Metoder for politiske meningsmålinger

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "Metoder for politiske meningsmålinger"

Transkript

1 Metoder for politiske meigsmåliger AV FORSKER IB THOMSE STATISTISK SETRALBYRÅ Beregigsmetodee som brukes i de forskjellige politiske meigsmåliger har vært gjestad for mye diskusjo i dagspresse det siste året. Lite er derimot gjort for å forsøke å kvatsere forskjellee mellom de ulike metoder. edefor er det vist hvorda e ved hjelp av ekle begreper fra teorie for statistiske utvalg er i stad til å tallfeste forskjellee mellom to meget avedte beregigsmetoder, så år oe persoer i utvalget «glemmer» hva de stemte på ved siste valg. Edelig er det foreslått e y estimerigsmetode, som adskiller seg vesetlig fra de metoder som til å er foreslått. Dee metodes teoretiske egeskaper syes å være så gode at metode fortjeer å bli forsøkt brukt i praksis. 1. Iledig. De beregigsmetoder eller estimerigsmetoder, som brukes i forbidelse med de politiske meigsmåliger, har fått stor oppmerksomhet i dagspresse det siste halve året. Lite er imidlertid gjort for å forsøke å kvatifisere forskjelle mellom de forskjellige estimerigsmetoder. Vi skal her ved hjelp av ekle resultater fra teorie for statistiske utvalg beskrive forskjellee mellom de forskjellige metoder på e måte som vil sette e i bedre stad til å velge mellom dem. Som e ka vete, gir et slikt studie ikke grulag for å gi ekle svar på spørsmålet om hvilke metode e bør bruke i e bestemt situasjo, me det er mulig å kartlegge hvilke typer kuskaper e må ha for å kue foreta et foruftig valg av beregigsmetode. Et slikt valg bør foretas på bakgru av erfarig med politiske meigsmåliger kombiert med teoretisk isikt. I tillegg til å vurdere to meget brukte estimerigsmetoder, skal vi foreslå e y metode gi e teoretisk vurderig av dee. Resultatet av dee vurderige er så positivt at metode burde være verdt å forsøke i praksis. Alle utrediger er gjort uder forutsetig at det Ib Thomse tok cad.real.-eksame i 1968 med statistikk hovedfag. Asatt i Statistisk Setralbyrå fra Ha har arbeidet ved forskjellige avdeliger i Byrået, er å leder av e gruppe som arbeider med metodeproblemer i forbidelse med produksjo av offisiell statistikk. Sosialokoome r bare er to partier som stiller liste ved valget. Dette betyr itet for resultatee, me gjør utredigee vesetlig eklere. Vi skal gjøre e rekke forekliger forutsetiger for å kue gjeomføre e teoretisk vurderig av beregigsmetodee. De viktigste forutsetiger er behadlet kort i avsitt 6, dreier seg i særlig grad om de forutsetiger som er gjort om de avedte isamligsmetoder. Uder hele utredige er det gjort to forekliger. For det første teker vi oss at vi estimerer det relative atall velgere for ett parti av gage. For det adre estimerer vi adele av samtlige stemmeberettigede, som vil stemme på et bestemt parti ikke som valig adele av avgitte stemmer som tilfaller et bestemt parti. Begge disse forekliger er gjort for å gjøre framstillige eklest mulig, har lite iflytelse på koklusjoee. 2. oe defiisjoer. Som valig ie teorie for statistiske utvalg, skal vi teke oss e edelig populasjo av persoer; i dee forbidelse består populasjoe av alle ordme med stemmerett. Da vi estimerer for ett ett parti av gage, vil e stemmeberettiget perso ete stemme på et bestemt parti, eller ha/hu vil ikke stemme på dette partiet, i det følgede kalt «partiet». Til hver stemmeberettiget perso kyttes to biære variable. 3

2 1 hvis perso r. i stemte på «partiet» ved xi = siste valg, 0 ellers. 1 hvis perso r. i vil stemme på «partiet» Yj = ved este valg, 0 ellers. Som tidligere evt skal vi teke oss at vi øsker å estimere adele av persoer som vil stemme på «partiet» ved este valg. Dee størrelse ka skrives som Py = 2' Yi, i = 1 hvor er atall persoer med stemmerett. For å aslåpy trekkes et ekelt tilfeldig utvalg av persoer. (I praksis er det meget sjeldet at e trekker slike utvalg. Hvis utvalgee er selvejede,') er det ige gru til å tro at de sammelikiger vi øsker å gjøre vil bli vesetlig forstyrret av at utvalgee i praksis ikke er ekle tilfeldige utvalg.) De uttruke persoer blir spurt om hvilket parti de stemte på ved siste valg, samt hvilket de teker å stemme på ved este valg. Foreløpig atas at alle persoer gir riktige opplysiger. Resultatee i utvalget skal vi betege med xi yi, hvor xi yi har samme betydig som de tilsvarede store bokstaver ovefor. Følgede to estimatorer er i valig bruk: i Y = yi, i=l A YR i=1 i 2' Xi, = dvs. adele av persoer i utvalget som vil stemme på «partiet» ved este valg. dvs. et veiet gjeomsitt, feilaktig omtalt som et korrigert gjeomsitt. Estimatore er ie utvalgsteorie kalt e rateestimator Sverdrup (1964). De viktigste forskjell mellom de to beregigsmetoder er at e i PR bruker opplysiger fra siste valg, mes e ikke gjør det i P. år e ie de teoretiske statistikke skal sammelike to estimatorer, bruker e ofte å se på deres forvetig, varias bruttovarias. I este avsitt skal vi sammelike bruttovariasee til 2- YR både i tilfelle hvor alle opplysiger er riktig, år det forekommer at persoer «glemmer» hva de stemte på sist. år det ikke er overestemmelse mellom hva e perso sier, hva ha/hu faktisk gjorde, skal vi i dee sammeheg si at det skyldes glemsel, uasett årsake til forskjelle mellom faktisk rapport adferd. Av hesy til seere sammelikiger mellom Y YR, skal vi defiere eda to parametre: 2' Yi i = 1 Pui = EX i=i dvs. adele av de persoer som sist stemte på «partiet», som vil stemme på «partiet» ved este valg. Yi (I Xi) i=i Poi =, dvs. adele av de persoer som sist ikke stemte på 2' (1 Xi) <Tartiet», me som vil gjøre i =l det ved este valg. Vi har følgede sammeheg mellom de defierte parametre: py = Pui + Poi (1 ), hvor = (11) I avsitt 4 skal vi foreslå e y estimerigsmetode, som er ispirert av dee sammehege, som tidligere er behadlet i Thomse (1977) i e multiomisk situasjo. A A 3. Sammelikig mellom Y YR. Det ka vises at fr har forvetiger SOM begge er lik, eller tilærmet lik py, år alle opplysiger er riktige. Se f.eks. Sverdrup (1964), Bid I, kap. XI. år det gjelder variasee til de to estimatoree, ka det derimot være stor forskjell. Følgede tilærmiger til variasee følger av formlee (16) (40) i Sverdrup (1964), Bid I, kap. XI: var( í) Py (/ py) I (3.1) var (YR) {Py (1 Py) + PY 2 ( ) (Pui PO}, py 2 ( 1 Pi) 1) Et utvalg er selvveiede dersom alle stemmeberettigede har samme sasylighet for A komme med i utvalget. {py lpx + i 2 Pul }. 4Sosialøkoome r

