STATISTICAL MEMOIRS. No. 4 August Institute of Mathematics University of Oslo. Noen grensesetninger i. sannsynlighetsregningen.

Transkript

1 STATISTICAL MEMOIRS Istitute of Mathematics Uiversity of Oslo No. 4 August 1968 Noe gresesetiger i sasylighetsregige. av Grete Usterud Festad.

2 INNHOLDSFORTEGNELSE l. Grese 1 sasylighet 2. Grese 1 fordelig Appediks A Appediks B s. l s. 12 s. 22 s. 25

3 - l ~ Noe gresesetiger i sasyl.ighets:regi~ 1. Grese i sasy~lighet. La vrere e f lge av stolrsticke variable. Det er fl.ere mater a defiere e grese for f lge, og vi skal f rst ta for ass Defii.sjo l. Hvis for chver s>o lim P( lz ~al<d >co s:i.er vi au {Z } har a som grese 1 sas~ghet ~!1 kovergerer mot a 1. sasylighet og vi skriver ell er at {Z } ->oo Z = a {Z } har 11 Hvis Z so. gwes::: i z Z er e stokastisk variabel og sasylighet og skriver = z _)«I (Z ~ z) =:, sj_er vi at La oss se pa oe eksei!!.pler pa f lger av stokastiske variable som kovergerer i sasylighet. Tsjebysjeff's ulikhet (Sverdrup I, s. 6 og s.115) ka ofte brukes t il a bevise koverges i sasy;:llighet Eksempel 1. (Tsjebysjeff's lov om de store tall) x 1 ~ x 2, er uavhegige oed samm.e forvetig?. og varias rr., Sett z ::: : l~~ -;: x. = x i=l i da er if lge Tsjebysjeff's ulikhet Det f lger at lir ->oo P(!Z ~l<s) = 1, dvs. x

4 Eksempel 2 La frihetsgrader. Sett z x =- og vi far ved Tsjebysjeff's ulikhet at z = 1 Eksemel 3 La {c } v-cere e f lge av reelle tall med lim c = c ~--"'--- - Vi skal vj se at lr.ris Z = Z er lim c Z = cz : ~ er side le Z -czl<lc l IZ -Zl+lc ~cl!zl - " P( ~ ~ -czf>e)< P(!c J jz -Zl+ic -c!!zl>e) Sett Da har vi c ;:::: A,'1 13 ell er CC A CB og vid~re P(C) < P(A U B) < P(A) + P(B) Samm.e med ulikhete ovefor gir dette P(!c Z -czl>e)< P(!c l IZ -Zj>E.) +P(jc -cl IZ!~) La M vc:ere slik at le I< M for alle - da f2ir vi P(!c! IZ -ZI> )< P(M IZ -Zj>~) -> o >ro

5 - 3 - side lim Z = Z ~ side Z er e stokastisk variabel, det vil si P( I Z I <. ) = 1 Vi har a vist det vi skulle, emlig at P(lc Z -czl>e) -> o -,-> oo Som et spesialtilfelle far vi at cz = cz hvis z = z. La oss avede dette pa et ytt eksempel, Eks.empel 4. vrere uavhegige og idetisk fordelte N(~,cr) Da er z (? = L (X.-X )2 j=l J a Xz-f'.ordelt med -1 frihetsgrader. If lge Eksempel 2 er oz (se Eksempel 3) z (-l)cr2 = l eller ved a multiplisere med kostate z -:. = cr2 Vi har ogsa at ved a avede Eksempel z - 3 = cr2 med c = - -1

