Innhold Kompetansemål Funksjoner, R Trigonometriske definisjoner... 4

Transkript

1 3 Funksjoner Innhold Kompetansemål Funksjoner, R Trigonometriske definisjoner... 4 Sinus, cosinus og tangens til vinkler mellom 0 og Enhetssirkelen... 4 Vinkler med samme sinusverdi... 7 Vinkler med samme cosinusverdi... 8 Vinkler med samme tangensverdi... 8 Negative vinkler... 9 Vinkler som ikke ligger mellom 0 og Kvadranter Absolutt vinkelmål Trigonometriske sammenhenger Eksakte verdier Komplementvinkler Enhetsformelen Sum og differanse av vinkler Trigonometriske likninger... Sinuslikninger... Cosinuslikninger... 4 Likningen a sin kx + b cos kx = Trigonometriske funksjoner og funksjonsdrøfting... 8 Sinusfunksjonen... 8 Cosinusfunksjonen Tangensfunksjonen Sammenhengen mellom sinusfunksjonen og cosinusfunksjonen... 3 Kort repetisjon av den deriverte Derivasjon av trigonometriske funksjoner Drøfting av funksjoner

2 3.5 Omforme trigonometriske uttrykk av typen a sin kx + b cos kx til en ren sinusfunksjon Innledning Sinusomforming Likningen a sin kx + b cos kx = d Drøfting av funksjonen f(x) = a sin kx + b cos kx +c uten derivasjon Harmoniske svingninger. Periode, amplitude, likevektslinje og faseforskyvning Modellere periodiske fenomener Ubestemte integraler... 5 Regneregler for integrasjon Den antideriverte til de trigonometriske funksjonene Tre metoder for å finne den antideriverte Integrasjon med variabelskifte Delvis integrasjon... 6 Delbrøkoppspalting Bestemte integraler Ubestemte og bestemte integraler Integraler med digitalt verktøy Arealberegninger og andre anvendelser av bestemte integraler Areal mellom en graf og x-aksen Arealet mellom grafer Andre anvendelser av integrasjon Samlet mengde Volum Volum av omdreiningslegemer Matematiske modeller Lineære modeller og lineær regresjon Lineære modeller Lineær regresjon i GeoGebra Potensfunksjon som modell Polynomfunksjon som modell... 91

3 Trigonometrisk funksjon som modell... 9 Bildeliste Kompetansemål Funksjoner, R Når du har arbeidet deg gjennom dette kapitlet, er målet at du skal kunne forenkle og løse lineære og kvadratiske likninger i trigonometriske uttrykk ved å bruke sammenhenger mellom de trigonometriske funksjonene derivere sentrale funksjoner og bruke førstederiverte og andrederiverte til å drøfte slike funksjoner omforme trigonometriske uttrykk av typen a sin kx b cos kx og bruke dem til å modellere periodiske fenomener gjøre rede for definisjonen av bestemt integral som grense for en sum og ubestemt integral som antiderivert beregne integraler av de sentrale funksjonene ved antiderivasjon og ved hjelp av variabelskifte, ved delbrøkoppspalting med lineære nevnere og ved delvis integrasjon tolke det bestemte integralet i modeller av praktiske situasjoner og bruke det til å beregne arealer av plane områder og volumer av omdreiningslegemer formulere en matematisk modell ved hjelp av sentrale funksjoner på grunnlag av observerte data, bearbeide modellen og drøfte resultat og framgangsmåte 3

4 3.1 Trigonometriske definisjoner Sinus, cosinus og tangens til vinkler mellom 0 og 90 I 1T definerte vi sinus, cosinus og tangens til vinkler mellom 0 og 90. motstående katet a sin A hypotenus b hosliggende katet c cos A hypotenus b motstående katet a tan A hosliggende katet c Enhetssirkelen Vi starter med en vinkel v 0,90. Vi oppretter så motstående katet slik at vi får en rettvinklet trekant med hypotenus lik 1. Vi kaller katetene for a og b. Vi får da b sinv b 1 a cosv a 1 4

5 Vi legger et koordinatsystem med origo i toppunktet til vinkelen slik at vinkelens høyre bein blir liggende langs den positive x -aksen. Deretter tegner vi en sirkel med radius lik 1 og sentrum i origo. Vi kaller denne sirkelen for enhetssirkelen. Vi lar P være skjæringspunktet mellom enhetssirkelen og venstre vinkelbein til v. Punktet P har koordinatene a, b. Vi ser da at cosinus til vinkelen blir lik førstekoordinaten til P, og at sinus til v blir lik andrekoordinaten til P. Det betyr at P cosv, sn i v. 5

6 Definisjon Sinus, cosinus og tangens til en vinkel Vi plasserer vinkel i et koordinatsystem sammen med en enhetssirkel slik figuren til høyre viser. Punktet er skjæringspunktet mellom vinkelens venstre vinkelbein og enhetssirkelen. er vinkelen mellom den positive - aksen og linjestykket. Vi har da Med denne definisjonen definerer vi også cosinus, sinus og tangens til vinkler som ikke ligger mellom 0 og 90. For en vinkel mellom 90 og 180 ser vi at cosv a blir negativ, og sinv b blir positiv. Kan du se at sin90 1, og at sin180 0? Hva er cos90? Hva er cos180? 6

7 For en vinkel mellom 180 og 70 ser vi at både cosv a og sinv b blir negative. Kan du se at cos70 0, og at sin70 1? Hvordan blir fortegnene til sinus og cosinus til vinkler mellom 70 og 360? Vinkler med samme sinusverdi Den utvidede definisjonen av sinus til vinkler innebærer at to ulike vinkler kan ha samme sinusverdi. På figuren til høyre ser du at sinu sinv. Siden uv180, er u180 v, og vi får at sinvsin180 v. 7

8 Vinkler med samme cosinusverdi På samme måte kan vi vise at to vinkler kan ha samme cosinusverdi. På figuren til høyre ser du at cosu cosv. Vinkler med samme tangensverdi I oppgave 3.1. skal du forklare at tanv tanv 180. Oppsummering Følgende sammenhenger gjelder for alle vinkler: sinvsin 180 v cosvcos 360 v tanv tan v180 8

9 Negative vinkler På enhetssirkelen innfører vi en positiv rotasjonsretning, mot urviseren. Negativ rotasjonsretning er med urviseren. Vi kan si at den positive vinkelen u oppstår ved at vi roterer punktet P fra punktet 1,0 i positiv retning på enhetssirkelen til punktet P 1. u er vinkelen mellom den positive x -aksen og linjestykket OP 1. Den negative vinkelen u oppstår ved at vi roterer punktet P fra punktet 1,0 i negativ retning på enhetssirkelen til punktet P. 9

10 Vinkler som ikke ligger mellom 0 og 360 En rotasjon på 360 kalles et omløp. En vinkel v0,360 er en vinkel i første omløp. Vi kan også la et punkt rotere mer enn 360 på enhetssirkelen. Vi får da vinkler som er større enn 360. Figuren viser vinkelen v 495 tegnet i et koordinatsystem. Vinkelbeina til en vinkel på 495 er de samme som vinkelbeina til en vinkel på Vi sier at vinkelen på 135 ligger i første omløp, og vinkelen på 495 ligger i andre omløp. Generelt vil vinkelbeina til to vinkler u og v falle sammen dersom u v k360 der k er et helt tall. Disse vinklene får da samme verdier for sinus og cosinus. Det betyr at funksjonene sinx og cos x er periodiske funksjoner med periode 360 o. 10

11 Kvadranter I det videre arbeidet med vinkler i koordinatsystemet vil det være nyttig å dele koordinatsystemet i fire kvadranter. Se figuren til høyre. Nummereringen følger den positive rotasjonsretningen i enhetssirkelen. Vi plasserer en vinkel med toppunkt i origo og et vinkelbein langs den positive x -aksen. Hvis det andre vinkelbeinet ligger i. kvadrant, sier vi at vinkelen ligger i. kvadrant. (For eksempel vil vinkler mellom 90 og 180 ligge i. kvadrant.) 11

12 Absolutt vinkelmål Fram til nå har vi målt vinkelstørrelser i grader. I mange situasjoner er det mer hensiktsmessig å måle vinkler ved såkalt absolutt vinkelmål. Vi sier at vi måler vinklene i radianer. Vi slår en sirkel med sentrum i toppunktet til vinkel v. Vinkel v i absolutt vinkelmål defineres da slik: b v r Absolutt vinkelmål er altså forholdet mellom buelengden b og radien r. Hvis radius er 1 enhet slik den er i enhetssirkelen, blir det absolutte vinkelmålet b b v b r 1 En vinkel på 360 har en buelengde på r. I radianer svarer dette til r v. r En vinkel på 180 har buelengde på r r. I radianer svarer dette til v. r En vinkel på 90 har buelengde på r r. I radianer svarer dette til v. 4 4r Absolutt vinkelmål er egentlig et ubenevnt tall, men det er vanlig å si at vinklene måles i radianer. 1

