ivar richard larsen/geometri, oppsummert/ Side 1 av 25

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "ivar richard larsen/geometri, oppsummert/ Side 1 av 25"

Transkript

1 Side 1 av 25

2 INNHOLDSFORTEGNELSE INNHOLDSFORTEGNELSE... 2 DEFINISJON... 4 LÆREPLAN I MATEMATIKK FELLESFAG... 4 NOEN GUNNLEGGENDE GEOMETRISKE BEGREPER... 4 Punkt... 4 Linje... 4 Linjestykke... 4 Stråle... 4 Vinkel... 5 KONSTRUKSJONSGEOMETRI... 5 VINKLER... 5 VINKELHALVERING... 5 KOPIERE VINKEL... 5 KONSTRUKSJON AV VINKLER... 6 NORMALER... 7 PARALLELLER... 9 PARALLELL I GITT AVSTAND FRA EI LINJE... 9 PARALLELL TIL EI LINJE GJENNOM ET GITT PUNKT... 9 KONGRUENSAVBILDNINGER SPEILING OM LINJE SPEILING OM PUNKT ROTASJON PARALLELLFORSKYVING GEOMETRISKE STEDER SIRKEL MIDTNORMALEN PARALLELL VINKELHALVERING THALES SETNING/DET FEMTE GEOMETRISKE STEDET FIGURKUNNSKAP, 2D TREKANTER RETTVINKLET LIKEBEINT Side 2 av 25

3 LIKESIDET FIRKANTER TRAPES PARALLELLOGRAM ROMBE REKTANGEL KVADRAT DRAKE HIERARKI SIRKEL BEGREPER - LINJER VINKLER OMKRETS AREAL SIRKELSEKTOR FIGURKUNNSKAP, 3D PRISME SYLINDER PYRAMIDE KJEGLE KOORDINATSYSTEMET PERSPEKTIVTEGNING ETTPUNKTSPERSPEKTIV TOPUNKTSPERSPEKTIV BEREGNINGER PYTAGORAS FORMLIKHET VINKLER NABOVINKLER TOPPVINKLER SAMSVARENDE VINKLER VINKLER MED VINKELBEIN PARVIS VINKELRETT PÅ HVERANDRE ET EKSEMPEL Side 3 av 25

4 DEFINISJON Geometri, gren av matematikken som opprinnelig omhandlet romstørrelser, dvs. punkter, linjer, kurver, flater og legemer, og deres beliggenhet, form og størrelse. (Store norske Leksikon.) (gresk; geo = jord, metria = måling => geometri = jordmåling.) LÆREPLAN I MATEMATIKK FELLESFAG Kompetansemål etter 10. årssteget Geometri Mål for opplæringa er at eleven skal kunne undersøkje og beskrive eigenskapar ved to- og tredimensjonale figurar og bruke eigenskapane i samband med konstruksjonar og berekningar utføre, beskrive og grunngje geometriske konstruksjonar med passar og linjal og dynamisk geometriprogram bruke og grunngje bruken av formlikskap og Pytagoras setning i berekning av ukjende storleikar tolke og lage arbeidsteikningar og perspektivteikningar med fleire forsvinningspunkt, med og utan digitale verktøy bruke koordinatar til å avbilde figurar og utforske eigenskapar ved geometriske former, med og utan digitale verktøy utforske, eksperimentere med og formulere logiske resonnement ved hjelp av geometriske idear og gjere greie for geometriske forhold som har særleg mykje å seie i teknologi, kunst og arkitektur NOEN GUNNLEGGENDE GEOMETRISKE BEGREPER Punkt Et punkt har ingen utstrekning. Vi tegner det som et kryss og bruker vanligvis stor bokstav som navn. Linje Strekker seg i en dimensjon. Den fortsetter uendelig langt i begge retninger. Betegnes gjerne med liten bokstav; l, m,. Linjestykke Er en del av ei linje. Har to endepunkter og en bestemt lengde. Betegnes ved hjelp av navn på endepunktene; f.eks. AB (merk at AB = BA). Stråle Er en del av ei linje. Har ett endepunkt og fortsetter uendelig langt fra endepunktet. Side 4 av 25

5 Vinkel Består av to stråler fra et felles endepunkt. Dette punktet kalles vinkelens toppunkt, strålene er vinkelbeina. Vi definerer høyre og venstre vinkelbein ved å «se» utover i vinkelområdet fra toppunktet. KONSTRUKSJONSGEOMETRI Konstruksjon foregår ved hjelp av verktøyene passer, linjal og blyant. VINKLER VINKELHALVERING Sett passeren i vinklens toppunkt, slå en bue som skjærer begge vinkelbeina. Med utgangspunkt i de to skjæringspunktene slås to nye buer (med lik åpning i passeren). Buene danner et kryss. Halveringslinjen trekkes gjennom dette krysset og vinklens toppunkt. Video på klassens hjemmeside: Halvering av vinkel KOPIERE VINKEL I utgangspunktet er en vinkel gitt. Start med å sette av det ene vinkelbeinet i det som skal bli kopien og merk av toppunktet. Sett passer i vinkelens toppunkt og slå en bue som skjærer begge vinkelbeina. Deretter en tilsvarende bue i om toppunktet i kopivinklen. Mål lengden av buen i originalvinklen og sett av denne lengden på buen i kopivinkelen. Trekk opp vinkelbeinet. Vi har nå to vinkler som spenner over like store buer (i like store sirkler); de er derfor like. Side 5 av 25

6 KONSTRUKSJON AV VINKLER Generelt handler vinkelkonstruksjon om å halvere vinkler. Det vi trenger er en vinkel å ta som utgangspunt for halvering. Vi har to vinkler som danner utgangspunktene: 180 o og 60 o. Begge må konstrueres, men metoden må sies å være enkel. 180-GRUPPEN Vinklene, i denne gruppen, tar utgangspunkt i en 180 o -vinkel som så halveres. Video på klassens hjemmeside: Vinkelkonstruksjon. 180-gruppen o -vinkel er rett og slett to stråler i motsatt retning fra toppunktet. Eller enklere: tegn ei linje og sett av et punkt på linja. Dette punktet er vinkelens toppunkt. Ved å halvere denne får vi vinkler på 90 o. Ved å halvere en av disse, får vi vinkler på 45 o. Ny halvering gir vinkler på 22,5 o. Du må passe på å velge riktig for deling slik at vinkelåpningen kommer riktig vei. Figur viser konstruksjon av 90 o og 45 o. I tillegg kan man kombinere ulike størrelser, f.eks.: 67,5 o = 45 o + 22,5 o 135 o = 180 o 45 o Side 6 av 25

7 60-GRUPPEN Utgangspunktet her er en 60 o -vinkel. Ved å halvere denne får man 30 o. To 60 o bygd på hverandre gir 120 o. Video på klassens hjemmeside: Vinkelkonstruksjon. 60-gruppen NORMALER En normal er en linje som står vinkelrett (90 o ) på en annen linje. Vi sier også at «to linjer står normalt på hverandre», «er normaler til hverandre». NORMAL I ET PUNKT PÅ EI LINJE Denne konstruksjonen vil være identisk med konstruksjon av 90 o -vinkel. Se over! MIDTNORMAL Utgangspunktet er et linjestykke (i eksemplet AB). Midtnormalen står normalt på linjestykket og deler det i to like deler. Dette er også en metode for å dele et linjestykke i to like deler. Video på klassens hjemmeside: Midtnormal. Side 7 av 25

8 NORMAL FRA ET PUNKT TIL EI LINJE Utgangspunktet er at vi har ei linje og et punkt utenfor linja. Vi skal konstruere en normal til linja gjennom dette punktet. I eksemplet er linja kalt m og punktet P. Video på klassens hjemmeside: Normal fra et punkt til ei linje. De tre variantene av normalkonstruksjoner har mange likhetstrekk. Prøv å sammenlikne! Video på klassens hjemmeside: Sammenlikning av normaler. Side 8 av 25

9 PARALLELLER PARALLELL I GITT AVSTAND FRA EI LINJE Det finnes to slike paralleller. En på hver side av den gitte linja. I eksemplet vises bare den som ligger over den gitte linja. Velg et tilfeldig punkt på linja (m) og konstruer en normal i punktet. Video på klassens hjemmeside: Parallell med linje i gitt avstand. Sett av den oppgitte avstanden på normalen. Fortsett å sette av denne avstanden, i alt, fire ganger (avmerket i eksemplet) slik at det dannes et kryss som vi trekker parallellen gjennom. (Ideen bak konstruksjonen er at vi her konstruerer et, underliggende, kvadrat hvor lengden av siden er lik den avstanden vi skal ha mellom parallellene. Kvadratet er jo (bl.a.) kjennetegnet ved å ha parallelle sider.) PARALLELL TIL EI LINJE GJENNOM ET GITT PUNKT Vi starter med ei linje (l) og et punkt utenfor linja (P). Sett passeren i P og slå en bue som skjærer linja i et punkt. Behold avstanden i passeren og slå i alt fire buer (avmerket i eksemplet) slik at det dannes et kryss som vi trekker parallellen gjennom. Video på klassens hjemmeside: Parallell med linje gjennom gitt punkt. (Ideen bak konstruksjonen er at vi her konstruerer en, underliggende, rombe med et hjørne i punktet P. Romben er jo (bl.a.) kjennetegnet ved å ha parallelle sider.) Side 9 av 25

