Trigonometri. Høgskolen i Gjøvik Avdeling for teknologi. Notat til repetisjonskurs i matematikk. Hans Petter Hornæs. E-post: hans.hornaes@hig.

Transkript

1 Høgskolen i Gjøvik Avdeling for teknologi Versjon fra 2. august Trigonometri Notat til repetisjonskurs i matematikk. Hans Petter Hornæs E-post: hans.hornaes@hig.no -

2 Dette heftet kan brukes både som enn innføring og en repetisjon i grunnleggende trigonometri. Heftet er skrevet for bruk i repetisjonskurs i matematikk ved Høgskolen i Gjøvik. Dette er et kurs før oppstart av de ordinære studiene. For studenter med full fordypning i matematikk fra videregående skole er det repetisjon. For studenter med mindre matematikkgrunnlag vil deler av dette kurset være nytt stoff, som blir behandlet i matematikkfagene på realfags- og data og multimediastudiet. Det er imidlertid erfaringsmessig noe vanskelig, så det vil være nyttig åfådet i dobbelt dose. Heftet er opprinnelig skrevet i 999, og noe revidert i Det er skrevet med dokumentbehandlingssystemet L A TEX, og figurene er laget ved hjelp av dataprogrammet Maple.

3 3 Absolutt vinkelmål (radianer) Det mest kjente vinkelmålet er grader, der vi deler sirkelen inn i 360. Tallet 360 er nokså tilfeldig valgt, men en av fordelene er jo at det er delelig på mange tall (f.eks 2, 3, 4, 5, 6, 0, 2). Et annet vinkelmål som blant annet brukes en del i landmåling er nygrader eller gon, som deler sirkelen inn i 400 like deler. Vi skal her se på et annet naturlig vinkelmål som har matematiske fordeler bl.a. i forbindelse med derivasjon og integrasjon. Dette kalles absolutt vinkelmål, og størrelsen (som erstatter grader) kalles radianer.. Definisjon av radianer Hvis vi har en tegning av en vinkel (som to vinkelbein som møtes) kan vi slå en sirkelbue med vilkårlig radius r som i figur til venstre, og få en sirkelsektor. Hvis vi kaller lengden av sirkelbuen mellom vinkelbena for l kan vi definere vinkelen i radianer som forholdet l/r, forholdet mellom lengden av buestykket og radien i sirkeldelen. Dette fungerer som definisjon siden forholdet her er uavhenging av hvor stor vi tilfeldigvis valgte r. Dette er antydet i figur til høyre, der l/r =l2/r2. r l r2 l2 r l v v Figur : Definisjonsfigur for vinkel i radianer Hvis vi har benevning (f.eks cm) på lengdene l og r blir denne forkortet bort, slik at vinkelen i radianer er ubenevnt. Avogtilønskerviå presisere at vinkelen er målt i radianer, og kan da bruke benevningen rad. Siden omkretsen av en sirkel med radius r er 2πr, vil en hel omdreining være 2πr r =2π = iradianer. En 90 -vinkel er en fjerdedels omdreining, så dette tilsvarer 2π 4 = π 2 = Tallet π kommer naturlig inn i mange vinkelmål i radianer, og det er ofte ikke hensiktsmessig å regne det om til desimaltall. For det første vil dette ofte gjøre uttrykkene og sammenhengene uoversiktlig, og for det andre kan det lede til avrundingsfeil vi ikke har så god kontroll over. Gjør det til en vane å uttrykke radianvinkler på formenqπ,derq er en brøk eller et symboluttrykk, når det er mulig (og naturlig). Vi kaller ofte dette eksakt form. Oppgave Finn følgende vinkler som radianer, på eksakt form. Bruk resonnementer og enkle figurer, ikke kalkulator eller omregningsformler 80, 45, 5, 60, 270, 720, 90

