MATTE R2. Notater Kapitel 1-8 ANDREAS JENSEN JONASSEN 2EDA

Transkript

1 MATTE R Notater Kapitel 1-8 ANDREAS JENSEN JONASSEN EDA

2 kap. 1 Integralregning... 4 Kap. 1.1 Antiderivert... 4 Kap Ubestemt integral... 5 Kap. 1. Integralet Kap Integrasjon av eksponentielle uttrykk... 8 Kap Bestemt integral som grense for en sum... 9 Kap Bestemt integral og antiderivasjon Kap Integrasjon og areal... 1 Eksempel :... 1 Kap Integral og samlet resultat Kap Integrasjon og volum Kap. Trigonometri Kap..1 Vinkler Kap.. - Trigonometriske definisjoner Kap.. - Trigonometriske likninger... 1 Kap..4 - Eksakte trigonometriske verdier... 4 Kap..5 - Absolutt vinkelmål... 5 Kap..6 - Trigonometriske likninger med radianer... 6 Kap..7 - Eksakte løsninger... 8 Kap..8 Enhetsformelen... 0 Kap. - Trigonometriske funksjoner... Kap..1 Sinusfunksjonen... Kap.. - Amplitude periode og likevektslinje... Kap.. - Trigonometriske modeler... 5 Kap..4 Cosinusfunksjonen... 7 Kap..5 Tangensfunksjonen... 9 Kap..6 - Derivasjon av de trigonometriske funksjonene Kap..7 - Sum og differanse av vinkler... 4 Kap..8 - Funksjonen fx = asin(kx) + b cos(kx) Kap..9 - Likningen a sin(kx) + b cos(kx) = c Kap. 4 Vektorer Kap. 4.1 Romkoordinater Kap Vektorer i rommet Kap. 4. Vektorkoordinater Kap Lengden av en vektor Kap. 4.5 Skalarproduktet Kap Regneregler for skalarproduktet... 5 Kap. 4.7 Determinanter... 5 Kap. 4.8 Vektorproduktet Kap. 4.9 Volum Kap. 5 Romgeometri Kap Likningen for et plan Kap Vinkelen mellom to plan Kap Rette linjer i rommet Kap Parameterfremstilling for et plan... 6 Kap Likningen for ei kule Kap. 6 - Følger og rekker Kap. 6.1 Tallfølger Page of 10

3 Kap Aritmetiske følger Kap Geometriske følger Kap. 6.4 Rekker Kap Aritmetiske rekker Kap Geometriske rekker Kap Uendelige rekker Kap Geometriske rekker med variable kvotienter... 7 Kap. 6.9 Induksjonsbeviset Kap. 7 Integrasjonsmetoder Kap Noen integrasjonsformler Kap Integrasjon ved variabelskifte Kap Delvis integrasjon Kap Bestemte integraler... 8 Kap. 7.5 Delbrøkoppspalting Kap. 7.6 Funksjonsdrøfting Kap. 8 Differensiallikninger Kap. 8.1 Differensiallikninger Kap Praktisk bruk av differensiallikninger Kap Separable differensiallikninger... 9 Kap Logistisk vekst Kap. 8.5 Retningsdiagram Kap Andreordens differensiallikninger Kap Udempet svingning Kap Dempet svingning Page of 10

4 kap. 1 Integralregning Kap. 1.1 Antiderivert Vi bruker logikk til å tenke baklengs. f x = x x + 5 f 7 x = 6x + f x = x x+? Vi kan ikke finne konstanten. Derfor skriver vi +C fordi konstanten forsvinner. f x = x x + C Vi kan finne C i noen tilfeller hvis vi har tilleggsinformasjon. f(0) = 5 f(0) = C = 5 f x = f x = x x + 5 Gitt funksjonen f x = x 5x + a) Finn alle antideriverte til f F x = x = 5 x + x + C b) Finn den antideriverte G som er slik at G(1)=4 G 1 = 1 = C = 4 Page 4 of 10

5 Kap Ubestemt integral f (x) = 6x f x = x x + C Dette er en tung måte å skrive det på. Det finnes en enklere måte å skrive det: 6x dx = x x + C Integral tegnet 6x = Det du skal integrere Integranden Formel Eksempel x P 7 = r x (PQR) 5x S = 0x = (x P 1 ) dx = 1 + r xptr + C (x U ) dx = 1 6 xv + C Finne de ubestemte integralene. a) x dx x dx = xrtr x + C = 1 x x + C = x + C b) 4x x + 8 dx 4x x + 8 dx = 4 1 x= 1 x + 8x + C = 4 x= x + 8x + C Eksempel : a) x =.= + x S.Z dx x =.= + x S.Z dx = 1 4. xs.= xu.z + C = xs.= xu.z + C b) R + = \ ] \^ dx 1 x = + x U dx = xq= + x QU dx = 1 xq xqs + C = 1 xq 4 xqs + C = 1 x 4x S + C c) 5 x + = \ dx 5 x + x dx = 5xR + x QR dx = 5 1 x = + 1 x R + C 1 = 10 x= + 6x R + C = 10 x = + 6 x + C Eksempel : En ball kastes opp i luften. Farten til ballen som funksjon av tiden t kan beskrives som v(t) = 10t + 4 a) Finn farten til ballen i det den slippes. v(0) = = 4 Page 5 of 10

6 b) Finn v t dx 10t + 4 dx = 10 1 t + 4t = 5t + 4t + C c) Finn et utrykk for posisjonen til ballen når vi vet at den ble sluppet i høyden h=1.8m over bakken. s(t) = 5t + 4t + C s(0) = C = 1.8 s(0) = C = 1.8 s(t) = 5t + 4t Page 6 of 10

7 Kap. 1. Integralet R \ ( 1 ln (x), x > 0 ) dx = x, x < 0? Kanskje x < 0 er ln ( x): ln( x) = ln(u), u = x ln x 7 = ln u 7 u 7 = 1 u u7 = 1 x 1 = 1 x Vi ser at det stemmer, dermed får vi: ( 1 ln (x), x > 0 ) dx = x ln ( x), x < 0 Smarte matematikere har funnet: ( 1 x ) dx = ln ( x ), x > 0 ln ( x ), x < 0 Vi ender da opp med formelen: 1 dx = ln x x + C a) x + S \ dx x + 4 x dx = x + 4 ln x + C b) 6 =\ + = \ e dx 6 x + x, dx = 4 ln x xqr + C = 4 ln x x + C Page 7 of 10

8 Kap Integrasjon av eksponentielle uttrykk Derivasjonsregler: (e \ ) = e \ e f\ 7 = k e f\ a \ 7 = a \ ln (a) Integralregler: e \ dx = e \ + C e f\ dx = 1 k ef\ + C a \ dx = 1 ln a a\ + C a) x + e \ dx (x + e \ ) dx = x + e \ + C b) (e \ + 4e =\ ) dx e \ + 4e =\ dx = e \ e=\ + C = e \ + 4 e=\ + C c) (e \ + = ghi) dx e \ + e S\ dx = e\ eqs\ + C = e \ + 8 eqs\ + C = e \ 8 eqs\ + C = e \ + C 8eS\ Eksempel : a) (e j.j=\ 5 \ ) dx (e j.j=\ 5 \ ) dx b) ( \ \ ) dx ( \ \ ) dx = 100 ln (1.0) 1.0\ 1500 ln \ + C c) =k dx =k dx = 400 ln (1.07 = ) 1.07= k + C Page 8 of 10

9 Kap Bestemt integral som grense for en sum q f x dx = lim S p r \ n S s summen av n bokser fra a til b som kan være fra x Gitt funksjonen f x = x a) Tegn funksjonen og skraver flatestykket som er avgrenset av f, x-aksen og linjene x= og x=6 1. Jeg skriver inn f(x) i geogebra graf-felt.. Jeg skriver inn x= og x=6. Bruker kommandoen Integral[<funksjon>, <Startverdi for x>, <sluttverdi for x>] 4. Skriver inn Integral[f,,6] 5. Da får jeg svaret 15.8 b) Finn en tilnærmet verdi for arealet av flatestykket. Vi skal finne tilnærmet verdi, derfor "lager" vi mange rektangler under grafen. I dette eksempelet lager jeg 8 rektangler. 1 (f() + f(.5) + f() + f(.5) + f(4) + f(4.5) + f(5) + f(5.5)) 15. Page 9 of 10