3 A IS La oss defiere effisiese av Y m.h.p. YR ved var PR e(f,f7r) -. Ved A sette i (3.1) (3.3) i dette var uttrykket får vi følgede tilærmelse for effisiese: A A e(y, YR) Py /311 o ellers. La dessute Py E Yi X1 i =1 - + Poi pxpb = - Pii - Poi (1 - ) I praksis har det vist seg at folk ofte ikke husker hva de stemte på ved siste valg. For A sammelike de to estimerigsmetoder uder slike forhold, skal vi ifore følgede parametre: 1 dersom perso i påstår A ha stemt på = «partiet» ved siste valg, Tabell 1. Tilærmet effisies for estimatoref m.h.p. estimatore f'r år adele stemmeberettigede som stemte «partiet» ved forrige valg, ' er 30 proset. Poi Pui _ E Yi (1 - X") i = 1 (1 - XI) i = 1 Estimatore blir å E Yi 17? =. Ex: Det ka vises at h ikke ødvedigvis er forvetigsrett, at Tabell 2. Tilærmet effisies for estimatore f; med hesy på PR år adele stemmeberettigede som stemte ((partiet» ved forrige valg, ' er 10 proset. P o/ /hi år alle isamlede opplysiger er korrekte, følger det av tabellee 1 2 at YR 'er A foretrekke framfor 17* som estimator forpy årpx er stor. Hvispx er lite det er stor stabilitet i velgermasse, vil det fremdeles være foruftig å velge YR framfor Y. Fra tabellee ka dessute ses at e bør være mer forsiktig med A bruke veiig for små partier e for store partier år velgermasse er ustabil. E (fi;) Py {7-31}, (3.4) hvor /31 er adele av persoer som påstår av de stemte på «partiet» ved siste valg. Det følger at forvetige til YR er tilærmet likpy bare årpt = px. år det gjelder f7, er dee fortsatt forvetigs - rett fordi de ikke bruker opplysiger om hva folk stemte på ved siste valg. Som vi så ovefor, ka var ( 14) være vesetlig midre e var (k). Spørsmålet e å ka stille seg er hvor mye glemsel som skal til før geviste i variase blir tap på gru av forvetigsskjevhete. For A belyse dette spørsmålet ifører vi begrepet bruttovarias, defiert ved B ( v ar +(E (1;?) " - py) 2. (3.5) Da Y er forvetigsrett, er B (f) ) = var (1#5 py (1py)/. Sosialokoome r

4 Det er verdt å merke seg at mes var(í R) var (f7) avtar med økede utvalgsstørrelse, er dette ikke tilfelle for skjevhete. Ved store utvalg vil skjevhete derfor utgjøre e relativt stor adel av bruttovariase. Det ka vises at A PY V ar(1711) [- p [Pyli pli]. (3.6) Isettes (3.4) (3.6) i (3.5) fås A PX Py B(YÅ) [Py/P1 + 2 Pill + P1 p%) _ P] 2 å ka bådeb( Yid B(f) estimeres fra resultatee i utvalget, e ka sammelike de to estimatorer. La oss se på e måte å bruke resultatee på: Ved Stortigsvalget 1973 hadde Arbeiderpartiet 35,3 proset av de avgitte stemmee. Ved e utvalgsudersøkelse i 1976 svarte 45 proset av alle som hadde stemt at de hadde stemt på Arbeiderpartiet ved siste valg, mes 45,1 proset av alle som ville stemme, ville stemme på Arbeiderpartiet ved este valg. For å kue bruke formlee ovefor, må prosettallee i eksemplet omreges slik at e får adele av alle stemmeberettiget som stemmer på Arbeiderpartiet. I 1973 avga 80,2 proset av alle med stemmerett sie stemmer. Vi har ikke adgag til likede tall fra utvalgsudersøkelse 1976, skal derfor rege med samme stemmefrekves. Midre avvik i dee vil ikke ha oe iflytelse på koklusjoee vi kommer fram til. Vi fmer Ada følgede aslag for parametree som igår i B( YR) B(P): A A A, Det følger atb(yr) er større eb(y) selv åra i = 1, hvor var (PR ) atar si miste verdi. Det ses av (3.4) at adele av stemmer på Arbeiderpartiet systematisk udervurderes ved veiig. Likede sammelikiger ka aturligvis gjøres for de øvrige partier. E bør imidlertid være oppmerksom på at tilærmigee er meget grove for de små partier. Det typiske for YR er som evt at de bruker iformasjo som ikke blir samlet i i selve uders0- kelse. I de fleste tilfelle vil kr derfor ha vesetlig midre varias e e estimator av type Y. Samtidig som variase reduseres ka e risikere å iføre skjevheter. Dette skyldes ete at e bruker tilleggsiformasjoe på e feil måte, eller som i vårt tilfelle hvor det oppstår skjevheter på gru av at folk glemmer hva de stemte på ved siste valg. Statistikere har derfor ofte vaskeligheter ved valg av estimerigsmetoder. På de ee side er det uforuftig A kaste bort det e vet på forhåd, me på de adre side ka e risikere å iføre skjevheter i resultatee ved altfor kritikkløst å gjøre bruk av tilleggsiformasjo. I tillegg kommer at e estimerigsmetode som er foruftig på ett tidspukt, ka vise seg midre heldig på et aet. For til ehver tid å velge de mest foruftige estimerigsmetode, må e øye overvåke de forutsetiger som ligger til gru for estimerigsmetode, tilpasse de etter forholdee. Uder et slikt arbeid ka teoretiske vurderiger være et viktig hjelpemiddel. 4. Forslag til y estimator. Til slutt skal vi demostrere at fr ikke er de eeste måte e ka bruke tidligere valgreslutater på, at det ikke er de beste uder de forutsetiger vi har gjort. Ie teorie for statistiske utvalg er det edlagt et stort arbeid for A fie fram til de beste måte A bruke tilleggsiformasjo på. I Thomse (1977) er det foreslått e estimator, som i vårt tilfelle ka skrives som = f4 = (j % betyr aslag for pl.) yiyi (1 xi) i = = 1200 I i = 1 + ). (4.1) Vi fier da: E xi2' (1 xi) 1 i = 1 b(1) :----- k (1 f')/1200 = i" _ A irx -Al i3t( f'i) ---- [ Y IP,', + 1 2ph] + Y2 A: PI [ /1 1 ] I dee estimatore igår to ledd. Det første ledd aslår adele av persoer som sist stemte på «partiet» som fortsatt vil gjøre det. Det adre leddet estimerer det relative atall persoer som sist ikke stemte på <Tartiet», me som vil gjøre det ved este valg. 6 SosialOkoome r