4 4 2 DEFINISJON AV SINUS, COSINUS OG TANGENS Oppgave 2 Gjør om følgende vinkler i radianer til vanlige grader: 2π, π, π/6, π/3, π/4, π/0 Hvis v er en vinkel i radianer, og v er den samme vinkelen uttrykt i grader, får vi følgende omregningsformler: π v = 80 v v = 80 π v () Oppgave 3 Fyll ut resten av følgende tabell for omregning mellom grader og radianer: Grad Rad 2π 3 2 π π 4 π 6 π 0 Oppgave 4 a ) Sjekk at formlene i () stemmer for henholdsvis v =2π og v = 360 b) Klarer du å (uformelt) utlede formlene i () på egenhånd? 2 Definisjon av sinus, cosinus og tangens Hovedtemaet i dette notatet er tre størrelser tilordnet en vinkel v, detrigonometriske funksjonene sinus (sin(v), cosinus (cos(v) og tangens (tan(v)). 2. Geometriske definisjoner for vinkler mellom 0 og π/2 Hvis vi har en rettvinklet trekant som i figuren under, der katetene har lengde a og b, hypotenusen har lengde c, ogv er vinkelen mellom kateten med lengde a og hypotenusen, definerer vi Definisjon av sinus : sin(v) = b/c Definisjon av cosinus : cos(v) = a/c (2) Definisjon av tangens : tan(v) = b/a Siden b/c a/c = b a sin(v) er tan(v) = cos(v), som er en alternativ definisjon av tangens. Det finnes også andre trigonometriske funksjoner: cot(v) = a/b, sec(v) = c/b og csc(v) = c/a, mendeskal vi ikke behandle her.

5 2.2 Noen eksakte verdier av cos, sin og tan 5 c b v a Figur 2: Figur til definisjon av trigonometriske funksjoner Oppgave 5 Det finnes ikke noen enkel formel for å regne ut de trigonometriske funksjonene for en gitt vinkel. Vanligvis bruker vi en kalkulator, og får verdien ut som et desimaltall. Forsøk dette med din egen kalkulator for verdiene cos(30 ) sin(30 ) tan(45 ) cos(2 ) sin(3 ) cos() tan(0.75) sin(π/3) cos(π/2) 2.2 Noen eksakte verdier av cos, sin og tan Figur 3 til venstre nedenfor viser en rettvinklet trekant som er et kvadrat delt i to. Der er v =45 = π/4. Hvis katetene har lengde har hypotenusen lengde = 2. En enkel skisse av denne kan brukes til å finne eksakt verdi av trigonometriske funksjoner for v = π/4. 2 π/6 π/4 π/3 Figur3:Figurertilnoeneksakteverdier Figuren til høyre viser en likesidet trekant delt i to. Hvis vi sier siden i hypotenusen er 2, har den korteste kateten lengde, siden det er en halv side i den opprinelige trekanten. Den andre kateten har lengde = 3. Den største spisse vinkelen er v =60 = π/3, siden det er en vinkel i den opprinnelige trekanten, og da blir det igjen 30 = π/6 til den minste vinkelen. Dette kan brukes til å finne eksakte verdier for v = π/3 og v = π/6.

6 6 3 TREKANTBEREGNINGER Oppgave 6 Bruk (blant annet) figurene over til å løse denne oppgaven: a ) Fyll ut tabellen nedenfor med eksakte verdier av sin(v): v 0 π/6 π/4 π/3 π/2 sin(v) b ) Fyll ut tabellen nedenfor med eksakte verdier av cos(v): v 0 π/6 π/4 π/3 π/2 cos(v) c ) Fyll ut tabellen nedenfor med eksakte verdier av tan(v): v 0 π/6 π/4 π/3 π/2 tan(v) 3 Trekantberegninger Et klassisk anvendelsesområde for trigonometri er å beregne sider, vinkler, arealer osv. i trekanter der noen av disse er kjent. Dette er også bakgrunnen for navnet trigonometri. Skal trigonometrien være til noen nytte her bør man ha en kalkulator (i gamle dager brukte man tabeller). C C c b c h b A a B A a B Figur 4: Trekanter til eksempler og oppgaver Eksempel: Finne side i rettvinklet trekant Vi ser først på en rettvinklet trekant som i figur 4 til venstre, der sidekanter er gitt med små ogvinklermedstorebokstaver. Anta først vi har opgitt A =20 og a =2.0cm, og vi skal finne hypotenusen c. Vihar da at a/c =cos(20 ), så c = a/ cos(20 ). Vi bruker så kalkulator.passpåatkalkulatoren nå skal regne i grader, ikke radianer (som sikkert er feilen hvis dere får svaret ). Hvis den er satt opp i radianer kan vi skrive cos(20 π/80)). Vi finner: c = 2.0cm/ = 2.8cm. Eksempel: Finne vinkel i rettvinklet trekant Hvis vi nå isteden har opgitt to av sidene, f.eks. a =4ogb =7cm,ogønskerå finne vinkelen a bruker vi at tan(a) = b/a =7/4 =.75. Vi trenger da ågå den motsatte vegen, å finne en vinkel som har kjent