10 Eksempel : a) Tegn funksjonen og skraver flatestykket som er avgrenset av f, x-aksen og linjen x=1 og x=5 1. Jeg skriver inn f(x) i geogebra graf-felt.. Jeg skriver inn x=1 og x=5. Bruker kommandoen Integral[<funksjon>, <Startverdi for x>, <sluttverdi for x>] 4. Skriver inn Integral[f, 1,5] 5. Svaret blir negativt fordi det er på den negative delen av x-aksen, men et areal kan ikke være negativt, så vi må forandre fortegnet til positivt. b) Finn en tilnærmet verdi for arealet av flatestykket. i skal finne tilnærmet verdi, derfor "lager" vi mange rektangler under grafen. I dette eksempelet lager jeg 8 rektangler. 1 (f(1) + f(1.5) + f() + f(.5) + f() + f(.5) + f(4) + f(4.5)) Page 10 of 10

11 Kap Bestemt integral og antiderivasjon f(t) h < A(t + h) A(t) < f(t + h) h A(t + h) A(t) f(t) < < f(t + h) h Hvis vi lar lim gå mot 0 så ser vi at det i midten er den deriverte av f(t). Dermed får vi: A (t) = f(t) A t = f t dt A(t) = F(t) + C A(a) = F(a) + C = 0 C må derfor være F(a) C = F(a) A(b) = F(b) F(a) Regel: r f(x) dx = F b F a q Gitt funksjonen f(x) = R x^ +. Finn den ubestemte integralet. U f(x) dx R U R f(x) dx = F 5 F 1 F x = f x dx = 1 1 x= + x + C = 1 6 x= + x + C F 5 = 1 6 5= C = C F 1 = 1 6 1= C = C U f(x) dx = F 5 F 1 = 185 R 6 + C 1 6 Eksempel : Finn det ubestemte integralet: S S x dx x z 6 = =z = = dx = + C = = 86 R S = x= R x = = 4= 4 R = = = VS = 1 Page 11 of 10

12 Kap Integrasjon og areal Gitt en funksjon f(x). Finn arealet av det flatestykket som er avgrenset av grafen til f, x- aksen og linjene x = a og x = b 1. Finn alle nullpunkter mellom a og b.. Finn alle integraler i intervallene $[a,x_0],[x:0,b].$. Finn absoluttveriden av alle integralene. 4. Summer. Gitt to funksjoner f(x) og g(x). Finn arealet av det flatestykket som er avgrenset av grafene til f, g og linjene x = a og x = b 1. Finn alle skjæringspunktene mellom f og g mellom a og b.. Finn alle integralene på intervallene a, x j, x j, x R, x R, b. Finn absoluttverdien av alle integralene. 4. Summer. Gitt funksjonen f(x) = x^ 15x + 18 Finn arealet av det flatestykket som er avgrenset av grafen til f, x-aksen og linjene x = 1 og x = f(x) = x^ 15x + 18 f(x) = (x^ 5 + 6) f(x) = (x )(x ) Nullpunkter i x= og x=. I tillegg så skjærer linjen x=1 i x=1. R x 15x + 18 dx = 1 x= 15 1 x + 18x = x = 15 x + 18x R = = \ 1 = = 14 = 5 = x 15x + 18 dx = 1 x= 15 1 x + 18x = x = 15 x + 18x = = = = = 7 14 = 1 Arealet er da U + R = Page 1 of 10

13 Eksempel : Gitt funksjonene f(x) = 4x^ 11x + 5 og g(x) = x^ + 7x 7. Finn arealet av det flatestykket som er avgrenset av grafen til f og g. 4x 11x + 5 = x + 7x 7 [x = 1, x = ] g x f x dx R R R ( x + 7x 7 4x 11x + 5 ) 6x + 18x 1 dx = 6 x= + 18 x 1x = ( 1 = ) ( 4) ( 5) = 1 Arealet er da 1. R = x = + 9x 1x R Page 1 of 10

14 Kap Integral og samlet resultat Vi kan bruke integrasjon i emner som f.eks. økonomi. Integrasjon kan ofte være så praktisk at vi bruker det selvom det ikke er helt riktig å bruke det. En eksempel oppgave på hvorfor man kan ha bruk for det innenfor økonomi: Du eier en leilighet til 5000kr per mnd (60000kr per år). Pga. Influasjon inngår du en avtale med eier om at prisen skal økes med.5% hvert år. Hvor mye må du betale samle i løpet av 10år? Det riktige svaret på oppgaven er arealet til de 10 rektanglene, men det tar ofte lang tid å regne ut arealet av et og et rektangel. Selv datamaskiner kan bruke lang tid når det kommer til store og kompliserte grafer. Derfor bruker vi integral regning til å få et tilnærmet likt svar. Det vil ikke bli helt riktig, men vi sparer såpas mye tid at det går greit med den feilmarginen vi får. Som vi kan se på bilde så er arealet i rektanglene det riktige svaret, men den svaret vi velger å finne er arealet under grafen (Det vil si rektanglene og de små trekantene mellom rektanglene og grafen). Du eier en leilighet til 4000kr per mnd. Pga. Inflasjon inngår du en avtale med eier om at prisen skal økes med.5% hvert år. a) Hva betaler du i løpet av ett år? = b) Finn ved regning hva du må betale i løpet av 8 år. u x = \ u 0 + u 1 + u + u + u 4 + u 5 + u 6 + u 7 = 4194 Page 14 of 10

15 Dette er en veldig klønete måte å finne svaret på. Tar lang tid. Integrasjon er raskere og bedre, men da ville vi ikke fått et helt nøyaktiv svar. \\ z j 1.05 \ z 1.05 \ j z j \ R dx = (R.jU) 1.05\ j Szjjj dx = (R.jU) 1.05\ j z dx = Szjjj (R.jU) 1.05z 1.05 j = z Som vi kan see så har vi fått et svar som er ca mer enn det nøyaktige svaret når vi brukte integral regning. Hvis man skal ha et nøyaktivt svar så må man bruke metoden ovenfor, men hvis det går greit med en liten feilmarking og du vil spare mye tid, så er integralregning veien å gå. Eksempel : I et land med 5 millioner innbyggere kaster hver innbygger hvert måned 4kg mat. Mengden øker med 1% hver måned. a) Beregn det totale matavfallet i løpet av år ved å bruke summeformel. A x = \times \ A x = \ Vi skal da finne det totale matavfallet i løpet av år, det er 4måneder. Vi må altså ta A(0),A(1)...A(). Dette tar veldig lang tid ved hånd. Derfor bruker vi geogebra. 1. Vi starter med å skrive inn funksjonen inn i graf-feltet.. Vi skriver SumUnder[A,0,4,4] Geogebra gir oss da svaret 59m kg. b) Beregn den tilsvarende mengden ved hjelp av integrasjon. R S j (R.jR) 1.01\ j \ S = jjjjjjj S dx = \ j dx = (R.jR) 1.01\ j S = jjjjjjj (R.jR) 1.01S 1.01 j z Svaret er altså 541m kg. Page 15 of 10

16 Andreas Jensen Jonassen EDA Matte R Kap Integrasjon og volum Dette gjelder omdreiningslegemer, og vi trenger en funksjon som forteller oss formen på legemet. I legemet så kan vi se at det er en radius som går fra x-aksen(y=0) opp til funksjonen. Det vil si at radiusen er f(x). Det vil si at radiusen til legmet alltid er f(x) uansett hva x er. Da kan vi også finne arealet. Fordi formelen for å finne arealet til en sirkel er 𝜋 𝑟. Det vil si at arealet til sirkelen inne i legemet ved x, er 𝜋 𝑓(𝑥) Volumet til den sylinderen er jo 𝐴𝑅𝐸𝐴𝐿𝐸𝑇 ℎ. Hvis vi ser på det forrige bilde så fant vi at arealet var 𝜋 𝑟. Hvis vi da lar høyden være 𝑑𝑒𝑙𝑡𝑎 𝑥 𝑑𝑥 så er da volumet 𝑉 = 𝜋 𝑟 𝑑𝑥 Page 16 of 10

