GeoGebra-opplæring i Matematikk R1

Transkript

1 GeoGebra-opplæring i Matematikk R1 Emne Underkapittel Vektorer 1.4 Lengden av vektorer 1.5 Skalarprodukt og vinkel mellom to vektorer 1.6 Forenkle uttrykk 2.1 Faktorisering 2.1 Grafisk løsning av eksponentiallikninger 2.7 Grafisk løsning av logaritmelikninger 2.8 Fakultet. Binomialkoeffisient i regneark 3.6/3.7 Binomialkoeffisient I 3.7 Binomialkoeffisient II 3.7 Binomiske sannsynligheter 3.8 Kumulative binomiske sannsynligheter 3.8 Binomisk og kumulativ binomisk i regneark 3.8 Rasjonale funksjoner 4.1 Den deriverte 4.3 Tredjegradsfunksjoner 4.4 Tabell med funksjonsverdier og derivertverdier 4.4 Å bruke den deriverte til å finne når et uttrykk er størst mulig 4.4 Vendepunkter 4.5 Den naturlige eksponentialfunksjonen 5.1/5.2 Den naturlige logaritmen 5.1/5.2 Parameterframstilling 5.3 Derivasjon av vektorfunksjoner 5.5 Periferi- og sentralvinkler 6.1 Thales setning 6.1 Tegne en trekant 6.3 Regulære mangekanter 6.3 Omsenter 6.4 Innsenter 6.4 Tyngdepunkt 6.4 Ortosenter 6.4 Aschehoug

2 Vektorer med GeoGebra Du skal tegne vektoren a 2,3. Klikk på Vis og bruk venstretasten til å huke av for Algebrafelt, Akser og Rutenett. Skriv a = (2, 3) i Inntastingsfeltet og trykk Enter. Vektoren 2,3 blir tegnet. Legg merke til notasjonen. GeoGebra bruker ikke hakeparenteser og pil over bokstaven. Høyreklikk på a. Velg Egenskaper og Navn og verdi under Vis navn. Skriv A = (4, 2) i Inntastingsfeltet og trykk Enter. Punktet A = (4, 2) blir tegnet. Nå har du dette bildet: NB! Små bokstaver blir automatisk oppfattet som navn på vektorer, og store bokstaver som navn på punkter. Vektorer mellom to punkter Klikk på ikon nr. 2 fra venstre og velg Nytt punkt. Legg inn punktet (7, 1) ved å klikke i Grafikkfeltet. Punktet får navnet B. (Du kan også legge inn punktet ved å skrive (7, 1) eller B = (7, 1) i Inntastingsfeltet.) Klikk på ikon nr. 3 fra venstre og velg Vektor mellom to punkter. Klikk først på punkt A i Grafikkfeltet og deretter på punkt B. Vektoren u fra A til B blir tegnet. Høyreklikk på u. Velg Egenskaper og Navn og verdi under Vis navn. Nå har du dette bildet: Aschehoug Side 1 av 1

3 Lengden av vektorer med GeoGebra Du skal finne lengden av vektorene a 2,3 og u 3, 1 Skriv lengde[a] i Inntastingsfeltet og trykk Enter. I Algebrafeltet vises lengden av vektoren ved b = For å se hva b står for kan du høyreklikke på b i Algebrafeltet. Da få du dette bildet. Lengden av vektoren a er altså 3,61. Skriv lengde[u] i Inntastingsfeltet og trykk Enter. I Algebrafeltet vises lengden av vektoren ved c = Lengden av vektoren u er altså 3,16. Aschehoug Side 1 av 1

4 GeoGebra: Skalarprodukt og vinkelen mellom to vektorer Skalarprodukt Du skal finne skalarproduktet av vektorene u og v. Skriv u*v i Inntastingsfeltet og trykk Enter. I Algebrafeltet vises skalarproduktet a = 15. For å se hva a står for kan du høyreklikke på a i Algebrafeltet. Da få du dette bildet: Skalarproduktet av vektorene u og v er altså 15. (Ser du av figuren at skalarproduktet er ?) Vinkel mellom to vektorer Du skal finne vinkelen mellom vektorene u og v. Klikk på ikon nr. 4 fra høyre og velg Vinkel. Klikk på punktene B, A og C i denne rekkefølgen. Vinkelen mellom vektorene får navnet. Både i Algebrafeltet og i Grafikkfeltet ser du at vinkelen mellom vektorene er 45. Aschehoug Side 1 av 1

5 Forenkle uttrykk med GeoGebra NB! Du må alltid bruke x som navn på den bokstaven som inngår i uttrykket. Du skal forkorte brøken 2 x 6. 4 Skriv Forenkle [(2x+6)/4] i inntastingsfeltet og trykk Enter. x 3 Da får du bildet nedenfor. Svaret blir altså. 2 2 x 3x Du skal forkorte brøken. 2x 6 Skriv Forenkle [(x 2 +3x)/(2x+6)] i inntastingsfeltet og trykk Enter. x Da får du bildet nedenfor. Svaret blir altså. 2 x 6 1 I Utregning av algebraiske uttrykk skulle du regne ut. 2x 4 6 2x 16 GeoGebra ga svaret. Denne brøken kan forkortes. 3(2x 4) Skriv Forenkle [(2x+16)/(3(2x+4))] i inntastingsfeltet og trykk Enter. x 8 x 8 Da får du bildet nedenfor. Svaret kan altså skrives eller 3( x 2) 3x 6. Hvis du skriver Forenkle [(x+6)/(2x+4)-1/6] i inntastingsfeltet og trykker Enter, får du svaret på figuren ovenfor direkte. Det kan derfor være lurt å bruke kommandoen Forenkle i stedet for å bruke kommandoen RegnUt. Prøv med flere uttrykk og se hva som fungerer best. Aschehoug Side 1 av 1