7 7 tangens. Vanligvis finnes dette med kombinasjonen SHIFT og tan-tastene. Funksjonen er gjerne betegnet tan, men den er også kjentsomarcus tangens. Dette vil da gi resultatet A =60.3. Hvis kalkulatoren regner i radianer (så derefår vinkelen.05...)kanden regnes om til grader ved å multiplisere med 80 /π Merk at tan () IKKE betyr / tan(). Oppgave 7 Anta følgende størrelser er gitt, og skal finnes i en rettvinklet trekant med navn på sider og vinkler som i figur 4: a) c =8,A =50, b =? b) c = 5, b =, A =? Oppgave 8 Hvis vi har en trekant som ikke er rettvinklet, hjelper det ofte å dele den i to rettvinklede trekanter som på figur 4 til høyre. Anta vi har en slik trekant med sider a = c =7ogvinkelA =25,ogønskerå finne siden b: a ) Finn lengden på hjelpesiden h b) Finn på tilsvarende måte lengden på linjestykket fra vinkel A til foten av normalen h (langs siden med lengde a). c ) Ved hjelp av den pytagoreiske læresetning på den rettvinklede trekanten helt til høyre er det nå mulig å regne ut siden b. Gjør dette. Oppgave 9 a ) Finn alle vinkler og arealet av en trekant med sider av lengde 0, 7 og g b ) Finn alle sider og vinkler (i grader) i en trekant der vinkel A =40,vinkel B = (radian) og siden a mellom dem har lengde 0 Oppgave 0 I likningen y = a + b for en rett linje er stigningskoeffisienten a tangens til vinkelen linja danner med aksen. For en vilkårlig funksjon y = f() erden deriverte stigningskoeffisienten til tangenten. Bruk dette og kalkulator til å svare på denne oppgaven: a ) b ) Finn vinkelen linja y = 2 2 danner med aksen. Hva er vinkelen (tangenten til) kurva y = i punktet (0, 2) har i forhold til en horisontal linje? c) På et fareskilt for bratt vegstrekning står det oppført at stigningen er 0%. Hvilken vinkel tilsvare dette?

8 8 4 COSINUS, SINUS OG TANGENS FOR GENERELLE VINKLER 4 Cosinus, sinus og tangens for generelle vinkler I en rettvinklet trekant må 0<<π/2, men ved hjelp av figur 5 til venstre kan vi definere de trigonometriske funksjonene for vilkårlige vinkler. Hvis vi fastsetter c = får vi cos(v) direkte som -koordinaten, mens sin(v) er y koordinaten. b sin(v) c cos(v) v v a Figur 5: Definisjonsfigur for generelle vinkler Oppgave Fyll ut tabellen nedenfor med eksakte verdier av sin(v), og desimaltall med to desimaler: v 2π 3π/2 π π/2 π/4 0 π/6 π/4 π/3 sin(v) = 0 /2 2/2 3/2 sin(v) v π/2 2π/3 3π/4 5π/6 π 3π/2 2π 9π/4 5π/2 sin(v) = 2/2 sin(v) Oppgave 2 Fyll ut tabellen nedenfor med eksakte verdier av cos(v), og desimaltall med to desimaler: v π π/2 π/4 0 π/4 π/2 2π/3 3π/4 5π/6 π cos(v) = 2/2 0 cos(v) Oppgave 3 Fyll ut tabellen nedenfor med eksakte verdier av tan(v), og desimaltall med to desimaler : v π π/2 π/4 0 π/4 π/2 2π/3 3π/4 5π/6 π tan(v) = 0 udef. tan(v) udef.