17 Andreas Jensen Jonassen EDA Matte R Vi kan da som vi så i "1.7 Integrasjon og areal" at vi kan lage mange sylindere inni omdreiningslegemet og finne sånn ca. arealet av hele greie, men hvis vi lar delta x gå mot 0 og lager uendelig mange sylindere inne i omdreiningslegemet fra a til b(definisjonen på integralet). Så vil vi få ett, så og si helt nøyaktig volum. Det vil si at volumet av et hvilket som helst omdreiningslegeme hvis f(x) gir oss funksjonen for kanten til legemet (altså den ytre kanten. Altså formen på legemet). Så vil volumet av omdreiningslegemet være integralet fra starten til slutten (a til b kan vi kalle det) av 𝜋 𝑓 𝑥 r 𝑉 = 𝜋 𝑟 𝑑𝑥 q r 𝑉 = 𝜋 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 q r 𝑉 = 𝜋 𝑓 𝑥 q Page 17 of 10

18 Kap. Trigonometri Kap..1 Vinkler To vinkler u og v er sammenfallende dersom (der n er ett heltall): u = v + n 60 Page 18 of 10

19 Kap.. - Trigonometriske definisjoner sin α = motstående hypotenus cos α = hosliggende hypotenus tan α = motstående hosliggende = motstående hypotenus hosliggende hypotenus = sin α cos α Denne definisjonen fungerer ikke veldig bra når vi får store vinkler, f.eks. 000, 4000, 5000 osv. Derfor skal vi se på en annen definisjon som er mye bedre, enhetssirkelen: La P være et punkt på enhetssirkelen. Vinkelen α er gitt ved at 1.vinkelbein går langs positiv x-akse, og.vinkelbein går fra Origo til P. Da er: sin(α) = y verdien til P cos(α) = x verdien til P x verdien til P tan(α) = y verdien til P sin α = sin α + n 60 cos α = cos α + n 60 tan α = tan α + n 60 Page 19 of 10

20 Finn cos α, sin α, tan α når: α = 60 α = 1 α = 57 1) cos 60 = 0.5, sin 60 = 0.87, tan 60 = 1.7 ) cos 1 = -0.85, sin 1 = -0.5, tan 1 = 0.6 ) cos 57 = -0.85, sin 57 = -0.5, tan 57 = 0.6 Page 0 of 10

21 Kap.. - Trigonometriske likninger sin(α) = 0. Som vi kan se med vår nye definisjon så får vi minst svar. Vi har svaret vårt på høyre side, men vi har også svaret på venstre siden. For å finne svaret så gjøre vi utregningen: sin(α) = (0.) sin QR (sin(α)) = sin QR (0.) α = sin QR (0.) = Som vi kan se så fikk vi bare ett svar. Det vi må gjøre da er å ta "180 svaret vårt". Altså: α = = cos α = 0.4 Her er det også to løsninger, den første kan vi finne med kalkulator. cos α = 0.4 cos QR cos α = cos QR (0.4) α = cos QR (0.) = 66.4 Den andre derimot kan vi finne ved å ta "60 svaret vårt". α = = 9.58 Page 1 of 10

22 Vi kan også finne minst svar til tangens. Vi kan finne det første svaret ved å bruke en kalkulator. tan α = 0.7 tan QR (α) = tan QR (0.7) α = tan QR (0.7) = 5 Vårt neste problem er altså hvordan skal vi finne det andre svaret. Fordi vi kan jo ikke lese ut svaret direkte fra enhetssirkelen. Vi kan tenke oss det speilvendte punktet gjennom origo og over på andre siden. Det punktet vil fordi det er speilvendt, ha samme x- og y-verdi som start punktet. Derfor så vil tanverdien også være det samme. Vi kan dermed finne det andre svaret ved å ta: "180 + svaret vårt". α = = 15 Løs likningen sin v = 0., v [0, 60 > sin QR (sin v) = sin QR ( 0.) v = sin QR ( 0.) = 17 Som vi kan se så er ikke 17 innenfor definisjonesmengden vår. Vi må derfor finne den andre løsningen. Som vi lærte så kan vi finne den andre løsningen ved sinus ved å ta: "180 svaret vårt". Dermed blir det andre svaret vårt: V R = = = 197 men vi er jo også på jakt etter den første vinkelen vår. Den vi får når vi bruker kalkulator til å finne sin QR ( 0.) Men vi må da gå rundt hele sirkelen. Vinkelen blir derfor: V = = = 4 Page of 10

23 Eksempel : Løs likningen cos(v) = 0.4, v [0, 60 > cos QR (cos v) = cos QR ( 0.4) V R = cos QR ( 0.) = Nå må vi finne den andre løsningen (eller kanskje enda flere). Som vi lærte tidligere så kan vi finne den andre løsningen ved å ta "60 svaret vårt". Dermed blir det andre svaret vårt: V = = 46.4 Eksempel : Løs likningentan(v) = 0., v [0, 60 > tan QR (tan v) = tan QR ( 0.) V R = tan QR ( 0.) = 16.7 Får å finne den andre løsningen så må vi gjøre som vi lærte ved å ta "180 + svaret vårt". Dermed blir det andre svaret vårt: V = = Page of 10

24 Kap..4 - Eksakte trigonometriske verdier V 0 0 = π 6 sin v 0 1 cos v 1 tan v 0 Huske regel: V 0 0 = π 6 1 sin v 0 cos v 4 tan v 0 45 = π 4 60 = π 90 = π udefinert 45 = π 4 60 = π 90 = π udefinert Finn de eksakte verdiene til: a) cos(15 ) b) sin(15 ) c) tan(15 ) d) cos(00 ) e) sin(00 ) a) b) c) 1 d) R e) = Page 4 of 10

25 Kap..5 - Absolutt vinkelmål Det absolutte vinkelmål til en vinkel v er gitt ved forholdet mellom buelengden b og radien r v = r Dersom radien er 1, blir v = r = b P R For å regne grader til radianer V = p π Rzj For å regne radianer til grader Rzj V = n Regn om til absolutt vinkelmål a) 0 b) 0 c) 45 d) 60 e) 90 a) V = j Rzj π = 0 b) V = =j Rzj π = V c) V = SU Rzj π = S d) V = Vj Rzj π = = e) V = j Rzj π = Eksempel : Finn gradetallet til: a) = b) 1.7 a) n = = Rzj = = 180 = 70 b) n = 1.7 Rzj = 99.1 Page 5 of 10

26 Kap..6 - Trigonometriske likninger med radianer Løs likningen cos x + 5 = 6, x [0,π > cos x + 5 = 6 cos x = 1 cos x = 1 cos QR (cos(x)) = cos QR 1 x R = 1. Som vi har lært så kan de være to løsninger mellom 0 og π. Dette er cosinus, og som vi lærte tidligere så kan vi finne det andre svaret ved å ta 60 svart vårt, men nå skal vi finne svaret i radianer, og 60 er det samme som 6.8 dermed kan vi finne det andre svaret ved å ta 6.8 svaret vårt. x = = 5.05 Eksempel : Løs likningen 5 tan x = 7, x [0,π > 5 tan x = 7 5 tan x = 10 tan x = 10 5 = tan QR ( tan(x)) = tan QR x R = 1.1 Som vi har lært så kan de være to løsninger mellom 0 og π. Dette er Tan, og som vi lærte tidligere så kan vi finne det andre svaret ved å ta svart vårt, men nå skal vi finne svaret i radianer, og 180 er det samme som.14 dermed kan vi finne det andre svaret ved å ta.14 + svaret vårt. x = = 4.4 Eksempel : Løs likningen sin x = cos x, x [0,π > sin(x) cos(x) = tan x = tan QR tan x = tan QR x R = som vi vet fra forrige oppgave så er det to svar, og vi kan finne det andre ved å ta.14 + svaret vårt. x = =.78 Page 6 of 10

