1T kapittel 3 Funksjoner Løsninger til oppgavene i læreboka

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "1T kapittel 3 Funksjoner Løsninger til oppgavene i læreboka"

Transkript

1 1T kpittel 3 Funksjoner Løsninger til oppgvene i læreok Oppgve 3.1 Origo er skjæringspunktet mellom førsteksen og ndreksen. Koordintene til origo er ltså (0, 0). Førstekoordinten til punktet A er 15, og ndrekoordinten er 10. Koordintene til punktet A er ltså (15,10). B hr koordintene (0, 1,5). C hr koordintene ( 15, 10). D hr koordintene (15, 17,5). E hr koordintene ( 150, 10). Punktet ( 00, 15) ligger i 3. kvdrnt. Oppgve 3. Punktene som hr som ndrekoordint, hr y =. Punktene ligger ltså på linj y =. Punktene som hr 4 som ndrekoordint, hr y = 4. Punktene ligger ltså på linj y = 4. Punktene som hr 0 som førstekoordint, hr x = 0. Punktene ligger på linj x = 0, ltså på ndreksen. d Punktene som hr 0 som ndrekoordint, hr y = 0. Punktene ligger på linj y = 0, ltså på førsteksen. Oppgve 3.3 Px ( ) = 3x+ 4 P(4) = = 16 P(10) = = 34 P( ) = 3 ( ) + 4 = I oppgve regnet vi ut t x = 4 gir y = 16. Punktet (4,16) ligger ltså på grfen til P. To ndre punkter på grfen til P er f.eks. (10, 34) og (, ). Oppgve 3.4 Nt () = t t N(4) = 4 4 = 16 4 = 8 N(0) = 0 0 = 0 N = = + = ( ) ( ) ( ) 4 10 Ashehoug Side 1 v 56

2 Oppgve 3.5 Vi setter x = 0 og leser v ( ) Det gir f (0) = 40. Tilsvrende ser vi t (4) 60 f x fr grfen. f = og f (1) = 100. Vi ruker grfen og leser v den verdien v x som gir f( x ) = 80. Det gir x = 8. Oppgve 3.6 Vi ser t grfen skjærer førsteksen i punktene (1, 0) og (5, 0). Nullpunktene for funksjonen er ltså 1 og 5. Funksjonen hr et unnpunkt i (3, 1) og et toppunkt i (7,1, 3,9). Den minste verdien for funksjonen er ltså 1, og den største verdien er 3,9. Funksjonen kn h lle verdier mellom disse grensene. V = 1, 3,9. Verdimengden for funksjonen er ltså [ ] Oppgve 3.7 Funksjonen hr et unnpunkt i (0, 1). Dessuten er (3) 1 f f =, og x = 3 er med i definisjonsmengden for funksjonen. Minimlverdien for f er ltså 1. Funksjonen hr et toppunkt i (,5). Mksimlverdien for f er ltså 5. (Punktet ( 1, 5) ligger ikke på grfen til f, siden x = 1 er utenfor definisjonsmengden.) Verdimengden for funksjonen er [ 1,5] V =. Vi ser t f( x ) = 3 for x = 0, 7, x = 1 og x =,7. Vi ser t f( x ) = 1 for x = 0 og x = 3. d Vi ser t f( x ) = 5 for x =. Oppgve 3.8 Mksimlverdien til funksjonen er T (0) = 80 1,5 0 = 80. Punktet (0, 50) ligger kkurt ikke på grfen til T, siden 0 Men tllene som er større enn 50 er med i verdimengden. Verdimengden til T er ltså V T = 50, 80. Oppgve 3.9 Ar () =π r A(1) 1 A =π =π (4) 4 16 =π = π Vi ser t A (1) er minimlverdien og A (4) er mksimlverdien til funksjonen. Verdimengden er ltså [,16 ] V = π π. A f. DT Ashehoug Side v 56