9 9 5 Trigonometriske omregningsformler 5. Den trigonometriske identiteten På trekanten vi brukte til å definere cos(v) ogsin(v) i figur 2 gir Pytagoras a 2 + b 2 = c 2.Omvi dividerer begge sider av likhetstegnet med c 2 får vi a2 c + b2 2 c = c2 2 c, som vi omformer til ( ) a 2 ( 2 c + b 2 c) =. Brøkene i parentes er definisjonen av sin(v) ogcos(v), så vi ender opp med sin(v) 2 +cos(v) 2 =. Det er standard skivemåte å skrive sin(v) 2 =sin 2 (v) ogcos(v) 2 =cos 2 (v), og da får vi følgende formel (som gjelder for alle v): sin 2 (v)+cos 2 (v) = (3) Oppgave 4 Sjekk formelen over ved å sette inn v = π/3 og regne sammen venstresiden. Gjør det samme med å sette inn v = π/2 Oppgave 5 Forenkl uttrykket sin 2 (θ)+cos 2 (θ) sin 2 (2θ) cos 2 (2θ) 5.2 Summeformler for sinus og cosisnus Vi skriver opp summeformlene for sinus og cosinus, uten å ta med noen utledning. Disse formlene er det lurt ålæreseg: sin(u ± v) = sin(u)cos(v) ± cos(u)sin(v) cos(u ± v) = cos(u)cos(v) sin(u)sin() (4) Tegnet ± betyr pluss eller minus, mens eromvendt,dvs.atplussgår sammen med minus og omvendt i cosinusformelen Oppgave 6 a ) Sjekk summeformelen for sin(u + v) vedå sette u = π/3 ogv = π/6 og kontroller at høyre og venstreside blir like. b ) Sjekk differensformelen for sin(u v) vedå sette u = π/3 ogv = π/6 og kontroller at høyre og venstreside blir like. c ) Sjekk summeformelen for cos(u + v) vedå sette u = π/4 ogv = π/4 og kontroller at høyre og venstreside blir like. d ) Sjekk differensformelen for cos(u v) vedå sette u = π/4 ogv = π/4 og kontroller at høyre og venstreside blir like. Oppgave 7 a ) Finn eksakt verdi for sin(5π/2) og cos(5π/2) (Hint: Bruk summeformlene med u = π/4 ogv = π/6) b ) Finn eksakt verdi for sin(π/2) og cos(π/2) (Hint: Bruk differensformlene med u = π/4 ogv = π/6)

10 0 6 SINUS OG COSINUS SOM FUNKSJONER Oppgave 8 Forenkl uttrykkene (ved hjelp av summeformlene) a) sin(v + π/2) og cos(v π/2) b) sin(v ± 2π) ogcos(v ± 2π) c) sin(v ± π) ogcos(v ± π) Oppgave 9 I denne oppgaven skal vi utlede formlene for sinus og cosinus av den dobbelte vinkel: a) Sett u = v i summeformelen for sinus, og finn en formel for sin(2v) b) Sett u = v i summeformelen for cosinus, og finn en formel for cos(2v) c) Ved å bruke formelen sin 2 (v)+cos 2 (v) er det mulig å omforme formelen for cos(2v) så den ikke inneholder sinus. Gjør dette Finn også en formel for cos(2v) som ikke inneholder cosinus. d ) Ved hjelp av formlene i forrige deloppgave er det mulig å finne formler for cos 2 (v) ogsin 2 (v) som ikke inneholder disse i 2. potens. Finn disse formlene! Denne omskrivningen er hensiktsmessig i en del sammenhenger, f.eks i forbindelse med integrasjon. 6 Sinus og cosinus som funksjoner I resten av dette notatet tenker vi på vinkelen v som en variabel, og skal derfor heller bruke bokstaven påvinkler. 6. Sinus- og cosinuskurver Ved å sette vinkelen (målt i radianer) langs førsteaksen, og avmerke sin() fra oppgave som y koordinater, og deretter forbinde disse punktene med en glatt kurve får vi sinuskurven, i figur 6: Figur 6: SINUSKURVEN