13 Hva er sammenhengen mellom grader og radianer? En vinkel på 180 er lik når vinkelen måles i radianer. Da er 1 lik 180 når vinkelen måles i radianer. Det betyr at omregning fra grader til radianer skjer ved å multiplisere med, og omvendt fra 180 radianer til grader ved multiplikasjon med 180. Det er svært viktig at du kjenner sammenhengen mellom vinkler målt i grader og vinkler målt i radianer. Du må uten å nøle kunne radiantallet til vinklene som er markert på figuren ovenfor. I GeoGebra kan du regne både med grader og radianer. Finn ut hvordan du endrer innstillingene! 13

14 3. Trigonometriske sammenhenger Eksakte verdier Vi skal nå se hvordan vi ved hjelp av to kjente rettvinklede trekanter kan finne eksakte verdier for sinus, cosinus og tangens til vinkler på 30, 45 og 60eller i radianer, og Vi starter med en rettvinklet trekant der hypotenusen er dobbelt så lang som den korteste kateten. Vi setter den korteste kateten lik x. Hypotenusen blir da x. Hvor store er hver av de spisse vinklene i denne trekanten? Forklar hvordan du kommer fram til svarene. x 1 sina x Hvilken vinkel i 1. kvadrant har sinusverdi lik 1? x 1 cosc x Hvilken vinkel i 1. kvadrant har cosinusverdi lik 1? De spisse vinklene er 30 og 60. Hvor lang er den lengste kateten? 14

15 Den lengste kateten, AB, finner vi ved å bruke Pytagoras' læresetning AB x x AB 4x x AB 3x Definisjonen av sinus, cosinus og tangens gir oss da følgende eksakte verdier: x x 1 sin30 sin 6 x x 3x 3 x 3 cos30 cos 6 x x x x 1 3 tan30 tan 6 3 x 3 x 3 3 3x 3 x 3 sin60 sin 3 x x x x 1 cos60 cos 3 x x 3x 3 x tan60 tan 3 3 x x Vi kunne også ha brukt at sinv tanv når cosv 0. cosv 15

16 Så tar vi utgangspunkt i en rettvinklet, likebeint trekant der de spisse vinklene er 45. Vi setter katetene lik x og finner hypotenusen, AC AC x x AC x AC x Definisjonen av sinus, cosinus og tangens gir oss følgende eksakte verdier: x x 1 sin45 sin 4 x x x x 1 cos45 cos 4 x x x tan45 tan 1 4 x Ved hjelp av symmetri kan du nå finne de eksakte verdiene til mange av vinklene på enhetssirkelen. Husk at du finner verdiene til cosinus på x -aksen og verdiene til sinus på y -aksen. Her ser vi at sin30 sin150 0,5. 16

17 Komplementvinkler To vinkler som til sammen er 90, kaller vi komplementvinkler. Gitt en rettvinklet trekant. Vi setter den ene av de spisse vinklene lik v. Den andre spisse vinkelen blir da 90 v. Vi har a sinv b a cos90 v b Vi har altså at sinv cos90 v. Tilsvarende kan vi finne cosv c b c b og sin90 v Vi har da at cosv sin90 v. Sinus til en vinkel er lik cosinus til komplementvinkelen, dvs. sinv cos90 v Cosinus til en vinkel er lik sinus til komplementvinkelen, dvs. cosv sin90 v.. Her har vi bare vist at setningen gjelder for vinkler mellom 0 og 90, men det er mulig å vise at setningen gjelder for alle vinkler v. 17

18 Enhetsformelen Til høyre ser du figuren vi brukte da vi definerte sinus og cosinus til en vilkårlig vinkel v. Gitt en rettvinklet trekant med hypotenus lik 1. a sinv a 1 c cosv c 1 Pytagoras' læresetning gir oss at a c 1 Dette betyr at v v sin cos 1 sin vcos v1 Formelen sier altså at kvadratene til sinus og cosinus til den samme vinkelen v til sammen alltid er 1. 18

19 Bruk figurene nedenfor til å forklare at denne sammenhengen gjelder for alle vinkler v. Enhetsformelen v v sin cos 1 sin vcos v1 Legg merke til den litt spesielle notasjonen for kvadratene til sinus og cosinus. 19

20 Sum og differanse av vinkler Vi har følgende sammenhenger for sinus og cosinus til summer og differanser av vinkler: sin u v sinucosv cosusinv sin u v sinucosv cosusinv Legg merke til «fortegnsbytte» i formelen for cosinus til en sum og en differanse. cos u v cosucosv sinusinv cos u v cosucosv sinusinv sin u sinucosu cos u cos u sin u Bevis for cos u-v cosu cosv sinusinv Figuren viser en enhetssirkel med vinklene u, v og u v. Punktet P har koordinatercos u,sinu, og punktet Q har koordinater cos v,sinv. Vi har at OP cos u,sinu OQ cos v,sinv Skalarproduktet på koordinatform gir OP OQ cos u,sinu cos v,sinv cosucosv sinusinv Definisjonen av skalarproduktet gir følgende når u v er lik eller mindre enn 180 : Vi har da vist at OP OQ OP OQ cos u v OP OQ 11cos u v OP OQ cos u v cos u v cosu cosv sinu sinv. 0

21 Når u v er større enn 180, er det vinkel z på figuren som er den minste vinkelen mellom vektorene. Da er OP OQ cos z Men z uv 360. Det betyr at z 360 u v Da er. z uv uv u v cos cos 360 cos cos Det vil si at også nå er OP OQ cosu v, og setningen gjelder generelt. Bevis for cos u v cosu cosv sinu sinv Vi har tidligere sett at Se figur. cos sin v v cosv sinv Vi bruker formelen for cosu v beviste ovenfor. cos u v cosu cosv sinu sinv Vi setter u v u v, og får: cosu v cosu v cosucosv sinusinv cosucosv sinusinv cosucosv sinusinv som vi 1

22 3.3 Trigonometriske likninger Sinuslikninger Vi skal finne løsninger til likningen sin x 1 0. Vi ordner først likningen slik at vi får sinx alene på venstre side. sin x 1 0 sin x 1 1 sin x Det finnes to vinkler i første omløp som har sinusverdi 0,5. Det er 30, eller 6 målt i radianer, og 150, som svarer til 5 i radianer. 6 Videre har for eksempel vinklene 30 o og 390 o sammenfallende vinkelbein. Det betyr at disse vinklene har like sinusverdier. Vi sier at sinus har en periode på 360 o eller. 1 Likningen sinx har derfor uendelig mange løsninger gitt ved x 30 k360 x k360 k med grader som vinkelmål, og x k x k k 6 6 med radianer som vinkelmål. Hvis definisjonsmengden er begrenset til intervallet 0,, er det bare k 0 som gir løsninger og løsningsmengden blir 5 L, 6 6

23 I CAS bruker vi listeparenteser og legger inn likningen sammen med intervallet vi søker løsninger i. Forklar hvorfor løsningsmengden til likningen blir sinx1 0 x 0, L,,, Det er svært viktig at du legger merke til hvilket intervall du skal finne løsninger i. Det varierer fra oppgave til oppgave. Løsningen på likningen sin x 1 0 når x blir 5 L k, k k 6 6 I CAS i GeoGebra får vi de samme løsningene. Med grader som vinkelmål får vi Husk at ikke alle trigonometriske likninger har løsninger. Sinus til en vinkel er alltid et tall lik eller større enn 1 og lik eller mindre enn 1. For eksempel har likningen sin bare har én løsning i første omløp. x ingen løsning. Merk også at likningene sin x 1 og sin x 1 3

24 Cosinuslikninger Vi skal finne løsninger til likningen 4cosx 0. Vi ordner først likningen slik at vi får cosx alene på venstre side. 4cosx 0 4cosx 1 cosx Det finnes to vinkler i første omløp som har lik cosinusverdi. Vinklene i første omløp som har cosinusverdi lik 0,5, er 10, eller målt i radianer, og , som svarer til 4 i radianer. 3 I tillegg har også cosinus, på samme måte som sinus, en periode på 360 o eller. 1 Likningen cosx har derfor uendelig mange løsninger. Husk at det er vinkelen x, og ikke vinkelen x, som har cosinusverdi lik 0,5. x 10 k 360 x 40 k 360 k x 60 k 180 x 10 k 180 L 60 k 180, 10 k 180 4