6 Faktorisering med GeoGebra NB! Du må alltid bruke x som navn på den bokstaven som inngår i uttrykket. 2 Du skal faktorisere x 3x. Skriv Faktoriser[x 2 +3x] i inntastingsfeltet og trykk Enter. Da får du bildet nedenfor. Svaret blir altså ( x 3) x. 2 Du skal faktorisere x 3x 10. Skriv Faktoriser[x 2-3x-10] i inntastingsfeltet og trykk Enter. Da får du bildet nedenfor. Svaret blir altså ( x 5)( x 2). 2 Du skal faktorisere x 4x 4. Skriv Faktoriser[x 2 +4x+4] i inntastingsfeltet og trykk Enter. Da får du bildet nedenfor. Svaret blir altså. x Du skal faktorisere 3x 12. Skriv Faktoriser[3x 2-12] i inntastingsfeltet og trykk Enter. Da får du bildet nedenfor. Svaret blir altså 3( x 2)( x 2). Aschehoug Side 1 av 1

7 Grafisk løsning av eksponentiallikninger med GeoGebra x Du skal løse eksponentiallikningen 85 0,92 = 50. Sett f( x ) = 85 0,92 x og gx ( ) = 50. Skriv f(x)=85*0.92^x i Inntastingsfeltet og trykk Enter. Skriv g(x)=50 i Inntastingsfeltet og trykk Enter. Tilpass aksene slik at skjæringspunktet mellom grafene vises i grafikkfeltet. Klikk på knappen Skjæring mellom to objekter og deretter på de to grafene. Skjæringspunktet A dukker nå opp i Grafikkfeltet og i Algebrafeltet. Høyreklikk på punktet og velg Verdi under Egenskaper / Vis navn. Da får du dette bildet: Skjæringspunktet mellom grafene har koordinatene (6,36, 50). Løsningen på likningen er x = 6,4. Aschehoug Side 1 av 1

8 Grafisk løsning av logaritmelikninger med GeoGebra Du skal løse logaritmelikningen lg(2x 3) 2lg 3. Sett f( x) lg(2x 3) og gx ( ) 2lg3. Skriv f(x)=lg(2x+3) i Inntastingsfeltet og trykk Enter. Skriv g(x)=2lg3 i Inntastingsfeltet og trykk Enter. Tilpass aksene slik at skjæringspunktet mellom grafene vises i grafikkfeltet. Klikk på knappen Skjæring mellom to objekter og deretter på de to grafene. Skjæringspunktet A dukker nå opp i Grafikkfeltet og i Algebrafeltet. Høyreklikk på punktet og velg Verdi under Egenskaper / Vis navn. Da får du dette bildet: Skjæringspunktet mellom grafene har koordinatene (3, 0,95). Løsningen på likningen er x = 3. Aschehoug Side 1 av 1

9 GeoGebra: Fakultet. Binomialkoeffisient i regneark Fakultet Skriv 5! i Inntastingsfeltet. Trykk Enter. I Algebrafeltet står det nå a = 120. Det betyr at 5! = 120. Binomialkoeffisient Skriv BinomialKoeffisient[10,5] i Inntastingsfeltet. Trykk Enter. 10 I Algebrafeltet står det nå b = 252. Det betyr at Binomialkoeffisient i regnearket Klikk på Vis og velg Regneark. Skriv n i rute A1, r i rute B1 og BinomialKoeffisient[n,r] i rute C1. Skriv 10 i rute A2 og 1 i rute B2. Skriv B2+1 i rute B3. Klikk på markøren nederst til høyre i rute B3 og dra nedover til og med rute B11. Da står tallene 1, 2,..., 10 i rutene B2 B11. Skriv BinomialKoeffisient[$A$2,B2] i rute C2. Dra markøren i ruta nedover til og med rute C11. I rutene C2 C11 står verdiene for ,,...,, slik figuren nedenfor viser (Legg merke til symmetrien.) Aschehoug Side 1 av 1

10 Binomialkoeffisient I med GeoGebra Du skal finne binomialkoeffisientene og med GeoGebra. 16 Klikk på Vis og bruk venstretasten til å huke av for Algebrafelt. Fjern eventuelt avhukningen for Akser og Rutenett. Skriv BinomialKoeffisient[5,2] i inntastingsfeltet og trykk Enter. 5 I Algebrafeltet står det a = 10. Det viser at binomialkoeffisienten 2 er 10. Hvis du holder musepekeren over a i Algebrafeltet, får du bildet nedenfor. Dobbeltklikk på a i Algebrafeltet. I boksen som dukker opp, endrer du 5 over 2 til 20 over 16. Klikk på OK. Hvis du holder musepekeren over a i Algebrafeltet, får du bildet nedenfor. Aschehoug Side 1 av 1

11 Binomialkoeffisient II med GeoGebra Du skal finne binomialkoeffisienten n r med GeoGebra. n og r er hele, positive tall. Klikk på Vis og bruk venstretasten til å huke av for Algebrafelt. Fjern eventuelt avhukningen for Akser og Rutenett. Skriv n = 1 i Inntastingfeltet og trykk Enter. Klikk i rundingen foran n i Algebrafeltet. Da får du dette bildet. I Grafikkfeltet har du fått glideren for n. Du kan klikke på F-pila og deretter på punktet på glideren. Hvis du drar punktet, endrer du verdien til n. Høyreklikk på glideren, klikk på Egenskaper og deretter på fanen Glider. Siden n er et helt, positivt tall, endrer du Min fra 5 til 1. Endre Maks til for eksempel 20. Animasjonstrinnet endrer du til 1. Endre Bredde til for eksempel 200. Klikk på Lukk. Aschehoug Side 1 av 2

