GeoGebra 4.2 og 5.0. for Sinus R2 2008
|
|
- Ada Kleppe
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 GeoGebra 4.2 og 5.0 (med litt hjelp av wxmaxima) for Sinus R av Sigbjørn Hals
2 Innhold Litt om GeoGebra... 4 Kapittel Ubestemte integral. Oppgave 1.30 c, side Bestemt integral og sum av rektangler. Oppgave 1.50, side Integral og areal. Eksempel side Arealet mellom to grafer. Oppgave 1.74, side Integral og samlet resultat. Oppgave 1.81, side Integrasjon og volum. Oppgave 1.91, side Kapittel Trigonometriske likninger og radianer. Eksempel side Eksakte løsninger av trigonometriske likninger. Eksempel side Kapittel Trigonometriske modeller. Eksempel side Forenkling av trigonometriske uttrykk. Oppgave 3.75 a Utviding av trigonometriske uttrykk (wxmaxima). Oppgave 3.80 b Likningen a sin(kx) + b cos (kx) = 0 (wxmaxima). Eksempel side Kapittel Pyramider. Oppgave Skalarprodukt (wxmaxima). Oppgave 4.51 b Vinkelen mellom to vektorer (wxmaxima). Eksempel side Determinanter. Eksempel side Vektorprodukt (wxmaxima). Eksempel side Kapittel Likningen for et plan. Eksempel side Rette linjer i rommet. Oppgave Vinkel mellom et plan og ei linje. Oppgave Kapittel Sum av rekker. Eksempel side Sum av rekker. Oppgave Sum av rekker. Oppgave 6.70 b Sum av uendelige rekker. Oppgave Kapittel Ubestemt integral. Oppgave 7.11 a
3 Ubestemt integral. Oppgave Bestemt integral. Oppgave 7.42 b Bestemt integral. Oppgave Delbrøkoppspalting. Oppgave 7.52 b Kapittel Differensiallikninger. Eksempel side Logistisk regresjon. Oppgave Retningsdiagram. Oppgave Andre ordens differensiallikninger. Oppgave 8.61 a Andre ordens differensiallikninger. Oppgave 8.62 b Dempede svingninger. Eksempel side
4 Litt om GeoGebra Bak i læreboka står det forklart hvordan vi kan finne Iøsninger på noen oppgaver og eksempler med grafiske kalkulatorer. I dette heftet blir det forklart hvordan utvalgte oppgaver og eksempler i læreboka kan løses ved hjelp av GeoGebra. GeoGebra 4.2 kan lastes ned fra GeoGebra 5.0 inneholder i tillegg til det som finnes i 4.2 en mulighet for å plotte tredimensjonale funksjonsgrafer og geometriske objekt. GeoGebra 5.0 er en mer uferdig betaversjon enn 4.2, men vi viser likevel hvordan vi kan utnytte dette verktøyet i R2-kurset. 5.0-versjonen kan lastes ned fra Klikk der på fila geogebra-50.jnlp. Kapittel 1 Ubestemte integral. Oppgave 1.30 c, side 19 Skriv 6x 2-2x /x + 1/x 2 i CAS-delen av GeoGebra 4.2 eller 5.0. Tips: Vi får fram eksponenten 2 ved å holde nede Alt-tasten og trykke 2. Klikk på ikonet på verktøylinja for CAS-delen. Vi kan også få svaret ved å skrive Integral[6x 2-2x /x + 1/x 2 ] og trykke Enter. Bestemt integral og sum av rektangler. Oppgave 1.50, side 24. Skriv inn Funksjon[x 2, 0, 5] for å avgrense grafen til definisjonsmengden x [0,5]. Trykk Enter. Still inn aksene ved å dra i dem med dette verktøyet. Skriv Arealet = Integral[f, 1, 3] og trykk Enter. Da får vi skravert det aktuelle området. Det er ikke nødvendig å skrive "Arealet =" først. Vi gjør det her bare for å gi tallverdien av arealet et bestemt navn, som da vises både i algebrafeltet og i grafikkfeltet. Dersom vi ønsker en eksakt verdi for integralet, kan vi skrive Integral[f, 1, 3] i CAS-feltet og trykke Enter. Dette er spesielt nyttig ved mer kompliserte uttrykk. 4
5 Arealet er 26 8,67 3 Får å finne en tilnærmingsverdi for arealet ved å bruke 8 rektangler, kan vi skrive Rektangler = SumUnder[f, 1, 3, 8] og trykke Enter. Det er heller ikke her nødvendig å skrive "Rektangler =" først, men vi gjør det for å kunne bestemme navnet på den utregnede verdien selv. Tilnærmingsverdien for arealet med 8 rektangler er 7,69. Dersom vi ønsker å finne ut hvordan tilnærmingsverdien nærmer seg det eksakte arealet når antallet rektangler øker, kan gå fram slik: o Sett inn en glider med heltallsverdier fra 1 til og med
6 o Skriv Rektangler = SumUnder[f, 1, 3, n] og trykk Enter. o Flytt på glideren og se hvordan summen av rektanglene nærmer seg det eksakte arealet når antallet rektangler øker. 6
7 Integral og areal. Eksempel side For å få en numerisk (tilnærmet) verdi for arealet, skriver vi Integral[sqrt(x), 1, 6] i inntastingsfeltet og trykker Enter. Da får vi også automatisk vist grafen og arealet i grafikkfeltet. Ønsker vi å vite kva det ubestemte integralet x dx er, skriver vi sqrt(x) i et CAS-felt, og velger integralverktøyet. For å få en eksakt verdi av det bestemte integralet, skriver vi Integral[sqrt(x), 1, 6] og trykker Enter. Se figuren nedenfor. Den viser alle disse resultatene. Arealet er ,13 3 Arealet mellom to grafer. Oppgave 1.74, side 38 Skriv i inntastingsfeltet f(x)=1/x og trykk Enter. Skriv i inntastingsfeltet g(x)=(3-x)/2 og trykk Enter. Velg verktøyet Skjæring mellom to objekt og klikk etter tur på skjæringspunktene. Skriv i inntastingsfeltet: Arealet = Integral[g, f, 1, 2]. Vi må skrive det i denne rekkefølgen fordi g(x) ligger over f(x) mellom skjæringspunktene, som har x-verdiene1 og 2. 7
8 Dersom vi ønsker en eksakt verdi for arealet, skriver vi IntegralMellom[g, f, 1, 2] i CAS-feltet og trykker Enter. Arealet er 3 ln(2) 0,057 4 Integral og samlet resultat. Oppgave 1.81, side 43 Skriv i inntastingsfeltet f( x) *1.012 ^ x og trykk Enter. For å finne fødselstallet om 30 år, skriver vi f(30) og trykker Enter. For å finne samlet antall fødsler i denne perioden, skriver vi Samlet = Integral[f, 0, 30] og trykker Enter. Vi får gjennomsnittlig antall fødsler ved å skrive Gjennomsnitt = Samlet/30. a) Fødselstallet om 30 år er ca , i følge modellen. b) Samlet fødselstall i disse 30 årene er c) Gjennomsnittlig antall fødsler per år blir ca
