Manual til. GeoGebra. Ungdomstrinnet. Ressurs til. Grunntall Bjørn Bakke og Inger Nygjelten Bakke ELEKTRONISK UNDERVISNINGSFORLAG AS

Transkript

1 Manual til GeoGebra Ungdomstrinnet Ressurs til Grunntall 8 10 Bjørn Bakke og Inger Nygjelten Bakke ELEKTRONISK UNDERVISNINGSFORLAG AS

2 Innhold Verktøy... 4 Hva vinduet i GeoGebra består av... 4 Rutenett og akser... 4 Flytte grafikkfeltet... 5 Linje, linjestykke og stråle... 5 Linje gjennom to punkter... 5 Linjestykke mellom to punkter... 6 Linjestykke med bestemt lengde... 6 Stråle gjennom to punkter... 7 Oppgaver... 7 Punkter... 7 Nytt punkt... 7 Skjæring mellom to objekter... 8 Flytt... 8 Flytte et punkt... 9 Oppgaver... 9 Mangekanter... 9 Mangekant Regulær mangekant Oppgaver Normaler, paralleller, halvering av vinkler og tangenter Normal linje Parallelle linjer Midtnormal Halveringslinje for en vinkel Oppgaver Sirkler Sirkel definert ved sentrum og et periferipunkt Sirkel definert ved sentrum og radius Passer Sirkel gjennom tre punkter Halvsirkel mellom to punkter Oppgaver Side 2 av 42

3 Vinkler og målinger Vinkel Vinkel med fast størrelse Avstand eller lengde Areal Oppgaver Konstruksjon Konstruksjon av en mangekant Oppgaver Speiling og rotasjon Speile et objekt om en linje Speile et objekt om et punkt Rotere et objekt om et punkt med en fast vinkel Oppgaver Perspektivtegning Ettpunktsperspektiv Oppgaver Topunktsperspektiv Oppgaver Funksjoner Tegne en graf Lineære funksjoner Andregradsfunksjoner (kvadratiske funksjoner) Omvendt proporsjonale funksjoner Tegne en graf med et gitt definisjonsområde Finne bunnpunkter og toppunkter på en graf Skrive koordinatene for et punkt på grafen Finne skjæringspunkter mellom grafer og mellom grafer og koordinataksene Oppgaver Grafisk løsning av likninger med to ukjente Oppgaver Side 3 av 42

4 Verktøy For å kunne bruke GeoGebra må vi vite hva programmet består av, og kjenne til de forskjellige verktøyene som finnes i programmet. I denne manualen vil vi gjennomgå de verktøyene vi bruker på ungdomstrinnet. Hva vinduet i GeoGebra består av Verktøylinje I Algebrafeltet vises ulike opplysninger fra Grafikkfeltet, som f.eks. lengden av sider og størrelsen av areal. Grafikkfeltet er hovedfeltet i programmet. Ved å høyreklikke i Grafikkfeltet får vi opp en meny. Her kan vi velge om vi vil ha Akser, og om vi vil ha Rutenett i Grafikkfeltet. Klikk på de forskjellige valgene for å finne ut hvordan Grafikkfeltet kan se ut. Her ligger angreknappene. Vi går ett skritt fram eller ett tilbake i det vi har gjort i Grafikkfeltet, for hvert klikk. Rutenett og akser Slik ser det ut når vi har både rutenett og akser i Grafikkfeltet. Da har vi et koordinatsystem. Det er 1 cm mellom hvert tall på aksene i koordinatsystemet. Avstanden mellom to tall i et koordinatsystem kalles enhet. I koordinatsystemene i GeoGebra er altså enheten 1 cm. Side 4 av 42

5 Flytte grafikkfeltet I verktøylinjen er det knapper som har ulike funksjoner. Vi kan klikke på den lille pilspissen for å se hvilke verktøy som finnes til hver knapp. Noen ganger kan vi få bruk for å flytte arket som ligger i Grafikkfeltet, f.eks. dersom deler av tegningen blir liggende utenfor det området vi ser på skjermen. Da velger vi knappen helt til høyre, trykker på den lille pilspissen og velger Flytt grafikkfelt. Vi beveger markøren til Grafikkfeltet. Da endrer markøren utseende til en hånd. Vi holder venstre musetast nede og flytter på arket. Linje, linjestykke og stråle Vi klikker på den lille pilspissen for å se hvilke verktøy som finnes til denne knappen. Dette verktøyet bruker vi når vi skal tegne en linje som går gjennom to punkter. Dette verktøyet bruker vi når vi skal tegne et vilkårlig linjestykke eller tegne et linjestykke mellom to punkter vi allerede har. Dette verktøyet tegner et linjestykke som har en gitt lengde. Dette verktøyet tegner en stråle. Linje gjennom to punkter Vi velger verktøyet Linje gjennom to punkt. Når vi klikker i Grafikkfeltet, lager vi punkt A. + Vi fører markøren vekk fra punkt A. Da tegnes det en linje som går gjennom A. Når vi klikker på venstre musetast igjen, lages punkt B. Da har vi laget en linje som verken har starteller sluttpunkt, og som går gjennom punktene A og B. Side 5 av 42