12 Skriv r = 1 i Inntastingfeltet og trykk Enter. Klikk i rundingen foran r i Algebrafeltet. Fortsett slik du gjorde for n. Da får du dette bildet. Skriv BinomialKoeffisient[n,r] i inntastingsfeltet og trykk Enter. 1 I Algebrafeltet står det a = 1. Det viser at binomialkoeffisienten er 1. 1 Klikk på F-pila og flytt punktene på gliderne slik at n = 15 og r = 5. Da får du bildet nedenfor. 15 Binomialkoeffisienten er Hvis du skal regne ut for større verdier enn 20 for n eller r, må du endre Maks under glideregenskapene. Du må vurdere om du da bør endre Bredde. Du bør også vurdere om verdien for Min bør endres. Aschehoug Side 2 av 2

13 Binomiske sannsynligheter med GeoGebra Vi sår 20 frø og ser om de spirer. Et bestemt frø spirer med 70 % sannsynlighet. Vi vil finne sannsynligheten for at 16 av de 20 frøene spirer. Skriv n = 20 i Inntastingsfeltet. Trykk Enter. Klikk i sirkelen til venstre for n = 20 i Algebrafeltet. Glideren for n dukker opp i Grafikkfeltet. Høyreklikk på glideren og klikk på Egenskaper. Velg: Min: 1 Maks: 50 Animasjonstrinn: 1 Bredde: 200 Klikk på Lukk. Skriv r = 16 i Inntastingsfeltet. Trykk Enter. Klikk i sirkelen til venstre for r = 16 i Algebrafeltet. Glideren for r dukker opp i Grafikkfeltet. Høyreklikk på glideren og klikk på Egenskaper. Velg: Min: 0 Maks: 50 Animasjonstrinn: 1 Bredde: 200 Klikk på Lukk. Skriv p = 0.70 i Inntastingsfeltet. Trykk Enter. Klikk i sirkelen til venstre for p = 0.70 i Algebrafeltet. Glideren for p dukker opp i Grafikkfeltet. Høyreklikk på glideren og klikk på Egenskaper. Velg: Min: 0 Maks: 1 Animasjonstrinn: 0.01 Bredde: 200 Klikk på Lukk. Skriv BinomialKoeffisient[n,r] i Inntastingsfeltet. Trykk Enter.! 20" I Algebrafeltet står a = Det betyr at # $ = % 16 & Skriv a*p^r*(1-p)^(n-r) i Inntastingsfeltet. Trykk Enter. Da får du dette bildet: I Algebrafeltet står b = Det betyr at P(16 av 20 frø vil spire) = 0,13. For å finne andre binomiske sannsynligheter kan du nå endre gliderverdiene for n, r og p. Aschehoug Side 1 av 1

14 Kumulative binomiske sannsynligheter med GeoGebra Vi sår 20 frø og ser om de spirer. Et bestemt frø spirer med 70 % sannsynlighet. Vi vil finne sannsynligheten for at minst 12 av de 20 frøene spirer. Skriv n = 20 i Inntastingsfeltet. Trykk Enter. Klikk i sirkelen til venstre for n = 20 i Algebrafeltet. Glideren for n dukker opp i Grafikkfeltet. Høyreklikk på glideren og klikk på Egenskaper. Velg: Min: 1 Maks: 50 Animasjonstrinn: 1 Bredde: 200 Klikk på Lukk. Skriv p = 0.70 i Inntastingsfeltet. Trykk Enter. Klikk i sirkelen til venstre for p = 0.70 i Algebrafeltet. Glideren for p dukker opp i Grafikkfeltet. Høyreklikk på glideren og klikk på Egenskaper. Velg: Min: 0 Maks: 1 Animasjonstrinn: 0.01 Bredde: 200 Klikk på Lukk. Skriv a = 12 i Inntastingsfeltet. Trykk Enter. Klikk i sirkelen til venstre for a = 12 i Algebrafeltet. Glideren for a dukker opp i Grafikkfeltet. Høyreklikk på glideren og klikk på Egenskaper. Velg: Min: 0 Maks: 50 Animasjonstrinn: 1 Bredde: 200 Klikk på Lukk. Skriv b = 20 i Inntastingsfeltet. Trykk Enter. Klikk i sirkelen til venstre for b = 20 i Algebrafeltet. Glideren for b dukker opp i Grafikkfeltet. Høyreklikk på glideren og klikk på Egenskaper. Velg: Min: 0 Maks: 50 Animasjonstrinn: 1 Bredde: 200 Klikk på Lukk. Skriv Sum[Følge[BinomialKoeffisient[n,r]*p^r*(1-p)^(n-r),r,a,b]] i Inntastingsfeltet. Trykk Enter. Da får du dette bildet: I Algebrafeltet står c = Det betyr at P(minst 12 av 20 frø vil spire) = 0,887. For å finne andre kumulative binomiske sannsynligheter kan du nå endre gliderverdiene for n, p, a og b. Aschehoug Side 1 av 1

15 GeoGebra: Binomiske sannsynligheter og kumulative binomiske sannsynligheter i regneark En bestemt type frø spirer med 70 % sannsynlighet. Vi sår 10 frø og ser om de spirer. Binomiske sannsynligheter Vi går ut fra at dette er et binomisk forsøk og bruker formelen n r n r Pr ( frø spirer) p 1 p r Her er n 10 og p 0,70. Vi vil bruke regnearket i GeoGebra til å finne sannsynligheten for at r frø spirer for ulike verdier av r. Klikk på Vis og velg Regneark. Skriv n i rute A1, p i rute B1, r i rute C1, BinomialKoeffisient[n,r] i rute D1 og P(r frø spirer) i rute E1. Skriv 10 i rute A2, 0.70 i rute B2, 0 i rute C2. Skriv C2 +1 i rute C3. Klikk på markøren nederst til høyre i rute C3 og dra nedover til og med rute C12. Da står tallene 0, 1, 2,..., 10 i rutene C2 C12. Skriv BinomialKoeffisient[$A$2,C2] i rute D2. Dra markøren i ruta nedover til og med rute D12. I rutene D2 D12 står verdiene for ,,..., Skriv D2*$B$2^C2*(1-$B$2)^($A$2-C2) i rute E2. (Du kan i stedet for de to gangetegnene * taste mellomrom.) Dra markøren i ruta nedover til og med rute E12. Da får du bildet nedenfor. Du ser for eksempel at P(7 frø spirer) 0,267. Aschehoug Side 1 av 2

