

Løsning eksamen 2T våren 2008

Løsning eksamen 2T våren 2008 Løsning eksamen 2T våren 2008 Del 2 løst med pc Noen gode grunner til å lære å utnytte pc-en effektivt på eksamen: I eksamensinformasjonen står det: Der oppgaveteksten ikke sier noe annet, kan du fritt

Detaljer

Eksamen S1, Høsten 2013

Eksamen S1, Høsten 2013 Eksamen S1, Høsten 013 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 ( poeng) Funksjonen f er gitt ved Bestem f. f x 3x 3x 1, Df f

Detaljer

GeoGebra 4.2 og 5.0. for Sinus R2 2008

GeoGebra 4.2 og 5.0. for Sinus R2 2008 GeoGebra 4.2 og 5.0 (med litt hjelp av wxmaxima) for Sinus R2 2008 av Sigbjørn Hals Innhold Litt om GeoGebra... 4 Kapittel 1... 4 Ubestemte integral. Oppgave 1.30 c, side 19... 4 Bestemt integral og sum

Detaljer

P(x, y) ) x. Dette er sirkellikningen. Et punkt P(x, y) ligger på denne sirkelen hvis og bare hvis koordinatene passer i likningen.

P(x, y) ) x. Dette er sirkellikningen. Et punkt P(x, y) ligger på denne sirkelen hvis og bare hvis koordinatene passer i likningen. 5.9 Sirkellikningen Fra kapittel 4.3 vet vi at sirkelen er det geometriske stedet for de punktene som har en bestemt avstand r fra et fast punkt S. Avstanden r kaller vi radien, og punktet S kaller vi

Detaljer

Eksempelsett R2, 2008

Eksempelsett R2, 2008 Eksempelsett R, 008 Del Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave a) Deriver funksjonen f x x cosx f x cosx x s x f x cosx 6x sinx

Detaljer

GeoGebra. brukt på eksamensoppgaver i 10. kl. Sigbjørn Hals

GeoGebra. brukt på eksamensoppgaver i 10. kl. Sigbjørn Hals GeoGebra brukt på eksamensoppgaver i 10. kl. Sigbjørn Hals Innhold Hva er GeoGebra?... 2 Hvilken nytte har elevene av å bruke GeoGebra?... 2 Hvor finner vi GeoGebra?... 2 Oppbyggingen av programmet...

Detaljer

SINUS R1, kapittel 5-8

SINUS R1, kapittel 5-8 Løsning av noen oppgaver i SINUS R1, kapittel 5-8 Digital pakke B TI-Nspire Enkel kalkulator (Sharp EL-506, TI 30XIIB eller Casio fx-82es) Oppgaver og sidetall i læreboka: 5.43 c side 168 5.52 side 173

Detaljer

2T kapittel 3 Modellering og bevis Løsninger til innlæringsoppgavene

2T kapittel 3 Modellering og bevis Løsninger til innlæringsoppgavene T kapittel 3 Modellering og bevis Løsninger til innlæringsoppgavene 3.1 a Modellen gir følgende verdier for årene i oppgaven: År 1955 1985 015 Folketall (millioner) 3,5 4, 4,8 b Setter vi inn for = 00

Detaljer

Kapittel 6. Matematiske modeller

Kapittel 6. Matematiske modeller Kapittel 6. Matematiske modeller En matematisk modell er en funksjon som mer eller mindre bra beskriver en praktisk situasjon. Dette kapitlet handler blant annet om: Hvordan lage en matematisk modell ved

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen S2, høsten 2016 Laget av Tommy Odland Dato: 27. januar 2017

Løsningsforslag Eksamen S2, høsten 2016 Laget av Tommy Odland Dato: 27. januar 2017 Løsningsforslag Eksamen S, høsten 016 Laget av Tommy Odland Dato: 7. januar 017 Del 1 - uten hjelpemidler Oppgave 1 a) Vi skal derivere f(x) = x 3 5x, og vi kommer til å få bruk for reglene (ax n ) = anx