9 Integrasjon og volum. Oppgave 1.91, side 48 Radius i sirkelen vi får når vi roterer grafen til x 2 rundt x-aksen blir x Arealet av en sirkel ved en vilkårlig x-verdi blir da: r ( x ) x. For å finne volumet av rotasjonslegemet skriver vi i et CAS-felt 4 Integral[ * x, 1, 2]. (Vi får fram ved å holde nede Alt-tasten og så trykke p. Vi får fram eksponenten 4 ved å holde nede Alt-tasten og så trykke 4.) Volumet av rotasjonslegemet er 31 5 Kapittel 2 Trigonometriske likninger og radianer. Eksempel side 74 For å kunne regne med radianer i stedet for grader i versjon 4.2 og oppover, klikker vi på Innstillinger, velger Avansert og bytter til radianer under Vinkelmål. (I versjon 4.0 klikker vi på Innstillinger, velger Innstillinger igjen, velger arkfanen Avansert, og skifter så til Radianer under Vinkelmål.) Skriv i inntastingsfeltet: f(x) = Funksjon[2 tan(x) + 4, 0, 2 ]. Vi får fram tegnet ved å trykke på Alt og p. Skriv NullpunktIntervall[f, 0, 2 ] og trykk Enter. Vi får da opp koordinatene til nullpunktene i algebrafeltet. Vi kan også vise disse i grafikkfeltet ved å velge Vis og Verdi i stedet for Navn på de to punktene. 9
10 Eksakte løsninger av trigonometriske likninger. Eksempel side 80 Åpne GeoGebra 4.2 eller 5.0. Skriv inn likningen i et CAS-felt, slik figuren nedenfor viser, og trykk på ikonet for å løse likninger eksakt: I dette eksempelet er x [ 8,8]. Da må konstanten k1 være 0. Løsningen er derfor x 6 eller x 6. Kapittel 3 Trigonometriske modeller. Eksempel side Skriv inn tallene i regnearket i GeoGebra. Det spiller ingen rolle om en skriver disse inn som to rader eller som to kolonner. Merk dataene, høyreklikk, og velg Lag liste med punkt. Still inn aksene slik at alle punktene vises. Vi kan få fram x (timer) og h (cm) ved å høyreklikke på grafikkfeltet, velge Grafikkfelt 1 og så forandre teksten bak Navn på aksen for x-aksen og for y- aksen. a) Dette ser ut til å være en sinuskurve 10
11 Skriv h(x) = RegSin[Liste1] i inntastingsfeltet og trykk Enter. Dersom vi velger 3 gjeldende siffer under Innstillinger og Avrunding, får vi denne likningen: b) Den likningen som passer best til punktene er: h( x) 109 sin(0,512 x 0,0678) 164 For å finne vannhøyden kl. 21 skriver vi h(21) i inntastingsfeltet. c) Ut fra modellen var vannstanden 60 cm over nullnivået kl. 21. Det stemmer godt med den virkelige vannstanden, som var 62 cm over nullnivået. Se nederst på side 100 i Sinus R2-boka for analyse av modellen. Forenkling av trigonometriske uttrykk. Oppgave 3.75 a Skriv inn TrigForenkle[2sin( x / 4) 2sin( x / 4)] og klikk på dette ikonet: Vi får fram tegnet ved å trykke Alt og p samtidig. 11
12 Utviding av trigonometriske uttrykk (wxmaxima). Oppgave 3.80 b Denne oppgaven lar seg ikke løse på en enkel måte med GeoGebra 4.2. Med wxmaxima er det derimot svært enkelt. Åpne wxmaxima (som kan lastes ned fra Skriv inn 4*sin(2x - %pi/4) i inntastingsfeltet. Vi kan skrive inn konstanten ved å skrive %pi eller klikke på ikonet til venstre for inntastingsfeltet. Klikk på Utvid under inntastingsfeltet. Vi kan ev. multiplisere med 2 i teller og nevner, slik at uttrykket blir 2 2 sin(2 x) 2 2 cos(2 x). Likningen a sin(kx) + b cos (kx) = 0 (wxmaxima). Eksempel side 129 Åpne wxmaxima og skriv i inntastingsfeltet: sqrt(3)*sin(%pi*x) - cos(%pi*x) = 0. Klikk på Regn ut. Vi vet at x [0,2]. Da må n være 0 eller 1, og løsningen blir 1 7 x eller x
13 Kapittel 4 Pyramider. Oppgave 4.10 Åpne GeoGebra 5.0. Skriv inn koordinatene til de fire punktene. Gi det siste punktet nytt navn, og kall det for T. Lag en mangekant mellom punktene A, B og C, ved å velge mangekantverktøyet og å klikke på punktene A, B, C og A igjen. Skriv i inntastingsfeltet: Pyramide[mangekant1, T] og trykk Enter. Pyramiden er nå tegnet. (Se figuren på neste side.) a) Pyramiden ABCT. Figuren kan roteres ved å flytte på musepekeren med høyre mustast nede. Vi kan også bruke verktøyet Roter 3D-plott. b) Arealet av mangekanten ABC står i algebravinduet. 13
14 Arealet av grunnflaten ABC er 3. c) Fordi punktene A, B og C alle har z-verdien 0, og T har z-verdien 4, blir høyden i pyramiden 4. Høyden i pyramiden er 4. d) Volumet av pyramiden er Grunnflate høyde Skalarprodukt (wxmaxima). Oppgave 4.51 b Åpne wxmaxima. For at vektorene skal stå vinkelrett på hverandre, må skalarproduktet være 0. Skriv i inntastingsfeltet [3 - x, 2 + x, 1-2x]. [1, 2, 3] = 0. Klikk Regn ut. Legg merke til at vi bruker punktum som gangetegn for å finne skalarproduktet. Vektorene står vinkelrett på hverandre når x = 2 Vinkelen mellom to vektorer (wxmaxima). Eksempel side 157 Åpne wxmaxima Klikk på Algebra og velg Vinkelen mellom to vektorer (i grader). Skriv inn vektorene slik figuren nedenfor viser, og klikk på OK. Vinkelen mellom vektorene er 65,3. 14
15 Determinanter. Eksempel side 169 Åpne GeoGebra og vis regnearket. Skriv inn tallene slik figuren nedenfor viser. Merk tallene, høyreklikk og velg Lag og Lag matrise. Skriv Determinant[matrise1] i inntastingsfeltet. Vi får svaret i algebrafeltet. Determinanten til matrisen er 77. Vektorprodukt (wxmaxima). Eksempel side 174 Åpne wxmaxima og velg Algebra og Vektorprodukt. Skriv inn vektorene slik figuren nedenfor viser, og klikk på OK. Vektorproduktet er [7, -5, -1] 15
16 Kapittel 5 Likningen for et plan. Eksempel side 191 Her lønner det seg å finne likningen for planet før vi finner normalvektoren til planet. Åpne GeoGebra 5.0 og skriv inn koordinatene til punktene A, B og C. Skriv Plan[A, B, C] og trykk Enter. b) Likningen for planet kan forenkles til x y 2z 6 0 a) Normalvektoren kan da finnes ut fra likningen for planet. Normalvektoren er [1, 1, 2] c) x = 0, y = 0 og z = 0 gir at venstresiden av likningen for planet blir 6. Siden høyresiden av likningen er 0, ligger ikke origo i planet. Dette ser vi også lett av figuren nedenfor. Rette linjer i rommet. Oppgave 5.31 Åpne GeoGebra 5.0. Skriv inn P = (2, 0, 3). Skriv inn x + 2y - 2z + 13 = 0 og trykk Enter. Velg verktøyet Normal linje. Klikk så på punktet P og deretter på planet. 16
