Trigonometri. Høgskolen i Gjøvik Avdeling for teknologi. Notat til repetisjonskurs i matematikk. Hans Petter Hornæs. E-post:

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "Trigonometri. Høgskolen i Gjøvik Avdeling for teknologi. Notat til repetisjonskurs i matematikk. Hans Petter Hornæs. E-post: hans.hornaes@hig."

Transkript

1 Høgskolen i Gjøvik Avdeling for teknologi Versjon fra 2. august Trigonometri Notat til repetisjonskurs i matematikk. Hans Petter Hornæs E-post: -

2 Dette heftet kan brukes både som enn innføring og en repetisjon i grunnleggende trigonometri. Heftet er skrevet for bruk i repetisjonskurs i matematikk ved Høgskolen i Gjøvik. Dette er et kurs før oppstart av de ordinære studiene. For studenter med full fordypning i matematikk fra videregående skole er det repetisjon. For studenter med mindre matematikkgrunnlag vil deler av dette kurset være nytt stoff, som blir behandlet i matematikkfagene på realfags- og data og multimediastudiet. Det er imidlertid erfaringsmessig noe vanskelig, så det vil være nyttig åfådet i dobbelt dose. Heftet er opprinnelig skrevet i 999, og noe revidert i Det er skrevet med dokumentbehandlingssystemet L A TEX, og figurene er laget ved hjelp av dataprogrammet Maple.

3 3 Absolutt vinkelmål (radianer) Det mest kjente vinkelmålet er grader, der vi deler sirkelen inn i 360. Tallet 360 er nokså tilfeldig valgt, men en av fordelene er jo at det er delelig på mange tall (f.eks 2, 3, 4, 5, 6, 0, 2). Et annet vinkelmål som blant annet brukes en del i landmåling er nygrader eller gon, som deler sirkelen inn i 400 like deler. Vi skal her se på et annet naturlig vinkelmål som har matematiske fordeler bl.a. i forbindelse med derivasjon og integrasjon. Dette kalles absolutt vinkelmål, og størrelsen (som erstatter grader) kalles radianer.. Definisjon av radianer Hvis vi har en tegning av en vinkel (som to vinkelbein som møtes) kan vi slå en sirkelbue med vilkårlig radius r som i figur til venstre, og få en sirkelsektor. Hvis vi kaller lengden av sirkelbuen mellom vinkelbena for l kan vi definere vinkelen i radianer som forholdet l/r, forholdet mellom lengden av buestykket og radien i sirkeldelen. Dette fungerer som definisjon siden forholdet her er uavhenging av hvor stor vi tilfeldigvis valgte r. Dette er antydet i figur til høyre, der l/r =l2/r2. r l r2 l2 r l v v Figur : Definisjonsfigur for vinkel i radianer Hvis vi har benevning (f.eks cm) på lengdene l og r blir denne forkortet bort, slik at vinkelen i radianer er ubenevnt. Avogtilønskerviå presisere at vinkelen er målt i radianer, og kan da bruke benevningen rad. Siden omkretsen av en sirkel med radius r er 2πr, vil en hel omdreining være 2πr r =2π = iradianer. En 90 -vinkel er en fjerdedels omdreining, så dette tilsvarer 2π 4 = π 2 = Tallet π kommer naturlig inn i mange vinkelmål i radianer, og det er ofte ikke hensiktsmessig å regne det om til desimaltall. For det første vil dette ofte gjøre uttrykkene og sammenhengene uoversiktlig, og for det andre kan det lede til avrundingsfeil vi ikke har så god kontroll over. Gjør det til en vane å uttrykke radianvinkler på formenqπ,derq er en brøk eller et symboluttrykk, når det er mulig (og naturlig). Vi kaller ofte dette eksakt form. Oppgave Finn følgende vinkler som radianer, på eksakt form. Bruk resonnementer og enkle figurer, ikke kalkulator eller omregningsformler 80, 45, 5, 60, 270, 720, 90

4 4 2 DEFINISJON AV SINUS, COSINUS OG TANGENS Oppgave 2 Gjør om følgende vinkler i radianer til vanlige grader: 2π, π, π/6, π/3, π/4, π/0 Hvis v er en vinkel i radianer, og v er den samme vinkelen uttrykt i grader, får vi følgende omregningsformler: π v = 80 v v = 80 π v () Oppgave 3 Fyll ut resten av følgende tabell for omregning mellom grader og radianer: Grad Rad 2π 3 2 π π 4 π 6 π 0 Oppgave 4 a ) Sjekk at formlene i () stemmer for henholdsvis v =2π og v = 360 b) Klarer du å (uformelt) utlede formlene i () på egenhånd? 2 Definisjon av sinus, cosinus og tangens Hovedtemaet i dette notatet er tre størrelser tilordnet en vinkel v, detrigonometriske funksjonene sinus (sin(v), cosinus (cos(v) og tangens (tan(v)). 2. Geometriske definisjoner for vinkler mellom 0 og π/2 Hvis vi har en rettvinklet trekant som i figuren under, der katetene har lengde a og b, hypotenusen har lengde c, ogv er vinkelen mellom kateten med lengde a og hypotenusen, definerer vi Definisjon av sinus : sin(v) = b/c Definisjon av cosinus : cos(v) = a/c (2) Definisjon av tangens : tan(v) = b/a Siden b/c a/c = b a sin(v) er tan(v) = cos(v), som er en alternativ definisjon av tangens. Det finnes også andre trigonometriske funksjoner: cot(v) = a/b, sec(v) = c/b og csc(v) = c/a, mendeskal vi ikke behandle her.

5 2.2 Noen eksakte verdier av cos, sin og tan 5 c b v a Figur 2: Figur til definisjon av trigonometriske funksjoner Oppgave 5 Det finnes ikke noen enkel formel for å regne ut de trigonometriske funksjonene for en gitt vinkel. Vanligvis bruker vi en kalkulator, og får verdien ut som et desimaltall. Forsøk dette med din egen kalkulator for verdiene cos(30 ) sin(30 ) tan(45 ) cos(2 ) sin(3 ) cos() tan(0.75) sin(π/3) cos(π/2) 2.2 Noen eksakte verdier av cos, sin og tan Figur 3 til venstre nedenfor viser en rettvinklet trekant som er et kvadrat delt i to. Der er v =45 = π/4. Hvis katetene har lengde har hypotenusen lengde = 2. En enkel skisse av denne kan brukes til å finne eksakt verdi av trigonometriske funksjoner for v = π/4. 2 π/6 π/4 π/3 Figur3:Figurertilnoeneksakteverdier Figuren til høyre viser en likesidet trekant delt i to. Hvis vi sier siden i hypotenusen er 2, har den korteste kateten lengde, siden det er en halv side i den opprinelige trekanten. Den andre kateten har lengde = 3. Den største spisse vinkelen er v =60 = π/3, siden det er en vinkel i den opprinnelige trekanten, og da blir det igjen 30 = π/6 til den minste vinkelen. Dette kan brukes til å finne eksakte verdier for v = π/3 og v = π/6.

