2P kapittel 3 Modellering

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "2P kapittel 3 Modellering"

Transkript

1 P kapittel 3 Modellering Løsninger til oppgavene i oka 3.1 a Forskerne fant 00 individer av fiskearten da de startet areidet. I løpet av de neste 10 årene sank estanden og etter 10 år var den utryddet. Gyldighetsområdet til modellen er x [ 0,10]. c 3. a c Modellen forutsetter at forskerne fant alle fiskene. Fiskene kan f.eks. fordele seg over større områder i innsjøen slik at forskerne måtte lete etter fiskene over større områder i innsjøen. Det grafiske ildet av en lineær modell er en rett linje. Vi ser av grafen at snødyden øker jevnt fra 30 cm til 70 cm i løpet av 16 timer etter midnatt. 40 cm Stigningstallet til den rette linja er,5 cm / h 16 h =. Det etyr at snødyden økte med,5 cm per time. Vi velger å ruke f som symol for snødyden x timer etter midnatt. Stigningstallet er,5, men vi mangler konstantleddet. Det finner vi ved å ruke punktet (0, 30) som ligger på grafen til f. f( x) =,5x+ 30 =,5 0 + = 30 Av grafen ser vi at modellen gjelder fra midnatt til klokka 16. Gyldighetsområdet er derfor x [ 0,16]. Modellen S er altså gitt ved funksjonen f( x) =,5x+ 30, der x [ 0,16] 3.3 a Temperaturen avtar jevnt fra 10 C klokka til 6 Cklokka 6. Vi ser av grafen at temperaturen synker jevnt fra 10 C klokka til 6 Cklokka 6. 4 cm Stigningstallet til den rette linja er = 1 C/h. 4h Det etyr at temperaturen sank med 1 grad per time. Vi velger å ruke T som symol for temperaturen x timer etter midnatt. Stigningstallet er 1, men vi mangler konstantleddet. Det finner vi ved å ruke punktet (,10) som ligger på grafen til T. T( x) = 1x+ 10 = 1 + = 1 Aschehoug Side 1 av 91

2 c Av grafen ser vi at modellen gjelder fra klokka til klokka 6. Gyldighetsområdet er derfor x [,6]. Modellen S er altså gitt ved funksjonen T( x) = x+ 1, der x [, 6] Klokka 1 er utenfor modellens gyldighetsområde. 3.4 a Stigningstallet er 0,50 og har enheten C/h. Det etyr at temperaturen stiger 0,5 grader per time fra frysetemperaturen på 0 C til vi når romtemperaturen på C. Modellen gjelder fra temperaturen 0 C til vi når romtemperaturen. = 0,5x 0 0,50x = 0 0,50x = 4 4 x = = 84 0,5 Det etyr at det tar 84 timer (3,5 døgn) før det er romtemperatur i frysedisken. x 0, 84. c Gyldighetsområdet er derfor [ ] 3.5 [ ] Th ( ) = 0,6h+ 10 h 0,10 a T (0) = 10 Temperaturen ved fjorden denne dagen er 10 C Stigningstallet er 0,6 og det etyr at temperaturen synker med 0,6 C per 100 m stigning over havet. c 1 Preikestolen er 600 m over havet, altså er h = 6 og innenfor definisjonsområdet. Det gir T (6) = 0, = 6, 4 Etter denne modellen er temperaturen på Preikestolen 6, 4 C. Gyldighetsområdet for modellen er opp til en høyde på m. Vi antar at et fly passerer Lysefjorden høyere enn m og da er ikke modellen gyldig d Det er ikke sikkert at temperaturen synker jevnt med høyden over havet. Temperaturvariasjonen kan være forskjellig på forskjellige tider av året. 3.6 Folketallet økte med = 000 i løpet av 10 år. Stigningstallet i den lineære modellen er derfor =. Vi velger å ruke F som symol for folketallet i kommunen x år etter 004. Da er x = 0 i 004, og konstantleddet er derfor lik folketallet i 004. F( x) = 00x der 0,10. Det gir [ ] Aschehoug Side av 91

3 3.7 a Folketallet sank med = 800 i løpet av 8 år. 800 Stigningstallet i den lineære modellen er derfor = Vi velger å ruke F som symol for folketallet i kommunen x år etter Da er x = 0 i 1995, og konstantleddet er derfor lik folketallet i F( x) = 100x+ 400 der 0, a Det gir [ ] Løsninger til oppgavene i oka Modellen forutsetter at folketallet synker med 100 per år og at denne verdien er konstant. I virkeligheten vil nok reduksjonen i folketallet variere hvert år. V( x ) = ,80 x 0 V (0) = ,80 = V () = ,80 = Monsetangens il kostet kr da han kjøpte den og etter år er ilens verdi kr. Vi ser at vekstfaktoren er 0,80. p 1 = 0, p = 1 0,80 = 0, p = 100 0,0 = 0 Det årlige verditapet er 0 %. 3.9 a c 3.10 La antall akterier etter t år være gitt ved N(t). Det opprinnelige antallet er og vekstfaktoren er 100 % + 40 % = 140 % = 1, 40. Det gir denne eksponentielle modellen: t Nt ( ) = ,40, der t [ 0, 4] Bakterietallet øker med 40 % per time det neste døgnet. Gyldighetsområdet er derfor t [ 0, 4]. Modellen forutsetter at akterietallet øker med 40 % per time. Bakterietallet lir da etter hvert så stort at livsvilkårene kan endres og da er det ikke sikkert at økningen hele tiden er så stor som 40 %. t a Vi setter Vt () = a der t er ilens alder i antall år. Verdien av ilen er kr når den er ny. Det etyr at a = Siden verdien synker med 18 % per år, er vekstfaktoren = 1 = 0,8. Altså er 100 Vt ( ) = ,8 t 1 V () = ,8 = Aschehoug Side 3 av 91

4 3 Verdien av ilen etter to år er kr. 3 V (3) = ,8 = Verdien av ilen etter tre år er kr. 4 V (4) = ,8 = Verdien av ilen etter fire år er kr. c V() V(3) = = Verditapet det tredje året er kr. d V(3) V(4) = = Verditapet det fjerde året er kr. e Hvert år er verditapet 18 % av ilens verdi ved egynnelsen av året.siden ilens verdi lir mindre hvert år, lir også verditapet i kroner mindre for hvert år a Vi ser at eksponenten er negativ. Da vil funksjonsverdien øke når grunntallet m lir mindre. Lette dyr vil altså ha høyere hjertefrekvens enn tunge dyr. c Vi setter inn m = i funksjonsuttrykket. 0,5 f (6 000) = =, 7 Ifølge denne modellen vil elefanten ha en hjertefrekvens på ca. 3 slag per minutt. Dette stemmer ganske ra med den oppgitte hjertefrekvensen på 5 slag per minutt. d Massen av spurven er 40 g = 0, 040 kg. Vi setter m = 0,040 inn i funksjonsuttrykket. 0,5 f (0, 040) = 00 0, 040 = 447 Ifølge modellen har spurven en hjertefrekvens på ca. 450 slag per minutt, som tilsvarer om lag 7,5 slag per sekund. Aschehoug Side 4 av 91

5 e La oss anta at et menneske veier 70 kg. Setter vi inn m = 70 i funksjonsuttrykket får vi 0,5 f (0, 040) = = 69 En hvilepuls på 69 slag per minutt er ikke uvanlig for mennesker så modellen kan sies å passe også for mennesker. 3.1 a La vekstfaktoren være t og akterietallet N(t). n 4 N= GV gir da potensmodellen Nt ( ) = t. p Vekstfaktoren er gitt ved 1+ der p er prosenttallet. 100 Modellen forutsetter at akterietallet vokser med samme prosent hver time hele døgnet. Bakterietallet lir da etter hvert svært stort og livsvilkårene kan endres og da er det ikke sikkert at økningen er lik hele tiden a Største høyde over akken er, m. Svevet varer i 1,1 s. c Gyldighetsområdet er x [ 0, 1,1] d Modellen eskrives med en andregradsfunksjon. Høydehopperen starter 1 m over akken. Tyngdepunktet er på det høyeste etter 0,5 s. Svevet varer i 1,1 s. Vi kan anta usikkerhet i målinger åde av tid og største høyde N( x) = 4, 68x + 63, 4x 3,3x+ 9,1 a N er eksempel på en tredjegradsmodell 005 er 5 år etter år N (5) = 4, ,4 5 3, ,1 = 867,6 868 Etter denne modellen var det redåndsaonnementer i 005. c Modellen er gitt for perioden x 0, Gyldighetsområdet er [ ] a Vi lar to av sidene i rektanglet ha lengden x m. Da er det igjen (60 x) m å fordele på de to andre sidene. Altså er lengden av hver av disse sidene (30 x). Arealet A av området er produktet av lengden og redden, det vil si Ax ( ) = x(30 x) = 30x x. Både x og (30 x) skal være positive tall. Gyldighetsområdet er derfor x 0,30. c Vi tegner grafen til A(x) i GeoGera og finner toppunktet ved å ruke kommandoene Funksjon[<Funksjon>,<Start>,<Slutt>] og Ekstremalpunkt[<Polynom>]. Aschehoug Side 5 av 91

6 3.16 Det største arealet området kan ha er 5 m. Da er lengden og redden lik 15 m og området er et kvadrat. a I hvert hjørne klipper vi or et kvadrat med side x dm. Deretter retter vi langs de stiplede linjene på figuren. Da får vi en eske der unnflaten er et kvadrat med side (8 x) og høyde x dm. Volumet av esken i dm er derfor gitt ved funksjonen V( x) = x (8 x). Både x og (8 x) skal være positive tall. c Gyldighetsområdet er derfor x 0,4. Vi tegner grafen til V(x) med Geogera og finner toppunktet ved å ruke kommandoene Funksjon[<Funksjon>,<Start>,<Slutt>] og Ekstremalpunkt[<Polynom>]. Vi ser at det største volumet esken kan ha er 37,9 dm 3. Aschehoug Side 6 av 91

7 3.17 a Vi ruker formelen V = lh side x dm. Det gir for volumet av et prisme. Bunnen og lokket er kvadrater med c V = x x h = x h x h =. x x h = x Bunnen og toppen er kvadrater med side x. Hvert av dem har arealet x x= x. Sideflatene er rektangler med med lengde x og redde h Hvert av dem har arealet x h= x = x x Til sammen gir det arealet x + 4 x Overflaten av esken er derfor Ax ( ) = x + x Vi tegner grafen til A(x) med Geogera og finner unnpunktet ved å ruke kommandoene Funksjon[<Funksjon>,<Start>,<Slutt>] og Ekstremalpunkt[<Funksjon>,<Start>,<Slutt>]. Den minste overflaten esken kan få er 600 dm 3. Da er x= h= 10. Esken er en kue med lengde og høyde lik 10 dm a Vi antar at Solfrid lager x grytekluter. Hun vil da ha materialkostnader på 10 x. Hennes kostnader vil da være 10 x Hennes inntekter vil være 50 x. Aschehoug Side 7 av 91

8 En modell for overskuddet vil da være Ox ( ) = 50 x (10x+ 500) = 40x 500 x er antall solgte grytekluter. Ox ( ) > 0 40x 500 > 0 40x > 500 Løsninger til oppgavene i oka x > 1,5 Hvis Solfrid skal få overskudd må hun strikke og selge minst 13 grytekluter. Modellen forutsetter at Solfrid har nok materialer men hvis etterspørselen lir stor, kan hun kan hun gå tom for garn f( x ) = ,35 x a Funksjonen eskriver en eksponentiell modell. Vekstfaktoren er 1,35 p 1 + = 1, p = 1,35 1 = 0, p = 0, = 35 Tallet på mikroorganismer vokser med 35 % per time. 6 c f (6) = ,35 = Etter 6 timer var det 9080 mikroorganismer i kulturen. d Vi tegner grafen til f(x) i GeoGera ved å ruke kommandoen Funksjon[<Funksjon>,<Start>,<Slutt>]. Antall mikroorganismer passerer etter 5,1 timer. Vi kan også løse likningen i CAS-vinduet i GeoGera: Aschehoug Side 8 av 91