25 Legg merke til nest siste linje i likningen. Begge leddene i likningene må divideres på, og her syndes det ofte! Hvis definisjonsmengden er begrenset til intervallet 0,360, er det k 0 og k 1 som gir løsninger, og løsningsmengden blir L 60,10,40,300 I CAS finner vi de generelle løsningene og løsningene i intervallet 0,360 både i grader og radianer. Legg merke til at

26 Likningen a sin kx + b cos kx = 0 Ved å utnytte at sinv tanv når cosv 0, kan vi løse likninger av typen acosv bsinv 0. cosv Vi skal finne løsningene til likningen cosxsinx 0 når x 0,4. Hvis cosx 0, så er sinx 1 eller sinx 1, og cosx 0 er derfor ikke en løsning av likningen. Vi kan derfor anta cosx 0 og dividere med cosx på begge sider i likningen. cosxsinx0 cosx sinx 0 cosx 0 cosx cosx cos x 1tanx 0 tanx 1 Vi har tidligere sett at sinu tanu cosu Av figuren til høyre ser vi at u og cosu cosu 180 sinu sin 180 Det gir sinu sin u180 sin u180 tanu tanu 180 cosu cos u 180 cos u 180 Dette betyr at tangens har en periode på 180 o. Vi ser videre av figuren at vinkler i 1. og 3. kvadrant har positive tangensverdier, og vinkler i. og 4. kvadrant har negative tangensverdier. I. og 4. kvadrant har sinus og cosinus til en vinkel forskjellige fortegn. Figuren viser at vinkelen mellom 0 o og 180 o som har tangensverdi lik 1, er 135 o eller 3. Vi får 4 3 x n 4 3 x n L,,,,,,, Legg merke til at løsningsmetoden forutsetter at høyre side i den gitte likningen er lik null. Vi skal senere se hvordan vi løser likninger hvor dette ikke er tilfelle. 6

27 To tips for å løse sammensatte trigonometriske likninger sinv Ved å utnytte at tanv når cosv 0, kan vi løse likninger av typen acosv bsinv 0. cosv Husk at dersom du dividerer med cosv, må du forutsette at cosv 0. Du må derfor undersøke om likningen også har løsning når cosv 0. Hvis høyresiden ikke er lik null, kan du prøve å bruke enhetsformelen v v omforme likningen. sin cos 1 for å Eksempel Vi skal finne løsningene til likningen cos x3sin x når x 0,. cos x 3sin x 1 sin x 3sin x 4sin x 3 3 sin x 4 3 sin x sin x sin x 4 5 L,,,

28 3.4 Trigonometriske funksjoner og funksjonsdrøfting Sinusfunksjonen Vi vil undersøke grafen til funksjonen f gitt ved f sin når 0,. I GeoGebra kan du tegne en sirkel med radius 1 og sentrum i,0. Velg et punkt B på sirkelen og avsett vinkel som vist på figuren. Per definisjon er nå sin lik andrekoordinaten til punktet B. Avsett punktet, yb,sin P. Sett på «animasjon» for punktet B og «sporing» for punktet P. Når punktet B gjennomløper én runde på enhetssirkelen, vil punktet P tegne grafen til f sin i intervallet fra 0 til. Etter én runde på enhetssirkelen vil funksjonsverdiene gjenta seg, og vi vil tegne den samme grafen om igjen. Vi sier derfor at funksjonen f x sin x har en periode på. Funksjoner som har grafer som gjentar seg om og om igjen, kaller vi periodiske funksjoner. Funksjonen f x sin periodisk funksjon. x er en 8

29 Vi bruker periodiske funksjoner til å beskrive periodiske fenomener som for eksempel tidevann. Den lille byen Mont-Saint-Michel i Normandie har en av Frankrikes største tidevannsforskjeller. Tidevannet beveger seg inn og ut med en hastighet på 1 m/s, og stiger og synker inntil 14 m. Mont-Saint-Michel var tidligere en øy halvparten av tiden og knyttet til fastlandet den andre halvparten, altså en «tidevannsøy». 9

30 Cosinusfunksjonen Vi vil undersøke grafen til funksjonen f gitt ved f cos når 0,. I GeoGebra kan du gjøre én endring på figuren du brukte til å undersøke grafen til sinusfunksjonen. Per definisjon er cos lik førstekoordinaten til punktet B, forutsatt at enhetssirkelen er plassert med sentrum i origo. Du kan derfor endre koordinatene til punktet P, xb,cos Når punktet B gjennomløper én runde på enhetssirkelen, vil punktet P tegne grafen til f cos i intervallet fra 0 til.. Cosinusfunksjonen har også en periode på. Grafen vil dermed gjenta seg for hver gang den har løpt. 30

31 Tangensfunksjonen Til slutt skal vi se på tangensfunksjonen i intervallet 0,. Som ved sinusfunksjonen og cosinusfunksjonen tegner vi grafen ved hjelp av enhetssirkelen. sinx Husk at tan x. Du kan derfor cos x endre koordinatene til punktet yb ( ) P,,tan. xb For de verdier av x som gir cos x 0, vil tanx derfor ikke være definert. 3 cos 0 og cos 0 sinx tan x når cos x x og når 3 x. Vi får de vertikale asymptotene 3 x og x. Fra tidligere vet vi at tanx gjentar seg for hver. Perioden til funksjonen er derfor. Tangensfunksjonen er altså en periodisk funksjon med periode. 31

32 Sammenhengen mellom sinusfunksjonen og cosinusfunksjonen Nedenfor har vi tegnet grafene til funksjonene f og g gitt ved f x sinx og gx cos x. I avsnitt 3. så vi at sinvcos v. Se figuren til høyre. Vi så også at cosu cos u. Vi får da at sinv cos v cos v cosv Dette viser at grafen til sinusfunksjonen er forskjøvet mot høyre sammenliknet med grafen til cosinusfunksjonen. 3

33 Kort repetisjon av den deriverte Til høyre ser du grafen til funksjonen f. y f x x f x f x er den verdien x x seg mot når x går mot null. nærmer Definisjon y f x x f x fx lim lim x0x x0 x Den deriverte i et punkt er stigningstallet til tangenten til grafen i dette punktet. Den deriverte og den momentane vekstfarten er den samme. I definisjonen ser vi på hva som skjer i et punkt stigningstallet funksjon for alle x der f x, f x x. For hver verdi av x får vi altså en bestemt verdi av f x f x. I punktet har grafen til funksjonen. Vi har da en ny eksisterer. Denne funksjonen kaller vi den deriverte funksjonen til f. 33

34 I R1 lærte du å derivere sentrale funksjoner. Du brukte førstederiverte og andrederiverte til å drøfte slike funksjoner. I tabellen nedenfor har vi samlet de derivasjonsreglene du lærte på R1-kurset. Det er veldig viktig at du lærer deg disse reglene og bruken av dem. Reglene må kort og godt pugges! Pugg og lær! Konstant funksjon f x k fx 0 r r 1 Potensfunksjon f x x f x r x Funksjon multiplisert med konstant f x k gx fx k gx Summer og differanser f x gx hx fx gx hx Produkt f x ux vx fx uxvx ux vx Kvotienter (brøk) Eksponentialfunksjoner ux f x vx f x x x e f x e f x x x a ln f x vx u x v x u x v x f x a a 1 x Logaritmefunksjonen f x lnx f x Kjerneregelen Sammensatte funksjoner gux fx gu ux f x 34

35 Derivasjon av trigonometriske funksjoner Sammenlikn grafene til sinx og cos x. Sammenlikn grafene til cos x og sinx... Kan du ut fra grafene tippe hva sinx og cos x er lik? Det kan vises at sinx cos x forutsatt at vinkelen måles i radianer. Ved å bruke denne formelen sammen med kjerneregelen og kvotientregelen, kan vi utlede formlene for den deriverte til cosinus- og tangensfunksjonen. 35

36 cos x sin x cos x 1 sinx sinx tanx cos x sinx cos x sinx cos x cos x cos x cos x cos x cos x sinx sinx cos x sinx 1 cos x Følgende formler for derivasjon av trigonometriske uttrykk gjelder: sinx cos x cos x sinx 1 x x x cos x tan eller tan 1 tan Dersom vinklene er gitt ved kx, bruker vi kjerneregelen med u kx og får sinkx k cos kx cos kx k sinkx 1 cos kx tankx k eller tankx k 1 tan kx 36