10 KONGRUENSAVBILDNINGER At to geometriske figurer er kongruente innebærer at figurene er helt like både i form og størrelse. Det betyr at dersom vi legger de oppå hverandre, vil de dekke hverandre helt. Figurene er kongruente selv om de er vridd og/eller speilet i forhold til hverandre. Kongruensavbildningene (speiling, rotasjon og parallellforskyving) vil gi oss figurer som er kongruente med startfiguren. SPEILING OM LINJE I utgangspunktet har vi en figur (ABC) som skal speiles om ei linje (l). Merk av to tilfeldige punkter på speilingslinja. Sett passerspissen i ett av punktene og slå buer som går gjennom hjørnene til trekanten. Video på klassens hjemmeside: Speiling om linje. Gjør tilsvarende med passerspissen plassert i det andre punktet på speilingslinjen. (Ideen er her at speilbildet av et punkt vil ligge langt fra punkter på speilingslinja som det opprinnelige punktet gjorde.) Merk navnsetting på punkter speilbildet av et punkt får samme bokstav som det opprinnelige punktet, me med et «merke» ( ) i tillegg. Vi leser f. eks. A som «A merket». Side 10 av 25

11 SPEILING OM PUNKT I utgangspunktet har vi en figur (ABC) som skal speiles om et punkt (P). Start med å trekke linjer fra hjørnene i trekanten gjennom speilingspunktet. Sett passerspissen i speilingspunktet og sett av avstander slik at hvert hjørne og speilbildet av hjørnet, blir liggende like langt fra speilingspunktet på hver sin side. ROTASJON I utgangspunktet har vi en figur (ABC) som skal roteres om et punkt (P). En rotasjon innebærer at alle punktene i figuren roterer om punktet P. Det betyr at alle punktene beveger seg langs sirkler med sentrum i P. I dette eksemplet velger vi å rotere figuren 60 o. Det er da underforstått at en rotasjon gjøres mot klokka. (Positiv rotasjonsretning er mot klokka.) Trekk ei linje fra et hjørne til rotasjonspunktet. Sett passeren i P og slå en bue gjennom A og konstruer 60 o. Vi har funnet A. Gjenta prosedyren med de to siste hjørnene. (Linja AP er unødvendig når rotasjonen er 60 o, men kan være god å ha ved konstruksjon av enkelte andre vinkler.) Side 11 av 25

12 PARALLELLFORSKYVING I utgangspunktet har vi en figur (ABC) som skal forskyves slik at avbildningen av A blir liggende i punktet A. Tanken er her at alle punkter i figuren skal forflyttes like langt og i samme retning. Det betyr at punktene må beveges parallelt i forhold til hverandre. Vi tar utgangspunkt i konstruksjonsmetoden som er forklart under Parallell til ei linje gjennom et gitt punkt. (Se over!) Men vi gjør en liten justering. I stedet for å konstruere en underliggende rombe, må vi nå konstruere et underliggende parallellogram. Du ser, kanskje, at eksempelvis AA C C er et parallellogram GEOMETRISKE STEDER Et geometrisk sted er samlingen av alle punkter som oppfyller ett eller flere krav. SIRKEL Sirkelen er det geometriske stedet for alle punkter som ligger i en bestemt avstand fra et gitt punkt. Punkter som ligger like langt fra et gitt punkt danner en sirkel. Det gitte punktet er da sentrum i sirkelen. Avstanden = radius. I figuren vil alle punkter på sirkelperiferien ligg like langt fra A. Arbeidsark på klassens hjemmeside: Geometrisk sted. Punkter.. MIDTNORMALEN Midtnormalen er det geometriske stedet for alle punkter som ligger like langt fra to gitte punkter. Gitt to punkter A og B. Alle punktene på midtnormalen til AB ligger like langt fra A som fra B. Side 12 av 25

13 PARALLELL Parallellen er det geometriske stedet for punkter som ligger i en bestemt avstand fra ei gitt linje. Merk at det vil være to paralleller, en på hver side av den gitte linja. I figuren ligger h og i like langt fra f. VINKELHALVERING Halveringslinja for en vinkel er det geometriske stedet for punkter som ligger like langt fra vinkelbeina. I figuren vil lengden av l og m være like. THALES SETNING/DET FEMTE GEOMETRISKE STEDET Det geometriske stedet for toppunktet til en rett vinkel med vinkelbein som går gjennom to gitte punkter, er sirkelperiferien til en sirkel med diameter lik linjestykket mellom punktene. Denne er ikke helt enkel å gripe umiddelbart. I figuren er det satt av to punkter A og B. Vi skal konstruere en rett vinkel der vinkelbeina går gjennom hvert sitt punkt. Thales sier da: ved å konstruere en sirkel der AB er diameter, så må toppunktet til (den rette) vinkelen ligge på sirkelperiferien. Side 13 av 25

14 FIGURKUNNSKAP, 2D TREKANTER Tre hjørner, tre vinkler og tre sider Vinkelsum lik 180 o Areal beregnes ved: A = g h 2 Alle sidene kan betraktes som grunnlinjer med hver sin tilhørende høyde. Høyden er normal til grunnlinja I en trekant med en stump vinkel får vi to utvendige høyder Arbeidsark på klassens hjemmeside: Vinkelsum i trekant. Trekanter kan være o Spissvinklete (alle vinkler < 90 o ) o Stumpvinklete (en vinkel > 90 o ) o Rettvinklete (en vinkel lik 90 o ) RETTVINKLET En vinkel er rett (90 o ). De to sidene som danner den rett vinkelen kalles kateter. Den lengste siden (motstående til rett vinkel) kalles hypotenus To av sidene (katetene) er også høyder LIKEBEINT To sider er like lange To vinkler er like store Høyden på den tredje sida er en midtnormal og deler trekanten i to kongruente trekanter (symmetrilinje) Kan være spiss-, stump- og rettvinklet Side 14 av 25

15 LIKESIDET Tre sider like lange Tre vinkler like store; 60 o Høydene er midtnormaler og deler trekanten i kongruente trekanter (symmetrilinjer) Høyden deler trekanten i to 30, 60, 90-trekanter. Her ser du beviset for at hypotenusen i slike trekanter er dobbelt så lang som den korteste kateten FIRKANTER Fire sider, hjørner og vinkler Summen av vinklene er 360 o TRAPES To sider er parallelle Høyden er avstanden mellom de to parallelle sidene Arealet: o Trekk diagonalen AC. Den deler trapeset i to trekanter. Beregn arealet for hver av dem og summer. o Formel: A = (a+b) h der a og b er lengdene av de parallelle sidene 2 PARALLELLOGRAM To og to sider er parallelle To og to sider er like lange To og to (motstående) vinkler er like store Diagonalene halverer hverandre Areal: A = g. h der h (høyden) er avstanden mellom to parallelle linjer Side 15 av 25

16 ROMBE Er et parallellogram Alle sidene er like lange Diagonalene står vinkelrett på hverandre REKTANGEL To og to sider er parallelle To og to sider er like lange Alle vinklene er 90 o Diagonalene er like lange og deler hverandre på midten Areal: A = l. b (lengde. bredde) Omkrets: O = 2. l + 2. b KVADRAT Er et rektangel Alle sidene er like lange Diagonalene står vinkelrett på hverandre Areal: A = s. s = s 2 Omkrets: O = 4. s DRAKE To og to sider like lange Like lange sider møtes i motstående hjørner Diagonalene står vinkelrett på hverandre Den ene diagonalen er en symmetriakse Den ande diagonalen halveres av den første Det betyr at draken kan betraktes som sammensatt av to likebeinte trekanter. HIERARKI De kjente firkanttypene har mange fellestrekk som gjør at de kan settes i en hierarkisk struktur. Det gjør eksempelvis at følgende utsagn er riktige: Alle rektangler er parallellogrammer Alle parallellogrammer er trapeser Et kvadrat er et rektangel, et parallellogram og et trapes. Side 16 av 25

17 SIRKEL Sirkelen består av punkter som ligger i en bestemt avstand fra et gitt punkt. Disse punktene danner en kurve som vi kaller omkretsen eller sirkelperiferien. Det gitte punktet kalles sentrum. Ofte mener vi sirkelflaten når vi snakker om en sirkel. Da gir det mening å regne ut arealet av en sirkel også. BEGREPER - LINJER Radius er avstanden fra sentrum til sirkelbuen Korde er et linjestykke mellom to punkter på sirkelen Diameter er en korde gjennom sentrum o Diameter er dobbelt så lang som radius Sekant er ei linje som skjærer sirkelen i to punkter Tangent er ei linje som berører sirkelen i ett punkt o Tangenten står vinkelrett på radien i tangeringspunktet Omkretsen er et mål for lengden rundt sirkelen Alle sirkler er formlike o Forholdet mellom Omkretsen og diameteren er konstant o O d = π 3,14 VINKLER Sentralvinkel er en vinkel med toppunkt i sentrum Periferivinkel er en vinkel med toppunkt på sirkelperiferien og vinkelbein som skjærer sirkelen Dersom en sentralvinkel og en periferivinkel spenner over samme bue, vil sentralvinkelen være dobbelt så stor som periferivinkelen OMKRETS Omkretsen: O = π d der d = diameter AREAL Arealet: A = πr 2 Side 17 av 25

