2P kapittel 2 Modellering Løsninger til innlæringsoppgavene

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "2P kapittel 2 Modellering Løsninger til innlæringsoppgavene"

Transkript

1 P kapittel Modellering Løsninger til innlæringsoppgavene.1 a c d e y = 4x+ 1 Stigningstallet er 4. Konstantleddet er 1. Linja skjærer altså y-aksen i punktet (0,1). y = 3x 4 Stigningstallet er 3. Konstantleddet er 4. Linja skjærer altså y-aksen i punktet (0, 4). y = 5= 0x+ 5 Stigningstallet er 0. Konstantleddet er 5. Linja skjærer altså y-aksen i punktet (0, 5). y = 3+ x= 1x+3 Stigningstallet er 1. Konstantleddet er 3. Linja skjærer altså y-aksen i punktet (0, 3). y = 0,17x+,8 Stigningstallet er 0,17. Konstantleddet er,8. Linja skjærer altså y-aksen i punktet (0,,8).. a Når x øker med 1, øker y med. økning i y Stigningstallet = a = = = økning i x 1 Linja skjærer y-aksen i (0,1). Altså er konstantleddet = 1. Funksjonsuttrykket for grafen er y = ax + = x + 1. Når x øker med 1, øker y med 1. økning i y 1 Stigningstallet = a = = = 1 økning i x 1 Linja skjærer y-aksen i (0, 1). Altså er konstantleddet = 1. Funksjonsuttrykket for grafen er y = ax + = x 1. Aschehoug Side 1 av 5

2 c Når x øker med 4, øker y med 1. økning i y 1 Stigningstallet = a = = = 0,5 økning i x 4 Linja skjærer y-aksen i (0,1). Altså er konstantleddet = 1. Funksjonsuttrykket for grafen er y = ax+ = 0, 5x a Når x øker med, minker y med 1. Altså er økningen i y lik 1. økning i y 1 a = = = 0,5 økning i x Linja skjærer y-aksen i (0, ). Da er =. Funksjonsuttrykket for grafen er y = 0,5x+. Når x øker med, minker y med. Altså er økningen i y lik. økning i y a = = = 1 økning i x Linja skjærer y-aksen i (0, 6). Da er = 6. Funksjonsuttrykket for grafen er y = x+ 6. Aschehoug Side av 5

3 c Når x øker med 4, minker y med 1. Altså er økningen i y lik 1. økning i y 1 a = = = 0, 5 økning i x 4 Linja skjærer y-aksen i (0,1,5). Da er = 1, 5. Funksjonsuttrykket for grafen er y = 0, 5x+ 1,5. d Når x øker med, minker y med 1. Altså er økningen i y lik 1. økning i y 1 a = = = 0,5 økning i x Linja skjærer y-aksen i (0, 1,5). Da er = 1, 5. Funksjonsuttrykket for grafen er y = 0,5x 1,5..4 a y = x+ 3 Konstantleddet er = 3, og linja skjærer derfor y-aksen i ( 0, 3). Stigningstallet er a =1, som etyr at y øker med 1 hver gang x øker med 1. Aschehoug Side 3 av 5

4 y = x 4 Konstantleddet er = 4, og linja skjærer derfor y-aksen i (0, 4). Stigningstallet er a =, som etyr at y øker med hver gang x øker med 1. c y = x Konstantleddet er = 0, og linja skjærer derfor y-aksen i (0, 0). Stigningstallet er a = 1, som etyr at y minker med 1 hver gang x øker med 1. Aschehoug Side 4 av 5

5 d y = 3x+ 6 Konstantleddet er = 6, og linja skjærer derfor y-aksen i ( 0, 6). Stigningstallet er a = 3, som etyr at y minker med 3 hver gang x øker med 1..5 a Kl. 0 svarer til x =. Når x =, er y = 35. Snødyden var altså 35 cm kl. 0. Snødyden 60 cm svarer til y = 60. Der y-koordinaten på linja er 60, er x-koordinaten 1. Snødyden var altså 60 cm kl. 1. c Når x øker med 4, øker y med 10. økning i y 10 a = = =,5 økning i x 4 Grafen skjærer y-aksen i ( 0, 30). Det etyr at = 30. Grafen har funksjonsuttrykket f( x) =,5x+ 30. d Hvis vi kaller høyden h og tiden t, lir funksjonsuttrykket ht () =,5t+ 30. e Stigningstallet viser hvor raskt snødyden endrer seg, altså hvor raskt det snør. Snødyden øker med,5 cm per time. Aschehoug Side 5 av 5

6 .6 a Ved fjorden er x = 0. f (0) = 0, = 10 Temperaturen ved fjorden er 10 C. Høyden 600 m over havet svarer til x = 6. f (6) = 0, = 6,4 Temperaturen på Preikestolen er 6,4 C. c Temperaturen 4 C svarer til y = 4. Vi løser likningen f( x ) = 4. 0,6x + 10 =4 0,6x = 6 6 x = = 10 0,6 x = 10 svarer til 1000 m over havet. Kjeragsolten ligger 1000 m over havet. d Stigningstallet viser hvor raskt temperaturen synker når høyden over havet øker. Temperaturen synker med 0,6 C for hver 100 m vi eveger oss oppover..7 a Når Pelle starter turen, har han padlet 0 km. Grafen skjærer y-aksen i (0, 0). Etter 0,5 timer har han padlet,0 km. Altså øker y med hver gang x øker med 0,5. 1 time og 3 kvarter er det samme som 1,75 timer. Av figuren ser vi at f( x ) = 7,0 når x =1, 75. Etter 1 time og 3 kvarter har Pelle padlet 7,0 km. Aschehoug Side 6 av 5

7 .8 Kyllingen veier 50 gram når den lir født. Konstantleddet er derfor = 50. Vekten øker fra 50 gram til 1,8 kg = 1800 gram på 9 dager. Stigningstallet er derfor økning i y a = = =60,3 økning i x 9 En lineær funksjon for vekten til kyllingen er mt ( ) = 60,3t a Vi plotter punktene (5,10) og ( 15, 6) i et koordinatsystem, og trekker en rett linje gjennom punktene. Når x øker med 5, minker y med. økning i y a = = = 0, 4 økning i x 5 Grafen skjærer y-aksen i ( 0,1). Det etyr at = 1. Grafen har funksjonsuttrykket f( x) = 0,4x+ 1. Når Lovise starter sykkelturen, har kun 1 km igjen. Turen er altså 1 km lang. Når x = 30, er y = 0, som etyr at Lovise er framme. Hun ruker altså 30 minutter på turen..10 a For f ligger de fleste punktene nedenfor linja, og for h ligger de fleste punktene ovenfor linja. For g ligger omtrent like mange punkter ovenfor og nedenfor linja. Altså passer linja g est til punktene. For f og h er det stor avstand mellom linja og flere av punktene. For g er avstanden mellom punktene og linja stort sett mye mindre. Altså passer linja g est til punktene. Aschehoug Side 7 av 5

8 .11 a Linja går gjennom punktene ( 0, 74) og (5,141). Stigningstallet er dermed økning i y a = = = = 13, 4 økning i x Stigningstallet forteller oss at antall MMS-er øker med ca. 13,4 millioner per år. c Linja skjærer y-aksen i (0, 74). Det etyr at = 74. Linja har funksjonsuttrykket f( x) = 13,4x+ 74. d År 015 svarer til x = 11. f (11) = 13, = 1, 4 1 Ifølge modellen vil antall sendte MMS-er i 015 være ca. 1 millioner..1 Vi legger punktene inn i en taell i regnearket i GeoGera, lager en liste med punktene, og eregner regresjonslinja med kommandoen RegLin. Regresjonslinja har funksjonsuttrykket f( x) = 1,5 x 0,5. Aschehoug Side 8 av 5

9 .13 Vi legger punktene inn i en taell i regnearket i GeoGera, lager en liste med punktene, og eregner regresjonslinja med kommandoen RegLin. Regresjonslinja har funksjonsuttrykket f( x) =,1x+ 0,..14 Vi legger strømmen og spenningen inn i en taell i regnearket i GeoGera, lager en liste med punktene, og eregner regresjonslinja med kommandoen RegLin. Regresjonslinja har funksjonsuttrykket f( x) = 7,33x+ 0,1..15 Modellen for høyden er gitt ved f( x) = 5,54x+ 76,6. f (0) = 5, , 6 = 76,6 f (0) = 5, , 6 = 187, 4 Ifølge modellen er Sunnivas høyde ved fødselen 76,6 cm, og høyden på 0-årsdagen er 187,4 cm. Dette er urealistisk. Sunniva har nok ikke vokst jevnt helt fra fødselen og fram til 0-årsdagen. Hun vokste trolig raskest det første året. Utover i tenårene har veksten gått langsommere og etter hvert stoppet opp. Altså var hun sannsynligvis kortere enn 76,6 cm ved fødselen, og kortere enn 187,4 cm på 0-årsdagen. Aschehoug Side 9 av 5