16 Kumulative binomiske sannsynligheter Skriv E2 i rute F2. Skriv F2 + E3 i rute F3. Dra markøren i rute F3 nedover til og med rute F12. Da får du dette bildet: For eksempel ser du at det står 0,617 i rute F9. Det betyr at P(høyst 7 frø spirer) = 0,617. Aschehoug Side 2 av 2

17 Rasjonale funksjoner med GeoGebra 3x + 3 Ta for deg funksjonen f( x) = 2x 4. Tegn grafen til f i grafikkfeltet. Tast inn slik i inntastingsfeltet: f(x)=(3x+3)/(2x-4) Trykk Enter og du får bildet nedenfor. Asymptoter GeoGebra finner ikke asymptotene. Hvis vi skal tegne disse, må vi skrive inn asymptoteuttrykkene i Inntastingsfeltet. Vertikal asymptote Skriv inn x=2 og trykk Enter. Horisontal asymptote Skriv inn y=3/2 og trykk Enter. Endre farge på asymptotene Høyreklikk på den ene asymptoten, og velg Egenskaper, farge og klikk på ønsket farge. Trykk Lukk. Etter at du har utført handlingen ovenfor med den ene asymptoten kan du klikke på kopier format eller stil (, knapp nr. 1 fra høyre), og klikke først på asymptoten du har endret farge på og deretter på den andre asymptoten. Aschehoug Side 1 av 2

18 Nullpunkter GeoGebra finner ikke eventuelle nullpunkter ved å skrive Nullpunkt[f] i Inntastingsfeltet og trykke Enter. Du må hjelpe til: Metode 1 Oppgi en x-verdi som ligger i nærheten av nullpunktet, for eksempel x = 2. Skriv Nullpunkt[f,-2] og trykk Enter. Metode 2 Oppgi et intervall som nullpunktet ligger i, for eksempel [ 2, 0]. NB! Intervallet må ikke inneholde bruddverdien x = 2. Skriv Nullpunkt[f,-2,0] og trykk Enter. Skjæringspunktet A mellom grafen til f og x-aksen dukker opp i Grafikkfeltet. Høyreklikk på A, og velg Egenskaper og verdi under Vis Navn. Da får du bildet nedenfor. Førstekoordinaten til skjæringspunktet med x-aksen er 1. (Dette ser du også i Algebrafeltet.) Nullpunktet er derfor 1. Aschehoug Side 2 av 2

19 Den deriverte med GeoGebra Den deriverte funksjonen og derivertverdier 2 Du skal finne den deriverte for funksjonen f( x) = 0,5x 2x+ 3 og den deriverte i punktet (3,5, f (3,5)). Tegn først grafen til f i grafikkfeltet. Skriv f (x) i inntastingsfeltet og trykk Enter. Algebrafeltet viser da uttrykket for den deriverte. f ( x) = x 2 Skriv f (3.5) i Inntastingsfeltet og trykk Enter. I Algebrafeltet dukker a = 1.5 opp. Det vil si at f (3,5) = 1,5. Figuren viser hvordan bildet i GeoGebra nå ser ut. Legg merke til at GeoGebra tegner grafen for den deriverte funksjonen f ( x) når du legger inn f (x) i Inntastingsfeltet. Du kan ta bort denne grafen fra Grafikkfeltet ved å klikke på rundingen foran uttrykket f ( x) = x 2 i Algebrafeltet. Aschehoug Side 1 av 1

20 Tredjegradsfunksjoner med GeoGebra Du skal finne eventuelle nullpunkter, topp- eller bunnpunkter. 3 2 Ta for deg funksjonen f ( x) = x 3x x+ 3. Tegn først grafen til f i grafikkfeltet. 2 Tips! Du kan taste inn x slik: Skriv x og deretter hold Alt-tasten nede og skriv 2. 3 Du kan taste inn x slik: Skriv x og deretter hold Alt-tasten nede og skriv 3. Nullpunkter Skriv Nullpunkt[f] i Inntastingsfeltet og trykk Enter. Skjæringspunktene A, B og C mellom grafen til f og x-aksen dukker opp i Grafikkfeltet. Høyreklikk på A, og velg Egenskaper og verdi under Vis Navn. Gjør det samme med B og C. Tips! Etter at du har utført handlingen ovenfor med punkt A kan du klikke på Kopier format eller stil ( og C., knapp nr. 1 fra høyre), og klikke først på punkt A og deretter på punktene B Da får du bildet nedenfor. Førstekoordinatene til skjæringspunktene med x-aksen er 1, 1 og 3. (Dette ser du også i Algebrafeltet.) Nullpunktene er derfor 1, 1 og 3. Aschehoug Side 1 av 2

21 Bunnpunkt og Toppunkt Skriv Ekstremalpunkt[f] i Inntastingsfeltet og trykk Enter. Toppunktet D og bunnpunktet E dukker opp i Grafikkfeltet. Høyreklikk på D, og velg Egenskaper og verdi under Vis Navn. Gjør det samme med E. Da får du dette bildet: Grafen har toppunktet ( 0,15, 3,08) og bunnpunktet (2,15, 3,08). (Dette ser du også i Algebrafeltet.) Aschehoug Side 2 av 2

22 GeoGebra: Tabell med funksjonsverdier og derivertverdier Tabell med funksjonsverdier 2 Du skal lage en tabell med noen funksjonsverdier for funksjonen f( x) = 0,5x 2x+ 3. Tegn først grafen til f i grafikkfeltet. Velg Vis og klikk på Regneark. Klikk på rute A1 og skriv x. (Hvis du skal skrive tekst i regnearket, må du bruke anførselstegn,.) Klikk på rute B1 og skriv f(x). Klikk på rute A2 og skriv -1. Nedover i kolonne A kan du skrive inn de verdiene du ønsker å finne funksjonsverdier for. Klikk på rute B2, skriv f(-1) og trykk Enter. I rute B3 skriver du f(-0.5) og trykker Enter. Legg inn funksjonsverdiene for de andre x-verdiene du har valgt. Da kan du få bildet nedenfor. Hvis du skal tegne grafen på papir, kan du bruke tabellen til å overføre punkter på grafen. Formelkopiering i regnearket I stedet for å skrive f(-1) i rute B2 kan du skrive f(a2). Trykk Enter. Klikk på rute B2. Da får du dette bildet: Aschehoug Side 1 av 2