6 6 3 TREKANTBEREGNINGER Oppgave 6 Bruk (blant annet) figurene over til å løse denne oppgaven: a ) Fyll ut tabellen nedenfor med eksakte verdier av sin(v): v 0 π/6 π/4 π/3 π/2 sin(v) b ) Fyll ut tabellen nedenfor med eksakte verdier av cos(v): v 0 π/6 π/4 π/3 π/2 cos(v) c ) Fyll ut tabellen nedenfor med eksakte verdier av tan(v): v 0 π/6 π/4 π/3 π/2 tan(v) 3 Trekantberegninger Et klassisk anvendelsesområde for trigonometri er å beregne sider, vinkler, arealer osv. i trekanter der noen av disse er kjent. Dette er også bakgrunnen for navnet trigonometri. Skal trigonometrien være til noen nytte her bør man ha en kalkulator (i gamle dager brukte man tabeller). C C c b c h b A a B A a B Figur 4: Trekanter til eksempler og oppgaver Eksempel: Finne side i rettvinklet trekant Vi ser først på en rettvinklet trekant som i figur 4 til venstre, der sidekanter er gitt med små ogvinklermedstorebokstaver. Anta først vi har opgitt A =20 og a =2.0cm, og vi skal finne hypotenusen c. Vihar da at a/c =cos(20 ), så c = a/ cos(20 ). Vi bruker så kalkulator.passpåatkalkulatoren nå skal regne i grader, ikke radianer (som sikkert er feilen hvis dere får svaret ). Hvis den er satt opp i radianer kan vi skrive cos(20 π/80)). Vi finner: c = 2.0cm/ = 2.8cm. Eksempel: Finne vinkel i rettvinklet trekant Hvis vi nå isteden har opgitt to av sidene, f.eks. a =4ogb =7cm,ogønskerå finne vinkelen a bruker vi at tan(a) = b/a =7/4 =.75. Vi trenger da ågå den motsatte vegen, å finne en vinkel som har kjent

7 7 tangens. Vanligvis finnes dette med kombinasjonen SHIFT og tan-tastene. Funksjonen er gjerne betegnet tan, men den er også kjentsomarcus tangens. Dette vil da gi resultatet A =60.3. Hvis kalkulatoren regner i radianer (så derefår vinkelen.05...)kanden regnes om til grader ved å multiplisere med 80 /π Merk at tan () IKKE betyr / tan(). Oppgave 7 Anta følgende størrelser er gitt, og skal finnes i en rettvinklet trekant med navn på sider og vinkler som i figur 4: a) c =8,A =50, b =? b) c = 5, b =, A =? Oppgave 8 Hvis vi har en trekant som ikke er rettvinklet, hjelper det ofte å dele den i to rettvinklede trekanter som på figur 4 til høyre. Anta vi har en slik trekant med sider a = c =7ogvinkelA =25,ogønskerå finne siden b: a ) Finn lengden på hjelpesiden h b) Finn på tilsvarende måte lengden på linjestykket fra vinkel A til foten av normalen h (langs siden med lengde a). c ) Ved hjelp av den pytagoreiske læresetning på den rettvinklede trekanten helt til høyre er det nå mulig å regne ut siden b. Gjør dette. Oppgave 9 a ) Finn alle vinkler og arealet av en trekant med sider av lengde 0, 7 og g b ) Finn alle sider og vinkler (i grader) i en trekant der vinkel A =40,vinkel B = (radian) og siden a mellom dem har lengde 0 Oppgave 0 I likningen y = a + b for en rett linje er stigningskoeffisienten a tangens til vinkelen linja danner med aksen. For en vilkårlig funksjon y = f() erden deriverte stigningskoeffisienten til tangenten. Bruk dette og kalkulator til å svare på denne oppgaven: a ) b ) Finn vinkelen linja y = 2 2 danner med aksen. Hva er vinkelen (tangenten til) kurva y = i punktet (0, 2) har i forhold til en horisontal linje? c) På et fareskilt for bratt vegstrekning står det oppført at stigningen er 0%. Hvilken vinkel tilsvare dette?

8 8 4 COSINUS, SINUS OG TANGENS FOR GENERELLE VINKLER 4 Cosinus, sinus og tangens for generelle vinkler I en rettvinklet trekant må 0<<π/2, men ved hjelp av figur 5 til venstre kan vi definere de trigonometriske funksjonene for vilkårlige vinkler. Hvis vi fastsetter c = får vi cos(v) direkte som -koordinaten, mens sin(v) er y koordinaten. b sin(v) c cos(v) v v a Figur 5: Definisjonsfigur for generelle vinkler Oppgave Fyll ut tabellen nedenfor med eksakte verdier av sin(v), og desimaltall med to desimaler: v 2π 3π/2 π π/2 π/4 0 π/6 π/4 π/3 sin(v) = 0 /2 2/2 3/2 sin(v) v π/2 2π/3 3π/4 5π/6 π 3π/2 2π 9π/4 5π/2 sin(v) = 2/2 sin(v) Oppgave 2 Fyll ut tabellen nedenfor med eksakte verdier av cos(v), og desimaltall med to desimaler: v π π/2 π/4 0 π/4 π/2 2π/3 3π/4 5π/6 π cos(v) = 2/2 0 cos(v) Oppgave 3 Fyll ut tabellen nedenfor med eksakte verdier av tan(v), og desimaltall med to desimaler : v π π/2 π/4 0 π/4 π/2 2π/3 3π/4 5π/6 π tan(v) = 0 udef. tan(v) udef.

9 9 5 Trigonometriske omregningsformler 5. Den trigonometriske identiteten På trekanten vi brukte til å definere cos(v) ogsin(v) i figur 2 gir Pytagoras a 2 + b 2 = c 2.Omvi dividerer begge sider av likhetstegnet med c 2 får vi a2 c + b2 2 c = c2 2 c, som vi omformer til ( ) a 2 ( 2 c + b 2 c) =. Brøkene i parentes er definisjonen av sin(v) ogcos(v), så vi ender opp med sin(v) 2 +cos(v) 2 =. Det er standard skivemåte å skrive sin(v) 2 =sin 2 (v) ogcos(v) 2 =cos 2 (v), og da får vi følgende formel (som gjelder for alle v): sin 2 (v)+cos 2 (v) = (3) Oppgave 4 Sjekk formelen over ved å sette inn v = π/3 og regne sammen venstresiden. Gjør det samme med å sette inn v = π/2 Oppgave 5 Forenkl uttrykket sin 2 (θ)+cos 2 (θ) sin 2 (2θ) cos 2 (2θ) 5.2 Summeformler for sinus og cosisnus Vi skriver opp summeformlene for sinus og cosinus, uten å ta med noen utledning. Disse formlene er det lurt ålæreseg: sin(u ± v) = sin(u)cos(v) ± cos(u)sin(v) cos(u ± v) = cos(u)cos(v) sin(u)sin() (4) Tegnet ± betyr pluss eller minus, mens eromvendt,dvs.atplussgår sammen med minus og omvendt i cosinusformelen Oppgave 6 a ) Sjekk summeformelen for sin(u + v) vedå sette u = π/3 ogv = π/6 og kontroller at høyre og venstreside blir like. b ) Sjekk differensformelen for sin(u v) vedå sette u = π/3 ogv = π/6 og kontroller at høyre og venstreside blir like. c ) Sjekk summeformelen for cos(u + v) vedå sette u = π/4 ogv = π/4 og kontroller at høyre og venstreside blir like. d ) Sjekk differensformelen for cos(u v) vedå sette u = π/4 ogv = π/4 og kontroller at høyre og venstreside blir like. Oppgave 7 a ) Finn eksakt verdi for sin(5π/2) og cos(5π/2) (Hint: Bruk summeformlene med u = π/4 ogv = π/6) b ) Finn eksakt verdi for sin(π/2) og cos(π/2) (Hint: Bruk differensformlene med u = π/4 ogv = π/6)

10 0 6 SINUS OG COSINUS SOM FUNKSJONER Oppgave 8 Forenkl uttrykkene (ved hjelp av summeformlene) a) sin(v + π/2) og cos(v π/2) b) sin(v ± 2π) ogcos(v ± 2π) c) sin(v ± π) ogcos(v ± π) Oppgave 9 I denne oppgaven skal vi utlede formlene for sinus og cosinus av den dobbelte vinkel: a) Sett u = v i summeformelen for sinus, og finn en formel for sin(2v) b) Sett u = v i summeformelen for cosinus, og finn en formel for cos(2v) c) Ved å bruke formelen sin 2 (v)+cos 2 (v) er det mulig å omforme formelen for cos(2v) så den ikke inneholder sinus. Gjør dette Finn også en formel for cos(2v) som ikke inneholder cosinus. d ) Ved hjelp av formlene i forrige deloppgave er det mulig å finne formler for cos 2 (v) ogsin 2 (v) som ikke inneholder disse i 2. potens. Finn disse formlene! Denne omskrivningen er hensiktsmessig i en del sammenhenger, f.eks i forbindelse med integrasjon. 6 Sinus og cosinus som funksjoner I resten av dette notatet tenker vi på vinkelen v som en variabel, og skal derfor heller bruke bokstaven påvinkler. 6. Sinus- og cosinuskurver Ved å sette vinkelen (målt i radianer) langs førsteaksen, og avmerke sin() fra oppgave som y koordinater, og deretter forbinde disse punktene med en glatt kurve får vi sinuskurven, i figur 6: Figur 6: SINUSKURVEN