5 Det ka vises at dersom det ikke forekommer glemsel, er 1^77-. tilærmet forvetigsrett, Pii Pii) var ( ft) Poi (1 ) (1 Poi) (4.2) hvor poi er adele av de persoer som sist ikke stemte på «partiet», me som vil gjøre det ved este valg. Ved å isette py = Pii ± Poi (1) (3.3) viser det seg at Det ka så vises at A Pu 131 ) POI (1-P6i) var (174) 2 + (1 - ) 2 p (1 Ute adgag til data som gjør det mulig å estimere PIl Pi, ka e ikke foreta sammelikiger mellom variasea til /r4, variasea -1"1;, eller mellom variase til Y7!, variase til Y. Med adgag til slike data ka e foreta sammelikiger på samme måte som i avsitt 3 ovefor. Resultatee gitt i (.4) (4.5) atyder likevel til f7j, er e bedre estimator e 1^7Å både år det forekommer glemsel, år alle isamlede opplysiger er korrekte. For A sammelike P4, med f7 bør det foretas e øyere graskig e vi ka utføre her. / P 201 var(pr) var(rt) +-{ (4.3) var (í T) var (1A7) (1 ) (Pui Pol) 2/. (4.4) Det ka altså se ut som om e i estimatore (4.1) gjør bedre bruk av tidligere valgresultater e hva som er tilfelle med YR. Dessute ses det at variase til PT aldri er større e variase til 2- år det ikke forekommer glemsel. I motsetig til hva som er tilfelle med PR, ka e altså ikke tape oe ved å bruke PT i stedet for f7 år alle isamlede opplysiger er korrekte. år det forekommer glemsel ka vi igje iføre Åji, defierer 14q på samme måte som vi defierte f.k ovefor. I likhet med PA er f77-, forvetigsskjev. Ved å iføre py = h 13; + Pbi (1 pl) ka det vises at E (fq Py) ( (Ph A.E( 17) Py) ( )Úl ) P41 (px p 1) I. Det er rimelig å ata at (A p6l ) > 0, uder dee forutsetig er IE(I4 Py) I I E( 1".Py) I. (4.5) Skjevhete til 1 er altså midre e skjevhete til 5. Hva ka e vete seg av slike utvalgsudersøkelser? Det syes å være klart for de fleste at midre edriger i resultatee fra e udersøkelse til e ae ka skyldes tilfeldigheter. Likevel blir betydige av disse tilfeldigheter udervurdert gaske vesetlig. I dette avsittet skal vi bruke oe av resultatee fra avsittee fora til å forsøke a kvatifisere usikkerhetee på edrigstallee mellom to udersøkelser. Vi skal først teke oss at det ikke forekommer glemsel, samt at vi bruker det valige uveide gjeomsitt som estimator. Som mål for de usikkerhet som skyldes at resultatee er basert på et utvalg, skal vi i dette avsitt bruke stadardavviket, som er defiert som kvadratrote til variase. Med observasjoer vil et tall på 40 proset ha et stadardavvik på ca. 1,5 proset. E populær måte å bruke dette mål på er følgede: Et itervall som ved gjetatt bruk av metode vil dekke det «sae» prosettallet i 95 proset av tilfellee, vil da bli aslått til fra 40 3 proset til proset. år e skal måle edriger ved hjelp av to udersøkelser, får e e ekstra usikkerhetsfaktor, som skyldes at e ser på forskjelle mellom to tall som begge er usikre. Ata at usikkerhete for estimatee er de samme i begge udersøkelsee. Det ka da vises at stadardavviket til forskjelle mellom to slike udersøkelser er ca. 1,4 gager så stort som for hvert ekelt av tallee. I eksemplet ovefor blir stadardavviket på edrige ca. 2 proset. Dersom forskjelle mellom to udersøkelser er 1 proset, har vi høy sjase for å ha rett år vi påstår at de virkelige edrig ligger i itervallet 3 til 5 proset. Det skulle være klart for de fleste at et slikt resultat er este verdiløst. Folk med iteresse for slike udersøkelser vet mer om utviklige i stemmegivige e hva disse tallee gir grulag for å påstå. Dersom e bruker gode korreksjosmetoder, ka e som vi har sett redusere usikkerhete i oe tilfeller, me ute e ærmere udersøkelse er det ikke mulig å si hvor mye. Adre måter e ka Sosialøkoome r

6 bruke for å redusere usikkerhete, består av at e legger vekt på å beholde samme utvalget fra udersøkelse til udersøkelse. Dette siste ka føre til problem med frafall, me brukes likevel mye i forbidelse med løpede udersøkelser hvor e først fremst er iteressert i å måle utviklige i forskjellige kjeeteg. Etter dee meget pessimistiske beskrivelse av forholdee, vil mage sikkert spørre seg om det er mulig å si oe i det hele tatt på grulag av slike udersøkelser. Til dette er det å si at e må være oppmerksom på at vi bare har sett på resultatee fra to udersøkelser. Dersom e har flere udersøkelser, ka e få et bilde av utviklige over legre tid i stemmegivige. Ved å se på resultatee fra alle de politiske meigsmåliger side siste valg, ka e få et klart bilde av utvikligstedeser hos flere partier. Som koklusjo tror jeg e ka si at slike udersøkelser vil avsløre år det foregår edriger i det politiske klima over e legre tid. Foradriger fra måed til måed er derimot ute iteresse. Dette burde ha ko-- sekveser for publiserigsmetode e bruker. Resultatee fra e måed bør alltid publiseres samme med resultatee fra samtlige udersøkelser etter siste valg, gjere i et diagram, som gir lesere e sjase for å oppdage evetuelle tedeser i utviklige. For de partier hvor det går opp ed, ute klar tedes, ka lesere få et visuelt itrykk av de tilfeldige variasjo i resultatee. 6. Sluttmerkader. Alle vurderiger som er gjort ovefor forutsetter at isamlige av data følger bestemte «spillereglero. Formelt har vi forutsatt at utvalget er et ekelt tilfeldig utvalg. Midre avvik fra e slik utvalgsmetode vil ikke edre resultatee vesetlig. På de ae side ka visse typer avvik gjøre e vurderig av forskjellige estimerigsmetoder fullstedig verdiløs. I forbidelse med de politiske meigsmåliger er det til å kommet fram meget lite agåede hvilke metoder som brukes ved utvelgelse av persoer, samt hva som gjøres i de tilfeller hvor uttruke persoer ikke treffes hjemme, eller ekter å svare på spørsmålee om valgadferd. Dersom e har lite oversikt over disse forholdee er det umulig å idetifisere årsakee til forskjelle mellom observerte realiserte resultater ved siste valg. Ute oversikt over hvilke metoder som brukes uder dataisamlige, er det f.eks. ikke mulig å fastslå om forskjelle mellomp, x i avsitt 3 skyldes at folk glemmer hva de stemte på ved siste valg. E ae mulig forklarig ka være at frafallet blat persoer som stemte på et parti er større e for adre partier i e av uders0- kelsee. Dersom e øyere graskig avslører oe slikt, ka modelle ovefor utvides til å ta hesy til slike forhold. E forutsetig som implisitt er gjort ovefor er at populasjoe er kostat over tide. I praksis er dette aturligvis ikke tilfellet da tidligere velgere dør, ye kommer til. Det er mulig å utvide aalyser' ovefor slik at e tar hesy til dette, me framstillige vil i så fall bli vesetlig mer komplisert. Samtlige tilærmelser som er brukt vil med e utvalgsstørrelse på ca persoer gi brukbare resultater for prosettall større e 10. For e ærmere vurderig av tall som er midre e 10 proset må e avede bedre tilærmiger e de som her er brukt. Det er imidlertid gru til å tro at hovedkoklusjoee vil forbli uforadret. 7. Referaser. [1] Sverdrup, Erlig (1964): Lov tilfeldighet. Bid I. Uiversitetsforlaget. [2] Thomse, Ib (1977): O the efficiet use of supplemetary iformatio uder certai simple Markov-chai models i samplig from fiite populatios. Stesil. Statistisk Setralbyrå. 8Sosialøkoome r

Mer om utvalgsundersøkelser

Mer om utvalgsundersøkelser Mer om utvalgsudersøkelser I uderkapittel 3.6 i læreboka gir vi e kort iførig i takegage ved utvalgsudersøkelser. Vi gir her e grudigere framstillig av temaet. Populasjo og utvalg Ved e utvalgsudersøkelse

Detaljer

ET FORSØK PA EN ENKEL, TEORETISK VURDERING AV DE ESTIMERINGSMETODER SOM BRUKES I FORBINDELSE MED DE POLITISKE MENINGSMÅLINGER. lb Thomsen INNHOLD

ET FORSØK PA EN ENKEL, TEORETISK VURDERING AV DE ESTIMERINGSMETODER SOM BRUKES I FORBINDELSE MED DE POLITISKE MENINGSMÅLINGER. lb Thomsen INNHOLD I0 77/30 26. august 1977 ET FOSØK PA EN ENKEL, TEOETISK VUDEING AV DE ESTIMEINGSMETODE SOM BUKES I FOBINDELSE Av MED DE POLITISKE MENINGSMÅLINGE. lb Thomsen INNHOLD Side 1. Innledning... 2 2. Noen definisjoner

Detaljer

Kapittel 8: Estimering

Kapittel 8: Estimering Kaittel 8: Estimerig Estimerig hadler kort sagt om hvorda å aslå verdie å arametre som,, og dersom disse er ukjete. like arametre sier oss oe om oulasjoe vi studerer (dvs om alle måliger av feomeet som

Detaljer

Econ 2130 uke 15 (HG) Poissonfordelingen og innføring i estimering

Econ 2130 uke 15 (HG) Poissonfordelingen og innføring i estimering Eco 130 uke 15 (HG) Poissofordelige og iførig i estimerig 1 Poissofordelige (i) Tilærmig til biomialfordelige. Regel. ( Poissotilærmelse ) Ata Y ~ bi(, p) E( Y ) = p og var( Y ) = p(1 p). Hvis er stor