23 Klikk på den lille firkanten i nederste høyre hjørne i rute B2 og dra musepekeren nedover til og med rute B8. Da får du dette bildet: Tabell med derivertverdier Klikk på rute C1 og skriv f (x). Klikk på rute C2, skriv f (-1) og trykk Enter. I rute C3 skriver du f (-0.5) og trykker Enter. Legg inn derivertverdiene for de andre x-verdiene du har valgt. Da kan du få bildet nedenfor. Tabellen over derivertverdier kan du for eksempel bruke til å kontrollere fortegnslinja for den deriverte. (Også her kan du bruke metoden med formelkopiering.) Aschehoug Side 2 av 2

24 GeoGebra: Å bruke den deriverte til å finne når et uttrykk er størst mulig a Vi skal finne x når arealet av et rektangel gitt ved 2 f( x) = x + 4x+ 32 er størst mulig. Her er D = [ 0,8] f Vi skriver Funksjon[-x 2 +4x+32,0,8] i Inntastingsfeltet. Deretter skriver vi Funksjon[f (x),0,8]. Grafene til f og f er nå tegnet i Grafikkfeltet. Du ser at f ( x) endrer fortegn fra positiv til negativ for x = 2. f ( x ), og dermed arealet av rektanglet, har altså sin største verdi for x = 2. (Dette stemmer med grafen til f, som har toppunkt for x = 2.) Aschehoug Side 1 av 2

25 b Vi skal finne x når volumet av en eske gitt ved 3 2 f ( x) = x + 4x + 32x er størst mulig. Her er [ 0,8] D =. f Vi skriver Funksjon[-x 3 +4x 2 +32x,0,8] i Inntastingsfeltet. Deretter skriver vi Funksjon[f (x),0,8]. Grafene til f og f er nå tegnet i Grafikkfeltet. Du ser at f ( x) endrer fortegn fra positiv til negativ for x = 4,86. f ( x ), og dermed volumet av esken, har altså sin største verdi for x = 4,86. (Dette stemmer med grafen til f, som har toppunkt for x = 4,86.) Aschehoug Side 2 av 2

26 Å finne vendepunkter med GeoGebra 3 2 Du har gitt funksjonen f ( x) x 3x x 1. Du skal finne eventuelle vendepunkter på grafen til f ved å bruke GeoGebra. Å finne vendepunktet ved å lese av på grafen til f Skriv x 3 +3x 2 -x+1 i Inntastingsfeltet og trykk Enter. Skriv Vendepunkt[f] i Inntastingsfeltet og trykk Enter. Du får vendepunktet A på grafen. Høyreklikk på A og klikk på Egenskaper. Velg Verdi under Vis navn. Klikk på Lukk. Da får du dette bildet: Vendepunktet på grafen til f har koordinatene (1, 2). Å finne vendepunktet ved bruk av den andrederiverte til f Skriv f (x) i Inntastingsfeltet og trykk Enter. Algebrafeltet viser da uttrykket for den andrederiverte, f (x) = 6x + 6. Grafen for den andrederiverte funksjonen f blir automatisk tegnet i Grafikkfeltet. Skriv Nullpunkt[f ] i Inntastingsfeltet. Trykk Enter. Du får nullpunktet B for f. Høyreklikk på B og klikk på Egenskaper. Velg Verdi under Vis navn. Klikk på Lukk. Da får du dette bildet: Av figuren ser du at f ( x) er positiv til venstre for nullpunktet 1 og negativ til høyre. f ( x) skifter altså fortegn for x 1. Da er (1, f(1)) et vendepunkt på grafen til f. Vendepunktet er (1, 2). Aschehoug Side 1 av 1

27 Den naturlige eksponentialfunksjonen med GeoGebra Du har gitt funksjonen f( x) e x. Du skal tegne grafen til f. Å tegne grafen til f Skriv e^(x) i Inntastingsfeltet og trykk Enter. Legg inn 1 som enhet på begge aksene. Da får du dette bildet: Bildet viser grafen til funksjonen f( x) e x. Legg merke til at det i Algebrafeltet står f(x) = 2.72^x er e avrundet til to desimaler. Å finne den deriverte til f Skriv f (x) i Inntastingsfeltet og trykk Enter. Algebrafeltet viser da uttrykket for den deriverte, f (x) = 2.72^xln(2.72). Legg merke til at ln(2.72) er tilnærmet ln e, der e er avrundet til to desimaler. ln(2.72) blir derfor ikke eksakt lik 1. Den deriverte til f( x) e x er f ( x) e x. Grafen for den deriverte funksjonen f blir automatisk tegnet i Grafikkfeltet. Da får du dette bildet: Av figuren ser du at grafen til f faller sammen med grafen til f. Dette er i samsvar med at f ( x) f( x) e x. Aschehoug Side 1 av 1

28 Den naturlige logaritmen med GeoGebra Du har gitt funksjonen f ( x) lnx. Du skal tegne grafen til f. Å tegne grafen til f Skriv ln(x) i Inntastingsfeltet og trykk Enter. Legg inn 1 som enhet på begge aksene. Da får du dette bildet: Bildet viser grafen til funksjonen f ( x) ln x. Å finne den deriverte til f Skriv f (x) i Inntastingsfeltet og trykk Enter. Algebrafeltet viser da uttrykket for den deriverte, f (x) = 1/x. 1 Den deriverte til f ( x) ln x er f ( x). x Grafen for den deriverte funksjonen f blir automatisk tegnet i Grafikkfeltet. Da får du dette bildet: Legg merke til at grafen til f ligger over x-aksen i hele definisjonsområdet for f. Den deriverte er altså positiv for alle verdier av x. Aschehoug Side 1 av 1