18 SIRKELSEKTOR Er en del av en sirkelflate og er avgrenset av to radier og en sirkelbue. Når vi vet hvor stor del sektoren er av sirkelen, kan vi greit beregne areal og omkrets av sirkelsektoren. Omkretsen: O = 2r + v 360 sirkelsektoren spenner over. Arealet: A = v 360 πr2 πd der v er antall grader Brøken v forteller oss hvor stor del sektoren er av hele 360 sirkelen. Eksempel: En sirkelsektor spenner over 45 o i en sirkel med radius 5,0 cm. Omkretsen: O = 2r + v πd = (2 5,0 + 3,14 10,0) cm = 360 ( ,4) cm 13,9 cm (45o blir en åttedel av sirkelen.) Arealet: A = v 360 πr2 = 45 3,14 5,0 5,0 360 cm2 = ,5cm2 9,8 cm 2 FIGURKUNNSKAP, 3D PRISME Et (rett) prisme er definert som en romfigur der to (motstående) flater er kongruente (kalles ofte toppflate og grunnflate). De andre sideflatene er rektangler. Overflaten finner du ved å regne ut arealet av alle sideflatene. Volumet beregnes generelt ved: V = G. h G er arealet av grunnflaten. der Side 18 av 25

19 SYLINDER Kan godt betraktes som et spesialtilfelle av prisme. Grunnflaten (og toppflaten) er en sirkel. Volumet: V = G. h = πr 2 h Overflaten finner du ved å regne ut arealet av bunnflate, toppflate og sideflate. Bunnflate og toppflate er sirkler. Sideflaten tenker vi oss brettet ut slik at det blir et rektangel. Grunnlinja i rektangelet er lik omkretsen til sirkelen og høyden er lik høyden i sylinderen. Overflaten: O = 2 πr 2 + π d h PYRAMIDE En (rett) pyramide består av en grunnflate som er en mangekant, sideflatene er likebeinte trekanter. Overflaten finner man ved å regne ut arealet av grunnflaten og sideflatene. (Legg merke til at vi må skille mellom høyden i pyramiden og høyden i trekantene. På figuren er høyden i trekantene betegnet med a.) Volumet: V = G h 3 Det betyr at volumet er en tredel av volumet til et tilsvarende prisme. Side 19 av 25

20 KJEGLE En kjegle består av en sirkelformet grunnflate og en sideflate som er en sirkelsektor. Volumet: V = πr2 h 3 Det betyr at volumet er en tredel av volumet til en tilsvarende sylinder. Overflaten: O = Grunnflate + Sideflate = πr 2 + πrs (Der s er avstanden fra toppen til kanten på grunnflata.) KOORDINATSYSTEMET Koordinatsystemet består av to akser som står vinkelrett på hverandre. Vi kan betrakte aksene som tallinjer. Den vannrette aksen kalles 1. akse eller x-aksen. Den loddrette aksen kalles 2. aksen eller y-aksen. Aksene skjærer hverandre i Origo. Aksene deler planet i fire områder som kalles kvadranter. Side 20 av 25

21 Alle punkter i koordinatsystemet betegnes ved hjelp av et tallpar, to koordinater, en x- og en y-koordinat. Fortegn på koordinatene: 1. kvadrant: Begge er positive 2. kvadrant: x-koordinat negativ, y-koordinat positiv 3. kvadrant: Begge negative 4. kvadrant: x-koordinat positiv, y-koordinat negativ Et punkt på x-aksen vil ha y-koordinat = 0 Et punkt på y-aksen vil ha x-koordinat = 0 Side 21 av 25

22 PERSPEKTIVTEGNING ETTPUNKTSPERSPEKTIV Loddrette linjer blir loddrette på tegningen Parallelle linjer som går innover i figuren, går mot et forsvinningspunkt Linjer som går parallelt med bildeflata, forblir parallelle Plasseringen av horisontlinja avgjør om vi får fugle-, normal- eller froskeperspektiv TOPUNKTSPERSPEKTIV Vi ser skrått inn mot objektet Bare de loddrette linjene er parallelle med bildeflata Parallelle linjer som går innover i figuren samles i to forsvinningspunkter Plassering av horisontlinja avgjør perspektivet Side 22 av 25

23 BEREGNINGER PYTAGORAS Det leveres ut et eget hefte som oppsummerer bruk av Pytagorassetningen. FORMLIKHET To figurer er formlike når Vinklene er parvis like store Forholdene mellom to og to (tilhørende) sider er like store For trekanter er det tilstrekkelig å sjekke formlikhet ved å sjekke et av kriteriene. Vanligvis vil det være aktuelt å se om vinklene i de to trekantene er parvis like store. ABC~ DEF Da er AB DE = BC EF = AC DF eller DE = EF = DF AB BC AC Disse forholdene uttrykker målestokken mellom figurene. Ved en forminsking vil forholdet/målestokken være < 1. Ved en forstørring vil forholdet/målestokken være > 1. Husk at målestokken alltid kan betraktes fra to synsvinkler. Hvis en figur er en forminsking, kan den andre betraktes som en forstørring Forholdet/målestokken kan oppgis på flere måter: Forminsking: 2 : 3 Forstørring: 5 : ,67 2,5 Et tips er å tenke på kart. Der kan en målestokk f. eks. være 1 : Og kartet er, heldigvis, en forminsking av terrenget. Eksempel: ABC~ DEF Målestokk: m = 2 4 = 0,5 Det betyr at sidene i den lille trekanter er 0,5 ganger så lange som sidene i den store. DE = 0,5. 6,0 = 3,0 (Eller at sidene i den store er 2 ganger så lange som i den lille.) Side 23 av 25

24 VINKLER Siden det ofte er snakk om å sammenlikne vinkler for å vise formlikhet, ser vi nærmere på noen sammenhenger som kan være nyttig å kjenne til. NABOVINKLER To vinkler med samme toppunkt og vinkelsum lik 180 o er nabovinkler. I figuren er u og v nabovinkler. Du finner kanskje flere nabovinkler på figuren? TOPPVINKLER Toppvinkler har felles toppunkt. Vinkelbeina går i motsatte retninger. I figuren er u og v toppvinkler. Toppvinkler er alltid like store. SAMSVARENDE VINKLER Samsvarende vinkler har ulike toppunkt og enten høyre eller venstre vinkelbein felles. I figuren er a og b samsvarende (høyre vinkelbein felles). c og d er samsvarende (venstre vinkelbein felles. Når de samsvarende vinklene ligger ved parallelle linjer er de like store. I figuren er c = d og a = b. Side 24 av 25

25 VINKLER MED VINKELBEIN PARVIS VINKELRETT PÅ HVERANDRE Når to vinkler har vinkelbein som står parvis vinkelrett på hverandre, er de like store. (Prøv å bevise påstanden!) I figuren er u = v siden de har vinkelbein som står parvis vinkelrett på hverandre. ET EKSEMPEL I figuren er AB parallell med DE. Vi skal beregne lengden av sidene CE og AB. Vi har ingen opplysninger om vinkler, men må belage oss på beregning ved hjelp av formlikhet. Det krever at vi først viser at vi har formlike figurer. A = D siden de er samsvarende vinkler ved parallelle linjer. ACB = DCE siden de er toppvinkler. Når to av vinklene er parvis like store, må det tredje paret også være likt, siden vinkelsummen i en trekant er 180 o. (I dette tilfellet kunne vi også påpekt at det siste vinkelparet er samsvarende vinkler ved parallelle linjer.) Målestokk: m = 3 5 = 0,6 EC = 0,6. 7,0 = 4,2 AB = 4,0 0,6 6,7 (Alternativt kunne du finne målestokken «motsatt vei»: 5 3 1,67 AB = 4,0. 1,67 6,7) Side 25 av 25

Geometri. A1A/A1B, vår 2009

Geometri. A1A/A1B, vår 2009 Geometri A1A/A1B, vår 2009 27. mars 2009 1. Grunnleggende begreper 2. Areal 3. Kongruens og formlikhet 4. Periferivinkler og Thales setning 5. Pytagoras setning 6. Romfigurer, overflate og volum 7. Undervisning

Detaljer

1 Å konstruere en vinkel på 60º

1 Å konstruere en vinkel på 60º 1 Å konstruere en vinkel på 60º Vi skal konstruere en 60º vinkel med toppunkt i A. Høyre vinkelbein skal ligge langs linja l. Slå en passende sirkelbue om A. Sirkelbuen skjærer l i et punkt B. Slå en sirkelbue

Detaljer

Bedre vurderingspraksis. Utprøving av kjennetegn på måloppnåelse i fag. Slik jobber vi i Tana (Seida og Austertana)

Bedre vurderingspraksis. Utprøving av kjennetegn på måloppnåelse i fag. Slik jobber vi i Tana (Seida og Austertana) Bedre vurderingspraksis Utprøving av kjennetegn på måloppnåelse i fag. Slik jobber vi i Tana (Seida og Austertana) Bedre vurderingspraksis Prosjekt Bedre vurderingspraksis skal arbeide for å få en tydeligere

Detaljer

Et internasjonalt môlesystem. OgsÔ kalt det metriske systemet. Den grunnleggende SI-enheten for môling av lengde er meter. Symbolet for meter er m.