3 Oppgve 3.10 Vi ser t grfen skjærer førsteksen i punktene (1, 0) og (4, 0). Nullpunktene for funksjonen er ltså 1 og 4. Løsninger Funksjonen hr et unnpunkt i (,5,, 5). Minimlverdien er ltså, 5. Siden definisjonsmengden er lle de reelle tllene, kn funksjonsverdien li vilkårlig stor. Verdimengden til funksjonen er derfor V f =, 5,. Vi ser v figuren t f (0) = 4. d Vi ser v figuren t f( x ) = 4 for x = 0 og x = 5. Oppgve 3.11 Oppgve 3.1 f n n n ( ) = 3 + f n n n n n ( ) = ( ) 3 + = f n+ = n+ n+ + ( 1) ( 1) 3 ( 1) = n + n n 3+ = n + n+ 1 3n 3+ = n Oppgve 3.13 Av figuren ser vi t ( ) 1 og f( x ) = 18 for x = 5. n f x = for x = 0, Definisjonsmengden for funksjonen D = 0,5. er derfor [ ] f Ashehoug Side 3 v 56

4 Oppgve 3.14 Vi setter inn x = 5, og løser likningen (5) 7 f(5) = = 7 5 = = = 5 5 = Oppgve 3.15 y = x 3 f = med hensyn på. Stigningstllet er fktoren forn x. Stigningstllet er ltså. Stigningstllet forteller t y øker med når x øker med 1. Konstntleddet 3 forteller hvor linj skjærer y-ksen. Skjæringspunktet mellom linj og y-ksen er ltså (0, 3). Se figuren til høyre. Oppgve 3.16 Linj skjærer ndreksen for y = 3. Konstntleddet er derfor 3. Når x øker med 1, øker y med. Stigningstllet er derfor. Linj skjærer førsteksen for x = 1, 5. Nullpunktet for funksjonen er derfor 1, 5. Linj skjærer førsteksen i punktet ( 1, 5, 0). d Linj skjærer ndreksen i punktet (0,3). e Stigningstllet er og konstntleddet er 3. Uttrykket for funksjonen er derfor f( x) = x+ 3. Oppgve 3.17 Stigningstllet 0,5 viser t funksjonsverdien øker med 0,5 når x øker med 1. Når x øker med 5 = 3 øker derfor funksjonsverdien med 3 0,5= 1,5. Stigningstllet er 0,5 og konstntleddet er 4. Funksjonsuttrykket for linj er derfor f( x) = 0,5x+ 4. Vi finner nullpunktet til funksjonen ved å løse likningen f( x ) = 0. 0,5x + 4 = 0 0,5x = 4 0,5x 4 = 0,5 0,5 x = 8 Nullpunktet til funksjonen er 8. Ashehoug Side 4 v 56

5 Oppgve 3.18 Linj skjærer ndreksen for y =. Konstntleddet er derfor. Når x øker med 1, minker y med 1. Stigningstllet er derfor 1. Likningen for linj er y = x+. Linj skjærer ndreksen for y = 3. Konstntleddet er derfor 3. Når x øker med 1, minker y med. Stigningstllet er derfor. Likningen for linj er y = x+ 3. Oppgve 3.19 f( x) = x Stigningstllet er, og grfen skjærer ndreksen for y =. Dette stemmer med grf nummer 3. gx= ( ) Funksjonen er konstnt, og grfen er derfor prllell med førsteksen. Grfen skjærer ndreksen for y =. Dette stemmer med grf nummer. hx ( ) = x 3 Stigningstllet er 1, og grfen skjærer ndreksen for y = 3. Dette stemmer med grf nummer 1. d kx ( ) = x Stigningstllet er, og grfen skjærer ndreksen for y =. Dette stemmer med grf nummer 4. Oppgve 3.0 Når x øker med 4, øker y med 5. Stigningstllet er d økning i y 5 økning i x = 4. Når x øker med, minker y med 5. «Økningen» i y er ltså 5. Stigningstllet er økning i y = 5 = 5. økning i x Ashehoug Side 5 v 56