Detaljer

Påliteligheten til en stikkprøve

Påliteligheten til en stikkprøve Pålitelighete til e stikkprøve Om origiale... 1 Beskrivelse... 2 Oppgaver... 4 Løsigsforslag... 4 Didaktisk bakgru... 5 Om origiale "Zuverlässigkeit eier Stichprobe" på http://www.mathe-olie.at/galerie/wstat2/stichprobe/dee

Detaljer

Ukeoppgaver i BtG207 Statistikk, uke 4 : Binomisk fordeling. 1

Ukeoppgaver i BtG207 Statistikk, uke 4 : Binomisk fordeling. 1 Ukeoppgaver i BtG20 Statistikk, uke 4 : Biomisk fordelig. 1 Høgskole i Gjøvik Avdelig for tekologi, økoomi og ledelse. Statistikk Ukeoppgaver uke 4 Biomisk fordelig. Oppgave 1 La de stokastiske variable

Detaljer

Introduksjon. Hypotesetesting / inferens (kap 3) Populasjon og utvalg. Populasjon og utvalg. Populasjonsvarians

Introduksjon. Hypotesetesting / inferens (kap 3) Populasjon og utvalg. Populasjon og utvalg. Populasjonsvarians Hypotesetestig / iferes (kap ) Itroduksjo Populasjo og utvalg Statistisk iferes Utvalgsfordelig (samplig distributio) Utvalgsfordelige til gjeomsittet Itroduksjo Vi øsker å få iformasjo om størrelsee i

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010 Kp. 6, del 5

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010 Kp. 6, del 5 ÅMA110 Sasylighetsregig med statistikk, våre 2010 Kp. 6, del 5 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap Uiversitetet i Stavager 12. april Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 4 1/ 59

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FAG TMA4245 STATISTIKK 6.august 2004

LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FAG TMA4245 STATISTIKK 6.august 2004 Norges tekisk aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Side av 0 LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FAG TMA4245 STATISTIKK 6.august 2004 Oppgave Midtveiseksame a) X er e stokastisk variabel

Detaljer

Forventningsverdi. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk

Forventningsverdi. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk MAT0100V Sasylighetsregig og kombiatorikk Forvetigsverdi Sasylighetsfordelige til e tilfeldig variabel X gir sasylighete for de ulike verdiee X ka ata Forvetig, varias og stadardavvik Tilærmig av biomiske

Detaljer

Oppgaver fra boka: X 2 X n 1

Oppgaver fra boka: X 2 X n 1 MOT30 Statistiske metoder, høste 00 Løsiger til regeøvig r 3 (s ) Oppgaver fra boka: 94 (99:7) X,, X uif N(µ, σ ) og X,, X uif N(µ, σ ) og alle variable er uavhegige Atar videre at σ = σ = σ og ukjet Kodesitervall

Detaljer

Konfidensintervall. Notat til STK1110. Ørnulf Borgan, Ingrid K. Glad og Anders Rygh Swensen Matematisk institutt, Universitetet i Oslo.

Konfidensintervall. Notat til STK1110. Ørnulf Borgan, Ingrid K. Glad og Anders Rygh Swensen Matematisk institutt, Universitetet i Oslo. Kofidesitervall Notat til STK1110 Ørulf Borga, Igrid K. Glad og Aders Rygh Swese Matematisk istitutt, Uiversitetet i Oslo August 2007 Formål E valig metode for å agi usikkerhete til et estimat er å berege

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007 ÅMA Sasylighetsregig med statistikk, våre 27 Kp. 6 (kp. 6) Tre deler av faget/kurset:. Beskrivede statistikk 2. Sasylighetsteori, sasylighetsregig 3. Statistisk iferes estimerig kofidesitervall hypotesetestig

Detaljer

ECON240 Statistikk og økonometri

ECON240 Statistikk og økonometri ECON240 Statistikk og økoometri Arild Aakvik, Istitutt for økoomi 1 Mellomregig MKM Model: Y i = a i + bx i + e i MKM-estimator for b: b = = Xi Y i 1 Xi Yi Xi 1 ( X i ) 2 (Xi X)(Y i Ȳi) (Xi X) 2 hvor vi

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Kp. 5 Estimering. Målemodellen.

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Kp. 5 Estimering. Målemodellen. ÅMA0 Sasylighetsregig med statistikk, våre 0 Kp. 5 Estimerig. Målemodelle. Estimerig. Målemodelle. Ihold:. (Pukt)Estimerig i biomisk modell (kp. 5.). Målemodelle... (kp. 5.). (Pukt)Estimerig i målemodelle

Detaljer

Estimering 1 -Punktestimering

Estimering 1 -Punktestimering Estimerig 1 -Puktestimerig Dekkes av kap. 8, 9.1-9.3 og 9.15/9.14. Vi har til å settpå e rekke forskjellige sasylighetsfordeliger og sett hvorda disse ka brukes til å modellere mage forskjellige typer

Detaljer

Estimering 1 -Punktestimering

Estimering 1 -Punktestimering Estimerig 1 -Puktestimerig Dekkes av kap. 8, 9.1-9.3 og 9.15/9.14. Vi har til å settpå e rekke forskjellige sasylighetsfordeliger og sett hvorda disse ka brukes til å modellere mage forskjellige typer

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Kontinuerlige tilfeldige variable, intro. Kontinuerlige tilfeldige variable, intro.

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Kontinuerlige tilfeldige variable, intro. Kontinuerlige tilfeldige variable, intro. ÅMA Sasylighetsregig med statistikk, våre 6 Kp. 4 Kotiuerlige tilfeldige variable og ormaldelige Kotiuerlige tilfeldige variable, itro. (eller: Kotiuerlige sasylighetsdeliger) Vi har til å sett på diskrete

Detaljer

Statistikk og økonomi, våren 2017

Statistikk og økonomi, våren 2017 Statistikk og økoomi, våre 07 Obligatorisk oppgave 6 Løsigsforslag Oppgave E terig kastes 0 gager, og det registreres hvor mage 6-ere som oppås i løpet av disse 0 kastee. Vi ka kalle atall 6-ere i løpet

Detaljer

Høgskolen i Telemark Avdeling for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 12. desember 2008

Høgskolen i Telemark Avdeling for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 12. desember 2008 Høgskole i Telemark Avdelig for estetiske fag, folkekultur og lærerutdaig BOKMÅL. desember 8 EKSAMEN I MATEMATIKK, Utsatt røve Modul 5 studieoeg Tid: 5 timer Ogavesettet er å sider (ikludert formelsamlig).

Detaljer

Oppgave 1. (i) Hva er sannsynligheten for at det øverste kortet i bunken er et JA-kort?