37 Drøfting av funksjoner Et stasjonært punkt på en graf karakteriseres ved at den deriverte er null i punktet. Hvis den deriverte skifter fortegn, er det stasjonære punktet et topp- eller bunnpunkt. Hvis den deriverte ikke skifter fortegn, er det stasjonære punktet et terrassepunkt. Førstekoordinaten til et toppunkt kalles et maksimalpunkt, og andrekoordinaten en maksimalverdi. Førstekoordinaten til et bunnpunkt kalles et minimalpunkt, og andrekoordinaten en minimalverdi. Maksimalpunkter og minimalpunkter kalles for ekstremalpunkter. Maksimalverdier og minimalverdier kalles for ekstremalverdier. Maksimal- og minimalverdiene er ofte bare lokale maksimal- og minimalverdier. Det vil si at de er maksimal- og minimalverdier i et intervall omkring ekstremalpunktet. En graf vender sin hule side opp når f x 0 og sin hule side ned når f x 0. Dette betyr at vi kan bruke dobbeltderiverttesten til å avgjøre om et ekstremalpunkt er et maksimalpunkt eller minimalpunkt. Et punkt på grafen hvor grafen skifter mellom å vende sin hule side ned og å vende sin hule side opp, eller motsatt, kalles et vendepunkt. Tangenten til grafen i et slikt punkt kalles en vendetangent. x - verdien til vendepunktet kalles infleksjonspunkt. 37

38 Eksempel Gitt funksjonen f x sinx x x 0, Finn eventuelle ekstremalpunkter og infleksjonspunkter til funksjonen. Finn eventuelle toppunkter, bunnpunkter og vendepunkter på grafen til funksjonen. Finn også likningen for én vendetangent hvis grafen har vendepunkter. Løsning Vi deriverer fx f x sinx x f x cosx f x 4cosx Vi finner eventuelle ekstremalpunkter ved å sette f x 0 Ekstremalpunkter f x 0 4cosx 0 1 cosx 4 x k x k 3 3 x k x k x 0, x x x x Vi tar stikkprøver for å avgjøre monotoniegenskaper: f 4cos f 4cos 41 f 4cos f 4cos 41 1 f 4cos 4cos Vi kan nå sette opp fortegnslinjen for x f : 38

39 Fortegnslinjen viser at grafen til f stiger i intervallene 0, 4,, og 5, 3, og synker i intervallene, 3 3 og 4 5,. 3 3 Det gir maksimalpunktene x og 3 4 x og minimalpunktene 3 x og 3 5 x. 3 Maksimalverdier 3 f sin f sin Minimalverdier f sin f sin Toppunkter, og 4 8, Bunnpunkter 4, og 5 10, Vi finner infleksjonspunkter ved å sette f x 0 4cos 8sin f x x f x 4 sinx f x x f x 0 8sinx 0 sinx 0 x 0 k x k x k x k x 0, 39

40 Infleksjonspunkter 3 x x x f sin f sin f sin 3 Vendepunkter 3,,, og, 3 Vi finner vendetangenten i punktet,. 4cos Stigningstallet til tangenten er f Vi bruker ettpunktsformelen y y1 ax x1 y 6x y6x4 Til slutt tegner vi grafen til f 40

41 3.5 Omforme trigonometriske uttrykk av typen a sin kx + b cos kx til en ren sinusfunksjon Innledning 41

42 Nedenfor har vi tegnet de to grafene. Vi ser at grafene er like. Hva betyr det? Kan det bety at f x gx? Hvordan kan vi undersøke om f x gx? g x sinx 4 Fra 3. har vi at sin u v sinucos v cosu sinv. Vi bruker dette og får 1 1 sin x sinx cos cos x sin sinx cos x sinx cos x

43 Sinusomforming Vi skal vise at et uttrykk på formen asinkx bcos kx kan omformes til den rene sinusfunksjonen Asinkx. Setningen om sinus til summen av to vinkler gir Asin kx A sinkx cos coskx sin Acos sinkx Asin coskx a asinkx bcoskx Når vi altså setter Acos a, og Asin b, får vi at a b Acos Asin A cos sin A 1 A og b sin b tan A. cos a a A Ut fra koeffisientene a og b i asinkx bcos kx kan vi altså finne A og. Dermed kan vi sette opp den rene sinusfunksjonen asinkx bcos kx Asinkx. Du må huske på at det fins to vinkler i første omløp som gir samme tangensverdi. Du må derfor passe på å velge den vinkelen som ligger i samme kvadrant som a, b Acos, sin b. Generelt asinkx bcos kx Asinkx Her er A a b og b tan når cos 0. a NB! Vi må passe på at vinkelen ligger i samme kvadrant som punktet a, b. 43

44 Likningen a sin kx + b cos kx = d Vi har tidligere løst likninger av typen acosv bsinv 0. Forutsatt cosv 0 dividerte vi med cosv på begge sider av likhetstegnet og fikk en tangenslikning vi kunne løse. Ved å bruke sinusomforming kan vi løse likninger av typen acosv bsinv d. Løs likningen sin x+ 3cos x 1. A a b og b 3 tan 3 a 1 Siden punktet 1, 3 ligger i første kvadrant, er. 3 sin x + 3 cos x sinx 3. Det betyr at Vi kan da løse likningen x x sin + 3 cos 1 sinx sinx 3 5 x k x k x k x k 6 44

45 Drøfting av funksjonen f(x) = a sin kx + b cos kx +c uten derivasjon Siden alle funksjoner av typen f x asinkx bcos kx kan skrives som rene sinusfunksjoner, kan vi drøfte slike funksjoner uten derivasjon. Fra enhetssirkelen vet vi at sinusfunksjonen gitt ved f x sin x n og sin minste verdi 1 når likningen sinx1 evt. sin x 1. Eksempel En funksjon f er gitt ved f x x x x har sin største verdi 1 når 3 x n. Vi kan finne disse verdiene ved å løse sin + 3cos 1. 1) Finn den største og den minste verdien funksjonen f kan få. ) For hvilke verdier av x har fx den største verdien. Løsning sin x + 3 cos x sin x 3. Vi så i avsnittet «Likningen a sin kx + b cos kx = d» at f x sin x + 3 cos x 1 sinx 1. 3 Det betyr at 1) Vi vet at den største verdien sinx 3 Den største verdien til f blir 11 3 Den minste verdien til f blir kan få, er 1, og den minste verdien er ) Funksjonen f har størst verdi når sinx 1. Vi løser denne likningen og finner 3 sinx 1 3 x n 3 x n 6 Funksjonen har altså sin største verdi 3 når x n 6 Vi går fram på samme måte når vi skal finne for hvilken verdi av x f har sin minste verdi. Du kan for eksempel også finne vendepunkter og stigningstall til vendetangenter ved å bruke denne metoden. 45

46 Harmoniske svingninger. Periode, amplitude, likevektslinje og faseforskyvning Vi vil nå studere en generell sinusfunksjon gitt ved sin størrelser. f x A kx d, hvor A og k er positive Du kan selv lage aktuelle glidere i GeoGebra og undersøke hvordan grafen til funksjonen endrer seg når du endrer parameterne d, A, k og. 3 Nedenfor har vi tegnet grafen til f når d 3, A, og k. Funksjonsuttrykket blir f x 3 sin x 3. Likevektslinje Tidligere har vi sett at grafen til sinx svinger rundt x -aksen. Denne grafen svinger rundt linjen y 3. Konstanten d bestemmer den horisontale linjen grafen svinger rundt. Vi kaller denne linjen likevektslinjen. Sinusverdiene svinger mellom 1 og 1. Da vil funksjonsverdiene svinge mellom Fra grafen leser vi at i funksjonsuttrykket er d og

47 Amplitude Avstanden fra likevektslinjen til et topp- eller bunnpunkt på grafen kaller vi amplituden til funksjonen. Svingningene i funksjonsverdiene gir denne avstanden lik 3. Fra grafen leser vi at amplituden er lik 3. Det vil si at i funksjonsuttrykket er 3 A. Periode Vi så tidligere at sinx har en periode på. Det var fordi at etter at vinkelen x hadde løpt fra 0 til, altså én runde på enhetssirkelen, så begynte funksjonsverdiene å gjenta seg. For funksjonen sinkx x. k vil funksjonsverdiene begynne å gjenta seg når kx, det vil si når Funksjonen sin A kx d har derfor periode x k. I funksjonsuttrykket f x 3 sin x 3 er k, og perioden er da x. k Fra grafen kan du finne perioden ved for eksempel å se på avstanden mellom to påfølgende 3 toppunkt eller lese av langs likevektslinjen. Grafen ovenfor har periode x. Du kan da finne konstanten k i funksjonsuttrykket ved å sette. Ved å løse denne likningen, får vi at k k. 47