6 - 4 - Altsa er bade z z :.1 og kosistete estimatorer for cr~ Eksempel 1 ka geeraliseres til Setig 1 (Tsjebysjeff) La x 1 t x 2, vrere uavhegige stokastiske variable slik at EX = ~ og var X._ = Ill. (J 2 =l,2, eksisterer, og slik at ar Da er r!. 1 5 X. l i=l I: t;. I = o i=l 1 j 1 i 1 Pt--~X. 'll ~ ]. i=l Bevis. l.._... ~~l - - y:- Ariveder Tsjebyfijeff's I L:cr. 2 UT i=l 1 ~. i<e:)> ]. - e: L~gg m~rke t~l at det ikke forutsettes at 1 ::i..=. 1 ulikhet pa - ) x. + l ar -> q.e~d. i 1 ~ f;i har oe grese ar ->co ' me hvis grese eksisterer' gjelder ::i..=l!j~~l~e~ La f orutsetigee vrere som i Setig 1 og at lim ->Oil} l L t:. i=l 1 I:' -..,, ' da er i L:. x. i=l i = I:..,,. Bevis. Sett og 1 x = - ~ ±;r x.. l Til ehver e:>o fies det e N slik at hvis > N er l~-t;1< 2e: For e: - e:: >N - e: gjelder PC Ix -l;l<e:)>p( Ix-~ l+i~ -~J<e:) = > p( IX - ~ I<!:.. ) + l ar + - t : 2 q.e.d.

7 - 5 - F lgede lemma ka yttes i forbidelse med Koroll~r Lemma Hvis lim E; =E;, ->co omvedte gjelder ikke alltid. sa er lim ->OO 1 - L E;. ;:; E; Det i::l 1 er IE; -~I< e: - La a >N e: Bevis. Til ehver e:>o fies e N slik at bare >N e: e: 1 ri 1 l~ 2:: E;. -E; I= I - C (E;.-o! <- -.L... I E;i. -s I i=l 1 i=l 1 - i=l N 1 e: 1 = - I:: I E;.-E;l+I- L:!E;.-E; I i=l 1 i=n +l 1. e: N l e: < ~ L: I E;. -s I - i=l i -N + e: < e: + e: = 2e: bare er tilstrekkelig stor. At det omvedte ikk.e alltid gjelder, sees av f lgede moteksempel E; = (-l) = 1, 2, Dee f lge har ige grese, - me ' - 1 2m.2m 2m. 1 i= ; = - I: ~ t" =. og 1 2iii+l slik at lim ~ =.->oo Hvis vii Setig 1 q.e.d. forlager at alle x 1, x 2, er idetisk fordelte, ka vi s1 yfe kravet om at variase skal eksistere. Setig 2. (Khitchi) Hvis x 1, x 2, er uavhegige og idetisk fordelte med forvetig E;, er

8 - 6 - X = ~ Dee setige vil ikke bli bevist her. Hvis lesere er kjut med ka.ra.kteristiske fuksjoer, fier ha et ekelt bevis for Setig 2 i f.eks. S.S~lilks :Mathematical Statistics s. 254, ellers ka setige bevises ved elemetrere metoder som i W. Feller : A Itroductio to Probability Theory ad its Applicatios s Eksempel 5, ~, x 2, er uavhegige og idetisk fordelte. Hvis r-te ordes momet eksisterer, sett ;\ = E(X -cl r l 1 L () ~ - ~ (X.-c)r r :i.= Ved a avede setig 2 (eller Eksempel 1 hvis =l,2,... far vi. r ;\~ eksisterer)pa (X -c), ~r L {) r = ;\ r Speeielt gjelder for ; 1) c = o at Pim 1. - l ~ L- X. r - i=l 1 = EX r, og l 2) c = EX = ~ 1 at Setig 3. fuksjo av e variabel og { Slutsk~r) g(x )?lim X = g(x) mris = x g, sa er er e reell kotiuerlig Bevis. Side g er kotiuerlig, er g uiformt kotiuerlig

9 - 7 - i ethvert lukket og begreset itervall, [ -M, +M _] Det vil si at hvis XE L -M' +M J og x E [ -M' +M J sa vil det til ehver E: > firuaes e o > o slik at E Ix -xi < o ~> lg(x ) -e(x)[ < e: E: Dette er ekvivalet ed hvis ls<x )-g(x)i > e:, mu ete Ix -xi >o - -E eller x 4 [ -M,+M J eller x 4 [ -M,+M J Vi f r derfor Lar f rst ->oo lim sup P(jg(X)-g(X) j>e) ~ lim sup P(!X-XI~ oe) + P(!xi > M) + lim sup P(jx I >M) ~ P(!Xl>M) + P(IXI> ~) (se Appediks A, setig 2(ii) og Setig 1), side medf rer at lim P(jx I > M)< P( jxj > M ),... 2