10 .16 I en prognose eregner vi hva som kan komme til å skje i framtiden. Dette ligger utenfor intervallet vi har data for. Altså ekstrapolerer vi når vi lager prognoser. Prognosene kan derfor avvike en god del fra virkeligheten..17 a Vi ruker regresjon til å finne den lineære funksjonen som passer est til punktene. Det gir f( x) = 0,077x+, a 1980 svarer til x = 0. f (0) = 0, ,98 = 4,5 Folketallet i 1980 var ca. 4,5 milliarder. Året 1980 ligger innenfor dataenes yttergrenser. Vi har derfor interpolert. c 050 svarer til x = 90. f (90) = 0, ,98 = 9,91 Ifølge modellen vil folketallet i 050 være ca. 9,9 milliarder. d I oppgave har vi interpolert, mens vi i oppgave c har ekstrapolert. Derfor stemmer sannsynligvis svaret i oppgave est med virkeligheten. Regresjonslinja er f( x) = 0,0047x+ 1,5. Dataene viser at mer gjødsling gir større avling. f (0) = 0, ,5 = 1,5 Uten gjødsling lir avlingen ca. 1,5 tonn. c Vi vil finne ut hvor mye gjødsel som skal til for at avlingen lir,5 tonn. f( x ) =,5 0,0047x + 1,5 =,5 0,0047x = 1,5 1, 5 x = = 506 0,0047 Det trengs ca. 500 kg gjødsel for å dole avlingen. Da har vi ekstrapolert langt utenfor intervallet vi har data for. Det er derfor knyttet stor usikkerhet til resultatet. Aschehoug Side 10 av 5

11 .19 a Vi ruker regresjon til å finne den lineære funksjonen som passer est til punktene. Det gir f( x) = 0,167x+ 8,48. f ( 0) = 0, ,48= 8,48 8,5 Mønsterdyden for nye dekk er ca. 8,5 mm. c Vi løser likningen f( x ) = 1,6. 0,167x + 8, 48 =1,6 0,167x = 6, 88 6,88 x = = 41, 0,167 Man kan kjøre lovlig ca km på sommerdekkene. d Vi løser likningen f( x ) = 3. 0,167x + 8, 48 =3 0,167x = 5, 48 5, 48 x = = 3,8 0,167 Man kan kjøre ca km før dekkene ør skiftes..0 a f ( x) = 0,5x x+ 1 Her er a = 0,5. Fordi a er positiv, har grafen et unnpunkt. Bunnpunktet har koordinatene (1, 0,5). f ( x) = 4x x+ 5 Her er a = 4. Fordi a er negativ, har grafen et toppunkt. Toppunktet har koordinatene ( 0,5, 5,5). Aschehoug Side 11 av 5

12 c f ( x) = x 4x Her er a =1. Fordi a er positiv, har grafen et unnpunkt. Bunnpunktet har koordinatene (, 4). d f( x) = x + 5 Her er a = 1. Fordi a er negativ, har grafen et toppunkt. Toppunktet har koordinatene (0, 5)..1 a c d f( x) = x + 3 Konstantleddet 3 i funksjonsuttrykket viser at grafen til f skjærer y-aksen i (0, 3). gx ( ) = x 5x 6 Konstantleddet 6 i funksjonsuttrykket viser at grafen til g skjærer y-aksen i (0, 6). hx ( ) = 3,1x x+,7 Konstantleddet,7 i funksjonsuttrykket viser at grafen til h skjærer y-aksen i ( 0,,7). ix ( ) = 0,17x + 31x Konstantleddet er her lik 0, og viser at grafen til i skjærer y-aksen i (0, 0).. a Grafen har et unnpunkt, og skjærer y-aksen i (0, 3). Altså er a positiv, og konstantleddet er 3. Dette stemmer med f ( x ). Grafen har et unnpunkt, og skjærer y-aksen i (0, ). Altså er a positiv, og konstantleddet er. Dette stemmer med hx ( ). c Grafen har et toppunkt, og skjærer y-aksen i ( 0, ). Altså er a negativ, og konstantleddet er. Dette stemmer med ix ( ). d Grafen har et toppunkt, og skjærer y-aksen i (0, 0). Altså er a negativ, og konstantleddet er 0. Dette stemmer med gx ( ). Aschehoug Side 1 av 5

13 .3 a Toppunktet har koordinatene ( 100, 960). Bedriften må produsere 100 enheter per uke for at overskuddet skal li størst mulig. Overskuddet er da kr. c På grafen er Ox ( ) = 600 for x = 40 og for x = 160. For x-verdier mellom 40 og 160 er y-verdien større enn 600. Overskuddet er minst kr hvis edriften produserer mellom 40 og 160 enheter per uke..4 a V( x) = 0,080x + 0,x+ 0 Konstantleddet i funksjonsuttrykket er 0, som etyr at V (0) = 0. Det var 0 liter vann i tanken da vi åpnet krana. Aschehoug Side 13 av 5

14 c På grafen er V( x ) = 5 for x = 6,75. Det er 5 liter vann i tanken etter 6,75 minutter. d På grafen er V( x ) = 30 for x = 10. Krana er åpen i 10 minutter..5 Grafen har et toppunkt for x 0. Deretter synker grafen. Dette stemmer dårlig med utviklingen av den gjennomsnittlige vekten til ayer..6 a Vi ruker regresjon til å finne den andregradsfunksjonen som passer est til punktene. Det gir K( x) =,351x 88, 49x K (80) =, , = K (00) =, , = Kostnadene er ca kr når det produseres 80 enheter. Kostnadene er ca kr når det produseres 00 enheter. c Vi interpolerer når vi regner ut K(80), mens vi ekstrapolerer når vi regner ut K(00). Derfor ør vi ha størst tillit til K(80). Aschehoug Side 14 av 5

15 .7 a Regresjon med andregradsfunksjon gir Ox ( ) = 0, 00 07x + 54,83x Toppunktet har koordinatene ( 131,164 59). Bedriften ør produsere ca enheter for at overskuddet skal li størst mulig. Overskuddet er da ca kr..8 a Regresjon med tredjegradsfunksjon gir 3 f( x) = 0, x 0, 0010x + 0, 039x+ 3,58 Av grafen ser vi at f( x ) = 5 når x = 53,3 53. Dette svarer til år 013. Folketallet passerer 5 millioner i 013. Aschehoug Side 15 av 5

16 .9 a Regresjon med tredjegradsfunksjon gir 3 f( x) = 4, 68x + 63, 4x 3,3x+ 9,1 der x er antall år etter 000. Ifølge modellen vil antall redåndsaonnementer avta etter 009, noe som er urealistisk..30 Vi lar x være antall år etter Regresjon med hhv. førstegradsfunksjon, andregradsfunksjon, tredjegradsfunksjon og fjerdegradsfunksjon gir f( x) = 17,57x gx ( ) = 0, 945x 8, 743x hx ( ) = 0, x + 0, 017 0x 1, 07x ix ( ) = 0, x + 0, 381x 7, 003x + 6,98x Fjerdegradsfunksjonen gir est interpolasjon, mens førstegradsfunksjonen trolig gir de tryggeste prognosene. Aschehoug Side 16 av 5

17 .31 a 0 N (0) = ,40 = = N (1) = ,40 = N () = ,40 = Vekstfaktoren er 1,40. p 1+ = 1, p = 0, p = 100 0,40 = 40 Antall akterier øker med 40 % hver time..3 a 0 V (0) = ,80 = V () = ,80 = Verdien av ilen da den var ny, er kr. Verdien av ilen etter to år er kr. Vekstfaktoren er 0,80. p 1 = 0, p = 1 0,80 = 0,0 100 p = 100 0,0 = 0 Det årlige verditapet er på 0 %..33 a Alle grafene går gjennom punktet (0,1). x Funksjonen y = vokser for > 1 og minker for 0< < 1. Aschehoug Side 17 av 5