Oppgave 1. (i) Hva er sannsynligheten for at det øverste kortet i bunken er et JA-kort? ECON EKSAMEN 8 VÅR TALLSVAR Oppgave Vi har e kortstokk beståede av 6 kort. På av disse står det skrevet JA på forside mes det står NEI på forside av de adre kortee. Hvis ma får se kortet med bakside vedt

Detaljer

Oversikt over konfidensintervall i Econ 2130

Oversikt over konfidensintervall i Econ 2130 1 HG Revidert april 011 Oversikt over kofidesitervall i Eco 130 Merk at dee oversikte ikke er met å leses istedefor framstillige i Løvås, me som et supplemet. Løvås ieholder mage verdifulle kommetarer

Detaljer

STK1100 våren 2017 Estimering

STK1100 våren 2017 Estimering STK1100 våre 017 Estimerig Svarer til sidee 331-339 i læreboka Ørulf Borga Matematisk istitutt Uiversitetet i Oslo 1 Politisk meigsmålig Spør et tilfeldig utvalg på 1000 persoer hva de ville ha stemt hvis

Detaljer

) = P(Z > 0.555) = > ) = P(Z > 2.22) = 0.013

) = P(Z > 0.555) = > ) = P(Z > 2.22) = 0.013 TMA4240 Statistikk Vår 2008 Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Øvig ummer b5 Løsigsskisse Oppgave 1 a) X 1,...,X 16 er u.i.f. N(80,18 2 ). Setter Y = X. i) P(X 1 >

Detaljer

IO 77/45 29. november 1977 ESTIMERING AV ENGELDERIVERTE PA DATA MED MALEFEIL. Odd Skarstad 1) INNHOLD

IO 77/45 29. november 1977 ESTIMERING AV ENGELDERIVERTE PA DATA MED MALEFEIL. Odd Skarstad 1) INNHOLD IO 77/45 29. ovember 977 ESTIMERING V ENGELDERIVERTE P DT MED MLEFEIL av Odd Skarstad ) INNHOLD I. Data fra forbruksudersøkelse II. Estimerig ved målefeil. Iledig 2. Systematiske målefeil 2 3. Tilfeldige

Detaljer

Oversikt over konfidensintervall i Econ 2130

Oversikt over konfidensintervall i Econ 2130 1 HG Revidert april 014 Oversikt over kofidesitervall i Eco 130 Merk at dee oversikte ikke er met å leses istedefor framstillige i Løvås, me som et supplemet. De ieholder tabeller med formler for kofidesitervaller

Detaljer

Eksempeloppgave 2014. REA3028 Matematikk S2 Eksempel på eksamen våren 2015 etter ny ordning. Ny eksamensordning. Del 1: 3 timer (uten hjelpemidler)

Eksempeloppgave 2014. REA3028 Matematikk S2 Eksempel på eksamen våren 2015 etter ny ordning. Ny eksamensordning. Del 1: 3 timer (uten hjelpemidler) Eksempeloppgave 2014 REA3028 Matematikk S2 Eksempel på eksame våre 2015 etter y ordig Ny eksamesordig Del 1: 3 timer (ute hjelpemidler) Del 2: 2 timer (med hjelpemidler) Mistekrav til digitale verktøy

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010. Noen viktige sannsynlighetsmodeller. Binomisk modell. Kp. 3 Diskrete tilfeldige variable

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010. Noen viktige sannsynlighetsmodeller. Binomisk modell. Kp. 3 Diskrete tilfeldige variable ÅMA Saslighetsregig med statistikk, våre K. 3 Diskrete tilfeldige variable Noe viktige saslighetsmodeller Noe viktige saslighetsmodeller ( Sas.modell : å betr det klasse/te sas.fordelig.) Biomisk modell

Detaljer

H 1 : µ 1 µ 2 > 0. t = ( x 1 x 2 ) (µ 1 µ 2 ) s p. s 2 p = s2 1 (n 1 1) + s 2 2 (n 2 1) n 1 + n 2 2

H 1 : µ 1 µ 2 > 0. t = ( x 1 x 2 ) (µ 1 µ 2 ) s p. s 2 p = s2 1 (n 1 1) + s 2 2 (n 2 1) n 1 + n 2 2 TMA4245 Statistikk Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Øvig ummer b4 Løsigsskisse Oppgave 1 Vi øsker å fie ut om et ytt serum ka stase leukemi. 5 mus får serumet, 4

Detaljer

Econ 2130 Forelesning uke 11 (HG)

Econ 2130 Forelesning uke 11 (HG) Eco 130 Forelesig uke 11 (HG) Mer om ormalfordelige og setralgreseteoremet Uke 1 1 Fra forrige gag ~ betyr er fordelt som. ~ N( µσ, ) E( ) = µ, og var( ) = σ Normalfordelige er symmetrisk om μ og kotiuerlig

Detaljer

3MX 2007/8 - Kapittel 5: 8. januar 5. februar 2008

3MX 2007/8 - Kapittel 5: 8. januar 5. februar 2008 3MX 00/8 - Kapittel : 8. jauar. februar 008 Pla for skoleåret 00/008: Kapittel 6: 6/ /. Kapittel : / /3. Prøver på eller skoletime etter hvert kapittel. É heildagsprøve i hver termi. Repetisjo, prøver,

Detaljer

Estimering og hypotesetesting. Estimering og hypotesetesting. Estimering og hypotesetesting. Kapittel 10. Ett- og toutvalgs hypotesetesting

Estimering og hypotesetesting. Estimering og hypotesetesting. Estimering og hypotesetesting. Kapittel 10. Ett- og toutvalgs hypotesetesting 3 Estimerig og hypotesetestig Kapittel 10 Ett- og toutvalgs hypotesetestig TMA445 V007: Eirik Mo Feome Bilkjørig Høyde til studeter Estimator ˆp = X, X atall ˆµ = X gjeomsittlig høyde. som syes de er flikere

Detaljer

Oversikt over konfidensintervall i Econ 2130

Oversikt over konfidensintervall i Econ 2130 HG April 00 Oversikt over kofidesitervall i Eco 30 Merk at dee oversikte ikke er met å leses istedefor framstillige i Løvås, me som et supplemet. Løvås ieholder mage verdifulle kommetarer og eksempler.

Detaljer

2. Hypotesetesting i ulike sitausjoner: i. for forventingen, μ, i målemodellen med normalantakelse og kjent varians, σ 2.

2. Hypotesetesting i ulike sitausjoner: i. for forventingen, μ, i målemodellen med normalantakelse og kjent varians, σ 2. Oversikt 1. Hva er hypotesetestig? 2. i ulike sitausjoer: i. for forvetige, μ, med ormalatakelse og kjet varias, σ 2. ii. for forvetige, μ, med stor og ormaltilærmig (variase, σ 2, ukjet). iii. for suksessasylighete,

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007 Kp. 6, del 2

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007 Kp. 6, del 2 ÅMA11 Sasylighetsregig med statistikk, våre 27 Kp. 6, del 2 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap 5. mars 21 Bjør H. Auestad Kp. 6: del 1/2 1/ 42 Bjør H. Auestad Kp. 6: del 1/2 2/ 42

Detaljer

X = 1 5. X i, i=1. som vil være normalfordelt med forventningsverdi E( X) = µ og varians Var( X) = σ 2 /5. En rimelig estimator for variansen er

X = 1 5. X i, i=1. som vil være normalfordelt med forventningsverdi E( X) = µ og varians Var( X) = σ 2 /5. En rimelig estimator for variansen er Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Abefalte oppgaver 11, blokk II Løsigsskisse Oppgave 1 a) E rimelig estimator for forvetigsverdie µ er gjeomsittet X = 1 X i, som

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Kontinuerlige tilfeldige variable, intro. Kontinuerlige tilfeldige variable, intro.

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Kontinuerlige tilfeldige variable, intro. Kontinuerlige tilfeldige variable, intro. ÅMA0 Sasylighetsregig med statistikk, våre 008 Kp. 4 Kotiuerlige tilfeldige variable; Normalfordelig Kotiuerlige tilfeldige variable, itro. (eller: Kotiuerlige sasylighetsfordeliger) Vi har til å sett

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 Kp. 6, del 5

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 Kp. 6, del 5 ÅMA110 Sasylighetsregig med statistikk, våre 2006 Kp. 6, del 5 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap Uiversitetet i Stavager 3. april Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 5 1 / 56

Detaljer

H T. Amundsen INNHOLD

H T. Amundsen INNHOLD Itere otater STATISTISK SENTRALBYRÅ. oktober 1980 KORRELASJONSKOEFFISIENTEN - ENDA ENGANG Av H T. Amudse INNHOLD 1. Iledig *****..... * 0 1. Produktmametkorrelasjoskoeffisiete og sammehege med lieær regresjo.

Detaljer

8 (inkludert forsiden og formelsamling) Tegne- og skrivesaker, kalkulator, formelsamling (se vedlagt).