6 Linjestykke mellom to punkter Vi velger verktøyet Linjestykke mellom to punkt. Når vi klikker i Grafikkfeltet, lager vi punkt A. Vi fører markøren vekk fra punkt A. Da tegnes det en linje som begynner i A. Når vi klikker på venstre musetast igjen, lages punkt B. Da har vi laget linjestykket AB som har både start- og sluttpunkt. Linjestykke med bestemt lengde Vi velger verktøyet Linjestykke med bestemt lengde. Når vi klikker i Grafikkfeltet, lager vi punkt A. Samtidig kommer dette vinduet opp. Vi skriver lengden på linjestykket i det hvite feltet. Vi skriver ikke måleenhet til tallet. Måleenheten centimeter (cm) brukes automatisk. Når vi skriver desimaltall i GeoGebra, må vi bruke punktum (.) som desimaltegn i stedet for komma (,) som vi vanligvis skriver. Vi klikker OK. Nå er linjestykket ferdig. Vi ser at lengden av linjestykket står i Algebrafeltet. Side 6 av 42

7 Stråle gjennom to punkter Vi velger verktøyet Stråle gjennom to punkt. Når vi klikker i Grafikkfeltet, lager vi punkt A. Vi fører markøren vekk fra punkt A. Da tegnes det en linje som begynner i A. Når vi klikker på venstre musetast igjen, lages punkt B. Strålen vi har laget, har A som startpunkt og går gjennom B. Oppgaver 1 Tegn en linje som går gjennom to punkter. 2 Tegn et linjestykke som er 6,5 cm. 3 Tegn en stråle. 4 Tegn et linjestykke mellom to punkter. Punkter Vi klikker på den lille pilspissen for å se hvilke verktøy som finnes til denne knappen. Dette verktøyet skal vi bruke når vi skal lage et nytt punkt. Når vi skal finne skjæringspunktet mellom f.eks. to linjer, bruker vi dette verktøyet. Nytt punkt Vi velger verktøyet Nytt punkt. Nå kan vi lage punkter i Grafikkfeltet. Vi lager et nytt punkt hver gang vi trykker på venstre musetast. Punktene får navnene A, B osv. i alfabetisk rekkefølge. Her er det laget to punkter. Side 7 av 42

8 Når vi har brukt verktøyet Nytt punkt og tegnet to punkter, kan vi tegne et linjestykke mellom de to punktene. Vi velger verktøyet Linjestykke mellom to punkt. Vi klikker først på punkt A, deretter på punkt B. Da tegnes det et linjestykke mellom de to punktene. Vi kan tegne en linje gjennom de to punktene ved å velge verktøyet Linje gjennom to punkt og deretter klikke på de to punktene. Skjæring mellom to objekter Når vi skal finne punktet der to linjestykker krysser hverandre, bruker vi verktøyet Skjæring mellom to objekt. Vi kan finne skjæringspunktet på to måter: Vi kan klikke direkte i krysset. De to linjene vil bli merket når vi holder musepekeren over dem. Eller vi kan først klikke på den ene linjen og deretter på den andre linjen. Da vil skjæringspunktet bli merket. Flytt Vi klikker på den lille pilspissen for å se hvilke verktøy som finnes til denne knappen. Vi skal bruke Flytt. Dette verktøyet brukes til å flytte et element i Grafikkfeltet, f.eks. et punkt, en figur eller en bokstav ved et punkt. Side 8 av 42

