TORE OLDERVOLL SIGBJØRN HALS. GeoGebra 6 for Sinus R2

Transkript

1 TORE OLDERVOLL SIGBJØRN HALS GeoGebra 6 for Sinus R2

2 Sinus R2 ble skrevet med utgangspunkt i GeoGebra 5. I boka er det også lagt opp til at elevene har en enkel lommeregner i tillegg til datamaskin. I dag er det mange lærere og elever som bruker GeoGebra 6. I dette heftet har vi forklart hvordan vi bruker GeoGebra 6, der det i boka er beskrevet fremgangs-måter med GeoGebra 5. CAS er et obligatorisk verktøy i R2. Det er derfor viktig at elevene blir fortrolige med dette verktøyet ved hyppig og systematisk bruk gjennom hele skoleåret. Disse forklaringene er både samlet her i et eget hefte, og lagt ut under de aktuelle delkapitlene på de gratis nettsidene til Sinus Tore Oldervoll og Sigbjørn Hals 2

3 Innhold 1 Integralregning Ubestemt integral Bestemt integral som grense for sum Mer om integrasjon og areal Trigonometriske likninger Sinus og cosinus Sinuslikninger Cosinuslikninger Tangens og tangenslikninger Eksakte løsninger Flere typer trigonometriske likninger Enhetsformelen Trigonometriske funksjoner Cosinusfunksjonen Funksjonen f(x) = a sin(kx) + b cos(kx) Likningen a sin(kx) + bcos(kx) = c... 17

4 1 Integralregning 1.2 Ubestemt integral Finn de ubestemte integralene i CAS. a) 2 6x dx b) 3 (2 1 ) dx x 3 2 ( x 3x 5 x) dx c) x 2 4

5 1.5 Bestemt integral som grense for sum La funksjonen f være gitt ved f x x x 2 ( ) 4 3 a) Tegn grafen til f i GeoGebra. b) Finn arealet av det flatestykket F som er avgrenset av x-aksen og grafen uten bruk av CAS. c) Finn det eksakte arealet av F ved hjelp av CAS. a) I GeoGebra skriver vi inn funksjonsuttrykket og får denne grafen: b) Flatestykket ligger under x-aksen mellom x 1 og x 3. Nå skriver vi Integral(f, 1, 3). Det gir svaret 1,33 som vist på grafen ovenfor. Ettersom flatestykket er under x-aksen, er arealet 3 2 A ( x 4x 3) dx 1,33 1 c) Ettersom vi har skrevet inn funksjonsuttrykket, kan vi skrive A:= Integral(f, 1, 3) i CAS og få fram arealet slik:

6 1.7 Mer om integrasjon og areal, SIDE 37 En funksjon f er gitt ved 3 2 f ( x) x 6x 8x a) Finn 4 f ( x) dx. 0 b) Finn arealet av det området som er avgrenset av x-aksen og grafen til f. a) b) Vi tegner grafen for å se om området ligger under eller over x-aksen. Se graf til høyre. Vi ser at området ligger delvis over og delvis under x-aksen, og vi må da regne ut arealet av hver del for seg. Vi trenger nullpunktene til funksjonen. Arealet av det flatestykket som ligger over x-aksen, er Arealet av det flatestykket som ligger under x-aksen, er Samlet areal blir 6

7 , SIDE 41 Funksjonene f og g er gitt ved f x x x 2 ( ) 4 1 g x x x 2 ( ) 6 7 Finn arealet av det flatestykket som er avgrenset av grafene til f og g. Først tegner vi grafene til f og g. Grafen til f ligger over grafen til g i det aktuelle området. Vi må finne skjæringspunktene mellom grafene.