17 Sigbjørn Hals, Cappelen Damm Undervisning a) En parameterframstilling for linja blir vist i algebrafeltet. Dette kan omformes til: 1 x 2 t 3 2 l : y t eller, om vi multipliserer retningsvektoren med -3: 3 2 z 3 t 3 GeoGebra har gitt planet navnet c og linja navnet d. Skriv Skjæring[c, d] og trykk Enter. Koordinatene til skjæringspunktet blir vist i algebrafeltet. b) Skjæringspunktet mellom linja og planet er (1, -2, 5) Avstanden mellom punktet P og planet er lik avstanden mellom punktene P og A. Skriv derfor Avstanden = Avstand[A, P] og trykk Enter. (Vi trenger ikke skrive "Avstanden =" først, men det gjør det lett å finne det riktige resultatet i algebrafeltet. c) Avstanden mellom punktet P og planet er 3 17
18 Vinkel mellom et plan og ei linje. Oppgave 5.35 Åpne GeoGebra 5.0. Skriv inn koordinatene til de fire punktene. Skriv Plan[A, B, C] og trykk Enter. a) Likningen for planet er -4x - 5y +7z + 9 = 0 Skriv Linje[A, D] og trykk Enter. a) Parameterframstillingen for linja gjennom A og D er: x 12t y 1 z 5t Velg verktøyet Normal linje. Klikk på planet og på punktet D. Finn skjæringspunktet mellom denne nye linja og planet. GeoGebra kaller skjæringspunktet for E. Skriv Vinkel[E, A, D]og trykk Enter. b) Vinkelen mellom linja gjennom A og D og planet er 31,9 18
19 Kapittel 6 Sum av rekker. Eksempel side 248 Åpne GeoGebra 4.2 Skriv i et CAS-felt: Sum[2x - 1, x, 1, 7]. Trykk Enter. Skriv i neste CAS-felt: Sum[2x - 1, x, 1, 100]. Trykk Enter. Summen av de 7 første tallene er 49, og summen av de 100 første er Sum av rekker. Oppgave 6.43 Åpne GeoGebra 4.2. Skriv i et CAS-felt: Sum[100*1.05^i, i, 1, 20]. 19
20 Klikk på ikonet for numerisk løsning: Sum av rekker. Oppgave 6.70 b Ledd nummer n i tallrekken er 2 + 3(n - 1). Åpne GeoGebra 4.2. Skriv i et CAS-felt: Sum[2 + 3*(n - 1) n, 1, n]. Trykk Enter. Denne rekken konvergerer ikke. Når n øker går summen mot uendelig. Sum av uendelige rekker. Oppgave 6.81 Rekken konvergerer når k < 1. I denne oppgaven er k = 1/x. a) Rekken konvergerer når x, 1 1, 1 Vi ser av rekken at det n-te leddet er gitt ved formelen n 1 x. Åpne GeoGebra 4.2. Skriv i et CAS-felt: Sum[1/(x^(n-1), n, 1, inf]. Inf står for infinity (uendelig). Vi kan også bruke tegnet fra spesialtegnmenyen. Trykk Enter. x b) Summen av rekken er x 1 20
21 c) Skriv i inntastingsfeltet: f(x) = x/(x-1) og trykk Enter. Skriv i et nytt CAS-felt: x/(x-1) = 2. Klikk på ikonet for å løse en likning. Gjenta det samme når summen er. d1) Når summen er 2 er x lik 2 d2) 1 1 Når summen er er x lik
22 Kapittel 7 Ubestemt integral. Oppgave 7.11 a Åpne GeoGebra Skriv inn 4*e^(2x + 1) og klikk på ikonet for å løse integralet 4 e x dx. Husk å bruke Alt og e for å få eulertallet. (Vi kan også skrive Integral[4*e^(2x +1)] og trykke Enter.) a) 2x1 2x1 4e dx 2e C Ubestemt integral. Oppgave 7.34 Åpne GeoGebra 4.2 Skriv inn cos(x)*e^x og klikk på ikonet for å løse integralet. x x e (cos x sin x) cos x e dx C 2 22
23 Bestemt integral. Oppgave 7.42 b Åpne GeoGebra 4.2 Skriv i et CAS-felt: Integral[4x*(x 2 + 1)*e^(x^2 + 1), 0, 1]. b) x x( x 1) e dx 2e Bestemt integral. Oppgave 7.43 Åpne GeoGebra 4.2. Skriv i et CAS-felt: Integral[ *sin(π*x/6-2π/3), 0, 12]. Klikk på ikonet for numerisk løsning: a) Det samlede strømforbruket per år er kwh b) Gjennomsnittlig strømforbruk per måned er kwh : 12 = kwh Delbrøkoppspalting. Oppgave 7.52 b Denne oppgaven kan vi enten løse direkte med CAS, eller ved å få til en delbrøkoppspalting digitalt og så løse disse brøkene hver for seg. Direkte løsning: Åpne GeoGebra 4.2. Skriv inn i et CAS-felt: Integral[2x 3 + x 2-2x - 3)/(x 2-1), 2, 3] 23
24 b) x x 2x 3 x 2 1 dx ln 4 ln3 ln2 6 Løsning med delbrøkoppspalting: Åpne GeoGebra 4.2. Skriv inn i et CAS-felt: Delbrøkoppspalting[(2x³ + x² - 2x - 3)/(x² - 1)] Etter dette kan vi finne de bestemte integralene av de ulike leddene. Klikk i et tomt CAS-felt, og klikk deretter på løsningen av delbrøkoppspaltingen. Klikk deretter på integralikonet. Svaret blir da: ( ln(3-1) + ln (3 +1)) - ( ln(2-1) + ln (2 +1)) = ln 2 + ln ln 1 - ln 3 = 6 - ln 2 + ln 4 - ln 3 = ln 4 - ln 3 - ln
25 Kapittel 8 Differensiallikninger. Eksempel side Åpne GeoGebra 4.2. Skriv i et CAS-felt: LøsODE[y' - 4y = 8]. Trykk Enter. a) Den generelle løsningen på differensiallikningen y' - 4y = 8, er y = e 4x C1-2 Skriv i et CAS-felt: LøsODE[y' - 4y = 8,(0, 5)]. b) Når x = 0 samtidig som y = 5, er den spesielle løsningen y = 7e 4x - 2 Logistisk regresjon. Oppgave 8.42 Åpne GeoGebra. Klikk på Vis og merk av for visning av regnearket.. Juster feltene til ønsket størrelse. Klikk på Innstillinger og på Navn på objekt. Velg Ikke på nye objekt. Klikk på Innstillinger, på Avrunding og velg 3 desimaler. Skriv inn tallene i regnearket. Merk tallene, høyreklikk og velg Lag liste med punkt. 25
26 Still inn aksene slik at alle punktene vises i grafikkfeltet. Skriv i inntastingsfeltet: RegLogist[ Liste1 ] og trykk Enter. 195 a) Med t som uavhengig variabel, blir likningen: y 0, ,41 e b) t 0,162t c) Når t går mot uendelig, går e mot 0. Da går y mot 195. Antallet rever nærmer seg 195 etter som tiden går (t øker) År 2010 er 20 år etter starten i Skriv i inntastingsfeltet f(20) og trykk Enter. d) Etter 20 år er det ca. 151 rever 26
27 Skriv i inntastingsfeltet: y = 175 og trykk Enter. Finn skjæringspunktet mellom denne linja og grafen til f. Denne deloppgaven kan også løses ved å skrive f(x) = 175 i et CAS-felt, og klikke på ikonet for å løse en likning numerisk: d) Antallet rever er 175 etter ca. 26 år. Det vi si i løpet av 2016 Retningsdiagram. Oppgave 8.51 Differensiallikningen 2yy' = e x + 2 må omformes til x e 2 y '. 2y Åpne GeoGebra 4.2. Skriv Retningsdiagram[(e^x+2)/(2y)] og trykk Enter. Husk å bruke Alt og e får å få eulertallet. 27
28 a) Skriv i et CAS-felt: LøsODE[2*y*y'= e^x + 2] og trykk Enter. 2 x Dette gir y e 2x 3 c. Vi erstatter 3c 1 med en ny konstant C. 1 b) Løsningen på differensiallikningen er y e 2x C x Vi velger å tegne integralkurver gjennom punktene (-3, 0), (-1, 0) og (2, 0), og skriver først inn koordinatene til disse punktene. Deretter skriver vi: GeometriskSted[Retningsdiagram1, A] og trykker Enter. Klikk i inntastingsfeltet, bruk "nedoverpil" for å få fram igjen siste inntasting, og bytt ut A med B. Gjenta det samme for punkt C. 28