48 Faseforskyvning Alle sinusfunksjoner på formen 0 sin 0 f er voksende. Leddet 0 y -aksen, og der 0 f x A kx d skjærer y -aksen der likevektslinjen skjærer så øker sinusverdiene og dermed funksjonsverdiene. Vi har at Asin kx 0 når x 0, og når x -verdiene øker fra null, f 0 0 Tilsvarende skjæringspunkt med likevektslinjen for sin d. f x A kx d er når kx 0. Det vil si når x. Funksjonene f og f 0 har ellers like form, de har samme likevektslinje, amplitude og k periode. Det betyr at grafen til funksjonen (likevektslinjen) i forhold til grafen til fx er parallellforskjøvet en avstand f0 x. x langs x -aksen k Vi sier at fx har en faseforskyvning i forhold til Faseforskyvningen er altså en x -verdi hvor funksjonsverdier. Av uttrykket for faseforskyvning ser du at: f0 x som er lik. k fx skjærer likevektslinjen for voksende Når er negativ, er faseforskyvningen positiv, og grafen er forskjøvet mot høyre. Når er positiv, er faseforskyvningen negativ, og grafen er forskjøvet mot venstre. 48

49 Fra funksjonsuttrykket vet du at. Da er faseforskyvningen Forskyvningen er mot høyre siden er negativ. x. 4 Fra grafen kan du lese av faseforskyvningen som vist på figuren. Grafen viser at faseforskyvningen er. Da er, som gir. 4 4 Oppsummering En funksjon f gitt ved sin f x A kx d, hvor A og k er positive størrelser, har Likevektslinje y d Amplitude A Periode x k Faseforskyvning x k Når er negativ, er faseforskyvningen positiv, og grafen er forskjøvet mot høyre. Hvis er positiv, er faseforskyvningen negativ, og grafen er forskjøvet mot venstre. Når du skal lage en skisse av en graf til en sinusfunksjon på grunnlag av funksjonsuttrykket, kan det være lurt å starte med å avsette likevektslinjen og deretter faseforskyvningen på likevektslinjen. 49

50 Modellere periodiske fenomener I praktiske forsøk undersøker vi ofte hvordan ulike størrelser varierer. Vi ønsker å finne ut om det er et mønster i variasjonene. Vi kan for eksempel måle maksimumstemperaturen hver dag gjennom et år og prøve å finne en modell, en funksjon, som beskriver temperaturen som funksjon av hvilken dag i året det er. Når vi vil finne et funksjonsuttrykk, kan vi markere sammenhørende verdier av de målte størrelsene i et koordinatsystem og trekke en kurve gjennom punktene. Kurven vil i dette tilfellet mest sannsynlig likne på grafen til en sinusfunksjon. Vi har tidligere beskrevet hvordan vi kan finne funksjonsutrykket til en sinusfunksjon ut fra grafen til funksjonen. Vi skal nå repetere og gå gjennom fremgangsmåten i detalj. 50

51 Du skal finne et funksjonsuttrykk av typen sin f x A kx d for denne grafen. Du finner først likevektslinjen y d ved å ta middelverdien av fmin fmin fmax 15 d og f max. Så leser du av perioden som avstanden langs likevektslinjen mellom to påfølgende skjæringspunkter mellom likevektslinjen og voksende graf. Perioden til funksjonen er 1. Siden perioden er lik, får vi at 1, som gir k. k k 1 6 Så finner du faseforskyvningen som avstanden fra likevektslinjens skjæringspunkt med y -aksen til likevektslinjens skjæringspunkt med voksende graf. Grafen viser at faseforskyvningen er lik. Det betyr at, som gir k. Siden k, får vi at. k Til slutt finner du amplituden ved å ta differansen mellom funksjonens største verdi og funksjonens laveste verdi og så dividere med to: f 5 1 max f min A 3 f x Asin kx d 3sin x. 6 3 Vi har nå funnet at 51

52 3.6 Ubestemte integraler Fra grunnskolen kjenner du til regningsartene addisjon/subtraksjon og multiplikasjon/divisjon. Disse regningsartene opptrer i par slik at subtraksjon er den «motsatte» regningsarten til addisjon, og divisjon er den «motsatte» regningsarten til multiplikasjon. Også derivasjon har en slik «motsatt» regningsart. For eksempel vet du at funksjonen F x x har funksjonen f x x som derivert. Funksjonen f er den deriverte til F. Den «motsatte» operasjonen går ut på å finne en funksjon som har x som derivert. Du ser at funksjonen F x x er en slik funksjon. Det er naturlig å kalle funksjonen F for en antiderivert til f. Men av historiske grunner er det mer vanlig å si at F er et ubestemt integral til f. Vi sier at vi integrerer eller antideriverer når vi skal finne F. Som symbol for et ubestemt integral, eller antiderivert, til f brukes ubestemte integralet til fx». Symbolet f xdx og leses «det (lang S) kalles for et integraltegn, og funksjonen som skal integreres, kalles for integranden. Symbolet dx tas med blant annet for å vise at de funksjoner Fx vi kommer fram til, er funksjoner av variabelen x. Det er x som er integrasjonsvariabelen. Du skal også se at dette er en praktisk skrivemåte i forbindelse med integrasjonsmetoder. Vi så at funksjonen F x x er en antiderivert til f x x. Derfor er også x. Men den deriverte til x 3 en antiderivert til x. Faktisk er enhver funksjon helst konstant tall C en antiderivert til x fordi x C x. Vi sier at x f x x 3 er også lik x pluss en hvilken som C er det ubestemte integralet til x fordi x C ikke er én bestemt funksjon, men en hel klasse av funksjoner. Konstanten C kalles integrasjonskonstanten. Definisjon av ubestemt integral Det ubestemte integralet av integraltegn. Funksjonen hvis f x dx F x C F x f x fx er lik Vi sier at vi integrerer eller antideriverer Fx pluss en konstant C. Symbolet (lang S) kalles et fx kalles integranden. Konstanten C kalles integrasjonskonstanten. fx når vi finner Fx. Symbolet dx viser at det er x som er integrasjonsvariabelen. 5

53 Eksempel x 3x 4 dx x x 4x C fordi x x 4x C 3x x 4 0 x 3x Vi kan bevise alle regnereglene for integrasjon ved å derivere høyre side. Prøv! Regneregler for integrasjon Det å kunne integrere funksjoner er like viktig som å kunne derivere funksjoner. Det finnes integrasjonsregler tilsvarende derivasjonsreglene. Her følger integrasjonsreglene du må kunne. Integrasjon av en konstant k kdx kx C Integrasjon av potensfunksjoner 1 1 r 1 r r1 x dx x C r Når r 1, gjelder x dx dx ln x C x 0 x

54 Integrasjon av eksponentialfunksjoner x x e dx e C kx 1 kx e dx e C k x 1 x a dx a C a 0 lna Generelle regler f x g x dx f x dx g x dx f x g x dx f x dx g x dx er en konstant k f x dx k f x dx k 1 Du la sikkert merke til at integrasjonsregelen dx lnx C bare gjelder for positive x -verdier. Det x kommer av at funksjonen lnx bare er definert for positive verdier av x. 1 I R1-kapitlet om funksjoner beviste vi at lnx for positive x -verdier. x Vi repeterer beviset her. Bevis Fra definisjonen av den naturlige logaritmen har vi at ethvert positivt tall, x, kan skrives som e opphøyd i logaritmen til x lnx x e x 0, Når to funksjoner er like, er den deriverte av hver av funksjonene også like. Vi deriverer venstre og høyre side hver for seg. 54

55 Venstre side: x 1 lnx u u lnx Høyre side: e e u e u e lnx xlnx Da har vi 1 x lnx 1 lnx x Men hva hvis x,0? Funksjonen ln x er definert for alle verdier av x siden absoluttverdien av et negativt tall er lik det motsatte tallet som er positivt. Absoluttverdien av,, er for eksempel lik. Til høyre ser du grafen til funksjonen f gitt ved f x ln x. Vi har tegnet tangenter til grafen for x og for x. Stigningstallet til tangenten i et punkt er lik den deriverte i punktet. Stigningstallet til tangenten når x, er lik 1. at f ln Stigningstallet til tangenten når x, er lik f ,5. Det betyr 1 0,5. Det betyr at Det kan vises at det alltid gjelder at ln x 1. x Definisjonen av et ubestemt integral gir da at 1 dx ln x C for alle verdier av x forskjellig fra null. x Prøv selv! Bruk GeoGebra. Tegn grafen, velg et punkt og tegn tangenten til grafen i punktet. Du kan dra punktet langs grafen og finne stigningstallet til de ulike tangentene. Integrasjonsregel 1 x dx ln x C x 0 55