9 Flytte et punkt Vi kan flytte et punkt vi allerede har laget. Når vi skal flytte et punkt, velger vi Flytt. Deretter plasserer vi markøren på punktet vi vil flytte, holder venstre musetast nede og drar punktet dit vi vil ha det. Vi kan ikke flytte punkt E fordi det er laget som et punkt som er avhengig av de andre punktene (A, B, C og D). Det flytter seg automatisk når ett av disse punktene flyttes. Oppgaver 5 a Lag to punkter, og tegn en linje mellom dem. b Lag to nye punkter, og tegn en linje gjennom dem. c De to linjene du tegnet i oppgave a og b skal krysse hverandre. Gjør de ikke det, flytter du ett eller flere punkter slik at de krysser hverandre. d Marker skjæringspunktet mellom de to linjene. 6 a Lag et linjestykke som er 5 cm. b Lag to punkter, og tegn en linje mellom de to punktene. Denne linjen skal krysse linjestykket du allerede har laget. c Marker skjæringspunktet mellom de to linjene. d Tegn en ny linje som går gjennom skjæringspunktet mellom de to andre linjene. Mangekanter Vi klikker på den lille pilspissen for å se hvilke verktøy som finnes til denne knappen. Med Mangekant kan vi tegne en mangekant med den formen vi selv ønsker, eller lage en sammenhengende mangekant som vi først har tegnet med punkter og linjer. Med Regulær mangekant kan vi tegne en mangekant der alle sidene er like lange. Vi bruker dette valget når vi f.eks. skal tegne en likesidet trekant og et kvadrat. Side 9 av 42

10 Mangekant Vi velger verktøyet Mangekant. Når vi klikker i Grafikkfeltet, lages punkt A. For hver gang vi klikker med venstre musetast, lages et nytt hjørne i mangekanten og et linjestykke mellom det forrige punktet og det nye vi lager. Vi må lukke mangekanten ved å klikke på det hjørnet vi begynte med. I dette eksemplet klikker vi på A, B, C, D og til slutt på A igjen for å lukke firkant ABCD. Vi kan forandre formen til firkanten ved å flytte hjørnene med Flytt-verktøyet. Har vi tegnet en mangekant ved å bruke punkter og linjer, kan vi lukke den til en mangekant etterpå. Vi har tegnet firkanten ABCD ved å bruke punkter og linjer. Vi skal lukke firkanten. Vi velger Mangekant og klikker på hjørnene i mangekanten i rekkefølge. Vi må huske å lukke den helt ved å klikke i det hjørnet vi begynte med. I denne figuren klikker vi på A, B, C, D og til slutt på A igjen. Da vil hele mangekanten og sidene i den være farget slik som i forrige eksempel. Side 10 av 42

11 Regulær mangekant Vi velger verktøyet Regulær mangekant. Vi klikker i Grafikkfeltet og lager punkt A og punkt B. Samtidig kommer dette vinduet opp. Vi skriver tallet for antall hjørner den regulære mangekanten skal ha. Så klikker vi OK. Da tegnes den regulære mangekanten, i dette tilfellet, kvadratet, ferdig. Vi kan forandre størrelsen på kvadratet ved å flytte enten punkt A eller punkt B. Oppgaver 7 a Bruk verktøyet Mangekant, og tegn en trekant. b Flytt på hjørnene i trekanten slik at trekanten endrer form. 8 a Tegn en firkant ved å bruke andre verktøy enn Mangekant. b Lukk firkanten ved å bruke verktøyet Mangekant. 9 Tegn en likesidet trekant. 10 Tegn en femkant der alle sidene er like lange. Side 11 av 42

12 Normaler, paralleller, halvering av vinkler og tangenter Vi klikker på den lille pilspissen for å se hvilke verktøy som finnes til denne knappen. Med disse verktøyene kan vi: Tegne en normal til en linje gjennom et punkt. Tegne en parallell til en linje gjennom et punkt utenfor linjen. Tegne en midtnormal til et linjestykke. Tegne halveringslinjen til en vinkel. Normal linje Vi velger verktøyet Normal linje. Vi har en linje (linjen gjennom A og B) og et punkt (C). For å tegne en normal til linjen gjennom C, klikker vi først på punktet (C). Så klikker vi på linjen vi skal lage normal til, altså linjen gjennom A og B. Parallelle linjer Vi velger verktøyet Parallell linje. Vi har en linje (linjen gjennom A og B) og et punkt (C). For å tegne en parallell til linjen gjennom C, klikker vi først på punktet (C). Så klikker vi på linjen vi skal lage parallellen til, altså linjen gjennom A og B. Midtnormal Vi velger verktøyet Midtnormal. Vi har et linjestykke (AB) som vi skal tegne midtnormalen til. For å tegne midtnormalen til linjestykket (AB), klikker vi på endepunktene til linjestykket (A og B). Side 12 av 42