Et internasjonalt môlesystem. OgsÔ kalt det metriske systemet. Den grunnleggende SI-enheten for môling av lengde er meter. Symbolet for meter er m. SI-systemet Lengde Masse Volum Et internasjonalt môlesystem. OgsÔ kalt det metriske systemet. Den grunnleggende SI-enheten for môling av lengde er meter. Symbolet for meter er m. Den grunnleggende SI-enheten

Detaljer

Kapittel 20 GEOMETRI. Hvilke figurer har vi her? Kunne bonden brukt en oppdeling med færre figurer?

Kapittel 20 GEOMETRI. Hvilke figurer har vi her? Kunne bonden brukt en oppdeling med færre figurer? Kapittel 0 GEOMETRI Hvilke figurer har vi her? Kunne bonden brukt en oppdeling med færre figurer? Kapittel 0 GEOMETRI Rektangler b Areal = l b l m m = m m = 6 m Kvadrat s Areal = s s = s s m m = m = 9

Detaljer

Geometri Mona Røsseland Nasjonalt senter for matematikk i Opplæringen Leder i LAMIS Lærebokforfatter, MULTI Geometri i skolen Geometri etter 4.

Geometri Mona Røsseland Nasjonalt senter for matematikk i Opplæringen Leder i LAMIS Lærebokforfatter, MULTI Geometri i skolen Geometri etter 4. Geometri Mona Røsseland Nasjonalt senter for matematikk i Opplæringen Leder i LAMIS Lærebokforfatter, MULTI 15-Apr-07 Geometri i skolen dreier seg blant annet om å analysere egenskaper ved to- og tredimensjonale

Detaljer

Basisoppgaver til 1P kap. 3 Geometri

Basisoppgaver til 1P kap. 3 Geometri Basisoppgaver til 1P kap. Geometri.1 Lengde og areal. Formlikhet. Areal og omkrets av plane figurer.4 Rettvinklede trekanter. Pytagorassetningen.5 Areidstegninger og kart.6 Volum og volumenheter.7 Overflate

Detaljer

Det geometriske stedet for punktene som ligger 5 cm fra et punkt A, er en sirkel med radius 5 cm og har sentrum i A.

Det geometriske stedet for punktene som ligger 5 cm fra et punkt A, er en sirkel med radius 5 cm og har sentrum i A. R1 kapittel 5 Geometri Løsninger til oppgavene i boka 5.1 a Det geometriske stedet for punktene som ligger 5 cm fra et punkt A, er en sirkel med radius 5 cm og har sentrum i A. 5. a Vi bruker GeoGebra

Detaljer

R1 kapittel 6 Geometri Løsninger til innlæringsoppgavene

R1 kapittel 6 Geometri Løsninger til innlæringsoppgavene R1 kapittel 6 Geometri Løsninger til innlæringsoppgavene 6.1 a Det geometriske stedet er en sirkellinje med sentrum i punktet og radius 5 cm. 6. Vi ser at koordinataksene er vinkelhalveringslinjene for

Detaljer

Lærerveiledning. Oppgave 1. Hva er arealet av det grå området i figuren? Tips til veiledning:

Lærerveiledning. Oppgave 1. Hva er arealet av det grå området i figuren? Tips til veiledning: Oppgave 1 Hva er arealet av det grå området i figuren? A 3 B 5 C 6 D 9 E 1 Hva slags geometriske figurer er det grå området er sammensatt av? Finn grå områder som er like store. Tenke dere de mørke bitene

Detaljer

7. TRINN MATEMATIKK PERIODEPLAN 2, UKE 44 52

7. TRINN MATEMATIKK PERIODEPLAN 2, UKE 44 52 1 7. TRINN MATEMATIKK PERIODEPLAN 2, UKE 44 52 KOMPETANSEMÅL Tall og algebra Mål for opplæringa er at eleven skal kunne: utvikle, og bruke metodar for hovudrekning, overslagsrekning og skriftleg rekning,

Detaljer

Løsningsforslag til problemløsningsoppgaver i MA-132 Geometri høsten 2008.

Løsningsforslag til problemløsningsoppgaver i MA-132 Geometri høsten 2008. Løsningsforslag til problemløsningsoppgaver i M-12 Geometri høsten 2008. Oppgave 1 a. Vi starter med å utføre abri-versjoner av standardkontruksjoner for de oppgitte vinklene. (t problem med abri er at

Detaljer

H. Aschehoug & Co www.lokus.no Side 1

H. Aschehoug & Co www.lokus.no Side 1 1 Bli kjent med GeoGebra GeoGebra er et dynamisk geometriprogram. Det vil si at vi kan gjøre en del endringer på figurene vi tegner, uten å måtte tegne dem på nytt, figuren endres dynamisk. Dette gir oss

Detaljer

Geometri Vi på vindusrekka

Geometri Vi på vindusrekka Geometri Vi på vindusrekka Rektangel og kvadrat... 2 Trekant... 3 Sirkel... 6 Omkrets... 7 Omkrets av sirkel... 9 Pi... 11 Areal... 13 Punkt... 18 Linje... 19 Kurve... 20 Vinkel... 21 Normal... 22 Parallelle

Detaljer

03.10.2013 Manual til. GeoGebra. Ungdomstrinnet. Ressurs til. Grunntall 8 10. Bjørn Bakke og Inger Nygjelten Bakke ELEKTRONISK UNDERVISNINGSFORLAG AS

03.10.2013 Manual til. GeoGebra. Ungdomstrinnet. Ressurs til. Grunntall 8 10. Bjørn Bakke og Inger Nygjelten Bakke ELEKTRONISK UNDERVISNINGSFORLAG AS 03.10.2013 Manual til GeoGebra Ungdomstrinnet Ressurs til Grunntall 8 10 Bjørn Bakke og Inger Nygjelten Bakke ELEKTRONISK UNDERVISNINGSFORLAG AS Innhold Verktøy... 4 Hva vinduet i GeoGebra består av...

Detaljer

1P kapittel 3 Geometri Løsninger til innlæringsoppgavene

1P kapittel 3 Geometri Løsninger til innlæringsoppgavene 1P kapittel Geometri Løsninger til innlæringsoppgavene.1 a 10 mm = 10 1 mm = 10 0,1 cm = 1 cm Bredden av A4-arket er 1 cm. 9800 m = 9800 1 m = 9800 0,001 km = 9,8 km Anne løp 9,8 km. c 60 km = 60 1 km

Detaljer

3.4 Geometriske steder

3.4 Geometriske steder 3.4 Geometriske steder Geometriske steder er punkter eller punktmengder som følger visse kriterier; dvs. ligger på bestemte steder i forhold til andre punkter eller punktmengder. Av disse kan man definere

Detaljer

R1 kapittel 6 Geometri Løsninger til kapitteltesten i læreboka

R1 kapittel 6 Geometri Løsninger til kapitteltesten i læreboka R1 kapittel 6 Geometri Løsninger til kapitteltesten i læreboka 6.A a ABC DEC fordi C er felles i de to trekantene. AB DE, og da er BAC = EDC og ABC = DEC. Vinklene i de to trekantene er parvis like store,

Detaljer

Kurs. Kapittel 2. Bokmål

Kurs. Kapittel 2. Bokmål Kurs 8 Kapittel 2 Bokmål D.8.2.1 1 av 4 Introduksjon til dynamisk geometri med GeoGebra Med et dynamisk geometriprogram kan du tegne og konstruere figurer som du kan trekke og dra i. I noen slike programmer

Detaljer

Hovedtema Kompetansemål Delmål Arbeidsmetode Vurdering

Hovedtema Kompetansemål Delmål Arbeidsmetode Vurdering Kyrkjekrinsen skole Plan for perioden: 2012-2013 Fag: Matematikk År: 2012-2013 Trinn og gruppe: 9. trinn Lærer: Torill Birkeland Uke Årshjul Geometri Hovedtema Kompetansemål Delmål Arbeidsmetode Vurdering

Detaljer

SAMMENDRAG OG FORMLER. Nye Mega 10A og 10B

SAMMENDRAG OG FORMLER. Nye Mega 10A og 10B SAMMENDRAG OG FORMLER Nye Mega 10A og 10B 1 Sammendrag og formler Nye Mega 10A Kapittel A GEOMETRI Oversikt over vinkelkonstruksjoner 90 45 60 30 120 135 67 1 2 75 Den pytagoreiske læresetningen I en rettvinklet

Detaljer

Geometriske morsomheter trinn 90 minutter

Geometriske morsomheter trinn 90 minutter Lærerveiledning Passer for: Varighet: Geometriske morsomheter 8. 10. trinn 90 minutter Geometriske morsomheter er et skoleprogram hvor elevene får trening i å definere figurer ved hjelp av geometriske

Detaljer

Grunnleggende geometri

Grunnleggende geometri Grunnleggende geometri Elevene skal lære navn på og egenskaper ved kjente figurer som kvadrat, rektangel, parallellogram, generelle firkanter, likebeint og likesidet trekant og generelle trekanter. Det

Detaljer

Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet

Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet Innhold DYNAMISK GEOMETRIPROGRAM... 3 Skjermbildet i GeoGebra... 3 Oppsett av skjermbildet... 4 Verktøylinja... 4 PUNKT OG SIRKLER... 5 Punkt... 5 Sirkel... 6 Linjer... 7 NYTTIGE VERKTØY... 8 Lagre...