10 - 8 - Ulikhete gjelder for alle M > o, vi ka derfor la M ->oo < lim sup P( le<x ) -g{x) I >e:) < lim P(!xi > M) + lim P(!xi > M) = - M ->oo M ->co 2 Altsa eksisterer lim ll ->OO P(jg(X ) -g(x)_i >e:) - - og er lik o. q.e.d. Setig 3 ka geeraliseres til at g er e reell kotiuerlig fuksjo av flere variable. Beviset gar som for e variabel. k variable, og Set1. g 3* Hv1 s g er e reell kot1uerl1g fuksjo av x(j) = x(j) sa er...,x ) = ' j = 1,2,, k g(x(l) (k) (1) (k)) g(x,,x ' Legg merke til at det ikke er sagt oe om at x(l),,x(k) skal vrere stokastisk uavhegige. (X Eksempel 6. +Y ) = X + Y Hvis X = X og Y - - og X y = X Y = Y, er X 2 = x2 ' Eksempel 7. La x 1,x 2,, vrere uavhegige og idetisk fordelte med forvetig ~. Sett Vi skal vise at µr = E(Xl - ~)r M () = 1 \ (X.-X )r r i=l i M () r = Dette f lger lett av Eksempel 5 og Setig 3*,hvis vi skriver M ()~pa e r

11 ae mate : 1-1~ k ""'- i=l (X. ]. -F).,, 1 ' i=l = - ) M () = pli~ r - L (x -s) 1..E._ k. 1 i=... Spesiel t for r = 2 far vi. l ~ ( -,z : - L. X. -X; = i=f 1 var JS.., Eksempel 8. Ata at (X 1,Y 1 ),(X 29 Y 2 )~ er uavhegige og idetisk fordelte og at EX1, EY1,EX 1 2,EX1 Y 1 ~ EI2 eksisterer :::: a blir o~e brukt som estimator for cov(x 1,Y 1 )

12 - 1 - Vi ser at R er e kotiuerlig fuksjo av a, b,c I Eksempel 7 fat vi at b = var ~ c = var v "'"1. og a = r 1. I -1 i I -LX.Y. l i ved avedelse av Setig 2. Setig 3* gir a a cov (~, yl) R = = y b c) \j ve.r x 1 o V[.tr Y~ = p Av at z = a er det fristede a trekke de slutig at hvis EZ eksisterer ma lim EZ = a. At dette ikke er riktig ser vi av f lgede moteksempel : {a } er e f lge av positive reelle tall med lim a = a, og sasylighetsfordelige for Z er gitt ved P(Z = a ) 1 = - P(Z = o) = 1 l- Vi fier at lim EZ = lim a = a Hvis f lge for alle, {a. } er slik at o vil for alle E, < a e:"<c, > c >

13 - 11 ~ P(!Z j<e) :::: P(Z de:b vil s i at = o) = l -! -> 1 ->co plir z = L.m Hvis a = f&r VJ. = "' i og hvis lir. EZ :::: 1, 'Ues z = 1. J; begge tilfelle Vi har imidlertid f lgede Hvis li:1 Z ~ 11 P(jz l<a) =l for alle, er - EZ = a og lim EZ = a,., '"" = 1 far Vl Bevis. At a at Z er absolutt kotiuerlig fordelt med sasylighets tetthet f (beviset gar pa tilsvarede mate hvis z er diskret fordelt). jez -a! = (,,.. \ (z-a) f(z)dz!.::_ \ 1z-3.lf 11 (z)dz.._,.' 1 1' r- i ::: \lz-al rz-al <E f (z)dz,r + J lz~-a!f(z)dz!z-al>e < E P(jz -al< E) + (A +lal) P ( IZ -al>e) - Vi ser at bare er stor ok ka vi fa h yre side < 2 E q.e.d. Eksempel 9. X.,X,, ~..!. '- er uavhegige og idetisk fordelte med P(X. = 1) = p J P(X. = o) = l~p J Da er (Eksempel 1) x p Hvis g er e reell kotiuerlig fuksjo a [ o,1 J, er

