1 Mandag 1. mars 2010

Transkript

1 Mndg. mrs Fundmentlteoremet sier t integrsjon og derivsjon er motstte opersjoner. Vi hr de siste ukene sett hvordn vi på ulike måter kn derivere funksjoner i flere vrible. Nå er turen kommet til den motstte opersjonen, vi skl integrere funksjoner i flere vrible. Multippel integrsjon Multippel integrsjon over rektngler Multippel integrsjpon over generelle plne områder Arel/tyngdepunkt Vi skl begynne med å integrere funksjoner i to vrible over rektngler i plnet. Ved prtiell derivsjon deriverte vi mhp en vribel og betrktet lle ndre vrible som konstnter. Multippel integrsjon bserer seg på nøyktig smme prinsipp. Vi illustrerer dette med eksempler. Eksempel.. Vi skl regne ut integrlet v funksjonen fx, y) xy + over rektngelet : [, ] [, ] i x, y)-plnet. Når vi skriver xy + dx dy så mener vi xy + dx dy xy + dx) dy xy + dx dy xy + dx) dy [ x y + x] dy y + dy [ 4 y + y] ) Eksempel.. Vi kn regne ut det smme integrlet, men i motstt rekkefølge: xy + dx dy xy + dy) dx [ xy + y] dx x + x + ) dx [x]

2 et er ikke noen tilfeldighet t disse to integrlene er like. et er et generelt fktum. Teorem.3. En funksjon fx, y) er definert over et rektngel : [, b] [c, d] i plnet. hr vi f da d fx, y) dx) dy d c c fx, y) dy) dx Eksempel.4. Funksjonen fx, y) x sin y ye x er definert over rektngelet [, ] [, π ]. beregne integrlet f da. Vi skl π x sin y ye x dy) dx [ x cos y y e x ] π dx π 8 ex + x) dx [ π 8 ex + x ] π 8 e + + π 8 e π 8 e e) Eksempel.5. Vi skl regne ut volumet under grfen til fx, y) x + y over rektngelet [, ] [, ]. x + y dy) dx [x y + 3 y3 ] dx x + 3 x ) )) dx 3 [ 3 x3 + 3 x] ) 8 3 Vi skl se på dobbeltintegrlet over mer generelle områder enn rektngler, nemlig områder som ligger mellom to grfer. Vi begynner med de områdene vi kller type I. ette er områder gitt ved {x, y) x b, gx) y hx)} efinisjon.6. Vi definerer integrlet v funksjonen fx, y) over området, gitt over, til å være f da hx) gx) fx, y) dy)dx Eksempel.7. L være området gitt ved ulikhetene x og y x. dobbeltintegrlet xy dx dy Vi skl beregne

3 I dette eksemplet er gx) og hx) x. et gir xy dx dy x xy dy)dx [ xy ] x )dx x5 dx [ x6 ] 63 Områder integrler) v type II er vgrenset v kurver på formen x gy), ltså grfer der x-ksen og y-ksen hr byttet roller i forhold til type I. {x, y) c y d, gy) x hy)} Formelen for dobbeltintegrlet v en funksjon fx, y) over et slikt område er gitt ved fx, y) dx dy d hy) c gy) fx, y) dx)dy et er viktig å merke seg t i disse tilfellene er det ikke nødvendigvis mulig å bytte om på integrsjonsrekkefølgen, det kn vi kun gjøre dersom området både er v type I og v type II. Eksempel.8. Vi skl beregne dobbeltintegrlet y sin xy dx dy der er området mellom x y og x og der y [, ]. Vi regner ut y fx, y) dx dy y sin xy dx)dy [y y cos xy]y dy y cos y y dy [ sin y y ] sin Vi kn bruke dobbeltintegrsjon til å finne relet til et område i xy-plnet. et gjør vi ved å betrkte konstntfunksjonen fx, y) over det området vi skl finne relet v. et legemet vi d beregner volumet v vil være en sylindrisk boks med grunnflte lik området i xy-plnet og høyde, og relet får nøyktig smme verdi som volumet. Vi kn se på et eksempel. Eksempel.9. Vi skl finne relet v området i xy-plnet som ligger inni prbelen y x, under y og mellom x og x. Vi beregner dobbeltintegrlet A x dy dx [y] x dx x dx [x 3 x3 ] 3 ) 3 )3 )

4 Vi kn bruke en tilsvrende teknikk for å finne tyngdepunktet v et rel i plnet. Tyngdepunktet v et område i plnet er det punktet som ligger mest midt i området. et betyr t dersom vi kutter ut området på en ppplte og setter plten på toppen v en psserspiss, så vil plten blnsere dersom vi hr stt psserspissen i tyngdepunktet. Mn kn vise t vi finner koordintene til dette punktet, som vi kller x, y) ved formelene xa x dx dy ya y dx dy der A er relet v området. Eksempel.. Vi kn bruke disse formelene til å finne tyngdepunktet til en treknt med grunnlinje og høyde h. Vi legger de tre hjørnene i punktene, ),, ) og, h). Siden treknten stikker like mye ut på hver side v y-ksen vil et enkelt symmetrirgument gi t x. For å finne y-koordinten deler vi treknten i to og betrkter den delen som ligger i første kvdrnt. Vi ser t y-koordinten til tyngdepunktet er den smme for denne hlve treknten som for hele treknten. et betyr t området vi skl integrere over er gitt ved t x og y h h x. en siste ulikheten får vi fr uttrykket som gir likningen til hypotenusen i den hlve treknten, nemlig y h h x. Arelet v denne treknten vet vi er A h og formelen over gir oss y h h h x y dy dx [ y h ]h x dx h 4h x + 4h x dx [h x h x + 4h 3 x3 ] h h ) + 4h 3 )3 h + 6 ) h 6 eler vi ut får vi t y 3h som er y-koordinten til tyngdepunktet. Onsdg 3. mrs I denne forelesningen skl vi se på kurver i plnet og hvordn vi kn inegrere funksjoner som er definert over slike kurver. Når vi integrerer lngs x-ksen tenker vi på integrlet som en uendelig sum v relene til uendelig mnge uendelig smle rektngler med funksjonsverdien som høyde og bredde dx. Vi gjør det smme lngs en kurve, men nå ersttter vi dx med et uendelig lite segment ds lngs kurven. Integrlet blir i prinsippet det smme, men for å få det til kommer vi til å trenge inngående kunnskp om disse små segmnetene. Kurveintegrler Prmetriserte kurver ifferensiler på kurver, ds Generelle kurveintegrler Vi hr til nå beskrevet kurver på to forskjellige måter. en ene er som grfen til en funksjon y fx) x, og den ndre er som løsningene v en likning, x + y. isse to beskrivelsene gir oss deler v) en sirkel. En tredje måte å gjøre dette er ved å prmetrisere kurven. I vårt tilfelle setter vi eller x cos t, y sin t. rt) cos t, sin t) 4