27 Eksempel 4: Løs likningen 0 sin x 19 sin x + = 0, x [0,π > Vi setter sin x = u 0u 19u + = 0 u = 1 5 u = 4 sin(x) = 1 5 sin x = 4 sin QR sin x = sin QR 1 5 sinqr sin x = sin QR 4 x RQR = 0. x RQ = Som vi har lært så kan de være to løsninger mellom 0 og π. Dette er cosinus, og som vi lærte tidligere så kan vi finne det andre svaret ved å ta 180 svart vårt, men nå skal vi finne svaret i radianer, og 180 er det samme som.14 dermed kan vi finne det andre svaret ved å ta.14 svaret vårt. x QR = =.94 x Q = =.9 Page 7 of 10

28 Kap..7 - Eksakte løsninger V Radianer 0 π π π π 6 4 Finn de eksakte verdiene til: a) sin = S b) cos = S c) tan = S Som vi kan se så er = = 15, og vi vet hvordan enhetssirkelen fungerer. Vi vet at y-verdien S til 15 er det samme som 45, men vi må huske at x-verdien også er den samme bare negativ. a) b) c) -1 Eksempel : Løs likningen sin x + 4 = 5 sin x + 4 = 5 sin x = 1 sin x = 1 Vi vet at y-verdien skal være -0.5 og vi vet at vinkel mellom hosliggende katet og hypotenus er 0 = R vi vet dermed at vinkelen mellom x-aksen og V hypotenusen også er 0 = R V Dermed bli svarene: x R = = π 1 + π 6 = 7π 6 x = 60 0 = π 1 π 6 = 11π 6 Page 8 of 10

29 Eksempel : 4 cos π x 5 =, x [0,6] 4 cos π x = + 5 = + 5 = cos π x = 4 = u = cos QR, u = [0,π] u R = 0 = π 6 u = 60 0 = 0 = π 1 π 6 = 11π 6 u = = = 90 = π 1 + π 6 = 1π 6 svar R : π x = π 6 svar R : x = 1 svar : π 11π x = 6 svar : x = 11 svar = : π 1π x = 6 svar = : x = 1 Page 9 of 10

30 Kap..8 Enhetsformelen cos x + sin x = 1 Hvis cos v = R, og v [90, 180 >, hva er da sin v og tan v? S Vi vet at vinkelen enten er i. Kvadrant eller. Kvadrant fordi cos=xverdien er -0.4, men vi kan se på definisjonsmengden vår at den må være i. Kvadrant. cos x + sin x = sin v = 1 4 sin v = = sin(v) = ± = ± 15 4 Vi vet pga. Def.mengden at vi skal ha en positiv verdi. sin(v) = 15 4 tan v = sin(v) cos v 15 tan v = 4 1 = 15 4 Eksempel : Hvis tan v = R, og v [180, 60 >, hva er da cos v og sin v? cos v + sin v = 1 sin(v) cos(v) = 1 sin(v) = cos(v) sin(v) + sin v = 1 4 sin (v) + sin v = 1 sin (v) = 1 5 sin(v) = ± sin(v) = cos(v) cos(v) = 1 5 = 5 R U Vi vet at vi skal være i. Kvadrant, dermed er sin(v) = R U Page 0 of 10

31 Eksempel : Løs likningen 4 sin x sin(x) cos x + 5 cos x =, x [0,π > 4 sin x sin(x) cos x + 5 cos x = 4 sin x sin(x) cos x + 5 cos x = 1 4 sin x sin(x) cos x + 5 cos x = (sin (x) + cos (x)) 4 sin x sin(x) cos x + 5 cos x = sin (x) + cos (x) sin x sin(x) cos x + cos x = 0 sin x sin(x) cos(x) cos x cos x cos x + cos x = 0 tan x tan x + = 0 tan x = u u u + = 0 u 1 u = 0 u R = 1 u = tan x = 1 tan x = tan QR (tan(x)) = tan QR 1 tan QR tan x = tan QR () x R = tan QR 1 x = tan QR vi må huske at vi vil få svar når vi regner ut tangens, og at vi kan finne det ved svar x R = π 4, x = 5π 4, x = = 1.1, x S = 4.4 Page 1 of 10

32 Kap. - Trigonometriske funksjoner Kap..1 Sinusfunksjonen Gitt funksjonen f x = sin x, x [0,π] Da har f(x): - Nullpunkt for x = 0, x = π, x = π - Toppunkt i, 1 - Bunnpunkt i =, 1 - Sinus starter i (0,0) Grafen er periodisk, med det så mener vi at den gjentar seg selv. Det går en periode, så begynner den på nytt igjen med akkurat det samme. Hver bølge er en periode. Perioden er π lang. Gitt funksjonen f x = 5 sin x +, x [0,π > a) Finn toppunktet til funksjonen b) Finn bunnpunktet til funksjonen c) Finn nullpunktet til funksjonen d) Tegn grafen a), f = =, 8 (y-verdien til sinus er den største verdien vi kan få ut, som er 1) b), f = = ( =, ) (y-verdien til s. er den minste verdien vi kan få ut, som er -1) c) 5 sin x + = 0 sin x = 5 x = sin QR ( = ) = Ligger ikke i vår def. mengde U Vi kan da plusse på π som er det neste nullpunktet vårt x R = = x = π = =.785 Page of 10

33 Kap.. - Amplitude periode og likevektslinje f x = a sin(k x c + d) a: a forteller oss hvor store utslag vi har. Det kaller vi amplitude. Det er altså i forhold til likevekts linjen. Hvis a = 1.5 så vil den gå 1.5 opp fra likevekts linjen. Amplituden er alltid absoluttverdien til tallet a. k: k styrer perioden (eller bølgelengden). Du kan finne lengden av perioden ved å ta: π k, her var k = så: π = π, perioden er altså π lang c: c forskyver grafen. C forteller hvor vi finner det første stedet funksjonen skjærer likevekts linjen. F.eks. hvor det første nullpunktet er c, hvis d=0. c forteller oss enkelt og greit hvordan grafen skal bevege seg vannrett langs likevekts linjen. Page of 10

34 d: Det viser hvor grafen svinger rundt. Vi kaller den likevekts linjen, den linjen forteller oss hele tiden hvor grafen svinger rundt. Den skyver grafen opp og ned. Finn funksjonsutrykket til denne funksjonen f x = sin π x 1 + 1, k = π p = π 4 = π Eksempel : Gitt funksjonen f x = sin 4π x π + 1, x [0,] a) Finn amplituden, Perioden og likevekts linjen. b) Finn topp- og bunnpunktet f x = sin 4π x π + 1 = sin 4π x a) Amplituden:, Perioden: S = R og likevektslinjen: 1 b) Toppunkt: sin 4π x R = 1, 4π x R = = + π n x = n bunnpunkt: sin 4π x R x = U z + R n = 1, 4π x R = + π n Page 4 of 10

35 Andreas Jensen Jonassen EDA Matte R Kap.. - Trigonometriske modeler Finn sinusutrykket som passer best til målingene i tabellen x y Gå inn i Geogebra.. Velg, vis regneark.. Skriv inn verdiene. 4. Marker verdiene, høyre klikk og velg lag liste med punkt Skriv RegSin[liste1] Page 5 of 10

36 Daglengden i Moss, regnet fra soloppgangen til solnedgang er målt 6 ganger i løpet av året. Vi lar det være daglengden målt i timer og t antall dager etter 1. desember. d t a) Bruk tabellen til å finne en funksjon passer med målingene. b) Hvor lenge varer den lengste dagen? c) Hvor mange dager ut i året finner vi den lengste dagen? d) Hvor lenge varer den korteste dagen? a) 1. Vi starter med å skrive inn verdiene i regnearket og lager en liste.. Vi skriver RegSin[liste1] som gir oss f x = 6.6 sin 0.0x b) Vet vet at grafen har toppunkt når sin() = 1. Det betyr at den lengste dagen er = lang. c) 0.0x 1. = 0.0x 1. = 1.57 x = x = d) Vet vet at grafen har bunnpunkt når sin() = -1. Det betyr at den lengste dagen er = 5.4 lang Page 6 of 10

