MAT 100a - LAB 4. Før vi gjør dette, skal vi for ordens skyld gjennomgå Maple-kommandoene for integrasjon (cf. GswM kap. 12).

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "MAT 100a - LAB 4. Før vi gjør dette, skal vi for ordens skyld gjennomgå Maple-kommandoene for integrasjon (cf. GswM kap. 12)."

Transkript

1 MAT 00 - LAB 4 Denne øvelsen er i hovedsk viet til integrsjon. For mnge er integrsjon i prksis det smme som ntiderivsjon, og noe som kn rukes til å eregne relet v enkelte områder i plnet som lr seg egrense mellom grfer v funksjoner. Vi skl utnytte Mple til å prøve å oppnå en edre forståelse v egrepet ved å illustrere relsjonen mellom estemte integrler og Riemnn summer, nvende nlysens fundmentle sts på et pr eksempler og se litt på hvordn mnge estemte integrler kn pproksimeres numerisk med reltivt god presisjon. Før vi gjør dette, skl vi for ordens skyld gjennomgå Mple-kommndoene for integrsjon (cf. GswM kp. ). Mple er rimelig god til å finne uestemte integrler (mo til å ntiderivere) dersom disse lr seg uttrykke ved hjelp v elementære funksjoner. På den ndre siden er den veldig god til å eregne estemte integrler numerisk.. For å eregne det uestemte integrlet f( x) dx rukes kommndoen [> int ( f(x), x ) ; Når Mple ikke klrer å finne en ntiderivert v f(x) returneres re f( x) dx. Ellers oppgir Mple re en ntiderivert for f(x) : den tr ikke med en integrsjonskonstnt i svret. L oss f. eks eregne x ( x ) x 4 + dx (som er gnske tidkrevende å eregne for hånd): > f:=x->x^*(-x)/(x^4+); > int(f(x),x); 4 ln x x + x + x + f := x x ( x) x rctn ( x + ) rctn ( x ) 4 ln ( x 4 + ) Vi ør jo stole på t Mple regner riktig, men l oss sjekke t dette svret virkelig er en ntiderivert v f(x) = x ( x ) x 4 : + Pge

2 > diff(%,x); 4 x x + x + x + + ( x ) x 4 + ( x x + ) ( x + ) ( x + x + ) ( x + x + ) x x ( x + ) Dette svret likner ikke helt på f(x), så vi omformer det: > fctor(%); ( + x) x ( x + x + ) ( x x + ) At uttrykket ovenfor er det smme som f(x) følger v t dets nevner er det smme som x 4 +. Dette kn vi sjekke ved > expnd(denom(%)); # OBS: denom(%) ngir nevneren i %! x 4 + I dette eksemplet hdde vi ikke trengt å definere funksjonen f(x) først : det hdde vært nok å ruke uttrykket som eskriver f(x). L oss nå e Mple om å prøve å eregne sin( x ( x) ) dx : > int(sin(x^*(-x)),x); sin( x ) d ( x) x Legg merke til hvor (reltivt) lng tid Mple ruker før den svrer ved å returnere integrlet tilke: den prøver gjennom hele sitt repertor før den gir opp!. Til å eregne det estemte integrlet f( x) dx rukes kommndoen [> int( f(x), x =.. ); F. eks. kn vi eregne x ( x ) dx ved x Pge

3 > int(x^*(-x)/(x^4+), x = 0..); 4 ( ) 4 ( ) ( rctn ( ln( 7 ) 4 og vi kn d få svret ut på desimlform ved > evlf(%); Vi kunne også h skrevet direkte > evlf(int(x^*(-x)/(x^4+), x = 0..)); eller vi kunne h oppgitt en v integrsjonsgrensene på desimlform: > int(x^*(-x)/(x^4+), x = 0...0); L oss prøve å eregne sin( x ( x) ) dx ved disse tre lterntive måter: 0 > int(sin(x^*(-x)),x =0..); sin( x ) d ( x) x > evlf(int(sin(x^*(-x)),x =0..)); > int(sin(x^*(-x)),x =0...0); sin( x ( x) ) dx I første og tredje lterntiv forsøker Mple å finne en ntiderivert, gir opp, og returner re det estemte integrlet tilke. I det ndre lterntivet returnerer Mple et desimltll som svr. Dette er fordi Mple d velgerå finne et pproksimtivt svr ved å nvende en vnsert metode for såklt numerisk integrsjon. Vi skl se litt på en enkel metode for numerisk integrsjon litt senere i øvelsen. Vi oppsummerer dette slik: Til å eregne f( x) dx ved numerisk integrsjon rukes kommndoen [> evlf( int( f(x), x =.. )); Pge 3

4 L oss eregne A = > A =int(ln(x), x=..4.0); > A = evlf(int(ln(x), x=..4)); 4 ln( x) dx på desimlform ved å ruke egge måtene: A = I = Som vi ser er det en miniml forskjell mellom disse to svrene. Det ndre svret eregnes direkte ved numerisk integrsjon. Under utførelsen v den første kommndoen eregner Mple først en ntiderivert F(x) v f(x) = ln(x) (som du lett kn eregne selv ved delvis integrsjon). Deretter ruker Mple nlysens 4.0 fundmentlsts, som her sier t ln( x) dx = F( 4.0 ) F( ), og den regner til slutt dette svret om til desimlform. Vi kunne h utført trinnene i denne prossessen slik: > F:=int(ln(x),x); F := x ln( x) x > sus(x=4.0,f)-sus(x=,f); > A = evlf(%); 4.0 ln( 4.0 ) 3.0 ln( ) A = Vi kn forøvrig lett sjekke her t det oppgitte uttrykket F er en ntideriverte v ln(x) ved > diff(f,x); ln( x) I Mples studentpkke "student", som du kn lste ned ved å utføre kommndoen [> with( student): finnes det l.. egne kommndoer for å utføre sustitusjon eller delvis integrsjon i integrler. Disse kommndoene skl vi ikke ruke tid på her (du kn lese om dem i GswM hvis du vil): poenget er t mn ør først li fortrolig med hvordn disse metodene utføres for hånd, ikke re med tnke på eksmen, men også med tnke på senere nvendelser v disse viktige metodene i ndre kurs. Ofte vil de gjøre det mulig å omformulere et prolem til et nnet som kn løses, for hånd eller ved hjelp v Mple. Oppgve Pge 4

5 ) Finn x + dx og A = x tn( v) ) Finn dv og B = + cos( v) 4 9 x + x 0 π 3 dx ved hjelp v Mple. tn( v ) + cos( v ) dv ved hjelp v Mple. c) Angi A og B på desimlform ved å ruke tre forskjellige måter. Merknd: Integrlene i ) og ) lr seg regne ut for hånd uten lt for store prolemer, men det tr litt tid. Prøv gjerne det en gng du hr tid! 3. Vi skl nå se på relsjonen mellom det estemte integrlet v en (integrerr) funksjon f(x) på et intervll [,] og noen v Riemnnsummene som kn tilordnes f(x) og en prtisjon v [,]. For enkelhets skyld skl vi re etrkte regulære prtisjoner, dvs t vi deler opp intervllet [,] i et visst ntll n like lnge delintervller [ x i, x i ]. Lengden på hvert delintervll klles "skritt-lengden" og er lik = n. Hvert delepunkt x i er d gitt ved x i = + i, for i = 0,,..., n. Til ethvert vlg v tll c i i intervllet [ x i, x i ] for i =,..., n, kn vi nå definerere følgende Riemnnsum n i = R = f( c i ) = n n i = f( c i ) Dersom funksjonen f(x) er integrerr på [,] (f. eks. dersom f er kontinuerlig på [,]) og tllet n er stort nok, så vil R være en tilnærmelse v integrlet A = f( x) dx, unsett vlg v tllene c i. Dette er noe løst formulert, men holder til vårt formål i denne øvelsen. I smme løse stil kn mn si t f(x) er integrerr på [,] dersom dette lltid er tilfellet, unsett vlg v prtisjon og v tllene c i. Den geometriske tolkningen v R når repeterer det llikevel. 0 f( x ) på [,] er viktig og velkjent, men vi L oss dnne et rektngel over hvert delintervll [ x i, x i ] med høyde f(c i ). Dette rektnglet hr rel lik f( c i ). Summen v relene v lle n rektnglene vi kn dnne på denne måten vil gi oss nettopp R. Skisserer mn dette ser mn t R vil være Pge 5

