EKSAMEN. ANTALL SIDER UTLEVERT: 7 (innkl. forside og 2 sider formelark)

Transkript

1 KANDIDATNUMMER: EKSAMEN FAGNAVN: Mtemtikk FAGNUMMER: REA EKSAMENSDATO: 5. desember 6 KLASSE:. klssene, ingenørutdnning. TID: kl FAGLÆRER: Hns Petter Hornæs ANTALL SIDER UTLEVERT: 7 (innkl. forside og sider formelrk) TILLATTE HJELPEMIDLER: John Hugn: Formler og tbeller. Formelsmling i mtemtikk (X Y MX MY MZ MX MZ) INNFØRING MED PENN, evt. trykkblynt som gir gjennomslg. Ved innlevering skilles hvit og gul besvrelse og legges i hvert sitt omslg. Oppgvetekst, kldd og blå kopi beholder kndidten. Husk kndidtnummer på lle rk.

2 Eksmen i Mtemtikk 5. desember 6 Oppgve til oppgve på side erflervlgsoppgver. Flervlgsoppgvene teller.7% per bokstvpunkt. Det vil si t det i mellomregnskpet gies 5 v totlt poeng for hvert rett svr. Flervlgsoppgven skl besvres med en enkelt bokstv, uten begrunnelse. Oppgve 5 til oppgve 8 på side teller 8.% per bokstvpunkt. Det vil si t det i mellomregnskpet gies mksimlt v poeng for hvert bokstvpunkt. Oppgve I figuren under vises grfen til en funksjon f (med uoppgitt funksjonsuttrykk f()) for. f() I figur på side er det seks ndre grfer til funksjoner kllt A, B, C, D, E og F på smme intervll. En v kurvene i figur er grfen til den deriverte v f, dvs.f (). Hvilken? A f () =A() B f () =B() C f () =C() D f () =D() E f () =E() F f () =F () b) I figur er også en v kurvene grfen til integrlfunksjonen f(t) dt. Hvilken? A D f(t) dt = A() f(t) dt = D() B E f(t) dt = B() C f(t) dt = E() F f(t) dt = C() f(t) dt = F () Oppgve sin() Hv er grensen lim? 5 A D sin() sin() sin() lim = B lim = C lim = sin() sin() sin() lim =5 E lim = F lim = 5 5 5

3 Eksmen i Mtemtikk 5. desember 6 b ) L funksjonen f være definert for lle R ved funksjonsuttrykket f() = Hvilken v lterntivene er best tilnærming til f(6)? A f(6). B f(6).5 C f(6) 7. D f(6) 76.9 E f(6) 9 F f(6) Oppgve Hvilken v de komplekse tllene under er det smme som z =+j 6? A +j 6 = B +j 6 = C +j 6 = D +j 6 = j E +j 6 =+j F +j 6 = j b) I figur på side er det tegnet fire utsnitt v det komplekse tllpn. I hvert utsnitt er det tegnet inn komplekse tll. I hvilket v utsnittene er det z, z og z + z somertegnetinnnår z =5(cos(π/9) + j sin(π/9)) og z = j? A Fig. A viser z, z og z + z. B Fig. B viser z, z og z + z. C Fig. C viser z, z og z + z. D Fig. D viser z, z og z + z. Oppgve Hvilken v følgende smmenhenger er snne for lle positive reelle tll og y? A ln( + y) =ln()+ln(y) B ln( + y) =ln() ln(y) C ln( y) =ln()+ln(y) D ln( y) =ln()ln(y) b) L f() være funksjonsuttrykket for en funksjon, med f () som funksjonsuttrykk for den deriverte. Hvilken v følgende smmenhenger er d generelt gyldige hvis f er deriverbr for =? A f f( ) f() () = lim B f f( )+f() () = lim C f f() f() () = lim D f f( + ) f() () = lim Figurer til oppgve og b følger på neste side (side ). På side kommer oppgve 5 8, som ikke er flervlgsoppgver.

4 Eksmen i Mtemtikk 5. desember 6 Figur. Figur til oppgve A() B() C() D() E() F () - - Figur. Figur til oppgve b Fig. A I Fig. B I y y R R Fig. C I Fig. D I y y R R

5 Eksmen i Mtemtikk 5. desember 6 Oppgve 5 Deriver funksjonen f gitt ved funksjonsuttrykket f() =ln( ). b) En kurve C i y plnet er gitt ved likningen y =ln( ). Finn en likning for tngenten til C i punktet der =. Oppgve 6 En prtikkel beveger seg i y plnet slik t posisjonen ved tidspunktet t ergittved r(t) = [ e t,e ] t. b ) Finn hstighetsvektoren v(t) = dr (t) generelt og spesielt ved strttidspunktet t =. dt Angi en likning i krtesiske koordinter (y koordinter) for bnen til denne prtikkelen, og skisser bnen for hele tidsrommet t<. Oppgve 7 Regn ut det bestemte integrlet 9 d b ) Fltestykket F vgrenset v ksen og kurv gitt ved likningen y = roteres om ksen og dnner er omdreiningslegeme T. Regn ut volumet v T. Oppgve 8 b ) Deriver funksjonen f gitt for lle R ved f() =, og vgjør for hvilke reelle tll funksjonen er voksende. Funksjonen f hr en omvendt funksjon y = g(). Punktet A med koordinter (f(), ) er et punkt på grfentilg(). Funksjonen y = g() =f () er som vnlig definert implisitt ved = f(y), som i dette tilfellet er = y y. Lineriser g rundt punktet A og bruk resulttet til å finne en tilnærmingsverdi for g(.6). Svret skl gies som et desimltll med to desimler. Du får bruk for å regne ut / ln() som desimltll. Bruk t / ln().. Slutt på oppgvene. Formler for derivsjon og integrsjon på detonestesidene. Lykke til.