Detaljer

GeoGebra U + V (Elevark)

GeoGebra U + V (Elevark) GeoGebra U + V (Elevark) Forberedelser: - Åpne en ny fil i GeoGebra 4.0. - Skjul algebrafelt, inntastingsfelt og akser (fjern hakene under Vis-menyen). - Husk å lese hjelpeteksten på verktøylinja. Oppgave:

Detaljer

GEOMETRISKE FIGURER FRA A TIL Å VEILEDER FOR FORELDRE MED BARN I 5. 7. KLASSE

GEOMETRISKE FIGURER FRA A TIL Å VEILEDER FOR FORELDRE MED BARN I 5. 7. KLASSE GEOMETRISKE FIGURER FRA A TIL Å VEILEDER FOR FORELDRE MED BARN I 5. 7. KLASSE EMNER Side 1 Innledning til geometriske figurer G - 2 2 Grunnleggende om geometriske figurer G - 3 3 1-dimensjonale figurer

Detaljer

Eksamen REA3022 R1, Høsten 2010

Eksamen REA3022 R1, Høsten 2010 Eksamen REA30 R1, Høsten 010 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (0 poeng) a) Deriver funksjonene 1) f x x e x e x

Detaljer

Trekanter er mangekanter med tre sider. Vi skal starte med å bli kjent med verktøyet som brukes til å tegne mangekanter.

Trekanter er mangekanter med tre sider. Vi skal starte med å bli kjent med verktøyet som brukes til å tegne mangekanter. Trekanter GeoGebra er godt egnet til å tegne trekanter og eksperimentere med dem. Vi skal nå se på hvordan vi kan tegne trekanter når vi kjenner en eller flere sider eller vinkler. Vi skal også se på hvordan

Detaljer

Geometriske morsomheter 8. 10. trinn 90 minutter

Geometriske morsomheter 8. 10. trinn 90 minutter Lærerveiledning Passer for: Varighet: Geometriske morsomheter 8. 10. trinn 90 minutter Geometriske morsomheter er et skoleprogram hvor elevene får trening i å definere figurer ved hjelp av geometriske

Detaljer

Faktor terminprøve i matematikk for 10. trinn

Faktor terminprøve i matematikk for 10. trinn Faktor terminprøve i matematikk for 10. trinn Høsten 201 Bokmål Navn: Gruppe: Prøveinformasjon Prøvetid: Hjelpemidler på Del 1 og 2: Framgangsmåte og forklaring: 5 timer totalt. Del 1 og Del 2 blir utdelt

Detaljer

Geometri Verktøylinja i GeoGebra Konstruksjon / tegning Konstruksjonsforklaring Normaler, paralleller og vinkler Mangekant, areal og omkrets

Geometri Verktøylinja i GeoGebra Konstruksjon / tegning Konstruksjonsforklaring Normaler, paralleller og vinkler Mangekant, areal og omkrets 2 Geometri Verktøylinja i GeoGebra Konstruksjon / tegning Konstruksjonsforklaring Normaler, paralleller og vinkler Mangekant, areal og omkrets Eksamensoppgaver 0 Innholdsfortegnelse INTRODUKSJON GEOGEBRA...

Detaljer

Fasit. Grunnbok. Kapittel 4. Bokmål

Fasit. Grunnbok. Kapittel 4. Bokmål Fasit 9 Grunnbok Kapittel 4 Bokmål Kapittel 4 Areal og omkrets 4.1 Alle unntatt C kan være riktige. 4.2 250 cm (= 2,50 m) langt kantebånd 4.3 3 m 4.4 a b 4 c 4 : 1 d e 9. Forhold 9 : 1 f s 2 g s 2 : 1

Detaljer

GeoGebraøvelser i geometri

GeoGebraøvelser i geometri GeoGebraøvelser i geometri av Peer Andersen Peer Andersen 2014 Innhold Innledning... 3 Øvelse 1. Figurer i GeoGebra... 4 Øvelse 2. Noen funksjoner i GeoGebra... 8 Øvelse 3. Omskrevet sirkelen til en trekant...

Detaljer

Lag et bilde av geometriske figurer, du også!

Lag et bilde av geometriske figurer, du også! Lag et bilde av geometriske figurer, du også! 6 Geometri 1 MÅL I dette kapitlet skal du lære om firkanter trekanter sammensatte figurer sirkler KOPIERINGSORIGINALER 6.1 Tangram 6.4 Felles problemløsing

Detaljer

Geometri. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne

Geometri. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne 8 1 Geometri Mål for opplæringen er at eleven skal kunne bruke geometri i planet til å analysere og løse sammensatte teoretiske og praktiske problemer knyttet til lengder, vinkler og areal 1.1 Vinkelsummen

Detaljer

Matematikk GS3 Temaer våren 2013 DEL 1: GEOMETRI. 1. Måleenheter. 1.1 Lengdeenheter. 1.2 Arealenheter. Eksempel 1: Gjør om 5 m til dm, cm og mm

Matematikk GS3 Temaer våren 2013 DEL 1: GEOMETRI. 1. Måleenheter. 1.1 Lengdeenheter. 1.2 Arealenheter. Eksempel 1: Gjør om 5 m til dm, cm og mm Matematikk GS3 Temaer våren 2013 DEL 1: GEOMETRI 1. Måleenheter 1.1 Lengdeenheter Eksempel 1: Gjør om 5 m til dm, cm og mm m dm 5 m = 5 10 dm = 50 dm m cm 5 m = 5 10 10 cm = 5 10 2 cm = 500 cm m mm 5 m

Detaljer

Geometri Noen sentrale begrep. Nord-Gudbrandsdalen, Anne-Gunn Svorkmo Astrid Bondø Svein H Torkildsen NSMO

Geometri Noen sentrale begrep. Nord-Gudbrandsdalen, Anne-Gunn Svorkmo Astrid Bondø Svein H Torkildsen NSMO Geometri Noen sentrale begrep Nord-Gudbrandsdalen, 20.-23.10.14 Anne-Gunn Svorkmo Astrid Bondø Svein H Torkildsen NSMO Eksempelundervisning Tema på eksempelundervisningen denne gangen var Geometri, men

Detaljer

ÅRSPLAN I MATEMATIKK 9. TRINN 2017/ 2018

ÅRSPLAN I MATEMATIKK 9. TRINN 2017/ 2018 Læreverk: Faktor 2 matematikk for ungdomstrinnet, Hjardar og Pedersen, Cappelen Vi gjør oppmerksom på at det kan bli forandringer i årsplanen, men emnene vil bli de samme. Faglærere: Heidi Kvamvold, Bodil

Detaljer

11 Nye geometriske figurer

11 Nye geometriske figurer 11 Nye geometriske figurer Det gylne snitt 1 a) Mål lengden og bredden på et bank- eller kredittkort. Regn ut forholdet mellom lengden og bredden. Hvilket tall er forholdet nesten likt, og hva kaller vi

Detaljer

Sandefjordskolen BREIDABLIKK UNGDOMSSKOLE ÅRSPLAN FOR FORESATTE MATEMATIKK 8.TRINN SKOLEÅR 2015-2016

Sandefjordskolen BREIDABLIKK UNGDOMSSKOLE ÅRSPLAN FOR FORESATTE MATEMATIKK 8.TRINN SKOLEÅR 2015-2016 Sandefjordskolen BREIDABLIKK UNGDOMSSKOLE ÅRSPLAN FOR FORESATTE MATEMATIKK 8.TRINN SKOLEÅR 2015-2016 Side 1 av 7 Periode 1: UKE 34 - UKE 37 Sammenligne og regne om mellom hele tall, desimaltall, brøker,

Detaljer

Menylinje og de vanligste funksjonene. Her gjør du de tilpasningene du trenger.