6 en tilnærmelse for relet v området som egrenses v grfen til f(x) rett over intervllet [,]. Det er derfor nturlig å tolke A = f( x) dx som verdien v dette relet. Et eksempel på hvordn tllene c i kn velges er når hver c i velges som venstre-endepunkt i intervllet [ x i, x i ], m..o. t vi velger c i = x i = + ( i ), for i =,..., n. Den tilhørende Riemnnsummen L(n) vi d får vhenger v n og er gitt ved L(n) = n i = f( c i ) = n i = f ( + ( i ) ) der = n er skrittlengden. Vi skl nå illustrere dette, og vi trenger d først å lste ned Mple's "student"- pkke : > with(student): Der finnes tilgjengelig kommndoen [> leftox( f(x), x=.., n ); Denne kommndoen tegner opp grfen til f(x) over [,] smt lle rektnglene som kommer frem når vi deler opp [,] i n like delintervller og velger nettopp c i -ene som venstre-endepunkt i hvert delintervll. L oss prøve denne kommndoen på f( x ) = x ( x ) x 4 + og [,] = [0,]. Funksjonen f(x) hr vi definert tidligere i øvelsen, så vi kn utføre "leftox"- kommndoen med f.eks. n = 0 slik: > leftox(f(x),x=0..,0); Pge 6

7 Figuren tler i grunnen for seg selv. Riemnnsummen L(0) er summen v relet v rektnglene vi nå ser. 0 Med = 0 og = er = =, så med n =0 lir = n n 0 = = 0., noe vi 5 ser stemmer overens med skrittlengden i delintervllene som kommer frem ovenfor. Riemnnsummen L(0) kn vi få frem ved å ruke formelen for L(n) med n = 0 i følgende kommndo: > L0 := (/5) * Sum( f( (/5)*(i-) ),i=..0); L0 := 5 0 i = 5 i i + 5 i 4 5 og vi kn så få den eregnet på desimlform ved > evlf(%); Dette er fktisk gnske nær verdien v A = 0 f( x) dx ( som vi hr eregnet før): > A:= int(f(x),x=0...0); A := I student-pkken finnes ferdig lget kommndoen [> leftsum(f(x),x=..,n); for å få frem L(n). Pge 7

8 Så for å frem L(0) i vårt eksempel hdde vi re trengt å utføre > leftsum(f(x),x=0..,0); 5 9 i = 0 5 i 5 i + 65 i4 Denne summen ser litt nnerledes ut enn den vi fikk frem på egen hånd, men det eror i t Mple hr forskjøvet summsjonsindeksen i med og gjort litt om på uttrykkene. Summen lir det smme som vår: > evlf(%); Vi kn forøvrig også få frem den ekskte verdien v summen ved > vlue(leftsum(f(x),x=0..,0)); Oppgve Vi etrker fremdeles smme f(x) på [0,]. Illustrer Riemnnsummen som kommer frem når vi nå velger n=50 (og c i -ene til å være venstre-endepunktene). Beregn L(50) og smmenlikn det med A. 4. Det er klrt t vi også kn velge c i -ene til å være lle høyre-endepunktene i hvert delintervll, eller til å være lle midtpunktene i hvert delintervll. Mple viser disse lterntivene frem ved h.h.v kommndoene [> rightox( f(x), x=.., n ); og [> middleox( f(x), x=.., n); De tilhørende Riemnnsummene, som vi kn etegne med h.h.v. R(n) og M(n), fåes frem ved kommndoene [> rightsum( f(x), x=.., n ); og [> middlesum( f(x), x=.., n ); L oss ruke "midtpunkt"-vrinten på vårt eksempel, igjen med n=0: > middleox( f(x), x = 0.., 0 ); Pge 8

9 Vi kn eregne Riemnnsummen M(0) på desimlform ved > M0 := evlf( middlesum(f(x), x = 0.., 0) ); M0 := Denne summen er nærmere verdien v A enn L0 vr, noe som er et vnlig fenomen for en "norml" funksjon og lett å tippe utifr figuren(e), Dette kn vi jo sjekke ved > A; s(a-m0); Oppgve 3 Beregn "midtpunkt"-riemnnsummen M(50) og "høyre-endepunkt"-riemnnsummen R(50) (fremdeles for smme f(x) på [0,]) og smmenlikn disse verdiene med A. 5. Den enkleste måten å foret såklt "numerisk integrsjon" for å pproksimere A = f( x) dx er å eregne en v Riemnnsummene L(n), M(n) eller R(n) for en pssende stor n. Begrunnelsen for dette er jo t når f(x) er integrerr på [,], så vet vi t Pge 9

10 lim n L( n ) = lim n M( n ) = lim n R( n ) = A. Vi hr f.eks. nettopp sett i vårt eksempel t M(0) er gnske nær A: de tre første sifferne i desimlutviklingene er like. Du kn jo også sjekke hvor mnge v siffrene i desimlutviklingene for M(50) og A som er like. Oppgve 4 Prøv deg frem med forskjellige verdier v n helt til du finner et tll n slik t de syv første siffrene i desimlutviklingen for M(n) og A er like. Et prolem med disse pproksimsjonsmåtene er t vi generelt ikke vet hvor nær L(n), M(n) eller R(n) vil være A. Her hr vi dessuten tilgjengelig en verdi for A som Mple oppgir. Det ville vi knskje ikke htt dersom vi re hdde regnet for hånd. Skl en slik pproksimsjonsmetode være rukr, må vi også kunne fortelle hvor stor feil den vil kunne gi. Det finnes flere måter å foret numerisk integrsjon på der mn hr gode feilestimter tilgjengelige. Interesserte kn lese en introduksjon til dette emnet i Lindstrøms ok, vsnitt 8.6. Vi skl her ikke ekymre oss over dette med feilestimter. Ideen k flere v disse metodene er å prøve seg med en veiet kominsjon v L(n), M(n) og R(n). * Trpes metoden ruker f.eks. følgende kominsjon v L(n) og R(n): T(n) = L(n) + R(n). * Simpsons metode, som vi skl konsentrere oss om, ruker: S(n) = 6 L(n) + 3 M(n) + 6 R(n). Ideen k Simpsons metode skl vi egrunnes helt til slutt i et onus-vsnitt. Det mn ør vite er t den er veldig effektiv for en stor klsse v funksjoner. L oss først påpeke t S(n) vil være en pproksimsjon v A = f( x) dx når n er stor nok siden lim n S( n ) = 6 lim n L( n ) + 3 lim n M( n ) + 6 lim n R( n ) Pge 0

11 = 6 A + 3 A + 6 A = A. Deretter går vi tilke til vårt eksempel og sjekker f.eks. t S(0) virkelig gir en god pproksimsjon v A. Vi lger likegodt først et generell oppsett for å eregne S(n). Siden vi gjerne vil ruke oppsettet på flere eksempler senere, ruker vi nvnet g(x) for den generelle funksjonen som inngår i kommndoene under. > L:= leftsum(g(x),x=..,n): M:= middlesum(g(x),x=..,n): R:= rightsum(g(x),x=..,n): S:= (/6)*L + (/3)*M + (/6)*R: Vi kn nå eregne S(0) i vårt eksempel slik: > g:=f: :=0: :=: n:=0: S0:=evlf(S); S0 := Vi kn se t S(0) er en god pproksimsjon v A siden > A; For moro skyld eregner vi også S(50): > n:=50: S50:= evlf(s); S50 := Denne stemmer overens med A med 8 desimler. For ordens skyld klrgjør vi g, og : > unssign('g','',''); 6. Simpsons metode kn f. eks. rukes til å pproksimere tllet π. Utgngspunktet er følgende formel 0 dx = rctn() - rctn(0) = π + x 4 som er en enkel konsekvens v nlysens fundmentle teorem. Pge