9 e Modellen forutsetter at antall mikroorganismer øker konstant med 35 % per time. Bakterietallet lir da etter hvert så stort at livsvilkårene kan endres og da er det ikke sikkert at økningen hele tiden er så stor som 35 %. 3.0 a Siden folketallet øker jevnt, vil en lineær modell passe est. Vi har gitt to punkter i modellen. 007 tilsvarer x = 0, mens 014 tilsvarer x = 7. Vi legger inn de to punktene (0, 6500) og (7, 9300) i GeoGera og tegner en rett linje mellom to punkter: 3.1 a I algerafeltet kan vi lese av at likningen for linja er y = 400x Den lineære modellen som passer est for folketallet etter år 007 er altså gitt ved F( x) = 400x x [ 0, 7]. Økningen i produksjonen er 6 % per år. 6 Vekstfaktoren er 1+ = 1, Produksjonen etter tre år er da gitt ved Vekstfaktoren er 1,06 og antall år er x. Antall produserte maskindeler per år etter x år er da x Ax ( ) = ,06 x 0, ,06 = 9 58 [ ] c Vi har oppgitt at gyldighetsområdet er x [ 0,5]. d Modellen forutsetter at produksjonen øker konstant med 6 % per år. Aschehoug Side 9 av 91

10 Hvis produksjonen skulle stanse eller reduseres i perioder ville ikke økningen være konstant. 3. a Vi regner ut vekstfaktoren for hvert av de fire årene: = 0, = 0,88 = 0,88 = 0,88 Vi ser at ilen synker jevnt i verdi, og at vi har vekstfaktoren 0,88. Det gir p 1 = 0, p = 0,88 1 = 0,1 100 p = 0,1 Verdien av ilen avtar med 1 % per år. Bilens verdi som ny var kr verdien avtar med 1 % per år. Vekstfaktoren er 0,88. En eksponentiell modell som viser hvordan verdien av ilen synker er gitt ved V( x ) = ,88 x c 10 V (10) = ,88 = Etter ti år er ilens verdi ca kr etter denne modellen. 3.3 a 4 Når folketallet avtar med 4 % per år lir vekstfaktoren 1 = 0, Når folketallet øker med 6 % per år lir vekstfaktoren 1 + = 1, Funksjonsuttrykket for folketallet der folketallet synker lir da f( t ) = ,96 t Funksjonsuttrykket for folketallet der folketallet øker lir da gt ( ) = ,06 t Aschehoug Side 10 av 91

11 Vi tegner grafene til f(t) og g(t)i GeoGera ved å ruke kommandoen Funksjon[<Funksjon>,<Start>,<Slutt>]. c Vi ruker kommandoen Skjæring[<Ojekt>,<Ojekt>] og finner skjæringspunktet mellom grafene til f og g. Vi kan også løse likninen i CAS-vinduet i GeoGera slik: Da ser vi fra grafen at folketallet er i de to kommunene etter 3,6 år. 3.4 V x x x ( ) = 0, , + 0 Vi tegner grafene til V(x) i GeoGera ved å ruke kommandoen Funksjon[<Funksjon>,<Start>,<Slutt>]. Aschehoug Side 11 av 91

12 Tiden x må være større enn 0 men mindre enn 18 for da er tanken full. x 0,18. Gyldighetsområdet for modellen er altså [ ] 3.5 Trykket ved havoverflaten er 1 atm, og øker med 0,1 atm for hver meter han dykker. 3.6 a Siden A skal ha 800 kr pluss 1,50 kr per km, lir prisen for å leie il fra firma A Ax ( ) = 1,50x+ 800 der x er antall km. Siden B skal ha kr pluss 1,00 kr per km, lir prisen for å leie il fra firma B Bx ( ) = 1,00x der x er antall km. Hvis tiludene skal vøre like gode, setter vi Ax ( ) = Bx ( ). 1,50x+ 800 = 1, 00x ,50x 1, 00x= ,50x = 00 0,50x 00 = 0,50 0,50 x = 400 Sissel må kjøre 400 km for at de to tiludene skal vøre like gode. Aschehoug Side 1 av 91

13 3.7 a Leieutgiftene øker med en fast prosent etyr at vekstfaktoren er konstant og større enn 1,0 som i(x). Hennes leieutgifter er kr men øker med 4 % per år slik at vekstfaktoren lir = 1, gx ( ) = 100x = x 100 g(1) = = g() = = 5 g() 5 1 = = g(1) Lysstyrken er redusert til en firedel når avstanden er dolet. c Antall usser minker med et konstant tall og da må funksjonen være lineær med negativt stigningstall. Funksjonen h(x) viser at antall usser er men minker med hvert år. d Hvis siden i et kvadrat er x, er arealet av kvadratet gitt ved f( x) = x. Funksjonen viser at arealet av kvadratet øker når lengden av sidene øker. e En nyttårsrakett som lir skutt opp, vil følge en paraelane som er gitt ved en andregradsfunksjon. Funksjonen gitt ved kx ( ) = 5x + 150x viser en funksjon som kan eskrive anen til en rakett som skytes opp fra akken, når toppen og faller ned. f En størrelse som minker med en fast prosent og da må vekstfaktoren være konstant og mindre enn 1,0 som gitt ved j(x). Utslippene er men minker med 8 % hvert år slik at vekstfaktoren lir 8 1 = 0, a Folketallet økte jevnt fra,5 millioner til 3,1 millioner i løpet av 3 år. 0,6 millioner Stigningstallet for den lineære modellen er = 0, millioner / år. 3 år Det etyr at folketallet økte med 0, millioner per år. Vi ruker U som symol for folketallet etter år 011. Vi finner konstantleddet ved å ruke at punktet (0,,5) ligger på grafen til F. U( x) = 0, 0x+,5 = 0, =,5 Modellen U er altså gitt ved funksjonen U( x) = 0, 0x+,5 der x er antall år etter 005. Vi setter opp Aschehoug Side 13 av 91

14 3,5 x = 3,1 c x 3 3,1 = = 1, 4,5 3 x = 1, 4 = 1,074 Da er vekstfaktoren for en eksponentiell modell lik 1,074. Modellen U er da gitt ved funksjonen U( x ) =,50 1,074 x der x er antall år etter 005. Den lineære modellen forutsetter at folketallet øker med 0,0 millioner per år mens den eksponentielle modellen forutsetter at folketallet øker med 7,4 % per år. Vi har oppgitt folketallet i 011 og i 014 og derfor er det ikke sikkert at folketallsutviklingen følger noen av disse modellene. Med så få verdier må vi anta at egge modellene er usikre. Hvis folketallet i Utopia har fulgt en eksponentiell modell siden 005, må vi første regne ut folketallet i 005 slik 6 U ( 6) =,50 1,074 = 1,63 En modell for folketallet i Utopia x år etter 005 lir derfor U( x ) = 1,63 1,074 x. 3.9 a Vi kan anta at temperaturen avtar med en jevn prosent, og at en eksponentiell modell derfor vil passe. x Vi har formelen f( x) = a. a er startverdien. I dette tilfellet er det 85. er vekstfaktoren. Vi leser av omtrentlige verdier for T( x ) på grafen og regner ut vekstfaktoren fra time til time: x T(x) Vekstfaktor ,9 85 = 7 7 0,9 78 = ,9 7 = ,9 66 = ,9 61 = ,93 7 = ,9 5 = ,90 48 = Aschehoug Side 14 av 91

15 = = 0,93 0,95 Gjennomsnittlig vekstfaktor er 0,9. c Vi finner at den funksjonen som passer est med punktene i taellen er T( x ) = 85 0,9 x. Temperaturen synker og går mot 0 C når x lir stor. Modellen vil derfor ikke passe så godt etter en del timer dersom temperaturen på utsiden av termosen er en del høyere enn 0 C. Hva som er rimelig gyldighetsområde for modellen avhenger av temperaturen på utsiden av termosen. Hvis vi antar at romtemperaturen er ca. 5 C, ser vi at gyldighetsområdet for T(x) er x [ 0,15] Vi lar to av sidene i rektanglet ha lengden x m. Da er det igjen (10 x) m å fordele på den andre siden. Arealet A av området er produktet av lengden og redden, det vil si Ax ( ) = x(10 x) = 10x x. Vi tegner grafen til A(x) i GeoGera og finner toppunktet ved å ruke kommandoene Funksjon[<Funksjon>,<Start>,<Slutt>] og Ekstremalpunkt[<Polynom>]. Fra grafen ser vai at det største arealet er 1,5 dm. Da er to sider på,5 m og en side på 5,0 m a I hvert hjørne klipper vi or et kvadrat med side x m. Deretter skjærer vi langs de grå linjene på figuren. x må være positiv og x< 1,0, dvs. at x< 0,50. Gyldighetsområdet er derfor x 0, 0,5. Vi får et akvarium med lengde ( x) m, redde (1 x) m og høyde x m. Volumet av akvariet i m 3 er derfor gitt ved funksjonen Aschehoug Side 15 av 91

16 c ( ) 3 V( ) ( ) (1 ) x = x x x = x x x+ x = x x + x. Vi tegner grafen til V(x) med Geogera og finner toppunktet ved å ruke kommandoene Funksjon[<Funksjon>,<Start>,<Slutt>] og Ekstremalpunkt[<Polynom>]. Når x = 0, 1m er volumet størst og da er det 0,19 m Vi ruker regneark i GeoGera og legger inn dataene slik: Vi velger Regresjonsanalyse Regresjonsmodell: øverst til venstre, klikker Analyser og velger Lineær under Aschehoug Side 16 av 91

17 Sammenhengen mellom spenningen og strømmen er gitt ved U( I) = 7,33 I + 0, a Siden x er antall år etter 004 kan vi sette opp x f(x) Vi ruker regneark i GeoGera og legger inn dataene slik: Vi velger Regresjonsanalyse Regresjonsmodell: øverst til venstre, klikker Analyser og velger Lineær under Aschehoug Side 17 av 91

18 c Vi finner at den modellen som passer est med punktene i taellen er f( x) = 13,4x er 8 år etter 004. Fra grafen ser vi at etter denne modellen le det sendt 181 millioner MMS-er i 01 mens det le sendt 131 millioner MMS-er. Dette stemmer derfor dårlig med modellen i oppgave Vi ruker regneark i GeoGera og legger inn dataene slik: a Vi velger Regresjonsanalyse øverst til venstre, klikker Analyser og velger Polynom og grad under Regresjonsmodell: Aschehoug Side 18 av 91

19 c Vi finner at den modellen som passer est med punktene i taellen er f( x) = 0, 0x + 55x Vi ruker kommandoen Ekstremalpunkt[<Polynom>] og finner toppunktet på grafen. Av grafen ser vi at overskuddet lir størst mulig når det produseres ca enheter. Da er overskuddet ca kr Vi ruker regneark i GeoGera og legger inn dataene slik: Aschehoug Side 19 av 91

20 a Vi velger Regresjonsanalyse øverst til venstre, klikker Analyser og velger Eksponentiell under Regresjonsmodell: Vi finner at den eksponentielle modellen som passer est med punktene i taellen er At ( ) = 37 1,039 t der t er antall år etter 199. Vekstfaktoren er 1,039 Det gir p 1+ = 1, p = 1, = 0, p = 0, = 3,9 Den årlige prosentvise veksten er 3,9 %. c 01 er 0 år etter Vi regner ut A (0) = 37 1, 039 = 509, Se grafen. Vi får oppgitt at avfallsmengden i 01 var 430 kg og det stemmer dårlig med grafen i oppgave. Aschehoug Side 0 av 91

21 3.36 Vi ruker regneark i GeoGera og legger inn dataene slik: a Vi velger Regresjonsanalyse øverst til venstre, klikker Analyser og velger Eksponentiell under Regresjonsmodell: Vi finner at den eksponentielle modellen som passer est med punktene i taellen er ph ( ) = ,880 h der h høyden over havet. For å finne lufttrykket ved havoverflaten må vi regne ut p(0). 0 Det gir p (0) = ,880 = Lufttrykket ved havoverflaten er hpa ifølge modellen. Aschehoug Side 1 av 91

22 c Vekstfaktoren er 0,880 Det gir: p 1 = 0, p = 0,880 1 = 0, p = 0, p = 0, = 1, 0 Ifølge modellen minker lufttrykket med 1,0 % for hver høydekilometer Vi ruker regneark i GeoGera og legger inn dataene slik: a Vi velger Regresjonsanalyse Regresjonsmodell:, klikker Analyser og velger Potens under Aschehoug Side av 91