29 Parameterframstilling med GeoGebra Tegne grafer gitt med parameterframstilling Du skal tegne grafene til parameterframstillingene a: x 2t y t 1 2 b: x 0,5t t 2 y t 2 Skriv kurve[2t, -t+1, t, -2, 7] i Inntastingsfeltet og trykk Enter. Graf a blir tegnet for t-verdier fra 2 til 7. Skriv kurve[0.5t 2 -t-2, t+2, t, -3, 5] i Inntastingsfeltet og trykk Enter. (t 2 skriver du slik: skriv t, hold Alt inne og skriv 2.) Graf b blir tegnet for t-verdier fra 3 til 5. Skjæringspunkter mellom grafene Skjæringspunktene mellom grafene kan du finne ved å velge Nytt punkt under ikon nr. to fra venstre. Klikk deretter på skjæringspunktene. Hvis du høyreklikker på punktene, velger Egenskaper og Navn og verdi, får du dette bildet. Skjæringspunktene er ( 2, 2) og (2, 0). Aschehoug Side 1 av 1

30 Derivasjon av vektorfunksjoner med GeoGebra Den deriverte av vektorfunksjonen og derivertverdier 2 Du skal finne den deriverte for vektorfunksjonen r = 12 t, 2 + 9t 4,9t og den deriverte i posisjonen gitt ved t = 0. Se eksempel 1 på side 229 i læreboka Matematikk R1. Skriv r = Kurve[12t,2+9t-4.9t 2,t,0,2] i Inntastingsfeltet og trykk Enter. Algebrafeltet viser uttrykket for r. Grafikkfeltet viser kurven fra t = 0 til t = 2. Skriv Derivert[r] i Inntastingsfeltet og trykk Enter. Grafikkfeltet viser kurven for r. Du kan ta bort denne kurven fra Grafikkfeltet ved å klikke på rundingen foran uttrykket r () t i Algebrafeltet. Algebrafeltet viser uttrykket r ( t) = (12,9 9.8 t) for den deriverte. Det betyr at r ( t) = 12, 9 9,8t. [ ] Skriv r (0) i Inntastingsfeltet. Da dukker A = (12, 9) opp i Algebrafeltet. r (0) = 12, 9. Det betyr at [ ] Du kan lage tabell over funksjonsverdier og derivertverdier, se verktøyopplæringen Tabell med funksjonsverdier og derivertverdier. Den andrederiverte av vektorfunksjonen. Skriv Derivert[r,2] i Inntastingsfeltet og trykk Enter. Algebrafeltet viser uttrykket r ( t) = (0, (9.8)) for den andrederiverte. Det betyr at r ( t) = [ 0, 9,8]. For å finne den andrederiverte for bestemte t-verdier går du fram på samme måte som du gjorde ovenfor for den deriverte. Aschehoug Side 1 av 1

31 Periferi- og sentralvinkler med GeoGebra Du skal tegne periferivinkler og de tilsvarende sentralvinklene med GeoGebra. Klikk på ikon nr. 6 fra venstre og klikk på Sirkel definert ved sentrum og periferipunkt. Klikk et sted midt i Grafikkfeltet og beveg musa til du får en passe stor sirkel. Klikk og punktet B dukker opp på sirkelperiferien c. Klikk på ikon nr. 2 fra venstre og klikk på Nytt punkt. Klikk to steder på sirkelperiferien slik at du får punktene C og D. Periferivinkelen Klikk på ikon nr. 3 fra venstre og klikk på Linjestykke mellom to punkter. Klikk på D og B. Deretter klikker du på B og C. Klikk på ikon nr. 4 fra høyre og klikk på Vinkel. Klikk på punktene D, B og C i denne rekkefølgen. Du ser at periferivinkelen DBC blir markert med navnet α og antall grader. Aschehoug Side 1 av 2

32 Sentralvinkelen Klikk på ikon nr. 3 fra venstre og klikk på Linjestykke mellom to punkter. Klikk på D og A. Deretter klikker du på A og C. Klikk på ikon nr. 4 fra høyre og klikk på Vinkel. Klikk på punktene D, A og C i denne rekkefølgen. Du ser at sentralvinkelen DAC blir markert med navnet β og antall grader. Høyreklikk på a i Grafikkfeltet og klikk på Egenskaper. Hold Ctrl på tastaturet nede og klikk på b, d og e under Linjestykke. Klikk i boksen foran Vis navn slik at boksen blir blank. Klikk på Lukk. Da får du denne figuren: Verktøyopplæring Du ser at periferivinkelen DBC er halvparten så stor som sentralvinkelen DAC. Endre størrelsene på periferi- og sentralvinkler Klikk på ikon nr. 1 fra venstre, Flyttpila, eller trykk på Esc på tastaturet. Nå kan du klikke på ett av punktene D, B eller C og dra slik at periferivinkler og sentralvinkler endres. Se om de resultatene du får ser ut til å stemme med periferivinkelsetningen. Aschehoug Side 2 av 2