18 .34 a f( x ) = 00 1,05 x gx= ( ) 500 0,7 x Grafen til f skjærer y-aksen i (0, 00). Grafen til g skjærer y-aksen i (0, 500). c Av grafen ser vi at f( x ) = 300 når x = 8,3. Vi ser at gx= ( ) 50 når x =, 1. d Vekstfaktoren i funksjonsuttrykket for f ( x ) er 1,05. p 1+ = 1, p = 100 0,05 = 5 Funksjonsverdien f ( x ) øker med 5 % når x øker med 1. Vekstfaktoren i funksjonsuttrykket for gx ( ) er 0,7. p 1 = 0,7 100 p = 1 0,7 = 0,8 100 p = 100 0,8 = 8 Funksjonsverdien gx ( ) minker med 8 % når x øker med a 6 % produksjonsøkning per år gir vekstfaktoren 1+ = 1, Etter tre år vil produksjonen være på , 06 = 958 maskindeler. x Vi setter Ax ( ) = a. Siden dagens produksjon er 8000 maskindeler per år, får vi a = Vekstfaktoren er 1,06, som etyr at = 1, 06. Altså er Ax ( ) = ,06 x Aschehoug Side 18 av 5

19 t.36 a Vi setter Vt ( ) = a, der t er ilens alder i antall år. Verdien av ilen er kr når den er ny. Det etyr at a = Siden verdien synker med 18 % per år, er vekstfaktoren = 1 = 0,8. Altså er 100 Vt ( ) = , 8 t 1 c d 3 V () = ,8 = Verdien av ilen etter to år er kr. 3 V (3) = ,8 = Verdien av ilen etter tre år er kr. 4 V (4) = ,8 = Verdien av ilen etter fire år er kr. V() V(3) = = Verditapet det tredje året er kr. V(3) V(4) = = Verditapet det fjerde året er kr. e Hvert år er verditapet 18 % av ilens verdi ved egynnelsen av året. Siden ilens verdi lir mindre for hvert år, lir også verditapet i kroner mindre for hvert år..37 a I den største kommunen er folketallet til å egynne med En reduksjon i folketallet på 4 % per år gir vekstfaktoren 1 = 0, Etter t år er folketallet i kommunen f( t ) = ,96 t. I den minste kommunen er folketallet til å egynne med En økning i folketallet på 6 % per år gir vekstfaktoren 1+ = 1, Etter t år er folketallet i kommunen gt ( ) = ,06 t. c Grafene skjærer hverandre i punktet (3,64,10 388). Folketallet er det samme i de to kommunene etter ca. 3,6 år. Aschehoug Side 19 av 5

20 .38 a 1,1 1,1 e =, 7183 = 3, 06 ( ) 1,1 x 1,1 x x 40 e 40 e = 40 3,06 y = = 0,84 0,84 e =, 7183 = 0, 753 y = 300 e = 300 e 0,84 x 0,84 x ( ) = 300 0,753 x.39 a Vi legger inn punktene A = (0,10 000) og B = (10, ) i GeoGera, og eregner den eksponentielle regresjonsfunksjonen med kommandoen RegEksp[A,B]. x f( x ) = e = e = ,149. 0,1386 x 0,1386 Dette gir regresjonsfunksjonen ( ) Vekstfaktoren er 1,149. p 1+ = 1, p = 100 0,149 = 14,9 Den årlige økningen i antall japanere over 100 år er på 14,9 %..40 Vi lar x være antall år etter 1985, slik at x = 0 i 1985 og x = 0 i 005. Da har vi to punkter, ( 0,10,) og ( 0, 5), som vi ruker til å finne en eksponentiell regresjonsfunksjon. Det gir f( x) = 10, 0,965 x. Vekstfaktoren er 0,965 = 96,5 %. Den årlige nedgangen i antall tenner med karies lir da 100% 96,5% = 3,5%. x Aschehoug Side 0 av 5

21 .41 a Vi ruker regresjon til å finne den eksponentialfunksjonen som passer est til punktene. Det gir ( ) 37 1,039 x f x =. Vekstfaktoren er 1,039, som svarer til en økning på 3,9 %. Den årlige veksten i avfallsmengde per innygger er på 3,9 %. c For y-verdien 500 er x = 19,51 0. Det gir året = 01. Dersom veksten fortsetter i samme takt, vil avfallsmengden per innygger passere 500 kg i a Vi lar x være høyden over havet i km, og ruker regresjon til å finne den eksponentialfunksjonen som passer est til punktene. Det gir ( ) ,880 x f x =. Ved havoverflaten er x = 0. f (0) = ,880 0 = 1013 Lufttrykket ved havoverflaten er 1013 hpa. c For y-verdien 700 er x =,89. Saine var,89 km over havet da trykket var 700 hpa. Siden Norges høyeste fjell, Galdhøpiggen, er 469 m over havet, kan altså Saine ikke ha vært i Norge. Aschehoug Side 1 av 5

22 .43 Vi ser at alle grafene går gjennom punktet (1, )..44 a f( m) = 00 0,5 m Vi ser at eksponenten er negativ. Da vil funksjonsverdien øke når grunntallet m lir mindre. Lette dyr vil altså ha høyere hjertefrekvens enn tunge dyr. c Vi setter inn m = 6000 i funksjonsuttrykket. 0,5 f (6000) = =, 7 Ifølge modellen vil elefanten ha en hjertefrekvens på ca. 3 slag per minutt. Dette stemmer ganske ra med den oppgitte hjertefrekvensen på 5 slag per minutt. d Massen av spurven er 40 g = 0,040 kg. Vi setter m = 0,040 inn i funksjonsuttrykket. 0,5 f (0, 040) = 00 0,040 = 447 Ifølge modellen har spurven en hjertefrekvens på ca. 450 slag per minutt, som tilsvarer omtrent 7,5 slag per sekund. e La oss si at et menneske veier 70 kg. Setter vi inn m = 70, får vi 0,5 f (70) = = 69 En hvilepuls på 69 slag per minutt er ikke uvanlig for mennesker, så modellen kan sies å passe for mennesker. Aschehoug Side av 5

23 .45 a Vi legger punktene inn i en taell i regnearket i GeoGera og lager en liste med punktene. Potensregresjon med kommandoen RegPot gir funksjonen f ( x) 1 1 = x. Potensregresjon gir funksjonen c Potensregresjon gir funksjonen f ( x) 0,5 = x. f ( x) 144 = x..46 a Vi ruker regresjon til å finne den potensfunksjonen som passer est til tallene. 1,50 Det gir f ( x) = 17, x. Vi setter inn x = 5,91 i funksjonsuttrykket. 1,50 f (5,91) = 17, 5,91 = 47 Ifølge modellen er omløpstiden til Pluto ca. 47 år..47 a Vi lar x være antall år etter 00. Regresjon med en lineær funksjon gir f( x) = 51,5 x Regresjon med en eksponentialfunksjon gir gx= ( ) , 06 x. Stigningstallet for den lineære modellen er 51,5. Ifølge den lineære modellen øker antall personiler med per år. c Vekstfaktoren for den eksponentielle modellen er 1,06. Ifølge den eksponentielle modellen øker antall personiler med,6 % per år. Aschehoug Side 3 av 5

24 .48 a Vi ruker regresjon til å finne henholdsvis den lineære funksjonen, andregradsfunksjonen og potensfunksjonen som passer est til punktene. Den lineære funksjonen passer dårligst til punktene. Både andregradsfunksjonen og potensfunksjonen passer svært godt. Den enkleste funksjonen er potensfunksjonen. Den har i tillegg en graf som går gjennom origo, noe som virker rimelig. 0,505 Vi velger derfor potensfunksjonen, som er f ( x) =,00 x. Det virker rimelig at perioden nærmer seg null når pendellengden nærmer seg null. Dette stemmer med modellen i oppgave a. c Vi setter inn x = 1,50 i funksjonsuttrykket. 0,505 f (1,50) =,00 1, 50 =, 45 Ifølge modellen er perioden,45 s når pendellengden er 1,50 m. Dette stemmer ra med målingen til Cecilie..49 a Vi lar x være antall år etter 00, og ruker regresjon til å finne henholdsvis den lineære funksjonen, andregradsfunksjonen og eksponentialfunksjonen som passer est til punktene. Vi ser at andregradsfunksjonen passer est og velger derfor denne modellen. Funksjonsuttrykket er gitt ved f( x) = 106,8x + 74,5x Året 030 svarer til x = 8. f (8) = 106, , = Ifølge modellen vil det være ca semitrailere i Norge i 030. Antallet vil neppe øke så kraftig som dette i virkeligheten. Modellen gir urealistiske anslag for utviklingen. Aschehoug Side 4 av 5

25 .50 a Løsninger til innlæringsoppgavene Tid i timer 0 0,5 1 1,5,5 Temperatur i C 5,0 8,5 11, 13,3 1,0 16,0 Temperaturforskjell i C 15,0 11,5 8,8 6,7 8,0 4,0 Eksponentiell regresjon gir modellen Ft ( ) = 14,7 0,634 t. c Av figuren i oppgave ser vi at målingen etter timer trolig er feil. Vi fjerner denne målingen og ruker eksponentiell regresjon på de gjenværende punktene. Det gir modellen Ft ( ) = 15,0 0,589 t. d Funksjonen Ft () som vi fant i oppgave c, representerer temperaturforskjellen mellom rommet og melken. Modellen for temperaturen i melken er derfor Tt () = 0 Ft (). Tt ( ) = 0 15, 0 0,589 t Aschehoug Side 5 av 5

2P kapittel 3 Modellering

2P kapittel 3 Modellering P kapittel 3 Modellering Løsninger til oppgavene i oka 3.1 a Forskerne fant 00 individer av fiskearten da de startet areidet. I løpet av de neste 10 årene sank estanden og etter 10 år var den utryddet.