56 Den antideriverte til de trigonometriske funksjonene. Du kjenner derivasjonsreglene sinx cos x cos x sinx. 1 cos x Hvis vi antideriverer cos x, får vi sinx C. Hvis vi antideriverer tan x 1 tan x sinx, får vi cos x C. Det betyr at den antideriverte til sinx blir cos x C. Ved å derivere de trigonometriske funksjonene finner vi altså følgende regler for integrasjon: sinx dx cos x C cos x dx sinx C 1 cos x dx tan x C evt. 1 tan x dx tan x C 56

57 Eksempel cosx. Når vi deriverer uttrykket sinx, bruker vi kjerneregelen og får sinu u Vi ser av svaret at vi har fått faktoren i tillegg til det opprinnelige uttrykket. Når vi antideriverer, må vi multiplisere uttrykket med faktoren 1 for å få det opprinnelige uttrykket. 1 cosxdx cosx dx sinx C sinx C Vi får da følgende integrasjonsregler for trigonometriske funksjoner der vinkelen er et lineært uttrykk: 1 sinkx cdx coskx c C k 1 coskx cdx sinkx c C k dx tankx C evt. 1 tan kxdx tankx C cos kx k k 57

58 Tre metoder for å finne den antideriverte Vi skal nå se på funksjoner som du ikke uten videre kan antiderivere ved hjelp av de reglene du har lært til nå. Du skal lære tre ulike metoder for å finne den antideriverte til slike funksjoner. Integrasjon med variabelskifte Når vi integrerer med variabelskifte, bruker vi kjerneregelen «baklengs». For å kunne bruke metoden benytter vi en ny skrivemåte for den deriverte. Vi har tidligere definert den deriverte til en funksjon tangenten til grafen i punktet. y y lim x 0 x yx i et punkt A som stigningstallet til Vi kaller nå x for differensialet dx og definerer differensialet av funksjonen som dy y dx. dy Vi får da at y. Hvis funksjonen har dx du navnet u, så er u og du udx. dx du Vi oppfatter altså du og dx som små størrelser som vi kan regne med. Hvis u, setter vi dx. Vi kan da for eksempel løse denne likningen med hensyn på dx og få at du dx. 58

59 Integrasjon ved variabelskifte kan brukes der hvor integranden kan skrives som et produkt av to uttrykk der det ene uttrykket inneholder «en kjerne-u», og det andre uttrykket er den deriverte til denne kjernen. Eksempel 1 x sin x 1 dx. Integranden er et produkt av to uttrykk, x og sinx 1 den deriverte til kjernen. Her må vi ha litt «teft» og se at den deriverte til x 1 er x. Vi deriverer kjernen og får. Vi setter kjernen ux 1. Da er x lik u x 1 du u x dx du dx x Nå skjønner du sikkert hvorfor metoden heter «Integrasjon med variabelskifte». du Vi erstatter så x 1 med u og dx med x og får x sin x 1 dx x sin d cosu cos 1 sin u du x u u C x C Det at den deriverte av x 1 er x, gjør at variabelen x «forsvinner» i integranden slik at integranden kun inneholder variabelen u. Dette er selve «hemmeligheten» med metoden. Metoden kan beskrives slik Integrasjon med variabelskifte, f u u dx f u du der du udx 59

60 Eksempel 3x 6 dx x 4x5 Vi setter u x 4x 5 og finner du x 4 dx du dx x 4 Vi får 3 x 4 3x 6 3 x 4 3 x 4 dx dx dx u x 4 x x x x x x du 3 1 du u Her er ikke den deriverte til kjernen nøyaktig lik 3x 6, men den er av samme grad, og ved å sette faktoren 3 utenfor integralet, blir telleren lik den deriverte til kjernen slik at variabelen x «forsvinner» i integranden. Du skjønner sikkert at det er en klar fordel å ha gode ferdigheter i derivasjon for å se om metoden kan brukes. Vi antideriverer og finner du u du u C u C x x C u

61 Eksempel 3 Vi kan bruke variabelskifte sammen med regelen om at 1 dx, der a og b er konstante tall. ax b 1 dx ln x x 0 til å finne integralet x Vi setter u ax b. Da er du a dx, og vi får du dx. a Det gir 1 1 a 1 dx dx ax b a ax b a a du du ln u C ln ax b C u a a u a a Integrasjonsregel 1 1 dx ln ax b C x 0 a 0 ax b a 61

62 Delvis integrasjon Denne metoden bygger på produktregelen for derivasjon. uv uv uv u v dx u v u v dx uv u v dx uv dx uv dx uv uvdx For oversiktens skyld skriver vi u i stedet for ux og v i stedet for vx. Regel uvdx uv uvdx 6

63 Eksempel Vi skal finne x lnx dx ved bruk av delvis integrasjon La x være u som gir u x og lnx være v som gir 1 v x Vi bruker formelen for delvis integrasjon og får v u v u v u 1 xlnx dx x lnxx dx x x lnx x dx 1 x lnx x C Du bør tenke deg om før du velger hva du skal sette som u og v. Det kan ofte være både lurt og nødvendig å bytte rekkefølgen på uttrykkene i integranden. Det gjelder å få et enklere uttrykk under integrasjonstegnet på høyre side. Virkemiddelet vi har er at en av faktorene blir derivert i det nye integralet. Vi må altså finne ut hvilken av faktorene som derivert gir et enklere integrasjonsuttrykk. Ovenfor så vi for eksempel at det var lurt å velge lnx som den faktoren som skal deriveres fordi 1 lnx. x Det er nødvendig at du regner mange oppgaver slik at du etterhvert ser hvilke uttrykk som lar seg integrere med delvis integrasjon. 63

64 Delbrøkoppspalting Vi har tidligere sett hvordan vi kan integrere brøkuttrykk der nevneren enten er en potensfunksjon eller en polynomfunksjon av første grad. Nå skal vi se hvordan vi kan integrere brøkuttrykk der nevneren er en polynomfunksjon av høyere grad. Metoden forutsetter at vi kan skrive nevneren som et produkt av førstegradsuttrykk. Når bruker vi delbrøkoppspalting? Vi viser metoden gjennom et eksempel. Eksempel 1 Vi skal finne x 4 dx. Vi kan faktorisere nevneren til x x og kan da skrive 1 A B 4 x x x Det gjelder nå å finne koeffisientene A og B. Vi trekker sammen høyre side og får A x A B x A B x x B x 1 4 x x x x x 1 Ax A Bx B 4 x x x 0x 1 x 4 For at uttrykkene skal være like, må tellerne være like. Telleren i brøken på venstre side har ikke noe x -ledd. Koeffisienten foran x -leddet er 0. Det må bety at A B 0. Telleren på venstre side har konstanten 1, dvs. at AB 1. 64

65 Vi har nå to likninger med to ukjente og finner A B 0 A B 1 A B B B 1 A B 4B A B 4 4 Vi setter A og B inn i det opprinnelige integralet og får 1 A B dx dx A dx B dx x x dx dx 4 x 4 x 1 1 ln x ln x C x ln C 4 x x x x Metoden forutsetter, som nevnt ovenfor, at nevneren kan faktoriseres i førstegradsuttrykk. Du la kanskje også merke til at en forutsetning for å finne verdier for A og B, var at telleren må ha lavere grad enn nevneren. 65

66 3.7 Bestemte integraler Vi ser på funksjonen f gitt ved 1 f x x x 4 4 Nedenfor har vi tegnet grafen til f i et koordinatsystem. Hvordan vil du gå fram for å finne arealet av det området som er farget blått her? Kan du finne en tilnærmet verdi for arealet? Det blå området er avgrenset av grafen til f, x -aksen og linjene x 3 og x 7. 66

67 Vi kan finne en tilnærmet verdi for arealet hvis vi deler området under grafen inn i rektangler som vist på figuren nedenfor. I GeoGebra kan du legge inn funksjonen og få frem rektanglene med kommandoen «SumUnder[f, 3, 7, 4]». Kan du, ved å bruke opplysningene på figuren, raskt regne ut arealet av disse fire rektanglene? Vi kaller summen av de fire rektanglene for A 4. Vi får da A4 f 3 1 f 4 1 f 5 1 f 6 1 A4 3,5 4 5,5 7 19,5 Av figuren ser du at tilnærmingen vi gjorde for å finne arealet av området under grafen, ikke er veldig god. Hva kan vi gjøre for å få en bedre tilnærming? 67