11 6.2 Symmetriforhold for sin og cos Sinus endrer ikke verdi om vi adderer 2π til, siden dette tilsvarer å gå en runde ekstra. Derfor får vi gjentagelse av det mønsteret vi har mellom =0og =2π. Visierkurven (eller funksjonen) er periodisk med periode 2π. 6.2 Symmetriforhold for sin og cos Nærmere undersøkelser vil bekrefte de symmetriforholdene skissen av sinuskurven antyder. Spesiellt er den symmetrisk om origo. Dette tilsvarer analytisk at sin( ) = sin(), at minus går utenfor sinus. At minus går utenfor brukes ofte som kriterium på at en funksjon er symmetrisk om origo, men hererdetantageligmernyttigå ha sinuskurven i hodet og bruke det som huskeregel for at minus går utenfor. Også de andre symmetriene som synes å være der stemmer eksakt, for eksempel symmetri om den vertikale linja = π/2, eller om punktet (π, 0). Dere ser at sinuskurven er 0 for =0og = π, ogatdenharmaksimumsin(π/2) = og minimum sin(3π/2) =. Sammen med symmetriforholdene og periodisiteten kan dere bruke dette til å raskt tegne en ganske god skisse av sinuskurven, uten bruk av kalkulator. Dette er ofte et svært godt hjelpemiddel under oppgaveløsning venn dere til åbruke det! Oppgave 20 Lag et aksekors der punkten = 2π, = 3π/2, = π, = π/2, =0, = π/2, = π, =3π/2, =2π og =3π er avmerket. Sett ikke på verdier på merkene foreløbig, og tegn y aksen svakt (med blyant). a ) Avmerk nullpunktene og maks/minpunktene til sinusfunksjonen i dette området, og skisser sinuskurven på basis av dette. b) Nå skal der sette y-aksen ved = π/2! Avmerk verdien på delepunktene med sine nye -verdier. Den kurven dere nå får er cosinuskurven! c ) Plott inn punktene for cosinus fra oppgave 2, og se at de faller på kurven (kanskje bortsett fra litt unøyaktighet i skissen). d ) Hvilken symmetri har vi ved = 0, og hvilken konsekvens har dette for verdien av cos( )? Ser du noen andre symmetrier? e ) Ser du sammenhengen mellom konstruksjonen i oppgave b og resultatet i oppgave 8a? 6.3 Andre perioder og faseforskyvninger Oppgave 2 π Hvis er en vinkel gitt i grader er 80 den samme vinkelen i radianer. Siden sinusfunksjonen tar utgangspunkt i radianer, vil sinusfunksjonen i grader være f() =sin ( π 80 ). Plott denne funksjonen i området =0til = 360. Denne funksjonen bruker et intervall av lengde 360 for å gjennomføre en hel svingning. Dette tallet kalles perioden, innenfor enkelte anvendelsesområder kalles den bølgelengden.

12 2 6 SINUS OG COSINUS SOM FUNKSJONER 6 y Figur 7: Tangenskurven (som vi ikke skal jobbe mer med nå) Hvis er en variabel som betegner tiden bruker vi vanligvis bokstaven t istedenfor. Da kalles perioden svingetiden. Den inverse av dette, /360 er da antall hele svingninger pr. tidsenhet. (f.eks. pr. sekund), og kalles frekvensen. Multipliserer vi frekvensen med 2π får vi i dette tilfellet 2π/360 = π/80, det tallet som står foran (eller t) i sinus (eller cosinus) funksjonen. Dette tallet kalles vinkelfrekvensen, og betegnes ofte med bokstaven ω (omega). Oppgave 22 Finn perioden T,frekvensf og vinkelfrekvens ω i følgende funksjoner. Lag deretter en kort skisse av dem: a) f(t) =cos(2πt) b) g(t) =sin(t) c) h(t) = sin(000t) Oppgave 23 Skisser funksjonene a) f(t) =sin(2πt) b) g(t) =4sin(2πt) c) h(t) =sin(2πt + π/4) d) i(t) =4sin(2πt + π/4) I funksjonen R sin(ωt + φ) derr, ω og φ er konstanter kalles R amplityden. ω er vinkelfrekevensen, mens φ kalles faseforskyvningen (eller bare fasen). Bruk av summeformelen gir R sin(ωt + φ) =R cos(φ)sin(ωt)+r sin(φ)cos(ωt) =a sin(ωt)+b cos(ωt) (5) ved å sette a = R cos(φ) ogb = R sin(φ)

13 6.3 Andre perioder og faseforskyvninger 3 Omvendt kan alle funksjoner på formena sin(ωt)+b cos(ωt) skrives om til formen R sin(ωt + φ) (6) Oppgave 24 Skriv på formena sin(ωt)+b cos(ωt) : a) f(t) =sin(t + π/4) b) f(t) =sin(2t + π/3) c) f(t) =cos ( π 2 (t 3/2)) Sammenhengene a = R cos(φ) ogb = R sin(φ) kan illustreres i figur 8, som kan innsees ved åskrivea/r =cos(φ) ogb/r =sin(φ) R b φ a Figur 8: Sammenhengen mellom a, b og R, φ Figuren kan utvides til vilkårlig φ etter samme prinsipp som figur 5. Ved å sette inn tall for a og b og se nøyere på trekantenvidafår kan vi da finne R og φ. For pene verdier kan dette gjøres eksakt, med metoder som tilsvarer de i oppgavene der vi fant eksakte verdier for de trignometriske funksjonene. For andre verdier brukes kalkulator (som dessuten ofte har egen tast eller kommando for denne omregningen, men det tar vi ikke med her). Oppgave 25 Finn fra figur 8 en formel for R, uttrykt ved a og b. Oppgave 26 Skriv på formenr sin(ωt + φ) (bruk figur 8) og skisser: a) f(t) =sin(t)+cos(t) b) f(t) =sin(2πt)+ 3cos(2πt) c) f(t) = sin(t/5) cos(t/5)

14 4 6 SINUS OG COSINUS SOM FUNKSJONER 6.4 De deriverte av sin og cos Derivasjonsregler for sinus og cosinus: (sin()) =cos() (7) (cos()) = sin() (8) Oppgave 27 Deriver følgende funksjoner med hensyn på : a) f() =sin()+cos() b) f() =3sin() 4cos() c ) Bruk kjerneregelen til å derivere f() =cos(a), der a er en konstant. d) f() =cos(2) e ) Bruk kjerneregelen til å derivere f() =sin(a), der a er en konstant. f) f() =sin ( π 80 ) g) f() =sin 2 () (kjerneregelenmåbrukes) h) f() =sin 2 ()+cos 2 () i) f() =sin(/) Oppgave 28 Finn de antideriverte til sin() ogcos() fra formlene for de deriverte. Oppgave 29 Finn de antideriverte til a) f() =2sin()+ 3 cos() b) f() = b cos(b) (b en konstant) c ) Bruk formelen funnet i oppgave 9d til å finne den antideriverte av sin 2 ()

15 5 7 Plot av noen funksjoner med sinus og cosinus Her vises noen eksempler på grafer til funksjoner som inneholder sinus og cosinus. Plottene er laget ved hjelp av dataprogrammet Maple Hvis vi adderer en sinus og cosinus med samme frekvens får vi fortsatt en sinuskurve: f() =sin()+cos(), 2π 2π (Jfr oppgave 25a): - Hvis vi adderer en sinus og cosinusfunksjone med forskjellig frekvens blir summen ikke lenger en sinuskurve: f() =sin()+cos(2), 0 2π : Sinuskurver opptrer i fysikken i forbindelse med svingninger. Mekaniske svingninger er gjerne dempet i praksis, og grunnformen for dempet svingning er Re at sin(ωt+ φ), her representert ved f(t) =e t/0 sin(t), 0 t 6π :