12 . Ved å etrkte funksjonen g(x) = på [0,] og de tilhørende summene S(n) vil + x vi få frem pproksimsjoner v π. Vi kn derfor pproksimere tllet π ved å eregne 4 4 S(n) for en pssende stor n. Vi setter først > g:=x->/(+x^): :=0: :=: og pproksimerer π ved å eregne f.eks. 4 S(0) : > n:=0: P0:=evlf(4*S); P0 := Vi kn sjekke t dette er det smme som det Mple ngir for π : > evlf(pi); For å få en følelse v hvor rskt 4 S(n) nærmer seg tllet π når n vokser kn vi lge en liste estående v tllene 4 S(),..., 4 S(0): > n:='n': seq( evlf(4*s), n=..0 ); , , , , , , , , , Der ser vi t tllet 4 S(), som vi lett kunne h regnet ut for hånd, llerede ngir π med fire riktige desimler. Vi skl ikke si noe om hv som er kjent v feilestimter for Simpsons metode og hvilken klsse v funksjoner disse gjelder for: interesserte kn lese litt om det i Lindstrøms ok. Oppgve 5 Bruk t x dx = ln( ) i kominsjon med Simpsons metode til å pproksimere tllet ln(). Ikke gi deg før du klrer å få smme svr som Mple selv ngir for ln(). Pge

13 Oppgve 6 Lg et oppsett til å pproksimere estemte integrler sert på formelen T(n) = / L(n) + R(n). (Dette klles som sgt trpes-metoden). Bruk dette oppsettet til å pproksimere π og ln() (ruk f.eks. n=0 og n= 50), og smmenlikn svrene med det du fikk ved Simpsons metode. 7. Bonus-vsnitt for spesielt interesserte! Frivillig lesning! Formålet med dette vsnittet er å motivere hvorfor S(n) som rukes i Simpsons metode er definert slik det er. Dette er ikke pensum i MAT 00, og er re ttt med for de som gjerne vil h en forklring på det. Vi egynner med å se på det generelle uttrykket for S() : > unssign('g','',''); > n:=: S:=vlue(S); S := ( ) g( ) 3 ( ) g + 6 ( ) g( ) > fctor(%); 6 ( + ) g( ) g + g( ) I uttrykket for S() ovenfor inngår ikke uventet verdiene v g i, i og i midtpunktet mellom og. Det er nok ukjent for de fleste t dette utrykket ngir integrlet v g(x) fr til når g er et polynom i x v grd opptil. Dette kn vi lett sjekke med Mple: > p:=x->r*x^+s*x+t; > int(p(x),x=..); > fctor(%); p := x rx + sx+ t r ( 3 3 ) s ( ) t ( ) 6 ( + ) ( r + 3 s + r + 6 t + 3 s + r ) Uttrykket ovenfor er ltså en formel for rx + + d sx t x. At den fktisk er lik formelen for S() når g(x) = p(x) følger v følgende utregning: > g:=p: vlue(s); Pge 3

14 6 ( ) ( r + s + t ) + 3 ( ) r s + t + 6 ( ) ( r + s + t ) > fctor(%); 6 ( + ) ( r + 3 s + r + 6 t + 3 s + r ) Dette resulttet kn tolkes på følgende måte: Når en eregner S() for en generell funksjon g(x) på [,], svrer det til t en eregner integrlet fr til v polynomet p(x) v grd opptil som er estemt ved t grfen til p(x) går gjennom de tre punktene (, g() ), ( c, g( c ) ) og (, g() ), der c = + er midtpunktet mellom og. Vi hr ltså t S() = p( x) dx ( mens det vi er ute etter å eregne er A = g( x) dx ). L oss illustrere denne tolkningen på vårt eksempel f(x) = x ( x ) x 4 + over [0,]. Det er lett å innse t polynomet p(x) som går gjennom de tre punktene ( 0, f(0) ) = ( 0, 0 ), (, f() ) = (, / ) og (, f() ) = (, 0 ) er gitt ved p(x) = x x. Dette kn vi sjekke grfisk: > p:=x->x-x^/; p := x x x > plot({f(x),p(x)}, x=0..); Pge 4

15 Vi sjekker t 0 p( x) dx gir smme svr som S(): > int(p(x),x=0..); 3 > g:=f: :=0: :=: n:=: S:=vlue(S); S := 3 Ved hjelp v tolkningen v S() vi g ovenfor i det generelle tilfellet kn mn utlede følgende tolkning v S(n) ( som er den vnlige måten å innføre S(n) på ): På hvert v delintervllene [ x i, x i ] i prtisjonen v [,] i n like lnge intervller, ersttter mn g(x) med polynomet p i (x) v grd opptil som går gjennom de tre punktene (x i, g(x i ) ), ( c i, g(c i ) ) og (x i, g(x i ) ), der c i er midtpunktet mellom x i og x i. Integrerer mn fr til funksjonen som fremkommer på denne måten, gir dette nettopp uttrykket for S(n). Med litt reid kn mn innse t dette er i overenstemmelse med måten som de fleste økene ruker til å innføre Simpsons metode. Som regel "inkluderes" midtpunktene c i i prtisjonen og det er derfor vnlig å si t en strter med en prtisjon v [,] i n like lnge intervller. Pge 5

16 Oppgve 7 p( ) Sjekk t dersom p(x) er et polynom v grd opptil, så er p( x) dx = + Bruk dette til å gi geometrisk tolkning v T() for en funksjon f(x) på [,]. Gi deretter en tolkning v T(n) for en generell n. p( ). Pge 6

Matematikk 1000. Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 8 Numerisk integrasjon

Matematikk 1000. Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 8 Numerisk integrasjon Mtemtikk 1000 Øvingsoppgver i numerikk leksjon 8 Numerisk integrsjon Som kjent kn vi regne ut (bestemte) integrler ved nti-derivsjon. Dette resulttet er et v de viktikgste innen klkulus; det heter tross

Detaljer

Matematikk Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 9 Numerisk integrasjon

Matematikk Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 9 Numerisk integrasjon Mtemtikk 1000 Øvingsoppgver i numerikk leksjon 9 Numerisk integrsjon Forståelsen v integrlet som et rel ligger til grunn når vi skl beregne integrler numerisk. Litt mer presist: Når f(x) 0 for lle x i

Detaljer

Numerisk derivasjon og integrasjon utledning av feilestimater

Numerisk derivasjon og integrasjon utledning av feilestimater Numerisk derivsjon og integrsjon utledning v feilestimter Knut Mørken 6 oktober 007 1 Innledning På forelesningen /10 brukte vi litt tid på å repetere inhomogene differensligninger og rkk dermed ikke gjennomgå

Detaljer

Integrasjon Skoleprosjekt MAT4010

Integrasjon Skoleprosjekt MAT4010 Integrsjon Skoleprosjekt MAT4010 Tiin K. Kristinslund, Julin F. Rossnes og Torstein Hermnsen 19. mrs 2014 1 Innhold 1 Innledning 3 2 Integrsjon 3 3 Anlysens fundmentlteorem 7 4 Refernser 10 2 1 Innledning

Detaljer

1 k 2 + 1, k= 5. i=1. i = k + 6 eller k = i 6. m+6. (i 6) i=1

1 k 2 + 1, k= 5. i=1. i = k + 6 eller k = i 6. m+6. (i 6) i=1 TMA4 Høst 6 Norges teknisk nturvitenskpelige universitet Institutt for mtemtiske fg Løsningsforslg Øving 5 5..6 Vi er gitt summen og ønsker å skrive den på formen m k=5 k +, f(i). i= Strtpunktene er henholdsvis

Detaljer

Eneboerspillet. Håvard Johnsbråten

Eneboerspillet. Håvard Johnsbråten Håvrd Johnsråten Eneoerspillet Når vi tenker på nvendelser i mtemtikken, ser vi gjerne for oss Pytgors læresetning eller ndre formler som vi kn ruke til å eregne lengder, reler, kostnder osv. Men mer strkte

Detaljer

Integrasjon del 2. October 15, Department of Mathematical Sciences, NTNU, Norway. Integrasjon

Integrasjon del 2. October 15, Department of Mathematical Sciences, NTNU, Norway. Integrasjon Integrsjon del Deprtment of Mthemticl Sciences, NTNU, Norwy Octoer 5, 4 Integrsjon Sustitusjon for estemte integrler Husk kjærneregel d dt f (g(t)) = f (g(t)) g (t) ved fundmentlteoremet (del ) vi får

Detaljer

5: Algebra. Oppgaver Innhold Dato

5: Algebra. Oppgaver Innhold Dato 5: Alger Pln resten v året: - Kpittel 6: Ferur - Kpittel 7: Ferur/mrs - Kpittel 8: Mrs - Repetisjon: April/mi - Eventuell offentlig eksmen: Mi - Økter, prøver, prosjekter: Mi - juni For mnge er egrepet

Detaljer

1 Mandag 18. januar 2010

1 Mandag 18. januar 2010 Mndg 8. jnur 2 I denne første forelesningen skl vi friske opp litt rundt funksjoner i en vribel, se på hvordn de vokser/vtr, studere kritiske punkter og beskrive krumning og vendepunkter. Vi får ikke direkte

Detaljer

Kapittel 4.7. Newtons metode. Kapittel 4.8.