68 For å få en bedre tilnærming kan vi dele området i stadig flere rektangler. I GeoGebra kan du øke antall rektangler i kommandoen «SumUnder[ <Funksjon>, <Start>, <Slutt>, <Antall rektangler> ]». Ved n 30 fant vi at arealet av rektanglene var 1,94. Vi tenker oss at vi fortsetter å øke antall rektangler «i det uendelige». Bredden til rektanglene, som vi kaller x, vil gå mot null, og summen av arealene til rektanglene vil nærme seg arealet under kurven som grenseverdi. Matematikere bruker den greske bokstaven (stor sigma) som betegnelse for sum av flere ledd. For ikke å gjøre det unødig komplisert, så forenkler vi det formelle matematiske språket og sier at 7 f xx skal betegne summen av arealene til rektanglene med bredde x 3 som vist ovenfor. etter samme mønster Vi får da at 7 x 0 3 A lim f x x Det er dette uttrykket som defineres som det bestemte integralet av fx fra x 3 til x 7. 68

69 Det bestemte integralet fra a til b defineres som b a f x dx lim f x x b x 0 a Geometrisk vil det bestemte integralet b a f x begrenset av x -aksen, linjene x a og x b dx representere det arealet som er f x., og grafen til funksjonen Legg merke til skrivemåten for det bestemte integralet og spesielt likheten med skrivemåten for det ubestemte integralet. Vi kommer tilbake til grunnen til dette. 69

70 Ubestemte og bestemte integraler Vi nevnte i forrige avsnitt at det er en sammenheng mellom ubestemte og bestemte integraler. Vi ser igjen på funksjonen f gitt ved 1 f x x x 4 4 Vi finner det ubestemte integralet til f 1 f x dx x x 4 dx x x 4x C 1 3 x x 4x C Vi setter grenseverdiene 3 og 7 inn i uttrykket som vist nedenfor , Dette er det samme resultatet som vi fikk da vi regnet ut det bestemte integralet tidligere. Det kan vises at dette gjelder generelt. Dette er et grunnleggende resultat i matematikken, og vi kan formulere resultatet slik: Fundamentalsetningen i matematisk analyse La f være en kontinuerlig funksjon på intervallet ab, La Fx f x for alle x i a, b b b Da er f xdx F x F b F a a a 70

71 Vi kan altså regne ut arealet, A, av området avgrenset av grafen til f, x -aksen og linjene x 3 og x 7, som vist nedenfor 7 1 A x x 4 dx x x 4x ,33 3 Vi skal ikke bevise fundamentalsetningen, men vi kan illustrere den gjennom et eksempel. Eksempel Funksjonen er gitt ved f x x. f 3 Vi skal finne arealet avgrenset av grafen til mellom x0 og x4. f og x - aksen Vi bruker formelen for arealet av en trekant og får gh 4 34 A 4 Bruker vi en tilfeldig variabel x som grense i stedet for 4, får vi x 3x 3x 3 A x Dette uttrykket er akkurat det samme som den antideriverte til 3x og A 3 x dx x

72 Integraler med digitalt verktøy I GeoGebra kan du finne det bestemte integralet ved kommandoen Det ubestemte integralet finner du ved kommandoen For eksempel finner du integralet av x slik 7

73 3.8 Arealberegninger og andre anvendelser av bestemte integraler Areal mellom en graf og x-aksen I kapittel 3.7 så vi at bestemte integraler gjør det mulig for oss å beregne arealer avgrenset av krumme kurver. Vi skal nå arbeide litt mer med arealberegninger. Vi har sett at hvis fx 0 for x a, b linjene x a og x b ved å regne ut det bestemte integralet Eksempel, kan vi finne arealet avgrenset av grafen til f, x -aksen og b a f x dx Til høyre har vi tegnet grafen til funksjonen f x x. f gitt ved Arealet av området som er markert med blått, er 4 4 A f x dx x dx x x,

74 Du prøvde kanskje å finne arealet ved å regne ut g x dx? Siden d g x x x dx x x, x g x for,4, blir lim g x x g x dx 0 4 x 0 4 Arealet er en positiv størrelse. Arealet er derfor det negative integralet 4 4 A g x dx x dx x x,

75 Siden det ene området ligger over x -aksen, og det andre området ligger under x -aksen, må vi regne ut arealet av hvert område hver for seg. Vi må først finne ut hvor grafen til h skjærer x -aksen. Vi finner skjæringspunktene med x -aksen h x 0 x 10 0 x 10 x 10 Arealet blir A h x dx h x dx x dx x dx x 10x x 10x , 3 75

76 Arealet mellom grafer Til høyre har vi tegnet grafene til de to funksjonene f og g gitt ved f x x 1x 10 og gx x 1x 50 Hvordan vil du finne arealet av området mellom grafene, som er markert grønt her? Vi må først finne ut hvor grafene skjærer hverandre f x g x x x x x x 4x 40 0 x x x 10 Vi har tidligere sett at vi kan finne arealet som er markert med blått til venstre nedenfor, ved å regne 10 ut f x dx. Arealet som er markert med rødt til høyre, finner vi ved å regne ut g x dx

77 Arealet av området mellom grafene er da A f x dx g x dx f x g x dx x x x x dx x 4x 40 dx x x 40x Oppsummering La fx 0 for x a, b. Arealet avgrenset av x -aksen, grafen til f og linjene x a og x b er La fx 0 for x a, b. b a A f x dx Arealet avgrenset av x -aksen, grafen til f og linjene x a og x b er La f x gx for x a, b. Arealet mellom grafene fra x a og x b er b A f xdx b a A f x g x dx a Legg merke til at hvis g x, kan vi oppfatte x -aksen som fx 0. Vi bruker regelen for arealer mellom grafer og får 0 b a b A f x g x dx A 0 g x dx a b A g x dx a 77

78 Andre anvendelser av integrasjon Vi har sett at ved å regne med bestemte integraler, kan vi finne arealet under kurver. Vi kan også bruke bestemte integraler til å løse andre typer problemer. Samlet mengde Eksempel Erlend er ferdig med sin utdannelse og blir tilbudt jobb. Lønnsbetingelsene er å starte med en årlig inntekt på kroner for deretter å stige i lønn med 7 % per år. Hva vil den samlede inntekten til Erlend være de neste 0 årene? Løsning Lønnen etter L x x ,07 x. år vil være gitt ved funksjonen Hva vil den samlede inntekten til Erlend være de neste 0 årene? Hvis lønnen justeres én gang per år vil samlet lønn for 0 år vil være , , ,07 1 f 0 1 f 1 1 f 1... f Ser du at samlet lønn er representert med summen av arealene til rektanglene nedenfor? 78

79 Til å regne ut den samlede lønnen kan vi bruke kommandoen «SumUnder[]» i GeoGebra. Hvis lønnen justeres hver måned, kan vi dele hvert rektangel i 1 mindre rektangler, og de små hvite feltene mellom kurven og rektanglene blir veldig små. Dersom lønnen stiger jevnt gjennom hele året, vil det bestemte integralet gi en helt riktig verdi av samlet lønn. Oppsummering La funksjonen ft beskrive en mengde per tidsenhet. Vi finner en tilnærmet verdi for samlet mengde, S, i tidsrommet fra t a til t b ved å regne ut det bestemte integralet b a S f t dt 79

80 Volum Tenk deg at du deler et egg med eggdeler. Da får du parallelle skiver med samme tykkelse, men med ulik størrelse. Skivene får tilnærmet form som sylindre. Summen av volumene til alle skivene er lik volumet til egget. Egget deles opp i skiver med samme tykkelse. Skivene får tilnærmet form som sylindre. Av figuren ovenfor ser du at Ax x er en tilnærmingsverdi for volumet av én skive. En tilnærmingsverdi for det samlede volumet kan vi finne ved å summere volumet av alle skivene. Når x blir veldig liten, nærmer denne summen seg volumet av egget x lim x 0 x 1 x1 x V A x x A x dx 80

81 Volumet av en kule Vi kan bruke dette til å vise at volumet av en kule er gitt 4 3 ved V r. 3 Til høyre har vi tegnet en kule med radius r. Snittflaten i kulen er en sirkel. Radius i denne sirkelen r x kaller vi. Arealet av snittsirkelen er da Ax r x Vi bruker Pytagoras setning og finner x x r r x r x uttrykt ved r og r r x x Arealet av snittflaten er dermed gitt ved Volumet blir x A x r r x r x V r x dx r r r r r dx x dx r 1dx x dx r r 1 r x x r r r r r r r r r r r r 3 r r r 3 4 r 3 r r r r r r Husker du formlene for å regne ut volumet av de geometriske formene ovenfor? Hvilke av formlene kan vi se ved hjelp av integrasjon? 81