6 Oppgve 3.1 Vi finner skjæringspunktet mellom grfene ved å løse likningen f( x) = gx ( ). 0,5x+ 4 = x 1 0,5x x= 1 4,5x = 5,5x 5 =,5,5 x = Vi finner y ved å sette inn x = i ett v funksjonsuttrykkene, f.eks. f( x ). y = f() = 0,5 + 4 = 3 Skjæringspunktet mellom grfene er (,3). Vi skriver inn funksjonsuttrykkene i GeoGer, og velger «Skjæring mellom to ojekt» for å finne skjæringspunktet mellom grfene. Skjæringspunktet mellom grfene er (,3). Vi finner nullpunktet til g ved å eregne skjæringspunktet mellom g og x-ksen i GeoGer. Nullpunktet til g er 0,5. d Vi finner f ( 7,3) ved å skrive inn dette direkte i GeoGer. Det gir f ( 7,3) = 7,65. (På figuren over hr vi tegnet inn punktet ( 7,3, f ( 7,3) ).) Ashehoug Side 6 v 56

7 Oppgve 3. Vi skriver inn funksjonsuttrykkene i GeoGer ved hjelp v kommndoene f(x) = Funksjon[1x+18.3, -3, 15] g(x) = Funksjon[8.5x+40, 1, 1] Dermed får vi inkludert definisjonsmengden. Vi finner skjæringspunktet med kommndoen «Skjæring mellom to ojekt». Skjæringspunktet mellom grfene er (6,, 9,7). Her er det flere mulige frmgngsmåter. På figuren over hr vi lgt inn linj y = 6, og så funnet skjæringspunktet mellom denne linj og grfen til f( x ). Det gir løsningen x = 3, 64. (Det er også mulig å ruke CAS-delen v GeoGer. D kn mn skrive inn likningen f( x ) = 6 direkte. Men det er ikke fullt så lett å få vist løsningen i figuren.) d Igjen ruker vi kommndoen «Skjæring mellom to ojekt», denne gngen mellom grfen til f og x-ksen. Skjæringspunktet mellom grfen til f og førsteksen er ( 1,55, 0). Oppgve 3.3 Stigningstllet er. Når x øker med 1, øker derfor y med. Konstntleddet 3 etyr t linj skjærer ndreksen for y = 3. Likningen for linj er y = x 3. Den ndre linj skjærer også ndreksen for y = 3. Stigningstllet er 3. Likningen for den ndre linj er derfor y = 3x 3. Ashehoug Side 7 v 56

8 Oppgve 3.4 Når x øker med 1, minker y med. Stigningstllet er derfor. Linj skjærer ndreksen for y = 4. Konstntleddet er derfor 4. Funksjonsuttrykket for linj er dermed f( x) = x+ 4. Linj skjærer førsteksen for x =. Nullpunktet til funksjonen er derfor. Vi setter inn x = 1 i funksjonsuttrykket: f (1) = = 0 Oppgve 3.5 Funksjonene ( ) f x, gx ( ) og ix ( ) hr positive stigningstll. Grfene til disse funksjonene stiger derfor mot høyre. Funksjonene f( x ) og ix ( ) hr smme stigningstll, nemlig. Disse funksjonene hr derfor prllelle grfer. Konstntleddet til funksjonene forteller hvor grfene skjærer y-ksen. Funksjonene gx ( ) og ix ( ) hr smme konstntledd, nemlig 6. Disse funksjonene hr derfor grfer som skjærer y-ksen i smme punkt. Oppgve 3.6 Grfen til funksjonen går gjennom punktene (, 0) og (0, 6). Vi trekker derfor en rett linje gjennom disse punktene. Når x øker med 1, øker y med 3. Stigningstllet er derfor 3. Linj skjærer ndreksen for y = 6. Konstntleddet er derfor 6. Funksjonsuttrykket for linj er f( x) = 3x+ 6. Oppgve 3.7 Linj går gjennom punktene (, ) og (8, 1). Stigningstllet er d y y y1 1 3 = = = = = 0,5 x x x1 8 6 Vi ruker ettpunktsformelen til å finne funksjonsuttrykket for linj: y y= x ( x) 1 1 y = 0,5 ( x ) y = 0,5x+ 0,5 + y = 0,5x+ 3 Funksjonen er gitt ved f( x) = 0,5x+ 3. Ashehoug Side 8 v 56