16 6 7 PLOT AV NOEN FUNKSJONER MED SINUS OG COSINUS De to neste grafene er eksempler på Fourierpolynomer, som behandles i faget matematikk 20 på ingeniørstudiet. Enhver (stykkevis kontinuerlig og begrenset) periodisk funksjon kan tilnærmes som en sum av sinuskurver, med frekvenser som er et heltall multiplisert med funksjonens periode. Første eksempel er en sagtannkurve, plottet for 0 6π: f() =sin() sin(3)/9+sin(5)/25 sin(7)/49 + sin(9)/8 : Det andre eksemplet er en firkantkurve for 0 6π (firkantkurven også tegnet inn) : f() =sin()+sin(3)/3+sin(5)/5+sin(7)/7+sin(9)/9 : Hvis vi adderer to sinusfunksjoner med bare litt forskjellige frekvenser får vi et fenomen som kalles svevning. Noen har kanskje erfart dette ved stemming av musikkinstrumenter, eller i fly med to propeller. Fenomenet utnyttes blant annet i radiosignaler (FM- frekvensmodulering ) f() =sin(2)+sin(3), 0 6π : -

Trigonometriske funksjoner (notat til MA0003)

Trigonometriske funksjoner (notat til MA0003) Trigonometriske funksjoner (notat til MA0003) 0. mars 2005 Radianer Gitt et punkt A på en sirkel med radius og sentrum O. La punktet P v flytte seg fra punktet A slik at det beveger seg langs en sirkelbue

Detaljer

Funksjoner (kapittel 1)

Funksjoner (kapittel 1) Ukeoppgaver, uke 34 og 35, i Matematikk 0, Funksjoner og grenser. Høgskolen i Gjøvik Avdeling for ingeniørfag Matematikk 0 Ukeoppgaver uke 34 og 35 Funksjoner (kapittel ) Oppgave Figuren til øyre viser

Detaljer

TRIGONOMETRI KRISTIN LÅGEIDE OG THEA-KAROLINE NOMERSTAD

TRIGONOMETRI KRISTIN LÅGEIDE OG THEA-KAROLINE NOMERSTAD TRIGONOMETRI KRISTIN LÅGEIDE OG THEA-KAROLINE NOMERSTAD Abstract. Oppgaven tar for seg utvalgte temaer innenfor trigonometri, og retter seg mot lærere som skal undervise i fagene 1T og R2. Date: May 7,

Detaljer

Fasit, Implisitt derivasjon.

Fasit, Implisitt derivasjon. Ukeoppgaver, uke 8, i Matematikk, Implisitt derivasjon. 5 Fasit, Implisitt derivasjon. Oppgave Vi kaller den deriverte av y for y, og dette blir første ledd. Andre ledd må deriveres med kjerneregelen,

Detaljer

Innlevering FO929A - Matematikk forkurs HIOA Obligatorisk innlevering 2 Innleveringsfrist Torsdag 25. oktober 2012 kl. 14:30 Antall oppgaver: 16

Innlevering FO929A - Matematikk forkurs HIOA Obligatorisk innlevering 2 Innleveringsfrist Torsdag 25. oktober 2012 kl. 14:30 Antall oppgaver: 16 Innlevering FO929A - Matematikk forkurs HIOA Obligatorisk innlevering 2 Innleveringsfrist Torsdag 25. oktober 2012 kl. 14:30 Antall oppgaver: 16 1 Finn volum og overateareal til følgende gurer. Tegn gjerne

Detaljer

6: Trigonometri. Formlikhet bør kanskje repeteres. Og Pytagoras læresetning. Se nettsidene! Oppgaver Innhold Dato

6: Trigonometri. Formlikhet bør kanskje repeteres. Og Pytagoras læresetning. Se nettsidene! Oppgaver Innhold Dato Plan for hele året: - Kapittel 7: Mars - Kapittel 8: Mars/april 6: Trigonometri - Repetisjon: April/mai - Økter, prøver, prosjekter: Mai - juni Ordet geometri betyr egentlig jord- (geos) måling (metri).

Detaljer

Løsning av utvalgte øvingsoppgaver til Sigma R2 kapittel 1

Løsning av utvalgte øvingsoppgaver til Sigma R2 kapittel 1 Løsning av utvalgte øvingsoppgaver til Sigma R kapittel A. c) tan + sin0 + d) sin60 tan0 A. B. A y sin0 0 sin0 cos0 y 0 y cos0 C 60 D cos AD 0 6 B AD 0 cos 0 CD AD B.6 A tan60 CD BD BD BD tan60 6 AB AD

Detaljer

Heldagsprøve i matematikk. Svar og løsningsforslag

Heldagsprøve i matematikk. Svar og løsningsforslag Heldagsprøve i matematikk Svar og løsningsforslag Mandag 19. desember 005 Forkurset, Høgskolen i Oslo Tillatte hjelpemidler: Lommeregner. Formelsamling i matematikk. Tid: 5 klokketimer Alle svar må være

Detaljer

Sammendrag R2. www.kalkulus.no. 31. mai 2009

Sammendrag R2. www.kalkulus.no. 31. mai 2009 Sammendrag R2 www.kalkulus.no 31. mai 2009 1 1 Trigonometri Definisjon av sinus og cosinus Sirkelen med sentrum i origo og radius 1 kalles enhetssirkelen. La v være en vinkel i grunnstilling, og la P være

Detaljer

Komplekse tall og trigonometri

Komplekse tall og trigonometri Kapittel Komplekse tall og trigonometri Grunnen til at vi har dette kapittelet midt i temaet Differenslikninger er for å kunne løse andre ordens differenslikninger. Da vil vi trenge å løse andregradslikninger.

Detaljer

Finn volum og overateareal til følgende gurer. Tegn gjerne gurene.

Finn volum og overateareal til følgende gurer. Tegn gjerne gurene. Innlevering FO99A - Matematikk forkurs HIOA Obligatorisk innlevering Innleveringsfrist Fredag oktober 01 kl 1:00 Antall oppgaver: 16 Løsningsforslag 1 Finn volum og overateareal til følgende gurer Tegn

Detaljer

Eksamen REA3022 R1, Høsten 2010

Eksamen REA3022 R1, Høsten 2010 Eksamen REA30 R1, Høsten 010 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (0 poeng) a) Deriver funksjonene 1) f x x e x e x

Detaljer

Oppfriskningskurs i matematikk 2008

Oppfriskningskurs i matematikk 2008 Oppfriskningskurs i matematikk 2008 Marte Pernille Hatlo Institutt for matematiske fag, NTNU 4.-9. august 2008 Velkommen! 2 Temaer Algebra Trigonometri Funksjoner og derivasjon Integrasjon Eksponensial-

Detaljer

SAMMENDRAG OG FORMLER

SAMMENDRAG OG FORMLER SAMMENDRAG OG FORMLER SAMMENDRAG OG FORMLER Nye Mega 8A Kapittel A GEOMETRI LINJE, LINJESTYKKE OG STRÅLE linje stråle linjestykke VINKLER VINKELBEIN OG TOPPUNKT En vinkel har et toppunkt. Denne vinkelen

Detaljer

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.

Detaljer

SAMMENDRAG OG FORMLER. Nye Mega 9A og 9B

SAMMENDRAG OG FORMLER. Nye Mega 9A og 9B SAMMENDRAG OG FORMLER Nye Mega 9A og 9B 1 Sammendrag og formler Nye Mega 9A Kapittel A GEOMETRI Regulære mangekanter Når alle sidene er like lange og alle vinklene er like store i en mangekant, sier vi

Detaljer

Lærerveiledning. Oppgave 1. Hva er arealet av det grå området i figuren? Tips til veiledning:

Lærerveiledning. Oppgave 1. Hva er arealet av det grå området i figuren? Tips til veiledning: Oppgave 1 Hva er arealet av det grå området i figuren? A 3 B 5 C 6 D 9 E 1 Hva slags geometriske figurer er det grå området er sammensatt av? Finn grå områder som er like store. Tenke dere de mørke bitene

Detaljer

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.

Detaljer

Fasit, Kap : Derivasjon 2.

Fasit, Kap : Derivasjon 2. Ukeoppgaver, uke 37, i Matematikk 10, Kap. 3.5-3.8: Derivasjon. 1 Fasit, Kap. 3.5-3.8: Derivasjon. Oppgave 1 a) f (x) =x. Denne eksisterer over alt (det er vanligvis punkter med null i nevner som kan skaffe

Detaljer

Kapittel 20 GEOMETRI. Hvilke figurer har vi her? Kunne bonden brukt en oppdeling med færre figurer?