23 Vi finner at den potensfunksjonen som passer est med punktene i taellen er 1,50 f( x) = 17, x der x er avstanden i milliarder km. Vi ser av grafen at Pluto som har avstanden 5,91 milliarder km til sola har omløpstid på ca. 47 år etter denne modellen. 1,50 Vi kan også regne ut omløpstiden slik f (5,91) = 17, 5, Vi ruker regneark i GeoGera og legger inn dataene slik: a Vi velger Regresjonsanalyse, klikker Analyser og velger Potens under Regresjonsmodell: Aschehoug Side 3 av 91

24 Vi finner at den potensfunksjonen som passer est med punktene i taellen er 0,119 f( x) = 0,119 x = der x er diameter i mm. x Av grafen ser vi at resistansen i en leder med diameter på 1,5 mm vil være ca. 0,053 ohm etter denne modellen. 0,119 Vi kan også regne ut f (1,5) = = 0, 053 1, 5 Av grafen ser vi at dersom resistansen i en leder skal være 0,040 ohm må lederen være ca.1,73 mm tykk a c Punktene ligger på en rett linje. Da passer en lineær funksjon est. Funksjonsverdiene stiger mer og mer etter som x-verdien øker. Grafen går ikke gjennom origo og valget faller på eksponentialfunksjon. Grafen har toppunkt og ser også ut til å ha unnpunkt. Da er det tredjegradsfunksjon so passer est. Funksjonsverdiene avtar mer og mer etter som x-verdien øker. Grafen går ikke gjennom origo og valget faller på eksponentialfunksjon. Aschehoug Side 4 av 91

25 3.40 Vi ruker regneark i GeoGera og legger inn dataene slik: Vi foretar regresjon og velger henholdsvis lineær og eksponentiell regresjonsmodell: Vi finner at den lineære funksjonen som passer est med punktene i taellen er f( x) = 54,3x og den eksponentialfunksjonen som passer est er gx= ( ) ,053 x der x er antall år etter Den lineære modellen har stigningstallet 54,3. Det etyr at antall personiler øker med per år etter 00. I den eksponentielle modellen er vekstfaktoren 1,05. Det gir p 1+ = 1, p = 1, = 0, p = 100 0, 053 =,53 Etter den eksponentielle modellen øker antall personiler med,53 % per år etter 00. Aschehoug Side 5 av 91

26 3.41 a Fra grafen ser vi at funksjonen g passer est med punktene. Fra grafen ser vi at funksjonen g passer est med punktene. 3.4 a Vi ruker regneark i GeoGera og legge inn dataene slik Vi velger Regresjonsanalyse Regresjonsmodell:, klikker Analyser og velger Lineær under c Vi finner at den lineære funksjonen som passer est med punktene i taellen er y =,3x+,9. Det vi gjorde i oppgave a og kalles regresjon eller kurvetilpasning. Aschehoug Side 6 av 91

27 3.43 a Vi ruker regneark i GeoGera og legger inn dataene slik Vi velger Regresjonsanalyse Regresjonsmodell:, klikker Analyser og velger Potens under Vi finner at den potensfunksjonen som passer est med punktene i taellen er 1 1 f( x) = 1 x =. x Vi ruker regneark i GeoGera og legge inn dataene slik: Aschehoug Side 7 av 91

28 Vi velger Regresjonsanalyse Regresjonsmodell:, klikker Analyser og velger Potens under Vi finner at den potensfunksjonen som passer est med punktene i taellen er 0,5 f( x) = x a Vi ruker regneark i GeoGera og legge inn dataene slik Grafen har toppunkt men ingen unnpunkt.da er det en annengradsfunksjon som passer est. Vi velger Regresjonsanalyse, klikker Analyser og velger Polynom under Regresjonsmodell. Vi velger grad og får grafen: Aschehoug Side 8 av 91

29 Vi finner at den andregradsfunksjonen som passer est med punktene i taellen er f( x) = 1, 3x + 8,1x 8, 6. Vi ruker regneark i GeoGera og legger inn dataene slik: Grafen har åde toppunkt og unnpunkt. Da er det en tredjegradsfunksjon som passer est. Aschehoug Side 9 av 91

30 Vi velger Regresjonsanalyse, klikker Analyser og velger Polynom under Regresjonsmodell. Vi velger grad 3 og får grafen: 3.45 a Vi finner at den tredjegradsfunksjonen som passer est med punktene i taellen er 3 f( x) = 0,1x + 1,15x, 99x +, 99. Beløpet har vokst og renten har vært konstant disse fire årene. Grafen vil ikke gå gjennom origo siden eløpet som le satt inn i anken var kr. Da vil en eksponentialfunksjon eskrive est hvordan eløpet har vokst. Vi ruker regneark i GeoGera og legger inn dataene slik: Vi velger Regresjonsanalyse Regresjonsmodell:, klikker Analyser og velger Lineær under Aschehoug Side 30 av 91

31 Vi finner at den eksponentialfunksjonen som passer est med punktene i taellen er f( x ) = ,035 x der x er antall år etter at Line satte kr i anken. c Vekstfaktoren er 1,035. Det gir p 1+ = 1, p = 1, = 0, p = 100 0, 035 = 3,5 Line fikk 3,5 % prosent rente per år på pengene sine. Aschehoug Side 31 av 91

32 3.46 a Vi ruker regneark i GeoGera og legger inn dataene slik: Vi velger Regresjonsanalyse, klikker Analyser og velger Lineær under Regresjonsmodell: Den lineære modellen som passer est med tallene i taellen er gitt ved f( x) = 0,107x+ 45,8 der x er antall år etter 1900 og f(x) er rekordtiden i sekunder. Stigningstallet er 0,107 og viser at rekorden lir foredret med ca. 0,107 s per år. c Vi tegner linja y = 30 i samme koordinatsystem som f(x) og ruker kommandoen Skjæring[<Ojekt>,<Ojekt>] og finner at rekorden lir 30 s etter ca. 147 år, dvs. rundt 047. Aschehoug Side 3 av 91

33 3.47 a Vi ruker regneark i GeoGera og legger inn dataene slik: Vi velger Regresjonsanalyse Regresjonsmodell: øverst til venstre, klikker Analyser og velger Potens under Vi finner at den potensmodellen som passer est med tallene i taellen er 0,78 f( x) = 5,81 x 0,78 c Vi regner ut f (1 000) = 5, = 887,5 890 Etter denne modellen trenger en vadefugl med vekt g ca. 890 KJ a Vi ruker regneark i GeoGera og legger inn dataene slik: Aschehoug Side 33 av 91

34 Vi velger Regresjonsanalyse Regresjonsmodell: øverst til venstre, klikker Analyser og velger Lineær under c Vi finner at den lineære funksjonen som passer est med punktene i taellen er M( x) = 4,9x+ 95 der x er antall år etter 000. Det vi gjorde i oppgavene a og kalles regresjon Vi ruker regneark i GeoGera og legger inn dataene slik: Aschehoug Side 34 av 91

35 Punktene ligger ikke på en rett linje, så vi må ha en funksjonstype med krum graf. Grafen ser ut til å ha unnpunkt men ikke toppunkt. Da er det en andregradsfunksjon som passer est. Løsninger til oppgavene i oka Vi velger Regresjonsanalyse Regresjonsmodell. Vi velger grad og får grafen øverst til venstre, klikker Analyser og velger Polynom under Vi finner at den andregradsfunksjonen som passer est med punktene i taellen er ht ( ) = 4,9t 0,07t + 0,05 der t er tid i sekunder a Vi ruker regneark i GeoGera og legge inn dataene slik: Aschehoug Side 35 av 91

36 Vi velger Regresjonsanalyse øverst til venstre, klikker Analyser og velger Eksponentiell under Regresjonsmodell: Vi finner at den eksponentialfunksjonen som passer est med punktene i taellen er f( x ) = 3,00 0,980 x der x er antall minutter etter at pasienten fikk injeksjonen i lodet. Vi tegner linja y = 0,80 i samme koordinatsystem som f(x) og ruker kommandoen skjæring[<ojekt>,<ojekt>] og finner at medisinen er virksom i ca. 65 minutter. Vi kan også løse likningen i CAS-vinduet i GeoGera 3.51 a Omkretsen av et rektangel er gitt ved formelen O= l+. Det gir O = 3 cm + 17cm = 40 cm O O O = 5 cm + 15cm = 40 cm = 9cm + 11cm = 40 cm = 13 cm + 7cm = 40 cm O5 = 17 cm + 3cm = 40 cm Alle rektanglene har samme omkrets lik 40 cm. Aschehoug Side 36 av 91

37 Arealet ev et rektangel er gitt ved formelen A= l. Det gir A = 3 cm 17cm = 51 cm c A = 5 cm 15cm = 75 cm A = 9cm 11cm = 99 cm A = 13 cm 7cm = 91 cm A5 = 17 cm 3cm = 51 cm Vi ruker regneark i GeoGera og legge inn dataene slik Punktene ligger ikke på en rett linje, så vi må ha en funksjonstype med krum graf. Grafen ser ut til å ha toppunkt men ikke unnpunkt. Da er det en andregradsfunksjon som passer est. Vi velger Regresjonsanalyse under Regresjonsmodell. Vi velger grad og får grafen: øverst til venstre, klikker Analyser og velger Polynom Aschehoug Side 37 av 91

38 Vi kan også regne ut arealet slik: Vi setter lengde i rektanglet lik x og redden y. Det gir x+ y = 40 y = 40 x 40 x 40 x y = = = 0 x Arealet av rektanglet kan da skrives A= x (0 x) = 0x x d Vi ser av grafen at formelen gjelder for x 0, 0. e For at arealet skal li størst mulig må Are tegne et kvadrat med sider lik 10cm. 3.5 Vi ruker regneark i GeoGera og legger inn dataene slik: Vi ser at det er naturlig å dele funksjonen på x = 60. Vi foretar regresjon, først i intervallet [0, 60], og så i intervallet [60,100]. Vi får da følgende: Aschehoug Side 38 av 91

39 Den tredjegradsmodellen som passer est med punktene er 3 F( x) = 0, 000x + 0, 0079x 0,59 x for x 0, 60 [ ] 3 ( ) 0, , 06 1,96-113,6 for [60, 100] F x = x x + x x der x er prosentdelen frostvæske. (Konstantleddet i det første funksjonsuttrykket er fjernet for å få funksjonen til å starte i origo.) Aschehoug Side 39 av 91

40 3.53 Løsninger til oppgavene i oka a Punktene med x-koordinater mindre enn 1 ser ut til å ligge langs en annen rett linje enn punktene med x-koordinater større enn 1. Vi ruker regneark i GeoGera og legger inn dataene slik Aschehoug Side 40 av 91

41 Vi ser at det er naturlig å dele funksjonen på x = 1. Vi foretar regresjon, først i intervallet [0,1], og så i intervallet [1, 3]. Vi får da følgende: Den lineære modellen som passer est for de 1 første årene etter 1980 er f( x) = 8,14x+ 134 der x 0,1. [ ] Den lineære modellen som passer est de neste 0 årene er f( x) = 1,18x+ 5,9 der x [1, 3] a Vi ruker regneark i GeoGera og legger inn dataene slik: Vi velger Regresjonsanalyse under Regresjonsmodell. Vi velger grad og får grafen: øverst til venstre, klikker Analyser og velger Polynom Aschehoug Side 41 av 91

42 Den andregradsmodellen som passer est med tallene i taellen er K( x) = 0,860x + 97,1x Vi setter inntektene lik I( x) = 50 x. Overskuddet er da gitt ved Ox ( ) = Ix ( ) Kx ( ) c ( ) Ox = x x + x+ = x + x ( ) 50 0,860 97, ,860 15, Vi tegner grafen til O(x) i GeoGera og finner toppunktet. Vi ruker kommandoen Ekstremalpunkt[<Polynom>] og finner toppunktet på grafen. Fra grafen ser vi at overskuddet lir størst mulig når det produseres 89 enheter. Da er overskuddet ca. 1 kr a Vi ruker regneark i GeoGera og legge inn dataene slik Aschehoug Side 4 av 91

43 Vi velger Regresjonsanalyse under Regresjonsmodell. Vi velger grad og får grafen: øverst til venstre, klikker Analyser og velger Polynom Funksjonsuttrykket for paraelen lir f( x) = 0, 75x 4x+ 7, 5. Vi ser at paraelen ikke går gjennom punktet D = (4, 4) c Vi kan også regne ut f (4) = 0, , 5 = 7, 5 som viser at paraelen ikke går gjennom punktet D. Grafen har åde toppunkt og unnpunkt. Da er det en tredjegradsfunksjon som passer est. Vi velger Regresjonsanalyse under Regresjonsmodell. Vi velger grad 3 og får grafen: øverst til venstre, klikker Analyser og velger Polynom Aschehoug Side 43 av 91