9 Oppgve 3.8 Vi ruker ettpunktsformelen: y y= x ( x) 1 1 y = ( x 1) y = x+ + y = x+ 4 y y1 = x x1 ( ) y ( 4) = 3 ( x 0) y+ 4= 3x y = 3x 4 Oppgve 3.9 For hvert v de to punktene setter vi verdien v x inn i formelen y 1, 5x 3 stemmer med verdien v y i punktet. ( 3, 7,5) : y = 1,5 ( 3) + 3= 7,5 ( 1,1,5) : y = 1,5 ( 1) + 3= 4,5 1,5 Det er re punktet ( 3, 7,5) som ligger på linj y = 1, 5x+ 3. Oppgve 3.30 Vi tegner grfen til funksjonen, og ruker grfen til å svre på spørsmålene. A B Nullpunktet for en funksjon er førstekoordinten til skjæringspunktet mellom grfen og førsteksen. Nullpunktet for funksjonen er ltså,5, ikke 5. Påstnden er gl. Når x øker med 1, minker y med. Stigningstllet for linj er ltså. Påstnden er riktig. C Punktet (3, ) ligger ikke på linj. Påstnden er gl. D Skjæringspunktet mellom de to linjene er (,5, 0). Påstnden er riktig. Oppgve 3.31 Når x øker med 1, ser vi t y minker med. Stigningstllet er derfor. Vi finner funksjonsuttrykket fr ettpunktsformelen. y y1 = x ( x1) y 11 = ( x ( 4) ) y = x y = x+ 3 Funksjonsuttrykket er f( x) = x+ 3. Vi setter x = 0 inn i funksjonsuttrykket. f (0) = = 3 = +, og ser om dette Ashehoug Side 9 v 56

10 d Vi løser likningen f( x ) = 0. x + 3= 0 x = 3 x 3 = 3 x = Oppgve 3.3 Linj l hr stigningstllet. Vi lr linj m h stigningstllet. Produktet v stigningstllene skl være 1. Det gir likningen = 1. Altså er = 0,5. Vi ruker ettpunktsformelen til å finne likningen for m. y y1 = x ( x1) y 4 = 0,5 ( x ) y = 0,5x y = 0,5x+ 5 Oppgve 3.33 Vi leser v temperturen i fhrenheitgrder når C = 0. Det gir F 30. Frysepunktet for vnn er. 30 F. d Grfen går omtrent gjennom punktene (0, 30) og (10, 50). Stigningstllet er dermed y y y = = = = = x x x Grfen skjærer ndreksen for F = 30. Konstntleddet er derfor 30. Et tilnærmet funksjonsuttrykk for F er ltså F = C+ 30. Temperturen i grder fhrenheit er omtrent lik det doelte v temperturen i grder elsius pluss 30. Vi setter de to uttrykkene for F lik hverndre. 9 C+ 30 = C C C = , C = 0, C = 0, 0, C = 10 Den tilnærmede og den ekskte formelen gir smme verdi for F når C = 10. Den tilnærmede formelen er lik den ekskte formelen når temperturen er 10 C. Den tilnærmede formelen hr større stigningstll enn den ekskte formelen. Altså vil den tilnærmede formelen gi for høy tempertur i F når C > 10, og for lv tempertur når C < 10. Når temperturen vrierer mellom 17 C og 6 C, gir derfor den tilnærmede formelen for høye verdier. Ashehoug Side 10 v 56