Detaljer

2P kapittel 2 Modellering Utvalgte løsninger oppgavesamlingen

2P kapittel 2 Modellering Utvalgte løsninger oppgavesamlingen P kapittel Modellering Utvalgte løsninger oppgavesamlingen 01 a Av tabellen ser vi at y minker like mye hver gang x øker med 1. Tallene passer derfor med en lineær funksjon. b Hver gang x øker med 1, minker

Detaljer

S1 kapittel 5 Funksjoner Løsninger til oppgavene i boka

S1 kapittel 5 Funksjoner Løsninger til oppgavene i boka S1 kapittel 5 Funksjoner Løsninger til oppgavene i boka 5.1 a f( x) = 4x+ 0 I GeoGebra skriver vi f(x)=funksjon[-4x+0,-5,5]. Grafen viser at [ 0, 40] V =. f b gx ( ) =,5x+ 10 I GeoGebra skriver vi f(x)=funksjon[,5x+10,-10,4].

Detaljer

Tall i arbeid Påbygging Kapittel 3 Funksjoner Løsninger til innlæringsoppgavene

Tall i arbeid Påbygging Kapittel 3 Funksjoner Løsninger til innlæringsoppgavene Tall i arbeid Påbygging Kapittel 3 Funksjoner Løsninger til innlæringsoppgavene 3.1 a Koordinatene til origo er (0, 0). b Vi leser av førstekoordinaten langs x-aksen og andrekoordinaten langs y-aksen for

Detaljer

Basisoppgaver til Tall i arbeid Påbygging kap. 4 Modellering

Basisoppgaver til Tall i arbeid Påbygging kap. 4 Modellering Basisoppgaver til Tall i arbeid Påbygging kap. 4 Modellering 4.1 Mer om lineær vekst 4.2 En lineær modell på øyemål 4.3 Lineær regresjon 4.4 Modellering med polynomfunksjoner 4.5 Modellering med eksponentialfunksjoner

Detaljer

Utvalgte løsninger oppgavesamlingen

Utvalgte løsninger oppgavesamlingen P kapittel Modellering Utvalgte løsninger oppgavesamlingen 01 a Snitthøyden i 1910 lir 170,0 171, 4 170,7. I 1970 lir den 177,1 179, 4 178,3. Med som antall år etter 1900 og y som snitthøyden i entimeter

Detaljer

Funksjoner og andregradsuttrykk

Funksjoner og andregradsuttrykk 88 4 Funksjoner og andregradsuttrykk Mål for opplæringen er at eleven skal kunne bruke matematiske metoder og hjelpemidler til å løse problemer fra ulike fag og samfunnsområder løse likninger, ulikheter

Detaljer

2T kapittel 3 Modellering og bevis Løsninger til innlæringsoppgavene

2T kapittel 3 Modellering og bevis Løsninger til innlæringsoppgavene T kapittel 3 Modellering og bevis Løsninger til innlæringsoppgavene 3.1 a Modellen gir følgende verdier for årene i oppgaven: År 1955 1985 015 Folketall (millioner) 3,5 4, 4,8 b Setter vi inn for = 00

Detaljer

Funksjoner med og uten hjelpemidler

Funksjoner med og uten hjelpemidler Funksjoner med og uten hjelpemidler Plan for dagen Del 1: 09:00-11:45 Lunsj: 11:45-12:15 Del 2: 12:15-14:30 Eksamensinformasjon: 14:30-15:00 Plan for tiden før lunsj Økt 1: 09:00-09:45 Økt 2: 10:00-10:45

Detaljer

Funksjoner 1T Quiz. Test, 4 Funksjoner

Funksjoner 1T Quiz. Test, 4 Funksjoner Test, 4 Funksjoner Innhold 4.1 Funksjonsbegrepet... 4. Lineære funksjoner... 6 4.3 Andre funksjonstyper... 14 4.4 Vekstfart og derivasjon... 0 4.5 Drøfting av funksjoner på grunnlag av egenskaper hos den

Detaljer

Tall i arbeid Påbygging kapittel 3 Funksjoner Løsninger til innlæringsoppgavene

Tall i arbeid Påbygging kapittel 3 Funksjoner Løsninger til innlæringsoppgavene Tall i arbeid Påbygging kapittel 3 Funksjoner Løsninger til innlæringsoppgavene 3.1 a Origo er skjæringspunktet mellom x-aksen og y-aksen. Koordinatene til origo er altså. (0, 0) b Førstekoordinaten til

Detaljer

Løsninger til kapitteltesten i læreboka

Løsninger til kapitteltesten i læreboka S1 kapittel 4 Funksjoner Løsninger til kapitteltesten i læreboka 4.A a f ( ) 0,5 3 4 b Fra grafen leser vi av at nullpunktene til grafen er og 4. For å finne nullpunktene løser vi likningen f ( ) 0. 0,5

Detaljer

Funksjoner med og uten hjelpemidler

Funksjoner med og uten hjelpemidler Funksjoner med og uten hjelpemidler Plan for i dag og i morgen Dag 1: 09.00-11.45 Del 1: teori. 11.45-12.30 Lunsj 12.30-13.15 Del 2: bruk av GeoGebra. 13.15-15.15 Oppgaveregning, del 1. Dag 2: 09.00-10.45

Detaljer

S2 kapittel 3 Derivasjon Løsninger til kapitteltesten i læreboka

S2 kapittel 3 Derivasjon Løsninger til kapitteltesten i læreboka S kapittel 3 Derivasjon Løsninger til kapitteltesten i læreoka 3.A a h () t = 0,5 t = 0,5t Vannhøyden øker stadig raskere. c h (3) =,5 h (5) =,5 Etter 3 minutter øker vannhøyden med,5 cm per minutt. Etter

Detaljer

Basisoppgaver til 1P kap. 5 Funksjoner

Basisoppgaver til 1P kap. 5 Funksjoner Basisoppgaver til 1P kap. 5 Funksjoner 5.1 Funksjoner og grafer 5.2 Førstegradsfunksjoner 5.3 Lineær vekst 5.4 Proporsjonalitet 5.5 Andregradsfunksjoner 5.6 Mer om funksjoner Basisoppgaver 5.1 Funksjoner

Detaljer

Påbygging kapittel 7 Eksamenstrening

Påbygging kapittel 7 Eksamenstrening Påygging kapittel 7 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i oka Uten hjelpemidler E1 a 3 4 0 3+ 4+ 0 7 a a a a a = = = a = a 5 5 5 a a a ( ) ( ) c d 7 5 3 3 3 3 6 4 3 6 4 3 3x x = 3 x x = 3 x x = 3 x

Detaljer

Løsninger til innlæringsoppgavene

Løsninger til innlæringsoppgavene Tall i arbeid Påbygging Kapittel 4 Modellering Løsninger til innlæringsoppgavene 4.1 a Modellen gir følgende verdier for årene i oppgaven: År 1955 1985 015 Folketall (millioner) 3,5 4, 4,8 b Setter vi

Detaljer

1P kapittel 5 Funksjoner Utvalgte løsninger oppgavesamlingen

1P kapittel 5 Funksjoner Utvalgte løsninger oppgavesamlingen 1P kapittel 5 Funksjoner Utvalgte løsninger oppgavesamlingen 50 a Vi ser at grafen har et toppunkt i (11, 380). Det var altså flest besøkende 11. juni. Antall besøkende var da 380. b Vi ser at grafen har

Detaljer

1T kapittel 4 Likningssystemer og ulikheter

1T kapittel 4 Likningssystemer og ulikheter T kapittel 4 Likningssystemer og ulikheter Løsninger til oppgavene i oka Oppgave 4. a Vi tegner grafene til y = og y = + 3 i samme koordinatsystem. Skjæringspunktet mellom grafene har koordinatene (, ).