Kapittel 4.7. Newtons metode. Kapittel 4.8. Ekskt løsning Newtons metode - Integrsjon Forelesning i Mtemtikk TMA00 Hns Jko Rivertz Institutt for mtemtiske fg 0. septemer 0 Kpittel.7. Newtons metode Den ekskte løsningen v x x = 0er ikke særlig rukelig

Detaljer

Faktorisering. 1 Hva er faktorisering? 2 Hvorfor skal vi faktorisere? Per G. Østerlie Senter for IKT i utdanningen 11.

Faktorisering. 1 Hva er faktorisering? 2 Hvorfor skal vi faktorisere? Per G. Østerlie Senter for IKT i utdanningen 11. Fktorisering Per G. Østerlie Senter for IKT i utdnningen per@osterlie.no 11. mi 013 1 Hv er fktorisering? Vi må se på veret å fktorisere. Hv er det vi skl gjøre når vi fktoriserer? Svret er: å lge fktorer.

Detaljer

9.6 Tilnærminger til deriverte og integraler

9.6 Tilnærminger til deriverte og integraler 96 TILNÆRMINGER TIL DERIVERTE OG INTEGRALER 169 Figur 915 Bezier-kurve med kontrollpolygon som representerer bokstven S i Postscript-fonten Times-Romn De ulike Bezier-segmentene ser du mellom kontrollpunktene

Detaljer

... JULEPRØVE 9. trinn...

... JULEPRØVE 9. trinn... .... JULEPRØVE 9. trinn.... Nvn: Gruppe: DELPRØVE 1 uten hjelpemidler ( 37 poeng) På denne delprøven kn du re ruke skrivesker, psser og linjl. Alle oppgvene i del 1 skl føres rett på rket. I noen oppgver

Detaljer

Kapittel 4 Tall og algebra Mer øving

Kapittel 4 Tall og algebra Mer øving Kpittel 4 Tll og lger Mer øving Oppgve 1 d Oppgve 2 Se på uttrykket A = g h. Hv forteller de ulike okstvene? Se på uttrykket A = 2π. Hv står de ulike symolene for? Forklr hv vi mener med en vriel og en

Detaljer

2 Symboler i matematikken

2 Symboler i matematikken 2 Symoler i mtemtikken 2.1 Symoler som står for tll og størrelser Nvn i geometri Nvn i mtemtikken enyttes på lignende måte som nvn på yer og personer, de refererer eller representerer et tll eller en størrelse,

Detaljer

a 2πf(x) 1 + (f (x)) 2 dx.

a 2πf(x) 1 + (f (x)) 2 dx. MA 4: Anlyse Uke 44, http://home.hi.no/ svldl/m4 H Høgskolen i Agder Avdeling for relfg Institutt for mtemtiske fg Om lengde v kurver. Noen få formler der integrsjon brukes for å beregne lengder, reler

Detaljer

1 Mandag 1. mars 2010

1 Mandag 1. mars 2010 Mndg. mrs Fundmentlteoremet sier t integrsjon og derivsjon er motstte opersjoner. Vi hr de siste ukene sett hvordn vi på ulike måter kn derivere funksjoner i flere vrible. Nå er turen kommet til den motstte

Detaljer

Brøkregning og likninger med teskje

Brøkregning og likninger med teskje Brøkregning og likninger med teskje Dette heftet gir en uformell trinn for trinn gjennomgng v grunnleggende regler for brøkregning og likninger. Dette er sto som vi i FYS 000 egentlig forventer t dere

Detaljer

... JULEPRØVE

... JULEPRØVE Ashehoug JULEPRØVE 2014 9. trinn.... JULEPRØVE 2014.... Nvn: Gruppe: DELPRØVE 1 uten hjelpemidler ( 37 poeng) På denne delprøven kn du re ruke skrivesker, psser og linjl. Alle oppgvene i del 1 skl føres

Detaljer

Numerisk matematikk. Fra Matematikk 3MX (2002) Side

Numerisk matematikk. Fra Matematikk 3MX (2002) Side Numerisk mtemtikk Fr Mtemtikk 3MX (2002) Side 142 147 142 Kpittel 4: Integrlregning 47 NUMERISK MATEMATIKK pffiffiffiffiffi På lommeregneren finner du rskt t 71 er lik 8,426150, og t lg 5 er lik 0,698970

Detaljer

M2, vår 2008 Funksjonslære Integrasjon

M2, vår 2008 Funksjonslære Integrasjon M, vår 008 Funksjonslære Integrsjon Avdeling for lærerutdnning, Høgskolen i Vestfold. pril 009 1 Arelet under en grf Vi begynner vår diskusjon v integrsjon, på smme måte som vi begynte med derivsjon, ved

Detaljer

Temahefte nr. 1. Hvordan du regner med hele tall

Temahefte nr. 1. Hvordan du regner med hele tall 1 ARBEIDSHEFTE I MATEMATIKK SNART MATTE EKSAMEN Hvordn du effektivt kn forberede deg til eksmen Temhefte nr. 1 Hvordn du regner med hele tll Av Mtthis Lorentzen mttegrisenforlg.com Opplysning: De nturlige

Detaljer

Integralregning. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne

Integralregning. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne 8 Integrlregning Mål for opplæringen er t eleven skl kunne gjøre rede for definisjonen v estemt integrl som grense for en sum og uestemt integrl som ntiderivert eregne integrler v de sentrle funksjonene

Detaljer

Fag: Matematikk 1T-Y for elever og privatister. Antall sider i oppgaven: 8 inklusiv forside og opplysningsside

Fag: Matematikk 1T-Y for elever og privatister. Antall sider i oppgaven: 8 inklusiv forside og opplysningsside Loklt gitt eksmen 2012 Eksmen Fg: Mtemtikk 1T-Y for elever og privtister Fgkode: MAT1006 Eksmensdto: 25. mi Antll sider i oppgven: 8 inklusiv forside og opplysningsside Eksmenstid: Hjelpemidler under eksmen:

Detaljer

Fag: Matematikk 1T-Y for yrkesfag for elever og privatisterr. Eksamensdato: 16. januar 2012

Fag: Matematikk 1T-Y for yrkesfag for elever og privatisterr. Eksamensdato: 16. januar 2012 Loklt gittt eksmen Eksmen Fg: Mtemtikk 1T-Y for yrkesfg for elever og privtisterr Fgkode: MAT1006 Eksmensdto: 16. jnur 2012 Antll sider i oppgven: 7 inklusiv forside og opplysningsside Del 1: oppgve 1-5

Detaljer

R2 - Heldagsprøve våren 2013

R2 - Heldagsprøve våren 2013 Løsningsskisser HD R R - Heldgsprøve våren 0 Løsningsskisser Viktigste oppsummeringer: Må skrive med penn på eksmen! Slurv og regnefeil, både med tll og bokstver, er hovedproblemet. Beste måten å fikse

Detaljer

a 5 (2 + 8) d 5 (2 + 8) 4 g b 3 5 (2 + 8) e h 3 ( ) j Begrunn hvorfor du ikke får samme svar på oppgave b og g.

a 5 (2 + 8) d 5 (2 + 8) 4 g b 3 5 (2 + 8) e h 3 ( ) j Begrunn hvorfor du ikke får samme svar på oppgave b og g. Mtemtikk for ungomstrinnet KAPITTEL 4 TALL OG ALGEBRA MER ØVING Oppgve 1 Oppgve 2 Se på uttrykket A = g h. Hv forteller e ulike okstvene? Se på uttrykket O = 2π. Hv står e ulike symolene for? Forklr hv

Detaljer

Årsprøve 2014 10. trinn Del 2

Årsprøve 2014 10. trinn Del 2 2 Årsprøve 2014 10. trinn Del 2 Informsjon for del 2 Prøvetid: Hjelpemidler på del 2: Vedlegg: Andre opplysninger: Fremgngsmåte og forklring: Veiledning om vurderingen: 5 timer totlt Del 2 skl du levere

Detaljer

Integrasjon. et supplement til Kalkulus. Harald Hanche-Olsen 14. november 2016

Integrasjon. et supplement til Kalkulus. Harald Hanche-Olsen 14. november 2016 Integrsjon et supplement til Klkulus Hrl Hnhe-Olsen 14. novemer 2016 Dette nottet er ment som et supplement og elvis lterntiv til eler v kpittel 8 i Tom Linstrøm: Klkulus (åe 3. og 4. utgve). Foruten et

Detaljer

Kvadratur. I(f) = f(x)dx.