13 Halveringslinje for en vinkel Vi velger verktøyet Halveringslinje for vinkel. Vi har to linjer/stråler som skjærer hverandre. Vi skal tegne halveringslinjen til vinkelen mellom linjene gjennom toppunktet (A). For å tegne halveringslinjen til vinkelen, klikker vi på de tre punktene. Husk at toppunktet for vinkelen (A) må være det midterste punktet vi klikker på. (Klikk på C, så A og til slutt på B.) Vi kan også finne halveringslinjen ved å klikke på de to vinkelbeina (AB og AC). Oppgaver 11 Tegn en loddrett linje og et punkt utenfor linjen. Tegn en normal til linjen gjennom punktet utenfor linjen. 12 Tegn en vannrett linje og et punkt på linjen. Tegn en normal til linjen gjennom punktet på linjen. 13 Tegn en linje og et punkt utenfor linjen. Tegn en parallell til linjen gjennom punktet utenfor linjen. 14 Tegn et linjestykke som er 5 cm. Tegn midtnormalen til linjestykket. 15 Avsett et punkt, og tegn to stråler som begge har dette punktet som startpunkt. Tegn halveringslinjen til vinkelen mellom de to strålene. Side 13 av 42

14 Sirkler Vi klikker på den lille pilspissen for å se hvilke verktøy som finnes til denne knappen. Med disse verktøyene kan vi: Tegne en sirkel når vi vet sentrum i sirkelen og ett punkt på sirkellinjen. Tegne en sirkel når radius er gitt. Bruke det som en passer der vi kan bestemme radius i sirkelen ved hjelp av hjelpelinjer. Tegne en sirkel gjennom tre gitte punkter. Tegne en halvsirkel mellom to gitte punkter. Sirkel definert ved sentrum og et periferipunkt Vi velger verktøyet Sirkel definert ved sentrum og periferipunkt. Vi avsetter to punkter (A og B). Det ene punktet er sentrum i sirkelen, og det andre punktet skal ligge på sirkellinjen. Vi klikker på punktet som skal være sirkelens sentrum (A), og deretter på punktet (B) som skal ligge på sirkellinjen. På samme måte kan vi tegne en sirkel ved å bruke punkter som allerede er oppgitt. Sirkel definert ved sentrum og radius Vi velger verktøyet Sirkel definert ved sentrum og radius. Når vi klikker i Grafikkfeltet, lager vi punkt A. Samtidig kommer dette vinduet opp. Vi skriver lengden på radius i det hvite feltet. Vi skriver ikke måleenhet til tallet. Måleenheten centimeter (cm) brukes automatisk. Når vi skriver desimaltall i GeoGebra, må vi bruke punktum (.) som desimaltegn i stedet for komma (,) som vi vanligvis skriver. Vi klikker OK. Da tegnes sirkelen. Side 14 av 42

15 Passer Vi skal finne punkt C som ligger 5 cm fra A på det venstre vinkelbeinet til A. Vi tegner først en linje som er 5 cm (DE). Deretter velger vi verktøyet Passer. For å finne riktig passeråpning (5 cm), klikker vi på de to endepunktene av hjelpelinjen på 5 cm som vi laget oss (DE). Da får vi fram en sirkel med r = 5 cm. Siden vi skal avsette 5 cm fra punkt A, må punkt A være sentrum i sirkelen. Vi klikker i A. Da tegnes sirkelen. Vi bruker verktøyet Skjæring mellom to objekter og finner punktet. Side 15 av 42

16 Sirkel gjennom tre punkter Vi velger verktøyet Sirkel gjennom tre punkt. Vi klikker i alle tre punktene. Da tegnes sirkelen. Halvsirkel mellom to punkter Vi velger verktøyet Halvsirkel mellom to punkt. Vi klikker i de to punktene. Da tegnes halvsirkelen. Oppgaver 16 Avsett to punkter. Tegn en sirkel der det ene punktet er sentrum og det andre punktet ligger på sirkellinjen. Gjør det samme med det andre punktet som sentrum. 17 Avsett tre punkter. Tegn en sirkel slik at alle de tre punktene ligger på sirkellinjen. 18 Avsett to punkter. Tegn en halvsirkel mellom de to punktene. 19 Tegn en sirkel med radius 2,5 cm. Side 16 av 42