14 ~ 12 - plir g(x ) = g(p) (Setig 3) og P(!g(X )I< A)= l - hvis A - sup!g(p)i ri Setig 4 gir da &:, lim ~ j" 'O ( lim E g,x - ) ~ti) B\ (~ ),) - =, ) g\p l ~ ell er pj(l~p)-j :::: g(p) Det ka. vises at grese er uiform i p ; dette kalles Weierstrass' apprksimerigssats. 2. Grese i fordelig. Vi skal 3, se pa e ae type koverges av e f 1ge {Z } av stoko.stiske vari::,le. Sasylir~hctsfordeli,r,;e til e stokastisk variabel X beteger vi med FX. Defiisjo 2. Hvis lir ->ro "fi' ( \ -z x) for alle kotiuitetspukt til Fr.~ sier vi at {Z } kovergerer mot Z '(, l1 i fordelig.f~ kalles f lges grese-fordelig. LJ Deter to tig a legge merke til i dee defiisjoe :Ii) vi forlager at FZ skal kovergere ot e sasylighetsfordeligs(ii) me bare for de pukter hvor F' er kotiu2rlig. z Hvis Z er rektagulrert fordelt [ o ~ J s er 1 x < :x I =-:- i ' o < x <

15 og lim F 17 (x) = o for - < x < co "-' me dette er ige sasylighetsfordelig. Det er slike tilfelle (i) utelukker. Pa. de ae side sker vi heller ikke 2. vczre for strege i skulle kovergere 17 '7 for alle x, ville ikke f lge "-'1 >"-'2 hvor z er ormalfordelt ~ vare krav til koverges. Hvis Vl had de forlagt at F '7 LJ (o,cr )~=l,2, og lim o = o komrergere i fordelig. Vi far emlig r i 1 hvis x > i I x 1 (x) :::: Fz G(- )-> ~ hvis x = O"i1 I 2 I l I hvis x < me fuksjoe pa h yre side er ige sasylighetsfordelig, fordi de ikke er kotiuerlig fra h yre i x = o (se E.Sverdrup, I, s.91) Derimot er \ 1 hvis x > o F(x) = ~ L o hvis x < o e sasylighetsfordelig og lim F 2 (x) = F(x) for alle kotiuitetspukt til (F er sasylighetsfordelige til e sikker variabel P(Z=o) = 1) F. Setig 5. Hvis f lge zl~ z2, kovergerer i sasylighet mot z, sa kovergerer f lge ogsa i fordelig mot z. Bevis. Vi ma vise to tig : (i) lim kotiuitetspukt for F 2 ~ og (. ~ ) l.j.., lim Fz (x) La x vrere et kotiuitetspukt for F (x) eksisterer i alle z., = F. z F' ( ' '7 XI LJ

16 - 14-1) x < x = P(Z < x' (! Z < x ) + P(Z < x." - o - < P(Z < x) + P(!Z _zl> x ~x') ID. - I z > x ) o F z (x) + P(lz -ZI> x -x 1 ) o o Tar sa lim if pa bcgge sider I I l.;.,,, I ( ).w.u if ) Fz x + P(IZ-Zl>x-x 1 )! o _J ' < lim if F.., (x) '-' + lim sup P( l z -Z I> x -x! ) o = lim if F~ (x ) L.J 2) x 11 > x l-fz(x 11 )= P(Z>x 11 ) = P( z > x, 1 z > x ) + PCz > x 1 1 z < x ) o - o < pfz > x) + P(lz -z 1~ > x''-x) ' o o dvs. H' (--'') > ~ z.a Z o Tar sa lim sup pa begge sider o F (x ) - P( I Z -Z I> x' 1 -x ) F (x 11 ) > z lim sup Jl lim P(!z -Zl>x 11 -x) o = lim sup Tilsa..mme gir 1) og 2) < lim if < ~...1.:Lm sup wz ( x ) < F (x") z