Kapittel 20 GEOMETRI. Hvilke figurer har vi her? Kunne bonden brukt en oppdeling med færre figurer? Kapittel 0 GEOMETRI Hvilke figurer har vi her? Kunne bonden brukt en oppdeling med færre figurer? Kapittel 0 GEOMETRI Rektangler b Areal = l b l m m = m m = 6 m Kvadrat s Areal = s s = s s m m = m = 9

Detaljer

Løsningsforslag. a) Løs den lineære likningen (eksakt!) 11,1x 1,3 = 2 7. LF: Vi gjør om desimaltallene til brøker: x =

Løsningsforslag. a) Løs den lineære likningen (eksakt!) 11,1x 1,3 = 2 7. LF: Vi gjør om desimaltallene til brøker: x = Prøve i FO99A - Matematikk Dato: 1. desember 014 Målform: Bokmål Antall oppgaver: 8 (0 deloppgaver) Antall sider: 3 Vedlegg: Formelsamling Hjelpemiddel: Kalkulator Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver

Detaljer

Oppgave 1. Del A. (i) Skriv de to desimaltallene 0, 7 og 3, 12 som vanlig brøk og forkort hvis mulig. som desimaltall. 3x 6

Oppgave 1. Del A. (i) Skriv de to desimaltallene 0, 7 og 3, 12 som vanlig brøk og forkort hvis mulig. som desimaltall. 3x 6 Oppgave 1 (i) Skriv de to desimaltallene 0, 7 og 3, 12 som vanlig brøk og forkort hvis mulig. (ii) Skriv 314 100 og 4 5 (iii) Forkort brøkene som desimaltall. 12 15 og 3x 6 9x. (iv) Sorter disse seks tallene

Detaljer

Løsningsforslag Matematikk for ungdomstrinnet Del 1, Modul 1, 4MX130UM1-K

Løsningsforslag Matematikk for ungdomstrinnet Del 1, Modul 1, 4MX130UM1-K Løsningsforslag Matematikk for ungdomstrinnet Del 1, Modul 1, 4MX130UM1-K ORDINÆR EKSAMEN 11.1.009 Oppgave 1 a) En følge av parallellaksiomet er at samsvarende vinkler ved parallelle linjer er like store.

Detaljer

Løsningsforslag. 7(x + 1/2) 5 = 5/6. 7x = 5/ /2 = 5/6 + 3/2 = 14/6 = 7/3. Løsningen er x = 1/3. b) Finn alle x slik at 6x + 1 x = 5.

Løsningsforslag. 7(x + 1/2) 5 = 5/6. 7x = 5/ /2 = 5/6 + 3/2 = 14/6 = 7/3. Løsningen er x = 1/3. b) Finn alle x slik at 6x + 1 x = 5. Prøve i FO99A - Matematikk Dato: 3. desember 01 Målform: Bokmål Antall oppgaver: 5 (0 deloppgaver) Antall sider: Vedlegg: Formelsamling Hjelpemiddel: Kalkulator Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver

Detaljer

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.

Detaljer

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.

Detaljer

DEL 1 Uten hjelpemidler

DEL 1 Uten hjelpemidler DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (1 poeng) Regn ut og skriv svaret på standardform 1 1,8 10 0,0005 Oppgave (3 poeng) A B C D E F G H I J K L På tallinjen ovenfor er det merket av 1 punkter. Hvert av tallene

Detaljer

Heldagsprøve i R1-8.mai 2009 DEL 1

Heldagsprøve i R1-8.mai 2009 DEL 1 Oppgave 1 Heldagsprøve i R1-8.mai 2009 Løsningsskisser DEL 1 I et koordinatsystem med origo O 0,0 har vi gitt punktene A 1,3, B 3,2 og C t,5. 1. Bestem t slik at AB AC. 2. Bestem t slik at AB AC. 3. Bestem

Detaljer

Prøve i FO929A - Matematikk Dato: 15. november 2012 Hjelpemiddel: Kalkulator

Prøve i FO929A - Matematikk Dato: 15. november 2012 Hjelpemiddel: Kalkulator Prøve i FO929A - Matematikk Dato: 15. november 2012 Hjelpemiddel: Kalkulator Oppgave 1 a) Finn alle løsningene til likningen 10x 100 = 90x 1. b) Finn alle løsninger v til likningen slik at 0 v 4π. 2 cos

Detaljer

DEL 1 Uten hjelpemidler

DEL 1 Uten hjelpemidler DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (0 poeng) a) Deriver funksjonene f = e 1) ( ) ) g( ) = 3 1 b) Vis at = 1 er en løsning av likningen 3 6 + 6= 0 Bruk polynomdivisjon til å finne de andre løsningene. c)

Detaljer

Eksamen i FO929A Matematikk Underveiseksamen Dato 30. mars 2007 Tidspunkt Antall oppgaver 4 Sirkelskive i radianer.

Eksamen i FO929A Matematikk Underveiseksamen Dato 30. mars 2007 Tidspunkt Antall oppgaver 4 Sirkelskive i radianer. Eksamen i FO99A Matematikk Underveiseksamen Dato 30. mars 007 Tidspunkt 09.00-14.00 Antall oppgaver 4 Vedlegg Tillatte hjelpemidler Sirkelskive i radianer Godkjent kalkulator Godkjent formelsamling Oppgave

Detaljer

Løsning, Oppsummering av kapittel 10.

Løsning, Oppsummering av kapittel 10. Ukeoppgaver, uke 36 Matematikk 3, Oppsummering av kapittel. Løsning, Oppsummering av kapittel. Oppgave a) = +, = + z og z =z +. b) f(,, z) = +, + z,z + så (f(, 3, ) = +3, 3+, +3=7, 3, 5 c ) Gradienten

Detaljer

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.

Detaljer

Eksamen REA3022 R1, Våren 2010

Eksamen REA3022 R1, Våren 2010 Eksamen REA0 R1, Våren 010 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 a) Deriver funksjonene 1) ln f 1 f ) g ln ln ln 1 4e

Detaljer

Eksamen REA3022 Matematikk R1. Nynorsk/Bokmål

Eksamen REA3022 Matematikk R1. Nynorsk/Bokmål Eksamen 30.11.010 REA30 Matematikk R1 Nynorsk/Bokmål Bokmål Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemidler på Del 1: Hjelpemidler på Del : Framgangsmåte: 5 timer: Del 1 skal leveres inn etter timer. Del

Detaljer

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.

Detaljer

Analyse og metodikk i Calculus 1

Analyse og metodikk i Calculus 1 Analyse og metodikk i Calculus 1 Fredrik Göthner og Raymi Eldby Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet 3. desember 01 1 Innhold Forord 3 1 Vurdering av grafer og funksjoner 4 1.1 Hva er en funksjon?.........................

Detaljer

11 Nye geometriske figurer

11 Nye geometriske figurer 11 Nye geometriske figurer Det gylne snitt 1 a) Mål lengden og bredden på et bank- eller kredittkort. Regn ut forholdet mellom lengden og bredden. Hvilket tall er forholdet nesten likt, og hva kaller vi

Detaljer

R2 kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka

R2 kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka R kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka E Bruker formelen cos 36 cos( 8 ) E sin 8 v og sin8 5 cos v sin sin8 5 5 6 5 5 8 5 5 8 6 5 8 6 5 8 8 3 5 5 5 a f ( ) sin 5 cos f ( ) 5cos

Detaljer

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.

Detaljer

Faktor terminprøve i matematikk for 10. trinn

Faktor terminprøve i matematikk for 10. trinn Faktor terminprøve i matematikk for 10. trinn Høsten 201 Bokmål Navn: Gruppe: Prøveinformasjon Prøvetid: Hjelpemidler på Del 1 og 2: Framgangsmåte og forklaring: 5 timer totalt. Del 1 og Del 2 blir utdelt

Detaljer

Årsprøve i matematikk for 9. trinn Kannik skole

Årsprøve i matematikk for 9. trinn Kannik skole Årsprøve i matematikk for 9. trinn Kannik skole Våren 2013 bokmål Navn: Gruppe: Informasjon Oppgavesettet består av to deler hvor alle oppgaver skal besvares. Del 1 og del 2 blir delt ut samtidig, men

Detaljer

SALG > KOSTNAD når mer enn 100 produkt selges. Virksomheten går da med overskudd.

