Menylinje og dei vanlegaste funksjonane. Her gjer du dei tilpassingane du treng.

Transkript

1 GeoGebra GeoGebra 1 GeoGebra er eit dynamisk geometriprogram. I programmet kan du framstille forskjellige geometriske figurar, forskjellige likningar (likningssett) og ulike funksjonsuttrykk, og du kan gjere endringar undervegs. Programmet har også andre funksjonar, men desse skal vi ikkje komme nærare inn på her. Programmet er gratis, og du kan laste det ned frå Der finn du òg meir utdjupande opplæringsmanualar som er knytte til programmet. Oppgåver som du kan løyse med dette programmet, finn du i Faktor Grunnbok og Oppgåvebok, Faktor Eksamensførebuande hefte, Faktor Fordjupningshefte og på nettsidene til GeoGebra. Menylinje og dei vanlegaste funksjonane Her gjer du dei tilpassingane du treng. Viss ikkje Oppsett blir vist automatisk, vel du oppsett sjølv frå Vis-menyen. Dei viktigaste oppsetta er: Vis Algebrafelt Grafikkfelt Konstruksjonsforklaring Inntastingsfelt GeoGebra 82

2 Skjermbiletet og dei vanligaste funksjonane Verktøylinje der aktivt verktøy er markert med blått omriss Angreknapp Algebrafelt Innstillingar for aksar og rutenett Grafikkfelt Inntastingsfelt Hugs at du kan alltid angre handlingar ved hjelp av Ctrl + z. (angreknappen) eller Verktøylinja Verktøylinja inneheld mange knappar. Under kvar knapp vil du få fram fleire verktøy viss du trykkjer på den vesle pila nedst i høgre hjørne. Når du held musepeikaren over eit verktøy, kjem det fram ein hjelpetekst. Vi skal no komme inn på dei vanlegaste funksjonane som ligg under kvart verktøy på verktøylinja. Det finst mange fleire verktøy enn dei vi tek for oss her. Flytt Lèt deg ta tak i eit objekt og flytte det. GeoGebra 83

3 Punkt Lèt deg opprette eit nytt valfritt punkt. Lèt deg opprette eit skjeringspunkt. Lèt deg opprette eit midtpunkt eller sentrum i ein regulær figur. Linjer og linjestykke Lèt deg opprette ei linje gjennom to punkt. Lèt deg opprette eit linjestykke mellom to punkt. Lèt deg opprette eit linjestykke med gitt lengd. Lèt deg opprette ein stråle frå eitt punkt gjennom eit anna punkt. Lèt deg opprette ein vektor (pil) frå eit punkt til eit anna punkt. Normalar, halveringsstrålar og parallelle linjer GeoGebra Lèt deg opprette normalen (90 ) mellom eit punkt og ei linje. Lèt deg opprette ei parallell linje gjennom eit punkt. Lèt deg opprette ein midtnormal mellom to punkt. Lèt deg halvere ein vinkel. 84

4 Mangekantar Lèt deg opprette ein irregulær mangekant. Lèt deg opprette ein regulær mangekant. Lèt deg opprette ein mangekant som ikkje kan endrast. Sirklar, sirkelbogar og sirkelsektorar Lèt deg opprette ein sirkel ved hjelp av to punkt. Lèt deg opprette ein sirkel med mål (radius i cm). Lèt deg opprette ein sirkel ved hjelp av tre punkt. Vinklar og storleikar Lèt deg opprette ein vinkel ved hjelp av tre punkt. Lèt deg opprette ein vinkel med gitt storleik. Lèt deg måle ein avstand (cm). Lèt deg måle eit areal (cm 2 ). Lèt deg måle stigninga til ein funksjon. GeoGebra 85