Detaljer

Fasit. 1 Algebra. 1.11 a 2 b 10 c 7 1.12 a 7 b 1 c 3 b 2 4 8 = 8. c ( 3) 2 9. 1.14 a 4 og 7 b ( 7+ 5) 3 15 2 ( 7)

Fasit. 1 Algebra. 1.11 a 2 b 10 c 7 1.12 a 7 b 1 c 3 b 2 4 8 = 8. c ( 3) 2 9. 1.14 a 4 og 7 b ( 7+ 5) 3 15 2 ( 7) 9 Algera. a 8 8. a 7 7. a 6. a d. a 9 d.6 a 8 ( ).7 a 9 9 7 d 7.8 a d.9 a 6 7 d. 6 ( ),. a 7. a 7. a ( + 6) = 8 = 8 ( ) 9. a og 7 ( 7+ ) ( 7) 7.6 a 6 d 7 e.7 96 C.8 9 66 ( ).9 a d. a 9 8. a 6 = 7 ( ):

Detaljer

S1 kapittel 6 Derivasjon Løsninger til oppgavene i boka

S1 kapittel 6 Derivasjon Løsninger til oppgavene i boka S kpittel 6 Derivsjon Løsninger til oppgvene i ok 6. c y x y x = = = = y x 4 5 9 4 y 5 6 x 4 = = = = y x y x = = = = 7 ( 5) 6 ( ) 8 6. f( x ) f( x ) 5 7 x x ( ) 4 = = = = 6. T( x) = 0,x +,0 T T = + = (0)

Detaljer

R1 kapittel 4 Funksjonsdrøfting. Løsninger til oppgavene i boka ( 1) 5 ( 2) = = = = = = = ( ) 1 1. f ( a)

R1 kapittel 4 Funksjonsdrøfting. Løsninger til oppgavene i boka ( 1) 5 ( 2) = = = = = = = ( ) 1 1. f ( a) R kapittel 4 Funksjonsdrøfting Løsninger til oppgavene i boka 4. a 4 f( ) f ( ) 4 4 b g ( ) 6 c d e f 4. a b c d e f 4. a g ( ) 0 h ( ),8 4 h ( ),8,8 i ( ),8,8 i 0 ( ) j ( ) π j ( ) 0 k ( ) k ( ) f( )

Detaljer

Grafer og funksjoner

Grafer og funksjoner 14 4 Grafer og funksjoner Mål for opplæringen er at eleven skal kunne bruke matematiske metoder og hjelpemidler til å løse problemer fra ulike fag og samfunnsområder omforme en praktisk problemstilling

Detaljer

Eksempelsett 2P, Høsten 2010

Eksempelsett 2P, Høsten 2010 Eksempelsett 2P, Høsten 2010 Del 1 Tid: 2 timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (4 poeng) Grete og Per fyller etanol i et beger.

Detaljer

Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet

Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet Innhold FUNKSJONSTEGNER... 3 Skjermbildet i GeoGebra... 3 Verktøylinja... 4 Verktøyet Flytt eller velg objekt... 4 Oppsett av skjermbildet... 5 Flytte tegneflaten, endre enheter på aksene... 5 Mer øving

Detaljer

Regresjon med GeoGebra 4.0

Regresjon med GeoGebra 4.0 Regresjon med GeoGebra 4.0 av Sigbjørn Hals Innhold Liste over kommandoene... 2 Lineær regresjon... 3 Potensregresjon... 5 Eksponentiell regresjon... 5 Logaritmisk regresjon... 6 Logistisk regresjon...

Detaljer

Kurvetilpasning (regresjon) med GeoGebra 4.0

Kurvetilpasning (regresjon) med GeoGebra 4.0 Kurvetilpasning (regresjon) med GeoGebra 4.0 av Sigbjørn Hals Innhold Liste over kommandoene... 2 Lineær regresjon... 3 Potensregresjon... 5 Eksponentiell regresjon... 5 Logaritmisk regresjon... 6 Logistisk

Detaljer

Løsningsforslag for eksempeloppgave REA3026 Matematikk S1 - April 2007. eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag for eksempeloppgave REA3026 Matematikk S1 - April 2007. eksamensoppgaver.org Løsningsforslag for eksempeloppgave REA3026 Matematikk S1 - April 2007 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i S1 er gratis, og det er

Detaljer

Oppgaver i funksjonsdrøfting

Oppgaver i funksjonsdrøfting Oppgaver i funksjonsdrøfting To av oppgavene er merket med *. Det betyr at de er ekstra interessante. Oppgave 1 Gitt funksjonen f(x) = x + 4. a) Finn nullpunktene til funksjonen. b) Bruk definisjonen på

Detaljer

GeoGebra-opplæring i Matematikk 2P

GeoGebra-opplæring i Matematikk 2P GeoGebra-opplæring i Matematikk 2P Emne Underkapittel Graftegning 2.1 Linje gjennom to punkter 2.1 Å finne y- og x-verdier 2.1 Lineær regresjon 2.3 Andregradsfunksjoner 2.4 Polynomregresjon 2.4 Eksponential-

Detaljer

Stigningstall og konstantledd, løsningsforslag

Stigningstall og konstantledd, løsningsforslag Stigningstall og konstantledd, løsningsforslag Oppgave: Løsningsforslag Listen [1] Oppgave Oppgave 1 a) Skriv ned stigningstallet og konstantleddet i de tre funksjonene under. 1. f(x) = x + Stigningstall

Detaljer

Lineære funksjoner. Skjermbildet

Lineære funksjoner. Skjermbildet Lineære funksjoner I dette opplæringsløpet lærer du å tegne funksjoner i GeoGebra samt å bruke verktøy til å løse oppgaver som dreier seg om funksjoner. Alle oppgavene handler om lineære funksjoner. I

Detaljer

1P kapittel 2 Algebra

1P kapittel 2 Algebra 1P kapittel Algera Løsninger til oppgavene i oka.1 a a+ a a 5+ 4 9 c 8c 6c c d d d 0d 0. a + + 5+ 4+ 10 c 5 9 4 d 4 7. a 7 5+ + 8 5+ 8+ 7 + + 10 5y+ + y + 5y+ y 4 4y c 8y 8y + 8y 8y 4+ 0y 4.4 7r+ 10h+

Detaljer

Tall i arbeid Påbygging terminprøve våren 2012

Tall i arbeid Påbygging terminprøve våren 2012 Tall i areid Påygging terminprøve våren 2012 DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler Oppgave 1 a Skriv tallene på standardform. 1 0,000

Detaljer

Funksjoner oppgaver. Innhold. Funksjoner S1

Funksjoner oppgaver. Innhold. Funksjoner S1 Funksjoner oppgaver Innhold.1 Funksjoner.... Lineære funksjoner... 5 Ettpunktsformelen.... 9 Skjæringspunkt mellom rette linjer. Nullpunkt for en funksjon... 11.3 Andregradsfunksjon... 1.4 Tredjegradsfunksjon...