SALG > KOSTNAD når mer enn 100 produkt selges. Virksomheten går da med overskudd. SALG > KOSTNAD y = 20x Salg y = 0 000 Kostnad 20x > 0 000 SALG > KOSTNAD mer enn 00 produkt selges. Virksomheten går da med overskudd. Slik kan ulikheter løses grafisk En ulikhet består av en venstre side,

Detaljer

Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Våren 2012

Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Våren 2012 Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Våren 01 DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (18 poeng) a) Regn ut 1) 8 33 10 1 833 8 694 1 ) 1 9 3 3 1 3 3 3 33 3 3 3 6 6 3 3 1 3 6 4 3 3 81 b) Regn ut og skriv svaret på standardform

Detaljer

Skipsoffisersutdanningen i Norge. Innholdsfortegnelse. 00TM02G - Emneplan for: Matematikk på operativt nivå

Skipsoffisersutdanningen i Norge. Innholdsfortegnelse. 00TM02G - Emneplan for: Matematikk på operativt nivå Skipsoffisersutdanningen i Norge 00TM02G - Emneplan for: Matematikk på operativt nivå Generelt Utarbeidet av: Maritime fagskoler i Norge Godkjent av: Anne Sjøvold Versjon: 1.02 Gjelder fra: 11.08.2016

Detaljer

Eksamen REA3024 Matematikk R2

Eksamen REA3024 Matematikk R2 Eksamen 03.1.009 REA304 Matematikk R Nynorsk/Bokmål Bokmål Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemidler på Del 1: Hjelpemidler på Del : Bruk av kilder: Vedlegg: Framgangsmåte: Veiledning om vurderingen:

Detaljer

Deriver funksjonene. Gjør greie for hvilke derivasjonsregler du bruker.

Deriver funksjonene. Gjør greie for hvilke derivasjonsregler du bruker. Heldagsprøve i matematikk, 1. desember 006 Forkurs for Ingeniørutdanningen ved HiO, 006/07 Antall oppgaver: Antall timer: 5 timer fra klokken 0900 til klokken 100. Hjelpemidler: Kalkulator og Formelsamling

Detaljer

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.

Detaljer

R1 Eksamen høsten 2009 Løsning

R1 Eksamen høsten 2009 Løsning R1 Eksamen, høsten 009 Løsning R1 Eksamen høsten 009 Løsning Del 1 Oppgave 1 3 a) Deriver funksjonen f( x) 5e x f( x) 5e 3 15e 3 x 3x b) Deriver funksjonen gx x 3 ln x x x g( x) 3x ln x x 3 x 3ln 1 3 c)

Detaljer

Hjelpemidler på Del 2 Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.

Hjelpemidler på Del 2 Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.

Detaljer

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.

Detaljer

EKSAMEN. Hans Petter Hornæs og Britt Rystad

EKSAMEN. Hans Petter Hornæs og Britt Rystad KANDIDATNUMMER: EKSAMEN FAGNAVN: Matematikk. FAGNUMMER: F74A EKSAMENSDATO: Mandag. august 2 SENSURFRIST:. september 2 KLASSE:. klassene, ingenørutdanning. TID: kl. 9. 4.. FAGLÆRER: Hans Petter Hornæs og

Detaljer

Eksamen AA6524 Matematikk 3MX Elevar/Elever AA6526 Matematikk 3MX Privatistar/Privatister. Nynorsk/Bokmål

Eksamen AA6524 Matematikk 3MX Elevar/Elever AA6526 Matematikk 3MX Privatistar/Privatister. Nynorsk/Bokmål Eksamen 05.12.2007 AA6524 Matematikk 3MX Elevar/Elever AA6526 Matematikk 3MX Privatistar/Privatister Nynorsk/Bokmål Oppgave 1 a) Deriver funksjonen: f x 2 ( ) = cos( x + 1) b) Løs likningen og oppgi svaret

Detaljer

Eksamen i FO929A Matematikk Underveiseksamen Dato 14. desember 2006 Tidspunkt Antall oppgaver 4. Løsningsforslag

Eksamen i FO929A Matematikk Underveiseksamen Dato 14. desember 2006 Tidspunkt Antall oppgaver 4. Løsningsforslag Eksamen i FO99A Matematikk Underveiseksamen Dato. desember 6 Tidspunkt 9. -. Antall oppgaver Vedlegg Tillatte hjelpemidler Ingen Godkjent kalkulator Godkjent formelsamling Oppgave Vi løser likningene ved

Detaljer

Forkurs, Avdeling for Ingeniørutdanning

Forkurs, Avdeling for Ingeniørutdanning Eksamen i FO99A Matematikk Ordinær Eksamen Dato 8. mai 8 Tidspunkt 9. - 14. Antall oppgaver 4 Vedlegg Formelsamling Tillatte hjelpemidler Godkjent kalkulator Løsningsforslag Oppgave 1 Deriver følgende

Detaljer

Lærerveiledning. Oppgave 1. Tallene på figuren viser omkretsen av hver av de fire små trekantene. Hva er omkretsen av den store trekanten?

Lærerveiledning. Oppgave 1. Tallene på figuren viser omkretsen av hver av de fire små trekantene. Hva er omkretsen av den store trekanten? Oppgave 1 Tallene på figuren viser omkretsen av hver av de fire små trekantene. Hva er omkretsen av den store trekanten? A 43 B 59 C 55 D 67 E 91 Hvilke linjestykker er en del av omkretsen til den store

Detaljer

Oppgavesett med fasit

Oppgavesett med fasit TIL ENT3R ELEVENE Oppgavesett med fasit Tommy Odland Sist oppdatert: 1. november 2013 http://is.gd/ent3rknarvik http://tommyodland.com/ent3r 1 INNHOLD 1 Om dette dokumentet 3 1.1 Formål og oppbygging..................................

Detaljer

Løsningsforslag 1T Eksamen. Høst 27.01.2012. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik

Løsningsforslag 1T Eksamen. Høst 27.01.2012. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Løsningsforslag 1T Eksamen 6 Høst 27.01.2012 Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Sammendrag De fleste forlagene som gir ut lærebøker til den videregående skolen, gir ut løsningsforslag til tidligere

Detaljer

DEL 1. Uten hjelpemidler. Oppgave 1 (2 poeng) Oppgave 2 (4 poeng) Oppgave 3 (4 poeng) I er en konstant. Deriver funksjonene

DEL 1. Uten hjelpemidler. Oppgave 1 (2 poeng) Oppgave 2 (4 poeng) Oppgave 3 (4 poeng) I er en konstant. Deriver funksjonene DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 ( poeng) Deriver funksjonene 3 a) f( x) 5x x 5 b) g( x) x e x Oppgave (4 poeng) Polynomfunksjonen P er gitt ved 3 P( x) x x 10x 8, DP a) Faktoriser P( x ) i førstegradsfaktorer.

Detaljer

1 Å konstruere en vinkel på 60º

1 Å konstruere en vinkel på 60º 1 Å konstruere en vinkel på 60º Vi skal konstruere en 60º vinkel med toppunkt i A. Høyre vinkelbein skal ligge langs linja l. Slå en passende sirkelbue om A. Sirkelbuen skjærer l i et punkt B. Slå en sirkelbue

Detaljer

Fremdriftplan. I går. I dag. 1.1 Funksjoner og deres grafer 1.2 Operasjoner av funksjoner

Fremdriftplan. I går. I dag. 1.1 Funksjoner og deres grafer 1.2 Operasjoner av funksjoner 1 Fremdriftplan I går 1.1 Funksjoner og deres grafer 1.2 Operasjoner av funksjoner I dag 1.3 Trigonometriske funksjoner 1.4 Eksponentialfunksjoner 1.5 Omvendte funksjoner, logaritmiske funksjoner, inverse

Detaljer

De hele tall har addisjon, multiplikasjon, subtraksjon og lineær ordning, men ikke divisjon.