5 Spegling og rotasjon Lèt deg spegle eit objekt om ei linje. Lèt deg spegle eit objekt om eit punkt. Lèt deg rotere eit objekt rundt eit punkt. Justeringar Lèt deg flytte grafikkfeltet og justere aksane ved å dra i dei. Hald musepeikaren over aksen du vil justere. Da kjem det opp ei dobbeltpil. Hald så venstre museknapp inne og dra aksen i ønskt retning. Hugs at du kan alltid angre handlingar ved hjelp av eller Ctrl + z. (angreknappen) Konstruksjonsforklaring Vel Konstruksjonsforklaring frå Vis-menyen. GeoGebra 86

6 Konstruksjonsforklaringsfeltet vil vise seg. Juster feltet i breidda så alt visast. Trykk på eksporter-knappen under Konstruksjonsforklaring. Skriv inn «Tittel» og «Laget av» og trykk på Eksporter. Konstruksjonsforklaringen vil nå være tilgjengeleg frå Utskrifts-menyen, sjå Utskrift. Vel «konstruksjonsforklaring» først etter at du er ferdig med konstruksjonen. GeoGebra 87

7 Utskrift Vel Forhåndsvis utskrift frå Fil-menyen. Her vel du kva som skal skrivast ut (Algebrafelt, Grafikkfelt, Konstruksjonsforklaring osv.). Her vel du ståande eller liggjande papirretning. Her justerer du storleiken på det du skal skrive ut. Hugs at du kan angre handlingar ved hjelp av eller Ctrl + z. Eigne notat: (angreknappen) Sjå på side 87 korleis du eksporterer konstruksjonsforklaringa slik at ho visast i førehandsvisinga for utskrift. GeoGebra 88

8 GeoGebra 2 Lineære funksjonar Vel Vis på Menylinja og huk av for Algebrafelt og Grafikkfelt 1. Trykk på pila ved sida av Grafikkfelt 1 og merk av for Akser og Rutenett. Eksempel Vis funksjonen y =3x -- 2 i eit koordinatsystem. NB! Bruk punktum (.) og ikkje komma (,) om du skal skrive desimaltal. Løysing Skriv inn funksjonsuttrykket «y=3x 2» i inntastingsfeltet. Du kan også skrive inn «f(x)=3x 2». Trykk Enter (linjeskift) og funksjonen blir vist. Resultat Bruk -verktøyet for å justere grafikkfeltet og aksane. Vel til slutt om du vil lagre eller skrive ut via Fil på Menylinja. GeoGebra 89

9 To lineære funksjonar og merking av koordinatane til skjeringspunktet Vel Vis på Menylinja og huk av for Algebrafelt og Grafikkfelt 1. Trykk på pila ved sida av Grafikkfelt 1 og merk av for Akser og Rutenett. Eksempel Vis funksjonane fðxþ =3x -- 2 og gðxþ =--x + 6 i eit koordinatsystem, og finn koordinatane for skjeringspunktet mellom dei to grafane. Løysing Skriv inn funksjonsuttrykket «f(x)=3x 2» i inntastingsfeltet. Trykk Enter (linjeskift). Skriv deretter inn «g(x)= x+6» og trykk Enter (linjeskift). Vel så Skjering mellom to objekt. Punkt A: Skjæringpunkt mellom g.f Klikk på skjeringspunktet mellom dei to grafane. Merk at skjeringspunktet A får koordinatane (2, 4) i algebrafeltet. Vel så Vektor mellom to punkt. GeoGebra 90

10 Opprett ein vektor frå A (skjeringspunktet) til andreaksen. Han skal treffe andreaksen i 4. Opprett så ein vektor frå A (skjeringspunktet) til førsteaksen. Han skal treffe førsteaksen i 2. Vel deretter ABC-verktøyet frå menyen og skriv inn teksten: «Dei to grafane skjer kvarandre i punkt A. Punkt A har koordinatane (2, 4).» Resultat Bruk -verktøyet for å justere grafikkfeltet og aksane. Vel til slutt om du vil lagre eller skrive ut via Fil på Menylinja. Eigne notat: GeoGebra 91