Detaljer

Oppgave 1 a) Tegn grafene til de tre funksjonene nedenfor i samme koordinatsystem i GeoGebra

Oppgave 1 a) Tegn grafene til de tre funksjonene nedenfor i samme koordinatsystem i GeoGebra kompetansemålet: Funksjoner - undersøkje funksjonar som beskriv praktiske situasjonar, ved å fastsetje nullpunkt, ekstremalpunkt og skjeringspunkt og tolke den praktiske verdien av resultata. Oppgave 1

Detaljer

12 Areal. Vekst under grafer

12 Areal. Vekst under grafer 12 Areal. Vekst under grafer 1 a) Framstill denne funksjonen grafisk: f(x) = 3x + 2 b) Regn ut f(4) og f(3). f (4) f (3) Regn deretter ut. Forklar hva du finner ut. 4 3 f (5) f (2) c) Regn ut. Kommenter

Detaljer

Oppsummering om hva som kreves ved bruk av digitale verktøy

Oppsummering om hva som kreves ved bruk av digitale verktøy 1 Oppsummering om hva som kreves ved bruk av digitale verktøy Graftegner Det skal gå klart fram av den grafiske framstillingen hvilken skala og hvilken enhet som er brukt, på hver av aksene. Det er en

Detaljer

1T kapittel 3 Funksjoner Løsninger til oppgavene i læreboka

1T kapittel 3 Funksjoner Løsninger til oppgavene i læreboka 1T kpittel 3 Funksjoner Løsninger til oppgvene i læreok Oppgve 3.1 Origo er skjæringspunktet mellom førsteksen og ndreksen. Koordintene til origo er ltså (0, 0). Førstekoordinten til punktet A er 15, og

Detaljer

Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet

Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet Innhold FUNKSJONSTEGNER... 3 Skjermbildet i GeoGebra... 3 Verktøylinja... 4 Verktøyet Flytt eller velg objekt... 4 Oppsett av skjermbildet... 5 Flytte tegneflaten, endre enheter på aksene... 5 Flytt inntastingsfeltet

Detaljer

Løsning eksamen 2P våren 2013

Løsning eksamen 2P våren 2013 Løsning eksamen 2P våren 2013 Del 1 Oppgave 1 a) Vi ordner tallene etter størrelse. 1, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 5, 5 Da det er 10 tall her, er median gjennomsnittet av tall nr. 5 og tall nr. 6. Medianen er

Detaljer

Flere utfordringer til kapittel 3

Flere utfordringer til kapittel 3 KAPITTEL 3 FUNKSJONER Oppgave 1 a c Oppgave 2 Hvor mange punkter trenger vi for å skissere/definere en rett linje i et koordinatsystem? Vi har sammenhengen f(x) = 5x + 20. Hva kan vi lese ut av denne sammenhengen?

Detaljer

Matematikk 2P. det digitale verktøyet. Kristen Nastad

Matematikk 2P. det digitale verktøyet. Kristen Nastad Matematikk 2P og det digitale verktøyet Kristen Nastad Forord Heftet er skrevet på grunnlag av versjon 1.4.11643 2008 07 09 av operativsystemet til programmet TI-nspire TM CAS Operating System Software

Detaljer

Løsning eksamen 2P våren 2010

Løsning eksamen 2P våren 2010 Løsning eksamen 2P våren 2010 Oppgave 1 a) Prisen for diesel er 10,91 kr. Hvis Liv hadde fylte diesel, hadde prisen for 41,5 l vært mindre enn 11 kr 42 = 462 kr Det stemmer ikke i det hun betalte 509,

Detaljer

2P kapittel 4 Statistikk Løsninger til oppgavene i læreboka

2P kapittel 4 Statistikk Løsninger til oppgavene i læreboka P kapittel 4 Statistikk Løsninger til oppgavene i læreoka 4.1 a Det er 5 + 8 = 13 elever som ruker inntil 119 minutter på sosiale medier. Da er det 5 13 = 1 elever som ruker 10 179 minutter på sosiale

Detaljer

Kapittel 5. Funksjoner

Kapittel 5. Funksjoner Kapittel 5. Funksjoner Funksjon er et av de viktigste begrepene i matematikken. Funksjoner handler om sammenhengen mellom to størrelser. I dette kapitlet skal vi se nærmere på to typer funksjoner, lineære

Detaljer

Oppgaver om derivasjon

Oppgaver om derivasjon Oppgaver om derivasjon Oppgave 1 Gitt funksjonen g(x) = x 3 6x 48x + 13 a) Finn g (x). b) Bruk den deriverte til å finne x-koordinaten til topp/bunn-punktene til grafen. Finn også de tilhørende y-koordinatene,

Detaljer

Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet

Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet Innhold FUNKSJONSTEGNER... 3 Skjermbildet i GeoGebra... 3 Verktøylinja... 4 Verktøyet Flytt eller velg objekt... 4 Oppsett av skjermbildet... 5 Flytte tegneflaten, endre enheter på aksene... 5 Mer øving

Detaljer

eksamensoppgaver.org x = x = x lg(10) = lg(350) x = lg(350) 5 x x + 1 > 0 Avfortegnsskjemaetkanvileseatulikhetenstemmerfor

eksamensoppgaver.org x = x = x lg(10) = lg(350) x = lg(350) 5 x x + 1 > 0 Avfortegnsskjemaetkanvileseatulikhetenstemmerfor eksamensoppgaver.org 5 oppgave1 a.i.1) 2 10 x = 700 10 x = 700 2 x lg(10) = lg(350) x = lg(350) a.i.2) Vibrukerfortegnsskjema 5 x x + 1 > 0 Avfortegnsskjemaetkanvileseatulikhetenstemmerfor x 1, 5 a.ii.1)

Detaljer

GeoGebra-opplæring i Matematikk S1

GeoGebra-opplæring i Matematikk S1 GeoGebra-opplæring i Matematikk S1 Emne Underkapittel Utregning av algebraiske uttrykk 1.4 Forenkle uttrykk 1.5 Faktorisering 1.5 Kvadratsetningene 1.6 Grafisk løsning av eksponentiallikninger 1.8 Grafisk

Detaljer

GeoGebra 4.2 for Sinus 2P. av Sigbjørn Hals

GeoGebra 4.2 for Sinus 2P. av Sigbjørn Hals GeoGebra 4.2 for Sinus 2P av Sigbjørn Hals Innhold Litt om GeoGebra... 3 Linjediagram. Side 46 i læreboka... 3 Søylediagram. Side 57 i Læreboka... 5 Histogram. Side 81 i læreboka... 6 Lineær regresjon.

Detaljer

Kapittel 7. Matematiske modeller

Kapittel 7. Matematiske modeller Kapittel 7. Matematiske modeller En matematisk modell er en funksjon som mer eller mindre bra beskriver en praktisk situasjon. Dette kapitlet handler blant annet om: Hvordan lage en matematisk modell ved

Detaljer

f (x) = a x k der tallet a og eksponenten k kan være både positive og negative tall. Et eksempel på en potensfunksjon med negativ eksponent er

f (x) = a x k der tallet a og eksponenten k kan være både positive og negative tall. Et eksempel på en potensfunksjon med negativ eksponent er 7.5 Potensfunksjoner Funksjonen f gitt ved f () = 3 er et eksempel på en potensfunksjon. For alle potensfunksjoner er funksjonsuttrykket på formen f () = a k der tallet a og eksponenten k kan være både

Detaljer

Her er C en funksjon av F

Her er C en funksjon av F Kapittel 9 FUNKSJONER C F 50 58 40 40 0 0 4 0 4 0 0 50 0 68 0 86 40 04 50 9 F C + 5 Her er F en funksjon av C Dette er like ra C 5 9 F 60 9 Her er C en funksjon av F Kapittel 9 FUNKSJONER Det norske oljeeventyret

Detaljer

GeoGebra-opplæring i Matematikk 1T

GeoGebra-opplæring i Matematikk 1T GeoGebra-opplæring i Matematikk 1T Emne Underkapittel Rettvinklede trekanter 2.4 Ikke-rettvinklede trekanter I 2.6 Ikke-rettvinklede trekanter II 2.7 Graftegning 3.2 Graftegning med definisjonsmengde 3.2

Detaljer

Grafer og funksjoner

Grafer og funksjoner Grafer og funksjoner Fredrik Meyer Sammendrag Vi går raskt igjennom definisjonen på hva en funksjon er. Vi innfører også begrepet førstegradsfunksjon. Det forutsettes at du husker hva et koordinatsystem

Detaljer

Kapittel 6. Matematiske modeller

Kapittel 6. Matematiske modeller Kapittel 6. Matematiske modeller En matematisk modell er en funksjon som mer eller mindre bra beskriver en praktisk situasjon. Dette kapitlet handler blant annet om: Hvordan lage en matematisk modell ved

Detaljer

Eksamen MAT 1011 Matematikk 1P Våren 2013

Eksamen MAT 1011 Matematikk 1P Våren 2013 Eksamen MAT 1011 Matematikk 1P Våren 01 Oppgave 1 ( poeng) Hilde skal kjøpe L melk,5 kg poteter 0,5 kg ost 00 g kokt skinke Gjør et overslag og finn ut omtrent hvor mye hun må betale. L melk:14,95 kr 15

Detaljer

Løsningsforslag AA6516 Matematikk 2MX - 5. mai eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag AA6516 Matematikk 2MX - 5. mai eksamensoppgaver.org Løsningsforslag AA6516 Matematikk 2MX - 5. mai 2004 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 2MX er gratis, og det er lastet ned på eksamensoppgaver.org.

