Oppfriskningskurs i matematikk 2007

Transkript

1 Oppfriskningskurs i mtemtikk 2007 Mrte Pernille Htlo Institutt for mtemtiske fg, NTNU ugust 2007 Velkommen!

2 2 Temer Algebr Trigonometri Funksjoner og derivsjon Integrsjon Eksponensil- og logritmefunksjoner Vektorregning - og en liten prøve

3 3 Multipliksjon og potenser Skrivemåte Potenser: p q = p+q 3 = 3 b = b p q = p q 0 0 = 1 p = 1 p 0 ( b) p = p b p ( b ) p = p b p b 0 ( p ) q = p q (, b, p, q R)

4 4 Kvdrtrot og n-terot Oppsplitting b = b 1 n = n n b = n n b b = b 0 b n n b = n b 0 b (, b 0, n N = {0, 1, 2, 3,...}).

5 5 Kvdrt- og konjugtsetning Lær å bruke disse begge veier! ( + b) 2 = 2 + 2b + b 2 ( b) 2 = 2 2b + b 2 ( + b)( b) = 2 b 2

6 6 Brøkregning Sette på en brøkstrek c + b c = + b c c b c = b c c b d = b c d b : c d = d b c c 0 c 0 c, d 0 c, b, d 0.

7 7 Flere regneregler Gnge og forkorte i en brøk b = c b c b, c 0. Gnge inn og trekke ut prenteser (b + c) = b + c ( + b)c = c + bc ( + b)(c + d) = c + bc + d + bd

8 8 Likningsregler Mn kn Multiplisere hvert ledd i likningen med smme tll (ikke null). Addere hver side i likningen med smme tll.

9 9 Lineære likningssett Tegn figur! y = x + b y = cx + d Mulige situsjoner: En løsning Ingen løsninger Uendelig mnge løsninger

10 10 Ulikheter Hvis ligger til venstre for b på tllinj < b Legge til og multiplisere + c < b + c c < b c c < b c Hvis c > 0 c > b c Hvis c < 0

11 11 Absoluttverdi Definisjon Absoluttverdien v et tll sier hvor lngt tllet står fr 0.

12 12 Regneeksempler Oppgve 1 Finn likning for en sirkel med rdius 5 og sentrum i punktet ( 3, 4). Oppgve 2 Finn sentrum og rdius til sirkelen beskrevet v likningen x 2 8x + y 2 + 6y + 21 = 0.

13 13 Treknten C b α A c Nvn på sidene: b: Hypotenus : Motstående ktet til A c: Hosliggende ktet til A B

14 14 Regneregel Sum og differnse v vinkler cos(u + v) = cos u cos v sin u sin v cos(u v) = cos u cos v + sin u sin v sin(u + v) = sin u cos v + cos u sin v sin(u v) = sin u cos v cos u sin v

15 15 Funksjon x f(x) f D f X V f Definisjonsmengde Alle verdier som x kn h. Verdimengde Alle verdier som f(x) kn h.

16 16 Funksjon x f(x) f D f X V f En-til-en Når en funksjon er gitt, vil det til hvert element i definisjonsmengden svre til ett og bre ett element i verdimengden.

17 17 Funksjonsdrøfting Nullpunkt Dersom f(x) er null for x =, sier vi t (, 0) er et nullpunkt.

18 18 Funksjonsdrøfting Grenseverdi f(x) = x3 2x 2 x 2 D f = R \ {2} f(1,9) = 3,6100 f(2,1) = 4,4100 f(1,99) = 3,9601 f(2,01) = 4,0401 f(1,999) = 3,9960 f(2,001) = 4,0040 f(1,9999) = 3,9996 f(2,0001) = 4,0004 lim f(x) = 4 x 2 + lim f(x) = 4 x 2 lim f(x) = 4 x 2

19 19 Funksjonsdrøfting Den deriverte f (x) = lim x 0 f(x + x) f(x) x f (x) > 0 : Grfen stiger mot høyre. f (x) < 0 : Grfen synker mot høyre. f (x) = 0 : Mulig topp- eller bunnpunkt. f (x 0 ) : Hvor rskt funksjonen vokser i punktet x 0.

20 20 Noen deriverte f(x) f (x) x r r x r 1 r R c 0 (c = konstnt) g(u) g (u)u (u er funksjon v x) u + v u + v (v er funksjon v x) u v u v + u v u v u v u v v 2 sin x cos x cos x tn x sin x 1 cos 2 x

21 21 Funksjonsdrøfting Sentrle punkter: Definisjonsmengde og verdimengde Nullpunkt Topp- og bunnpunkt Fortegnsskjemer Vendepunkt Asymptoter Figur

22 22 Integrlregning Noen spesielle ubestemte integrler k dx = kx + C x r dx = 1 r + 1 xr+1 + C sin x dx = cos x + C cos x dx = sin x + C 1 dx = tn x + C cos 2 x k = konstnt r 1

23 23 Integrlregning Setninger om integrler b f(x)dx + b b c b f(x)dx = f(x)dx = 0 f(x)dx = (f(x) ± g(x))dx = b c b k f(x)dx = k b f(x)dx f(x)dx f(x)dx ± b f(x)dx b g(x)dx

24 24 Integrlregning Areler Dersom f(x) 0 i intervllet [, b], så er relet A mellom x-ksen og grfen fr til b gitt ved A = b f(x)dx. Dersom f(x) 0 i intervllet [, b], så er relet A mellom x-ksen og grfen fr til b gitt ved A = b f(x)dx = b f(x)dx.

25 25 Regneeksempler Oppgve 1 Finn relet mellom x-ksen og kurven f(x) = sin x i intervllet ) [0, π] b) [0, 2π] Oppgve 2 Finn relet som er vgrenset v (ligger mellom) kurvene f(x) = x og g(x) = 1 2 x2.

26 26 Integrlregning Integrsjon ved substitusjon Ubestemte integrler på formen f(g(x)) g (x)dx kn vi regne ut ved substitusjonen u = g(x). D får vi du = g (x)dx. Integrlet blir forenklet slik f((g(x)) g (x)dx = f(u)du.

27 27 Potenser og logritmer Definisjon log 10 = 10 log =, > 0. Regneregler log( b) = log + log b,, b > 0 ( ) log = log log b b log( t ) = t log

28 28 Potenser og logritmer Likhet / ulikhet Hvis = b (, b > 0) så er Hvis < b (, b > 0) så er log = log b 10 = 10 b. log < log b 10 < 10 b.

29 29 Potenser og nturlige logritmer Definisjon ln e = e ln =, > 0. Regneregler ln( b) = ln + ln b,, b > 0 ( ) ln = ln ln b b ln( t ) = t ln

30 30 Potenser og nturlige logritmer Likhet / ulikhet Hvis = b (, b > 0) så er Hvis < b (, b > 0) så er ln = ln b e = e b. ln < ln b e < e b.

31 31 Logritmeregning Derivsjonsregler f(x) = e x f(x) = ln x f(x) = log x f(x) = e u(x) f (x) = e x f (x) = 1 x f (x) = 1 x log e f (x) = e u(x) u (x).