11 Kvadratisk funksjon Vel Vis på Menylinja og huk av for Algebrafelt og Grafikkfelt 1. Trykk på pila ved sida av Grafikkfelt 1 og merk av for Akser og Rutenett. Eksempel Vis funksjonen fðxþ = 1 2 x i eit koordinatsystem. GeoGebra bruker ^ som rekneteikn for potens. Hugs punktum og ikkje komma ved desimaltal! Løysing Skriv inn «f(x)=0.5x^2 4» i inntastningsfeltet og trykk Enter (linjeskift). Resultat GeoGebra Bruk -verktøyet for å justere grafikkfeltet og aksane. Vel til slutt om du vil lagre eller skrive ut via Fil på Menylinja. 92

12 Rasjonal funksjon (brøkfunksjon) Vel Vis på Menylinja og huk av for Algebrafelt og Grafikkfelt 1. Trykk på pila ved sida av Grafikkfelt 1 og merk av for Akser og Rutenett. Eksempel a) Vis funksjonen y = 5000 i eit koordinatsystem. Bruk x-verdiar x mellom 1 og 20. b) Merk av verdien av y når x er 10. Løysing Skriv inn «Funksjon[5000/x,1,20]» i inntastningsfeltet og trykk Enter (linjeskift). Bruk -verktøyet for å justere grafikkfeltet og aksane. Hold musepeikaren over andreaksen slik at to piler blir viste. Dra så aksen nedover slik at han viser verdiar frå 0 til Gjer det same med førsteaksen, men vel nå verdiar frå 0 til 20. Legg merke til at berre x- verdier frå 1 til 20 blir viste. Set inn tre nye punkt: A (10, 0), B (10, 500), C (0, 500). Opprett deretter vektorar frå A til B og frå B til C. GeoGebra 93

13 Vel så ABC-verktøyet frå menyen og skriv inn teksten: «Les av grafen og finn y = 500 når x = 10» Resultat Bruk -verktøyet for å justere grafikkfeltet og aksane. Vel til slutt om du vil lagre eller skrive ut via Fil på Menylinja. Eigne notat: GeoGebra 94

14 GeoGebra 3 Likningar Vel Vis på Menylinja og huk av for Algebrafelt og Grafikkfelt 1. Trykk på pila ved sida av Grafikkfelt 1 og merk av for Akser og Rutenett. Eksempel Løys likninga 2x -- 3 = 2 + x grafisk. Løysing Når vi skal løyse likningar grafisk, skriv vi inn det som står til venstre for likskapsteiknet og det som står til høgre, kvar for seg. Skriv inn «2x 3» i inntastningsfeltet og trykk Enter (linjeskift). Skriv inn «2+x» i inntastningsfeltet og trykk Enter (linjeskift). Marker skjeringspunktet mellom grafane. GeoGebra 95

15 Trekk ein vektor frå punktet til førsteaksen. Vel så ABC-verktøyet frå menyen og skriv inn denne teksten: «Linjene skjer kvarandre i eit punkt som har førstekoordinaten x = 5. Løysingen på likninga er derfor x = 5.» Resultat GeoGebra Bruk -verktøyet for å justere grafikkfeltet og aksane. Vel til slutt om du vil lagre eller skrive ut via Fil på Menylinja. 96

16 Likningar med to ukjende Vel Vis på Menylinja og huk av for Algebrafelt og Grafikkfelt 1. Trykk på pila ved sida av Grafikkfelt 1 og merk av for Akser og Rutenett. Eksempel Løys likningssettet grafisk y =--2x --3x =--y -- 5 Hugs punktum, ikkje komma, om du skriv desimaltal! Løysing Skriv inn «y= 2x» i inntastningsfeltet og trykk Enter (Linjeskift). Skriv inn «3x= y 5» i inntastningsfeltet og trykk Enter (Linjeskift). Bruk -verktøyet for å justere grafikkfeltet og aksane. Marker skjeringspunktet mellom grafane. GeoGebra 97