Kvadratur. I(f) = f(x)dx. Kvdrtur Når mn snkker om numerisk kvdrtur er mn interessert i pproksimere integrler v funksjoner (som representerer reler, volumer, densiteter, o.s.v.) I(f) = f(x)dx. Det klles for kvdrtur fordi i gmle

Detaljer

1 Tallregning og algebra

1 Tallregning og algebra Tllregning og lger ØV MER. REGNEREKKEFØLGE Oppgve.0 6 d) ( : 6) Oppgve. ( ) ( ) ()() ( ) ( ) ( ) () (6 ) () d) ( ) 7() ( ) Oppgve. 6 ( ) d) Oppgve. Med ett ddisjonstegn, ett sutrksjonstegn, ett multipliksjonstegn

Detaljer

Numerisk kvadratur. PROBLEM STILLING: Approksimér. f(x)dx. I(f) = hvor f : R R. Numerisk sett, integralet I(f) = b. f(x)dx approksimeres med en summe

Numerisk kvadratur. PROBLEM STILLING: Approksimér. f(x)dx. I(f) = hvor f : R R. Numerisk sett, integralet I(f) = b. f(x)dx approksimeres med en summe Numerisk kvdrtur PROBLEM STILLING: Approksimér 1/18 I(f) = f(x)dx. hvor f : R R. Numerisk sett, integrlet I(f) = f(x)dx pproksimeres med en summe Q n (f) = w i f(x i ), n-punkter regel hvor x 1 < x 2

Detaljer

Integrasjon av trigonometriske funksjoner

Integrasjon av trigonometriske funksjoner Integrsjon v trigonometriske funksjoner øistein Søvik 3. november 15 I dette dokumentet skl jeg vise litt ulike integrsjonsteknikker og metoder for å utforske integrlene v (cos x) og (sin x). De bestemte

Detaljer

6 Brøk. Matematisk innhold Brøk i praktiske situasjoner Brøk som del av en mengde. Utstyr Eventuelt ulike konkreter, som brikker og knapper

6 Brøk. Matematisk innhold Brøk i praktiske situasjoner Brøk som del av en mengde. Utstyr Eventuelt ulike konkreter, som brikker og knapper Brøk I dette kpitlet lærer elevene om røk som del v en helhet, der helheten kn være en mengde, en lengde eller en figur, og de skl lære om røk som del v en mengde. De skl lære å finne delen når det hele

Detaljer

3.7 Pythagoras på mange måter

3.7 Pythagoras på mange måter Oppgve 3.18 Vis t det er mulig å multiplisere og dividere linjestykker som vist i figur 3.. Bruk formlikhet. 3.7 Pythgors på mnge måter Grekeren Pythgors le født på Smos 569 og døde. år 500 f. Kr. Setningen

Detaljer

EKSAMEN. ANTALL SIDER UTLEVERT: 7 (innkl. forside og 2 sider formelark)

EKSAMEN. ANTALL SIDER UTLEVERT: 7 (innkl. forside og 2 sider formelark) KANDIDATNUMMER: EKSAMEN FAGNAVN: Mtemtikk FAGNUMMER: REA EKSAMENSDATO: 5. desember 6 KLASSE:. klssene, ingenørutdnning. TID: kl. 9... FAGLÆRER: Hns Petter Hornæs ANTALL SIDER UTLEVERT: 7 (innkl. forside

Detaljer

Multippel integrasjon. Geir Ellingsrud

Multippel integrasjon. Geir Ellingsrud Multippel integrsjon. Geir Ellingsrud 2. pril 24 2 NB: Dette er en midlertidig versjon dtert 2. pril 24. Den kommer til å bli utvidet og korrigert fortløpende!!. Dobbelt integrlet over rektngler og iterert

Detaljer

Derivasjon. Oversikt over Matematikk 1. Derivasjon anvendelser. Sekantsetningen

Derivasjon. Oversikt over Matematikk 1. Derivasjon anvendelser. Sekantsetningen 3 Oversikt over Mtemtikk Induksjon Grenser og kontinuitet Skjæringssetningen Eksistens v ekstrempunkt Elementære funksjoner Derivsjon Sekntsetningen Integrsjon Differensilligninger Kurver i plnet Rekker

Detaljer

Praktiske opplysninger til rektor. Fag: MATEMATIKK 1TY for yrkesfag Fagkode: MAT1006 Eksamensdato: Antall forberedelsesdager: Ingen

Praktiske opplysninger til rektor. Fag: MATEMATIKK 1TY for yrkesfag Fagkode: MAT1006 Eksamensdato: Antall forberedelsesdager: Ingen Loklt gitt eksmen 2013 Prktiske opplysninger til rektor Fg: MATEMATIKK 1TY for yrkesfg Fgkode: MAT1006 Eksmensdto: 30.5.2013 Antll foreredelsesdger: Ingen Forhold som skolen må være oppmerksom på: Eksmenen

Detaljer

2x 3 4/x dx. 2 5 x 3 + LF: Vi utfører polynomdivisjon. 2x + 1 dx = + C = 5x8/ ln 2x C 4. πx 2 e 3x3 dx = π

2x 3 4/x dx. 2 5 x 3 + LF: Vi utfører polynomdivisjon. 2x + 1 dx = + C = 5x8/ ln 2x C 4. πx 2 e 3x3 dx = π Innlevering ELFE KJFE MAFE Mtemtikk HIOA Obligtorisk innlevering 5 Innleveringsfrist Mndg 6. oktober 5 før forelesningen : Antll oppgver: Løsningsforslg Finn de ubestemte integrlene ) x 4/x dx LF: x 4/x

Detaljer

Årsprøve trinn Del 1. Navn: Informasjon for del 1

Årsprøve trinn Del 1. Navn: Informasjon for del 1 Årsprøve 2015 9. trinn Del 1 Nvn: Informsjon for del 1 Prøvetid: Hjelpemidler på del 1: Andre opplysninger: Fremgngsmåte og forklring: 5 timer totlt. Del 1 og Del 2 skl deles ut smtidig Del 1 skl du levere

Detaljer

Fakultet for realfag Ho/gskolen i Agder - Va ren 2007

Fakultet for realfag Ho/gskolen i Agder - Va ren 2007 Msteroppgve i mtemtikkdidktikk Fkultet for relfg Ho/gskolen i Agder - V ren 2007 Integrl og integrsjon Roger Mrkussen Roger Mrkussen Integrl og integrsjon Msteroppgve i mtemtikkdidktikk Høgskolen i Agder

Detaljer

Feilestimeringer. i MAT-INF1100

Feilestimeringer. i MAT-INF1100 Feilestimeringer i MAT-INF11 Ett v de viktigste punktene i MAT-INF11, og smtidig det som nsees som det vnskeligste i pensum, er feilestimter. Vi bruker mye tid på å beregne tilnærmede verdier for funksjoner,

Detaljer

Juleprøve trinn Del 1. Navn: Del 1 Aschehoug JULEPRØVE trinn. Informasjon for del 1

Juleprøve trinn Del 1. Navn: Del 1 Aschehoug JULEPRØVE trinn. Informasjon for del 1 Juleprøve 2015 10. Del 1 Nvn: Informsjon for del 1 Prøvetid Hjelpemidler i del 1 Andre opplysninger Frmgngsmåte og forklring 5 timer totlt Del 1 og del 2 lir delt ut smtidig. Del 1 skl leveres inn seinest

Detaljer

Oppgave 2 Betydningen til hvert enkelt siffer er bestemt av sifferets plassering eller posisjon. Tallet 4321 betyr

Oppgave 2 Betydningen til hvert enkelt siffer er bestemt av sifferets plassering eller posisjon. Tallet 4321 betyr KAPITTEL 1 TALL OG TALLREGNING FLERE UTFORDRINGER Oppgve 1 Du hr sifrene A 1 3 5 7 9 og B 2 4 6 8 Ve å ruke tre v sifrene i enten A eller B skl u lge ett tll så nærme 500 som mulig. Du kn re ruke ett siffer

Detaljer

Løsningsforslag Kollokvium 1

Løsningsforslag Kollokvium 1 Løsningsforslg Kollokvium 1 30. jnur 015 Her finner dere et løsningsforslg for oppgvene som ble diskutert på Kollokvium 1. Oppgve 1 Regning med enheter ) Energienheten 1 ev (elektronvolt) er definert som

Detaljer

STATISTIKK, KOMBINATORIKK OG SANNSYNLIGHET

STATISTIKK, KOMBINATORIKK OG SANNSYNLIGHET Mer øving til kpittel 4 STATISTIKK, KOMBINATORIKK OG SANNSYNLIGHET Oppgve 1 Under ser du resulttet v ntll kinoesøk for en klsse de siste to måneder: 1, 3, 5, 4, 2, 7, 1, 1, 4, 5, 3, 3, 4, 0, 1, 3, 6, 5,

Detaljer

Løsningsforslag til avsluttende eksamen i HUMIT1750 høsten 2003.