44 Den enkleste funksjonen som nøyaktig går gjennom åde A, B, C og D er 3 f( x) = 0, 5x + 3x 9, 75x+ 11. Aschehoug Side 44 av 91

45 3.56 a Vi tegner funksjonen i eksempel 14 i GeoGera Av skjermildet ser vi at h (6) = 109,8. Sunniva er altså omtrent 110 cm høy på seksårsdagen. Det vi gjorde i oppgave a kalles interpolasjon a Vi ruker regneark i GeoGera og legger inn dataene slik Punktene ser ut til å ligge langs en rett linje. Da passer en lineær graf est. Vi velger Regresjonsanalyse Regresjonsmodell: øverst til venstre, klikker Analyser og velger Lineær under Aschehoug Side 45 av 91

46 Den lineære modellen som passer est med tallene i taellen er F( x) = 0,078x+,967 Vi fyller inn x = 0 og får at F (0) = 4,57. Det etyr at folketallet var ca. 4,53 milliarder i Vi har interpolert siden 1980 ligger innenfor yttergrensen for de oppgitte dataene. c Vi fyller inn x = 90 og får at F(90) 10,0. Det etyr at folketallet vil være ca. 10,0 milliarder i 050 etter denne modellen. Vi har ekstrapolert. d Ekstrapolasjon siden året 050 ligger langt utenfor grensene i dataintervallet a Vi ruker regneark i GeoGera og legge inn dataene slik Vi velger Regresjonsanalyse Regresjonsmodell: øverst til venstre, klikker Analyser og velger Lineær under Aschehoug Side 46 av 91

47 Den lineære funksjonen som passer est med tallene i taellen er f( x) = 0, 005x+ 1, 5 Stigningstallet er positivt. Det viser at mer gjødsling gir større avling. Av skjermildet ser vi at f (0) = 1, 5. Avlingen uten gjødsling er altså 1,5 tonn. c Vi tegner linja y =,5 i samme koordinatsystem som f(x) og ruker kommandoen skjæring[<ojekt>,<ojekt>] og finner at det trengs ca. 500 kg gjødsel for å dole avlingen. Vi kan anta at plantene før eller senere slutter å vokse mer selv med enda mer gjødsel a Vi ruker regneark i GeoGera og legger inn dataene slik: Vi velger Regresjonsanalyse Regresjonsmodell: øverst til venstre, klikker Analyser og velger Lineær under Aschehoug Side 47 av 91

48 Den lineære modellen som passer est med tallene i taellen er f( x) = 0,169x+ 8, 49 Av skjermildet ser vi at f (0) = 8, 49. Mønsterdyden for nye dekk er ca. 8,50 mm. c Vi tegner linja y = 1, 6 i samme koordinatsystem som f(x) og ruker kommandoen skjæring[<ojekt>,<ojekt>] og finner at man kan kjøre ca km på sommerdekk. x 0, 41. d Gyldighetsområdet for lovlige ilførere er altså [ ] e Vi tegner linja y = 3, 0 i samme koordinatsystem som f(x) og ruker kommandoen skjæring[<ojekt>,<ojekt>] og finner at man kan kjøre ca km på sommerdekk før mønsterdyden er 3,0 mm. Antall km kortere enn «lovlig» kjørelengde lir da = Det utgjør % = 0,3 % Kjørelengden forkortes med ca 0 %. Aschehoug Side 48 av 91

49 3.60 a Vi ruker regneark i GeoGera og legger inn dataene slik: Vi velger Regresjonsanalyse under Regresjonsmodell. Vi velger grad 3 og får grafen: øverst til venstre, klikker Analyser og velger Polynom Vi finner at den tredjegradsfunksjonen som passer est med punktene i taellen er 3 hx ( ) = 0, x + 0,00 59x + 0,0310x+ 170,1. c Modellen viser kraftig fallende gjennomsnittshøyde de kommende årene. d Målingene er utført i perioden 1900 til 010. Aschehoug Side 49 av 91

50 Et rimelig gyldighetsområde for modellen er derfor x [ 0,110] a Vi ruker regneark i GeoGera og legger inn dataene slik: Løsninger til oppgavene i oka Vi velger Regresjonsanalyse under Regresjonsmodell. Vi velger grad 3 og får grafen: øverst til venstre, klikker Analyser og velger Polynom Vi finner at den tredjegradsfunksjonen som passer est med punktene i taellen er 3 F( x) = 0, x + 0,001 0x + 0,039x+ 3,58 der x er antall år etter Av skjermildet ser vi at f ( 30) = 1,1. Etter modellen var folketallet 1,1 millioner i 1930 Det stemmer dårlig med oppgitt verdi på,8 millioner. Av skjermildet ser vi at f (54) = 5,5. Etter modellen lir folketallet 5,5 millioner i 014 Det stemmer ganske ra med oppgitt verdi på 5,1 millioner. c I årene før 1960 ser modellen ut til å stemme dårlig mens etter 1960 ser den ut til å stemme ganske ra. Aschehoug Side 50 av 91

51 Et rimelig gyldighetsområde for modellen er derfor x [ 5, 55]. Løsninger til oppgavene i oka Aschehoug Side 51 av 91

52 3.6 a Vi ruker regneark i GeoGera og legger inn dataene slik: Vi velger Regresjonsanalyse under Regresjonsmodell. Vi velger grad 3 og får grafen: øverst til venstre, klikker Analyser og velger Polynom Vi finner at den tredjegradsfunksjonen som passer est med punktene i taellen er 3 Bx ( ) = 4, 68x + 63, 4x 3, 3x+ 9,1 der x er antall år etter 000. Modellen viser neppe realistiske prognoser siden antall redåndsaonnenter etter modellen vil avta etter 009. Aschehoug Side 5 av 91

53 3.63 a Vi ruker regneark i GeoGera og legger inn dataene slik: Vi velger Regresjonsanalyse under Regresjonsmodell. Vi velger grad og får grafen: øverst til venstre, klikker Analyser og velger Polynom Vi finner at den andregradsfunksjonen som passer est med punktene i taellen er K( x) =,35x 88,5x Av skjermildet ser vi at f (80) = Kostnadene ved produksjon av 80 enheter er ca kr etter modellen. Av skjermildet ser vi at f (00) = Kostnadene ved produksjon av 00 enheter er ca kr etter modellen. c 80 enheter ligger mellom endepunktene i datamaterialet mens 00 enheter er 50 flere enn største verdi. Vi har derfor størst tillit til eregningen av kostnadene for produksjon av 80 enheter. Aschehoug Side 53 av 91

54 3.64 a Vi ruker regneark i GeoGera og legge inn dataene slik: Vi velger Regresjonsanalyse grad : øverst til venstre, klikker Analyser og velger Polynom og En modell for sammenhengen mellom pris og etterspørsel kan være gx ( ) = 0, 0374x 10,1x Vi skriver inn x = 150 og får at g (150) = 97,5. Med andregradsmodellen vil prisen på 150 kr gi etterspørsel på ca. 96 enheter. Modellen vil altså være gyldig, men antall enheter vil være lavt. c Andregradsmodellen gir I 3 ( x ) = x ( x ) = x (0,037 4 x 10,1 x+ 768) = 0,037 4 x 10,1 x x Aschehoug Side 54 av 91

55 Vi tegner inntektsfunksjonene i GeoGera. Vi ruker kommandoen Ekstremalpunkt[<Polynom>] og finner toppunktet til hver av grafene. Av grafen ser vi at de etter den lineære modellen ør velge pris på 56 kr mens de etter andregradsmodellen ør velge prisen 55 kr a Vi ruker regneark i GeoGera og legger inn dataene slik: Vi velger Regresjonsanalyse øverst til venstre, og klikker Analyser. Det ser ut til at en eksponentiell modell kan passe, så vi velger dette: Aschehoug Side 55 av 91

56 c Vi finner at den eksponentielle modellen som passer est med punktene i taellen er ( ) 0, 418 3,18 x f x =. 10 f (10) = 0, 418 3,18 = 44 0 Etter denne modellen skulle det vært ca. 44 milliarder rukere i 014. Dette antallet er helt urealistisk (Det er mer enn 6 ganger jordas efolkning). Vi ruker regneark i GeoGera og legger inn dataene slik: Vi lager er eksponentiell modell for x [ 0,5,3] slik vi gjorde i oppgave og en lineær modell for x [5,3, 10]. Aschehoug Side 56 av 91

57 Vi får: x f( x) = 0,418 3,3, x [0, 5,3] f( x) = 0x 96, x [5,3,10] 3.66 a Vi ruker regneark i GeoGera og legger inn dataene slik Vi velger Regresjonsanalyse, klikker Analyser og velger Eksponentiell under Regresjonsmodell. Vi finner at den eksponentielle modellen som passer est med punktene i taellen er f( x ) = 071 0,976 x. Vi velger så Polynom og grad og får at den andregradsmodellen som passer est er gx ( ) = 0,158x -3,8x x er antall år etter 190. Aschehoug Side 57 av 91

58 Vi kopierer funksjonene over i grafikkfeltet: c d Av skjermildet ser vi at punktet (90, 34) ligger på egge grafene. Antall innyggere per lege stemmer ra med egge modellene. Vi regner ut 70 f ( 70) = 071 0,976 = g( 70) = 0,158 ( 70) 3,8 ( 70) = 4 97 I 1850 var antall innyggere per lege 519. Vi ser at det stemmer dårlig med egge modellene. Av skjermildet ser vi at etter den eksponentielle modellen vil antall innyggere per lege nærme seg null mens etter andregradsmodellen vil antall innyggere per lege stige etter ca. år 05. Ingen av modellene er derfor gode på sikt a 1= 1 3 = 1 4 3= 1 5 4= 1 Vi får neste tall ved å legge til 1. De neste tallene er derfor 5+ 1= 6 og 6+ 1= 7. 4 = 6 4= 8 6= 10 8= Vi får neste tall ved å legge til. De neste tallene er derfor 10 + = 1 og 1 + = 14. c = = = = Vi får neste tall ved å gange med. De neste tallene er derfor 16 = 3 og 3 = 64. d 4 3= 1 6 4= 9 6= = 4 Aschehoug Side 58 av 91

59 3.68 Vi får neste tall ved å legge en mer for hver gang. De neste tallene er derfor = 18 og = 4. a 9 7= 7 5= 5 = 3 3 = 1 Vi får neste tall ved å trekke fra. Tallet som mangler er derfor 5 = = 3 = 3 = Vi får neste tall ved å gange med 3. Tallet som mangler er derfor 6 3 =. c 1= 1 4 = 7 4= 3 Vi får neste tall ved å legge til en mer for hver gang. Tallet som mangler er derfor = 11. Det passer med neste tall i tallfølgen fordi = 16. d ( 3) = 5 7 = 5 Vi får neste tall ved å legge til 5. Det neste tallet er derfor = 1. Det passer med neste tall i tallfølgen fordi = a n = 1gir det første tallet 1 = n = gir det andre tallet = 4 n = 3 gir det tredje tallet 3 = 6 n = 4 gir det fjerde tallet 4 = 8 n = 5 gir det femte tallet 5 = 10 De fem første tallene er, 4, 6, 8, 10. n = 1gir det første tallet 1 1 = 1 n = gir det andre tallet 1 = 3 n = 3 gir det tredje tallet 3 1 = 5 n = 4 gir det fjerde tallet 4 1 = 7 n = 5 gir det femte tallet 5 1 = 9 De fem første tallene er 1, 3, 5, 7, 9. c n = 1gir det første tallet 1 = 1 n = gir det andre tallet = 4 n = 3 gir det tredje tallet 3 = 9 n = 4 gir det fjerde tallet 4 = 16 n = 5 gir det femte tallet 5 = 5 Aschehoug Side 59 av 91