29 Andre ordens differensiallikninger. Oppgave 8.61 a Åpne GeoGebra 4.2 Skriv i et CAS-felt: LøsODE[y'' - 7y' + 12y = 0] og trykk Enter. Løsningen av differensiallikningen er konstanter. 4x 3x 1 2 y C e C e, der C1 og C2 er 29
30 Andre ordens differensiallikninger. Oppgave 8.62 b Åpne GeoGebra 4.2 Skriv i et CAS-felt: LøsODE[y'' - 6y' + 9y = 0, (0, 1), (0, 5)] og trykk Enter. Løsningen av differensiallikningen er 3x 3x 3x y 2 e x e e (2x 1) Dempede svingninger. Eksempel side Ut fra opplysningene i oppgaven, blir differensiallikningen 0,2 y '' 0,08 y ' 1,2 y 0. Denne kan omformes til y '' 0,4 y ' 6y 0, men det trenger vi ikke gjøre når vi skal løse likningen med CAS. Etter 0 sekunder er posisjonen s = 0,2 m, og da er samtidig farten v = 0 m/s. Punktet (0, -0.2) vil da ligge på grafen for y (posisjonsgrafen) og punktet (0, 0) vil ligge på grafen for y' (fartsgrafen). Vi skriver disse punktene inn etter likningen, med komma mellom. Punktet til slutt ligger på grafen for y '. Åpne GeoGebra 4.2. Klikk på verktøyikonet for numerisk svar: Skriv i et CAS-felt: LøsODE[0.2y'' y' +1.2y = 0, (0, -0.2), (0, 0)] og trykk Enter. a) Løsningen på differensiallikningen er: 0,2cos(2,44 t) 0,016sin(2,44 t) 0,2t y e (0,2cos(2,44 t) 0,016sin(2,44 t)) 0,2t e For å tegne grafen, kan vi klikke i CAS-feltet under løsningen, og deretter klikke på selve løsningen. Deretter kan vi kopiere høyresiden av likningen til utklippstavlen. 30
31 Skriv Funksjon[(-0.2cos(2.441x) sin(2.441x)) / e^(0.2x), 0, inf] og trykk Enter. (Vi kan lime inn selve funksjonuttrykket som vi har kopiert fra CAS-delen i stedet for å skrive det.) En enklere måte å få tegnet grafen på, er å klikke i punktet foran løsningen. Ulempen med denne måten er at vi da ikke får avgrenset grafen til en bestemt definisjonsmengde. 31
GeoGebra 4.2 for Sinus Påbyggingsboka P. av Sigbjørn Hals
GeoGebra 4.2 for Sinus Påbyggingsboka P av Sigbjørn Hals Innhold Litt om GeoGebra... 3 Eksponentiell vekst. Side 45 i læreboka... 3 Søylediagram. Side 50-52 i læreboka... 4 Kurvediagram. Side 55-56 i læreboka...
DetaljerSigbjørn Hals, Cappelen Damm Undervisning. Sinus 1P. Digitale løsninger av oppgaver og eksempler med noen utvalgte matematikkverktøy
Sinus 1P Digitale løsninger av oppgaver og eksempler med noen utvalgte matematikkverktøy GeoGebra 4.0 og 4.2 wxmaxima Microsoft Mathematics WordMat TI-Nspire CAS 1 Innhold Litt om programmene... 4 GeoGebra
DetaljerGeoGebra i R2. Grafer. Topp- og bunnpunkter GeoGebra finner eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til en innlagt polynomfunksjon f.
491 Grafer Topp- og bunnpunkter GeoGebra finner eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til en innlagt polynomfunksjon f. Å tegne grafer med argumentet gitt i grader GeoGebra finner eventuelle topp-
DetaljerSigbjørn Hals. Nedenfor har vi tegnet noen grafer til likningen y = C, der C varierer fra -2 til 3, med en økning på 1.
Retningsdiagrammer og integralkurver Eksempel 1 Den enkleste av alle differensiallikninger er nok y' = 0. Denne har løsningen y = C fordi den deriverte av en konstant er 0. Løsningen vil altså bli flere
DetaljerLøsningsforslag. 3 x + 1 + e. g(x) = 1 + x4 x 2
Prøve i FO929A - Matematikk Dato: 1. juni 2012 Målform: Bokmål Antall oppgaver: 5 (20 deloppgaver) Antall sider: 2 Vedlegg: Formelsamling Hjelpemiddel: Kalkulator Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver
DetaljerPlotting av grafer og funksjonsanalyse
Opplæringshefte i GeoGebra Innholdsfortegnelse: Plotting av grafer og funksjonsanalyse... 2 Oppgave 1... 2 Oppgave 2... 4 Oppgave 3... 8 Å plassere et bilde i GeoGebra... 8 Oppgave 4... 8 Vektorregning
DetaljerGeoGebra 4.2 for Sinus 1P. av Sigbjørn Hals
GeoGebra 4.2 for Sinus 1P av Sigbjørn Hals Innhold Litt om GeoGebra... 3 GeoGebra som kalkulator. Eksempel side 55... 3 Omforming av formler. Side 82 i læreboka... 4 Rette linjer. Side 89 i læreboka...
DetaljerDel 1. Generelle tips
Innhold Del 1. Generelle tips... 2 Bruk en "offline installer"... 2 Øk skriftstørrelsen... 3 Sett navn på koordinataksene... 3 Vis koordinater til skjæringspunkt, ekstremalpunkt m.m.... 4 Svar på spørsmålene
DetaljerGeoGebra 4.2 for Sinus 2P. av Sigbjørn Hals
GeoGebra 4.2 for Sinus 2P av Sigbjørn Hals Innhold Litt om GeoGebra... 3 Linjediagram. Side 46 i læreboka... 3 Søylediagram. Side 57 i Læreboka... 5 Histogram. Side 81 i læreboka... 6 Lineær regresjon.
DetaljerSpørsmål og svar om GeoGebra, versjon 2.7 bokmål
Spørsmål og svar om GeoGebra, versjon 2.7 bokmål Jeg har lastet ned en installasjonsfil fra www.geogebra.org og installert programmet, men får det ikke til å fungere. Hva kan dette skyldes? Den vanligste
DetaljerSinus Påbyggingsboka T
Sinus Påbyggingsboka T Digitale løsninger av oppgaver og eksempler med noen utvalgte matematikkverktøy GeoGebra 4.2 wxmaxima Microsoft Mathematics WordMat TI-Nspire CAS Innhold Litt om programmene... 4
DetaljerGeoGebra 4.2 for Sinus 1T. av Sigbjørn Hals
GeoGebra 4.2 for Sinus 1T av Sigbjørn Hals Innhold Litt om GeoGebra... 3 Faktorisering. Side 55 i læreboka... 3 Rette linjer. Side 73 i læreboka... 3 Digital løsning av likninger. Side 77 i læreboka...
DetaljerSammendrag R2. www.kalkulus.no. 31. mai 2009
Sammendrag R2 www.kalkulus.no 31. mai 2009 1 1 Trigonometri Definisjon av sinus og cosinus Sirkelen med sentrum i origo og radius 1 kalles enhetssirkelen. La v være en vinkel i grunnstilling, og la P være
DetaljerSinus 1T. Digitale løsninger av oppgaver og eksempler med noen utvalgte matematikkverktøy
Sinus 1T Digitale løsninger av oppgaver og eksempler med noen utvalgte matematikkverktøy GeoGebra 4.2 wxmaxima Microsoft Mathematics WordMat TI-Nspire CAS Innhold Litt om programmene... 5 GeoGebra 4.2...