11 Oppgve 3.34 Mri strter med 6000 kr, og ruker 300 kr hver dg i åtte dger = 3600 Etter åtte dger vil Mri h igjen 3600 kr. Mri strter med 6000 kr. Hun ruker 300 kr hver dg i x dger. Beløpet hun hr igjen er dermed gitt ved K( x) = x K( x) = x = 0 300x = x 6000 = x = 0 Mri hr rukt opp lle pengene etter 0 dger. Oppgve 3.35 Med 0 personer er leien 00 kr. Grunnleien er ltså 00 kr. Når ntllet personer øker fr 0 til 100, øker leien fr 00 kr til 1000 kr = = Tillegget per person er på 8 kr. Grunnleien er 00 kr, og tillegget per person er 8 kr = 704 Med 63 personer lir leien 704 kr. d = 110 Leien lir 110 kr hvis loklet er fullt. e Tillegget i pris per person er 8 kr. Stigningstllet er ltså 8. Konstntleddet er 00. Funksjonsuttrykket er dermed Px ( ) = 8x+ 00. Oppgve 3.36 Vi utvider tellen med en rd der vi regner ut forholdet mellom pris og vekt. Vekt i kg 1,5,5 10 Pris i kr 6,60 11,00 44,00 Pris i kr Vekt i kg 4,40 4,40 4,40 Siden forholdet er konstnt, er prisen og vekten proporsjonle størrelser. Proporsjonlitetskonstnten står for prisen per kg for potetene. Potetene koster 4,40 kr per kg. Prisen y kr for x kg poteter er derfor gitt ved y = 4, 40x. Ashehoug Side 11 v 56

12 Oppgve 3.37 Løsningen v likningen er x = 4. Løsningen v likningen er x = 0,67. Oppgve 3.38 Hos ByTxi er stigningstllet 1 og konstntleddet 50. Dermed er Bx ( ) = 1x+ 50. Hos LndTxi er stigningstllet 16 og konstntleddet 40. Dermed er Lx ( ) = 16x+ 40. Prisen vr den smme hos ByTxi og LndTxi. Vi løser derfor likningen Bx ( ) = Lx ( ). 1x+ 50 = 16x+ 40 1x 16x= x = 10 4x 10 = 4 4 x =,5 Hns skulle t drosje,5 km. Oppgve 3.39 Se figuren til høyre. Av tellen ser vi t promillen vtr med like mye hver gng t øker med 1. Dette ser vi også v figuren, der punktene ligger lngs en rett linje. Promillen følger ltså en lineær modell. Vi ruker figuren og leser v promillen for t = 0. Mnnen hdde 1,40 i promille d hn sluttet å drikke. d Konstntleddet er 1,40. Når t øker med 1, minker Pt () med 0,15. Stigningstllet er derfor 0,15. Funksjonsuttrykket er dermed Pt ( ) = 1,40 0,15t e Vi leser v på grfen når Pt ( ) = 0,. Promillen er 0, etter 8 timer. Ashehoug Side 1 v 56

13 Oppgve 3.40 Grfen til funksjonen går gjennom punktene (50,10) og (400,150). Stigningstllet er d gitt ved y y y = = = = = x x x Vi finner konstntleddet ved hjelp v ettpunktsformelen. y y= x ( x) 1 1 y 10 = ( x 50) y = x y = x+ 70 Konstntleddet er = 70. Strtprisen er 70 kr. I tillegg etler mn kr per kg søppel. Oppgve 3.41 Grfen går gjennom punktene (0, 00) og (5, 300). Stigningstllet er derfor y y y = = = = = 0 x x x Grfen skjærer ndreksen for y = 00. Konstntleddet er derfor 00. Grunnlønn til Solfrid er 00 kr. I tillegg tjener hun 0 kr for hver kurv med jordær hun selger. Oppgve 3.4 Grfene skjærer hverndre i punktet (4, 6). Løsningen på likningen er ltså x = 4. For linje 1 øker y med 1 hver gng x øker med 1. Stigningstllet er derfor 1. Grfen skjærer ndreksen for y =. Konstntleddet er derfor. Formelen for linje 1 er ltså y = x+. For linje minker y med 0,5 hver gng x øker med 1. Stigningstllet er derfor 0,5. Grfen skjærer ndreksen for y = 8. Konstntleddet er derfor 8. Formelen for linje er ltså y = 0,5x+ 8. Likningen Kine skulle løse, svrer til å sette de to uttrykkene lik hverndre. Kine hr ltså løst likningen x+ = 0,5x+ 8. Ashehoug Side 13 v 56