Detaljer

Funksjoner og vekst. Læreplanmål for 2P-Y

Funksjoner og vekst. Læreplanmål for 2P-Y Funksjoner og vekst 3.1 Læreplanmål 1 5.1 Polynomfunksjoner 2 5.2 Polynomregresjon 8 5.3 Potensfunksjoner og rotfunksjoner 12 5.4 Potensregresjon 16 5.5 Eksponentialfunksjoner 19 5.6 Eksponentialregresjon

Detaljer

Lær å bruke GeoGebra 4. Karlstad, 19.04.12 Sigbjørn Hals

Lær å bruke GeoGebra 4. Karlstad, 19.04.12 Sigbjørn Hals Lær å bruke GeoGebra 4 Karlstad, 19.04.12 Sigbjørn Hals Lær å bruke GeoGebra 4 Innhaldet i denne økta: 1. Kort presentasjon av nye verktøy i GeoGebra 4 2. Jobbing med sjølvinstruerande hefte 3. Spørsmål

Detaljer

eksamensoppgaver.org x = x = x lg(10) = lg(350) x = lg(350) 5 x x + 1 > 0 Avfortegnsskjemaetkanvileseatulikhetenstemmerfor

eksamensoppgaver.org x = x = x lg(10) = lg(350) x = lg(350) 5 x x + 1 > 0 Avfortegnsskjemaetkanvileseatulikhetenstemmerfor eksamensoppgaver.org 5 oppgave1 a.i.1) 2 10 x = 700 10 x = 700 2 x lg(10) = lg(350) x = lg(350) a.i.2) Vibrukerfortegnsskjema 5 x x + 1 > 0 Avfortegnsskjemaetkanvileseatulikhetenstemmerfor x 1, 5 a.ii.1)

Detaljer

GeoGebra-opplæring i Matematikk 1P

GeoGebra-opplæring i Matematikk 1P GeoGebra-opplæring i Matematikk 1P Emne Underkapittel Perspektivtegning I 3.8 Perspektivtegning II 3.8 Regulære mangekanter 3.9 Flislegging I 3.9 Flislegging II 3.9 Flislegging III 3.9 Terningkast 4.1

Detaljer

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1P. Geogebra

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1P. Geogebra Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Geogebra Innhold 1 Om Geogebra 4 1.1 Innstillinger................................... 5 2 Regning 5 2.1 Tallregning...................................

Detaljer

I Katalog velger du: Ny eksamensordning i matematikk våren 2015

I Katalog velger du: Ny eksamensordning i matematikk våren 2015 CAS teknikker H-P Ulven 10.12.2014 Innledning Våren 2015 gjelder nye regler for bruk av digitale hjelpemidler: Når det står "Bruk CAS", så må kandidaten bruke CAS, og når det står "Bruk graftegner", så

Detaljer

Løsning av typeoppgaver og eksamensoppgaver med Microsoft Mathematics, WordMat og GeoGebra. Av Sigbjørn Hals

Løsning av typeoppgaver og eksamensoppgaver med Microsoft Mathematics, WordMat og GeoGebra. Av Sigbjørn Hals Løsning av typeoppgaver og eksamensoppgaver med Microsoft Mathematics, WordMat og GeoGebra Av Sigbjørn Hals 1 Innhold Innledning... 3 Typeoppgave 1... 3 Oppgaven... 3 Fremgangsmåten... 4 Løsningen... 4

Detaljer

Sandvold Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma R2. Geogebra

Sandvold Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma R2. Geogebra Sandvold Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Geogebra Innhold 1 Om Geogebra 4 2 Regning 4 2.1 Tallregning................................... 4 2.2 Tallet e......................................