6 Eksmen i Mtemtikk 5. desember 6 5 Formelrk. Derivsjon og integrsjon (to sider). Derivsjonsregler f, g, u og v er deriverbre funksjoner., b og r er konstnter. Generelle derivsjonsregler f f f + bg f + bg Lineritet u v u v + u v Produktregelen u v u v u v v Kvotienttregelen f(u()) f (u) u () Kjerneregelen Den deriverte v spesielle funksjoner f() f () 5 + b Spesielt f() = + b: b = 6 r r r Også omr er negtiv eller en brøk 7 sin() cos() 8 cos() sin() 9 tn() +tn () Alterntiv: tn() =/ cos () e e ln() rcsin() Mer generelt: ln( ) =/ rctn() +

7 Eksmen i Mtemtikk 5. desember 6 6 Integrsjonsregler Generelle integrsjonsregler f + bg d = fd+ b gd u v d = uv u vd f(u()) u () d = f(u) du Lineritet Delvis integrsjon Substitusjon Integrlet v spesielle funksjoner d = + C Integrsjon v konstnt r d = r+ r+ + C r (Se for r = ) cos() d = sin() +C sin() d = cos() +C e d = e + C d = ln( )+C d = rcsin()+c d = rctn()+c + Bestemte integrler ) Hvis f() er kontinuerlig og F () =f()er b f() d =[F ()] b = F (b) F (). 5) Integrsjon over smmenstt område, A er disjunkt union v intervllene [, c] og [d, b]: c b b c b f() d = f() d+ f() d. Spesielt f() d = f() d+ f() d. A d c 6) Ombytting v grenser: 7) Substitusjon: b b f() d = f(u())u () d = b f() d. u(b) u() f(u) du. Helt slutt!

8 Løsning, eksmen i Mtemtikk 5. desember 6 Oppgve ) F. F () er negtiv der f er vtgende, positiv der f er voksende. b) A. Siden f() er positiv er funksjonen voksende. Dessuten er A() = f(t)dt =. Oppgve cos() ) C. Ved f.eks. L Hopitls regel finner vi t grensen er lim 5 = 5 =. b) B. lim f() = 5 =.5, og for store er funksjonsverdien i nærheten v denne verdien. Oppgve ) A. j 6 = j j j =( ) = så+j 6 = =. b) B. D π/9 er en forholdsvis liten vinkel er z tllet reltivt fltt på skrått oppover mot høyre som er felles for figur B, C og D. z ligger i. kvdrnt, og er punktet felles for figur A, B og D. Dermed hr figur B og D begge punktene, og summen ved prlellogrmloven finnes i figur B. Oppgve ) C. Dette stmmer fr e u+v = e u e v,medu =ln(), v =ln(y) ogåtlnpå begge sider. b) C. Dette er definisjonen f () = lim Oppgve 5 f( + ) f(), ved omskrivningen =. Kjerneregelen: Ytre funksjon ln(u) med derivert /u, ogkjerneu = medu =: d d f(u()) = f (u)u () = u =. =,så tngent- b ) Funksjonsverdien er f() = ln( ) = ln() = og f () = likningen y = f()+f ()( ) gir y =+( ) y =. Oppgve 6 Koordintvis derivsjon (med kjerneregelen, med kjerner hhv. t og t) gir v(t) = [ e t, e t ] Dermed er v() = [ e, e ] =[, ] b) = e t = ( e t) = y så = y

9 Løsning, eksmen i Mtemtikk 5. desember 6 Dette er stndrdprbelen liggende, og siden e = og lim t e t =vily koordinten gå fr til, og hele bnen er følgende utsnitt v denne prbelen:,5 y,5,5,5 Prtikkelen strter oppe til høyre og går etterhvert veldig skte innover mot origo. Oppgve 7 Substituer med u =. Dette gir du/d = d = du. Substitusjon i grensene gir ØG: u = =ogng:u = =: 9 d = 9 u du = [ u u ] ( = ) [ ] u / du = u/ = = (8 ) = b) D =for =og =erdetpåområdet vifår vgrenset et fltestykke v prbelen og ksen. Volumet er ved skivemetoden V = π b y d, som i dette tilfellet er Oppgve 8 V = π π ( ) d = π + d = π ( + ) 5 ( = π ) [ + ] 5 5 = = π = π. ) Vi kn skrive = e ln() og = e ln(),ogfår (ved kjerneregelen i begge ledd): ( f () =e ln() ln() e ln() ( ln()) = ln() e ln() + e ln()) =ln() ( + ). Siden ln(), og lle er positive for lle er f () >, og dermed f voksende, for lle reelle tll.

10 Løsning, eksmen i Mtemtikk 5. desember 6 b) f() = = =,så g( ) =, og punktet A hr koordinter (/, ). Implisitt derivsjon v = y y, ved kjerneregelen (kjerne y) ogderivsjonenfr oppgven gir: ln() ( y + y) y = Ved å sette inn =/ ogy = finner vi en likning til å finne y i A: ln() ( ( + ) y = ln() + ) y = y = 5 ln() = 5ln(). Lineriseringsformelen P () =g()+g ()( ) girdermed Tilnærmet med desimltll er dette P () =+ 5ln() ( P () =. +..(.5) P () = (.5) f(.6) P (.6) = (.6.5) = =.6. (Kommentr: Mplekommndoen fsolve(^y-^(-y)=.6,y=.5...5); gir svret.57686) )