60 De fem første tallene er 1, 4, 9, 16, 5. 1 d n = 1gir det første tallet = n = gir det andre tallet = 4 3 n = 3 gir det tredje tallet = 8 4 n = 4 gir det fjerde tallet = 16 5 n = 5 gir det femte tallet = 3 De fem første tallene er, 4, 8, 16, 3. e n = 1gir det første tallet = 8 n = gir det andre tallet = 13 n = 3 gir det tredje tallet = 18 n = 4 gir det fjerde tallet = 3 n = 5 gir det femte tallet = 8 De fem første tallene er 8, 13, 18, 3, a Vi lager en taell: Tall nummer n Tall y Uttrykk n Vi ser av taellen at y = n Vi ruker formelen vi fant i oppgave a, med n = 143. Det gir y = 143 = 86 På plass nummer 143 står tallet a Vi lager en taell: Tall nummer n Tall y Uttrykk n 1 Vi ser av taellen at y = n Vi ruker formelen vi fant i oppgave a, med n = Det gir y = På plass nummer 71 står tallet a = = = = = Vi har da 1, 10, 100, 1000, ,... = 10, 10, 10, 10, 10,... Aschehoug Side 60 av 91

61 Aschehoug Side 61 av 91

62 c 1 Vi kan skrive 10 n fordi 11 0 n = 1 gir 10 = 10 = 1 n = = = 1 1 gir n = = = gir osv Tall nummer 47 lir 10 = a 3.74 a 3.75 Vi ser at tallene vokser jevnt, med 4 for hvert tall. Da er tall nummer n på formen 4n. Tall nummer n er derfor gitt ved modellen f( n) = 4n Vi lar 88 være tall nummer n. Det gir 4n = n = = 4 88 står altså som tall nummer i tallfølgen. Vi ser at tallene vokser jevnt, med 4 for hvert tall. Da er tall nummer n på formen 4n+. Vi estemmer ved å ruke at 5 er tall nummer 1. Det gir likningen 5= 41 +, som har løsningen = 1. Tall nummer n er derfor gitt ved modellen f( n) = 4n+ 1. Vi undersøker om 13 er et av tallene i fortsettelsen ved å sette 4n + 1 = 13 4n = n = = 30,5 4 n lir ikke et helt tall og tallet 13 er ikke et av tallene i fortsettelsen a Tallene 1, 3, 5, 7, 9,.er oddetallene. Vi ser at tallene vokser jevnt, med for hvert tall. Da er tall nummer n på formen n+. Vi estemmer ved å ruke at 1 er tall nummer 1. Det gir likningen 1= 1 +, som har løsningen = 1. Tall nummer n er derfor gitt ved modellen On ( ) = n 1. c Vi lar 99 være tall nummer n. Det gir n 1 = 99 n = = n = = står som tall nummer 50 i tallfølgen. d Tallet 756 er ikke et av tallene i fortsettelsen siden det er partall med siste siffer 6. Aschehoug Side 6 av 91

63 3.76 a 9 1 = = = 8 Vi får neste tall ved å legge til 8.. Det neste tallet er derfor = = = = 7 Vi får neste tall ved å legge til to mer for hver gang. Det neste tallet er derfor = c = = 8 4 Vi får neste tall ved å gange med 1 for hver gang. 1 1 Det neste tallet er derfor 1 =. d 1+ 1= 1+ = 3 + 3= = 8 Vi får neste tall ved å legge sammen de to foregående tallene i tallfølgen Det neste tallet er derfor = a 3 30 = 34 3 = = = Vi får neste tall ved å legge til. Det 4. tallet i tallfølgen er derfor 30 = 8 Det 3. tallet i tallfølgen er derfor 8 = 6 Det. tallet i tallfølgen er derfor 6 = 4 Det 1. tallet i tallfølgen er derfor 4 = De fire første tallene i tallfølgen er derfor, 4, 6, 8. Vi ser at tallene vokser jevnt, med for hvert gang n øker med 1. Da er tall nummer n på formen n+. c Vi estemmer ved å ruke at er tall nummer 1. Det gir likningen = 1 +, som har løsningen =. Tall nummer n er derfor gitt ved modellen f( n) = n+ 0. d f (100) = = 0 Tall nummer 100 i tallfølgen er a Ett-tall ytterst. Andre tall er summen av de to tallene på skrå ovenfor Aschehoug Side 63 av 91

64 3.79 a Løsninger til oppgavene i oka Rad nummer, n Antall rør Vi ser at antall rør er 3 mer enn nummeret på raden. Det etyr at antall rør i rad nummer n er n + 3. n + 3 = 0 n = 0 3 = 17 På rad 17 ligger 0 rør a Tallet som står som nummer to fra høyre i rad nummer 1 er 1. Tallet som står som nummer to fra høyre i rad nummer er. Tallet som står som nummer to fra høyre i rad nummer 3 er 3. Tallet som står som nummer to fra høyre i rad nummer n er n. Tredje skrålinje har tallene 1, 3, 6, 10,15, 1, 8, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 10, 136, 153, 171, 190, 10, 31, 53, 76, 300, 35, 351, 378, 406, 435, 465, 496, 58, 561, 595, 630, 666, 703, 741, 780, 80, 861, 903, 946, 990, 1 035, 1 081, 1 18, 1 176, 1 5, 1 75, 136, 1 378, 1 431, 1 485, 1 540, 1 596, 1 653, 1 711, 1 770, 1 830, 1 891, 1 953, 016, 080, 145, 11, 78, 346, 415, 485, 556, 68, 701, 775, 850, 96, 3 003, 3 081, 3 160, 3 40, 3 31, 3 403, 3 486, 3 570, 3 655, 3 741, 3 88, 3 916, 4 005, 4 095, 4 186, 4 78, 4 371, 4 465, 4 560, 4 656, 4 753, Tallet som står som nummer tre fra høyre i rad nummer 99 er Vi kan også ruke regneark i GeoGera og legge inn dataene slik: V ruker CAS verktøy og finner den modellen som passer est med dataene i taellen. Det gir: Den funksjonen som passer est med dataene i taellen er gitt ved: Aschehoug Side 64 av 91

65 c f x = x + x ( ) 0,5 0,5. f (98) = 0, ,5 98 = Tallet som står som nummer tre fra høyre i rad nummer 99 er Vi ser at ikke står i den tredje skrålinja regnet fra høyre. Vi kan også ruke CAS verktøy slik: Likningen har ikke positiv og heltallig løsning. Vi ser at ikke står i den tredje skrålinja regnet fra høyre. d 1, 3, 6, 10,15, 1, 8, 36, 45,. I tredje skrålinje fra høyre får vi neste tall ved å legge til en mer for hver gang a c d e = = = De tre første kuikktallene er 1, 8, = 64 For å lage en modell av k 4 trengs 64 kuler. 3 En modell for antall kuler i k n er da k = n. 3 k 0 = 0 = For å lage det 0. kuikktallet trengs kuler. 3 n = 000 n = ,6 Det største kuikktallet Stian kan lage med 000 kuler er a Av figurene ser vi T1 = 1 T = 3 T3 = 6 T4 = 10 De fire første trekanttallene er 1, 3, 6, 10. V i tegner T 5 slik med 15 kuler n 3 1 = Aschehoug Side 65 av 91

66 c Antall kuler i T 6 vil være = 1 6(6 + 1) 67 d T6 = = = 1 som stemmer med antallet i oppgave c. nn+ ( 1) e = 333 nn ( + 1) = 333 n + n 666 = 0 Med digitalt verktøy finner vi at 333 ikke er trekanttall a Etter mønsteret som er gitt lir det femte hustallet, H 5, slik De fem første hustallene er 1, 5, 1,, 35. c Vi setter opp følgende taell: Aschehoug Side 66 av 91

67 3.84 a Hustall, H H n n Hn Økning Vi ser at H6 = = 51 H7 = = 70 osv. Vi ser at Agnete trenger 145 kuler for å lage H 10. Kvadrattallene K n Trekanttallene T n Hustallene H n Av taellen ser vi følgende sammenheng K + T1 = 4+ 1= 5 K3+ T = 9+ 3= 1 K4 + T3 = = osv. Vi har følgende sammenheng mellom kvadrattall, trekanttall og hustall Hn = Kn + Tn 1. Vi ruker sammenhengene gitt i oppgavene 3,81c og 3,8 c. Det gir H = K + T c n n n 1 ( n 1) n n n n + n n 3 n n n(3n 1) n = + = + = = = H n n Vi setter n = 500 n =± 500 ±, 4 Det største mulige hustallet er H. Fra sammenhengen i oppgave har vi at K = = 484. Kvadrattallene er de lå kulene og det er da = 16 lå kuler til overs. ( 1) T = = 31 Trekanttallene er de oransje kulene og det er da = 69 oransje kuler til overs. Aschehoug Side 67 av 91

68 3.85 a Lag nummer Antall grå okser Antall oransje okser c Vi ser at tallene vokser jevnt, med 3 for hvert tall. Da er tall nummer n på formen 3 L+. Vi estemmer ved å ruke at 3 er tall nummer. (Formelen gjelder fra og med lag nummer.) Det gir likningen 3= 3 +, som har løsningen = 3. Tall nummer n er derfor gitt ved modellen GL ( ) = 3 L 3 = 3( L 1) der L,. Vi ruker regneark i GeoGera og legge inn dataene slik: Av punktene i taellen ser vi at funksjonen gjelder fra det fjerde punktet. Vi markerer punktene fra og med A = 4 og velger Regresjonsanalyse og klikker Analyser. Vi ser at punktene ikke ligger på en rett linje, så vi må ha en funksjonstype med krum graf. Grafen ser ut til å ha ett unnpunkt men ingen toppunkter. Da er det en andregradsfunksjon som passer est. Vi velger derfor Polynom og grad. Det gir oss dette resultatet: Aschehoug Side 68 av 91

2P kapittel 2 Modellering Løsninger til innlæringsoppgavene

2P kapittel 2 Modellering Løsninger til innlæringsoppgavene P kapittel Modellering Løsninger til innlæringsoppgavene.1 a c d e y = 4x+ 1 Stigningstallet er 4. Konstantleddet er 1. Linja skjærer altså y-aksen i punktet (0,1). y = 3x 4 Stigningstallet er 3. Konstantleddet

Detaljer

2P kapittel 2 Modellering Utvalgte løsninger oppgavesamlingen

2P kapittel 2 Modellering Utvalgte løsninger oppgavesamlingen P kapittel Modellering Utvalgte løsninger oppgavesamlingen 01 a Av tabellen ser vi at y minker like mye hver gang x øker med 1. Tallene passer derfor med en lineær funksjon. b Hver gang x øker med 1, minker

Detaljer

S1 kapittel 5 Funksjoner Løsninger til oppgavene i boka

S1 kapittel 5 Funksjoner Løsninger til oppgavene i boka S1 kapittel 5 Funksjoner Løsninger til oppgavene i boka 5.1 a f( x) = 4x+ 0 I GeoGebra skriver vi f(x)=funksjon[-4x+0,-5,5]. Grafen viser at [ 0, 40] V =. f b gx ( ) =,5x+ 10 I GeoGebra skriver vi f(x)=funksjon[,5x+10,-10,4].

Detaljer

Tall i arbeid Påbygging Kapittel 3 Funksjoner Løsninger til innlæringsoppgavene

Tall i arbeid Påbygging Kapittel 3 Funksjoner Løsninger til innlæringsoppgavene Tall i arbeid Påbygging Kapittel 3 Funksjoner Løsninger til innlæringsoppgavene 3.1 a Koordinatene til origo er (0, 0). b Vi leser av førstekoordinaten langs x-aksen og andrekoordinaten langs y-aksen for

Detaljer

Utvalgte løsninger oppgavesamlingen

Utvalgte løsninger oppgavesamlingen P kapittel Modellering Utvalgte løsninger oppgavesamlingen 01 a Snitthøyden i 1910 lir 170,0 171, 4 170,7. I 1970 lir den 177,1 179, 4 178,3. Med som antall år etter 1900 og y som snitthøyden i entimeter

Detaljer

Påbygging kapittel 7 Eksamenstrening

Påbygging kapittel 7 Eksamenstrening Påygging kapittel 7 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i oka Uten hjelpemidler E1 a 3 4 0 3+ 4+ 0 7 a a a a a = = = a = a 5 5 5 a a a ( ) ( ) c d 7 5 3 3 3 3 6 4 3 6 4 3 3x x = 3 x x = 3 x x = 3 x

Detaljer

Basisoppgaver til Tall i arbeid Påbygging kap. 4 Modellering

Basisoppgaver til Tall i arbeid Påbygging kap. 4 Modellering Basisoppgaver til Tall i arbeid Påbygging kap. 4 Modellering 4.1 Mer om lineær vekst 4.2 En lineær modell på øyemål 4.3 Lineær regresjon 4.4 Modellering med polynomfunksjoner 4.5 Modellering med eksponentialfunksjoner

Detaljer

Flere utfordringer til kapittel 3

Flere utfordringer til kapittel 3 KAPITTEL 3 FUNKSJONER Oppgave 1 a c Oppgave 2 Hvor mange punkter trenger vi for å skissere/definere en rett linje i et koordinatsystem? Vi har sammenhengen f(x) = 5x + 20. Hva kan vi lese ut av denne sammenhengen?