Detaljer

Sammendrag R1. Sandnes VGS 19. august 2009

Sammendrag R1. Sandnes VGS 19. august 2009 Sammendrag R1 Sandnes VGS 19. august 2009 1 1 Notasjon Implikasjon Vi skriver A B hvis påstanden A impliserer B. Det vil si at hvis påstand A er riktig, så er påstand B riktig. Ekvivalens Vi skriver A

Detaljer

R1 kapittel 4 Funksjonsdrøfting. Løsninger til oppgavene i boka ( 1) 5 ( 2) = = = = = = = ( ) 1 1. f ( a)

R1 kapittel 4 Funksjonsdrøfting. Løsninger til oppgavene i boka ( 1) 5 ( 2) = = = = = = = ( ) 1 1. f ( a) R kapittel 4 Funksjonsdrøfting Løsninger til oppgavene i boka 4. a 4 f( ) f ( ) 4 4 b g ( ) 6 c d e f 4. a b c d e f 4. a g ( ) 0 h ( ),8 4 h ( ),8,8 i ( ),8,8 i 0 ( ) j ( ) π j ( ) 0 k ( ) k ( ) f( )

Detaljer

Funksjoner og andregradsuttrykk

Funksjoner og andregradsuttrykk 4 110 Funksjoner og andregradsuttrykk Studentene skal kunne benytte begrepet funksjoner og angi definisjonsmengde og verdimengde til funksjoner regne med lineære funksjoner og andregradsfunksjoner og bestemme

Detaljer

Løsningsforslag Matematikk 2MX - AA mai 2006

Løsningsforslag Matematikk 2MX - AA mai 2006 Løsningsforslag Matematikk 2MX - AA6516-3. mai 2006 eksamensoppgaver.org September 21, 2008 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 2MX er gratis, og det er lastet ned på eksamensoppgaver.org.

Detaljer

GeoGebra 3.2. for. ungdomstrinnet

GeoGebra 3.2. for. ungdomstrinnet GeoGebra 3.2 for ungdomstrinnet av Sigbjørn Hals 1 Innhold: Hva er GeoGebra?... 3 Hvor kan jeg få tak i dette programmet?... 3 Hvordan kommer jeg i gang med å bruke programmet?... 4 Å hente og legge til

Detaljer

Heldagsprøve R2 - Våren

Heldagsprøve R2 - Våren Heldagsprøve R - Våren 07-0.05.7 Løsningsskisser (versjon.05.7) Del - Uten hjelpemidler - timer Oppgave Deriver funksjonene: a) fx x ln x b) gx sinln x c) hx x cos x a) Produktregel: f x ln x x x ln x

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen S2, høsten 2015 Laget av Tommy O. Sist oppdatert: 25. mai 2017

Løsningsforslag Eksamen S2, høsten 2015 Laget av Tommy O. Sist oppdatert: 25. mai 2017 Løsningsforslag Eksamen S2, høsten 215 Laget av Tommy O. Sist oppdatert: 25. mai 217 Del 1 - uten hjelpemidler Oppgave 1 a) Vi skal derivere funksjonen f(x) = x 3 + 2x. Formelen vi må bruke er (x n ) =

Detaljer

Fagdag CAS-trening

Fagdag CAS-trening Fagdag 03.12.2015 - CAS-trening Innhold: Viktige kommandoer på side 1. Eksempler på bruk av CAS side 1-4. Arbeidsoppgaver på side 5 og utover. Viktige kommandoer: Se oversiktene side 444 og side 446 i

Detaljer

R2 kapittel 3 Funksjoner. Løsninger til oppgavene i boka Når sin x = 1 har f( x ) sin minste verdi. π 2. 2 k

R2 kapittel 3 Funksjoner. Løsninger til oppgavene i boka Når sin x = 1 har f( x ) sin minste verdi. π 2. 2 k R kapittel Funksjoner Løsninger til oppgavene i boka. a f( ) = 7 + sin, D f = R Når sin =, har f( ) sin største verdi. sin = for = + k f( ) maks = 7+ = 8 Toppunktene på grafen til f er, Z k +,8 k. Når

Detaljer

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 2P. TI-Nspire

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 2P. TI-Nspire Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for TI-Nspire Innhold 1 Om TI-Nspire 4 2 Regning 4 2.1 Tallregning................................... 4 2.2 Potenser.....................................

Detaljer