37 Kap..4 Cosinusfunksjonen f x = cos x, x [0,π] Da har f(x): - Nullpunkt for x =, x = = - Toppunkt i 0,1 - Bunnpunkt i π, 1 - Cosinus starter i (0,1) Grafen er periodisk, med det så mener vi at den gjentar seg selv. Det går en periode, så begynner den på nytt igjen med akkurat det samme. Hver bølge er en periode. Perioden er π lang. f x = a cos k x c + d a, k, c og d gjør akkurat det samme i Cosinus funksjonen som i sinus funksjonen. Forskjellen er at i Sinus funksjonen så finner vi den første skjæringen med likevektslinjen når c = 0.8, men i Cosinus funksjonen så finner vi det første toppunktet eller bunnpunktet. Gitt funksjonen f x = cos πx a) Finn amplituden til f. b) Finn perioden til f. c) Finn likevektslinjen til f. d) Finn ekstremalpunktene til f. a) b) p = = = f c) - d) Toppunkt: πx π = 0, x [0, > x 1 = 0 x = 1 (Vi vet at cos () er så høyt som mulig i toppunktet, altså 1. Dermed blir det 1 = 1 koordinater: 1, 1 Bunnpunkt: Vi vet at perioden er. Dermed vet vi at det kommer en ny topp ved R +. Vi vet at bunnpunktet ligger mellom det de to toppene. Dermed finner vi bunnpunktet i x = = (Vi vet at cos () er så lavt som mulig i bunnunktet, altså 1. Dermed blir det 1 = 1 koordinater:, 5 Page 7 of 10

38 Eksempel : En dag var vannstanden i Andenes gitt ved funksjonen f x = 7.8 cos(0.51x 4.65) , x [0,4 >, der funksjonsverdien er vannstanden målt i, og x er antall timer siden midnatt. a) Når på døgnet var vannstanden høyest? b) Når på døgnet var vannstanden 160cm? a) x = p + S.VU = 1.n j.ur j.ur x R = = 9.1 x = = 1.44 b) 7.8 cos 0.51x 4.65 = cos 0.51x 4.65 = 0.51 cos QR cos 0.51x 4.65 = cos QR x 4.65 = π n 0.51x 4.65 = π π n 0.51x = π n 0.51x = π π n x = 5.69 π n + x = 9.89 π n x = n x = n x R = = 11.14, x = =.45 x = = = 19.41, x S = = 7.1 Page 8 of 10

39 Kap..5 Tangensfunksjonen f x = tan x, x [0,π] Da har f(x): - Nullpunkt for hver π: π, π - Bruddpunkt for hver halve π:, = - Tangens starter i (0,0) Grafen er periodisk, med det så mener vi at den gjentar seg selv. Det går en periode, så begynner den på nytt igjen med akkurat det samme. Hver bølge er en periode. Perioden er π lang. Funksjonen f er gitt ved f x = tan πx, x [0, > a) Finn nullpunktene til f b) Finn asymptotene til f c) Tegn grafen til f a) tan(πx) = 0 tan(πx) = 0 πx = nπ x = n x R = 0, x = 1, x = = b) πx = + nπ x = 1 + n x! = 1, x =, x = = 5 Page 9 of 10

40 Kap..6 - Derivasjon av de trigonometriske funksjonene sin x 7 = cos(x) cos x 7 = sin(x) tan x 7 1 = = 1 + tan x cos x tan x 7 = sin x cos x = 7 = sin x 7 cos x sin x cos x cos x cos x cos x sin x sin x cos x = cos x sin x cos x = cos x + sin x cos x Deriver funksjonene når vinkelen er målt i radianer a) f x = sin x cos(x) b) f x = 4 sin(8x + ) c) f x = tan(x 1) a) f x = sin x cos x = cos x + sin(x) b) f x = 4 sin(8x + ) = 4 cos 8x + 8 = cos 8x + c) f 7 x = tan x 1 = 1 + tan x 1 = tan x 1 Eksempel : Gitt funksjonen f x = 0 + 5x 0 cos πx, x [0,1] a) Finn f(1) b) Finn toppunktet til f c) Teng grafen til f d) For hvilke verdi av x er grafen brattest? a) f 1 = cos π = 5 b) f x = 0 + 5x 0 cos πx f 7 x = π sin πx πx = sin QR 5 40π = 0. πx = 0. + π n πx = π π n x = 0. π + n 1π x = π + 0. π + n x = n x = n x R = = 0.968, x = = 0.5 Vi kan bruke null testen til å vite at f(0)=5 dermed så vet vi at det er et toppunkt ved x=0.5. Page 40 of 10

41 c) d) Det vi egentlig skal gjøre er å finne ut når den dobbel deriverte er lik 0, men det er også når den deriverte skal ha sin mest positive verdi. f 7 x = π sin πx Som vi kan se her så er den mest positive når sin πx = 1, sinus er lik 1 når πx = x = R S Page 41 of 10

42 Kap..7 - Sum og differanse av vinkler cos x = sin 90 x sin x = cos 90 x sin x = sin x cos x = cos x cos u + v = cos u cos v sin u sin v cos u v = cos u cos v + sin u sin v sin u + v = sin u cos v + cos u sin v sin u v = sin u cos v cos u sin v Finn eksakte verdier for cos 75, sin 75 og tan 75. cos 75 = cos = cos 0 cos 45 sin 0 sin 45 = 1 = = 6 4 sin 75 = sin = sin 0 cos 45 + cos 0 sin 45 = 1 + = = tan 75 = sin 75 cos 75 = = = = = = = = = = + Eksempel : Skriv cos x S ved hjelp av cos (x) og sin x cos x 45 = cos x cos 45 + sin x sin 45 = cos x = cos x + sin x + sin x Page 4 of 10

43 Eksempel : Skriv 4 sin(x + ) ved hjelp av cos (x) og sin x = 4 sin x + = = 4 sin x cos = + cos x sin = = = sin x + cos x = 4 sin x R + cos x Page 4 of 10

44 Kap..8 - Funksjonen f x = a sin(kx) + b cos(kx) 1) Regn ut A = a + b ) Hvis a > 0, set A utenfor en parentes. Ellers A ) Finn φ = cos QR (c) der c er tallet som står foran sin(kx) 4) Bruk formelen for summen av to vinkler til å komme i mål. sin x + cos x A = + ( ) = = = 4 4( = sin x + cos x ) = 4 R S S φ = cos QR 1 = π = sin x + cos x 4 cos π sin x + sin π cos x 4 sin x + π = 4 cos π sin x + sin π cos x Skriv f x = sin x cos (x) om et sinus utrykk. A = + = = 6 = 6 6 sin x 1 cos x φ = cos QR = π 6 6 cos π 6 sin x sin π 6 cos x 6 sin x π 6 = 6 cos π 6 sin x sin π 6 cos x Eksempel : Skriv f x = R sin x = cos x som et sinus uttrykk. A = 1 + = 1 + = 1 sin x + cos x = cos π sin x + sin π sin x + π = cos π sin x + sin π cos x cos x Page 44 of 10

45 Kap..9 - Likningen a sin(kx) + b cos(kx) = c a sin(kx) + b cos(kx) = c A(sin(k x + α)) = c sin x cos x = 0, x [0, π > sin x cos(x) cos x cos(x) = 0 sin x cos(x) 1 = 0 tan QR (tan(x)) = tan QR 1 x = π π n + 1 x R = π 1 + π 0 = π 1, x = π 1 + π 1 = π 1 + 6π 1 = 7π 1 Eksempel : Løs likningen sin x cos x = V, x [0, π > A = + = = 6 6( sin x 1 cos x ) φ = cos QR = π 6 6(cos π 6 sin x sin π 6 cos x ) 6 sin x π 6 = 6(cos π 6 sin x sin π 6 cos x ) 6 sin x π 6 = 6 sin x π 6 = 1 sin QR sin x π 6 = sin QR 1 x π 6 = π 4 + πn x π 6 = π π 4 + πn x = 5π 11π + πn x = πn x R = 5π 5π π 0 = 4 4, x = 11π 4 π 0 = 11π 4 Page 45 of 10