11 6.2 Symmetriforhold for sin og cos Sinus endrer ikke verdi om vi adderer 2π til, siden dette tilsvarer å gå en runde ekstra. Derfor får vi gjentagelse av det mønsteret vi har mellom =0og =2π. Visierkurven (eller funksjonen) er periodisk med periode 2π. 6.2 Symmetriforhold for sin og cos Nærmere undersøkelser vil bekrefte de symmetriforholdene skissen av sinuskurven antyder. Spesiellt er den symmetrisk om origo. Dette tilsvarer analytisk at sin( ) = sin(), at minus går utenfor sinus. At minus går utenfor brukes ofte som kriterium på at en funksjon er symmetrisk om origo, men hererdetantageligmernyttigå ha sinuskurven i hodet og bruke det som huskeregel for at minus går utenfor. Også de andre symmetriene som synes å være der stemmer eksakt, for eksempel symmetri om den vertikale linja = π/2, eller om punktet (π, 0). Dere ser at sinuskurven er 0 for =0og = π, ogatdenharmaksimumsin(π/2) = og minimum sin(3π/2) =. Sammen med symmetriforholdene og periodisiteten kan dere bruke dette til å raskt tegne en ganske god skisse av sinuskurven, uten bruk av kalkulator. Dette er ofte et svært godt hjelpemiddel under oppgaveløsning venn dere til åbruke det! Oppgave 20 Lag et aksekors der punkten = 2π, = 3π/2, = π, = π/2, =0, = π/2, = π, =3π/2, =2π og =3π er avmerket. Sett ikke på verdier på merkene foreløbig, og tegn y aksen svakt (med blyant). a ) Avmerk nullpunktene og maks/minpunktene til sinusfunksjonen i dette området, og skisser sinuskurven på basis av dette. b) Nå skal der sette y-aksen ved = π/2! Avmerk verdien på delepunktene med sine nye -verdier. Den kurven dere nå får er cosinuskurven! c ) Plott inn punktene for cosinus fra oppgave 2, og se at de faller på kurven (kanskje bortsett fra litt unøyaktighet i skissen). d ) Hvilken symmetri har vi ved = 0, og hvilken konsekvens har dette for verdien av cos( )? Ser du noen andre symmetrier? e ) Ser du sammenhengen mellom konstruksjonen i oppgave b og resultatet i oppgave 8a? 6.3 Andre perioder og faseforskyvninger Oppgave 2 π Hvis er en vinkel gitt i grader er 80 den samme vinkelen i radianer. Siden sinusfunksjonen tar utgangspunkt i radianer, vil sinusfunksjonen i grader være f() =sin ( π 80 ). Plott denne funksjonen i området =0til = 360. Denne funksjonen bruker et intervall av lengde 360 for å gjennomføre en hel svingning. Dette tallet kalles perioden, innenfor enkelte anvendelsesområder kalles den bølgelengden.

12 2 6 SINUS OG COSINUS SOM FUNKSJONER 6 y Figur 7: Tangenskurven (som vi ikke skal jobbe mer med nå) Hvis er en variabel som betegner tiden bruker vi vanligvis bokstaven t istedenfor. Da kalles perioden svingetiden. Den inverse av dette, /360 er da antall hele svingninger pr. tidsenhet. (f.eks. pr. sekund), og kalles frekvensen. Multipliserer vi frekvensen med 2π får vi i dette tilfellet 2π/360 = π/80, det tallet som står foran (eller t) i sinus (eller cosinus) funksjonen. Dette tallet kalles vinkelfrekvensen, og betegnes ofte med bokstaven ω (omega). Oppgave 22 Finn perioden T,frekvensf og vinkelfrekvens ω i følgende funksjoner. Lag deretter en kort skisse av dem: a) f(t) =cos(2πt) b) g(t) =sin(t) c) h(t) = sin(000t) Oppgave 23 Skisser funksjonene a) f(t) =sin(2πt) b) g(t) =4sin(2πt) c) h(t) =sin(2πt + π/4) d) i(t) =4sin(2πt + π/4) I funksjonen R sin(ωt + φ) derr, ω og φ er konstanter kalles R amplityden. ω er vinkelfrekevensen, mens φ kalles faseforskyvningen (eller bare fasen). Bruk av summeformelen gir R sin(ωt + φ) =R cos(φ)sin(ωt)+r sin(φ)cos(ωt) =a sin(ωt)+b cos(ωt) (5) ved å sette a = R cos(φ) ogb = R sin(φ)