Løsningsforslag til avsluttende eksamen i HUMIT1750 høsten 2003. Løsningsforslg til vsluttende eksmen i HUMIT1750 høsten 2003. Teksten under hr litt litt prtsom fordi jeg hr villet forklre hvordn jeg gikk frm. Fr en studentesvrelse le det ikke forventet nnet enn sluttresulttene.

Detaljer

E K S A M E N. Matematikk 3MX. Elevar/Elever Privatistar/Privatister. AA6524/AA6526 8. desember 2004 UTDANNINGSDIREKTORATET

E K S A M E N. Matematikk 3MX. Elevar/Elever Privatistar/Privatister. AA6524/AA6526 8. desember 2004 UTDANNINGSDIREKTORATET E K S A M E N UTDANNINGSDIREKTORATET Mtemtikk 3MX Elevr/Elever Privtistr/Privtister AA654/AA656 8. desember 004 Vidregånde kurs II / Videregående kurs II Studieretning for llmenne, økonomiske og dministrtive

Detaljer

Kalkulus 2. Volum av et omdreiningslegeme. Rotasjon rundt x-aksen

Kalkulus 2. Volum av et omdreiningslegeme. Rotasjon rundt x-aksen Klkulus Klkulus Volum v et omdreiningslegeme Rotsjon rundt x-ksen På figuren nedenfor hr vi skrvert området vgrenset v grfen til den kontinuerlige funksjonen y = f( x) og x-ksen fr x= til x=. Når vi roterer

Detaljer

Arne B. Sletsjøe. Kompendium, MAT 1012

Arne B. Sletsjøe. Kompendium, MAT 1012 Arne B. Sletsjøe Kompendium, MAT 2 Dette kompendiet dekker nlysedelen v pensum i kurset MAT 2 ved Universitetet i Oslo. Kurset bygger på MAT og legger mer vekt på nvendelser v teorien enn på dens formelle

Detaljer

S1 kapittel 6 Derivasjon Løsninger til oppgavene i boka

S1 kapittel 6 Derivasjon Løsninger til oppgavene i boka S kpittel 6 Derivsjon Løsninger til oppgvene i ok 6. c y x y x = = = = y x 4 5 9 4 y 5 6 x 4 = = = = y x y x = = = = 7 ( 5) 6 ( ) 8 6. f( x ) f( x ) 5 7 x x ( ) 4 = = = = 6. T( x) = 0,x +,0 T T = + = (0)

Detaljer

Fasit til utvalgte oppgaver MAT1100, uka 20-24/9

Fasit til utvalgte oppgaver MAT1100, uka 20-24/9 Fsit til utvlgte oppgver MAT00, uk 20-24/9 Øyvind Ryn oyvindry@ifi.uio.no September 24, 200 Oppgve 5..5 år vi viser t f er kontinuerlig i ved et ɛ δ-bevis, er det lurt å strte med uttrykket fx f, og finne

Detaljer

R1 kapittel 7 Sannsynlighet. Kapitteltest. Oppgave 1. Oppgave 2. Oppgave 3. Del 1 Uten hjelpemidler. Løsninger til oppgavene i boka

R1 kapittel 7 Sannsynlighet. Kapitteltest. Oppgave 1. Oppgave 2. Oppgave 3. Del 1 Uten hjelpemidler. Løsninger til oppgavene i boka Løsninger til oppgvene i ok R1 kpittel 7 Snnsynlighet Løsninger til oppgvene i ok Kpitteltest Del 1 Uten hjelpemidler Oppgve 1 De fem lppene kn ordnes i rekkefølge på 5! = 15 = forskjellige måter. Vi kn

Detaljer

EKSAMEN. 1. klassene, ingenørutdanning og flexing. ANTALL SIDER UTLEVERT: 5(innkl. forside og 2 sider formelark)

EKSAMEN. 1. klassene, ingenørutdanning og flexing. ANTALL SIDER UTLEVERT: 5(innkl. forside og 2 sider formelark) KANDIDATNUMMER: EKSAMEN EMNENAVN: Mtemtikk EMNENUMMER: REA4 og REA4f EKSAMENSDATO:. ugust 9 KLASSE:. klssene, ingenørutdnning og fleing. TID: kl. 9... FAGANSVARLIG: Hns Petter Hornæs ANTALL SIDER UTLEVERT:

Detaljer

Sammendrag kapittel 1 - Aritmetikk og algebra

Sammendrag kapittel 1 - Aritmetikk og algebra Smmendrg kpittel 1 - Aritmetikk og lgebr Regneregler for brøker Utvide brøk: Gng med smme tll i teller og nevner. b = k b k Forkorte brøk: del med smme tll i teller og nevner. b = : k b : k Summere brøker:

Detaljer

S1 kapittel 4 Logaritmer Løsninger til oppgavene i boka

S1 kapittel 4 Logaritmer Løsninger til oppgavene i boka Løsninger til oppgvene i ok S kpittel 4 Logritmer Løsninger til oppgvene i ok 4. Vi leser v fr tllet 4 på y-ksen og ser t vi får den tilhørende verdien,6 på -ksen. lg 4,6 Vi leser v fr tllet,5 på y-ksen

Detaljer

Integrasjon Fundamentalteoremet Substitusjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100

Integrasjon Fundamentalteoremet Substitusjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Integrsjon Fundmentlteoremet Substitusjon Forelesning i Mtemtikk 1 TMA4100 Hns Jkob Rivertz Institutt for mtemtiske fg 23. september 2011 2 Mtemtisk induksjon Alle elefnter er ros! Vil bevise P n Alle

Detaljer

1 Mandag 8. mars 2010

1 Mandag 8. mars 2010 1 Mndg 8. mrs 21 Vi hr tidligere integrert funksjoner lngs x-ksen, og vi hr integrert funksjoner i flere vrible over begrensede områder i xy-plnet. I denne forelesningen skl vi integrere funksjoner lngs

Detaljer

R1 kapittel 1 Algebra

R1 kapittel 1 Algebra Løsninger til oppgvene i ok R1 kpittel 1 Alger Løsninger til oppgvene i ok Oppgve 1.1 1 8 4 ( ) 15 5 (4 ) 7 1 7 ( ) d ( )( ) ( 4)( ) ( ) ( 4) ( )( 1) Oppgve 1. 49 7 ( 7)( 7) 5 5 5 5 1y 75 (4y 5) ( y) 5

Detaljer

Arne B. Sletsjøe. Kompendium, MAT 1012

Arne B. Sletsjøe. Kompendium, MAT 1012 Arne B. Sletsjøe Kompendium, MAT 2 En-vribel klkulus I denne første forelesningen skl vi friske opp litt rundt funksjoner i en vribel, se på hvordn de vokser/vtr, studere kritiske punkter og beskrive krumning

Detaljer

1T kapittel 3 Funksjoner Løsninger til oppgavene i læreboka

1T kapittel 3 Funksjoner Løsninger til oppgavene i læreboka 1T kpittel 3 Funksjoner Løsninger til oppgvene i læreok Oppgve 3.1 Origo er skjæringspunktet mellom førsteksen og ndreksen. Koordintene til origo er ltså (0, 0). Førstekoordinten til punktet A er 15, og