Detaljer

Tall i arbeid Påbygging kapittel 3 Funksjoner Løsninger til innlæringsoppgavene

Tall i arbeid Påbygging kapittel 3 Funksjoner Løsninger til innlæringsoppgavene Tall i arbeid Påbygging kapittel 3 Funksjoner Løsninger til innlæringsoppgavene 3.1 a Origo er skjæringspunktet mellom x-aksen og y-aksen. Koordinatene til origo er altså. (0, 0) b Førstekoordinaten til

Detaljer

Funksjoner og andregradsuttrykk

Funksjoner og andregradsuttrykk 88 4 Funksjoner og andregradsuttrykk Mål for opplæringen er at eleven skal kunne bruke matematiske metoder og hjelpemidler til å løse problemer fra ulike fag og samfunnsområder løse likninger, ulikheter

Detaljer

2T kapittel 3 Modellering og bevis Løsninger til innlæringsoppgavene

2T kapittel 3 Modellering og bevis Løsninger til innlæringsoppgavene T kapittel 3 Modellering og bevis Løsninger til innlæringsoppgavene 3.1 a Modellen gir følgende verdier for årene i oppgaven: År 1955 1985 015 Folketall (millioner) 3,5 4, 4,8 b Setter vi inn for = 00

Detaljer

R1 kapittel 4 Funksjonsdrøfting. Løsninger til oppgavene i boka ( 1) 5 ( 2) = = = = = = = ( ) 1 1. f ( a)

R1 kapittel 4 Funksjonsdrøfting. Løsninger til oppgavene i boka ( 1) 5 ( 2) = = = = = = = ( ) 1 1. f ( a) R kapittel 4 Funksjonsdrøfting Løsninger til oppgavene i boka 4. a 4 f( ) f ( ) 4 4 b g ( ) 6 c d e f 4. a b c d e f 4. a g ( ) 0 h ( ),8 4 h ( ),8,8 i ( ),8,8 i 0 ( ) j ( ) π j ( ) 0 k ( ) k ( ) f( )

Detaljer

1T kapittel 4 Likningssystemer og ulikheter

1T kapittel 4 Likningssystemer og ulikheter T kapittel 4 Likningssystemer og ulikheter Løsninger til oppgavene i oka Oppgave 4. a Vi tegner grafene til y = og y = + 3 i samme koordinatsystem. Skjæringspunktet mellom grafene har koordinatene (, ).

Detaljer

DEL 1 Uten hjelpemidler

DEL 1 Uten hjelpemidler DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (3 poeng) Dato Temperatur 01.03 2 02.03 0 03.03 4 04.03 6 05.03 2 06.03 6 Guro målte temperaturen utenfor hytta de seks første dagene i mars. Se tabellen ovenfor. Bestem

Detaljer

Tall i arbeid Påbygging terminprøve våren 2012

Tall i arbeid Påbygging terminprøve våren 2012 Tall i areid Påygging terminprøve våren 2012 DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler Oppgave 1 a Skriv tallene på standardform. 1 0,000

Detaljer

Regresjon med GeoGebra 4.0

Regresjon med GeoGebra 4.0 Regresjon med GeoGebra 4.0 av Sigbjørn Hals Innhold Liste over kommandoene... 2 Lineær regresjon... 3 Potensregresjon... 5 Eksponentiell regresjon... 5 Logaritmisk regresjon... 6 Logistisk regresjon...

Detaljer

DEL 1 Uten hjelpemidler

DEL 1 Uten hjelpemidler DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (3 poeng) Dato Temperatur 01.03 2 02.03 0 03.03 4 04.03 6 05.03 2 06.03 6 Guro målte temperaturen utenfor hytta de seks første dagene i mars. Se tabellen ovenfor. Bestem

Detaljer

Løsninger til innlæringsoppgavene

Løsninger til innlæringsoppgavene Tall i arbeid Påbygging Kapittel 4 Modellering Løsninger til innlæringsoppgavene 4.1 a Modellen gir følgende verdier for årene i oppgaven: År 1955 1985 015 Folketall (millioner) 3,5 4, 4,8 b Setter vi

Detaljer

Oppgave 1 a) Tegn grafene til de tre funksjonene nedenfor i samme koordinatsystem i GeoGebra

Oppgave 1 a) Tegn grafene til de tre funksjonene nedenfor i samme koordinatsystem i GeoGebra kompetansemålet: Funksjoner - undersøkje funksjonar som beskriv praktiske situasjonar, ved å fastsetje nullpunkt, ekstremalpunkt og skjeringspunkt og tolke den praktiske verdien av resultata. Oppgave 1

Detaljer

Basisoppgaver til 1P kap. 5 Funksjoner

Basisoppgaver til 1P kap. 5 Funksjoner Basisoppgaver til 1P kap. 5 Funksjoner 5.1 Funksjoner og grafer 5.2 Førstegradsfunksjoner 5.3 Lineær vekst 5.4 Proporsjonalitet 5.5 Andregradsfunksjoner 5.6 Mer om funksjoner Basisoppgaver 5.1 Funksjoner

Detaljer

2P eksamen våren 2016

2P eksamen våren 2016 2P eksamen våren 2016 Tid: 2 timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (3 poeng) Dato Temperatur 01.03 2 C 02.03 0 C 03.03 --4 C 04.03 --6 C

Detaljer

2P kapittel 4 Statistikk Løsninger til oppgavene i læreboka

2P kapittel 4 Statistikk Løsninger til oppgavene i læreboka P kapittel 4 Statistikk Løsninger til oppgavene i læreoka 4.1 a Det er 5 + 8 = 13 elever som ruker inntil 119 minutter på sosiale medier. Da er det 5 13 = 1 elever som ruker 10 179 minutter på sosiale

Detaljer

Funksjoner med og uten hjelpemidler

Funksjoner med og uten hjelpemidler Funksjoner med og uten hjelpemidler Plan for i dag og i morgen Dag 1: 09.00-11.45 Del 1: teori. 11.45-12.30 Lunsj 12.30-13.15 Del 2: bruk av GeoGebra. 13.15-15.15 Oppgaveregning, del 1. Dag 2: 09.00-10.45

Detaljer

Funksjoner oppgaver. Innhold. Funksjoner S1

Funksjoner oppgaver. Innhold. Funksjoner S1 Funksjoner oppgaver Innhold.1 Funksjoner.... Lineære funksjoner... 5 Ettpunktsformelen.... 9 Skjæringspunkt mellom rette linjer. Nullpunkt for en funksjon... 11.3 Andregradsfunksjon... 1.4 Tredjegradsfunksjon...

Detaljer

Kapittel 7. Matematiske modeller

Kapittel 7. Matematiske modeller Kapittel 7. Matematiske modeller En matematisk modell er en funksjon som mer eller mindre bra beskriver en praktisk situasjon. Dette kapitlet handler blant annet om: Hvordan lage en matematisk modell ved

Detaljer

Kapittel 6. Matematiske modeller

Kapittel 6. Matematiske modeller Kapittel 6. Matematiske modeller En matematisk modell er en funksjon som mer eller mindre bra beskriver en praktisk situasjon. Dette kapitlet handler blant annet om: Hvordan lage en matematisk modell ved

Detaljer

1P kapittel 2 Algebra

1P kapittel 2 Algebra 1P kapittel Algera Løsninger til oppgavene i oka.1 a a+ a a 5+ 4 9 c 8c 6c c d d d 0d 0. a + + 5+ 4+ 10 c 5 9 4 d 4 7. a 7 5+ + 8 5+ 8+ 7 + + 10 5y+ + y + 5y+ y 4 4y c 8y 8y + 8y 8y 4+ 0y 4.4 7r+ 10h+

Detaljer

Løsningsforslag til del 2 av oppgavesettet Tall og algebra i Sirkel oppgavebok 10B, kapittel 6

Løsningsforslag til del 2 av oppgavesettet Tall og algebra i Sirkel oppgavebok 10B, kapittel 6 Tall og algera Del Løsningsforslag til del av oppgavesettet Tall og algera i Sirkel oppgaveok 10B, kapittel 6 Oppgave.1 a En pakke skinke holder til åtte horn. Sju pakker holder til 56 horn, og åtte pakker

Detaljer

Funksjoner 1T Quiz. Test, 4 Funksjoner

Funksjoner 1T Quiz. Test, 4 Funksjoner Test, 4 Funksjoner Innhold 4.1 Funksjonsbegrepet... 4. Lineære funksjoner... 6 4.3 Andre funksjonstyper... 14 4.4 Vekstfart og derivasjon... 0 4.5 Drøfting av funksjoner på grunnlag av egenskaper hos den

Detaljer

Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y Høsten 2014

Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y Høsten 2014 Eksamen MAT1005 Matematikk P-Y Høsten 014 Oppgave 1 (1 poeng) Regn ut og skriv svaret på standardform 0,0003 500000000 0,00,0 10,0 4 8 3,0 10 5,0 10 3,0 5,0 4 8 ( 3) 7 3 10 7,5 10 Oppgave (1 poeng) Prisen

Detaljer

1P kapittel 5 Funksjoner Utvalgte løsninger oppgavesamlingen

1P kapittel 5 Funksjoner Utvalgte løsninger oppgavesamlingen 1P kapittel 5 Funksjoner Utvalgte løsninger oppgavesamlingen 50 a Vi ser at grafen har et toppunkt i (11, 380). Det var altså flest besøkende 11. juni. Antall besøkende var da 380. b Vi ser at grafen har

Detaljer

Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y Høsten 2013

Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y Høsten 2013 Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y Høsten 2013 DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (2 poeng) I en klasse er det 20 elever. Nedenfor ser du hvor mange dager hver av elevene var borte fra skolen i løpet av et

Detaljer

Funksjoner og andregradsuttrykk

Funksjoner og andregradsuttrykk 4 110 Funksjoner og andregradsuttrykk Studentene skal kunne benytte begrepet funksjoner og angi definisjonsmengde og verdimengde til funksjoner regne med lineære funksjoner og andregradsfunksjoner og bestemme

Detaljer

Kapittel 4. Matematiske modeller

Kapittel 4. Matematiske modeller Kapittel 4. Matematiske modeller En matematisk modell er en funksjon som mer eller mindre bra beskriver en praktisk situasjon. Dette kapitlet handler blant annet om: Hvordan lage en matematisk modell ved

Detaljer

Kurvetilpasning (regresjon) med GeoGebra 4.0

Kurvetilpasning (regresjon) med GeoGebra 4.0 Kurvetilpasning (regresjon) med GeoGebra 4.0 av Sigbjørn Hals Innhold Liste over kommandoene... 2 Lineær regresjon... 3 Potensregresjon... 5 Eksponentiell regresjon... 5 Logaritmisk regresjon... 6 Logistisk

Detaljer

Her er C en funksjon av F

Her er C en funksjon av F Kapittel 9 FUNKSJONER C F 50 58 40 40 0 0 4 0 4 0 0 50 0 68 0 86 40 04 50 9 F C + 5 Her er F en funksjon av C Dette er like ra C 5 9 F 60 9 Her er C en funksjon av F Kapittel 9 FUNKSJONER Det norske oljeeventyret

Detaljer

Kvalifiseringstjenesten Tentamen matematikk GS3 22. 04. 2013

Kvalifiseringstjenesten Tentamen matematikk GS3 22. 04. 2013 Tentamen matematikk GS3 Mandag 22. april 2013 DEL 1 Excel Oppgave 1. Hans låner 90 000 kr i banken til 4 % rente pr år. Nedbetalingstiden for lånet er 6 år. a) Lag tabellen nedenfor i Excel. År % rente

Detaljer

Utvalgte løsninger. 138 Utvalgte løsninger + + = = + I = 400x. x =. 400 I a

Utvalgte løsninger. 138 Utvalgte løsninger + + = = + I = 400x. x =. 400 I a 18 Utvalgte løsninger Utvalgte løsninger 117 a 1 1 Hvis Anders stalet halvparten av lomsterpottene, Lana og Miriam, ville det totalt li 5 1 1 1 1 5 0 1 1 + + + 0 som er mer enn 1. Altså tar Miriam feil.