17 Vinkler og målinger Vi klikker på den lille pilspissen for å se hvilke målinger vi kan gjøre. Med Vinkel måler vi størrelsen på en vinkel. Med Vinkel med fast størrelse tegner vi en vinkel der størrelsen er oppgitt. Med Avstand eller lengde måler vi lengden av et linjestykke. Med Areal måler vi arealet av en flate. Vinkel Vi velger verktøyet Vinkel. Når vi skal måle størrelsen av en vinkel, klikker vi først på det punktet som ligger på det ene vinkelbeinet, deretter på vinkelens toppunkt og til slutt på punktet på det andre vinkelbeinet. (Først B, så A og til slutt C.) Da vises størrelsen på vinkelen. Vinkel med fast størrelse Vi velger verktøyet Vinkel med fast størrelse. Vi har et linjestykke (AB) og skal tegne B = 75. Vi klikker først i det punktet hvor vinkelen ikke skal ligge, deretter i det som skal bli vinkelens toppunkt. Da kommer dette vinduet opp. Vi skriver 75 og velger med klokka. (Vi skal begynne å telle gradene fra linjestykket, og da ser vi at vinkelen må dreies i samme retning som viserne på klokka går.) Vi klikker OK. Side 17 av 42

18 Da merkes det av et punkt som vil ligge på en linje gjennom toppunktet slik at vinkelen blir 75. Vi tegner en stråle fra vinkelens toppunkt gjennom punktet. Avstand eller lengde Vi velger verktøyet Avstand eller lengde. Når vi skal måle lengden av et linjestykke, klikker vi først på det ene endepunktet og deretter på det andre. Da kommer lengden av linjestykket opp. Dersom tekstboksen med lengden legger seg oppå linjestykket, kan vi flytte den ved å velge Flytt og dra den dit vi ønsker. Areal Vi velger verktøyet Areal. Når vi skal måle arealet av en mangekant, klikker vi inni mangekanten. Da kommer arealet opp. Lengden av siden i kvadratet finner vi i feltet til venstre, men vi kan også sette den direkte på figuren ved å velge verktøyet Avstand eller lengde. Side 18 av 42

19 Oppgaver 20 Tegn to stråler med felles startpunkt. Mål vinkelen mellom de to strålene. 21 Tegn to linjer som skjærer hverandre. 22 Tegn et linjestykke AB = 5 cm. Tegn A = 60 og B = Lag et linjestykke mellom to punkter. Sett på lengden av linjestykket. 24 Tegn en trekant ved å bruke verktøyet Mangekant. a Sett på lengden av alle sidene. b Sett på arealet av trekanten. 25 Tegn et kvadrat. a Sett på lengden av en sidekant. b Sett på arealet av kvadratet. c Gjør kvadratet større og mindre ved å flytte på hjørne A eller B. Hva skjer med lengden av siden og arealet når du flytter et punkt? Bruk lommeregner, og regn ut arealet for å kontrollere om GeoGebra regner riktig. 26 Tegn en regulær sekskant. a Sett på lengden av en sidekant. b Sett på arealet av sekskanten. c Flytt på hjørne A, og observer hva som skjer med lengden av siden og arealet. Konstruksjon Vi kan konstruere ved å bruke GeoGebra. Da kan vi ikke bruke de forskjellige tegneredskapene, men må konstruere med å lage buer slik vi gjør med passer når vi konstruerer på papir. Konstruksjon av en mangekant I denne videoen vises og forklares det hvordan vi konstruerer en trekant. Utregningen er fra pensum for videregående skole. Oppgaver 27 I ABC er A = 60, AB = 7 cm og AC = 6 cm. Konstruer trekanten. 28 I ABC er B = 90, AB = 6 cm og BC = 5 cm. Konstruer trekanten. Side 19 av 42

20 Speiling og rotasjon Vi klikker på den lille pilspissen for å se hvilke verktøy som finnes til denne knappen. Vi skal bruke tre av disse: Speile en figur om en linje. Speile en figur om et punkt. Rotere en figur om et punkt med en bestemt vinkel. Speile et objekt om en linje Først tegner vi figuren vi skal speile. Så tegner vi linjen vi skal bruke som speilingslinje. Vi velger verktøyet Speil objekt om linje. Vi klikker først i figuren som skal speiles, og deretter på speilingslinjen. Da får vi den speilede figuren. Side 20 av 42

21 Speile et objekt om et punkt Vi tegner figuren vi skal speile om et punkt. Så setter vi av punktet (E) som vi skal speile figuren om. Vi velger verktøyet Speil objekt om punkt. Vi klikker først i figuren som skal speiles, og deretter på speilingspunktet. Da får vi figuren som er speilet om punktet E. Side 21 av 42

22 Rotere et objekt om et punkt med en fast vinkel Vi tegner først figuren vi skal rotere om et punkt med en fast vinkel. Vi velger så verktøyet Roter objekt om punkt med fast vinkel. Vi klikker i figuren vi skal rotere, og deretter i punktet vi skal rotere den om. I dette tilfellet er det punkt A. Da kommer dette vinduet opp. Vi skriver inn gradtallet for rotasjonen og klikker mot eller med klokka. Til slutt klikker vi på OK. Da får vi figuren som er rotert 120 mot klokka om punkt A. Side 22 av 42

