GeoGebra i R2. Grafer. Topp- og bunnpunkter GeoGebra finner eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til en innlagt polynomfunksjon f.

Transkript

1 491 Grafer Topp- og bunnpunkter GeoGebra finner eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til en innlagt polynomfunksjon f. Å tegne grafer med argumentet gitt i grader GeoGebra finner eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til en innlagt funksjon f i intervallet 1, 8. GeoGebra tar ikke med randpunktene. Skriv inn funksjonsuttrykket for f(x) = sin x slik: f(x)=sin(x ) Grafen til den deriverte og den andrederiverte Skriv inn funksjonsuttrykket for f. Skriv inn f (x) for å tegne grafen til den deriverte av f. Skriv inn f (x) for å tegne grafen til den andrederiverte av f. Grenseverdien Sum under Definer f. SumUnder[f,0,3,4]

2 492 Retningsdiagram Differensiallikningen y = y 2x. Skriv Retningsdiagram[y-2x] i inntastingsfeltet, og trykk ENTER. Integralkurve Integralkurven gjennom A = (2, 3). Skriv inn A = (2,3), og trykk ENTER. Skriv Geometrisk sted [Retningsdiagram1,A], og trykk ENTER. Alternativt: Løs differensiallikningen y = y 2x med initialbetingelsen (2, 3), og klikk på ringen i rad 1.

3 493 CAS (Se også romgeometri) Å definere en funksjon Skriv inn funksjonsuttrykket for f. Legg merke til skrivemåten «:=». Følger Følge[<Uttrykk>,<Variabel>,<Fra>,<Til>] og trykk Enter. Rekursiv formel Rekker Vi har formelen a n = 2a n 1 3. Finn de fem neste leddene når a 1 = 10. IterasjonListe[<Funksjon>,<Start>, <Antall iterasjoner>] og trykk Enter. Sum[<Uttrykk>,<Variabel>, <Start>,<Slutt>]. Alternativt: Sum[<Liste>] og deretter Følge[ ]. Uendelig konvergent rekke: Sumformel Summen av de n første trekanttallene. Sum[<Uttrykk>,<Variabel>, <Start>,<Slutt>]. Antall ledd må være 18 hvis summen skal være minst Trigonometriske likninger Eksakt (grader): Numerisk (grader): Eksakt (radianer): Numerisk (radianer):

4 494 Løsninger i et gitt intervall Vi legger inn ønsket intervall. Ubestemt integral Integral[<Funksjon>] Ubestemt integral med definert variabel Integral[<Funksjon>,<Variabel>] Bestemt integral Integral[<Funksjon>,<Start>,<Slutt>] TrigKombiner [Uttrykk,målfunksjon] Areal mellom grafene til f og g fra a til b. Omforming av trigonometriske funksjonsuttrykk Delbrøkoppspalting IntegralMellom[<Funksjon>, <Funksjon>, <Start>, <Slutt>] Delbrøkoppspalting[<Funksjon>].

5 495 Differensiallikninger LøsODE[<Likning>] Eksakt: Numerisk: Første ordens differensiallikning med initialbetingelse Andre ordens differensiallikning med initialbetingelser Differensiallikninger med andre variable enn x og y LøsODE[<Likning>], og legg til initialbetingelsen etter likningen i form av et punkt. Initialbetingelsen y(0) = 1 gir punktet (0, 1). Initialbetingelsene er y(0) = 2 og y (0) = 1. N legges inn som Avhengig variabel og t som Uavhengig variabel Andregradslikninger med komplekse løsninger Andregradslikningen x 2 2x + 3 = 0, som har komplekse løsninger, løses ved å bruke kommandoen CLøs[<Likning>].

6 496 Romgeometri Avstand mellom to punkter Avstand[<Punkt>, <Objekt>]. Hvis punktene A og B er lagt inn, kan du skrive Avstand[A,B]. Midtpunktet på linja mellom to punkter Midtpunkt[<Punkt>, <Punkt>]. Lengden av en vektor Bruk ( ) eller abs(( )). eller Vektor mellom punktene P og Q Definer punktene. Vektor[<Punkt>,<Punkt>] eller Areal av mangekant Mangekant[A,B,C] Volum av pyramide Høyde i pyramide Pyramide[A,B,C,D] (Her er ABC grunnflaten og D toppunktet) Pyramiden ABCD Høyde[<Objekt>] (Høyde[d]) (Høyden fra D til grunnflaten ABC) (Høyden er 4 = 4.)