Detaljer

Ny, GeoGebra til forkurset ved HiOA sommeren 2016

Ny, GeoGebra til forkurset ved HiOA sommeren 2016 Ny, GeoGebra til forkurset ved HiOA sommeren 2016 Fra Prøveveiledning, Matematikk 1P + 2P, Sentralt gitt skriftlig prøve etter forkurs i lærerutdanningene, 2016 1.6.2.1 Graftegner (programvare på datamaskin).

Detaljer

Løsningsforslag for eksempeloppgave REA3026 Matematikk S1 - April 2007. eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag for eksempeloppgave REA3026 Matematikk S1 - April 2007. eksamensoppgaver.org Løsningsforslag for eksempeloppgave REA3026 Matematikk S1 - April 2007 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i S1 er gratis, og det er

Detaljer

GeoGebra for Sinus 2T

GeoGebra for Sinus 2T GeoGebra for Sinus 2T Innhold Vektorer med GeoGebra Skalarproduktet med GeoGebra Parameterframstilling med GeoGebra Ordnede utvalg eksempelet på side 89 med GeoGebra Uordnede utvalg eksempelet på side

Detaljer

Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.

Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.

Detaljer

Eksamen S1, Høsten 2013

Eksamen S1, Høsten 2013 Eksamen S1, Høsten 013 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 ( poeng) Funksjonen f er gitt ved Bestem f. f x 3x 3x 1, Df f

Detaljer

Påbygging kapittel 3 Statistikk Løsninger til oppgavene i boka

Påbygging kapittel 3 Statistikk Løsninger til oppgavene i boka Påygging kapittel 3 Statistikk Løsninger til oppgavene i oka 3.1 a Det er 5 + 8 = 13 elever som ruker inntil 119 minutter på sosiale medier. Da er det 5 13 = 1 elever som ruker 10 179 minutter på sosiale

Detaljer

Kapittel 2. Matematiske modeller

Kapittel 2. Matematiske modeller Kapittel 2. Matematiske modeller En matematisk modell er en funksjon som mer eller mindre bra beskriver en praktisk situasjon. Dette kapitlet handler blant annet om: Hvordan lage en matematisk modell ved

Detaljer

f (x) = a x k der tallet a og eksponenten k kan være både positive og negative tall. Et eksempel på en potensfunksjon med negativ eksponent er

f (x) = a x k der tallet a og eksponenten k kan være både positive og negative tall. Et eksempel på en potensfunksjon med negativ eksponent er 7.5 Potensfunksjoner Funksjonen f gitt ved f () = 3 er et eksempel på en potensfunksjon. For alle potensfunksjoner er funksjonsuttrykket på formen f () = a k der tallet a og eksponenten k kan være både

Detaljer

Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet

Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet Innhold FUNKSJONSTEGNER... 3 Skjermbildet i GeoGebra... 3 Verktøylinja... 4 Verktøyet Flytt eller velg objekt... 4 Oppsett av skjermbildet... 5 Flytte tegneflaten, endre enheter på aksene... 5 Mer øving

Detaljer

GeoGebra-opplæring i Matematikk 1P

GeoGebra-opplæring i Matematikk 1P GeoGebra-opplæring i Matematikk 1P Emne Underkapittel Perspektivtegning I 3.8 Perspektivtegning II 3.8 Terningkast 4.1 Valgtre I 4.3 Valgtre II 4.7 Graftegning 5.2 Linje gjennom to punkter 5.2 Nullpunkter

Detaljer

Lineære funksjoner. Skjermbildet

Lineære funksjoner. Skjermbildet Lineære funksjoner I dette opplæringsløpet lærer du å tegne funksjoner i GeoGebra samt å bruke verktøy til å løse oppgaver som dreier seg om funksjoner. Alle oppgavene handler om lineære funksjoner. I

Detaljer

Grafer og funksjoner

Grafer og funksjoner 14 4 Grafer og funksjoner Mål for opplæringen er at eleven skal kunne bruke matematiske metoder og hjelpemidler til å løse problemer fra ulike fag og samfunnsområder omforme en praktisk problemstilling

Detaljer

Funksjoner med og uten hjelpemidler

Funksjoner med og uten hjelpemidler Funksjoner med og uten hjelpemidler Plan for dagen Del 1: 09:00-11:45 Lunsj: 11:45-12:15 Del 2: 12:15-14:30 Eksamensinformasjon: 14:30-15:00 Plan for tiden før lunsj Økt 1: 09:00-09:45 Økt 2: 10:00-10:45

Detaljer

Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet

Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet Innhold FUNKSJONSTEGNER... 3 Skjermbildet i GeoGebra... 3 Verktøylinja... 4 Verktøyet Flytt eller velg objekt... 4 Oppsett av skjermbildet... 5 Flytte tegneflaten, endre enheter på aksene... 5 Mer øving

Detaljer

Funksjoner og vekst. Læreplanmål for 2P-Y

Funksjoner og vekst. Læreplanmål for 2P-Y Funksjoner og vekst 3.1 Læreplanmål 1 5.1 Polynomfunksjoner 2 5.2 Polynomregresjon 8 5.3 Potensfunksjoner og rotfunksjoner 12 5.4 Potensregresjon 16 5.5 Eksponentialfunksjoner 19 5.6 Eksponentialregresjon

Detaljer

Løsningsforslag for 2P våren 2015

Løsningsforslag for 2P våren 2015 Del 1 Oppgave 1 Sortert i stigende rekkefølge blir det: 4 5 6? 10 12 Medianen, som er 7, skal ligge midt mellom de to midterste tallene 6 og det ukjente tallet, som derfor må være 8. Oppgave 2 Opprinnelig

Detaljer

GeoGebra-opplæring i Matematikk 1T

GeoGebra-opplæring i Matematikk 1T GeoGebra-opplæring i Matematikk 1T Emne Underkapittel Rettvinklede trekanter 2.4 Ikke-rettvinklede trekanter I 2.6 Ikke-rettvinklede trekanter II 2.7 Graftegning 3.2 Graftegning med definisjonsmengde 3.2

Detaljer

Sti 1 Sti 2 Sti 3 300, 301, 302, 303, 304, 307 309, 310, 311, 312 316, 317, 319, 321, 322, 324, 326 328, 330, 331, 333, 337

Sti 1 Sti 2 Sti 3 300, 301, 302, 303, 304, 307 309, 310, 311, 312 316, 317, 319, 321, 322, 324, 326 328, 330, 331, 333, 337 3 Funksjoner Kompetansemål: Mål for opplæringen er at eleven skal kunne gjøre rede for funksjonsegrepet og tegne grafer ved å analysere funksjonsegrepet eregne nullpunkter og skjæringspunkter og gi noen

Detaljer

Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet

Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet Innhold FUNKSJONSTEGNER... 3 Skjermbildet i GeoGebra... 3 Verktøylinja... 4 Verktøyet Flytt eller velg objekt... 4 Oppsett av skjermbildet... 5 Flytte tegneflaten, endre enheter på aksene... 5 Flytt inntastingsfeltet

Detaljer

Rette linjer og lineære funksjoner

Rette linjer og lineære funksjoner Rette linjer og lineære funksjoner 3.1 Læreplanmål 1 4.1 Rette linjer 2 4.2 Digital graftegning 6 4.3 Konstantledd og stigningstall 13 4.4 Grafisk avlesning 19 4.5 Digital løsning av likninger 26 4.6 Funksjonsbegrepet

Detaljer

Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet

Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet Innhold Funksjonstegner... 3 Skjermbildet i GeoGebra... 3 Verktøylinja... 3 Verktøyet Flytt eller velg objekt... 4 Oppsett av skjermbildet... 4 Flytte tegneflaten, endre enheter på aksene... 5 Mer øving

Detaljer

Funksjoner og vekst. Læreplanmål for 2P-Y

Funksjoner og vekst. Læreplanmål for 2P-Y Funksjoner og vekst 3.1 Læreplanmål 1 5.1 Polynomfunksjoner 2 5.2 Polynomregresjon 8 5.3 Potensfunksjoner og rotfunksjoner 12 5.4 Potensregresjon 16 5.5 Eksponentialfunksjoner 19 5.6 Eksponentialregresjon

Detaljer

Kapittel 1. Funksjoner

Kapittel 1. Funksjoner Kapittel 1. Funksjoner Funksjon er et av de viktigste begrepene i matematikken. Funksjoner handler om sammenhengen mellom to størrelser. I dette kapitlet skal vi se nærmere på to typer funksjoner, lineære

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen S2, høsten 2015 Laget av Tommy O. Sist oppdatert: 25. mai 2017

Løsningsforslag Eksamen S2, høsten 2015 Laget av Tommy O. Sist oppdatert: 25. mai 2017 Løsningsforslag Eksamen S2, høsten 215 Laget av Tommy O. Sist oppdatert: 25. mai 217 Del 1 - uten hjelpemidler Oppgave 1 a) Vi skal derivere funksjonen f(x) = x 3 + 2x. Formelen vi må bruke er (x n ) =

Detaljer

Stigningstall og konstantledd, løsningsforslag

Stigningstall og konstantledd, løsningsforslag Stigningstall og konstantledd, løsningsforslag Oppgave: Løsningsforslag Listen [1] Oppgave Oppgave 1 a) Skriv ned stigningstallet og konstantleddet i de tre funksjonene under. 1. f(x) = x + Stigningstall

Detaljer

Fasit. 1 Algebra. 1.11 a 2 b 10 c 7 1.12 a 7 b 1 c 3 b 2 4 8 = 8. c ( 3) 2 9. 1.14 a 4 og 7 b ( 7+ 5) 3 15 2 ( 7)

Fasit. 1 Algebra. 1.11 a 2 b 10 c 7 1.12 a 7 b 1 c 3 b 2 4 8 = 8. c ( 3) 2 9. 1.14 a 4 og 7 b ( 7+ 5) 3 15 2 ( 7) 9 Algera. a 8 8. a 7 7. a 6. a d. a 9 d.6 a 8 ( ).7 a 9 9 7 d 7.8 a d.9 a 6 7 d. 6 ( ),. a 7. a 7. a ( + 6) = 8 = 8 ( ) 9. a og 7 ( 7+ ) ( 7) 7.6 a 6 d 7 e.7 96 C.8 9 66 ( ).9 a d. a 9 8. a 6 = 7 ( ):

Detaljer

Løsningsforslag matematikk S1 V14

Løsningsforslag matematikk S1 V14 Løsningsforslag matematikk S1 V14 Oppgave 1 Bruker ABC-formelen: ABC-formelen gir x = 2 x = 3 x 2 + 3x 3 = 3 2x x 2 + 5x 6 = 0 x = b ± b 2 4ac 2a lg(x + 2) = 2 lg x lg(x + 2) = lg x 2 10 lg(x+2) lg x2

Detaljer

DEL 1 Uten hjelpemidler

DEL 1 Uten hjelpemidler DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 ( poeng) Dag Temperatur Mandag 4 ºC Tirsdag 10 ºC Onsdag 1 ºC Torsdag 5 ºC Fredag 6 ºC Lørdag Tabellen ovenfor viser hvordan temperaturen har variert i løpet av noen dager.

Detaljer

GeoGebra-opplæring i 2P-Y

GeoGebra-opplæring i 2P-Y GeoGebra-opplæring i 2P-Y Emne Underkapittel Terningkast 2.1 Valgtre I 2.3 Valgtre II 2.7 Graftegning 3.2 Nullpunkter 3.3 Å finne y- og x-verdier 3.4 Andregradsfunksjoner 3.5 Grafisk løsning 3.5 Tredjegradsfunksjoner

Detaljer

GeoGebra 4.2 for Sinus 2P. av Sigbjørn Hals

GeoGebra 4.2 for Sinus 2P. av Sigbjørn Hals GeoGebra 4.2 for Sinus 2P av Sigbjørn Hals Innhold Litt om GeoGebra... 3 Linjediagram. Side 46 i læreboka... 3 Søylediagram. Side 57 i Læreboka... 5 Histogram. Side 81 i læreboka... 6 Lineær regresjon.