33 Thales setning med GeoGebra Du skal illustrere Thales setning med GeoGebra. Klikk på ikon nr. 3 fra venstre og klikk på Linjestykke mellom to punkter. Klikk på ikon nr. 2 fra venstre og klikk på Midtpunkt eller sentrum. Klikk på punkt A og deretter på punkt B i Grafikkfeltet. Midtpunktet C på linjestykket AB dukker opp. Klikk på ikon nr. 6 fra venstre og klikk på Sirkel definert ved sentrum og periferipunkt. Klikk på punkt C i Grafikkfeltet og deretter på punkt B. Du har tegnet en sirkel c med diameter AB og sentrum i punkt C. Klikk på ikon nr. 2 fra venstre og klikk på Nytt punkt. Klikk et sted på sirkelbuen c og du får punktet D. Klikk på ikon nr. 3 fra venstre og klikk på Linjestykke mellom to punkter. Klikk på punktene A og D og deretter på punktene D og B. Høyreklikk på a i Grafikkfeltet og Egenskaper. Hold Ctrl på tastaturet nede og klikk på b og d under Linjestykke. Klikk på boksen foran Vis navn slik at denne blir blank. Klikk på Lukk. Klikk på ikon nr. 4 fra høyre og klikk på Vinkel. Klikk på punktene A, D og B i denne rekkefølgen. Nå skal du ha denne figuren: Klikk på ikon nr. 1 fra venstre, Flyttpila, eller trykk på Esc-knappen på tastaturet. Klikk på punktet D og flytt det langs sirkelbuen. Hva ser du? Aschehoug Side 1 av 1

34 Tegne en trekant med GeoGebra Du skal tegne en trekant ABC, der AB = 7, BC = 8 og A = 60. Klikk på ikon nr. 3 fra venstre og klikk på Linjestykke med fast lengde. Klikk et sted i nedre del til venstre i Grafikkfeltet. Skriv 7 i tekstboksen som dukker opp og klikk på OK. Du har tegnet linja AB med lengde 7. Klikk på ikon nr. 4 fra høyre og klikk på Vinkel med fast størrelse. Klikk på punkt B i Grafikkfeltet og deretter på punkt A. Skriv 60 i tekstboksen, velg mot klokka og klikk på OK. Klikk på ikon nr. 3 fra venstre og klikk på Stråle gjennom to punkter. Klikk på punktene A og B. Høyreklikk på siden AB, a, og klikk på Egenskaper. Velg verdi i rullefeltet til høyre for Vis navn. Klikk på Lukk. Nå har du fått figuren nedenfor. Klikk på ikon nr. 6 fra venstre og klikk på Sirkel definert ved sentrum og radius. Klikk på punkt B og skriv 8 i tekstboksen. Klikk på OK. Klikk på ikon nr. 2 fra venstre og klikk på Skjæring mellom to objekter. Klikk på strålen gjennom A og B og deretter på sirkelbuen c. Punktet C i trekanten dukker opp. Aschehoug Side 1 av 2

35 Høyreklikk på strålen gjennom A og B og klikk på Egenskaper. Hold Ctrl på tastaturet nede og klikk på B og c. Klikk så i boksen foran Vis objekt slik at denne blir blank. Da skal du ha denne figuren: Klikk på ikon nr. 3 fra venstre og klikk på Linjestykke mellom to punkter. Klikk på punktene A og C og deretter på punktene B og C. Høyreklikk på side AC, d, og klikk på Vis navn. Høyreklikk på side BC, e, og klikk på Egenskaper. Under Grunninnstillinger velger du Verdi i rullefeltet til høyre for Vis navn. Klikk på Lukk. Høyreklikk på punktet A og klikk på Egenskaper. Klikk på Stil og flytt glideren for Punktstørrelse helt til venstre. Klikk på Lukk. Gjenta dette for punktene B og C. Her kan du også benytte ikon nr. 1 fra høyre og bruke Kopier format eller stil fra punktet A til punktene B og C. Aschehoug Side 2 av 2

36 Regulære mangekanter med GeoGebra Du skal tegne en regulær mangekant. Klikk på Vis og bruk venstretasten til å huke av for Rutenett og Algebrafelt. Fjern ev. avhukningen for Akser, slik at det bare er rutenettet som vises i Grafikkfeltet. Klikk på Mangekant. ( Da får du bildet nedenfor., knapp nr. 5 fra venstre.) Venstreklikk på to steder i algebrafeltet. I feltet nedenfor Punkter står tallet 4. Hvis du klikker på OK, blir en regulær firkant tegnet. Skriv inn tallet 5 i stedet for 4 og klikk OK. I algebrafeltet har GeoGebra regnet ut arealet av femkanten, som i dette tilfellet er 15,48. Aschehoug Side 1 av 3

37 Klikk på Vinkel. (, knapp nr. 4 fra høyre.) Klikk et sted på mangekanten. Høyreklikk på én av vinklene (klikk i det grønne feltet), for eksempel vinkel A. Klikk på Egenskaper og velg Verdi under Vis navn. Klikk på Lukk. Klikk på Kopi format eller stil. (, knapp nr. 1 fra høyre.) Klikk på én av vinklene, for eksempel vinkel A. Klikk deretter på de andre vinklene. (Vi har flyttet på vinkelverdiene i figuren ovenfor.) Aschehoug Side 2 av 3

38 Høyreklikk på punktet A og velg Egenskaper. Metode 1 Klikk på sirklene foran A, B, C, D og E. Klikk deretter i firkanten foran Vis navn. Metode 2 Klikk på Punkt (ovenfor punkt A) og deretter i firkanten foran Vis objekt. Klikk Lukk. Høyreklikk på én av sidene. Klikk på Egenskaper og i firkanten foran Vis navn. Klikk på Lukk. Bruk Kopier format eller stil for å fjerne navnet på de andre sidene. Klikk på Vis og bruk venstretasten til å fjerne avhukningen for Rutenett og for Algebrafelt. Da får du dette bildet: Aschehoug Side 3 av 3