8 2 Trigonometriske likninger 2.2 Sinus og cosinus Bruk CAS til å finne a) sin127 og cos127 b) sin( 120 ) og cos( 120 ) Løsning a) Husk at vinkelen må stå i en parentes, og at vi må sette gradtegn (Alt o) bak vinkelen! Trykk på for å få tilnærmingsverdier. b) Her skriver vi inn uttrykkene og trykker på, for her fins det eksakte verdier. Det kommer vi tilbake til i kapittel 2.7 i læreboka. 8

9 Bruk CAS til å finne a) 2 2 sin og cos 3 3 b) sin 4,3 og cos 4,3 a) Når det ikke står gradtegn bak vinkelen, regner GeoGebra i radianer. Vi får disse tilnærmingsverdiene: Her kan vi også finne eksakte verdier ved å trykke på. b)

10 2.3 Sinuslikninger Vi har gitt likningen sin v 0,5 der v er målt i grader. a) Finn den generelle løsningen. b) Finn løsningene i første omløp. a) Når vi vil ha svaret i grader, må vi sette et gradtegn (Alt o) bak variabelen. Når vi så trykker på, får vi dette svaret: b) Når vi skal ha løsningene i første omløp, kan vi gjøre det slik: Vi måtte trykke på for å få fram svaret. Legg merke til at vi måtte sette parentesene { og } rundt likningen med betingelser. Her kan vi også få fram svarene på en annen måte. Vi skriver inn likningen og trykker på. Da får vi det ene svaret: Hvis vi nå klikker på likningen og deretter trykker på, får vi fram begge løsningene. Med denne metoden får vi ikke alltid løsninger i det området vi ønsker. Den første metoden er derfor den beste. 10

11 Løs likningen 5sin v 4 0, v 0, 360 Vi prøver først å finne eksakte løsninger. Da skriver vi inn likningen og trykker på resultatet:. Det gir dette Dette var ikke mye hjelp i! For å få fram svarene klikker vi først i raden nedenfor likningen og deretter på svaret. Da får vi overført svaret til raden nedenfor. Når vi så trykker på, får vi dette resultatet:

12 Vi kan også løse sinuslikninger der vinkelen er i radianer. Vi har gitt likningen sin v 0, 6 der v er målt i radianer. a) Finn løsningene i første omløp. b) Finn den generelle løsningen. a) Vi skriver først inn likningen med betingelsene og trykker på. Deretter trykker vi i raden nedenfor likningen og deretter på svaret. Da får vi overført svaret til raden nedenfor. Når vi så trykker på, får vi svaret: b) Her går vi fram som ovenfor, men nå skriver sin( v) 0,6 uten betingelser. 12

13 2.4 Cosinuslikninger Vi har gitt likningen cos v 0,7 der vinkelen v er målt i grader. a) Finn de vinklene v i første omløp som er løsninger av likningen. b) Finn den generelle løsningen. a) Først skriver vi og trykker på på. Deretter trykker vi i raden nedenfor likningen og deretter på svaret. Da får vi overført svaret til raden nedenfor. Når vi så trykker på, får vi svaret: b) Her går vi fram på tilsvarende måte:

14 2.5 Tangens og tangenslikninger 7 Finn tan 30 og tan. 6 Løs likningen 3tan v 5 4, v 0, 360 Løs likningen 2tan x 4 0, x 0, 2 14

15 2.7 Eksakte løsninger Finn de eksakte løsningene av likningen 2sin x 1 0, x 0, 2 Løs likningen 2cos 2 0, [0, 16] 8 x x 2.8 Flere typer trigonometriske likninger Løs likningen 2 10sin x 13sin x 3 0, x 0, 2

16 2.9 Enhetsformelen Løs likningen 2 2 3sin x 4sin x cos x 5cos x 2, x 0, 2 3 Trigonometriske funksjoner 3.4 Cosinusfunksjonen Normaltemperaturen T(x) et sted i Norge x dager etter nyttår er gitt ved 2 x 5 T ( x) 7 10 cos, x 1, d) Finn ved hjelp av CAS når temperaturen er 10 C. d) 16

17 3.8 Funksjonen f(x) = a sin(kx) + b cos(kx) Funksjonen f er gitt ved f ( x) 2 2 sin x 2 2 cos x, x [0, 2] a) Skriv f(x) som et sinusuttrykk. a) 3.9 Likningen a sin(kx) + bcos(kx) = c Løs likningen sin x 3 cos x 1, x [0, 2 ]