13 6.3 Andre perioder og faseforskyvninger 3 Omvendt kan alle funksjoner på formena sin(ωt)+b cos(ωt) skrives om til formen R sin(ωt + φ) (6) Oppgave 24 Skriv på formena sin(ωt)+b cos(ωt) : a) f(t) =sin(t + π/4) b) f(t) =sin(2t + π/3) c) f(t) =cos ( π 2 (t 3/2)) Sammenhengene a = R cos(φ) ogb = R sin(φ) kan illustreres i figur 8, som kan innsees ved åskrivea/r =cos(φ) ogb/r =sin(φ) R b φ a Figur 8: Sammenhengen mellom a, b og R, φ Figuren kan utvides til vilkårlig φ etter samme prinsipp som figur 5. Ved å sette inn tall for a og b og se nøyere på trekantenvidafår kan vi da finne R og φ. For pene verdier kan dette gjøres eksakt, med metoder som tilsvarer de i oppgavene der vi fant eksakte verdier for de trignometriske funksjonene. For andre verdier brukes kalkulator (som dessuten ofte har egen tast eller kommando for denne omregningen, men det tar vi ikke med her). Oppgave 25 Finn fra figur 8 en formel for R, uttrykt ved a og b. Oppgave 26 Skriv på formenr sin(ωt + φ) (bruk figur 8) og skisser: a) f(t) =sin(t)+cos(t) b) f(t) =sin(2πt)+ 3cos(2πt) c) f(t) = sin(t/5) cos(t/5)

14 4 6 SINUS OG COSINUS SOM FUNKSJONER 6.4 De deriverte av sin og cos Derivasjonsregler for sinus og cosinus: (sin()) =cos() (7) (cos()) = sin() (8) Oppgave 27 Deriver følgende funksjoner med hensyn på : a) f() =sin()+cos() b) f() =3sin() 4cos() c ) Bruk kjerneregelen til å derivere f() =cos(a), der a er en konstant. d) f() =cos(2) e ) Bruk kjerneregelen til å derivere f() =sin(a), der a er en konstant. f) f() =sin ( π 80 ) g) f() =sin 2 () (kjerneregelenmåbrukes) h) f() =sin 2 ()+cos 2 () i) f() =sin(/) Oppgave 28 Finn de antideriverte til sin() ogcos() fra formlene for de deriverte. Oppgave 29 Finn de antideriverte til a) f() =2sin()+ 3 cos() b) f() = b cos(b) (b en konstant) c ) Bruk formelen funnet i oppgave 9d til å finne den antideriverte av sin 2 ()

15 5 7 Plot av noen funksjoner med sinus og cosinus Her vises noen eksempler på grafer til funksjoner som inneholder sinus og cosinus. Plottene er laget ved hjelp av dataprogrammet Maple Hvis vi adderer en sinus og cosinus med samme frekvens får vi fortsatt en sinuskurve: f() =sin()+cos(), 2π 2π (Jfr oppgave 25a): - Hvis vi adderer en sinus og cosinusfunksjone med forskjellig frekvens blir summen ikke lenger en sinuskurve: f() =sin()+cos(2), 0 2π : Sinuskurver opptrer i fysikken i forbindelse med svingninger. Mekaniske svingninger er gjerne dempet i praksis, og grunnformen for dempet svingning er Re at sin(ωt+ φ), her representert ved f(t) =e t/0 sin(t), 0 t 6π :

16 6 7 PLOT AV NOEN FUNKSJONER MED SINUS OG COSINUS De to neste grafene er eksempler på Fourierpolynomer, som behandles i faget matematikk 20 på ingeniørstudiet. Enhver (stykkevis kontinuerlig og begrenset) periodisk funksjon kan tilnærmes som en sum av sinuskurver, med frekvenser som er et heltall multiplisert med funksjonens periode. Første eksempel er en sagtannkurve, plottet for 0 6π: f() =sin() sin(3)/9+sin(5)/25 sin(7)/49 + sin(9)/8 : Det andre eksemplet er en firkantkurve for 0 6π (firkantkurven også tegnet inn) : f() =sin()+sin(3)/3+sin(5)/5+sin(7)/7+sin(9)/9 : Hvis vi adderer to sinusfunksjoner med bare litt forskjellige frekvenser får vi et fenomen som kalles svevning. Noen har kanskje erfart dette ved stemming av musikkinstrumenter, eller i fly med to propeller. Fenomenet utnyttes blant annet i radiosignaler (FM- frekvensmodulering ) f() =sin(2)+sin(3), 0 6π : -