Detaljer

Kapittel 1. Funksjoner

Kapittel 1. Funksjoner Kapittel 1. Funksjoner Funksjon er et av de viktigste begrepene i matematikken. Funksjoner handler om sammenhengen mellom to størrelser. I dette kapitlet skal vi se nærmere på to typer funksjoner, lineære

Detaljer

GeoGebra-opplæring i 2P-Y

GeoGebra-opplæring i 2P-Y GeoGebra-opplæring i 2P-Y Emne Underkapittel Terningkast 2.1 Valgtre I 2.3 Valgtre II 2.7 Graftegning 3.2 Nullpunkter 3.3 Å finne y- og x-verdier 3.4 Andregradsfunksjoner 3.5 Grafisk løsning 3.5 Tredjegradsfunksjoner

Detaljer

Oppgave 6. Tabellen nedenfor viser folketallet i en by fra 1960 til 2010. 1960 1970 1980 1990 2000 2010 35 000 41 000 43 000 47 000 48 000 56 000

Oppgave 6. Tabellen nedenfor viser folketallet i en by fra 1960 til 2010. 1960 1970 1980 1990 2000 2010 35 000 41 000 43 000 47 000 48 000 56 000 GS3 Forberedelse til tentamen. Ark 38 Løsninger deles ut fredag 19. april. Oppgave 1. Løs ligningene og ulikhetene. a) + = 3 b) 3x > -9 6 (x + 3) c) 3 (x - ) = 2 - d) 3x < - (1 - ) Oppgave 2. Løs ligningssettet.

Detaljer

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1P TI-84

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1P TI-84 Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for TI-84 Innhold 1 Innstillinger 4 2 Regning 5 2.1 Regnerekkefølge................................ 5 2.2 Kvadratrot....................................

Detaljer

Løsningsforslag AA6516 Matematikk 2MX Privatister 10. desember 2003. eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag AA6516 Matematikk 2MX Privatister 10. desember 2003. eksamensoppgaver.org Løsningsforslag AA6516 Matematikk MX Privatister 10. desember 003 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i MX er gratis, og det er lastet

Detaljer

Sti 1 Sti 2 Sti 3 300, 301, 302, 303, 304, 307 309, 310, 311, 312 316, 317, 319, 321, 322, 324, 326 328, 330, 331, 333, 337

Sti 1 Sti 2 Sti 3 300, 301, 302, 303, 304, 307 309, 310, 311, 312 316, 317, 319, 321, 322, 324, 326 328, 330, 331, 333, 337 3 Funksjoner Kompetansemål: Mål for opplæringen er at eleven skal kunne gjøre rede for funksjonsegrepet og tegne grafer ved å analysere funksjonsegrepet eregne nullpunkter og skjæringspunkter og gi noen

Detaljer

Eksempeloppgave 1T, Høsten 2009

Eksempeloppgave 1T, Høsten 2009 Eksempeloppgave 1T, Høsten 009 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 ( poeng) a) Bruk opplysningene nedenfor til å finne

Detaljer

Eksamen REA3028 S2, Høsten 2012

Eksamen REA3028 S2, Høsten 2012 Eksamen REA308 S, Høsten 01 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (6 poeng) Deriver funksjonene 3x x a) gx 3 3x x 3x

Detaljer

GeoGebra for Sinus 2T

GeoGebra for Sinus 2T GeoGebra for Sinus 2T Innhold Vektorer med GeoGebra Skalarproduktet med GeoGebra Parameterframstilling med GeoGebra Ordnede utvalg eksempelet på side 89 med GeoGebra Uordnede utvalg eksempelet på side

Detaljer

Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y Høsten 2013

Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y Høsten 2013 Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y Høsten 2013 DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (2 poeng) I en klasse er det 20 elever. Nedenfor ser du hvor mange dager hver av elevene var borte fra skolen i løpet av et

Detaljer

Funksjoner og andregradsuttrykk

Funksjoner og andregradsuttrykk 4 110 Funksjoner og andregradsuttrykk Studentene skal kunne benytte begrepet funksjoner og angi definisjonsmengde og verdimengde til funksjoner regne med lineære funksjoner og andregradsfunksjoner og bestemme

Detaljer

Matematikk S1. det digitale verktøyet. Kristen Nastad. Aschehoug Undervisning

Matematikk S1. det digitale verktøyet. Kristen Nastad. Aschehoug Undervisning Matematikk S1 og det digitale verktøyet Kristen Nastad Aschehoug Undervisning Forord Heftet er skrevet på grunnlag av versjon 1.4.11643 2008 07 09 av operativsystemet til programmet TI-nspire TM CAS Operating

Detaljer

GeoGebra-opplæring i Matematikk 2T

GeoGebra-opplæring i Matematikk 2T GeoGebra-opplæring i Matematikk 2T Emne Underkapittel Vektorer 1.4 Lengden av vektorer 1.5 Skalarprodukt. Vinkel mellom to vektorer 1.6 Parameterframstilling 1.8 Binomialkoeffisient I 2.7 Binomialkoeffisient

Detaljer

Sigbjørn Hals, Cappelen Damm Undervisning. Sinus 2P. Digitale løsninger av oppgaver og eksempler med noen utvalgte matematikkverktøy

Sigbjørn Hals, Cappelen Damm Undervisning. Sinus 2P. Digitale løsninger av oppgaver og eksempler med noen utvalgte matematikkverktøy Sinus 2P Digitale løsninger av oppgaver og eksempler med noen utvalgte matematikkverktøy GeoGebra 4.0 og 4.2 wxmaxima Microsoft Mathematics WordMat TI-Nspire CAS 1 Innhold Litt om programmene... 4 GeoGebra

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen S2, høsten 2015 Laget av Tommy O. Sist oppdatert: 25. mai 2017

Løsningsforslag Eksamen S2, høsten 2015 Laget av Tommy O. Sist oppdatert: 25. mai 2017 Løsningsforslag Eksamen S2, høsten 215 Laget av Tommy O. Sist oppdatert: 25. mai 217 Del 1 - uten hjelpemidler Oppgave 1 a) Vi skal derivere funksjonen f(x) = x 3 + 2x. Formelen vi må bruke er (x n ) =

Detaljer

S1 Eksamen høst 2009 Løsning

S1 Eksamen høst 2009 Løsning S1 Eksamen, høsten 009 Løsning S1 Eksamen høst 009 Løsning Del 1 Oppgave 1 a) Skriv så enkelt som mulig: 1) 5a a a a 1 5a a 4 a 1 6a a 5 ) 1 3 13 3 3 48 3 6 7 8 6 3) 4 a b a 3 a b 13 43 1 a b a b 4 4)

Detaljer

Eksempel på løsning. Sentralt gitt skriftlig eksamen MAT1008 Matematikk 2T Eksamen 30.11.2009. Bokmål

Eksempel på løsning. Sentralt gitt skriftlig eksamen MAT1008 Matematikk 2T Eksamen 30.11.2009. Bokmål Eksempel på løsning 010 Sentralt gitt skriftlig eksamen MAT1008 Matematikk T Eksamen 30.11.009 Bokmål MAT1008 Matematikk T HØSTEN 009 Eksempel på løsning med vekt på bruk av digitale verktøy Hva er en

Detaljer

Funksjoner og vekst. Læreplanmål for 2P-Y

Funksjoner og vekst. Læreplanmål for 2P-Y Funksjoner og vekst 3.1 Læreplanmål 1 5.1 Polynomfunksjoner 2 5.2 Polynomregresjon 8 5.3 Potensfunksjoner og rotfunksjoner 12 5.4 Potensregresjon 16 5.5 Eksponentialfunksjoner 19 5.6 Eksponentialregresjon

Detaljer

Påbygging kapittel 3 Statistikk Løsninger til oppgavene i boka

Påbygging kapittel 3 Statistikk Løsninger til oppgavene i boka Påygging kapittel 3 Statistikk Løsninger til oppgavene i oka 3.1 a Det er 5 + 8 = 13 elever som ruker inntil 119 minutter på sosiale medier. Da er det 5 13 = 1 elever som ruker 10 179 minutter på sosiale

Detaljer

Utvalgte løsninger. 138 Utvalgte løsninger + + = = + I = 400x. x =. 400 I a

Utvalgte løsninger. 138 Utvalgte løsninger + + = = + I = 400x. x =. 400 I a 18 Utvalgte løsninger Utvalgte løsninger 117 a 1 1 Hvis Anders stalet halvparten av lomsterpottene, Lana og Miriam, ville det totalt li 5 1 1 1 1 5 0 1 1 + + + 0 som er mer enn 1. Altså tar Miriam feil.