7 497 Skalarprodukt Vektorprodukt I stedet for å bruke kommandoen «Vektorprodukt[<, >], kan vi bruke symbolet for vektorprodukt. Vi kan også bruke hurtigtasten Alt + Shift + 8. Merk! eller gir punktet ( 12, 4, 7) eller Vinkelen mellom to vektorer I inntastingsfeltet: Vinkel[<Vektor>, <Vektor>]. Du får svaret i algebrafeltet. I CAS: Vinkel mellom linje og plan Før vi fant parameterframstillingen for linja, definerte vi retningsvektoren r for linja. Vinkel[<Linje>,<Plan>] (Vinkel[a,b])

8 498 Vinkel i mangekant Punktene legges inn. Vinkel[A, B, C]/ (Denne kommandoen gir ABC.) Parameterframstilling for linje gitt ved to punkter Parameterframstilling for linje gitt ved punkt og retningsvektor Linje[<Punkt><Punkt>]. Svaret vi får i algebrafeltet, kan vi skrive slik: x = 1 + 3t y = 1 z = 2 + t Vi definerer P = (2, 1, 3) og r = [ 0,1, 4] i inntastingsfeltet. Bruker så kommandoen Linje[<Punkt>,<Retningsvektor>]. eller Avstand mellom linjer Definer linjene a og b og bruk kommandoen Avstand[a,b] Likning for plan gjennom tre punkter Plan[<Punkt>, <Punkt>, <Punkt>]. Hvis punktene A, B og C er lagt inn: Plan[A,B,C].

9 499 Likning for plan gitt ved et punkt og en normalvektor Normalplan[<Punkt>,<Vektor>] Avstand fra punkt til plan Planet gitt ved tre punkter: Definer planet. Avstand[<Punkt>,<Objekt>] Planet gitt ved likning: Avstand mellom punkt og linje Avstanden mellom punktet Q og linja a. Linja a er gitt ved punktet (2, 0, 1) og retningsvektoren r. Kommando Avstand[Q, a] Skjæringspunkt mellom plan og linje Skjæringslinja mellom planene a og b Definer planet a og linja b. Skjæring[<Objekt>,<Objekt>] (Skjæring[a,b]). Skjæring[<Objekt>,<Objekt>] (Skjæring[a,b]). Likning for kule Sentrum i kula: (2, 4, 1) Radius: 3 Kule[<Punkt>,<Radius>] Tegne kule gitt ved parameterframstilling Overflate[4cos(u)cos(v), 4cos(u)sin(v), 4sin(u), u, π/2, π /2, v, π, π]

10 500 Skjæring mellom kule og plan Likningen for kula: a Likningen for planet: b. Kommando: Skjæring[a,b] Skjæringskurven: c Radius i skjæringskurven Kommando: Radius[c] Sentrum i skjæringskurven Kommando: Sentrum[c] Regneark Regresjon x y Vis Regneark. Legg inn x-verdiene i kolonne A. Legg inn y-verdiene i kolonne B. Marker cellene, og velg Regresjonsanalyse fra verktøyknapp nr. 2 fra venstre: Klikk på. Velg regresjonsmodell fra rullegardinmenyen. Her valgte vi en sinusmodell. Hvis du skal arbeide videre med modellen, kan du overføre grafen til grafikkfeltet ved å klikke på. Nyttige hurtigtaster Windows Mac Tilbake til Esc Esc Opphøyd i n (Heltallige n) Alt + n Ctrl + n Kvadratrot Alt + r Ctrl + r Pi Alt + p Ctrl + p Gradtegn Alt + o Ctrl + o Eulertallet Alt + e Ctrl + e Vektorprodukt Alt + Shift + 8 Ctrl + Shift + 8 Formelvisning Ctrl + d Cmd + d