8 (inkludert forsiden og formelsamling) Tegne- og skrivesaker, kalkulator, formelsamling (se vedlagt). Eksamesoppgave våre 011 Ordiær eksame Bokmål Fag: Matematikk Eksamesdato: 10.06.011 Studium/klasse: GLU 5-10 Emekode: MGK00 Eksamesform: Skriftlig Atall sider: 8 (ikludert forside og formelsamlig) Eksamestid:

Detaljer

KLMED8004 Medisinsk statistikk. Del I, høst Estimering. Tidligere sett på. Eksempel hypertensjon

KLMED8004 Medisinsk statistikk. Del I, høst Estimering. Tidligere sett på. Eksempel hypertensjon Tidligere sett på KLMED8004 Medisisk statistikk Del I, høst 008 Estimerig Hvorda kjete sasylighetsfordeliger (biomialfordelig, ormalfordelig) med kjete populasjosparametrer (forvetig, varias osv.) ka gi

Detaljer

FORFATTER(E) Jan-W. Lippestad og Trond Harsvik OPPDRAGSGIVER(E) Rikstrygdeverket. Nanna Stender, Mari K. Rollag og Kristian Munthe

FORFATTER(E) Jan-W. Lippestad og Trond Harsvik OPPDRAGSGIVER(E) Rikstrygdeverket. Nanna Stender, Mari K. Rollag og Kristian Munthe SINTEF RAPPORT TITTEL SINTEF Uimed Postadresse: Boks 124, Blider 0314 Oslo Besøksadresse: Forskigsveie 1 Telefo: 22 06 73 00 Telefaks: 22 06 79 09 Foretaksregisteret: NO 948 007 029 MVA Evaluerig av hevisigsprosjektet

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007 Kp. 6, del 5. Hypotesetesting, del 5

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007 Kp. 6, del 5. Hypotesetesting, del 5 ÅMA11 Sasylighetsregig med statistikk, våre 7 Kp. 6, del 5 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap Uiversitetet i Stavager 26. mars Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 5 1/ 59 Bjør

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2008 Kp. 6, del 5

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2008 Kp. 6, del 5 ÅMA110 Sasylighetsregig med statistikk, våre 2008 Kp. 6, del 5 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap Uiversitetet i Stavager 3. april Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 5 1/ 56

Detaljer

Signifikante sifre = alle sikre pluss ett siffer til

Signifikante sifre = alle sikre pluss ett siffer til Sigifikate siffer og stadardavvik behadles i kap. Disse to emee skal vi ta for oss i dag. Kofidesgreser behadles i kap 4. Dette skal vi ta for oss i osdag. Presetasjo av aalysedata ka gjøres på følgede

Detaljer

TMA4245 Statistikk Vår 2015

TMA4245 Statistikk Vår 2015 TMA4245 Statistikk Vår 2015 Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Øvig ummer 12, blokk II Oppgave 1 Kari har ylig kjøpt seg e y bil. Nå øsker hu å udersøke biles besiforbruk

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007 Kp. 6, del 4. Hypotesetesting, del 4

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007 Kp. 6, del 4. Hypotesetesting, del 4 ÅMA11 Sasylighetsregig med statistikk, våre 27 Kp. 6, del 4 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap Uiversitetet i Stavager 19. mars Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 4 1/ 27 Bjør

Detaljer

TMA4240 Statistikk Eksamen desember 2015

TMA4240 Statistikk Eksamen desember 2015 Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag TMA20 Statistikk Eksame desember 205 Løsigsskisse Oppgave a) De kumulative fordeligsfuksjoe til X, F (x) P (X x): F (x) P (X x) x

Detaljer

Eksamen REA3028 S2, Våren 2011

Eksamen REA3028 S2, Våren 2011 Eksame REA08 S, Våre 0 Del Tid: timer Hjelpemidler: Valige skrivesaker, passer, lijal med cetimetermål og vikelmåler er tillatt. Oppgave (8 poeg) a) Deriver fuksjoee ) f 5 f 6 5 ) g g ) h l 9 9 6 4 h l

Detaljer

Oppgave 1 Hardheten til en bestemt legering er undersøkt med åtte målinger og resultatene ble (i kg/mm 2 ) som i tabellen til høyre.

Oppgave 1 Hardheten til en bestemt legering er undersøkt med åtte målinger og resultatene ble (i kg/mm 2 ) som i tabellen til høyre. EKSAMEN I: ÅMA110 SANNSYNLIGHETSREGNING MED STATISTIKK VARIGHET: 4 TIMER DATO: 28. AUGUST 2010 BOKMÅL TILLATTE HJELPEMIDLER: KALKULATOR: HP30S, Casio FX82 eller TI-30 OPPGAVESETTET BESTÅR AV 3 OPPGAVER

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 ÅMA110 Sasylighetsregig med statistikk, våre 2006 Kp. 6, del 2 Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesig del 2 1/ 38 Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesig del 2 2/ 38 Oversikt 1. Hva er hypotesetestig? 2. Hypotesetestig

Detaljer

Løsningsforslag for andre obligatoriske oppgave i STK1100 Våren 2007 Av Ingunn Fride Tvete og Ørnulf Borgan

Løsningsforslag for andre obligatoriske oppgave i STK1100 Våren 2007 Av Ingunn Fride Tvete og Ørnulf Borgan Løsigsforslag for adre obligatoriske oppgave i STK11 Våre 27 Av Igu Fride Tvete (ift@math..uio.o) og Ørulf Borga (borga@math.uio.o). NB! Feil ka forekomme. NB! Sed gjere e mail hvis du fier e feil! Oppgave

Detaljer

Estimering 2. -Konfidensintervall

Estimering 2. -Konfidensintervall Estimerig 2 -Kofidesitervall Dekkes av kap. 9.4-9.5, 9.10, 9.12 og forelesigsotatee. Dersom forsøket gjetas mage gager vil (1 α)100% av itervallee [ ˆΘ L, ˆΘ U ] ieholde de ukjete parametere θ (som er

Detaljer

Høgskolen i Telemark Avdeling for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 20. mai 2008

Høgskolen i Telemark Avdeling for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 20. mai 2008 Høgskole i Telemark Avdelig for estetiske fag, folkekultur og lærerutdaig BOKMÅL. mai 8 EKSAMEN I MATEMATIKK Modul 5 studieoeg Tid: 5 timer Ogavesettet er å sider (ikludert formelsamlig). Hjelemidler:

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FAG TMA4240 STATISTIKK 5.august 2004

LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FAG TMA4240 STATISTIKK 5.august 2004 Norges tekisk aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Side av 0 LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FAG TMA4240 STATISTIKK 5.august 2004 Oppgave Foruresig X er e stokastisk variabel som agir

Detaljer

n 2 +1) hvis n er et partall.

n 2 +1) hvis n er et partall. TMA445 Statistikk Vår 04 Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Øvig ummer, blokk II Oppgave Mediae til et datasett, X, er de midterste verdie. Hvis vi har stokastiske

Detaljer

TMA4240 Statistikk Høst 2015

TMA4240 Statistikk Høst 2015 Høst 205 Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Øvig ummer, blokk II Løsigsskisse Oppgave a) X bi(, p) fordi: Udersøker uavhegige delar av DNA-strukture. Fi for kvar del

Detaljer

Kapittel 5: Tilfeldige variable, forventning og varians.

Kapittel 5: Tilfeldige variable, forventning og varians. Kapittel 5: Tilfeldige variable, forvetig og varias. Tilfeldige variable Tilfeldige variable kalles også stokastiske variable. Defiisjo: E tilfeldig variabel er e variabel som får si umeriske verdi bestemt

Detaljer

ARBEIDSHEFTE I MATEMATIKK

ARBEIDSHEFTE I MATEMATIKK ARBEIDSHEFTE I MATEMATIKK Temahefte r Hvorda du reger med poteser Detaljerte forklariger Av Matthias Loretze mattegriseforlag.com Opplsig: E potes er e forkortet skrivemåte for like faktorer. E potes består

Detaljer

MOT310 Statistiske metoder 1, høsten 2011

MOT310 Statistiske metoder 1, høsten 2011 MOT310 Statistiske metoder 1, høste 2011 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap Uiversitetet i Stavager 24. august, 2011 Bjør H. Auestad Itroduksjo og repetisjo 1 / 32 Repetisjo; 9.1,

Detaljer

Fagdag 2-3mx 24.09.07

Fagdag 2-3mx 24.09.07 Fagdag 2-3mx 24.09.07 Jeg beklager at jeg ikke har fuet oe ye morsomme spill vi ka studere, til gjegjeld skal dere slippe prøve/test dee gage. Istruks: Vi arbeider som valig med 3 persoer på hver gruppe.