14 Oppgve 3.43 Grfen skjærer ndreksen for y = 1. Juleesken koster 1 kr. Når x øker med 1, øker y med 10. Stigningstllet er derfor 10. Sjokoldekulene koster 10 kr per hektogrm. Vi leser v på grfen hvilken verdi v x som svrer til y = 60. Det gir x = 4,8. Sjokoldekulene veier 4,8 hg. Oppgve 3.44 Med x = 0 får vi y = 0, = 1. D strømmen le slått v, vr temperturen i fryseskpet 1 C. Stigningstllet er 0,50. Når x øker med 1, øker ltså y med 0,50. Det etyr t temperturen i fryseskpet stiger med 0,50 C hver time. Vi løser likningen y = 5,0. 0,50x 1 = 5, 0 0,50x = 16 x = 3 Strømmen kn være slått v i 3 timer uten t innholdet lir ødelgt. d Vi ser t y = k når x = 0. Konstnten k er ltså temperturen i fryseskpet når strømmen lir slått på igjen. e Temperturen er 8 C når strømmen lir slått på. Altså er k = 8. Vi løser likningen y = 1. 1, 5x 8 = 1 1, 5x = 13 1, 5x 13 = 1, 5 1, 5 x = 8,7 Det tr 8,7 timer før temperturen i fryseskpet igjen hr litt 1 C. f Formelen y = 0,50x 1 gjelder frm til y = 8. Det svrer til x = 6. Deretter er det formelen y = 1,5 ( x 6) 8 som gjelder, siden det llerede hr gått 6 timer når strømmen lir slått på igjen. Temperturen hr igjen litt 1 C etter totlt 34,7 timer. Ashehoug Side 14 v 56

15 Oppgve 3.45 Grfen til funksjonen går gjennom punktene (0, 00) og (60,160). Det gir stigningstllet y y y = = = = = 1 x x x Vi finner funksjonsuttrykket fr ettpunktsformelen. y y1 = x ( x1) y 00 = 1 ( x 0) y = x y = 0 x For hvert år mn lir eldre, synker mkspulsen med ett slg per minutt. Vi setter x = 35 inn i formelen. y = 0 x= 0 35 = 185 Ifølge modellen er mkspulsen til en 35-åring 185 slg per minutt. d Vi løser likningen y = x = 180 x = x = 40 Den mksimle frekvensen er 180 når mn er 40 år. Oppgve 3.46 Folketllet øker fr til i løpet v 5 år. Stigningstllet er derfor = = Funksjonsuttrykket for folketllet må ltså h stigningstll 40. Konstntleddet derimot kn være nærmest hv som helst, vhengig v hvilket år vi velger t x = 0 skl tilsvre. Derfor kn funksjonene A, B og C eskrive folketllet i kommunen. (For funksjon A svrer x = 0 til 013, for B svrer det til 008, og for C svrer det til 010.) Oppgve 3.47 Linj går omtrent gjennom punktene (0,1,) og (10, 1,0). Det gir stigningstllet y y y1 1, 0 1, 8,8 = = = = = 0,88 x x x Linj skjærer ndreksen for y = 1,. Konstntleddet er derfor = 1, 1. Likningen for linj er dermed y = 0,88x+ 1. Ashehoug Side 15 v 56

16 Oppgve 3.48 x står for ntll dger siden nyttår, der 1. jnur tilsvrer x = 1. Altså tilsvrer 1. jnur x = 1, og 9. jnur tilsvrer x = 9. Det er 31 dger i jnur, slik t 5. ferur tilsvrer x = = 36. Dto x Vekt i kg (y) Vi ruker lineær regresjon. Linj y = 0,140x+ 107 psser est til punktene. Vi kn for eksempel regne 1. juni som strten på sommeren. Det tilsvrer x = = 15 Vi setter x = 15 inn i den lineære formelen. y = 0, = 85, 7 Dersom den lineære veksten fortsetter, vil Lrs veie. 86 kg rundt 1. juni. Det ser ltså ut til t Lrs kn nå målet sitt om å være nede i 85 kg til sommeren. Oppgve 3.49 x står for ntll år siden 003. F.eks. tilsvrer år 007 x = 4, og år 009 tilsvrer x = 6. År x Folketll, f( x ) Vi ruker lineær regresjon. Funksjonen f( x) = 64,3x psser est til dtene. År 01 svrer til x = 9. Vi setter x = 9 inn i formelen. f (9) = 64, = 3598 I 01 vr folketllet Oppgve 3.50 Vi ruker lineær regresjon og får linj y = 1, x År 016 svrer til x = 7. Vi setter dette inn i formelen. y = 1, = 747 Det vil være. 750 deltkere i 016 hvis utviklingen fortsetter på den smme måten. Oppgve 3.51 Vi ruker lineær regresjon og får funksjonen f( x) = 43x svrer til x = 1. Vi setter inn i formelen og får f (1) = = Etter modellen vil folketllet i 015 være Ashehoug Side 16 v 56