Menylinje og de vanligste funksjonene. Her gjør du de tilpasningene du trenger. GeoGebra GeoGebra 1 GeoGebra er et dynamisk geometriprogram. Ved hjelp av dette programmet kan du framstille forskjellige geometriske figurer, forskjellige likninger (likningssett) og ulike funksjonsuttrykk,

Detaljer

Sandefjordskolen BREIDABLIKK UNGDOMSSKOLE ÅRSPLAN FOR FORESATTE MATEMATIKK 8.TRINN SKOLEÅRET Side 1 av 8

Sandefjordskolen BREIDABLIKK UNGDOMSSKOLE ÅRSPLAN FOR FORESATTE MATEMATIKK 8.TRINN SKOLEÅRET Side 1 av 8 Sandefjordskolen BREIDABLIKK UNGDOMSSKOLE ÅRSPLAN FOR FORESATTE MATEMATIKK 8.TRINN SKOLEÅRET 2016-2017 Side 1 av 8 Periode 1: UKE 33 - UKE 39 Sammenligne og regne om mellom hele tall, desimaltall, brøker,

Detaljer

ÅRSPLAN I MATEMATIKK 9. TRINN 2015/ 2016

ÅRSPLAN I MATEMATIKK 9. TRINN 2015/ 2016 Læreverk: Faktor 2 matematikk for ungdomstrinnet, Hjardar og Pedersen, Cappelen Vi gjør oppmerksom på at det kan bli forandringer i årsplanen, men emnene vil bli de samme. Frosta skole, 20.08.2015 Faglærere:

Detaljer

ÅRSPLAN I MATEMATIKK 9. TRINN 2014/ 2015

ÅRSPLAN I MATEMATIKK 9. TRINN 2014/ 2015 Læreverk: Faktor 2 matematikk for ungdomstrinnet, Hjardar og Pedersen, Cappelen Vi gjør oppmerksom på at det kan bli forandringer i årsplanen, men emnene vil bli de samme. Frosta skole, 18.08.2014 Faglærere:

Detaljer

Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet

Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet Innhold DYNAMISK GEOMETRIPROGRAM... 3 Skjermbildet i GeoGebra... 3 Oppsett av skjermbildet... 4 Verktøylinja... 4 PUNKT OG SIRKLER... 5 Punkt... 5 Sirkel... 6 Linjer... 7 NYTTIGE VERKTØY... 8 Lagre...

Detaljer

Løsningsforslag Matematikk for ungdomstrinnet Del 1, Modul 1, 4MX130UM1-K

Løsningsforslag Matematikk for ungdomstrinnet Del 1, Modul 1, 4MX130UM1-K Løsningsforslag Matematikk for ungdomstrinnet Del 1, Modul 1, 4MX130UM1-K ORDINÆR EKSAMEN 11.1.009 Oppgave 1 a) En følge av parallellaksiomet er at samsvarende vinkler ved parallelle linjer er like store.

Detaljer

Geogebra er viktig i dette kapitlet, samt passer, linjal, blyant og viskelær! Tommy og Tigern:

Geogebra er viktig i dette kapitlet, samt passer, linjal, blyant og viskelær! Tommy og Tigern: Tempoplan: Etter dette kapitlet repetisjon og karaktergivende prøver! 7: Geometri Kunnskapsløftet de nye læreplanene legger vekt på konstruksjon av figurer! I utgangspunktet kan det høres ganske greit

Detaljer

Lokal læreplan 9 trinn matematikk

Lokal læreplan 9 trinn matematikk Lokal læreplan 9 trinn matematikk Lærebok: Gruntal Antall uker Geometri i planet Gruntall 9 153-198 11 utføre, beskrive og grunngi geometriske konstruksjoner med passer og linjal (og dynamiske geometriprogram)

Detaljer

Områder Kompetansemål Operasjonaliserte læringsmål Tema/opplegg (eksempler, forslag), ikke obligatorisk Tall og algebra

Områder Kompetansemål Operasjonaliserte læringsmål Tema/opplegg (eksempler, forslag), ikke obligatorisk Tall og algebra FAGPLANER Breidablikk ungdomsskole FAG: Matte TRINN: 9.trinn Områder Kompetansemål Operasjonaliserte læringsmål Tema/opplegg (eksempler, forslag), ikke obligatorisk Tall og algebra Eleven skal kunne -

Detaljer

GEOMETRI I PLANET KRISTIAN RANESTAD

GEOMETRI I PLANET KRISTIAN RANESTAD GEOMETRI I PLANET KRISTIAN RANESTAD Abstract. Dette kompendiet er laget for et etterutdanningskurs i geometri, og det gir bakgrunn for og supplerer forelesningene i kurset samtidig som det inneholder relevante

Detaljer

Lærerveiledning. Oppgave 1. Tallene på figuren viser omkretsen av hver av de fire små trekantene. Hva er omkretsen av den store trekanten?

Lærerveiledning. Oppgave 1. Tallene på figuren viser omkretsen av hver av de fire små trekantene. Hva er omkretsen av den store trekanten? Oppgave 1 Tallene på figuren viser omkretsen av hver av de fire små trekantene. Hva er omkretsen av den store trekanten? A 43 B 59 C 55 D 67 E 91 Hvilke linjestykker er en del av omkretsen til den store

Detaljer

OPPGAVER I GEOMETRI REDIGERT AV KRISTIAN RANESTAD

OPPGAVER I GEOMETRI REDIGERT AV KRISTIAN RANESTAD OPPGAVER I GEOMETRI REDIGERT AV KRISTIAN RANESTAD Oppgaver merket med * er vanskeligere enn de andre. OPPGAVE 1 a) Bevis at en firkant har en omskrevet sirkel hvis og bare hvis motstående vinkler er supplementære

Detaljer

F.1: Konstruere en linje som er parallell til en oppgitt linje (utnytte egenskaper til samsvarende vinkler mellom parallelle linjer) F.

F.1: Konstruere en linje som er parallell til en oppgitt linje (utnytte egenskaper til samsvarende vinkler mellom parallelle linjer) F. 26. juli 2013 INNHOLD INNHOLD... 2 INNLEDNING... 4 STEGARK... 5 GJENNOMGANG AV HVERT STEG... 11 NIVÅ A: PUNKTER, RETTE LINJER OG SIRKLER... 13 A.1: Ved hjelp av linjal, trekke linje gjennom to punkter....

Detaljer

GeoGebra på mellomtrinnet

GeoGebra på mellomtrinnet GeoGebra på mellomtrinnet innføring + UTFORSKING + problemløsing Mattelyst Vågå, 16. sept. 2015 Anne-Gunn Svorkmo og Susanne Stengrundet I LK06 for matematikk fellesfag står det følgende om digitale ferdigheter:

Detaljer

FAG: Matematikk TRINN: 10

FAG: Matematikk TRINN: 10 FAG: Matematikk TRINN: 10 Områder Kompetansemål Fra Udir Operasjonaliserte læringsmål - Breidablikk Vurderingskriteri er Tall og algebra *kunne samanlikne og rekne om heile tal, desimaltal, brøkar, prosent,

Detaljer

Løsningsforslag kapittel 3

Løsningsforslag kapittel 3 Løsningsforslag kapittel 3 Innhold Oppgave 3.2... 2 Oppgave 3.4... 2 Oppgave 3.8... 3 Oppgave 3.14... 5 Oppgave 3.17... 6 Oppgave 3.23... 7 Oppgave 3.29... 8 Oppgave 3.35... 9 Oppgave 3.38... 10 Oppgave

Detaljer

Matematikk. Odd Heir Gunnar Erstad John Engeseth Ørnulf Borgan Per Inge Pedersen BOKMÅL

Matematikk. Odd Heir Gunnar Erstad John Engeseth Ørnulf Borgan Per Inge Pedersen BOKMÅL Matematikk 1P Odd Heir Gunnar Erstad John Engeseth Ørnulf Borgan Per Inge Pedersen BOKMÅL Geometri «Schaukeln» (Svingninger), 195, av den russiske kunstneren Vassily Kandinsky (1866 1944) AKTIVITET: Maksimalt

Detaljer

Fag : MATEMATIKK Trinn 7. klasse Tidsperiode: Uke 1-2 Tema: Måleenheter og måleusikkerhet

Fag : MATEMATIKK Trinn 7. klasse Tidsperiode: Uke 1-2 Tema: Måleenheter og måleusikkerhet Fag : MATEMATIKK Trinn 7. klasse Tidsperiode: Uke 1-2 Tema: Måleenheter og måleusikkerhet -Kunne lese og tolke en Mål for opplæringa er at eleven skal kunne rutetabell Måling: -velje høvelege målereiskapar

Detaljer

Kurshefte GeoGebra. Barnetrinnet

Kurshefte GeoGebra. Barnetrinnet Kurshefte GeoGebra Barnetrinnet GeoGebra Geometri og algebra Dynamisk geometriverktøy Algebraisk verktøy Gratis Brukes på alle nivåer i utdanningssystemet Finnes på både bokmål og nynorsk Kan lastes ned

Detaljer

FAGPLANER Breidablikk ungdomsskole FAG: Matematikk 8. trinn

FAGPLANER Breidablikk ungdomsskole FAG: Matematikk 8. trinn FAGPLANER Breidablikk ungdomsskole FAG: Matematikk 8. trinn Områder Kompetansemål Operasjonaliserte læringsmål Tema/opplegg (eksempler, forslag), ikke obligatorisk Vurderingskriterier vedleggsnummer Samanlikne

Detaljer

Fasit til øvingshefte

Fasit til øvingshefte Fasit til øvingshefte Matematikk Ungdomstrinn/VGS Geometri Copyright Fagbokforlaget Vigmostad & Bjørke AS Kartleggeren fasit Matematikk U-trinn/VGS Geometri 1 Geometri Seksjon 1 Oppgave 1.1 Finn omkrets

Detaljer

LOKAL LÆREPLAN ETTER LK-06 VED HÅNES SKOLE FAG: Matematikk TRINN: 6.