Detaljer

Løsningsforslag til Eksamen i fag MA1103 Flerdimensjonal analyse

Løsningsforslag til Eksamen i fag MA1103 Flerdimensjonal analyse Norges teknisk nturvitenskpelige universitet Institutt for mtemtiske fg Side 1 v 5 Løsningsforslg til Eksmen i fg MA113 Flerdimensjonl nlyse 2.5.6 Oppgve 1 Vi hr f(x, y) = (4 x 2 y 2 )e x+y. ) Kritiske

Detaljer

2 Tallregning og algebra

2 Tallregning og algebra Tllregning og lger KATEGORI. Regnerekkefølge Oppgve.0 Regn uten digitlt hjelpemiddel. + ( + ) ( ) Oppgve. Regn uten digitlt hjelpemiddel. Oppgve. Regn ut med og uten digitlt hjelpemiddel. + (7 + ) ( 9)

Detaljer

Arne B. Sletsjøe. Kompendium, MAT 1012

Arne B. Sletsjøe. Kompendium, MAT 1012 Arne B. Sletsjøe Kompendium, MAT 2 Forord Dette kompendiet dekker nlysedelen v pensum i kurset MAT 2 ved Universitetet i Oslo. Kurset bygger på MAT og legger mer vekt på nvendelser v teorien enn på dens

Detaljer

Terminprøve Matematikk Påbygging høsten 2014

Terminprøve Matematikk Påbygging høsten 2014 Terminprøve høsten 2014 Terminprøve Mtemtikk Påygging høsten 2014 DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med entimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 Regn ut 3 3 3 4 1 3 3 2

Detaljer

9 Potenser. Logaritmer

9 Potenser. Logaritmer 9 Potenser. Logritmer Foret utregingene nedenfor: 5 5 c 6 7 d e 5 f g h i Regn ut og gjør svrene så enkle som mulige: c y y d e f g h i j y y + y + y + + y Prisen på en motorsg vr kr 56 i 99. Vi regner

Detaljer

1P kapittel 3 Funksjoner

1P kapittel 3 Funksjoner Løsninger til oppgvene i ok 1P kpittel 3 Funksjoner Løsninger til oppgvene i ok 3.1 Origo hr koordintene (0, 0). Vi finner koordintene til punktene ved å lese v punktets verdi på x-ksen og y-ksen. A =

Detaljer

75045 Dynamiske systemer 3. juni 1997 Løsningsforslag

75045 Dynamiske systemer 3. juni 1997 Løsningsforslag 75045 Dynmiske systemer 3. juni 1997 Løsningsforslg Oppgve 1 ẋ = 0 gir y = ±x, og dette innstt i ẏ = 0 gir 1 ± x = 0. Vi må velge minustegnet, og får x = y = ±1/. Vi deriverer: [ ] x y ( 1 Df(x, y) = ;

Detaljer

Problemløsning eller matematiske idéer i undervisningen?

Problemløsning eller matematiske idéer i undervisningen? Prolemløsning eller mtemtiske idéer i undervisningen? n Lksov Något som oft förekommer i diskussionen om skolns mtemtikundervisning är vvägningen melln prolemlösning och teori. I denn rtikel poängterr

Detaljer

R2 2010/11 - Kapittel 4: 30. november 2011 16. januar 2012

R2 2010/11 - Kapittel 4: 30. november 2011 16. januar 2012 R 00/ - Kpittel 4: 0. noemer 0 6. jnr 0 Pln for skoleåret 0/0: Kpittel 5: 6/ 6/. Kpittel 6: 6/ /. Kpittel 7: / /4. Prøer på eller skoletime etter hert kpittel. Én heildgsprøe i her termin. En del prøer

Detaljer

Juleprøve trinn Del 1 Navn:

Juleprøve trinn Del 1 Navn: Juleprøve 2014 10. Del 1 Nvn: Informsjon for del 1 1 Prøvetid 5 timer totlt. Del1 og Del 2 skl deles ut smtidig. Del 1 skl du levere innen 2 timer. Hjelpemidler i del 1 Andre opplysninger Del 2 skl du

Detaljer

OPPLÆRINGSREGION NORD. Skriftlig eksamen. MAT1001 Matematikk 1P-Y HØSTEN 2011. Privatister. Yrkesfag. Alle yrkesfaglige utdanningsprogrammer

OPPLÆRINGSREGION NORD. Skriftlig eksamen. MAT1001 Matematikk 1P-Y HØSTEN 2011. Privatister. Yrkesfag. Alle yrkesfaglige utdanningsprogrammer OPPLÆRINGSREGION NORD LK06 Finnmrk fylkeskommune Troms fylkeskommune Nordlnd fylkeskommune Nord-Trøndelg fylkeskommune Sør-Trøndelg fylkeskommune Møre og Romsdl fylke Skriftlig eksmen MAT1001 Mtemtikk

Detaljer

Eksempeloppgaver 2014 Løsninger

Eksempeloppgaver 2014 Løsninger DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med centimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 19 millirder 9 10 = 19 10 = 1,9 10 0,089 10 = 8,9 10 10 = 8,9 10 Oppgve 6 6 8 Prosentvis

Detaljer

Mer øving til kapittel 3

Mer øving til kapittel 3 Mer øving til kpittel 3 KAPITTEL 3 FUNKSJONER Oppgve 1 Tegn et koordintsystem og merk v punktene (1, 5) d (3, 2) ( 2, 3) e ( 3, 5) (4, 0) f (0, 4) Oppgve 2 Hvilke koordintpr hr de ulike punktene i koordintsystemet?

Detaljer

Forkunnskaper i matematikk for fysikkstudenter. Trigonometri. Omregning mellom grader og radianer skjer etter formelen nedenfor:

Forkunnskaper i matematikk for fysikkstudenter. Trigonometri. Omregning mellom grader og radianer skjer etter formelen nedenfor: Forkunnskper i mtemtikk for fysikkstudenter.. Vinkelmål. Vinkler måles trdisjonelt i grder. Utgngspunktet er d t en hel sirkel deles i 6 like store deler, der her del klles en grd. En grd kn deles inn

Detaljer

DELPRØVE 2 (35 poeng)

DELPRØVE 2 (35 poeng) DELPRØVE 2 (35 poeng) På denne delprøven er lle hjelpemidler tilltt. Alle oppgvene i del 2 skl føres på eget rk. Før svrene oversiktlig, slik t det går tydelig frm hvordn du hr løst oppgvene. Bruk penn.

Detaljer

Formelsamling i matematikk

Formelsamling i matematikk Formelsmling i mtemtikk Alger Aritmetiske opersjoner ( + c) = + c + c Potensregler Polynom = + c + c d + c = d c c d = d c = d c x y = x+y x = x / x y = x y n x = x /n 0 = x n = x n ( x ) y = xy () x =

Detaljer

Oppgave N2.1. Kontantstrømmer

Oppgave N2.1. Kontantstrømmer 1 Orientering: Oppgvenummereringen leses slik: N står for nettsiden, første siffer står for kpittelnummer og ndre for oppgvenummer. Oppgve N2.1. Kontntstrømmer En edrift vurderer å investere 38 millioner

Detaljer

Terminprøve Matematikk for 1P 1NA høsten 2014

Terminprøve Matematikk for 1P 1NA høsten 2014 Terminprøve Mtemtikk for 1P 1NA høsten 2014 DEL 1 Vrer 1,5 time Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med entimetermål og vinkelmåler. Forsøk på lle oppgvene selv om du er usikker

Detaljer

1T kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka

1T kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka T kpittel 8 Eksmenstrening Løsninger til oppgvene i lærebok Uten hjelpemidler E b c E b c Vi gnger vnlige tll med vnlige tll og tierpotenser med tierpotenser. Til slutt omformer vi svret så vi får et tll

Detaljer

Løsningsforslag til obligatorisk oppgave i ECON 2130

Løsningsforslag til obligatorisk oppgave i ECON 2130 Andres Mhre April 13 Løsningsforslg til obligtorisk oppgve i ECON 13 Oppgve 1: E(XY) = E(X(Z X)) Setter inn Y = Z - X E(XY) = E(XZ X ) E(XY) = E(XZ) E(X ) X og Z er uvhengige v hverndre, så Cov(X, Z) =.