17 Side Fz er kotiuerlig i x, far ka vi la x' t x og x I I + x og V1 Fz(x ) = lim if Fz (x ) = lim sup FZ (x ) Det vil si at eksisterer og er lik FZ(x ) q.e.d. F lge.1de eksempel viser at omvedige av Setig 5 ilae gjelder : La Z, z 1, z 2,.. vrere uavhegige og idetisk ormalfordelte (o,l) Det er klart at z 1, z 2, kovergerer mot Z i fordelig, me P(IZ -Zl<e:) -- G{ E ) - G ( 12"1 - _ ) 12' slik at lim P( I z -Z I <E ) < 1 Hvis z er e sikker variabel, P(Z = a) = 1, beteger vi sa...~sylighetsfordelige for F (x) a I dette spesielle tilf elle Z med F, dvs. a \ l hvis x > a =..( l I ' hvis x <a \_ $jelder Setig 6. F lge z 1, z 2,.. kovergerer mot a 1 sasylighet hvis og bare hvis f lge kovergerer mot a i fordelig. Bevis. Pa gru av Setig 5 beh ver vi bare vise at hvis lim Fz (x) = F (x) a for alle x +a sa er Z = a P(jz -al<e:) > P(jz -al< )_> P{a. - < z <a+ - = = Fz (a + ~) F (a - ) ---> l - o = l z 2 q.e.d. ''.

18 ka kombieres. Vi skal se oe eksempler pa hvorda Setig 3~ cg Setig 5 sa er Eksempel lo. Hvis X = X: og y - Y, lira Fx +Y = og lim rl Hvis spesielt Y er e sikker variabel 1) y = lim FX +Y = -x ti' 2) y = 1 lim FX = FX oy Setig 7. (Cramer) La x 1 x 2,.. og Y 1, Y 2,... vrere to f 1ger av stokastiske variable. Hvis (X-Y) = og ~,x2,. kovergerer i fordelig~ sa kovergerer Y 1,Y 2, i fordelig og grese-fordelige for {Y } er lik grese-fordelige for {X }. Bevis. Sett Z = X -Y,=l,2~ ~ og la F vrere grese La y vrere et kotiuitetspukt for F 1) La y 1 > y vrere et kotiuitetspukt for F = P(Y < y ) - o = P(X < y + Z ) - o = P(X < y + Z () Z < y' - y ) + P(X < y + Z () Z > y'- y ) -o o -o - o < P(X < y') + P(Z > y'- y) o Tar lim sup pa begge sider < lim sup FX (y') + lim suu P(Z > y 1 -y ) = F(y') - - o 2) La y''< y were et kotiuitetspukt for F

19 l ~ FY (y ) ~ P(X > y + Z ) _ o o :::: P(X > y + Z r' Z < - (y -y 1 {))+ P(X >y +Z r~ Z > -(y -y 11 )) o 1 - o o 1 o < P(Z < -(y =Y'')) + P(X > y'') - - o dvs. F (y) > - P(Z < - (v ~1r 11 )) + F-,v- (y 11 ) Y o - ~o.j 11. Tar li~ if pa begge sider lim if Fv (y ) > - lim sup P(Z < - (y -y 11 )) + lim if. - o Tilsa.mme gir 1) og 2) Fx (y,,) ~- F(y,,) F(y") < li:ru. if FY (y ).::_ lim sup FY (y ) < - F(y I ) I Ap:pediks B blir det vist at e sasylighetsfordelig ka ha h yst et tellbart atall diskotiuitetspukt. Altsa fies det f lger av kotiuitetspukt for F {.,,. 1 ' } og {y ' } slik at ' " ' og y' ~ y og vi far at lim FY (y ) eksistere.r og er lik F(y ). q.e.d. Ek.sempel 11. x 1 ~ x 2, er uavhegige og idet i sk. ormalfordel t e ( i;,1 ) Vi vet a priori at i; > o, og skal fie e estimator for.;., ~ :::: x "' komme til a estimere.; er e forvetigsrett estimator og pl~ ~ = ~~ - me de ka uheldig, og i stedet foreslaes estim.atcre som er posit.iv med et egativt tall. Dette asees som

20 r;* I = -; i I l - ( - hvis x ' :x > hvis x - t_ < Vi if rer fuksjoe g defiert ved hvis u > o g(u) = hvis u < o g er opplagt kotiuerlig. If lge Setig 3 er da s~ = g (x )= g(s) = s side s > ' slik at ogsa s* er kosistet Selv om s og ikke forvetigsrett fordelige. s* har forskjellige egeskaper for edelige f. eks. ), sa skal vi vise at de har samme grese-fordeliger' A Vi vet at.f""i (s - s) er N(o,l),og dette er altsa ogsa grese Hvis vi ka vise at f lger av Setig 7 at ogsa vi er fremme. /Il (s* - s) har gresefordelige N(o,l) og Vi if rer e y stokastisk variabel I I = -< \ (1 hvis x > I hvis x < I ' ved Side er "' I (1-I ) s