LOKAL LÆREPLAN ETTER LK-06 VED HÅNES SKOLE FAG: Matematikk TRINN: 6. LOKAL LÆREPLAN ETTER LK-06 VED HÅNES SKOLE FAG: Matematikk TRINN: 6. Uke Kompetansemål i LK-06 1-2 Rekne med desimaltal. Utvikle, bruke og diskutere metodar for overslagsrekning. Bruke digitale verktøy

Detaljer

Årsplan Matematikk 2014 2015 Årstrinn: 7. årstrinn Lærere:

Årsplan Matematikk 2014 2015 Årstrinn: 7. årstrinn Lærere: Årsplan Matematikk 2014 2015 Årstrinn: 7. årstrinn Lærere: Cordula Norheim, Åsmund Gundersen, Renate Dahl Akersveien 4, 0177 OSLO, Tlf: 23 29 25 00 Kompetansemål Tidspunkt Tema/Innhold Lærestoff Arbeidsmåter

Detaljer

Løsningsforslag til del 2 av oppgavesettet Geometri i Sirkel oppgavebok 10B, kapittel 6

Løsningsforslag til del 2 av oppgavesettet Geometri i Sirkel oppgavebok 10B, kapittel 6 Geometri Del Løsningsforslag til del av oppgavesettet Geometri i Sirkel oppgavebok 10B, kapittel 6 Oppgave.1 a Lengden til golvet på tegningen blir: 400 cm 8cm Bredden til golvet på tegningen blir: 300

Detaljer

GeoGebra. Kurshefte for mellom- og ungdomstrinnet. Bjørn Ove Thue

GeoGebra. Kurshefte for mellom- og ungdomstrinnet. Bjørn Ove Thue GeoGebra Kurshefte for mellom- og ungdomstrinnet Bjørn Ove Thue 1 Om GeoGebra GeoGebra er et dynamisk verktøy som forener geometri, algebra og numeriske utregninger. Programmet er gratis og kan lastes

Detaljer

Eit internasjonalt môlesystem, ogsô kalla det metriske systemet

Eit internasjonalt môlesystem, ogsô kalla det metriske systemet SI-systemet Lengder Masse Volum Eit internasjonalt môlesystem, ogsô kalla det metriske systemet Den grunnleggjande SI-eininga for môling av lengder er meter. Symbolet for meter er m. Den grunnleggjande

Detaljer

JULETENTAMEN, 9. KLASSE, 2015. FASIT

JULETENTAMEN, 9. KLASSE, 2015. FASIT JULETENTAMEN, 9. KLASSE, 2015. FASIT DELPRØVE 1. OPPGAVE 1.1: 367 + 254 = 621 c: 67. 88 536 536 = 5896 e: 18,4-9,06 = 9,34 24,8 + 7,53 = 32,33 d: 3,2 : 0,8 = 32 : 8 = 4 32 f: 12 2. 5 2 = 12 2. 25 = 12

Detaljer

MATEMATIKK Yrkesfag TALL I ARBEID P. Odd Heir / John Engeseth / Håvard Moe. Bokmål. Tall i arbeid P H. Aschehoug & Co.

MATEMATIKK Yrkesfag TALL I ARBEID P. Odd Heir / John Engeseth / Håvard Moe. Bokmål. Tall i arbeid P H. Aschehoug & Co. MATEMATIKK Yrkesfag TALL I ARBEID P Odd Heir / John Engeseth / Håvard Moe Bokmål Del 3 av 4 Dette er en elektronisk versjon av læreboka til bruk på skoler som har undertegnet en avtale med Aschehoug forlag

Detaljer

C.8: Kunne speile en figur om en linje C.9: Finne linjesymmetri NIVÅ D: TREKANTKONSTRUKSJONER U/HJELPEFIGUR, PARALLELLE LINJER,

C.8: Kunne speile en figur om en linje C.9: Finne linjesymmetri NIVÅ D: TREKANTKONSTRUKSJONER U/HJELPEFIGUR, PARALLELLE LINJER, 20. mai 2013 Innhold INNLEDNING... 4 STEGARK... 5 NIVÅ A: KOORDINATSYSTEMET... 5 NIVÅ B: LINJER, SIRKLER, VINKLER... 6 NIVÅ C: SPEILING, NORMALER, TREKANTER M/HJELPEFIGUR... 7 NIVÅ D: TREKANTKONSTRUKSJONER

Detaljer

Halvårsplan i matematikk fellesfag; Notodden voksenopplæring våren 2013

Halvårsplan i matematikk fellesfag; Notodden voksenopplæring våren 2013 Halvårsplan i matematikk fellesfag; Notodden voksenopplæring våren 2013 Periodens tema Uke 1-2 Innhold Arbeidsmåter Evaluering/ vurdering Tegning og konstruksjon Mål for det du skal lære: Geometriske ord

Detaljer

Kurshefte GeoGebra. Ungdomstrinnet

Kurshefte GeoGebra. Ungdomstrinnet Kurshefte GeoGebra Ungdomstrinnet GeoGebra Geometri og algebra Dynamisk geometriverktøy Algebraisk verktøy Gratis Brukes på alle nivåer i utdanningssystemet Finnes på både bokmål og nynorsk Kan lastes

Detaljer

Løsningsforslag til eksamen i MAT101 høsten 2015

Løsningsforslag til eksamen i MAT101 høsten 2015 sforslag til eksamen i MAT101 høsten 2015 Oppgave 1 (vekt 30 %) a) Gjør om tallene til det angitte tallsystemet i) 632 syv = ti ii) 346 ti = åtte : i) 632 syv = 6 7 2 + 3 7 + 2 = 317 ii) 346 ti = 5 8 2

Detaljer

Matematikk for ungdomstrinnet

Matematikk for ungdomstrinnet Innhold Dynamisk geometriprogram... 3 Skjermbildet i GeoGebra... 3 Oppsett av skjermbildet... 4 Verktøylinja... 4 Punkt og sirkler... 5 Punkt... 5 Sirkel... 6 Lagre... 6 To nyttige verktøy: «Flytt eller

Detaljer

Årsprøve i matematikk for 9. trinn Kannik skole

Årsprøve i matematikk for 9. trinn Kannik skole Årsprøve i matematikk for 9. trinn Kannik skole Våren 2013 bokmål Navn: Gruppe: Informasjon Oppgavesettet består av to deler hvor alle oppgaver skal besvares. Del 1 og del 2 blir delt ut samtidig, men

Detaljer

Normaler og vinkler. Å tegne normaler. To verktøy er aktuelle når vi skal tegne normaler: Normal linje og Midtnormal. Aschehoug 1

Normaler og vinkler. Å tegne normaler. To verktøy er aktuelle når vi skal tegne normaler: Normal linje og Midtnormal. Aschehoug 1 Normaler og vinkler I dette opplæringsløpet lærer du ulike metoder for å tegne normaler og vinkler samt å måle vinkler. Det du lærer i dette løpet skal du bruke senere når du skal tegne trekanter og figurer

Detaljer

Om former og figurer Mønster

Om former og figurer Mønster Tre grunnleggende geometriske prosesser (Fosse&Munter): - Romforståelse - Formgjenkjenning - Målingsforståelse Om former og figurer Mønster Barn oppdager matematikk kap.g Sogndal 15.02.17 Solbjørg Urnes

Detaljer

Kapittel 5. Lengder og areal

Kapittel 5. Lengder og areal Kapittel 5. Lengder og areal Mål for Kapittel 5, Lengder og areal. Kompetansemål Mål for opplæringen er at eleven skal kunne bruke og grunngi bruk av formlikhet, målestokk og Pytagoras setning til beregninger

Detaljer

Tal og algebra. 8.trinn Læringsmål 9.trinn Læringsmål 10.trinn Læringsmål Kompetansemål etter 10.trinn

Tal og algebra. 8.trinn Læringsmål 9.trinn Læringsmål 10.trinn Læringsmål Kompetansemål etter 10.trinn 8.trinn Læringsmål 9.trinn Læringsmål 10.trinn Læringsmål Kompetansemål etter 10.trinn Tall og regning Hva siffer, tall og tallsystem er Hva partall, oddetall, primtall og sammensatte tall er Kunne primtallfaktorisering

Detaljer

OVERFLATE FRA A TIL Å

OVERFLATE FRA A TIL Å OVERFLATE FRA A TIL Å VEILEDER FOR FORELDRE MED BARN I 5. 7. KLASSE EMNER Side 1 Innledning til overflate... 2 2 Grunnleggende om overflate.. 2 3 Overflate til:.. 3 3 3a Kube. 3 3b Rett Prisme... 5 3c

Detaljer

Bildet er fra Colorado i USA og viser et vanningssytem som har flere navn, blant annet circle pivot irrigation.