Detaljer

EKSAMEN. 1. klassene, ingenørutdanning og Flexing. ANTALL SIDER UTLEVERT: 5 (innkl. forside og 2 sider formelark)

EKSAMEN. 1. klassene, ingenørutdanning og Flexing. ANTALL SIDER UTLEVERT: 5 (innkl. forside og 2 sider formelark) KANDIDATNUMMER: EKSAMEN EMNENAVN: Mtemtikk EMNENUMMER: REA42 og REA42f EKSAMENSDATO:. desember 2 KLASSE:. klssene, ingenørutdnning og Flexing. TID: kl. 9... FAGANSVARLIG: Hns Petter Hornæs ANTALL SIDER

Detaljer

Sem 1 ECON 1410 Halvor Teslo

Sem 1 ECON 1410 Halvor Teslo Løsningsforslg til seminr i ECON : Internsjonl økonomi.seminruke V ) Den økonomien vi her står ovenfor produserer re to goder, tø og vin. Altså vil lterntivkostnden for den ene vren nødvendigvis måles

Detaljer

Kap. 3 Krumningsflatemetoden

Kap. 3 Krumningsflatemetoden SIDE. KRUMNINGSFLTEMETODEN I kpittel. og. hr vi sett t en bjelkes krefter og deformsjon kn beskrives ved fire integrler som henger smmen : Skjærkrft : V d Vinkelendring : φ M d Moment : M V d Forskyvning

Detaljer

Numerisk kvadratur. Newton-Cotes kvadratur. PROBLEM STILLING: Approksimér. I(f) = f(x)dx. hvor f : R R kan Riemann-integreres.

Numerisk kvadratur. Newton-Cotes kvadratur. PROBLEM STILLING: Approksimér. I(f) = f(x)dx. hvor f : R R kan Riemann-integreres. Numerisk kvdrtur PROBLEM STILLING: Approksimér 1/15 I(f) = hvor f : R R kn Riemnn-integreres. b f(x)dx. Newton-Cotes kvdrtur Newton-Cotes kvdrtur erbsert på ekvidistnte noder i [, b]: For en n-noder åpen

Detaljer

Del 2. Alle oppgaver føres inn på eget ark. Vis tydelig hvordan du har kommet frem til svaret. Oppgave 2

Del 2. Alle oppgaver føres inn på eget ark. Vis tydelig hvordan du har kommet frem til svaret. Oppgave 2 Del 2 Alle oppgver føres inn på eget rk. Vis tydelig hvordn du hr kommet frem til svret. Oppgve 1 Figuren viser sidefltene til et prisme. Grunnflten og toppflten mngler. ) Hvilken form må grunn- og toppflten

Detaljer

SENSORVEILEDNING ECON 1410; VÅREN 2005

SENSORVEILEDNING ECON 1410; VÅREN 2005 SENSORVEILEDNING ECON 40; VÅREN 2005 Oppgve er midt i pensum, og urde kunne esvres v dem som hr lest og fulgt seminrer. Her kommer en fyldig gjennomgng v det jeg hr ttt opp. ) Her ør kndidten gjøre rede

Detaljer

Bioberegninger - notat 3: Anvendelser av Newton s metode

Bioberegninger - notat 3: Anvendelser av Newton s metode Bioberegninger - nott 3: Anvendelser v Newton s metode 20. februr 2004 1 Euler-Lotk ligningen L oss tenke oss en populsjon bestående v individer v ulik lder. L n være mksiml lder. L m i være ntll vkom

Detaljer

MED SVARFORSLAG UNIVERSITETET I OSLO

MED SVARFORSLAG UNIVERSITETET I OSLO Eksmen i : MED SVARFORSLAG UNIVERSITETET I OSLO Det mtemtisk-nturvitenskpelige fkultet INF5110 - Kompiltorteknikk Eksmensdg : Onsdg 6. juni 2012 Tid for eksmen : 14.30-18.30 Oppgvesettet er på : Vedlegg

Detaljer

MAT 1110: Løsningsforslag til obligatorisk oppgave 2, V-06

MAT 1110: Løsningsforslag til obligatorisk oppgave 2, V-06 MAT : Løsningsforslg til obligtorisk oppgve, V-6 Oppgve : ) Hvis = (,,...) og = (,,...) er to vektorer, vil kommndoen >> plot(,) tegne rette forbindelseslinjer mellom punktene (, ), (, ) osv. For å plotte

Detaljer

Effektivitet og fordeling

Effektivitet og fordeling Effektivitet og fordeling Vi skl svre på spørsmål som dette: Hv etyr det t noe er smfunnsøkonomisk effektivt? Er det forskjell på smfunnsøkonomisk og edriftsøkonomisk effektivitet? Er det en motsetning

Detaljer

Løsninger til oppgaver i boka

Løsninger til oppgaver i boka Løsninger til oppgver i ok Kpittel 1 Alger Løsninger til oppgver i ok 1.9 d På ildet ser vi t den lengste siden i tkåpningen er omtrent så lng som den korteste. Om vi kller den korteste siden for x, hr

Detaljer

Mer øving til kapittel 2

Mer øving til kapittel 2 Mer øving til kpittel 2 KAPITTEL 2 GEOMETRI OG MÅLING Oppgve 1 Oppgve 2 Oppgve 3 Anne hr vært på ferie til sine esteforeldre fr 28. juni til 9. ugust. Hvor mnge dger hr hun vært på ferie? Fr hun kom hjem

Detaljer

Integral Kokeboken. sin(πx 2 ) sinh 2 (πx) dx = 2. 1 log x. + log(log x) dx = x log(log x) + C. cos(x 2 ) + sin(x 2 ) dx = 2π. x s 1 e x 1 dx = Γ(s)

Integral Kokeboken. sin(πx 2 ) sinh 2 (πx) dx = 2. 1 log x. + log(log x) dx = x log(log x) + C. cos(x 2 ) + sin(x 2 ) dx = 2π. x s 1 e x 1 dx = Γ(s) Integrl Kokeboken 4 3 4 6 8 log sinπ sinh π 4 + loglog loglog + C cos + sin π s e Γs n n s Γsζs π + sin +cos log + cos i Del I. Brøk................................... Trigonometriske funksjoner.....................

Detaljer

Tom Lindstrøm. Tilleggskapitler til. Kalkulus. 3. utgave. Universitetsforlaget,

Tom Lindstrøm. Tilleggskapitler til. Kalkulus. 3. utgave. Universitetsforlaget, Tom Lindstrøm Tilleggskpitler til Klkulus 3. utgve Universitetsforlget, Oslo 3. utgve Universitetsforlget AS 2006 1. utgve 1995 2. utgve 1996 ISBN-13: 978-82-15-00977-3 ISBN-10: 82-15-00977-8 Mterilet

Detaljer

... ÅRSPRØVE 2014...

... ÅRSPRØVE 2014... Delprøve 1 Ashehoug ÅRSPRØVE 014 9. trinn.... ÅRSPRØVE 014... Nvn: Gruppe: DELPRØVE 1 uten hjelpemiler (39 poeng) Alle oppgvene i el 1 skl føres rett på rket. I noen oppgver er et en regnerute. Her skl

Detaljer

t-r t_t T 4 Hvorfor arbeider vi? I-l II l- l=i 2 Vokabular 1 Hva er viktig med jobb? Je V Sett kryss og diskuter.

t-r t_t T 4 Hvorfor arbeider vi? I-l II l- l=i 2 Vokabular 1 Hva er viktig med jobb? Je V Sett kryss og diskuter. Hvorfor reider vi? 1 Hv er viktig med jo? Sett kryss og diskuter. For meg er det viktig à treffe mennesker! Ti 3 Er Det er lnn som er viktisstl Jeg symes det er viktig á fà ruke evnene mine. Det er viktig

Detaljer

S1 kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka

S1 kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka S1 kpittel 8 Eksmenstrening Løsninger til oppgvene i læreok E1 995 995 5 + 5 (995 5) (995 + 5) + 5 990 1000 + 5 990 000 + 5 990 05 E E (61+ 9) 51 49) (51+ 49) 61 9 (61 9) 51 49 ( 100 100 11 1997 00 199

Detaljer

S1 kapittel 1 Algebra Løsninger til oppgavene i læreboka

S1 kapittel 1 Algebra Løsninger til oppgavene i læreboka Løsninger til oppgvene i ok S kpittel Alger Løsninger til oppgvene i læreok. 8 ( ) 5 9. e = = 9 = = 8 5 = = 0 = 0 0 0 = 000 =. e Ashehoug www.lokus.no Sie v Løsninger til oppgvene i ok..5..7 = = + 5 =

Detaljer