Høgskolen i Agder Avdeling for realfag EKSAMEN. begrunn = grunngi beregn = rekn ut

Transkript

1 Høgskole i Agder Avdelig for relfg EKSAMEN Emekode: MA 410 Emev: Reell lyse Oppgver med forslg til løsiger Dto: 4. mi 000 Vrighet: Atll sider iklusivt forside: Tilltte hjelpemidler: Alle Nyorsktekste er idetisk med origiltekste med hesy til setigsbygig og ordvlg med disse utkee: begru = grugi bereg = rek ut OPPGAVE 1. L tllfølge ( ) være gitt ved 1 = og +1 = for 1. () Vis t følge ( ) er voksede og opptil begreset. Bereg = lim. (b) L ɛ > 0. Begru t det fies et turlig tll N slik t ( ) < ɛ år N, og ( ) < 1 år < N. L s = 1 k og vis t lim s =. () Det er klrt t = 1. Vi ser t +1, så ved iduksjo er lle. Vi hr +1, side lle > 0. Det følger t følge ( ) er voksede hvis og bre hvis er e øvre grese, dvs. for lle. 1 < er OK. At <. D følger 1

2 t +1 = < =. Dette viser t ( ) er opptil begreset v, og t de er voksede. D er følge koverget. L = lim. Vi får =, slik t =. D, får vi t =. (b) Vi hr t = = lim. L ɛ > 0. D fies N slik t for N så er < ɛ, og spesielt blir ( ) < ɛ. For < N er ( ) < ( 1) = 1. L > N. Vi får t 0 < s = 1 ( k ) = 1 N 1 ( ( k ) + ( k )) k=n 1 ((N 1) + ɛ( N + 1)) (N 1 Nɛ + ɛ) = ɛ + < ɛ + N < ɛ år N < ɛ, dvs. år > N ɛ. Dette viser t = lim s. OPPGAVE. E fuksjosfølge (f ) er gitt ved f (x) = 1 (1 1 x ). () Vis t rekk f (x) kovergerer puktvis på ( 1, ). Kll summe v rekk F (x). (b) Begru t rekk f (x) kovergerer uiformt på ethvert lukket itervll [, b] ieholdt i ( 1, ), dvs. år 1 < < b <. (c) Begru t F (x) = 1 på ( 1, ), og fi e formel for F (x). x () Rotkriteriet gir f (x) = år. Vi får koverges v rekk x x f (x) år 1 1/x < 1 og diverges år 1 1/x > /x < 1 1 < (1 1/x) < 1 < 1/x < 0 x > 1/. Så rekk F (x) = f (x) kovergerer over (1/, ).

3 (b) Derivsjo v f (x) gir f (x) = 1 (1 1 x x ) 1. Vi k å skrive f (x) = 1 (1 1 x x ) 1. Derivsjo viser t (1 1/x) er voksede på (1/, ). Me d blir (1 1/x) 1 mooto på hvert v itervllee (1/, 1] og [1, ). Følgelig er f (x) mks( f (), f (b) ) over itervllet [, b]. Altertivt, derivsjo viser t f (x) er mooto over (1/, 1] og over [1, ). Me d blir f (x) mks( f (), f (b) ) over itervllet [, b]. D rekkee f () og f (b) begge er kovergete (geometriske rekker), får vi t rekk f (x) kovergerer uiformt over [, b]. (c) D f (x) kovergerer puktvis og f (x) kovergerer uiformt over [, b], får vi t vi k derivere summe v rekk, F (x), ved å derivere leddvis. Dvs. F (x) = f (x) = 1 x (1 1 ) 1 = 1 x 1 1 (1 1 x ) = 1 x. Vi får ved itegrsjo t F (x) = l(x) + C, der C er kostt over vilkårlig stort itervll [, b] (1/, ), og dermed over hele (1/, ). Setter vi x = 1, ser vi t C = 0, dvs. F (x) = l(x). OPPGAVE 3. Gitt e følge fuksjoer g (x) = (1 + x ) e x der = 1,, 3,.... () Vis t g (x) 1 puktvis over (, ) og uiformt over ethvert lukket og begreset itervll [, b]. (b) Bereg lim g (x) dx. Begru svret. () Vi vet t lim (1 + x ) = e x. Derv følger t lim g (x) = e x e x = e 0 = 1, så g (x) 1 puktvis. g (x) = (1 + x ) 1 e x (1 + x ) e x = ( x )(1 + x ) 1 e x, så g (x) 0 på [0, ), og g (x) 0 på [, 0]. (Merk t (1 + x/) > 0 > ( x).) Videre er g (0) = 1 for lle. Over et itervll [, b], får vi år > t 0 1 g (x) mks ( 1 g (), 1 g (b) ). Side vi hr puktvis koverges i og i b, får vi uiform koverges over [, b]. 3

4 (b) Side vi hr uiform koverges over [, b], k vi bytte om rekkefølge på grese og itegrsjo slik t vi får lim g (x) dx = ( lim g (x)) dx) = 1 dx = (b ). OPPGAVE 4. Defier f(x) = x l(x) for x > 0 og f(0) = 0. () Vis t lim x 0 + f(x) = 0. Begru t f er uiformt kotiuerlig på [0, 1]. (b) At g, h: [0, 1] R er to uiformt kotiuerlige fuksjoer. Vis t produktet p(x, y) = g(x)h(y): [0, 1] [0, 1] R er uiformt kotiuerlig. Begru t k(x, y) = yf(x) + xf(y) er uiformt kotiuerlig på [0, 1] [0, 1]. () Ved L Hopitls regel får vi l(x) lim f(x) = lim x 0 + x 0 + 1/x = lim 1/x x 0 + 1/x = lim x 0 +( x) = 0. Dette viser t f(x) er kotiuerlig over det lukkede og begresede itervllet [0, 1], og f(x) er dermed uiformt kotiuerlig. (b) At g(x) og h(y) begge er uiformt kotiuerlige over [0, 1]. L ɛ > 0. Det fies δ g > 0 og δ h > 0 slik t x < δ g g(x) g() < ɛ og b y < δ h h(b) h(y) < ɛ. L δ = mi(δ g, δ h ) og l M = sup x [0,1] g(x) og L = sup y [0,1] h(y). Hvis å (x, y) (, b) < δ, så får vi x < δ g og y b < δ h slik t g(x)h(y) g()h(b) h(y) g(x) g() + g() h(y) h(b) (Lɛ + Mɛ) = ɛ(l + M). Dette viser t g(x)h(y) er uiformt kotiuerlig. h(y) = y og g(x) = x er begge uiformt kotiuerlige. D blir yf(x) og xf(y) begge uiformt kotiuerlige, og følgelig er også summe k(x, y) = yf(x) + xf(y) uiformt kotiuerlig. OPPGAVE 5. Begru t x dx eksisterer. L b = 1 k +. Begru t (b ) er e koverget følge. 4

5 f(x) = 1 + x er kotiuerlig og derfor itegrerbr. Vi skl velge e følge v tggete prtisjoer hvis orm går mot 0. D følger t Riemsummee kovergerer mot verdie v itegrlet. L P = {0, 1/, /, 3/,..., /} og l c k = k/ over itervllet [0, 1]. Vi får Riemsum b = S(f, P ) = f(k/)(1/) = D P = 1/ 0 år, får vi t ( k ) = 1 k +. f(x) dx = lim S(f, P ). Åsvld Lim Erik Bedos 5