De hele tall har addisjon, multiplikasjon, subtraksjon og lineær ordning, men ikke divisjon. Innledning til Matematikk Hans Petter Hornæs, hans.hornaes@hig.no Det er ofte vanskelig å komme i gang et fag. Innledningsvis er det gjerne en del grunnleggende begreper som må på plass. Mange studenter

Detaljer

DEL 1. Uten hjelpemidler. Oppgave 1 (3 poeng) Oppgave 2 (3 poeng) Oppgave 3 (4 poeng) Oppgave 4 (4 poeng) Deriver funksjonene. b) g( x) 5e sin(2 x)

DEL 1. Uten hjelpemidler. Oppgave 1 (3 poeng) Oppgave 2 (3 poeng) Oppgave 3 (4 poeng) Oppgave 4 (4 poeng) Deriver funksjonene. b) g( x) 5e sin(2 x) DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (3 poeng) Deriver funksjonene a) f( x) cos(3 x) x b) g( x) 5e sin( x) Oppgave (3 poeng) Bestem integralene a) b) 3 ( )d e 1 x x x x ln x dx Oppgave 3 (4 poeng) a) Løs

Detaljer

Kapittel 5. Lengder og areal

Kapittel 5. Lengder og areal Kapittel 5. Lengder og areal Dette kapitlet handler om å: Beregne sider i rettvinklede trekanter med Pytagoras setning. Beregne omkrets av trekanter, firkanter og sirkler. Beregne areal av enkle figurer,

Detaljer

Geometri. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne

Geometri. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne 8 1 Geometri Mål for opplæringen er at eleven skal kunne bruke geometri i planet til å analysere og løse sammensatte teoretiske og praktiske problemer knyttet til lengder, vinkler og areal 1.1 Vinkelsummen

Detaljer

Eksamen i FO929A Matematikk Underveiseksamen Dato 9. desember 2008 Tidspunkt Antall oppgaver 6. Tillatte hjelpemidler Godkjent kalkulator

Eksamen i FO929A Matematikk Underveiseksamen Dato 9. desember 2008 Tidspunkt Antall oppgaver 6. Tillatte hjelpemidler Godkjent kalkulator Oppgave 1 Eksamen i FO929A Matematikk Underveiseksamen Dato 9. desember 2008 Tidspunkt 09.00-14.00 Antall oppgaver 6 Vedlegg Formelsamling Tillatte hjelpemidler Godkjent kalkulator Løsningsforslag a) Likningen

Detaljer

side 1 av 8 Fysikk 3FY (Alf Dypbukt) Rune, Jon Vegard, Øystein, Erlend, Marthe, Hallvard, Anne Berit, Lisbeth

side 1 av 8 Fysikk 3FY (Alf Dypbukt) Rune, Jon Vegard, Øystein, Erlend, Marthe, Hallvard, Anne Berit, Lisbeth side 1 av 8 Fysikk 3FY (Alf Dypbukt) Racerbilkjøring Mål: Regne ut alt vi kan ut i fra de målingene vi tar. Innledning: I denne rapporten har vi gjort diverse utregninger, basert på tall vi har fra et

Detaljer

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1T. Maple

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1T. Maple Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Maple Innhold 1 Om Maple 4 1.1 Tillegg til Maple................................ 4 2 Regning 5 2.1 Tallregning...................................

Detaljer

Enkel matematikk for økonomer 1. Innhold. Parenteser, brøk og potenser. Ekstranotat, februar 2015

Enkel matematikk for økonomer 1. Innhold. Parenteser, brøk og potenser. Ekstranotat, februar 2015 Ekstranotat, februar 205 Enkel matematikk for økonomer Innhold Enkel matematikk for økonomer... Parenteser, brøk og potenser... Funksjoner...4 Tilvekstform (differensialregning)...5 Nyttige tilnærminger...8

Detaljer

Sammendrag kapittel 9 - Geometri

Sammendrag kapittel 9 - Geometri Sammendrag kapittel 9 - Geometri Absolutt vinkelmål (radianer) Det absolutte vinkelmålet til en vinkel v, er folholdet mellom buelengden b, og radien r. Buelengde v = b r Med v i radianer! b = r v Omregning

Detaljer

En periode er fra et punkt på en kurve og til der hvor kurven begynner å gjenta seg selv.

En periode er fra et punkt på en kurve og til der hvor kurven begynner å gjenta seg selv. 6.1 BEGREPER L SNSKRVE 1 6.1 BEGREPER L SNSKRVE il sinuskurven i figur 6.1.1 er det noen definisjoner som blir brukt i vekselstrømmen. Figur 6.1.1 (V) mid t (s) min Halvperiode Periode PERODE (s) En periode

Detaljer

0.1 Kort introduksjon til komplekse tall

0.1 Kort introduksjon til komplekse tall Enkel introduksjon til matnyttig matematikk Vi vil i denne innledningen introdusere litt matematikk som kan være til nytte i kurset. I noen tilfeller vil vi bare skrive opp uttrykk uten å komme inn på

Detaljer

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.

Detaljer

Kapittel 7. Lengder og areal

Kapittel 7. Lengder og areal Kapittel 7. Lengder og areal Dette kapitlet handler om å: Beregne sider i rettvinklede trekanter med Pytagoras setning. Beregne omkrets av trekanter, firkanter og sirkler. Beregne areal av enkle figurer,

Detaljer

En (reell) funksjon f fra en (reell) mengde D er en regel som til hvert element x D tilordner en unik verdi y = f (x).

En (reell) funksjon f fra en (reell) mengde D er en regel som til hvert element x D tilordner en unik verdi y = f (x). Funksjoner En (reell) funksjon f fra en (reell) mengde D er en regel som til hvert element x D tilordner en unik verdi y = f (x). Mengden D kalles definisjonsmengden (eng.: domain) til f. Merknad Dersom

Detaljer

Funksjoner Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 19. august 2010

Funksjoner Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 19. august 2010 Funksjoner Forelesning i Matematikk TMA400 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 9. august 200 2 Funksjon som en maskin x Funksjon f f(x) 3 Definisjon- og verdimengde x f(x) 4 Funksjon som en

Detaljer

MA1410: Analyse - Notat om differensiallikninger

MA1410: Analyse - Notat om differensiallikninger Høgskolen i Agder Avdeling for realfag MA40: Analyse - Notat om differensiallikninger Dato: Høsten 2000 Merknader: Dette notatet kommer i tillegg til 4.2 og 6. i læreboka. Ma 40: Analyse skal inneholde

Detaljer

Løsningsforslag til underveisvurdering i MAT111 vår 2005

Løsningsforslag til underveisvurdering i MAT111 vår 2005 Løsningsforslag til underveisvurdering i MAT111 vår 5 Beregn grenseverdien Oppgave 1 (x 1) ln x x x + 1 Svar: Merk at nevneren er lik (x 1), så vi kan forkorte (x 1) oppe og nede og får (x 1) ln x ln x

Detaljer

Eksamen i matematikk. Hvordan har eksamen i R1 høsten 2011 endret all læreplantolkning?

Eksamen i matematikk. Hvordan har eksamen i R1 høsten 2011 endret all læreplantolkning? Eksamen i matematikk Hvordan har eksamen i R1 høsten 2011 endret all læreplantolkning? Samarbeidet udir/forlag Før reform 94: En representant fra hvert matematikkverk var med på å lage eksamensoppgavene

Detaljer

FAGPLANER Breidablikk ungdomsskole FAG: Matematikk 8. trinn

FAGPLANER Breidablikk ungdomsskole FAG: Matematikk 8. trinn FAGPLANER Breidablikk ungdomsskole FAG: Matematikk 8. trinn Områder Kompetansemål Operasjonaliserte læringsmål Tema/opplegg (eksempler, forslag), ikke obligatorisk Vurderingskriterier vedleggsnummer Samanlikne

Detaljer

R2 kapittel 3 Funksjoner. Løsninger til oppgavene i boka Når sin x = 1 har f( x ) sin minste verdi. π 2. 2 k

R2 kapittel 3 Funksjoner. Løsninger til oppgavene i boka Når sin x = 1 har f( x ) sin minste verdi. π 2. 2 k R kapittel Funksjoner Løsninger til oppgavene i boka. a f( ) = 7 + sin, D f = R Når sin =, har f( ) sin største verdi. sin = for = + k f( ) maks = 7+ = 8 Toppunktene på grafen til f er, Z k +,8 k. Når

Detaljer

EKSAMEN. Ingeniørstudenter som tar opp igjen eksa- men (6stp.).