17 Trekk ein vektor frå punktet til førsteaksen. Trekk deretter ein vektor frå punktet til andreaksen. Vel så ABC-verktøyet frå menyen og skriv inn denne teksten: «Linjene skjer kvarandre i punktet (1, 2). Løysinga på likningssettet er derfor x =1ogy = 2.» Resultat GeoGebra Bruk -verktøyet for å justere grafikkfeltet og aksane. Vel til slutt om du vil lagre eller skrive ut via Fil på Menylinja. 98

18 Eigne notat: GeoGebra 99

19 GeoGebra 4 Geometri: punkt, sirklar og linjer Vel Vis på Menylinja og huk av for Algebrafelt og Grafikkfelt 1. Trykk på pila ved sida av Grafikkfelt 1 og vel bort markeringa på Akser og Rutenett. Eksempel a) Lag ein sirkel med radius 5cm og kall sentrum for S. b) Lag to punkt AB på sirkelbogen og trekk linjestykket AB. c) Lag ein parallell til AB gjennom S. Kall skjeringspunkta med sirkelbogen for P og Q. d) Lag ein sirkel med sentrum P og radius PA. e) Lag ein sirkel med sentrum Q og radius QA. Løysing Opprett ein sirkel med radius lik 5 cm. Høgreklikk på sentrum (A) og vel Gi nytt navn. Kall sentrum for S. Opprett punkta A og B på sirkelbogen. GeoGebra Opprett linjestykket AB. 100

20 Opprett ei parallell linje til AB gjennom S. Kall skjeringspunkta med sirkelbogen for P og Q. Opprett ein sirkel med sentrum i P og radius PA. Opprett ein sirkel med sentrum i Q og radius QB. Resultat Vel til slutt om du vil lagre eller skrive ut via Fil på Menylinja. GeoGebra 101

21 Geometri: vinklar og normalar Vel Vis på Menylinja og huk av for Algebrafelt og Grafikkfelt 1. Trykk på pila ved sida av Grafikkfelt 1 og vel bort markeringa på Akser og Rutenett. Eksempel a) Lag ein vinkel på 60 der toppunktet heiter B og vinkelbeina går gjennom punkta A og A'. b) Lag linjestykket AA'. c) Lag midtnormalen til AA' og kall skjeringspunktet med linjestykket AA' for C. (Midtnormalen blir halveringsstrålen til vinkelen.) d) Nedfell normalen frå C til begge vinkelbeina. Kall skjeringspunkta for D og E. Løysing Opprett ein vinkel på 60. Toppunktet får namnet B, og vinkelbeina går gjennom punkta A og A', som ligg like langt frå B. Opprett linjestykket AA'. Opprett midtnormalen til AA'. GeoGebra Eigne notat: 102

22 Marker skjeringspunktet mellom midtnormalen og linjestykket AA'. Kall skjeringspunktet for C. Nedfell normalane frå C til BA og BA'. Kall skjeringspunkta for D og E. Resultat Vel til slutt om du vil lagre eller skrive ut via Fil på Menylinja. GeoGebra 103

23 Geometri: mangekantar Vel Vis på Menylinja og huk av for Algebrafelt og Grafikkfelt 1. Trykk på pila ved sida av Grafikkfelt 1 og vel bort markeringa på Akser og Rutenett. Eksempel a) Lag ein regulær trekant med sider 3 cm. b) Lag ein regulær firkant med sider 3 cm. c) Lag ein regulær femkant med sider 3 cm. Løysing Opprett ein regulær mangekant ved hjelp av to punkt. Vel 3 hjørne for trekanten. Gjer tilsvarande for firkant og femkant. GeoGebra Du kan også starte med eit linjestykke på 3 cm! Juster sidene ved å dra i eitt av hjørna slik at sidene blir 3 cm. Lengda til sida blir vist i algebrafeltet. 104