46 Kap. 4 Vektorer Kap. 4.1 Romkoordinater Vi har nå dimensjoner, xyz. Når vi skal skrive inn et punkt så skriver vi da (x,y,z) Punktene A 1, 1,0, B 4,0,0, C,,0 og D(0,,0) danner hjørnene i grunnflaten til en pyramide med toppunkt T(,1,) a) Tegn pyramiden i et koordinatsystem b) Finn høyden h i pyramiden c) Vis at grunnflaten i pyramiden er et Kvadrat d) Funn volumet av pyramiden a) 1. Jeg definerer punktene.. Jeg brukte kommandoen Pyramide[<punkt>,<punkt>,<punkt>,...] for å lage pyramiden P. b) Vi vet at grunnflaten ligger i z=0, dermed er høyden z verdien til T c) Vi lager vektorene: AB =,1,0, DC =,1,0, DA = 1,,0, CB = 1,,0 Vi vet at grunnflaten er et kvadrat hvis alle sidene er like lange og at DA AB = 0, AB CB = 0, CB DC = 0, DC DA = 0 AB = + 1 = 10, DC = + 1 = 10, DA = 1 + = 10, CB = 1 + = 10 Alle sidene er altså like lange, nå må vi bare se om de står vinkelrett på hverandre. Page 46 of 10

47 1,,0,1,0 = 0,,1,0 1,,0 = 0, 1,,0,1,0 = 0,,1,0 1,,0 = 0 (1 ) + ( 1) = 0 0 = 0 ( 1) + (1 ) = 0 0 = 0 (1 ) + ( 1) = 0 0 = 0 ( 1) + (1 ) = 0 0 = 0 De står også vinkelrette på hverandre, det vil si at det er et kvadrat. d) Volumet til en trekant er gitt ved G h R = = B L h R = Bredden og lengden er f.eks. AB og BC = 10 Page 47 of 10

48 Kap Vektorer i rommet u + v = v + u u + v + w = u(v + w) t u + v = t u + t v s u + t u = (s + t) u s t u = (s t) u La a, b og c være lineært uavhengige. For enhver vektor v i rommet finnes det da e entydige tall x, y og z slik at: v = x a + y b + z c Trekk samen: 4 5 u v + 1 v 1 u 8 5 u 1 5 v + v 1 6 u u 0 15 v 6 10 u v v 5 0 u Eksempel : Avgjør om vektorene u R v og u R v er parallelle. = t u R = t v = u R v Da må: t = 1 t = 1 t = t = t-verdiene er like, de er altså parallelle. Page 48 of 10

49 Kap. 4. Vektorkoordinater x R, y R, z R = x, y, z x R = x y R = y z R = z x R, y R, z R + x, y, z = x R + x, y R + y, z R + z x R, y R, z R x, y, z = x R x, y R y, z R z t x, y, z = tx, ty, tz P x, y, z, OP = x, y, z A x R, y R, z R, B(x, y, z ) AB = [x x R, y y R, z z R ] Gitt u = [1,,] og v = [,4, 1] a) Regn ut u + v b) Regn ut u v c) Avgjør om u v a) 1,, +,4, 1 = 1 +, + 4, 1 = [,6,] b) 1,,,4, 1 =,6,9 4,8, = 4,6 8,9 + = [ 1,,11] c) t 1,, =,4, 1 t, t, t =,4, 1 t =, t = 4, t = 1 t =, t = 4 =, t = 1 De er ikke parallelle. Eksempel : Gitt punktene A(,1,1) og B(4,,) Finn koordinatene til midtpunktet på AB. AB = [,1,] AM = 1 AB = 1,1, = [1, 1, 1] OM = OA + AM =,1,1 + 1, 1, 1 = [,, ] M(,, ) Page 49 of 10

50 Kap Lengden av en vektor u = [x, y, z] Vi kan tenke oss at vi tar lengden av vektoren u R som er vektoren i xy-planet([x,y,0]) og lengden av u som er vektoren i z-planet ([0,0,z]) og bruker det i pytagoras til å finne u. u = x + y + z Finn lengden av vektoren v = [,, 1] v = = = 9 = Eksempel : Finn avstanden mellom punktene A(,4,1) og B(,, ) AB =, 4, 1 = [1, 6, ] AB = = = 46 Page 50 of 10

51 Kap. 4.5 Skalarproduktet u v = u u cos α u v u v = 0 x R, y R, z R x, y, z = x R x + y R y + z R z Gitt to vektorer u = [,, 1] og v = [,, 4] a) Finn u v b) Avgjør om vektorene står vinkelrett på hverandre a),, 1,, 4 = = = 4 b) Vi regnet ut u v og fikk svaret 4. De er står altså ikke vinkelrett på hverandre, fordi de ville ha blitt 0 hvis de var. Eksempel : Gitt to vektorer a = [,,4] og b = [,1, t] Bestem t slik at a b,,4,1, t = t = t = 0 4 = 4t t = 1 Eksempel : Finn vinkelen mellom vektorene u = [,, 1] og v = [,, 4] u = = = 14 v = + ( ) + 4 = = 9,, 1,, 4 = 14 9 cos α + ( ) + ( 1) ( 4) = 14 9 cos α = 14 9 cos α S cos QR = cos QR (cos(α)) RS α = cos QR α = 1.7 = Page 51 of 10

52 Kap Regneregler for skalarproduktet a b = b a a b + c = a b + a c x a y b = (x y) (a b) a = a Gitt tre vektorer a, b og c der a = 4, b = og c = 5. Videre er a, b = 0, b, c = 45, a, c = 60. Vektorene u og v er gitt ved u = a + b og v = c b a) Finn u v b) Finn u c) Finn v d) Finn u, v a) a + b c b = ac ab + 6bc 4b 4 5 cos QR 60 4 cos cos b) u = u = a + b = a + 4ab + 4b = cos u = = = c) v = v = c b = 9c 1bc + 4b = cos = = = v = d) cos QR µ µ = cos QR SU QR =QV UTS = VRQ j = 1.4 = Page 5 of 10

53 Kap. 4.7 Determinanter x R y R x y = x R y x y R vi kan bruke en * determinant til f.eks. å finne arealet til ett parallellogram. AB vektoren vår er: [5-1,-1]=[4,1] AC vektoren vår er: [-1,-1]=[1,] = = 8 1 = 7 x R y R z R x y z = x R x = y = z = y z y = z = y R x z x = z = + z R x y x = y = x R y R z R x y z = x R y z = y = z y R x z = x = z + z R x y = x = y x = x R y = y R z = z R x y z = x R y z = x R y = z y R x z = + y R x = z + z R x y = x = y = z = z R x = y To vektorer er gitt ved a = [5,1] og b = [,] a) Finn arealet av parallellogrammet de utspenner b) Finn arealet av trekanten de utspenner 5 1 a) = 5 1 = 15 = 1 b) Trekanten er jo halvparten av arealet til parallellogrammet. Altså R=. Eksempel : Regn ut determinanten: = = = Page 5 of 10

54 Kap. 4.8 Vektorproduktet a b = a b = a b = a b = e R e e = x R y R z R = e R x y z e R e e = x R y R z R y R = 1,0,0 e R x R e y R e = z R = y R z R x y z z R y z e y R z R x R z R x z + e = y z 0,1,0 y z, 0,0 0, e R e e = x R y R z R = y R z R y z, x R z R x z, x y z x R z R x R z R x R y R x y x z + [0,0,1] x z, 0 + [0,0, x R y R x y x R y R x R x y ] y R x y a b = y R z R y z, x R z R x z, x R y R x y Gitt to vektorer a = [1,,1] og b = [,,1] a) Finn a b b) Vis at a b står vinkelrett på både a og b a) a b = e R e e = = 1 1, 1 1 1, 1 a b = 1 ( 1, (1 1 1),1 ] = [6,1, 9] b) 1,,1 6,1, 9 = 0,,1 6,1, 9 = = = 0 0 = 0 0 = 0 Eksempel : En trekant i rommet er gitt ved punktene A(1,,1), B(4,1,1), C(,,) a) Finn arealet av trekanten AB =,,0 AC = 1,0, AB AC = e R e e = = 0 0, 0 1, 1 0 AB AC = 0 0, 1 0, 0 1 = [ 4, 6,] AB AC = = 56 lengden til AB AC er arealet til parallellogrammet mellom de to vektorene. Arealet til trekanten inne i parallellogrammet blir da halvparten av arealet til parallellogrammet. Areal = UV Page 54 of 10