23 Oppgaver 29 Tegn en trekant og en linje utenfor trekanten. a Speil trekanten om linjen. Forandre figuren ved å velge Flytt, og dra i punkt A. b Hva skjer med speilbildet av trekanten? 30 Tegn en firkant og en linje som går gjennom firkanten. Speil firkanten om linjen. 31 Tegn en regulær femkant og to linjer utenfor femkanten. De to linjene skal krysse hverandre. a Speil femkanten om skjæringspunktet mellom de to linjene som krysser hverandre. b Speil femkanten om de to linjene. Bruk Flytt, og dra i femkanten slik at den endrer størrelse. c Hva skjer med de tre speilbildene? 32 Tegn en likesidet trekant. Roter trekanten 150 mot klokka om hjørne A. Perspektivtegning Vi bruker perspektivtegning når vi tegner ting som vi ser i rommet (tredimensjonalt), på et ark (todimensjonalt). Linjer som er loddrette og parallelle i virkeligheten, blir også parallelle på tegningen. Ettpunktsperspektiv Vi bruker Rutenett i Grafikkfeltet. Vi tegner et rett linjestykke (AB). Så merker vi av et punkt (C) på linjestykket. Dette punktet skal være forsvinningspunktet. Vi skal nå endre navnet på forsvinningspunktet fra C til F. Vi høyreklikker på punkt C. Da kommer denne menyen fram. Vi klikker på Gi nytt navn. Side 23 av 42

24 Vi skriver F. Så klikker vi OK. Vi skal tegne et prisme i perspektiv. Vi tegner flaten foran på prismet (CDEG). Så tegner vi et linjestykke fra hvert hjørne i firkanten (CDEG) til forsvinningspunktet, F. Vi skal nå tegne sideflaten som er på baksiden av prismet. Vi vet at sider som er parallelle og loddrette i virkeligheten, også skal være det på tegningen. Vi avsetter et punkt (H) på linjestykket mellom et hjørne (E) og forsvinningspunktet (F). Deretter avsetter vi de andre punktene i sideflaten på baksiden (I, J og K) slik at de blir parallelle med sidene i sideflaten foran (CDEG). Vi trekker linjestykkene mellom punktene slik at vi får tegnet opp firkanten (HIJK). Side 24 av 42

25 Nå skal vi gjøre alle linjestykkene i tegningen til stiplete linjer. Dersom vi ikke har Algebrafeltet synlig, klikker vi på Vis og deretter på Algebrafelt. Vi høyreklikker på ordet Linjestykke som står i Algebrafeltet. Da blir alle linjestykkene som står nevnt i Algebrafeltet, merket. Da kommer også denne menyen opp. Vi klikker på Egenskaper. Vi velger Stil. Deretter velger vi den linjetypen vi ønsker. Siden linjene her ikke skal være så synlige, kan vi f.eks. velge den som pila peker på. Nå er alle linjene i figuren stiplet. Side 25 av 42

26 Nå skal vi bruke Mangekant og spleise hver enkelt sideflate i prismet til en firkant slik det er gjort med sideflaten CDEG. Vi gjør det samme med de andre sideflatene. De andre sideflatene er de fem firkantene: DEHK, HIJK, CGIJ, GEHI og CDKJ. Nå ser figuren slik ut. Vi kan flytte forsvinningspunktet, F, langs linjestykket AB slik at vi kan observere hvordan perspektivtegningen av prismet forandrer seg. Vi forlenger linjestykket AB ved å flytte B langs linjen i rutenettet. Flytt forsvinningspunktet utover på linjestykket mot B. Da kan tegningen se omtrent slik ut. Side 26 av 42