DetaljerGeoGebra 4.2 for Sinus Påbyggingsboka T. av Sigbjørn Hals
GeoGebra 4.2 for Sinus Påbyggingsboka T av Sigbjørn Hals Innhold Litt om GeoGebra... 3 Nullpunkt. Side 11 i læreboka... 3 Andregradslikninger. Side 18 i læreboka... 3 Momentan vekstfart. Side 47 i læreboka...
DetaljerManual for wxmaxima tilpasset R2
Manual for wxmaxima tilpasset R Om wxmaxima wxmaxima er en utvidet kalkulator som i tillegg til å regne ut alt en vanlig kalkulator kan regne ut, også regner symbolsk. Det vil si at den kan forenkle uttrykk,
DetaljerLær å bruke GeoGebra 4.0
Lær å bruke GeoGebra 4.0 av Sigbjørn Hals Innhold: Generelt om GeoGebra... 2 Innstillinger... 2 Likninger og ulikheter... 5 Implisitte likninger... 5 Ulikheter... 9 Statistikkberegninger i regnearket...
DetaljerSigbjørn Hals, Cappelen Damm Undervisning. Sinus 2P. Digitale løsninger av oppgaver og eksempler med noen utvalgte matematikkverktøy
Sinus 2P Digitale løsninger av oppgaver og eksempler med noen utvalgte matematikkverktøy GeoGebra 4.0 og 4.2 wxmaxima Microsoft Mathematics WordMat TI-Nspire CAS 1 Innhold Litt om programmene... 4 GeoGebra
DetaljerLær å bruke CAS-verktøyet i GeoGebra 4.2
Lær å bruke CAS-verktøyet i GeoGebra 4. av Sigbjørn Hals Innhold: CAS-verktøyet... Primtallanalyse... Faktorisering og utvidelse av uttrykk... Likninger... 4 Likningssett med flere ukjente... 5 Differensiallikninger...
DetaljerSandvold Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma R2. Geogebra
Sandvold Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Geogebra Innhold 1 Om Geogebra 4 2 Regning 4 2.1 Tallregning................................... 4 2.2 Tallet e......................................
DetaljerDEL 1 (Uten hjelpemidler, leveres etter 3 timer) 3(a + 1) 4(1 a) (6a 1) = 3a + 3 4 + 4a 6a + 1
HELDAGSPRØVE I MATEMATIKK 1T HØST DEL 1 (Uten hjelpemidler, leveres etter 3 timer) Oppgave 1. Trekk sammen uttrykkene: a) 3(a + 1) 4(1 a) (6a 1) 3(a + 1) 4(1 a) (6a 1) = 3a + 3 4 + 4a 6a + 1 = a. b) 1
DetaljerLær å bruke wxmaxima
Bjørn Ove Thue og Sigbjørn Hals Lær å bruke wxmaxima Et godt og gratis CAS-verktøy med enkelt brukergrensesnitt. Oppdatert versjon, november 2009 Lær å bruke wxmaxima. Eksempler fra Sinus-bøkene fra Cappelen
DetaljerEksamen R2, Våren 2011 Løsning
R Eksamen, Våren 0 Løsning Eksamen R, Våren 0 Løsning Del Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave (8 poeng) a) Deriver funksjonene
DetaljerLær å bruke wxmaxima
Bjørn Ove Thue og Sigbjørn Hals Lær å bruke wxmaxima Et godt og gratis CAS-verktøy med enkelt brukergrensesnitt. Oppdatert versjon, november 2010 Lær å bruke wxmaxima. Eksempler fra Sinus-bøkene fra Cappelen
DetaljerGEOGEBRA (Versjon 5.0.150.12.september 2015)
1 INNFØRING GEOGEBRA (Versjon 5.0.150.12.september 2015) Østerås 12. september 2015 Odd Heir 2 Innhold Side 3-10 Innføring i GeoGebra 10-12 Utskrift 12-13 Overføring til Word 13-15 Nyttige tips 15-16 Stolpediagram
DetaljerGeoGebra. Menylinje Angreknapp. Verktøylinje. Aktivt verktøy med mørkeblå kant. Innstillinger. Algebrafelt. Velge oppsett.
GeoGebra Menylinje Angreknapp Verktøylinje Aktivt verktøy med mørkeblå kant Innstillinger Algebrafelt Grafikkfelt Inntastingsfelt Velge oppsett GEOGEBRA SOM FUNKSJONSTEGNER OPPSETT FLYTTE TEGNE- FLATEN,
Detaljer1.8 Digital tegning av vinkler
1.8 Digital tegning av vinkler Det går også an å tegne mangekanter digitalt når vi kjenner noen vinkler og sider. Her tegner vi ABC når A = 50, AB = 6 og AC = 4. I GeoGebra setter vi først av linjestykket
DetaljerGeoGebra-opplæring i Matematikk 2P
GeoGebra-opplæring i Matematikk 2P Emne Underkapittel Graftegning 2.1 Linje gjennom to punkter 2.1 Å finne y- og x-verdier 2.1 Lineær regresjon 2.3 Andregradsfunksjoner 2.4 Polynomregresjon 2.4 Eksponential-
DetaljerLøsningsforslag til eksamen i MAT111 Vår 2013
BOKMÅL MAT - Vår Løsningsforslag til eksamen i MAT Vår Oppgave Finn polarrepresentasjonen til i. i Skriv på formen x + iy. i Løsning Finner først modulus og argument til i: i = ( ) + ( ) = 4 = arg( ( )
DetaljerLøsning eksamen R1 høsten 2009
Løsning eksamen R høsten 009 Oppgave a) b) f( ) 5e 3 f ( ) 5 e (3 ) 5e 35e 3 3 3 3 ( ) ln( ) g 3 3 3 g( ) ln( ) ln( ) 3 ln( ) ( ) 3 3 ln( ) 3 ln( ) (3ln( ) ) c) La 3 f( ) 0 0. Da er 3 f () 0 0 0 0 0 Dermed
DetaljerInnlevering BYPE2000 Matematikk 2000 HIOA Obligatorisk innlevering 2 Innleveringsfrist Tirsdag 1. april 2014 kl. 12:45 Antall oppgaver: 8+2
Innlevering BYPE2000 Matematikk 2000 HIOA Obligatorisk innlevering 2 Innleveringsfrist Tirsdag 1. april 2014 kl. 12:45 Antall oppgaver: 8+2 1 Bestem den naturlige denisjonsmengden til følgende funksjoner.
DetaljerGeoGebra i 1T. Grafer. Å tegne grafen til en funksjon. GeoGebra tegner grafen til f(x) = 0,5x 2 for 0 x 10.