EKSAMEN. Ingeniørstudenter som tar opp igjen eksa- men (6stp.). KANDIDATNUMMER: EKSAMEN FAGNAVN: Matematikk FAGNUMMER: F74A EKSAMENSDATO: 6. desember 24 SENSURFRIST: 6. januar 25 Ingeniørstudenter som tar opp igjen eksa- KLASSE: men 6stp.). TID: kl. 9. 4.. FAGLÆRER:

Detaljer

I Katalog velger du: Ny eksamensordning i matematikk våren 2015

I Katalog velger du: Ny eksamensordning i matematikk våren 2015 CAS teknikker H-P Ulven 10.12.2014 Innledning Våren 2015 gjelder nye regler for bruk av digitale hjelpemidler: Når det står "Bruk CAS", så må kandidaten bruke CAS, og når det står "Bruk graftegner", så

Detaljer

Faktor terminprøve i matematikk for 9. trinn

Faktor terminprøve i matematikk for 9. trinn Faktor terminprøve i matematikk for 9. trinn Våren 2013 bokmål Navn: Gruppe: Informasjon Oppgavesettet består av to deler hvor alle oppgaver skal besvares. Del 1 og del 2 blir delt ut samtidig, men del

Detaljer

Eksempel på løsning 2011 MAT1013 Matematikk 1T Sentralt gitt skriftlig eksamen Høsten 2010 Bokmål

Eksempel på løsning 2011 MAT1013 Matematikk 1T Sentralt gitt skriftlig eksamen Høsten 2010 Bokmål Eksempel på løsning 011 MAT1013 Matematikk 1T Sentralt gitt skriftlig eksamen Høsten 010 Bokmål MAT1013 Matematikk 1T, Høst 010 Del 1 Uten hjelpemidler Kun vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål

Detaljer

Tempoplan: Kapittel 4: 8/11 14/12. Kapittel 5: 2/1 1/2. Kapittel 6: 1/2 1/3. Kapittel 7: 1/3 1/4. Resten av tida repetisjon og prøver.

Tempoplan: Kapittel 4: 8/11 14/12. Kapittel 5: 2/1 1/2. Kapittel 6: 1/2 1/3. Kapittel 7: 1/3 1/4. Resten av tida repetisjon og prøver. Tempoplan: Kapittel 4: 8/11 14/1. Kapittel 5: /1 1/. Kapittel 6: 1/ 1/3. Kapittel 7: 1/3 1/4. Resten av tida repetisjon og prøver. 3: Vektorer Dette kapitlet er meget spesielt og annerledes enn den matematikken

Detaljer

Bokmål. Eksamensinformasjon

Bokmål. Eksamensinformasjon Eksamen 27052010 REA022 Matematikk R1 Nynorsk/Bokmål Bokmål Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemidler på del 1: Hjelpemidler på del 2: Vedlegg: Framgangsmåte: Veiledning om vurderingen: 5 timer: Del

Detaljer

være en rasjonal funksjon med grad p < grad q. La oss skrive p(x) (x a)q(x) = A

være en rasjonal funksjon med grad p < grad q. La oss skrive p(x) (x a)q(x) = A MA 4: Analyse Uke 46, http://homehiano/ aasvaldl/ma4 H Høgskolen i Agder Avdeling for realfag Institutt for matematiske fag Oppgave 73: Først skal vi delbrøkoppspalte (se Eksempel 5 side 558 i boka) 3t

Detaljer

Bevis i Geometri. 23. April, Kristian Ranestad Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo

Bevis i Geometri. 23. April, Kristian Ranestad Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo Kristian Ranestad Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 23. April, 2012 Matematikk - å regne - å resonnere/argumentere Geometri -hvorfor? Argumentasjon og bevis, mer enn regning etter oppskrifter.

Detaljer

En innføring i Fourrierrekker

En innføring i Fourrierrekker En innføring i Fourrierrekker Matematiske metoder 2 Kristian Wråli, Sivert Ringstad, Mathias Hedberg 0 Innholdsfortegnelse Kapittel Side 1 Innledning 2 1.0 Introduksjon 2 1.1 Maple 2 2 Teori 7 2.0 Introduksjon

Detaljer

Løsningsforslag for Eksamen i Matematikk 3MX - Privatister - AA6526 16.05.2008. eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag for Eksamen i Matematikk 3MX - Privatister - AA6526 16.05.2008. eksamensoppgaver.org Løsningsforslag for Eksamen i Matematikk 3MX - Privatister - AA656 16.05.008 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for eksamen i matematikke 3MX er gratis, og

Detaljer

Trigonometri, regulære mangekanter og stjerner

Trigonometri, regulære mangekanter og stjerner Trigonometri, regulære mangekanter og stjerner Nybegynner Processing Introduksjon Nå som du kan tegne mangekanter (hvis du ikke har gjort leksjonen om mangekanter, bør du gjøre dem først), skal vi se på

Detaljer

Ubestemt integrasjon.

Ubestemt integrasjon. Ukeoppgaver, uke 4, i Matematikk 0, Ubestemt integrasjon. Høgskolen i Gjøvik Avdeling for ingeniørfag Matematikk 0 Ukeoppgaver uke 4 I løpet av uken blir løsningsforslag lagt ut på emnesiden http://www.hig.no/toel/allmennfag/emnesider/rea04

Detaljer

Hans Petter Hornæs,

Hans Petter Hornæs, Innledning til Matematikk Hans Petter Hornæs, hans.hornaes@hig.no Det er ofte vanskelig å komme i gang et fag. Innledningsvis er det gjerne en del grunnleggende begreper som må på plass. Mange studenter

Detaljer

NORGES INFORMASJONSTEKNOLOGISKE HØGSKOLE

NORGES INFORMASJONSTEKNOLOGISKE HØGSKOLE Oppgavesettet består av 6 (seks) sider. NORGES INFORMASJONSTEKNOLOGISKE HØGSKOLE Matematikk R1 GEOMETRI OG VEKTORER Tillatte hjelpemidler: Alle Varighet: Ubegrenset Dato: 10.4 (Innleveringsfrist) Fagansvarlig:

Detaljer

Skipsoffisersutdanningen i Norge. Innholdsfortegnelse. 00TM01G - Emneplan for: Matematikk på operativt nivå

Skipsoffisersutdanningen i Norge. Innholdsfortegnelse. 00TM01G - Emneplan for: Matematikk på operativt nivå Skipsoffisersutdanningen i Norge 00TM01G - Emneplan for: Matematikk på operativt nivå Generelt Utarbeidet av: Maritime fagskoler i Norge Godkjent av: Linda Gran Kalve Versjon: 2.01 Gjelder fra: 27.09.2016

Detaljer

Funksjoner Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 18. august 2011

Funksjoner Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 18. august 2011 Funksjoner Forelesning i Matematikk TMA400 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 8. august 20 2 Definisjon av funksjon Definisjon En funksjon er en regel f som til et hvert tall i definisjonsmengden

Detaljer

Sammendrag R1. 26. januar 2011

Sammendrag R1. 26. januar 2011 Sammendrag R1 26. januar 2011 1 1 Notasjon Implikasjon Vi skriver A B hvis påstanden A impliserer B. Det vil si at hvis påstand A er riktig, så er påstand B riktig. Ekvivalens Vi skriver A B hvis to påstander

Detaljer

Geometri Verktøylinja i GeoGebra Konstruksjon / tegning Konstruksjonsforklaring Normaler, paralleller og vinkler Mangekant, areal og omkrets

Geometri Verktøylinja i GeoGebra Konstruksjon / tegning Konstruksjonsforklaring Normaler, paralleller og vinkler Mangekant, areal og omkrets 2 Geometri Verktøylinja i GeoGebra Konstruksjon / tegning Konstruksjonsforklaring Normaler, paralleller og vinkler Mangekant, areal og omkrets Eksamensoppgaver 0 Innholdsfortegnelse INTRODUKSJON GEOGEBRA...

Detaljer

Funksjoner, repetisjonsoppgaver.

Funksjoner, repetisjonsoppgaver. Repetisjonsoppgaver, uke og, i Matematikk 0, Funksjoner, repetisjonsoppgaver. Høgskolen i Gjøvik Avdeling for ingeniørfag Matematikk 0 Ukeoppgaver uke og Funksjoner, repetisjonsoppgaver. Oppgave Funksjoner

Detaljer