27 Oppgaver 33 Du skal tegne et prisme i ettpunktsperspektiv. a Sideflaten som vender mot deg, skal være et kvadrat. Bruk Rutenett i Grafikkfeltet når du lager en perspektivtegning av prismet. Du velger selv hvor horisontlinjen og forsvinningspunktet skal ligge, og lengden av sidekantene. b Hvor lang er siden i kvadratet når vi vet at enheten på aksene er 1 cm? 34 Bruk Rutenett og Akser i Grafikkfeltet. a Merk av punkt A (1, 1), B (5, 1), C (5, 5) og D (1, 5). Bruk Mangekant, og lag en sammenhengende firkant ABCD. b Hvor lang er siden i kvadratet når vi vet at enheten på aksene er 1 cm? c Bruk verktøyet, og sett på lengden av siden av kvadratet for å kontrollere om du hadde riktig svar. d Hvor stort er kvadratets areal? e Bruk verktøyet, og sett på arealet av kvadratet for å kontrollere om du hadde riktig svar. 35 Bruk Rutenett og Akser i Grafikkfeltet. a Merk av punktene A (1, 1), B (6, 1), C ( 6, 5) og D (1, 5). b Tegn linjestykkene AB, BC, CD og DA. c Lag en sammenhengende firkant ABCD ved å bruke verktøyet Mangekant. d Hva kaller vi en slik firkant som firkant ABCD? e Finn ut hvor lang AB er, uten å bruke verktøyet Avstand eller lengde. f Bruk verktøyet Avstand eller lengde, og sett på lengden av siden slik at du kan kontrollere om du fant riktig svar i e. g Finn ut hvor lang AD er, uten å bruke verktøyet Avstand eller lengde. h Bruk verktøyet Avstand eller lengde, og sett på lengden av siden slik at du kan kontrollere om du fant riktig svar i g. i Regn ut firkantens areal uten å bruke verktøyet Areal. j Bruk verktøyet Areal, og sett på arealet slik at du kan kontrollere om svaret du fant i oppgave i, er riktig. k Bruk verktøyet Flytt, og flytt firkanten i koordinatsystemet. Skjer det noen endringer i lengden av sidene og arealet? 36 5 m Figuren viser tegningen av et rom. 4 m Bruk Rutenett i Grafikkfeltet, og lag en tegning av rommet i målestokken 1 : 50. 6,5 m Side 27 av 42

28 Topunktsperspektiv Se på videoen hvordan vi tegner et hus i topunktsperspektiv: Oppgaver 37 Tegn et prisme i topunktsperspektiv. Funksjoner I ungdomsskolen har vi vært vant til å skrive en funksjon med y og x som de variable, f.eks. y = 2x + 1. I en funksjon er y avhengig av x. I matematikken i videregående skole og på høyere nivå byttes y ut med f(x). Det betyr at den variable som vi så langt har kalt y som er en funksjon av x, skrives f(x). I GeoGebra brukes denne måten å skrive en funksjon på. Det betyr at vi heretter skriver y = 2x + 1 som f(x) = 2x +1. Tegne en graf Vi kan tegne alle typer funksjonsuttrykk med samme framgangsmåte. Lineære funksjoner Vi skriver inn funksjonen i skrivefeltet og trykker på Enter-tasten. Da tegnes grafen til funksjonen i Grafikkfeltet. Funksjonsuttrykket kommer fram i Algebrafeltet. Side 28 av 42

29 Andregradsfunksjoner (kvadratiske funksjoner) Vi tegner grafen til en andregradsfunksjon på samme måte som vi tegner grafen til en lineær funksjon. Husk at vi skriver x 2 som x^2 når vi skriver inn funksjonsuttrykket i skrivefeltet. Vi skriver inn funksjonene i skrivefeltet og trykker på Enter-tasten. Da tegnes grafen til funksjonen i Grafikkfeltet. Funksjonsuttrykket kommer fram i Algebrafeltet. Omvendt proporsjonale funksjoner Vi tegner grafen til en omvendt proporsjonal funksjon på samme måte som vi tegner grafen til andre funksjoner. Her tegnes grafen for alle x-verdier, også når x er et negativt tall. Side 29 av 42

30 Tegne en graf med et gitt definisjonsområde Ofte gis funksjoner med et eget definisjonsområde som f.eks. 1 x 10. Definisjonsområdet 1 x 10 betyr at grafen skal tegnes for x-verdier større enn 1, men mindre enn eller lik 10. I dette eksemplet skal vi tegne grafen til f(x) = for 1<x 10. Vi skriver inn f(x)=dersom slik at vi får opp flere valg. Vi velger Dersom. Vi skriver inn definisjonsområdet i <Vilkår>. For å finne tegnet α-tegnet til høyre., klikker vi på knappen med Vi klikker på det tegnet vi ønsker, slik at det skrives i skrivefeltet. Så skriver vi ferdig definisjonsområdet. Vi trykker på Tab på tastaturet slik at skrivemerket flytter seg til <Så>. Her skriver vi inn 6/x. (/ på tastaturet er en skrå brøkstrek.) Vi trykker på Enter-tasten slik at vi får tegnet grafen. Side 30 av 42