2 Grafer Å tegne grafen til en funksjon Akser Rutenett Avrunding GeoGebra tegner grafen til f(x) = 0,5x 2 for 0 x 10. Funksjonen får automatisk navnet f. Hvis grafen ikke vises, kan du høyreklikke i grafikkfeltet
DetaljerHvordan forandrer jeg på innstillingene langs aksene, slik at hele grafen viser? Dette kan du gjøre på seks ulike måter:
Spørsmål og svar om GeoGebra, versjon 3.0 bokmål. Jeg har lastet ned en installasjonsfil fra www.geogebra.org og installert programmet, men får det ikke til å fungere. Hva kan dette skyldes? Den vanligste
DetaljerLineære funksjoner. Skjermbildet
Lineære funksjoner I dette opplæringsløpet lærer du å tegne funksjoner i GeoGebra samt å bruke verktøy til å løse oppgaver som dreier seg om funksjoner. Alle oppgavene handler om lineære funksjoner. I
DetaljerSINUS R1, kapittel 5-8
Løsning av noen oppgaver i SINUS R1, kapittel 5-8 Digital pakke B TI-Nspire Enkel kalkulator (Sharp EL-506, TI 30XIIB eller Casio fx-82es) Oppgaver og sidetall i læreboka: 5.43 c side 168 5.52 side 173
DetaljerTORE OLDERVOLL SIGBJØRN HALS. GeoGebra 6 for Sinus R2
TORE OLDERVOLL SIGBJØRN HALS GeoGebra 6 for Sinus R2 Sinus R2 ble skrevet med utgangspunkt i GeoGebra 5. I boka er det også lagt opp til at elevene har en enkel lommeregner i tillegg til datamaskin. I
DetaljerGeoGebra 6 for Sinus 1P
SIGBJØRN HALS TORE OLDERVOLL GeoGebra 6 for Sinus 1P SINUS 1P ble skrevet med utgangspunkt i GeoGebra 5. I boka er det også lagt opp til at elevene har en enkel lommeregner i tillegg til datamaskin. I
DetaljerHurtigstart. Hva er GeoGebra? Noen fakta
Hurtigstart Hva er GeoGebra? En dynamisk matematisk programvare som er lett å ta i bruk Er egnet til læring og undervisning på alle utdanningsnivå Binder interaktivt sammen geometri, algebra, tabeller,
DetaljerLær å bruke Microsoft Mathematics, Matematikk-tillegget i Word og WordMat. Av Sigbjørn Hals
Lær å bruke Microsoft Mathematics, Matematikk-tillegget i Word og WordMat Av Sigbjørn Hals 1 Innhold Hva er matematikktillegget for Word?... 2 Nedlasting og installasjon av matematikktillegget for Word...
DetaljerEksempelsett R2, 2008
Eksempelsett R, 008 Del Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave a) Deriver funksjonen f x x cosx f x cosx x s x f x cosx 6x sinx
DetaljerMAT 1001, Høsten 2009 Oblig 2, Løsningsforslag
MAT 1001, Høsten 009 Oblig, sforslag a) En harmonisk svingning er gitt som en sum av tre delsvingninger H(x) = cos ( π x) + cos (π (x 1)) + cos (π (x )) Skriv H(x) på formen A cos (ω(x x 0 )). siden H(x)
DetaljerS1 Eksamen våren 2009 Løsning
S1 Eksamen, våren 009 Løsning S1 Eksamen våren 009 Løsning Del 1 Oppgave 1 a) Skriv så enkelt som mulig 1) x 1 x 1 x 1 x 1 1 x 1 x 1 x x 1 x 1 x 1 1 x 1 x 1 ) a b 3 a b 3 a 4a b 1 3 4a b 3 b 1 b) Løs likningene
DetaljerGeoGebra-opplæring i Matematikk S2
GeoGebra-opplæring i Matematikk S Emne Underkapittel Faktorisering.1 Grafisk løsning av likningssett I.3 Størst mulig overskudd 3. Vendepunkter 3.4 Den naturlige eksponentialfunksjonen 3.5 3.6 Den naturlige
DetaljerEksamen R2 høst 2011, løsning
Eksamen R høst 0, løsning Oppgave (4 poeng) a) Deriver funksjonene f e ) Bruker produktregelen for derivasjon, uv uv uv f e e e e ) g sin Bruker kjerneregelen på uttrykket cos der u og g u sinu Vi har
DetaljerLøsningsforslag AA6526 Matematikk 3MX Privatister 3. mai 2005. eksamensoppgaver.org
Løsningsforslag AA6526 Matematikk 3MX Privatister 3. mai 2005 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 3MX er gratis, og det er lastet
DetaljerLøsningsforslag AA6524/AA6526 Matematikk 3MX Elever/Privatister 6. desember 2006. eksamensoppgaver.org
Løsningsforslag AA654/AA656 Matematikk 3MX Elever/Privatister 6. desember 6 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 3MX er gratis, og det
DetaljerInstitutt for Samfunnsøkonomi. Utlevering: 29.04.2015 Kl. 09:00 Innlevering: 29.04.2015 Kl. 14:00
SENSORVEILEDNING MET 803 Matematikk Institutt for Samfunnsøkonomi Utlevering: 9.04.05 Kl. 09:00 Innlevering: 9.04.05 Kl. 4:00 For mer informasjon om formalia, se eksamensoppgaven. Oppgave Beregn følgende
DetaljerSigbjørn Hals. Øving i bruk av GeoGebra på eksamensoppgaver for 10. Klasse. Eksamensoppgave, Utdanningsdirektoratet V-2011
Øving i bruk av GeoGebra på eksamensoppgaver for 10. Klasse Eksamensoppgave, Utdanningsdirektoratet V-2011 1 Framgangsmåten med GeoGebra Vi vil her bare se på løsningen av oppgavene c og d. Åpne GeoGebra.
DetaljerS1 kapittel 5 Funksjoner Løsninger til oppgavene i boka
S1 kapittel 5 Funksjoner Løsninger til oppgavene i boka 5.1 a f( x) = 4x+ 0 I GeoGebra skriver vi f(x)=funksjon[-4x+0,-5,5]. Grafen viser at [ 0, 40] V =. f b gx ( ) =,5x+ 10 I GeoGebra skriver vi f(x)=funksjon[,5x+10,-10,4].
Detaljer. 2+cos(x) 0 og alle biter som inngår i uttrykket er kontinuerlige. Da blir g kontinuerlig i hele planet.
MA 1410: Analyse Uke 47, 001 http://home.hia.no/ aasvaldl/ma1410 H01 Høgskolen i Agder Avdeling for realfag Institutt for matematiske fag Oppgave 11.1: 7. f(x, y) = 1 16 x y. a) Definisjonsområde D: f
Detaljer1.7 Digitale hjelpemidler i geometri
1.7 Digitale hjelpemidler i geometri Geometri handler om egenskapene til punkter, linjer og figurer i planet og i rommet. I alle tider har blyant og papir samt passer og linjal vært de viktigst hjelpemidlene
DetaljerEksamen R1 Høsten 2013
Eksamen R1 Høsten 013 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (5 poeng) Deriver funksjonene f x e a) 3 x b) gx x ln3x c) hx x
DetaljerHeldagsprøve R2 - Våren
Heldagsprøve R - Våren 07-0.05.7 Løsningsskisser (versjon.05.7) Del - Uten hjelpemidler - timer Oppgave Deriver funksjonene: a) fx x ln x b) gx sinln x c) hx x cos x a) Produktregel: f x ln x x x ln x
DetaljerRegresjon med GeoGebra 4.0
Regresjon med GeoGebra 4.0 av Sigbjørn Hals Innhold Liste over kommandoene... 2 Lineær regresjon... 3 Potensregresjon... 5 Eksponentiell regresjon... 5 Logaritmisk regresjon... 6 Logistisk regresjon...