24 Resultat Vel til slutt om du vil lagre eller skrive ut via Fil på Menylinja. Eigne notat: GeoGebra 105

25 Geometri: lengd, omkrins og areal Vel Vis på Menylinja og huk av for Algebrafelt og Grafikkfelt 1. Trykk på pila ved sida av Grafikkfelt 1 og vel bort markeringa på Akser og Rutenett. Eksempel a) Lag eit linjestykke AB på 5cm. b) Lag eit kvadrat ABCD på linjestykket AB. c) Teikn inn dei to diagonalane i kvadratet og kall skjeringspunktet for S. d) Lag ein sirkel med sentrum S og radius SA. e) Finn ved hjelp av måling: Lengda på diagonalen, omkrinsen til sirkelen, arealet av kvadratet og arealet av sirkelen. Løysing Opprett eit linjestykke med lengd 5 cm. Opprett eit kvadrat på linjestykket AB. GeoGebra 106

26 Teikn inn dei to diagonalane til kvadratet, merk skjeringspunktet og kall det for S. Opprett ein sirkel med sentrum S og periferipunkt A. Mål deretter ved hjelp av måleverktøyet: Lengda til diagonalen Omkrinsen til sirkelen Arealet av kvadratet Arealet av sirkelen GeoGebra 107

28 Geometri: samansette figurar Vel Vis på Menylinja og huk av for Algebrafelt og Grafikkfelt 1. Trykk på pila ved sida av Grafikkfelt 1 og vel bort markeringa på Akser og Rutenett. Eksempel a) Lag eit kvadrat ABCD med sider 4 cm. b) Lag ein halvsirkel på linjestykket CD. c) Lag ein likebeint trekant med høgd 4 cm på BC. d) Lag ein rettvinkla trekant der ADG =90 og AG = 2 cm. e) Lag ein trekant ABH på linjestykket AB der BAH =60 og ABH =30. Løysing Opprett eit linjestykke med lengd 4 cm. Lag så eit kvadrat på linjestykket. Opprett ein halvsirkel på linjestykket CD. GeoGebra 109

29 Opprett midtnormalen til CB og set av eit linjestykke EF =4cm på midtnormalen. Opprett den likebeinte trekanten BFC. Opprett ein stråle frå C gjennom D. GeoGebra Opprett deretter eit linjestykke DG = 2 cm på strålen frå C gjennom D. 110

30 Opprett den rettvinkla trekanten ADG. Opprett vinkel A =60 og B =30. Start med vinkelbeinet, så toppunktet. Opprett ein stråle frå B til A' og frå A til B'. Opprett deretter trekanten AHB. GeoGebra 111

32 Geometri: spegling og rotasjon Vel Vis på Menylinja og huk av for Algebrafelt og Grafikkfelt 1. Trykk på pila ved sida av Grafikkfelt 1 og vel bort markeringa på Akser og Rutenett. Eksempel a) Lag ein trekant ABC og eit linjestykke DE. Spegl trekanten om linjestykket. b) Lag ein trekant FGH og eit punkt I. Roter trekanten 150 om punktet. Løysing Opprett ein trekant ABC og eit linjestykke DE. Spegl trekanten om linjestykket. Punktmarkeringa A, B og C kjem opp automatisk. GeoGebra 113

33 Opprett ein trekant FGH og eit punkt I. Roter trekanten 150 om I. Resultat GeoGebra Vel til slutt om du vil lagre eller skrive ut via Fil på Menylinja. 114

34 Geometri: perspektivteikning Vel Vis på Menylinja og huk av for Algebrafelt og Grafikkfelt 1. Trykk på pila ved sida av Grafikkfelt 1 og vel bort markeringa på Akser og Rutenett. Eksempel Teikn eit rett firkanta prisme med eitt forsvinningspunkt. Løysing Opprett eit rektangel ABCD og eit forsvinningspunkt P. Opprett strålar frå hjørna på rektangelet gjennom P. Opprett eit punkt E på strålen frå A. Opprett ei parallell linje til AD gjennom E. GeoGebra 115

35 Kall skjeringspunktet med DP for F. Opprett ei parallell linje til CD gjennom F. Kall skjeringspunktet med CP for G. Opprett ei parallell linje til AB gjennom E. Kall skjeringspunktet med BP for H. Opprett flatene (mangekantane) ABHE, EHGF, ADFE, CGFD og BCGH i prismet. GeoGebra 116

