UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT

Transkript

1 UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Øvelsesoppgave i: ECON30 Statistikk HØST 004 Dato for utleverig: Fredag 5. oktober 004 Frist for ileverig: Osdag 7. oktober 004, seest kl Ileverigssted: Ekspedisjoskotoret,. et. Øvrig iformasjo: Dee øvelsesoppgave er obligatorisk. Dee oppgave vil IKKE bli gitt e tellede karakter. E evt. karakter er ku veiledede Du må beytte e ferdig trykket forside som du fier på Det er viktig at øvelsesoppgave blir levert ie friste (se over). Oppgaver levert etter friste vil ikke bli rettet.*) Alle øvelsesoppgaver må leveres på ileverigsstedet som er agitt over. Du må ikke levere øvelsesoppgave direkte til emelærere eller ved e-post. Dersom du øsker å levere i oppgave før ileverigsfriste, bes du kotakte istituttets ekspedisjoskotor i. etg. Dersom øvelsesoppgave ikke blir godkjet, vil du få e y mulighet ved at du får e y oppgave som skal leveres med e svært kort frist. Dersom heller ikke dette forsøket lykkes, vil du ikke få aledig til å avlegge eksame i dette emet. Du vil da bli trukket fra eksame, slik at det ikke vil bli et tellede forsøk. *) Dersom e studet meer at ha eller hu har e god gru for ikke å levere oppgave ie friste (for eksempel pga. sykdom) bør ha/hu diskutere sake med emelærer, og søke om utsettelse. Normalt vil utsettelse ku bli ivilget dersom det er e dokumetert gru (for eksempel legeerklærig). Merk besvarelse med av og persoummer Samarbeid gjere, me hver ekelt skal skrive selvstedig rapport. Plagiater blir forkastet. Særlig gjelder dette oppgavee der du skal trekke tilfeldige tall: lag di ege tallrekke! Legg arbeid i å skrive forståelig med skikkelige kommetarer. Bare å levere e buke EDB-utskrifter vil ikke bli godkjet.

2 OPPGAVE Vi skal edefor se på korrelasjoe mellom røykig og hjertekarsykdommer. Me først skal vi bruke Excel til å lære litt mer om korrelasjoskoeffisiete.. La X og Z være uavhegige og ormalfordelte, N(0, ). Sett Y = Z - X. Vis at E(XY) = - og at (de teoretiske) korrelasjoskoeffisiete mellom X og Y er ρ ( XY, ) = = Hit: Bruk at XY = XZ X E(XY) = E(XZ) E(X ), at X og Z er uavhegige og at E(X) = E(Z) = E(Y) = 0. Jfr. også defiisjoee 06, 5, 7 og regeregel 4 (gammel utgave)/formel (4.6), defiisjoee 4.3 og 4.4, og regel 4.8 (y utgave) i boka.. Bruk Excel (Mey: Tools-> Data Aalysis -> Radom Number geeratio) til å simulere (trekke) = 0 observasjoer av X og Z: (x,z ), (x,z ),..., (x,z ). Bruk stadardormalfordelige, og velg selv et tall som frø ( seed, d.v.s. startpukt for trekkig av tilfeldige tall), for eksempel di fødselsdato, skrevet som ddmmåå ute pukter. Plott Z mot X (dvs. lag et spredigsplott. egelsk: scatter plot, jfr fig..9 i boka). X og Z bør etter si kostruksjo være uavhegige. Gir plottet itrykk av dette? Bereg deretter Y og plott Y mot X. Gir plottet itrykk av avhegighet mellom X og Y? Positiv eller egativ avhegighet? 3. Bruk samme metode som ovefor til å simulere = 0 observasjoer av (X,Y) år ρ(x,y) = -0. og år ρ(x,y) = 0.9. Lag spredigsplott i begge tilfeller. Hit: Sett Y = Z + ax. Vis at S = ( X X)( Y Y) E[( X E( X))( Y E( Y))] = cov( X, Y). XY i i Velg deretter a slik at ρ får de øskete verdie. Det ka være lurt å løse uttrykket for ρ med hesy på a. 4. Det abefales å lese avsitt 6. i boka før de følgede puktee besvares. I eksemplee ovefor er de teoretiske korrelasjoskoeffisiete, ρ, kjet. I praksis, med data fra virkelighete, vil populasjosstørrelsee var(x), var(y) og cov(x,y) og dermed også ρ være ukjete og må estimeres. Hvis (X,Y ), (X,Y ),..., (X,Y ) er sammehørede observasjoer av X og Y, er aturlige estimatorer for var(x), var(y), og cov(x,y) heholdsvis:

3 3 S = ( X X) E[( X E( X)) ] = var( X), X i S = ( Y Y) E[( Y E( Y)) ] = var( Y), Y i S = ( X X)( Y Y) E[( X E( X))( Y E( Y))] = cov( X, Y). XY i i der betyr tilærmet lik. Uttrykkee til vestre for er estimatorer for de ukjete populasjosstørrelsee til høyre. Det ka vises at estimatoree har e tedes til å produsere bedre estimater (aslagsverdier) for estimadee (uttrykkee til høyre) dess større er. Side ρ = cov( X, Y) / var( X).var( Y), er SXY cov( X, Y) r = r( X, Y) = = ρ S. S var( X).var( Y) X Y e aturlig estimator for ρ (de klassiske Pearso s produkt-momet korrelasjos koeffisiet). Excel bereger dee ved fuksjoe CORREL (uder statistical fuctios). Ta utgagspukt i dataee fra pukt, der altså ρ = / er kjet. Vi later som vi ikke kjeer ρ og estimerer de ut fra data ved r. Gjør det og rapporter hvor stor estimerigsfeile, r - ρ, ble. Kommeter resultatet. 5. For å få itrykk av hvor god (eller dårlig) r er som estimator, skal vi se på hvorda r oppfører seg ved gjetatt bruk. Gjeta eksperimetet i pukt 5 gager og bereg r hver gag. (Det ka være arbeidsbesparede å simulere de 500 observasjoee du treger for X og Z på e gag og berege r for de 5 utvalgee ved å utytte kopierigsmulighetee i Excel.) Samle til slutt de 5 r-observasjoee rett uder hveradre i e koloe. Du har å laget deg et sampel (utvalg) på 5 observasjoer av r. Beskriv de empiriske fordelige (ved histogram), gjeomsitt, media, kvartiler og stadardavvik for dette utvalget. Syes r å være ormalfordelt? Virker r pålitelig som e estimator for ρ? 6. Gjeta eksperimetet i pukt 5, me å med = 50 observasjoer (istedefor = 0) av X og Y for hver beregig av r. Hvilke betydig syes det å ha for r s egeskaper som estimator at atall observasjoer av X og Y har blitt større? 7. La å Y = Z - 3X der X og Z er uavhegige og ormalfordelte, N(0, ), som i pukt. Simuler (dvs. trekk) = 50 observasjoer av (X,Y) og plott Y mot X. Estimer ρ(x,y) og

4 4 kommeter resultatet. Hva er de sae ρ i dette tilfellet? Tyder resultatee die på at X og Y er stokastisk uavhegige? (Hit: Du vil kaskje ha ytte av å vite at hvis X er ormalfordelt med forvetig 0, så ka det vises at også E(X 3 ) = 0, som for øvrig gjelder for ehver symmetrisk fordelig med forvetig lik 0.) 8. Faree ved røykig har vært studert og dokumetert ved mage statistiske udersøkelser side krige. Dette har bl.a. ført til reklameforbud, påbud om trykte advarsler på tobakksprodukter og e viss holdigsedrig. Vi skal se på oe tall fra 60- åree som gir gjeomsittlig sigarettforbruk og dødelighet av hjertekarsykdommer (HKS) for = lad. År Lad Sigarett-kosum pr. vokse pr. år HKS dødelighet pr (Alder 35-64) 96 USA ,9 96 Caada 3350,6 96 Australia 30 38, 96 New Zealad 30,8 963 Storbritaia , 96 Sveits 780 4,5 96 Irlad ,3 96 Islad 90 0,5 96 Filad 60 33, 963 Vest Tysklad ,3 96 Nederlad 80 4,7 96 Hellas 800 4, 96 Østerrike 770 8, 96 Belgia 700 8, 96 Mexico 680 3,9 963 Italia 50 4,3 96 Damark ,9 96 Frakrike 40 59,7 96 Sverige 70 6,9 96 Spaia 00 43,9 96 Norge ,3 Tallee er hetet fra Larse & Marx, A Itroductio to Mathematical Statistics ad Its Applicatios, Pretice Hall, som har flere referaser.

5 5 Lag spredigsdiagram og estimer korrelasjoskoeffisiete, ρ, mellom sigarettforbruk og HKS-dødelighet. Kommeter svaret. Ata vi edret beevige for HKS-dødelighet fra pr til pr (For eksempel for USA: 56,9 pr = 5,69 pr ). Hvilke kosekves har dee edrige for stadardavvik, kovarias, korrelasjoskoeffisiet og deres estimater? Hvorfor er korrelasjoskoeffisiete uberørt?