5 efinisjon.. Funksjonen rt) ft), gt)) klles en prmetrisert kurve. Eksempel... Prmetriseringen rt) R cos t, R sin t) beskriver en sirkel med rdius R.. En prbel kn prmetriseres ved rt) t, t ). 3. Generelt kn vi prmetrisere grfen til en funksjon y fx) ved rt) t, ft)). 4. Prmetriseringen rt) t + t 4, t t 4 ) beskriver en lemniscte. Vi kn regne ut tngentvektoren til den prmetriserte kurven i et punkt ved å derivere de to definerende funksjonene; Tt) r t) f t), g t)) og normlvektoren Tt) r t) g t), f t)) Eksempel.3. Vi hr gitt en sirkel ved rt) R cos t, R sin t). et gir tngentvektor Tt) R sin t, R cos t) og normlvektor Nt) R cos t, R sin t). I dett tilfelle vil posisjonsvektoren rt) og normlvektoren Nt) peke i smme motstt) retning. Eksempel.4. Prblen kn beskrives ved rt) t, t ) og vi hr tngentvektor Tt), t) og normlvektor Nt) t, ). et er mulig å beregne buelengden til en prmetrisert kurve. Ved Pythgors teorem får vi t s) x) + y). Tr vi kvdrtroten og deler vi på t får vi s t x t ) + y t ) Når vi går til grensen t får vi s lim t t ds dt x t)) + y t)) som vi kn skrive ds x t)) + y t)) dt På smme måte som vi hr tolket dx som et uendelig lite linjestykke lngs med x-ksen, kn vi tolke ds som et uendelig lite linjestykke lngs med kurven. et betyr t vi kn regne ut lengden v kurven. 5

6 efinisjon.5. Buelengden B til kurven rt) ft), gt)) mellom t og t b er gitt ved integrlet B ds f t)) + g t)) dt Eksempel.6. Buelengden til kurven rt) R cos t, R sin t) mellom t og t π er gitt ved integrlet B π π π R sin t) + R cos t) dt R sin t + cos t dt R dt [R t] π πr Eksempel.7. Buelengden til kurven rt) t, 3 t 3 ) mellom t og t 3 er gitt ved integrlet 3 B ) t ) dt 3 + t dt 3 [ + t) 3 ] ) 4 3 Kombinerer vi det vi hr sgt om buelende med vår viten om integrler er vi nå i stnd til å definere mer generelle kurveintegrl. efinisjon.8. Kurveintegrlet v funksjonen fx, y) lngs med kurven rt) xt), yt)) mellom t og t b er gitt ved f ds fxt), yt)) x t)) + y t)) dt Eksempel.9. Vi skl beregne kurveintegrlet v funksjonen fx, y) y x lngs prbelen P, gitt ved rt) t, t ) mellom t og t 3. Merk t lngs denne kurven ser funksjonen ut som og integrlet blir P f ds frt)) ft, t ) t t t 3 3 fxt), yt)) ) + t) dt t + t dt ) 6 Eksempel.. Vi skl beregne kurveintegrlet v funksjonen fx, y) y lngs sirkelen C, gitt ved rt) R cost), R sin t) fr t til t π. Lngs denne kurven ser funksjonen ut som et gir integrl C f ds frt)) fr cost), R sin t) R sin t π π fxt), yt)) R sin t) + R cos t) dt R sin t dt R[ cos t] π 6

7 Integrlet i det siste eksemplet beregnes rundt en hel sirkel slik t de to endepunktene fktisk er smme punkt i plnet, r) rπ). Slike integrl hr et eget meget illustrerende) symbol, vi skriver f ds som betyr t vi integrerer lngs en lukket kurve C. 3 Onsdg. mrs C Oppgve 3.. Finn tyngdepunktet til området i xy-plnet som ligger mellom grfen til y x x på x-ksen. og Oppgve 3.. ) Finn relet til området i xy-plnet som ligger mellom grfene til fx) x og gx) x 3, og for x. b) Finn tyngdepunktet til området beskrevet i oppg. ). Oppgve 3.3. Regn ut buelengden v kurvene over de gitte intervllene. ) rt) t, t ), t b) rt) t 3, t 3 ), t Oppgve 3.4. Regn ut buelengden v kurvene over de gitte intervllene. ) rt) sin t, cos t), t π b) rt) t, t 3 ), t 5 7