21 E fi~er for E < l P(I =l) 1 8.r ->co slik at. :J ~c...c pli:m r (l~i } = If lge Setig...-*..P~- e a.t. rr; (1-I ) 6 A ~ = l; - F lgede t.o aet;iger er ofte yttige for avedelse av Setie 7: Y = o, er Setig 8. Hvis {X } kovergerer mot X i fordelig og hvis x G y O": Bevis. P( IX y I> ) = :u - P( Ix Y I> - Ix I > M) < P (! Y I > ) + P ( I x I >M) - -M La -+ co :lim :;KO deretter M-+ oo P( IX y l>d < P(!XI> M), - - lim P(jX Y j>e) = o - -+oo q.e.d. Legg merke til at vi 1 Setig 8 ikke ka erstatte Y = o med Y = a. Vi har f.eks. at f lge idetisk fordelte N(o,l) kovergerer i Y = a, fordelig, og at f lge = 1,2, kovergerer i sasylighet, me f lge (X Y } kovergerer ikke i sasyligheto {y } b:vor Setig 9. (Scheffe) La {X } vrere e f lge av stokastiske variable hvor X har sasylighetstetthet f Hvis lim f (x) = f(x) for(este) alle x og hvis ogsa f er e sasylighetstetthff~, sa er

22 - 2o - lim x f - co f (t )dt x f - f( t )dt dvs. f at {X } kovergerer i fordelig mot e stokastisk variabel X som har som sasylighetstetthet. Bevis for dee setige fi".les f.eks. i C.R.Rao: Liear Statistical Iferece ad Its Applicatios, s. lo~ - lo5. _:sempe EE La x 1,x 2 ~ vrere uavhegige og idetisk fordelte N(o~l) Da er T x / Studetfordelt med - l frib.etsg-rader o Vi har tidligere (Eksempel 2) vist at z -1 = l ved Setig 3 far vi at (, 1i:l..:i:\,. ~-z- - lj ::: X I er N( o ~l) 9 og det f lger at X /ri" kovergerer i fordelig mot e stokastisk variabel X med sasylighetsfordelig G (de kumulative ormalfordelig (o,l)) If lge Setis 8 er (T X I) = -1 -z- - i) x r = o og ved Setig 7 far vi at T og X I har samme gresefordelig s dvs. lim P(T < t) = - lim ~ ( t) ::: G(t)

23 Eksempel 13. (Se E. Sverdrup I~s.148) ~,x 2, er uavhegige og idetisk fordelte stokastiske variable med sasylighetstetthet f og sa..."lsylighetsfordelig F. La ]J vrere mediae i fordelige, og Y mediae for (X 1,,X) Vi skal vise at ( y - µ ) 2 I +2 f ( µ ) har gresefordelig N(o,1) Vi lar = 2:m + 1, OB fier at Z = F(Y ) har sasylighetstetthet r (2r1 + 1)! m z{l-z) I ~ '- -' < z < 1 1 Sid e EZ = 2 og var Z = 1 4(+2'") gir Tsjebysjeff 1 s ulikhet z = ~ F ekel trasform.asjo av stokastisk variabel medf rer at W = (Z - ~) 2l+2 har sasylighetstetthet k (w) (2m +l)! m! m! 1 212m+3 (1 - )m,-:) T..J Ved bruk av Stirlig's form el f8.r e 1 lim k (w) = -- -;.co r;_~c: f, w2 e -2 W har altsa erese-fordelig N(o,l) (Setig 9) Na er,.l ' z, > a.,.,,-1(, ) I T -2,~-L4 z z* ' dz z = hvor (Z - ~)