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UIVERSITETET I OSLO Det matematisk-aturviteskapelige fakultet Eksame i: ST 105 - Iførig i pålitelighetsaalyse Eksamesdag: 8. desember 1992 Tid til eksame: 0900-1500 Tillatte hjelpemidler: Rottma: "Matematische

Detaljer

TMA4240 Statistikk Høst 2016

TMA4240 Statistikk Høst 2016 Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Abefalt øvig 11 Løsigsskisse Oppgave 1 a) E rimelig estimator for forvetigsverdie µ er gjeomsittet X = 1 X i, som vil være ormalfordelt

Detaljer

TMA4245 Statistikk Eksamen 9. desember 2013

TMA4245 Statistikk Eksamen 9. desember 2013 Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag TMA4245 Statistikk Eksame 9. desember 2013 Oppgave 1 I kortspillet Blackjack får ma de høyeste geviste hvis de to første kortee ma

Detaljer

Eksamen REA3028 S2, Våren 2012

Eksamen REA3028 S2, Våren 2012 Eksame REA08 S, Våre 0 Del Tid: timer Hjelpemidler: Valige skrivesaker, passer, lijal med cetimetermål og vikelmåler er tillatt. Oppgave (4 poeg) a) Deriver fuksjoee ) f f ) g e 4 4 4 g e e 4 g e e g e

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG TILEKSAMEN I FAG TMA4240/TMA4245 STATISTIKK 10. august 2005

LØSNINGSFORSLAG TILEKSAMEN I FAG TMA4240/TMA4245 STATISTIKK 10. august 2005 Norges tekisk aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Side av 8 LØSNINGSFORSLAG TILEKSAMEN I FAG TMA440/TMA445 STATISTIKK 0. august 005 Oppgave Smeltepuktsbestemmelse a) Vi jobber i dette

Detaljer

Hypotesetesting, del 5

Hypotesetesting, del 5 Oversikt, del 5 Kofidesitervall p-verdi Kofidesitervall E (tosidig test ka gjeomføres vha. av et kofidesitervall. For eksempel, dersom vi i målemodell 1 vil teste: H 0 : μ = μ 0 mot H 1 : μ μ 0, ka vi

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2008 Kp. 6, del 5

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2008 Kp. 6, del 5 ÅMA110 Sasylighetsregig med statistikk, våre 2008 Kp. 6, del 5 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap Uiversitetet i Stavager 26. mars Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 5 1/ 53

Detaljer

Løsningsforslag til eksamen i STK desember 2010

Løsningsforslag til eksamen i STK desember 2010 Løsigsforslag til eksame i STK0 0. desember 200 Løsigsforslaget har med flere detaljer e det vil bli krevd til eksame. Oppgave a Det er tilpasset e multippel lieær regresjosmodell av forme β 0 + β x i

Detaljer

TMA4240 Statistikk Høst 2015

TMA4240 Statistikk Høst 2015 TMA4240 Statistikk Høst 2015 Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Øvig ummer 12, blokk II I dee siste øvige fokuserer vi på lieær regresjo, der vi har kjete kovariater

Detaljer

AVDELING FOR INGENIØRUTDANNING EKSAMENSOPPGAVE

AVDELING FOR INGENIØRUTDANNING EKSAMENSOPPGAVE AVDELING FOR INGENIØRUTDANNING EKSAMENSOPPGAVE Eme: Statistikk Gruppe(r): Alle ( 2. årskull) Eksamesoppgav Atall sider (ikl. e består av: forside): 5 Tillatte hjelpemidler: Emekode: LO070A Dato: 11.06.2004

Detaljer

Kapittel 7: Noen viktige sannsynlighetsfordelinger

Kapittel 7: Noen viktige sannsynlighetsfordelinger Kapittel 7: Noe viktige sasylighetsfordeliger I mage situasjoer ka feomeet vi ser på beskrives med e bestemt type sasylighetsfordelig e sasylighetsfordelig gitt ved e bestemt formel. Vi skal se på oe av

Detaljer

TMA4245 Statistikk Eksamen mai 2017

TMA4245 Statistikk Eksamen mai 2017 TMA445 Statistikk Eksame mai 07 Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Løsigsskisse Oppgave a Når vi reger ut disse tre sasylighetee må ma huske på at de mulige verdiee

Detaljer

B Bakgrunnsinformasjon om ROS-analysen.

B Bakgrunnsinformasjon om ROS-analysen. RI SI KO- O G SÅRBARH ET SANALYSE (RO S) A Hva som skal utredes Beredskapog ulykkesrisiko(ros) vurderesut fra sjekklistefra Direktoratetfor samfussikkerhetog beredskap.aalyse blir utført ved vurderigav

Detaljer

TMA4240 Statistikk Høst 2016

TMA4240 Statistikk Høst 2016 Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Abefalt øvig 8 Løsigsskisse Oppgave 1 a) Simuler 1000 datasett i MATLAB. Hvert datasett skal bestå av 100 utfall fra e ormalfordelig

Detaljer

Kap. 9: Inferens om én populasjon

Kap. 9: Inferens om én populasjon 2 ST0202 Statistikk for samfusvitere Bo Lidqvist Istitutt for matematiske fag Ka. 9: Iferes om é oulasjo Hvis σ er ukjet bytter vi ut σ med s i Ny observator blir t = x μ s/ z = x μ σ/ der s = Σx 2 (Σx)

Detaljer

Rapport GPS prosjekt - Ryggeheimen sykehjem, Rygge

Rapport GPS prosjekt - Ryggeheimen sykehjem, Rygge Rapport GPS prosjekt - Ryggeheime sykehjem, Rygge Bruk av GPS på sykehjem Elisabeth Refses/ Siv Skaldstad Tidspla:1/3 10 1/10 10. Orgaiserig: Styrigsgruppe: Åse Nilsse, Ove Keeth Kvige, Elisabeth Breistei,

Detaljer

Lineær regresjonsanalyse (13.4)

Lineær regresjonsanalyse (13.4) 2 Kap. 13: Lieær korrelasjos- og regresjosaalyse ST0202 Statistikk for samfusvitere Bo Lidqvist Istitutt for matematiske fag Kap. 13.1-13.3: Lieær korrelasjosaalyse. Disse avsitt er ikke pesum, me de lieære

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2011

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2011 ÅMA110 asylighetsregig med statistikk våre 011 Kp. 5 Estimerig 1 Estimerig. Målemodelle. Ihold: 1. (ukt)estimerig i biomisk modell (kp. 5.). Målemodelle... (kp. 5.3) 3. (ukt)estimerig i målemodelle (kp.