Bildet er fra Colorado i USA og viser et vanningssytem som har flere navn, blant annet circle pivot irrigation. LÆRERENS D IGITALBOK 3 LDB Flere oppgaver Løsningsforslag Kapittelprøve Verktøyopplæring Twig-arbeidsark Kopioriginaler Kapittel 3 er geometrikapitlet. På 8. trinn har vi valgt å konsentrere oss om konstruk

Detaljer

MATEMATIKK HALVÅRSPLAN 7. TRINN HØSTEN 2017

MATEMATIKK HALVÅRSPLAN 7. TRINN HØSTEN 2017 UKE MATEMATIKK HALVÅRSPLAN 7. TRINN HØSTEN 2017 TEMA KAPITTEL 1 «TALL» 33 Arbeidsrutiner Tall 34 Titallsystemet / Desimaltall/Tekstoppgaver 35 Addisjon og subtraksjon / BLÅ: LÆRINGSSTØTTENDE PRØVE 36 Negative

Detaljer

1.14 Oppgaver. Løsningsforslag

1.14 Oppgaver. Løsningsforslag til oppgaver i avsnitt.4.4 Oppgaver..4. Konstruer tangenten til en sirkel fra et punkt utenfor sirkelen..4. A og B er to punkter i planet. Konstruer det geometriske stedet for toppunktet til en vinkel

Detaljer

Øvingshefte. Geometri

Øvingshefte. Geometri Øvingshefte Matematikk Ungdomstrinn/VGS Geometri Copyright Fagbokforlaget Vigmostad & Bjørke AS Kartleggeren øvingshefte Matematikk U-trinn/VGS Geometri 1 Geometri Seksjon 1 Oppgave 1.1 Finn omkrets (O)

Detaljer

Årsplan Matematikk Årstrinn: 7. årstrinn Lærere:

Årsplan Matematikk Årstrinn: 7. årstrinn Lærere: Årsplan Matematikk 2016 2017 Årstrinn: 7. årstrinn Lærere: Måns Bodemar, Jan Abild, Birgitte Kvebæk Akersveien 4, 0177 OSLO, Tlf: 23 29 25 00 Kompetansemål Tidspunkt Tema/Innhold Lærestoff Arbeidsmåter

Detaljer

Årsplan Matematikk 2014-2015 Årstrinn: 9. årstrinn Lærere:

Årsplan Matematikk 2014-2015 Årstrinn: 9. årstrinn Lærere: Årsplan Matematikk 2014-2015 Årstrinn: 9. årstrinn Lærere: Jan Abild, Steffen Håkonsen, Peter Sve, Lena Veimoen Akersveien 4, 0177 OSLO Tlf: 23 29 25 00 Kompetansemål Tidspunkt Tema/Innhold Lærestoff Arbeidsmåter

Detaljer

Kapittel 5. Lengder og areal

Kapittel 5. Lengder og areal Kapittel 5. Lengder og areal Dette kapitlet handler om å: Beregne sider i rettvinklede trekanter med Pytagoras setning. Beregne omkrets av trekanter, firkanter og sirkler. Beregne areal av enkle figurer,

Detaljer

Kapittel 5. Lengder og areal

Kapittel 5. Lengder og areal Kapittel 5. Lengder og areal Mål for Kapittel 5, Lengder og areal. Kompetansemål Mål for opplæringen er at eleven skal kunne bruke og grunngi bruk av formlikhet, målestokk og Pytagoras setning til beregninger

Detaljer

plassere negative hele tall på tallinje

plassere negative hele tall på tallinje Kompetansemål etter 7. trinn Tall og algebra: 1. beskrive plassverdisystemet for desimaltall, regne med positive og negative hele tall, desimaltall, brøker og prosent, og plassere dem på tallinje 2. finne

Detaljer

Sandefjordskolen BREIDABLIKK UNGDOMSSKOLE ÅRSPLAN I MATEMATIKK 8. TRINN SKOLEÅR 2014-2015

Sandefjordskolen BREIDABLIKK UNGDOMSSKOLE ÅRSPLAN I MATEMATIKK 8. TRINN SKOLEÅR 2014-2015 Sandefjordskolen BREIDABLIKK UNGDOMSSKOLE ÅRSPLAN I MATEMATIKK 8. TRINN SKOLEÅR 2014-2015 Periode 1: UKE 34 37 Tema: Tall og tallforståelse Samanlikne og rekne om mellom heile tal, desimaltal ( ) og tal

Detaljer

På samme måten er de spesielle trekantene likesidet, likebeint, rettvinklet.

På samme måten er de spesielle trekantene likesidet, likebeint, rettvinklet. GEOMETRI GRUNNLEGGENDE GEOMETRI Geometriske former Trekant, firkant, sirkel. - Hva er det? Hvordan ser det ut? Deltakerne fikk i oppdrag å tegne: en firkant, en trekant og en runding. Som forventet, tegnet

Detaljer

Læreplan, nivå 1. Innhold / tema. Hovedområde Kompetansemål Elevene skal kunne: Tall og algebra:

Læreplan, nivå 1. Innhold / tema. Hovedområde Kompetansemål Elevene skal kunne: Tall og algebra: Kartlegging / vurdering av nivå Begynn året med et kort kurs i tall-lære og matematiske symboler. Deretter kartlegging som plasserer elevene i nivågruppe. De som kan dette, jobber med tekstoppgaver / problemløsning.

Detaljer

Årsplan. Uke Tema Kompetansemål Læringsmål Metode; TPO, strategier. Vurdering (i alle perioder)

Årsplan. Uke Tema Kompetansemål Læringsmål Metode; TPO, strategier. Vurdering (i alle perioder) Årsplan Trinn: 7 Fag: Matematikk Uke Tema Kompetansemål Læringsmål Metode; TPO, strategier Vurdering (i alle perioder) 34(1. -Titallsystemet -Add og sub med hele tall beskrive og bruke plassverdisystemet

Detaljer

Punktene A, B, C og D ligger på linje med innbyrdes avstander AB = 3, BC = 6, CD = 8 og DE = 4.

Punktene A, B, C og D ligger på linje med innbyrdes avstander AB = 3, BC = 6, CD = 8 og DE = 4. Oppgave Punktene A, B, C og D ligger på linje med innbyrdes avstander AB =, BC = 6, CD = 8 og DE =. Hva er minste mulige verdi for AE? A 0 B C D E 5 Tegn! Start med å tegne ei lang rett linje, plasser

Detaljer

5 Geometri. Trigonometri

5 Geometri. Trigonometri MTEMTIKK: 5 Geometri. Trigonometri 5 Geometri. Trigonometri Ordet geometri kan deles opp i geo, som betyr jord eller land, og metri, som betyr å måle. Geometri kan oversettes med jordmåling eller landmåling.

Detaljer

NORGES INFORMASJONSTEKNOLOGISKE HØGSKOLE

NORGES INFORMASJONSTEKNOLOGISKE HØGSKOLE Oppgavesettet består av 6 (seks) sider. NORGES INFORMASJONSTEKNOLOGISKE HØGSKOLE Matematikk R1 GEOMETRI OG VEKTORER Tillatte hjelpemidler: Alle Varighet: Ubegrenset Dato: 10.4 (Innleveringsfrist) Fagansvarlig:

Detaljer

Matematisk juleverksted

Matematisk juleverksted GLASSMALERI Matematisk juleverksted Mona Røsseland 1 2 GLASSMALERI GLASSMALERI Slik går du frem: Fremgangsmåte for å lage ramme Lag en ramme av svart papp. Lag strimler av svart papp, som skal brukes til

Detaljer

Forelesning 1, 10.01: Geometri før Euklid

Forelesning 1, 10.01: Geometri før Euklid Forelesning 1, 10.01: Geometri før Euklid Antikk Geometri før Grekerne (Egypt, Kina, Babylonia) 1. er forhold mellom sirkelens omkretsen (den er lengde av sirkelpereferi) og diameteren, SIRKELEN = omkretsen

Detaljer

Årsplan. Uke Tema Kompetansemål Læringsmål Metode; TPO, strategier. Vurdering (i alle perioder)

Årsplan. Uke Tema Kompetansemål Læringsmål Metode; TPO, strategier. Vurdering (i alle perioder) Årsplan Trinn: 7 Fag: Matematikk Uke Tema Kompetansemål Læringsmål Metode; TPO, strategier Vurdering (i alle perioder) 34(1. -Titallsystemet -Add og sub med hele tall beskrive og bruke plassverdisystemet

Detaljer

E.1: Kunne regne ut areal av formlike figurer når målestokken er oppgitt, med omgjøring av enheter E.2: Kunne anvende regelen om samsvarende

E.1: Kunne regne ut areal av formlike figurer når målestokken er oppgitt, med omgjøring av enheter E.2: Kunne anvende regelen om samsvarende 11. mai 2014 INNHOLD INNHOLD... 2 INNLEDNING... 4 STEGARK... 5 GJENNOMGANG AV HVERT STEG... 11 NIVÅ A: FINNE LENGDER I FORMLIKE FIGURER NÅR MÅLESTOKKEN ER OPPGITT13 A.1: En figur, hvor minst en lengde

Detaljer

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.

Detaljer