24 Si de I'"'* l.j - ~I < lz - ~I -, far vi e:) > p(!z - ;1 < E) ' - -+oo dvs.. * 1 Z = 2 Videre er y :::: µ + l = ~----- f(f"~1(z)} Vi ser pa og dermed (Y - µ) 2/ii+2 1 f'(µ) - w Si de 1 og W har e gresefordelig f lger av Setig 8 at pl?fi ( y µ ) 2&2' f ( jj ) - w :::: og der1ed av Setig 7 at (Y - µ)2/+2 1 f(µ) har samme gresefordelig som W, emlig N(o,l) A;ppediks A. La {a } v"cere e f lge av reelle tall. Det er kj et at f lge kovergerer mot a (!al < ) hvis det til e~hver e: > o fiues et tall N e: slik at > N - e: impliserer la - al < E:, og vi skriver lim a = a Me lim a eksisterer ikke for alle tallf lger. Det er derfor hesiktsmessig a if re to ye gresebegrep~ l~sup a og lillhif a, som if lge defiisjoe edefor alltid vil eksistere. Defiisjo liffi:sup a 11 = A hvis fra et visst 1) alle a er < A+e: ~ og N E av

25 - 23 ~ 2) uede.lig mage Hvis 1) ikke er oppfylt settes lim sup :J. = +co Hvis 1), me ikke 2) er oppfylt settes lim sup a -- -oo., - a er lim if a - - lim sup (~a ) N E av Det er J.ett a S'.; at hvis lim if a :;:: B ~I BI< ' vil fra et vis st --') 4) alle a vrere > B-E, og uedelig mage a vrere < B+t: Forholdet mellom lim ~ lim sup og lim if er gitt ved lim if a I dette tilfelle er {a } kovergerer hvis og bare hvis lim sup a og er like og edelige lim s, = lim sup a = lim if a Bevis Ata at lim a = a. Da vil, bare... er st or ok, a + E < a < a - Me if lge defiisjoe av l:itj. sup og lim if lim sup a ::: a = lim if a ma Ata sa at lim sup a ::: lim if a defiisjoe av lim sup vil, bare 1) alle a < a + E = a er stor o.::t~ og la! < co If lge og if lge defiisjoe av lim if vil, bare er stor ok ' det vil 3) al le a > a - si at fra et visst E N e: ' av er altsa a - E < a < a + E lim a = a q.e.d.

26 ( i) lim if a < lim sup a - I \ :... ) lim if a + lim if b < lim if (a+ b ) < lieu if a + - lim sup b < lim sup(a +b) < lim sup a + lim sup b (iii) Evis sa er lim if a < lim if b orr lim su a < lim su b -,_, ~ - "" Ata a,t A < B. Bevis. ( i) Sett B = lim if a Bare er stor ok er og A = lim sup a alle a < A + E og 11 alle a > B - E me dette er umulig hvis f.eks. s B-A = 3 > o. (Teg figur!) Altsa ma sarme mate. at A + B (ii) Vi beviser de f rste ulikhete~ beviset for de ad.re gar pa A > B Sett A = lim if a s B = lim if b og c = lim if (a +b )..At a > c. Vi ka velge E: = (A+B)-C -4- og vet at bare er st or ok er det vil si at alle alle a > A - e: b > B - e: or; alle a + b > A + Cl - 2e:. SamtidiG skal uedelig mage a+ b < C - e::, me dette er umulig(teg figur! ).Altsa ma A+B < C, (iii) Sett lim ilf b = A og lict if b =Bo Ata at A>B og velg A - B = Vi vet at bare er stor ok er 3 alle b < B+E: og

27 for alle mate. uedelig mage a > A - E: 11 Be dette er 1JID.ulig side a < b -. Altsa ma. A < B. De adre ulikhete bevises pa tilsvarede q.e.d. AE."eeaj._ks I?.:._ Vi skal her vide E sa~s~plighetsfordelig F har h yst e~tell~art atall ~c::1t i~,ui tet sp2:!lt!.:_ Bevis. La D = { x!f(x) - F(x-) > 1 }, = 1)2,, 11 1 dvs. at D er megde av a:le diskotiuitetspukt sor har sprag > - - Det er klart at atall elemeter i D h yst er lik, side F( +oo) - F(-co):::l. Yidere er D"' D U :> l megde av alle diskotiuitetspukt for F, sor altsa h yst bar et tellbart atall elemeter. g_.e.d. GUF/elr Aug.1968.