55 Kap. 4.9 Volum Hva er volumet til et parallellepiped gitt ved vektorene a = x R, y R, z R, b = x, y, z R, c = [x =, y =, z = ] V = G h = a b c cos α = a b c x = y = z = y a b c = D = x R y R z R z R R = x = y x y z z y = En parallellepiped har: V = D En pyramide har: V = 1 D En tetraeder har: V = 1 6 D x R z R x z + z = x R y R x y Et parallellepiped er gitt ved punktene A(,,1), B(,1,), C(,1,1), E(,1,) a) Finn volumet av parallellepipedet b) Finn høyden i parallellepipedet a) AB = 1, 1,1 AC = 0, 1,0 AE = 0, 1,1 V = D = = = 1 = 1 Page 55 of 10

56 b) AB AC = 1,0, 1 AB AC = 1 R = V = G h h = V G = V AB AC = 1 Eksempel : Et tetraeder har grunnflate gitt ved punktene A,,1, B,1,, C(1,1,) og toppunktet i T(,1,) a) Finn volumet av tetraederet b) Finn avstanden fra T til grunnflaten x = y = z = y a) a b c = D = x R y R z R z R x R z R x R y R R = x = y x y z z y = x z + z = x y V = 1 6 D AB = 1,,1, AC = 1,,1, AT = 0,, 0 1 D = 1 1 = = = 4 D = 4 V = = 4 6 = b) AB AC = 0,, 4 AB AC = + 4 = 0 G = 1 0 = 5 V = 1 6 G h 6V = G h h = 6V G h = 6 5 = 4 5 Page 56 of 10

57 Kap. 5 Romgeometri Kap Likningen for et plan n P j P = 0 a, b, c x x j, y y j, z z» = 0 a x x» + b y y j + c z z j = 0 Et plan som går gjennom punktet P j x j, y j, z j og har normalvektoren n = a, b, c, har likningen a x x» + b y y j + c z z j = 0 ax ax» + by by j + cz cz j = 0 ax + by + cz ax» by j cz j = 0 ax» by j cz j Her har vi ledd som har en konstant ganget med en annen konstant, dermed blir det konstanter summert sammen, altså en konstant. ax + by + cz + d = 0 Hvis minst ett av tallene a,b og c ikke er null, er ax + by + cz + d = 0 likningen for et plan med en normalvektor n = [a, b, c] Et plan er gitt ved likningen x 6y + z = 0 a) Finn en normalvektor til planet. b) Undersøk om punktet (1,,1) ligger I planet. a) n = [, 6,] b) x 6y + z = = Punktet ligger ikke på planet. Page 57 of 10

58 Eksempel : Finn likningen for planet som går gjennom punktet P j (1,,) og som har normalvektoren n = [,1,1] ax + by + cz ax» by j cz j = 0 x + 1y + 1z = 0 x + 1y + 1z = 0 x + y + z 8 = 0 Eksempel : Finn likningen for planet som går gjennom punktene A 1,,, B,1,, C(,1,1) AB = 1, 1,1 AC = [, 1, 1] AB AC = y R z R y z, x R z R x R y R x z, x y = , 1 1 1, AB AC = , (1 1 1),1 1 1 = [,,1] x y + z x» y j z j = 0 x y + z 6 = 0 x y + z 10 = 0 Page 58 of 10

59 Kap Vinkelen mellom to plan Trikset er å se på de to planene som to rette linjer. Vi har da to vinkler. En vinkel x og en annen vinkel y = 180 x. Vi definerer vinkel mellom to plan som den minste av de to vinklene. For å finne vinkelen så kan vi se på normalvektorene til de to planene. Vinkelen mellom de to vektorene er enten den lille vinkelen som er mellom 0 90, som er svaret vi leter etter. Eller den store vinkelen som er mellom Når vi skal finne vinkelen v mellom to plan, finner vi først vinkelen u mellom normalvektorene. Hvis u 90, er v = u. Hvis u > 90, er v = 180 u Finn vinkelen mellom planene α og β når α: x y z + 1 = 0 β: x + y z = 0 n = 1,, 1, n À = [,1, 1] n = = 6, n À = = 6 u = cos QR ( n n À n n À ) = 1,, 1,1, 1 cosqr QR = cos = cos QR = π = 10 v = 180 u = = 60 Page 59 of 10

60 Kap Rette linjer i rommet P j P = t r x x j, y y», z z» = t a, b, c x x j, y y», z z» = [ta, tb, tc] x x j = ta y y» = tb z z» = tc x = ta + x j y = tb + y j z = tc + z j En linje l i rommet som går gjennom punktet P j (x j, y j, z j ) og har retningsvektor r = [a, b, c], har parameterfremstillingen: x = x j + at l: y = y j + bt z = z j + ct Når vi skal finne vinkelen v mellom to linjer, finner vi først vinkelen u mellom rettningsvektorene for linjene. Hvis u 90, er v = u. Hvis u > 90, er v = 180 u Når vi skal finne vinkelen v mellom en linje og et plan, finner vi først vinkelen u mellom en retningsvektor for linjen og normalvektor for planet. Hvis u 90, er v = 90 u. Hvis u > 90, er v = u 90 En linje l går gjennom punktet P(,1,1), og har retningsvektor r = [,1,] a) Finn parameterfremstilling for linjen. b) Avgjør om punktet B( 1,0, 1) ligger på linjen. c) Finn skjæringspunktet mellom linjen og planet med likningen x + y z + 1 = 0 a) l: x = + t y = 1 + t z = 1 + t b) x = + t = 1 y = 1 + t = 0 z = 1 + t = 1 t = 1 t = 1 t = 1 Ja B ligger på linjen. c) + t t 1 + t + 1 = 0 + t t 4t + 1 = 0 = 0 Vi får ingen t, og vi får =0. Det vil si at de aldri skjærer hverandre. Page 60 of 10

61 Eksempel : Finn vinkelen mellom linjene gitt ved l: x = + t y = t z = 4 1t, m: x = 1t y = 1 + 1t z = + t r Á =,, 1, r  = [ 1,1,] r Á = = 14, r  = = 6 u = cos QR r Á r  r Á r  u = cos QR = 19.8 v = = 40. Eksempel : Finn vinkelen mellom linjen l gitt ved x = + t l: y = t z = 4 1t og planet gitt ved likningen x y + 4z + = 0 r Á =,, 1, r à = [,,4] r Á = + ( ) + ( 1) = 14, r à = = 9 u = cos QR r Á r  r Á r  u = cos QR = v = 90 u = =.9 Page 61 of 10

62 Kap Parameterfremstilling for et plan OP = OP j + sa + tb x, y, z = x j, y j, z j + s a R, a, a = + t b R, b, b = x, y, z = x j + sa R + tb R, y j + sa + tb, z j + sa = + tb = Et plan α gjennom (x j, y j, z j ) som er parallell med de to ikkeparallelle vektorene a = [a R, a, a = ] og b = [b R, b, b = ], har parameterfremstillingen: α: x = x j + sa R + tb R y = y j + sa + tb z = z j + sa = + tb = Et plan går gjennom punktene A 1,1,, B 4,0,, C(,,1). a) Finn en parameterfremstilling for planet b) Undersøk om (,,) ligger i planet c) Finn likningen for planet AB =, 1,0 AC = [,, 1] x = 1 + s + t a) α: y = 1 s t b) z = t = 1 + s + t = 1 s t = t = s + t 1 = s t 1 = t S 4 = s = s = s = s = 1 = t 1 = t punktet ligger ikke i planet. 1, 0 c) AB AC = 1 0 = s + t 1 = s t 1 = t 1, 1 1 0, 1 = [1,, 7] 1x + y 7z = 0 x + y 7z + 10 = 0 Page 6 of 10 = s 1 = s + 1 = t = 1 1 0, Eksempel : Vi har gitt punktet A(,,) og linja x = + t l: y = 1 t z = + t Finn en paramaterfremstilling for det planet α som inneholder både punktet A og linja l. Lager punktet B med t=0 B(,1,) Lager punktet C med t=1 C,0,5