Detaljer

Kapittel 4. Matematiske modeller

Kapittel 4. Matematiske modeller Kapittel 4. Matematiske modeller En matematisk modell er en funksjon som mer eller mindre bra beskriver en praktisk situasjon. Dette kapitlet handler blant annet om: Hvordan lage en matematisk modell ved

Detaljer

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1P. Geogebra

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1P. Geogebra Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Geogebra Innhold 1 Om Geogebra 4 1.1 Innstillinger................................... 5 2 Regning 5 2.1 Tallregning...................................

Detaljer

Eksamen våren 2008 Løsninger

Eksamen våren 2008 Løsninger Eksamen våren 008 Løsninger Eksamen våren 008 Løsninger Del Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med cm-mål og vinkelmåler Oppgave a f x ( ) x ln = x f ( x) = x lnx+ x = xlnx+x x b c ( ) (

Detaljer

Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet

Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet Innhold Funksjonstegner... 3 Skjermbildet i GeoGebra... 3 Verktøylinja... 3 Verktøyet Flytt eller velg objekt... 4 Oppsett av skjermbildet... 4 Flytte tegneflaten, endre enheter på aksene... 5 Mer øving

Detaljer

Funksjoner med GeoGebra

Funksjoner med GeoGebra Funksjoner med GeoGebra Wallace Anne Karin 2015 G e o G e b r a 5. 0 Innhold Oppsett for arbeid med funksjoner... 2 Flytte tegneflaten, endre enheter på aksene... 4 Flytt inntastingsfeltet øverst... 4

Detaljer

Sigbjørn Hals. Nedenfor har vi tegnet noen grafer til likningen y = C, der C varierer fra -2 til 3, med en økning på 1.

Sigbjørn Hals. Nedenfor har vi tegnet noen grafer til likningen y = C, der C varierer fra -2 til 3, med en økning på 1. Retningsdiagrammer og integralkurver Eksempel 1 Den enkleste av alle differensiallikninger er nok y' = 0. Denne har løsningen y = C fordi den deriverte av en konstant er 0. Løsningen vil altså bli flere

Detaljer

Løsningsforslag for 2P våren 2015

Løsningsforslag for 2P våren 2015 Del 1 Oppgave 1 Sortert i stigende rekkefølge blir det: 4 5 6? 10 12 Medianen, som er 7, skal ligge midt mellom de to midterste tallene 6 og det ukjente tallet, som derfor må være 8. Oppgave 2 Opprinnelig

Detaljer

DEL 1. a) Grete setter 10 000 kr i banken. Hun får 5 % rente (per år). Grete lar pengene stå urørt i banken i 5 år.

DEL 1. a) Grete setter 10 000 kr i banken. Hun får 5 % rente (per år). Grete lar pengene stå urørt i banken i 5 år. DEL 1 Oppgave 1 a) Grete setter 10 000 kr i banken. Hun får % rente (per år). Grete lar pengene stå urørt i banken i år. 1) Hvor mange penger har Grete i banken etter ett år? Grete vil prøve å regne ut

Detaljer

Funksjoner og vekst. Læreplanmål for 2P-Y

Funksjoner og vekst. Læreplanmål for 2P-Y Funksjoner og vekst 3.1 Læreplanmål 1 5.1 Polynomfunksjoner 2 5.2 Polynomregresjon 8 5.3 Potensfunksjoner og rotfunksjoner 12 5.4 Potensregresjon 16 5.5 Eksponentialfunksjoner 19 5.6 Eksponentialregresjon

Detaljer

DEL 1 Uten hjelpemidler

DEL 1 Uten hjelpemidler DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 a) Skriv tallet 2460000 på standardform. b) Regn ut: 3 3 3 2 81 4 + 12 5 + 8 + 4 3 c) Løs likningssystemet: 2x y = 3 x+ 2y = 4 d) Løs ulikheten: 2 2x + 2x+ 4 0 e) Løs

Detaljer

Løsning av utvalgte øvingsoppgaver til Sigma R2 kapittel 3

Løsning av utvalgte øvingsoppgaver til Sigma R2 kapittel 3 Løsning av utvalgte øvingsoppgaver til Sigma R kapittel.a cos + + sin + = cos cos sin sin + sin cos + cos sin = cos sin + sin + cos = cos + = cos = cos b sin + = sin sin sin = sin = sin = sin =,7 =,7 +

Detaljer

1T 2014 høst LØSNING 25000000000 0, 0005 = 2, 5 10 10 5 10 4 = 12, 5 10 6 = 1, 25 10 7. 2 2+ x 2 = 2 4 x 2 4 + x = 8 x = 4

1T 2014 høst LØSNING 25000000000 0, 0005 = 2, 5 10 10 5 10 4 = 12, 5 10 6 = 1, 25 10 7. 2 2+ x 2 = 2 4 x 2 4 + x = 8 x = 4 3/8/06 T 0 høst LØSNING - matematikk.net T 0 høst LØSNING Contents Diskusjon av denne oppgaven Løsning av del Matteprat spørsmål om oppgave 6 del DEL EN Oppgave 5000000000 0, 0005 =, 5 0 0 5 0 =, 5 0 6

Detaljer

Løsningsforslag matematikk S1 V14

Løsningsforslag matematikk S1 V14 Løsningsforslag matematikk S1 V14 Oppgave 1 Bruker ABC-formelen: ABC-formelen gir x = 2 x = 3 x 2 + 3x 3 = 3 2x x 2 + 5x 6 = 0 x = b ± b 2 4ac 2a lg(x + 2) = 2 lg x lg(x + 2) = lg x 2 10 lg(x+2) lg x2

Detaljer

Eksamen MAT 1011 Matematikk 1P Høsten 2013

Eksamen MAT 1011 Matematikk 1P Høsten 2013 Eksamen MAT 1011 Matematikk 1P Høsten 01 Oppgave 1 (1 poeng) Per har lest 150 sider i en bok. Dette er 0 % av sidene i boka. Hvor mange sider er det i boka? Går «veien om 1»: 150 1% 5 0 100% 5 100 500

Detaljer

DEL 1 (Uten hjelpemidler, leveres etter 3 timer) 3(a + 1) 4(1 a) (6a 1) = 3a + 3 4 + 4a 6a + 1

DEL 1 (Uten hjelpemidler, leveres etter 3 timer) 3(a + 1) 4(1 a) (6a 1) = 3a + 3 4 + 4a 6a + 1 HELDAGSPRØVE I MATEMATIKK 1T HØST DEL 1 (Uten hjelpemidler, leveres etter 3 timer) Oppgave 1. Trekk sammen uttrykkene: a) 3(a + 1) 4(1 a) (6a 1) 3(a + 1) 4(1 a) (6a 1) = 3a + 3 4 + 4a 6a + 1 = a. b) 1

Detaljer

Eksamen 2P, Høsten 2011

Eksamen 2P, Høsten 2011 Eksamen P, Høsten 011 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (18 poeng) a) Skriv på standardform 1) 533 milliarder 9 11

Detaljer

1P kapittel 2 Økonomi Løsninger til innlæringsoppgavene

1P kapittel 2 Økonomi Løsninger til innlæringsoppgavene 1P kapittel 2 Økonomi Løsninger til innlæringsoppgavene 2.1 a Det er 12 gutter og 16 jenter i dansegruppen. Forholdet mellom antall gutter og antall jenter er derfor 12 12 : 4 3 16 16 : 4 4 Forholdet mellom

Detaljer

Følgende funksjon er gitt: f(x) = 2x 3 a) Lag en tabell med funksjonsverdier, og tegn opp grafen i et koordinatsystem.

Følgende funksjon er gitt: f(x) = 2x 3 a) Lag en tabell med funksjonsverdier, og tegn opp grafen i et koordinatsystem. Funksjoner Oppgavesettene i funksjonslære inneholder oppgaver om lineære funksjoner, andregradsfunksjoner og brøkfunksjoner. Det er to oppgavesett på hvert av temaene. For alle tre temaene er oppgavene

Detaljer

S2 kapittel 4 Modellering Løsninger til kapitteltesten i læreboka

S2 kapittel 4 Modellering Løsninger til kapitteltesten i læreboka S kapittel 4 Modellering Løsninger til kapitteltesten i læreboka 4.A a Enhetskostnaden er gitt ved totalkostnaden dividert med antall produserte enheter, altså K( x) Gx ( ) =. Det gir Gx ( ) = 0,x+ 5 +

Detaljer