39 Omsenter med GeoGebra Omsenteret Du skal finne omsenteret i en trekant med GeoGebra. NB! Klikk på Innstillinger og på Grafikkfelt. Det må stå x Akse: y Akse = 1 : 1. Klikk på ikon nr. 5 fra venstre og klikk på Mangekant. Tegn en trekant i Grafikkfeltet. Høyreklikk inne i trekanten og klikk på Egenskaper. Hold Ctrl på tastaturet nede og klikk på a, b, c, mangekant 1 og så på boksen foran Vis navn, slik at denne blir blank. Klikk på Lukk. Klikk på ikon nr. 4 fra venstre og klikk på Midtnormal. Klikk på punkt A og deretter på punkt B. Du har tegnet midtnormalen, d, på siden AB. Tegn midtnormalene på sidene BC og CA. Klikk på ikon nr. 2 fra venstre og klikk på Skjæring mellom to objekter. Bruk dette til å finne skjæringspunktet, D, mellom midtnormalene e og f. Finn på tilsvarende måte skjæringspunktet, E, mellom midtnormalene f og d. Hva ser du? Klikk på ikon nr. 1 fra venstre, Flyttpila, og dra i hjørnene A, B og C. Hva ser du? Aschehoug Side 1 av 2

40 Den omskrevne sirkelen Klikk på ikon nr. 6 fra venstre og klikk på Sirkel definert ved sentrum og periferipunkt. Klikk på punkt D/E og på punkt C. Hva ser du? Klikk og dra i hjørnene A, B og C. Hva ser du? Aschehoug Side 2 av 2

41 Innsenter med GeoGebra Innsenteret Du skal finne innsenteret i en trekant med GeoGebra. NB! Klikk på Innstillinger og på Grafikkfelt. Det må stå x Akse: y Akse = 1 : 1. Klikk på ikon nr. 5 fra venstre og klikk på Mangekant. Tegn en trekant i Grafikkfeltet. Høyreklikk inne i trekanten og klikk på Egenskaper. Hold Ctrl på tastaturet nede og klikk på a, b, c, mangekant 1 og så på boksen foran Vis navn, slik at denne blir blank. Klikk på Lukk. Klikk på ikon nr. 4 fra venstre og klikk på Halveringslinje for vinkel. Klikk på punktene B, A og C i denne rekkefølgen. Du har tegnet halveringslinja, d, for vinkel A. Tegn halveringslinjene for vinklene B og C. Klikk på ikon nr. 2 fra venstre og klikk på Skjæring mellom to objekter. Bruk dette til å finne skjæringspunktet, D, mellom halveringslinjene d og e. Finn på tilsvarende måte skjæringspunktet, E, mellom halveringslinjene e og f. Hva ser du? Klikk på ikon nr. 1 fra venstre, Flyttpila, og dra i hjørnene A, B og C. Hva ser du? Aschehoug Side 1 av 2

42 Den innskrevne sirkelen Klikk på ikon nr. 4 fra venstre og Normal. Klikk på punktet D/E og siden BC. Klikk på ikon nr. 2 fra venstre og Skjæring mellom to objekter. Klikk på normalen g og siden BC. Du får fotpunktet F. Klikk på ikon nr. 6 fra venstre og klikk på Sirkel definert ved sentrum og periferipunkt. Klikk på punkt D/E og på punkt F, skjæringspunktet mellom normalen g fra D/E på siden BC. Hva ser du? Klikk og dra i hjørnene A, B og C. Hva ser du? Aschehoug Side 2 av 2

43 Tyngdepunkt med GeoGebra Du skal finne tyngdepunktet, der medianene møtes, i en trekant med GeoGebra. NB! Klikk på Innstillinger og på Grafikkfelt. Det må stå x Akse: y Akse = 1 : 1. Klikk på ikon nr. 5 fra venstre og klikk på Mangekant. Tegn en trekant i Grafikkfeltet. Høyreklikk inne i trekanten og klikk på Egenskaper. Hold Ctrl på tastaturet nede og klikk på a, b, c, mangekant 1 og så på boksen foran Vis navn, slik at denne blir blank. Klikk på Lukk. Klikk på ikon nr. 2 fra venstre og klikk på Midtpunkt eller sentrum. Klikk på punkt A og deretter på punkt B. Midtpunktet D på siden AB dukker opp. Tegn midtpunktene på sidene BC og AC. Klikk på ikon nr. 3 fra venstre og på Linjestykke mellom to punkter. Klikk på punkt A og deretter på punkt E. Du har tegnet medianen, d, fra hjørnet A til siden BC. Tegn de to andre medianene. Klikk på ikon nr. 2 fra venstre og klikk på Skjæring mellom to objekter. Bruk dette til å finne skjæringspunktet, G, mellom medianene d og e. Finn på tilsvarende måte skjæringspunktet, H, mellom medianene e og f. Hva ser du? Klikk på ikon nr. 1 fra venstre, Flyttpila, og dra i hjørnene A, B og C. Hva ser du? Aschehoug Side 1 av 1

44 Ortosenter med GeoGebra Ortosenteret Du skal finne ortosenteret i en trekant med GeoGebra. NB! Klikk på Innstillinger og på Grafikkfelt. Det må stå x Akse: y Akse = 1 : 1. Klikk på ikon nr. 5 fra venstre og klikk på Mangekant. Tegn en trekant i Grafikkfeltet. Høyreklikk inne i trekanten og klikk på Egenskaper. Hold Ctrl på tastaturet nede og klikk på a, b, c, mangekant 1 og så på boksen foran Vis navn, slik at denne blir blank. Klikk på Lukk. Klikk på ikon nr. 4 fra venstre og klikk på Normal. Klikk på punkt A og deretter på siden BC. Du har tegnet normalen fra hjørnet A til siden BC. Denne normalen faller sammen med høyden fra punkt A til siden BC. Tegn normalene fra hjørnene B og C til sidene AC og AB. Disse normalene faller sammen med høydene fra hjørnene B og C til sidene AC og AB. Klikk på ikon nr. 2 fra venstre og klikk på Skjæring mellom to objekter. Bruk dette til å finne skjæringspunktet, D, mellom normalene (faller sammen med høydene) d og e. Finn på tilsvarende måte skjæringspunktet, E, mellom normalene e og f. Hva ser du? På figuren er vinklene ved fotpunktene for høydene tegnet inn. Klikk på ikon nr. 1 fra venstre, Flyttpila, og dra i hjørnene A, B og C. Hva ser du? Aschehoug Side 1 av 1