63 AB = 1, 1,1 AC = [0,,] α: x = s y = s t z = + s + t Eksempel : Finn en parameterfremstilling for planet med likningen α: x + 5y z + 4 = 0 x + 5y z + 4 = 0 x + 5y + 4 = z x + 5y + 4 = z α: x = s y = t z = x + 5y + 4 α: x = u y = v z = u + 5v + 4 Page 6 of 10

64 Kap Likningen for ei kule S x j, y j, z j, P x, y, z, r SP = x x j, y y j, z z j SP = r x x j + y y j + z z j = r x x j + y y j + z z j = r En kule med radius r og sentrum i S(x j, y j, z j ) har likningen x x j + y y j + z z j = r a) Finn likningen for en kule med radius r = og sentrum i S(,1 ) b) Finn sentrum og radius i en kule med likningen x + y + z + 6x y + 4z = a) x + y 1 + z + = 9 b) x + 6x y y z + 4z + 4 = x + + y 1 + z + = 17 radius = 17 Sentrum = (,1, ) Eksempel : En kule K er gitt ved likningen x + 6x + y + z y + 4z =. En linje l er gitt ved parameterfremstillingen l: x = + t y = 1 t z = + t a) Finn skjæringspunktene mellom linjen og kula. ( + t) + 6( + t) + 1 t + + t (1 t) + 4( + t) = 4 + 4t + t t + 1 t + t t + t + t t = t + 0t + 6 = t = 11, t = Skjæringspunktene: RR, 1 + RR, RR = = = = U =, RS =, = Page 64 of 10,,1 +, = ( 1,4,0)

65 Kap. 6 - Følger og rekker Kap. 6.1 Tallfølger Endelig tallfølge: Rekkfølgen har noe og si. Den første verdien forteller oss at det var den første verdien, den andre verdien forteller oss at det er den andre verdien osv. Uendelig tallfølge: (partallen) Uendelig tallfølge (partall) formel: a p = n vi kan ofte lage formler for en følge, men ikke alltid. I en tallfølge er ledd n gitt ved formelen a p = n. Finn de fem første leddene i rekken. a R = 1 = 1 a = = 10 a = = = 5 a S = 4 = 46 a U = 5 = 7 Eksempel : I en tallfølge er det første leddet a R = 5. for alle naturlige tall i > 1 er a Ä = a ÄQR a) Finn de fem første leddene. b) Finn en formel for a p. c) Finn ledd nr. 4. a) a R = 5 a = a QR = a R = 10 a = = a =QR = a = 0 a S = a SQR = a = = 40 a U = a UQR = a S = 80 b) a p = 5 pqr c) a S= = 5 S=QR = 5 S Page 65 of 10

66 Kap Aritmetiske følger , a R = 15, d = , a R =, d = Aritmetiske følger øker med et bestemt tall. Det tallet kaller vi for d. Rekursiv formel: a Ä = a ÄQR + d Ikke rekursiv formel: a p = a R + n 1 d I en aritmetisk følge er det første leddet a R = 7 og differansen d = a) Finn en formel for ledd nr. n b) Finn ledd nr. 44 a) a p = 7 + n 1 = 7 + n = 4 + n b) a SS = = 16 Page 66 of 10

67 Kap Geometriske følger , a R = k = , a R = k = I geometriske følger har vi et tall som vi skal gange med. Rekursiv formel: a Ä = a ÄQR k Ikke rekursiv formel: a p = a R k pqr I en geometrisk følge er a R = 16 og k = R. Finn de fem første leddene. = a R = 16 a = 16 1 = 54 a = = 54 1 = 18 a S = 18 1 = 6 a U = 6 1 = Eksempel : Avgjør om følgen er geometrisk k = a Ä k = a ÄQR = Sjekker om det er en geometrisk følge: S = = Det er en geometrisk følge fram til 4. Q Å ] QV = = Det er en geometrisk følge fram til 6. S = = Det er en geometrisk følge fram til 9. QV Q eæ e = Den slutter med å være en geometrisk følge når vi kommer til. Rz Den er altså ikke en geometrisk følge. Page 67 of 10

68 Kap. 6.4 Rekker Her er en følge: a p = n Den går i det uendelige, men vi kan summere en del av følgen. Da blir det en rekke. S = = = 1 S U = = 5 Det blir altså en rekke hvis du putter et pluss tegn mellom hvert tall i følgen, altså summerer leddene fra følgen sammen til ett tall. Vi kan ha uendelige rekker, og endelige rekker. Akkurat som i følger. Leddene i en rekke er gitt ved a p = 4n a) Skriv rekken med de fem første leddene b) Regn ut s = s U og s zz a) b) s = = = 15 s U = = 45 s zz = Page 68 of 10

69 Kap Aritmetiske rekker Vi har lært hva rekker er, og hva aritmetiske følger er. Dermed blir det bare å sette et pluss tegn mellom hvert ledd i den aritmetiske følgen S p = n(a R + a p ) Regn ut summen av ( ) S = = = 5050 Eksempel : I en aritmetisk rekke er a R = 7 og d = 5 a) Finn ledd nr. i rekken b) Finn et utrykk for ledd nr. n c) Finn summen av de 5 første leddene d) Hvor mange ledd består rekken av dersom summen er 6540 a) a R = 7, a = 1, a = = 17 b) a p = n 1 = + 5n c) a U= = = 67 5(7 + 67) S U= = = 761 d) S p = p ZTq Ç = 6540 n 7 + a p = n + n a p = n + n + 5n = n + n + 5n = n + 5n = n + 5n 7080 = 0 n = 10 Page 69 of 10

70 Kap Geometriske rekker S p = a R + ka R + k a R + + k pqr a R ks p = ka R + k a R + + k pqr a R + k p a R ks p S p = ka R + k a R + + k pqr a R + k p a R a R + ka R + k a R + + k pqr a R ks p S p = k p a R a R ks p S p = a R k p 1 S p k 1 = a R k p 1 S p = a R k p 1 k 1 Finn summen av de 0 første leddene i den geometriske rekken der a R = Og k = S j = j 1 1 = = Eksempel : Foreldrene dine setter inn 1000kr pr måned fra du ble født til du ble 18 år på en konto med 0.4% rente per måned. Hvor mye penger får du utbetalt når du fyller 18. a R = 1000 k = n = 1 18 = 16 S RV = RV = = = 416.7kr Page 70 of 10

71 Kap Uendelige rekker Et typisk eksempel på uendelige rekker er summen av alle partall Tilsvarende kan vi se på alle primtall Vi kan ta et enkelt eksempel: Det blir fortsatt uendelig. Kan vi få noe annet enn uendelig? La oss prøve med: = + 1 S Det er altså en geometrisk rekke der, a = R og k = R Vi kan bruke formelen vi fant tidligere til å regne ut summen: p S p = Når R er opphøyd i uendelig så blir tallet så lite at vi kan si det er lik null. Dermed blir: S p = = 1 1 = Rekker som dette her: Vil alltid divergere. Det vil si at de blir uendelig. Vi sier at de konvergerer hvis de blir til ett tall. S p = a R k p 1 k 1 Geometriske rekker konvergerer hvis k < 1,1 > Finn summen av de geometriske rekkene dersom de konvergerer: a) b) a) Denne divergerer fordi den blir større og større og fortsetter i det uendelige. b) Denne konvergerer fordi k=0.99 derfor blir det siste leddet til slutt 0 og vi får en endelig verdi til slutt. 1 S p = = Page 71 of 10