1 Å konstruere en vinkel på 60º

Transkript

1 1 Å konstruere en vinkel på 60º Vi skal konstruere en 60º vinkel med toppunkt i A. Høyre vinkelbein skal ligge langs linja l. Slå en passende sirkelbue om A. Sirkelbuen skjærer l i et punkt B. Slå en sirkelbue om B med radius lik AB. De to sirkelbuene skjærer hverandre i C. Nå er BAC = 60. Det er ikke nødvendig å tegne mer enn det du ser på figuren.

2 2 Å konstruere en midtnormal Vi skal konstruere midtnormalen på linjestykket AB. Slå en sirkelbue om A med radius større enn halve AB. Slå en sirkelbue om B med samme radius som buen om A. De to sirkelbuene skjærer hverandre i C og D. Linja m gjennom C og D er nå midtnormalen til linjestykket AB.

3 3 Å konstruere en vinkel på 90º Vi skal konstruere en 90º vinkel med toppunkt i A. Høyre vinkelbein skal ligge langs linja l. Bruk passeren til å merke av to punkter B og C på l som ligger like langt fra A. Slå sirkelbuer om B og om C med like store radier. La radiene være større enn halve BC. De to sirkelbuene skjærer hverandre i D. Linja gjennom A og D er en normal til l gjennom A. Derfor er CAD = 90.

4 4 Å halvere en vinkel Vi skal halvere vinkelen v som har toppunkt i A. Slå en passende sirkelbue om A. Sirkelbuen skjærer vinkelbeina i B og C. Slå sirkelbuer om B og om C med like store radier. De to sirkelbuene skjærer hverandre i D. Trekk linja gjennom A og D. 1 Nå er v halvert: BAD = CAD = v 2

5 5 Å konstruere en normal fra et punkt til en linje Vi skal konstruere en normal fra A til l. Slå en sirkelbue om A som skjærer l i B og C. Slå sirkelbuer om B og om C med like store radier. De to sirkelbuene skjærer hverandre i D. Trekk linja n gjennom A og D. n er normalen fra A til l.

6 6 Å kopiere en vinkel Vinkel v er gitt. Vi skal konstruere en vinkel som er like stor som v i punktet A slik at høyre vinkelbein ligger langs linja l. Slå en passende sirkelbue om toppunktet til Sirkelbuen skjærer vinkelbeina i P og Q. v. Slå en sirkelbue om A med like stor radius som den om toppunktet til Sirkelbuen skjærer l i B. Mål lengden fra P til Q med passeråpningen. Slå en sirkelbue om B med radius lik PQ. Vi får punktet C. v. Trekk linja gjennom A og C. Nå er vinkel v kopiert: BAC = v

7 Vi skal konstruere en parallell til linja l. Parallellen skal ligge 3 cm ovenfor l. 7 Å konstruere en parallell Merk av to vilkårlige punkter A og B på l. Konstruer en normal til l i hvert av punktene. Se eventuelt Å konstruere en vinkel på 90. Slå en sirkelbue med radius lik 3 cm om A og om B. De to sirkelbuene skjærer normalene i C og D. Trekk linja p gjennom C og D. Nå er p en parallell til l i avstanden 3 cm: p l

8 8 Å dele et linjestykke i like lange deler Vi skal dele linjestykket AB i tre like lange deler. Tegn en skrålinje l gjennom A. Avsett en passende lengde langs l tre ganger.* Det gir P, Q og R. Trekk linja r gjennom R og B. Konstruer parallellen q til RB gjennom Q. q skjærer AB i Q'. Konstruer også parallellen p til RB gjennom P. p skjærer AB i P'. Nå er linjestykkene AP', P'Q' og Q'B like lange. De utgjør hver sin tredel av linjestykket AB. * Fire ganger hvis du skal firedele, fem ganger hvis du skal femdele, og så videre.

9 9 Spesielle trekanter I trekanten ABC er alle sidene like lange. Derfor er vinklene 60. Vi sier at ABC er likesidet. I trekanten DEF er FD og FE like lange. Derfor er de hosliggende vinklene til DE like store. Vi sier at DEF er likebeint. I trekanten GHI er G = 90. Vi sier at GHI er rettvinklet. Pytagorassetningen gjelder: g = h + i I trekanten JKL er J = 30, L= 60 og K = 90. Hypotenusen er dobbelt så lang som den korteste kateten: JL = 2 KL

10 10 Vinkelsum i trekanter og firkanter Summen av vinklene i en vilkårlig trekant er 180 : α + β + γ = 180 Summen av vinklene i en vilkårlig firkant er 360. α + β + γ + δ = 360 (Tenk deg en diagonal i firkanten og summér vinklene i de to trekantene du da får.)

11 11 Komplementvinkler, supplementvinkler og toppvinkler Vinklene u og v utgjør til sammen en rett vinkel: u+ v= 90 Vi sier at u og v er komplementvinkler. Vinklene x og y utgjør til sammen en rett linje: x+ y = 180 Vi sier at x og y er supplementvinkler. To rette linjer m og n skjærer hverandre. De danner vinklene a, b, c og d. Vi sier at a og c er toppvinkler. Det samme er b og d. Toppvinkler er like store: a og b er supplementvinkler: a+ b= 180 c og b er også supplementvinkler: c+ b= 180 Derfor er a og c like store: a = c= 180 b På samme måte ser vi at b og d like store.

12 Linjene m og n er parallelle: m n En linje skjærer m og n, og danner vinklene a, b, c, d, e, f, g og h. Vinklene er parvis like store: a = e b= f c= g d = h Vi sier de er samsvarende vinkler. 12 Vinkler ved parallelle linjer Vinklene er også parvis toppvinkler. Derfor har vi to sett med fire like vinkler: a = d = e= h og b= c= f = g

13 Vi slår en sirkellinje om et punkt S. Sirkellinja avgrenser et flatestykke som vi omtaler som sirkelen med sentrum i S. Linja s skjærer sirkellinja i A og B. Vi sier at s er en sekant til sirkelen, og at linjestykket AB er en korde. 13 Sirkelbegreper Linja t skjærer sirkellinja bare i C. Vi sier at t er en tangent til sirkelen. En tangent står vinkelrett på radien i sirkelen.

14 14 Å konstruere en parallell til en linje gjennom et gitt punkt Vi skal konstruere en parallell til linja l gjennom punktet P. Velg to vilkårlige punkter A og B på l. Slå en sirkelbue om B med radius lik AP. Slå en sirkelbue om P med radius lik AB. De to sirkelbuene skjærer hverandre i Q. Trekk linja p gjennom P og Q. Nå er p en parallell til l: p l Vi har i prosessen konstruert parallellogrammet ABQP. Alternativ metode: Konstruer normalen fra P til l, og så en normal på denne normalen i P.