82 Volum av omdreiningslegemer Hvis vi dreier grafen til en funksjon 360 om x -aksen, får vi et omdreiningslegeme. Formen på omdreiningslegemet avhenger av formen på grafen. Hvis grafen er en rett linje, blir omdreiningslegemet en kjegle eller en avkortet kjegle. Se figurene nedenfor. Hvis vi dreier en halvsirkel 360 om diameteren, får vi en kule. 8

83 La f x være en vilkårlig funksjon som dreies 360 om x -aksen. Se figur. Vi vil finne volumet av omdreiningslegemet som framkommer mellom og x. x1 Vi ser at radien til en snittsirkel er lik funksjonsverdien for den aktuelle x -verdien Arealet av en snittsirkel blir r f x A x r f x Vi får en generell formel for volumet av omdreiningslegemer x x x V A x dx f x dx f x dx x1 x1 x1 83

84 3.9 Matematiske modeller Hvordan vil du gå fram for å finne volumet av en kule? Måle? Regne? 4 3 Formelen V r, som viser sammenhengen mellom radius i en kule og volumet av kulen, er et 3 eksempel på en matematisk modell. Hvis vi kjenner radius i en kule, kan vi bruke modellen til å regne ut volumet av kulen. Motsatt kan modellen brukes til å regne ut radius når vi kjenner volumet. Det å lage matematiske modeller som viser sammenhengen mellom ulike størrelser, kalles å modellere. Ved hjelp av en modell prøver vi å beskrive virkeligheten med matematikk. I dette kapitlet skal vi se på hvordan vi på grunnlag av observerte data kan formulere matematiske modeller. Lineære modeller og lineær regresjon En matematisk modell av typen Vi kan måle diameteren til en kule ved hjelp av en skyvelære y ax b der a og b er konstanter, er en lineær matematisk modell. Grafen er en rett linje, derav navnet lineær modell. 84

85 Lineære modeller I år 000 var det noen skoleelever som lagde en modell for folketallsutviklingen i Norge. De tok utgangspunkt i en tabell fra Statistisk sentralbyrå som viste folketallet i Norge for noen utvalgte år i perioden fra 1950 til 000. Tabellen viser folketallet i Norge for noen utvalgte år i perioden fra 1950 til 000. Årstall Folketall Det er en sammenheng mellom årstall etter 1950 og folketallet. De lagde en ny tabell hvor x er antall år etter 1950 og hvor y er folketallet i millioner. x fx 3, 3,6 3,9 4,1 4, 4,5 De plottet punktene fra den siste tabellen i et koordinatsystem, og så at punktene lå tilnærmet på en rett linje. Det betyr at folketallet i Norge har hatt en tilnærmet lineær vekst i perioden fra 1950 til 000. Vi trekker en rett linje som ser ut til å passe godt med punktene. Kan du bestemme likningen for denne linjen? Linjen skjærer y -aksen der y 3,3 og går tilnærmet gjennom punktene 70, og ,4 og 1 Stigningstallet blir da tilnærmet lik 0, Vi kan da si at likningen for linjen må være tilnærmet lik y0,05x 3,3. Vi kan da si at funksjonen f x 0,05x 3,3 er en lineær matematisk modell som tilnærmet beskriver utviklingen i folketallet i Norge fra 1950 til 000. Kan denne modellen brukes til å forutsi framtidig folketallsutvikling? 85

86 Lineær regresjon i GeoGebra Ved lineær regresjon i GeoGebra kan vi finne en mer «nøyaktig» lineær modell. Velg «Regneark». Legg punktene fra tabellen inn i kolonne A og B. x fx 3, 3,6 3,9 4,1 4, 4,5 Merk området A1:B6. Velg så «Regresjonsanalyse» og «Analyser». Velg regresjonsmodell «Lineær». Vi har da funnet at f x 0,04x 3,31 er en matematisk modell som tilnærmet beskriver utviklingen i folketallet i Norge fra 1950 til 000. Velg «Kopier til grafikkfeltet». Vi ser at modellen passer godt med punktene. 86

87 Stigningstallet er 0,04. Det betyr at etter denne modellen øker folketallet i Norge gjennomsnittlig med personer per år, og at folketallet vil være 4,87 millioner i år 015. Se «svart» punkt på grafen nedenfor. Tall fra SSB viser at folketallet i Norge var 4,6 millioner i 005, 4,9 millioner i 010 og passerte 5, millioner i 015. Se «blå» punkter i diagrammet. Folketilvekst i 014 var ifølge SSB på personer. Synes du modellen fra år 000 var en god modell til å forutsi folketallsutviklingen i årene 000 til 015? Mener du at modellen fra år 000 fortsatt kan brukes til å forutsi framtidig folketallsutvikling, eller bør det lages nye modeller? 87

88 Potensfunksjon som modell På figuren til høyre ser du en skisse av en pendel. Når du drar pendelkulen ut til siden slik figuren viser, og slipper den, vil kulen svinge fram og tilbake. Svingetiden til pendelen er tiden det tar fra du slipper pendelkulen til den er tilbake i samme posisjon. Svingetiden måles i sekunder. Svingetiden endrer seg når vi endrer lengden på snoren. Hvis vi måler svingetiden ved ulike snorlengder og foretar en potensregresjon, finner vi en sammenheng tilnærmet gitt ved modellen f nedenfor f x,0x 0,5 Denne modellen er en potensfunksjon. b Potensfunksjoner kan skrives på formen f x ax, der a og b er konstante tall, og x er grunntallet i en potens. Når du skal foreta en potensregresjon i GeoGebra, velger du «Regresjonsanalyse» og «Analyser». Deretter «Potens» som regresjonsmodell. 88

89 Eksponentialfunksjon som modell Eksempel Kari kjøper en fire år gammel bil for kroner. Bilens verdi har sunket med 10 % hvert år siden den var ny. Vi regner med at denne verdireduksjonen vil fortsette de neste årene. Bilens verdi V x, x år etter at Kari kjøpte den, er da gitt ved modellen V x ,90 x Av grafen til funksjonen V kan vi lese at bilens verdi vil ha sunket til kroner etter 6,6 år. Avlesning på grafen viser også at bilens verdi for kroner. 4 år siden, altså bilens pris som ny, var nærmere Funksjonen V er en eksponentialfunksjon. 89

90 Eksponentialfunksjoner kan skrives på formen f x x ab der a og b er konstante tall. Legg merke til at x her er eksponent i potensen. I GeoGebra velger du «Eksponentiell» som regresjonsmodell. Eksempel Siv ville finne ut hvordan en solsikke hun hadde i hagen, vokste uke for uke. Hun målte høyden til solsikken hver uke i åtte uker. De observerte verdiene ser du i tabellen nedenfor. Solsikker i blomst. Toscana, Italia. Etter x uker Høyde i cm Vi markerer datamaterialet fra tabellen som punkter i et koordinatsystem. Det ser ut som solsikken vokser raskere og raskere. Det er derfor naturlig å prøve med eksponentiell regresjon. Eksponentiell regresjon i GeoGebra gir f x 11 1,37 x Solsikken var ca. 10,9 cm da Siv begynte å måle. Dersom vi skriver funksjonsuttrykket på denne formen, ser vi at den har vokst med ca. 37 % hver uke. 90

91 Vi ser at kurven stemmer bra med de observerte verdiene, men det er viktig å legge merke til at modellen vi fant her bare gjelder i et begrenset tidsintervall. Det vil være naturlig at veksten til solsikken vil avta og etter hvert stoppe helt opp. Det kan derfor være at en logistisk modell her vil være bedre. Logistiske modeller omtales i kapitlet om differensiallikninger. Polynomfunksjon som modell Polynomfunksjoner kan også brukes som modeller. Ved regresjon i GeoGebra velger du da «Polynom» som regresjonsmodell. Du må i tillegg velge graden på polynomet. 91

92 Trigonometrisk funksjon som modell Vi har tidligere i funksjonskapitlet, i avsnittet «Modellere periodiske fenomener», sett hvordan harmoniske svingninger kan modelleres ved en sinusfunksjon, og hvordan vi uten digitale hjelpemidler kan finne funksjonsuttrykket til en slik modell. Harmoniske svingninger kan også modelleres ved regresjon i GeoGebra. Eksempel T x C Tabellen viser temperaturer målt gjennom et sommerdøgn ved Lindesnes fyr. Temperaturen, T, er målt i grader Celsius, og x er antall timer etter midnatt. Ved regresjon i GeoGebra får vi en sinusfunksjon som vi ser er en bra modell for temperatursvingningene dette døgnet. Sommer på Lindesnes fyr. Norges eldste fyr og Norges sydligste fastlandspunkt. 9