DetaljerObligatorisk oppgave i MAT 1100, H-03 Løsningsforslag
Oppgave : Obligatorisk oppgave i MAT, H- Løsningsforslag a) Vi skal regne ut dx. Substituerer vi u = x, får vi du = x dx. De xex nye grensene er gitt ved u() = = og u() = = 9. Dermed får vi: 9 [ ] 9 xe
DetaljerSIGBJØRN HALS TORE OLDERVOLL. GeoGebra 6 for Sinus 2P
SIGBJØRN HALS TORE OLDERVOLL GeoGebra 6 for Sinus 2P Sinus 2P ble skrevet med utgangspunkt i GeoGebra 5. I boka er det også lagt opp til at elevene har en enkel lommeregner i tillegg til datamaskin. I
DetaljerEksamen R2, Høst 2012, løsning
Eksamen R, Høst 0, løsning Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave ( poeng) Deriver funksjonene a) cos f e Vi bruker produktregelen
Detaljer1 Introduksjon GeoGebra 2 Speiling, rotasjon og parallellforskyvning 3 Perspektivtegning 4 Symmetriakser
1 Geometri i kunsten: 1 Introduksjon GeoGebra 2 Speiling, rotasjon og parallellforskyvning 3 Perspektivtegning 4 Symmetriakser MKH GeoGebra - Geometri i kunsten Innhold 1 Introduksjon GeoGebra... 1 1.1
DetaljerSammendrag kapittel 9 - Geometri
Sammendrag kapittel 9 - Geometri Absolutt vinkelmål (radianer) Det absolutte vinkelmålet til en vinkel v, er folholdet mellom buelengden b, og radien r. Buelengde v = b r Med v i radianer! b = r v Omregning
DetaljerLøsning eksamen 2T våren 2008
Løsning eksamen 2T våren 2008 Del 2 løst med pc Noen gode grunner til å lære å utnytte pc-en effektivt på eksamen: I eksamensinformasjonen står det: Der oppgaveteksten ikke sier noe annet, kan du fritt
DetaljerGEOGEBRA (Versjon 5.0.233.0 6. mai 2016)
1 KURSHEFTE INNFØRING GEOGEBRA (Versjon 5.0.233.0 6. mai 2016) Østerås 8. mai 2016 Odd Heir 2 Innhold Side 3-13 Innføring i GeoGebra 13-14 Funksjonsanalyse 14-16 Utskrift 17-18 Overføring til Word 18-20
DetaljerMenylinje og de vanligste funksjonene. Her gjør du de tilpasningene du trenger.
GeoGebra GeoGebra 1 GeoGebra er et dynamisk geometriprogram. Ved hjelp av dette programmet kan du framstille forskjellige geometriske figurer, forskjellige likninger (likningssett) og ulike funksjonsuttrykk,
DetaljerGeoGebra U + V (Elevark)
GeoGebra U + V (Elevark) Forberedelser: - Åpne en ny fil i GeoGebra 4.0. - Skjul algebrafelt, inntastingsfelt og akser (fjern hakene under Vis-menyen). - Husk å lese hjelpeteksten på verktøylinja. Oppgave:
DetaljerParallellseksjon 4G. Hefte nr. 2. Tips, triks og løysingar til oppgåver og utfordringar
Sigbjørn Hals, 11.08.1 Parallellseksjon 4G Hefte nr. Tips, triks og løysingar til oppgåver og utfordringar Innhald GeoGebra som talknusar... Tok Fermat feil?... Matematisk drodling... 3 Visualisering av
DetaljerGeoGebra-opplæring i Matematikk S1
GeoGebra-opplæring i Matematikk S1 Emne Underkapittel Utregning av algebraiske uttrykk 1.4 Forenkle uttrykk 1.5 Faktorisering 1.5 Kvadratsetningene 1.6 Grafisk løsning av eksponentiallikninger 1.8 Grafisk
DetaljerEksamen REA3022 R1, Våren 2013
Eksamen REA30 R1, Våren 013 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 ( poeng) Formlene for arealet A av en sirkel og volumet
DetaljerLøsningsforslag eksamen R2
Løsningsforslag eksamen R Vår 010 Oppgave 1 a) f (x) = x cos(3x) f (x) = x cos(3x) + x ( sin(3x) 3) = x cos(3x) 3x sin(3x) b) 1. Bruker delvis integrasjon med u = 5x og v = 1 ex slik at u = 5 og v = e
DetaljerKurvetilpasning (regresjon) med GeoGebra 4.0
Kurvetilpasning (regresjon) med GeoGebra 4.0 av Sigbjørn Hals Innhold Liste over kommandoene... 2 Lineær regresjon... 3 Potensregresjon... 5 Eksponentiell regresjon... 5 Logaritmisk regresjon... 6 Logistisk
DetaljerLøsningsforslag til underveisvurdering i MAT111 vår 2005
Løsningsforslag til underveisvurdering i MAT111 vår 5 Beregn grenseverdien Oppgave 1 (x 1) ln x x x + 1 Svar: Merk at nevneren er lik (x 1), så vi kan forkorte (x 1) oppe og nede og får (x 1) ln x ln x
DetaljerVelg mellom disse kommandoene: Dersom[<Vilkår>, <Så>, <Ellers>] Funksjon[<Funksjon>, <Start>, <Slutt>]
442 Grafer Å tegne grafen til en funksjon Nullpunkter Velg mellom disse kommandoene: Dersom[, , ] Funksjon[, , ] GeoGebra finner nullpunktene til en innlagt
DetaljerKORT INNFØRING I GEOGEBRA
Innhold INNLEDNING... 3 KORT INNFØRING I GEOGEBRA... 4 ØVELSE 1. TEGNE GRAFER... 9 ØVELSE 2. TEGNE GRAFER TIL RASJONALE FUNKSJONER... 11 ØVELSE 3. LIKNINGSLØSNING... 15 ØVELSE 4. TANGENTER OG MAKS OG MIN
DetaljerR2 Eksamen V
R V011 R Eksamen V011-1.05.011 Del 1 - Uten hjelpemidler Oppgave 1 a) 1) Kjerneregel: fx sin u, u x f x cosu 4 cosx ) Produktregel (og kjerneregel på cosx): g x x cosx x sin x xcosx x sin x ) Kjerneregel:
DetaljerEksamen R2 høsten 2014 løsning
Eksamen R høsten 04 løsning Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave (3 poeng) Deriver funksjonene a) f x cos3x Vi bruker kjerneregelen
DetaljerSkolelaboratoriet for matematikk, naturfag og teknologi. Kurshefte i GeoGebra. Ungdomstrinnet
Skolelaboratoriet for matematikk, naturfag og teknologi Kurshefte i GeoGebra Ungdomstrinnet Astrid Johansen - NTNU Skolelaboratoriet - 29.10.2013 GeoGebra Geometri og algebra Dynamisk geometriverktøy Algebraisk
DetaljerSpørsmål og svar om GeoGebra, versjon 2.7 nynorsk
Spørsmål og svar om GeoGebra, versjon 2.7 nynorsk Eg har lasta ned ei installasjonsfil frå www.geogebra.org og installert programmet, men får det ikkje til å fungere. Kva kan dette skuldast? Den mest vanlege
DetaljerR2 kapittel 8 Eksamenstrening
R kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i boka Uten hjelpemidler Oppgave E a F (4) = f (4) = 4 4 b f x x [ F x ] F F ( ) Oppgave E5 ( )d = ( ) = (4) () = 6 = 7 Grafen til f ligger over x-aksen
DetaljerHeldagsprøve R2. Våren Onsdag 6. Mai Løsningsskisser - Versjon Del 1 - Uten hjelpemidler - 3 timer. Oppgave 1.
Heldagsprøve R Våren 015 Onsdag 6. Mai 09.00-14.00 Løsningsskisser - Versjon 1.05.15 Del 1 - Uten hjelpemidler - timer Oppgave 1 Deriver funksjonene: a) fx tanx Kjerneregel: fx tanu, u x f 1 x cos u x
DetaljerMatematikk 1000. Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 7 Numerisk derivasjon
Matematikk 1000 Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 7 Numerisk derivasjon Vi skal se at der er ere måte å regne ut deriverte på i tillegg til de derivasjonsreglene vi kjenner fra før Men ikke alle måtene
DetaljerGeoGebra. brukt på eksamensoppgaver i 10. kl. Sigbjørn Hals
GeoGebra brukt på eksamensoppgaver i 10. kl. Sigbjørn Hals Innhold Hva er GeoGebra?... 2 Hvilken nytte har elevene av å bruke GeoGebra?... 2 Hvor finner vi GeoGebra?... 2 Oppbyggingen av programmet...