Detaljer

GeoGebra-opplæring i Matematikk 1P

GeoGebra-opplæring i Matematikk 1P GeoGebra-opplæring i Matematikk 1P Emne Underkapittel Perspektivtegning I 3.8 Perspektivtegning II 3.8 Regulære mangekanter 3.9 Flislegging I 3.9 Flislegging II 3.9 Flislegging III 3.9 Terningkast 4.1

Detaljer

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.

Detaljer

S1 Eksamen høst 2009 Løsning

S1 Eksamen høst 2009 Løsning S1 Eksamen, høsten 009 Løsning S1 Eksamen høst 009 Løsning Del 1 Oppgave 1 a) Skriv så enkelt som mulig: 1) 5a a a a 1 5a a 4 a 1 6a a 5 ) 1 3 13 3 3 48 3 6 7 8 6 3) 4 a b a 3 a b 13 43 1 a b a b 4 4)

Detaljer

GeoGebra 4.2 for Sinus Påbyggingsboka T. av Sigbjørn Hals

GeoGebra 4.2 for Sinus Påbyggingsboka T. av Sigbjørn Hals GeoGebra 4.2 for Sinus Påbyggingsboka T av Sigbjørn Hals Innhold Litt om GeoGebra... 3 Nullpunkt. Side 11 i læreboka... 3 Andregradslikninger. Side 18 i læreboka... 3 Momentan vekstfart. Side 47 i læreboka...

Detaljer

GeoGebra-opplæring i Matematikk S1

GeoGebra-opplæring i Matematikk S1 GeoGebra-opplæring i Matematikk S1 Emne Underkapittel Utregning av algebraiske uttrykk 1.4 Forenkle uttrykk 1.5 Faktorisering 1.5 Kvadratsetningene 1.6 Grafisk løsning av eksponentiallikninger 1.8 Grafisk

Detaljer

Basisoppgaver til Tall i arbeid Påbygging

Basisoppgaver til Tall i arbeid Påbygging Basisoppgaver til Tall i areid Påygging Tall og algera Sannsynlighet Funksjoner 4 Modellering 5 Statistikk Basisoppgaver til Tall i areid Påygging kap. Tall og algera. Potenser. Nye potenser. Store og

Detaljer

S1 kapittel 6 Derivasjon Løsninger til oppgavene i boka

S1 kapittel 6 Derivasjon Løsninger til oppgavene i boka S kpittel 6 Derivsjon Løsninger til oppgvene i ok 6. c y x y x = = = = y x 4 5 9 4 y 5 6 x 4 = = = = y x y x = = = = 7 ( 5) 6 ( ) 8 6. f( x ) f( x ) 5 7 x x ( ) 4 = = = = 6. T( x) = 0,x +,0 T T = + = (0)

Detaljer

S2 kapittel 3 Derivasjon Løsninger til kapitteltesten i læreboka

S2 kapittel 3 Derivasjon Løsninger til kapitteltesten i læreboka S kapittel 3 Derivasjon Løsninger til kapitteltesten i læreoka 3.A a h () t = 0,5 t = 0,5t Vannhøyden øker stadig raskere. c h (3) =,5 h (5) =,5 Etter 3 minutter øker vannhøyden med,5 cm per minutt. Etter

Detaljer

Sti 1 Sti 2 Sti 3 600, 601, 602, 603, 604, 605, 607, 609, 610 613, 614, 615, 616, 617, 618, 619 623, 624, 625, 626, 627 630, 631, 632 634, 635

Sti 1 Sti 2 Sti 3 600, 601, 602, 603, 604, 605, 607, 609, 610 613, 614, 615, 616, 617, 618, 619 623, 624, 625, 626, 627 630, 631, 632 634, 635 6 Derivasjon Kompetansemål: Mål for opplæringen er at eleven skal kunne beregne gjennomsnittlig veksthastighet, finne tilnærmede verdier for momentan veksthastighet og gi noen praktiske tolkninger ved

Detaljer

Eksamen vår 2009 Løsning Del 1

Eksamen vår 2009 Løsning Del 1 S Eksamen, våren 009 Løsning Eksamen vår 009 Løsning Del Oppgave a) Deriver funksjonene: ) f f f 3 3 f f 4 ) g e 3 g e g e e g e b) ) Gitt rekka 468 Finn ledd nummer 0 og summen av de 0 første leddene.

Detaljer

Løsningsforslag til Eksamen 2P vår 2010 14 1 0,86 100

Løsningsforslag til Eksamen 2P vår 2010 14 1 0,86 100 Delprøve 1 OPPGAVE 1 a) 41,5 liter avrundet til 40 liter. 509,6 kroner avrundet til 500 kroner. 500 50 5 1,5 40 4 Ved å gjøre overslag ser vi at Liv må ha bensinbil. b) 4 3 3 3 1 16 5 4 3 5 16 1 5 5 3

Detaljer

Eksempelsett 2P, Høsten 2010

Eksempelsett 2P, Høsten 2010 Eksempelsett 2P, Høsten 2010 Del 1 Tid: 2 timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (4 poeng) Grete og Per fyller etanol i et beger.

Detaljer

2P kapittel 3 Statistikk Løsninger til innlæringsoppgavene

2P kapittel 3 Statistikk Løsninger til innlæringsoppgavene 2P kapittel 3 Statistikk Løsninger til innlæringsoppgavene 3.1 a 25 5 8 12 Det var 12 elever som rukte 40 59 minutter til skolen. For eksempel finner vi at den relative frekvensen for elever med reisetid

Detaljer

Funksjoner med GeoGebra

Funksjoner med GeoGebra Funksjoner med GeoGebra Wallace Anne Karin 2015 G e o G e b r a 5. 0 Innhold Oppsett for arbeid med funksjoner... 2 Flytte tegneflaten, endre enheter på aksene... 4 Flytt inntastingsfeltet øverst... 4

Detaljer

GeoGebra i 1T. Grafer. Å tegne grafen til en funksjon. GeoGebra tegner grafen til f(x) = 0,5x 2 for 0 x 10.

GeoGebra i 1T. Grafer. Å tegne grafen til en funksjon. GeoGebra tegner grafen til f(x) = 0,5x 2 for 0 x 10. 2 Grafer Å tegne grafen til en funksjon Akser Rutenett Avrunding GeoGebra tegner grafen til f(x) = 0,5x 2 for 0 x 10. Funksjonen får automatisk navnet f. Hvis grafen ikke vises, kan du høyreklikke i grafikkfeltet

Detaljer

Oppsummering om hva som kreves ved bruk av digitale verktøy

Oppsummering om hva som kreves ved bruk av digitale verktøy 1 Oppsummering om hva som kreves ved bruk av digitale verktøy Graftegner Det skal gå klart fram av den grafiske framstillingen hvilken skala og hvilken enhet som er brukt, på hver av aksene. Det er en

Detaljer

Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y Va ren 2014

Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y Va ren 2014 Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y Va ren 2014 Oppgave 1 (2 poeng) Nedenfor ser du hvor mange snegler Astrid har plukket i hagen hver kveld de ti siste kveldene. 10 5 22 28 2 8 50 15 40 10 Bestem gjennomsnittet

Detaljer

som er meir enn 1. Miriam tek altså feil. Til saman stabla Anders, Lana og Miriam alle blomsterpottene.

som er meir enn 1. Miriam tek altså feil. Til saman stabla Anders, Lana og Miriam alle blomsterpottene. 66 Utvalde løysingar Utvalde løysingar a Dersom Anders stala halvparten av lomsterpottene, Lana og Miriam, ville det totalt li 5 5 0 + + + 0 som er meir enn. Miriam tek altså feil. Til saman stala Anders,

Detaljer

Prosent og eksponentiell vekst

Prosent og eksponentiell vekst 30 2 Prosent og eksponentiell vekst MÅL for opplæringen er at eleven skal kunne gjøre suksessive renteberegninger og regne praktiske oppgaver med eksponentiell vekst 2.1 Prosentfaktorer Når vi skal regne

Detaljer

GeoGebra 4.2 for Sinus 1P. av Sigbjørn Hals

GeoGebra 4.2 for Sinus 1P. av Sigbjørn Hals GeoGebra 4.2 for Sinus 1P av Sigbjørn Hals Innhold Litt om GeoGebra... 3 GeoGebra som kalkulator. Eksempel side 55... 3 Omforming av formler. Side 82 i læreboka... 4 Rette linjer. Side 89 i læreboka...

Detaljer

Eksamen REA3026 S1, Høsten 2010

Eksamen REA3026 S1, Høsten 2010 Eksamen REA6 S, Høsten Del Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave (8 poeng) a) Løs likningene ) x 7 x 6 6 x6 x 6 7 6 6 6 x 7 x

Detaljer

S2 kapittel 4 Modellering Løsninger til kapitteltesten i læreboka

S2 kapittel 4 Modellering Løsninger til kapitteltesten i læreboka S kapittel 4 Modellering Løsninger til kapitteltesten i læreboka 4.A a Enhetskostnaden er gitt ved totalkostnaden dividert med antall produserte enheter, altså K( x) Gx ( ) =. Det gir Gx ( ) = 0,x+ 5 +

Detaljer

R2 kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka

R2 kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka R kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka E Bruker formelen cos 36 cos( 8 ) E sin 8 v og sin8 5 cos v sin sin8 5 5 6 5 5 8 5 5 8 6 5 8 6 5 8 8 3 5 5 5 a f ( ) sin 5 cos f ( ) 5cos

Detaljer

Løsningsforslag heldagsprøve våren 2010 1T

Løsningsforslag heldagsprøve våren 2010 1T Løsningsforslag heldagsprøve våren 00 T DEL OPPGAVE a) Regn ut x x x x x x x x x x 9x x x x x 6x x x x 6x x 6x b) Løs likninga x x 6 x x 6 x x 6 x x 6 x x x x c) Løs likningssettet ved regning x y x y

Detaljer

Funksjoner og grafiske løsninger

Funksjoner og grafiske løsninger 8 1 Funksjoner og grafiske løsninger Mål for opplæringen er at eleven skal kunne tolke, bearbeide og vurdere det matematiske innholdet i ulike tekster bruke matematiske metoder og hjelpemidler til å løse

Detaljer

INNHOLD SAMMENDRAG ALGEBRA OG FUNKSJONER

INNHOLD SAMMENDRAG ALGEBRA OG FUNKSJONER INNHOLD ALGEBRA OG FUNKSJONER... PARENTESER... USYNLIGE PARENTESER... USYNLIGE MULTIPLIKASJONSTEGN... DE TI GRUNNLEGGENDE ALGEBRAISKE LOVENE... REGNEUTTRYKK INNSATT FOR VARIABLER... 3 SETTE OPP FORMLER...

Detaljer

10 Funksjoner. Lineære funksjoner

10 Funksjoner. Lineære funksjoner 10 Funksjoner Lineære funksjoner 1 En bedrift skal produsere postkasser og kalkulerer med faste kostnader på 15 000 kroner og variable kostnader på 50 kroner per kasse. a) Hva koster det totalt å produsere

Detaljer

5.9 Momentan vekstfart

5.9 Momentan vekstfart 5.9 Momentan vekstfart I kapittel 5.8 fant vi den gjennomsnittlige vekstfarten til en funksjon i et intervall. Nå skal vi finne den momentane vekstfarten. Det er vekstfarten i et punkt. Den er vanskeligere

Detaljer

Løsningsforslag til Eksamen 2P vår 2008

Løsningsforslag til Eksamen 2P vår 2008 Løsningsforslag til Eksamen P vår 008 Delprøve 1 OPPGAVE 1 a) Avlesning av grafen viser at 50 stoler koster 40.000 kroner. Gjennomsnittskostnaden per stol blir da: 40000 = 800 kroner. 50 b) c) = = 4,46

Detaljer

Oppgave 6. Tabellen nedenfor viser folketallet i en by fra 1960 til 2010. 1960 1970 1980 1990 2000 2010 35 000 41 000 43 000 47 000 48 000 56 000

Oppgave 6. Tabellen nedenfor viser folketallet i en by fra 1960 til 2010. 1960 1970 1980 1990 2000 2010 35 000 41 000 43 000 47 000 48 000 56 000 GS3 Forberedelse til tentamen. Ark 38 Løsninger deles ut fredag 19. april. Oppgave 1. Løs ligningene og ulikhetene. a) + = 3 b) 3x > -9 6 (x + 3) c) 3 (x - ) = 2 - d) 3x < - (1 - ) Oppgave 2. Løs ligningssettet.

Detaljer