37 Geometri: konstruksjon Vel Vis på Menylinja og huk av for Algebrafelt og Grafikkfelt 1. Trykk på pila ved sida av Grafikkfelt 1 og vel bort markeringa på Akser og Rutenett. Eksempel 1 Lag ein trekant ABC der AB = 7,5 cm, A =90 og B = 22,5. Løysing C Hjelpefigur A 22,5 7,5 cm B Nr. Forklaring Verktøy Ikon 1. Oppretta eit linjestykke AB = 7,5 cm Linjestykke med bestemt lengd 2. Oppretta 90 i A Vinkel med fast størrelse 3. Oppretta 22,5 i B Vinkel med fast storleik Oppretta ein stråle frå A gjennom B' Oppretta ein stråle frå B gjennom A' Oppretta skjeringspunkt mellom strålane Stråle gjennom to punkt Stråle gjennom to punkt Skjering mellom to objekter GeoGebra 7. Oppretta trekanten ABC Mangekant 118

39 Eksempel 2 Lag ein firkant ABCD der AB = 5 cm, BAC =60, B =90 og CAD = ACD =45. Finn arealet av firkanten. Løysing Hjelpefigur D A 5 cm C B Nr. Forklaring Verktøy Ikon 1. Oppretta linjestykket AB =5cm Linjestykke med bestemt lengd 2. Oppretta BAC =60 Vinkel med fast storleik 3. Oppretta 90 i B Vinkel med fast storleik GeoGebra Oppretta ein stråle frå A gjennom B' Oppretta ein stråle frå B gjennom A' Oppretta skjeringspunktet C mellom strålane Oppretta CAD og ACD =45 Oppretta ein stråle frå A gjennom C' og frå C gjennom A' 1 Oppretta skjeringspunktet D mellom strålane Stråle gjennom to punkt Stråle gjennom to punkt Skjering mellom to objekt Vinkel med fast sorleik Stråle gjennom to punkt Skjering mellom to objekt 10. Oppretta firkanten ABCD Mangekant 11. Fann arealet av firkanten ABCD: 46,65 cm 2 Areal 120

41 Eksempel 3 Lag ein firkant ABCD der AB =9cm, ABE =30, DCE =45, DE = AD, diagonalane skjærer kvarandre i punktet E og avstanden frå E til AB =3cm. Løysing Hjelpefigur D 45 E C A 3 cm 30 9 cm B Nr. Forklaring Verktøy Ikon 1. Oppretta linjestykket AB =9cm Linjestykke med bestemt lengd 2. Oppretta ABE =30 Vinkel med fast storleik 3. Oppretta ein stråle frå B gjennom A' (den eine diagonalen i firkanten) Stråle gjennom to punkt GeoGebra Oppretta ein normal til AB og kalla han P Oppretta eit punkt P 1 på 3 cm opp på normalen frå P Oppretta ei parallell linje gjennom P 1 Oppretta skjeringspunktet E mellom den parallelle linja og ABEs høgre vinkelbein Oppretta ein stråle frå A gjennom E (den andre diagonalen i firkanten) Midtnormal Linjestykke med bestemt lengd Parallell linje Skjering mellom to objekt 9. Halverte linjestykket AE Midtnormal Stråle gjennom to punkt 122

42 Nr. Forklaring Verktøy Ikon Fann D i skjeringspunktet mellom midtnormalen og ABEs høgre vinkelbein Oppretta eit punkt C på strålen frå A gjennom E Skjering mellom to objekt Nytt punkt 12. Oppretta ECD =45 i C Vinkel med fast storleik Oppretta ein stråle frå C gjennom E' Justerte strålen (ECDs høgre vinkelbein) slik at han går gjennom D Stråle gjennom to punkt Flytt 15. Oppretta firkanten ABCD Mangekant Resultat Vel til slutt om du vil lagre eller skrive ut via Fil på Menylinja. GeoGebra 123