DetaljerLøsningsforslag AA6516 Matematikk 2MX Privatister 10. desember 2003. eksamensoppgaver.org
Løsningsforslag AA6516 Matematikk MX Privatister 10. desember 003 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i MX er gratis, og det er lastet
DetaljerQED 5 10. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 1 og 2. GeoGebra-øvelser i funksjonslære. Av Peer Sverre Andersen
QED 5 10 Matematikk for grunnskolelærerutdanningen Bind 1 og 2 GeoGebra-øvelser i funksjonslære Av Peer Sverre Andersen Innhold INNLEDNING... 3 KORT INNFØRING I GEOGEBRA... 4 ØVELSE 1. TEGNE GRAFER...
DetaljerGEOGEBRA. 1 Tegn figurer. Fremgangsmåte: 1 Klikk bort Algebrafeltet.
GEOGEBRA 1 Tegn figurer. 1 Klikk bort Algebrafeltet. 2 Klikk bort Rutenett og Akser. 3 Klikk på tegnet for Mangekant. 4 Velg Regulær Mangekant. Sett av 2 punkter. Du får spørsmål om hvor mange sider. Velg
DetaljerGeoGebra 6 for Sinus 1T
SIGBJØRN HALS TORE OLDERVOLL GeoGebra 6 for Sinus 1T Sinus 1T ble skrevet med utgangspunkt i GeoGebra 5. I boka er det også lagt opp til at elevene har en enkel lommeregner i tillegg til datamaskin. I
DetaljerEksamen R2, Høsten 2015, løsning
Eksamen R, Høsten 05, løsning Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave (4 poeng) Deriver funksjonene a) f( ) 5cos( ) f 5 sin 0sin
DetaljerEksamen 03.12.2009. REA3024 Matematikk R2
Eksamen 03.1.009 REA304 Matematikk R Nynorsk/Bokmål Nynorsk Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemiddel på Del 1: Hjelpemiddel på Del : Bruk av kjelder: Vedlegg: Framgangsmåte: Rettleiing om vurderinga:
DetaljerKurs. Kapittel 2. Bokmål
Kurs 9 Kapittel 2 Bokmål 1 av 9 Kurs i GeoGebra Funksjoner og grafer I dette kurset skal vi se nærmere på hvordan vi kan bruke GeoGebra som en graftegner. Grunnleggende innstillinger Når vi skal bruke
DetaljerGeoGebra-opplæring i Matematikk 1T
GeoGebra-opplæring i Matematikk 1T Emne Underkapittel Rettvinklede trekanter 2.4 Ikke-rettvinklede trekanter I 2.6 Ikke-rettvinklede trekanter II 2.7 Graftegning 3.2 Graftegning med definisjonsmengde 3.2
Detaljer03.10.2013 Manual til. GeoGebra. Ungdomstrinnet. Ressurs til. Grunntall 8 10. Bjørn Bakke og Inger Nygjelten Bakke ELEKTRONISK UNDERVISNINGSFORLAG AS
03.10.2013 Manual til GeoGebra Ungdomstrinnet Ressurs til Grunntall 8 10 Bjørn Bakke og Inger Nygjelten Bakke ELEKTRONISK UNDERVISNINGSFORLAG AS Innhold Verktøy... 4 Hva vinduet i GeoGebra består av...
DetaljerForord. Molde, august 2011. Per Kristian Rekdal. Copyright c Høyskolen i Molde, 2011.
1 13. august 011 Forord Høgskolen i Molde gjennomfører forkurs i matematikk for studenter som har svakt grunnlag i dette faget, eller som ønsker å friske opp gamle kunnskaper. Formål: Målet med forkurset
DetaljerEksamen i emnet MAT111/M100 - Grunnkurs i matematikk I Mandag 15. desember 2003, kl. 09-13(15) LØYSINGSFORSLAG OPPGÅVE 2:
Eksamen i emnet MAT/M00 - Grunnkurs i matematikk I Mandag 5. desember 2003, kl. 09-3(5) LØYSINGSFORSLAG Finn dei deriverte til i) f(x) = x 2 ln x OPPGÅVE : exp(u 2 )du, x, ii) f(x) = x cos(x). i) d x 2
DetaljerGeoGebra for Sinus 2T
GeoGebra for Sinus 2T Innhold Vektorer med GeoGebra Skalarproduktet med GeoGebra Parameterframstilling med GeoGebra Ordnede utvalg eksempelet på side 89 med GeoGebra Uordnede utvalg eksempelet på side
DetaljerGrenseverdier og asymptoter. Eksemplifisert med 403, 404, 408, 409, 410, 411, 412, 414, 416, 417, 418, 419
Grenseverdier og asymptoter Eksemplifisert med 403, 404, 408, 409, 40, 4, 42, 44, 46, 47, 48, 49 Grenseverdier Grenseverdien til en funksjon, lim x a f x g, er en verdi vi kan komme så nær vi vil, når
DetaljerFasit, Implisitt derivasjon.
Ukeoppgaver, uke 8, i Matematikk, Implisitt derivasjon. 5 Fasit, Implisitt derivasjon. Oppgave Vi kaller den deriverte av y for y, og dette blir første ledd. Andre ledd må deriveres med kjerneregelen,
DetaljerGeoGebra-opplæring i Matematikk 2T
GeoGebra-opplæring i Matematikk 2T Emne Underkapittel Vektorer 1.4 Lengden av vektorer 1.5 Skalarprodukt. Vinkel mellom to vektorer 1.6 Parameterframstilling 1.8 Binomialkoeffisient I 2.7 Binomialkoeffisient
DetaljerPrøve i R2 Integrasjonsmetoder
Del 1 Hjelpemidler: ingen 1 Oppgave 1 Prøve i R Integrasjonsmetoder Caspar W. Hatlevik 19. oktober 1 Finn de ubestemte integralene og regn ut det bestemte integralet a. x + x + 1dx b. e 4x + x dx c. 1
DetaljerR2 kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka
R kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka E Bruker formelen cos 36 cos( 8 ) E sin 8 v og sin8 5 cos v sin sin8 5 5 6 5 5 8 5 5 8 6 5 8 6 5 8 8 3 5 5 5 a f ( ) sin 5 cos f ( ) 5cos
DetaljerQED Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 1 og 2. GeoGebra-øvelser i funksjonslære. Av Peer Sverre Andersen
QED 5 10 Matematikk for grunnskolelærerutdanningen Bind 1 og 2 GeoGebra-øvelser i funksjonslære Av Peer Sverre Andersen Innhold INNLEDNING... 3 KORT INNFØRING I GEOGEBRA... 4 ØVELSE 1. TEGNE GRAFER...
Detaljer3 Funksjoner R2 Oppgaver
3 Funksjoner R Oppgaver 3.1 Trigonometriske definisjoner... 3. Trigonometriske sammenhenger... 6 3.3 Trigonometriske likninger... 1 3.4 Trigonometriske funksjoner og funksjonsdrøfting... 14 3.5 Omforming
DetaljerR2 Funksjoner Quiz. Test, 3 Funksjoner
Test, Funksjoner Innhold. Trigonometriske definisjoner.... Trigonometriske sammenhenger... 8. Trigonometriske likninger.... Funksjonsdrøfting....5 Omforme trigonometriske uttrykk av typen a sin kx + b
Detaljer