31 Vi ser at grafen begynner ca. fra x = 1 og slutter for x = 10 slik det står i definisjonsområdet. Funksjonsuttrykket og definisjonsområdet står i Algebrafeltet. Finne bunnpunkter og toppunkter på en graf Vi har tegnet grafen til f(x)=2x 2. Nå vil vi finne bunnpunktet på grafen. Kommandoen for å finne bunnpunkt og toppunkt er Ekstremalpunkt. Vi skriver Ekstremalpunkt i skrivefeltet. Da får vi opp flere valg. Vi velger Ekstremalpunkt. Vi skriver f der det sto skal finne bunnpunktet for funksjon f). (fordi vi Så trykker vi på Enter-tasten. Side 31 av 42

32 Da blir bunnpunktet merket av på grafen (A). Koordinatene for bunnpunktet står i Algebrafeltet. Skrive koordinatene for et punkt på grafen Når vi skal skrive koordinatene til et punkt på en graf, høyreklikker vi på punktet. Da kommer denne menyen opp. Vi klikker på Egenskaper. Da kommer dette vinduet opp. Vi velger Vis navn, og deretter Navn og verdi. Da skrives koordinatene ved siden av punktet. Side 32 av 42

33 Finne skjæringspunkter mellom grafer og mellom grafer og koordinataksene Vi skal tegne grafen til funksjonene f(x) = x 2 og g(x)= x + 2 i det samme koordinatsystemet. Vi tegner først grafen til f(x) = x 2. Så tegner vi grafen til funksjonen g(x)= x + 2 ved å skrive inn funksjonsuttrykket i skrivefeltet til det samme koordinatsystemet som vi tegnet f(x) i. Side 33 av 42

34 Nå skal vi finne skjæringspunktet mellom funksjonene f og g. Det kan vi gjøre på to forskjellige måter. Enten: Vi skriver Skjæring i skrivefeltet slik at vi får fram disse valgene. Vi velger Skjæring. Vi skriver f og g i og trykker på Enter-tasten. Eller: Vi kan bruke verktøyet Skjæring mellom to objekter. Da merkes skjæringspunktene av på grafene (punktene A og B). Koordinatene til skjæringspunktene står i Algebrafeltet. Side 34 av 42

35 Oppgaver 38 Tegn grafen til funksjonen f(x) = 3x a Tegn grafen til funksjonen f(x) = 4x b Finn toppunktet på grafen og koordinatene til toppunktet Tegn grafen til funksjonen f(x) = for 1 < x 8. x 41 a Tegn grafen til funksjonene f(x) = 3x 2 og g(x) = x + 4. b Marker skjæringspunktene mellom de to grafene. c Skriv koordinatene for skjæringspunktene ved siden av punktene. d Marker skjæringspunktene mellom funksjonene og begge aksene i koordinatsystemet. Grafisk løsning av likninger med to ukjente Vi skal løse likningssettet y=2x+1 x+2y=7 Her bruker vi y siden det er en likning. Vi skriver den første likningen i skrivefeltet og trykker på Enter-tasten. Side 35 av 42

36 Da tegnes den første grafen. Vi skriver den andre likningen i skrivefeltet. Merk at vi ikke trenger å gjøre den om slik at vi får et uttrykk for y. Så trykker vi på Enter-tasten. Nå er begge grafene tegnet i koordinatsystemet. Det er vanskelig å se hvilken graf som hører til hvilken likning. Derfor skal vi gjøre om fargen på hver av grafene. Vi høyreklikker på en av grafene. Da kommer denne menyen opp. Vi velger Egenskaper. Vi velger Farge. Vi velger den fargen vi vil ha på grafen. Merk at også likningen skrives i samme farge. Side 36 av 42

37 Vi gjør det samme med den andre grafen og velger en annen farge enn på den første grafen. Vi finner skjæringspunktet mellom grafene for å finne løsningen av likningssettet. Vi velger verktøyet Skjæring mellom to objekt og klikker på den ene grafen og deretter på den andre grafen. Da merkes skjæringspunktet mellom grafene (punkt A). Koordinatene for skjæringspunktet står i Algebrafeltet. Løsningen av likningssettet er x = 1 og y = 3. Oppgaver 42 Løs likningssettet. y = x 1 y = 2 x 43 Løs likningssettet. 2x 3y = 4 x + y = 2 Side 37 av 42

38 Fasit Side 38 av 42

39 Eksempel på løsning: Side 39 av 42

40 27 31 a, b 28 c Speilbildet forandrer seg på samme måte a 33 Forslag til løsning: b Speilbildet forandrer seg på samme måte. 30 Side 40 av 42

41 34 f, h, j a 4 cm c 16 cm 2 d a, b, c 38 d Rektangel f 5 cm g 4 cm i 20 cm 2 k Nei Side 41 av 42

42 x = 2, y = x = 2, y = 0 Side 42 av 42