Detaljer

Kapittel 7: Noen viktige sannsynlighetsfordelinger

Kapittel 7: Noen viktige sannsynlighetsfordelinger Kapittel 7: Noe viktige sasylighetsfordeliger I mage situasjoer ka feomeet vi ser på beskrives med e bestemt type sasylighetsfordelig (e sasylighetsfordelig gitt ved e bestemt formel. Vi skal se på oe

Detaljer

Forelesning 4 og 5 Transformasjon, Weibull-, lognormal, beta-, kji-kvadrat -, t-, F- fordeling

Forelesning 4 og 5 Transformasjon, Weibull-, lognormal, beta-, kji-kvadrat -, t-, F- fordeling STAT (V6) Statistikk Metoder Yushu.Li@uib.o Forelesig 4 og 5 Trasformasjo, Weibull-, logormal, beta-, kji-kvadrat -, t-, F- fordelig. Oppsummerig til Forelesig og..) Momet (momet about 0) og setral momet

Detaljer

SAMMENLIGNING AV MINSTE KVADRATERS METODE OG SANNSYNLIGHETSMAKSIMERINGSMETODEN I BINÆR REGRESJON. Henrik Dahl *)

SAMMENLIGNING AV MINSTE KVADRATERS METODE OG SANNSYNLIGHETSMAKSIMERINGSMETODEN I BINÆR REGRESJON. Henrik Dahl *) IO 78/8 7. april 978 SAMMENLIGNING AV MINSTE KVADRATERS METODE OG SANNSYNLIGHETSMAKSIMERINGSMETODEN I BINÆR REGRESJON av Herik Dahl *) INNHOLD Side Sammedrag. Om modeller for biær regresjo 3. Miste kvadraters

Detaljer

FØLGER, REKKER OG GJENNOMSNITT

FØLGER, REKKER OG GJENNOMSNITT FØLGER, REKKER OG GJENNOMSNITT Espe B. Lagelad realfagshjoret.wordpress.com espebl@hotmail.com 9.mars 06 Iledig E tallfølge er e serie med tall som kommer etter hveradre i e bestemt rekkefølge. Kvadrattallee

Detaljer

Rep.: generelle begrep og definisjoner Kp. 10.1, 10.2 og 10.3

Rep.: generelle begrep og definisjoner Kp. 10.1, 10.2 og 10.3 Kp. 1, oversikt ; oversikt, t- ; oversikt ; stor ; Hypoteseig; ett- og to-utvalg Rep.: geerelle begrep og defiisjoer Kp. 1.1, 1.2 og 1.3 Rep.: ett-utvalgser for μ (...), p Kp. 1 og 1.8 Nytt: ett-utvalgs

Detaljer

Eksamen INF3350/INF4350 H2006 Løsningsforslag

Eksamen INF3350/INF4350 H2006 Løsningsforslag Eksame INF3350/INF4350 H2006 Løsigsforslag Oppgave. Score (eller bit score) S' er e statistisk idikator på hvor sigifikat e match er. Høyere bit score svarer til høyere sigifikas. Idikatore er uavhegig

Detaljer

«Uncertainty of the Uncertainty» Del 5 av 6

«Uncertainty of the Uncertainty» Del 5 av 6 «Ucertaity of the Ucertaity» Del 5 av 6 v/rue Øverlad, Traior Elsikkerhet AS Dette er femte del i artikkelserie om «Ucertaity of the Ucertaity». Jeg skal vise deg utledig av «Ucertaity of the Ucertaity»-formele:

Detaljer

Luktrisikovurdering fra legemiddelproduksjon på Fikkjebakke Screening

Luktrisikovurdering fra legemiddelproduksjon på Fikkjebakke Screening Luktrisikovurderig fra legemiddelproduksjo på Fikkjebakke Screeig Aquateam COWI AS Rapport r: 14-046 Prosjekt r: O-14062 Prosjektleder: Liv B. Heige Medarbeidere: Lie Diaa Blytt Karia Ødegård (Molab AS)

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT

UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Øvelsesoppgave i: ECON30 Statistikk HØST 004 Dato for utleverig: Fredag 5. oktober 004 Frist for ileverig: Osdag 7. oktober 004, seest kl. 5.00 Ileverigssted: Ekspedisjoskotoret,.

Detaljer

H14 - Hjemmeeksamen i statistikk/ped sensurveiledning

H14 - Hjemmeeksamen i statistikk/ped sensurveiledning H14 - Hjemmeeksame i statistikk/ped3008 - sesurveiledig (teller 1/3 av edelig karakter) Dee oppgave bestr av tre deler: i del 1 skal du svare p 5 teorispørsml, i del 2 skal du gjeomføre oe sigifikastester

Detaljer

Modeller og parametre. STK Punktestimering - Kap 7. Eksempel støtfangere. Statistisk inferens. Binomisk fordeling. p X (x) = p x (1 p) n x

Modeller og parametre. STK Punktestimering - Kap 7. Eksempel støtfangere. Statistisk inferens. Binomisk fordeling. p X (x) = p x (1 p) n x STK1100 - Puktestimerig - Kap 7 Geir Storvik Modeller og parametre Biomisk fordelig ( ) p X (x) = p x (1 p) x x Parameter: p Normalfordelig f X (x) = 1 2πσ e 1 2σ 2 (x µ) 2 11. april 2016 Parametre: µ,

Detaljer

Rapport Brukertilfredshet blant pårørende til beboere ved sykehjem i Oslo kommune 2009

Rapport Brukertilfredshet blant pårørende til beboere ved sykehjem i Oslo kommune 2009 Rapport Brukertilfredshet blat pårørede til beboere ved sykehjem i Oslo kommue Resultater fra e spørreudersøkelse blat pårørede til sykehjemsbeboere februar 2010 Forord Brukerudersøkelser er ett av tre

Detaljer

Deskriptiv statistikk for sentrum og spredning i fordelingen. Gjennomsnitt og standardavvik. eller

Deskriptiv statistikk for sentrum og spredning i fordelingen. Gjennomsnitt og standardavvik. eller Eksempel : tall dager i sykehus. Ikke-parametriske tester versus parametriske tester Stia Lyderse Presetert på Regioal forskigskoferase for psykiatri og rusfeltet Ålesud 4 jui 03 Behadlig : 6, 5, 37,,

Detaljer

TMA4245 Statistikk. Øving nummer b5. Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag

TMA4245 Statistikk. Øving nummer b5. Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4245 Statistikk Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Øvig ummer b5 Oppgave 1 Eksame mai 2001, oppgave 1 av 4 Vi ser på kosetrasjoe av et giftstoff i havbue like utefor

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010 Kp. 6, del 4

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010 Kp. 6, del 4 ÅMA11 Sasylighetsregig med statistikk, våre 21 Kp. 6, del 4 Bjør H. Auestad Istitutt for matematikk og aturviteskap Uiversitetet i Stavager 22. mars Bjør H. Auestad Kp. 6: Hypotesetestig del 4 1/ 29 Bjør

Detaljer

Hypotesetesting, del 4

Hypotesetesting, del 4 Oversikt, del 4 t-fordelig t-test t-itervall Del 5 Kofidesitervall vs. test p-verdi t-fordelig Rett på defiisjo: Utgagspuktet er målemodelle med ormalatakelse: X 1,...,X,u.i.f.tilf.var.derX i Nμ, σ 2 ).La

Detaljer

Likningssystem for maksimum likelihood løsning

Likningssystem for maksimum likelihood løsning Maksimum likelihood metode Likigssystem for maksimum likelihood løsig Treig av klassifikator ute merket treigssett. Atakelser (i første omgag): Atall klasser c er kjet, ÁpriorisasyligheteeP(w i ), i =

Detaljer

Avsnitt 8.1 i læreboka Differensligninger

Avsnitt 8.1 i læreboka Differensligninger Diskret Matematikk Fredag 6. ovember 015 Avsitt 8.1 i læreboka Differesligiger I kapittel lærte vi om følger og rekker. Vi studerte både aritmetiske og geometriske følger og rekker. Noe følger og rekker

Detaljer

Kraftforsyningsberedskap. Roger Steen Seniorrådgiver Beredskapsseksjonen NVE, rost@nve.no

Kraftforsyningsberedskap. Roger Steen Seniorrådgiver Beredskapsseksjonen NVE, rost@nve.no Kraftforsyigsberedskap Roger Stee Seiorrådgiver Beredskapsseksjoe NVE, rost@ve.o Beredskapsasvar Olje- og eergidepartemetet har det overordede asvaret for ladets kraftforsyig. Det operative asvaret for

Detaljer

STK1100: Kombinatorikk

STK1100: Kombinatorikk 1100: ombiatorikk auar 2009 Ørulf orga Matematisk istitutt Uiversitetet i Oslo 1 Uiform sasylighetsmodell: t stokastisk forsøk har N utfall Det er de mulige utfallee for forsøket i atar at de N utfallee

Detaljer