17 Oppgve 3.5 Vi ruker lineær regresjon på dtene, og finner d linj y = 0,01x 10,9. Altså er 0,01 =. = og 10,9 Vi setter x = 500 inn i formelen: y = 0, ,9 = 44,35 44, 4 En løpt distnse på 500 m svrer til kondisjonstllet 44,4. Løsninger En mnn i ldersgruppen år er i middels god form hvis kondisjonstllet er minst 3. Vi finner distnsen dette tilsvrer ved å løse likningen y = 3. 0, 01x 10,9 = 3 0, 01x = 4,9 x = 1941 Mnnen må løpe meter for å være i middels god form. For å være i svært r form må kondisjonstllet være minst 46. Vi løser likningen y = 46. 0, 01x 10,9 = 46 0, 01x = 56,9 x = = 634 Mnnen må løpe. 630 meter lengre for å være i svært r form. Oppgve 3.53 Vi ruker lineær regresjon, og finner linj y = x svrer til x = 1. Vi setter dette inn i formelen. y = = Dette er en god del mindre enn det virkelige tllet på personiler. Antll iler hr steget mer enn det modellen sier. Modellen psser gnske dårlig. Ifølge modellen vil ntllet personiler re fortsette å stige, med iler i året. I virkeligheten er ntllet personiler nødt til å egynne å flte ut før eller siden. Modellen kn derfor ikke være gyldig i det lnge løp. (I oppgve fnt vi riktignok t det virkelige ntllet iler vr høyere enn det modellen tils. Men dette må være en midlertidig trend. Etter lng tid vil det virkelige ntllet iler li lvere enn modellen.) Oppgve 3.54 Toppunktet til funksjonen er ( 1, 4). Grfen skjærer førsteksen i punktene ( 3, 0) og (1, 0). Funksjonen hr ltså nullpunktene 3 og 1. Grfen til f skjærer linj y = 3 i punktene (,3) og (0,3). Likningen f( x ) = 3 hr derfor løsningene x = og x = 0. Vi ser t linj y = 5 ikke skjærer grfen til f. Likningen f( x ) = 5 hr derfor ingen løsning. Ashehoug Side 17 v 56

18 Oppgve 3.55 Vi ser t funksjonen hr minimlverdien f ( ) = 7. Funksjonen hr et toppunkt i (,9). Mksimlverdien er ltså 9. Verdimengden til funksjonen er [ 7,9] V =. Oppgve 3.57 Vi ser t grfen til f går gjennom punktene (0, 4) og (1, ). Dette kn vi ruke til å regne ut koeffisientene og. f ( x) = x + f(0) 0 = 4 f = + = + (1) = = + = = Funksjonsuttrykket er ltså Oppgve 3.58 f x ( ) x 4 f = +. En ndregrdsfunksjon er symmetrisk om den vertikle linj som går gjennom unnpunktet (eller toppunktet). Funksjonen f hr et unnpunkt i (, 1). Likningen for symmetrilinj er derfor x =. Funksjonen er symmetrisk om linj x =. Det etyr t funksjonen hr smme verdi for x = 0 og x = 4, og smme verdi for x = 1 og x = 5. Altså er f(4) = f(0) = 3 f(5) = f( 1) = 8 Se figuren til høyre. Ashehoug Side 18 v 56

19 Oppgve 3.59 x + 13x+ 6 = 0 Likningen hr løsningene x= 6 x= 0,5. x + 4x+ 4= 0 Likningen hr løsningen x =. + = x x 6 0 Likningen hr løsningene x= x= 1, 5. Ashehoug Side 19 v 56

20 d x 6x+ 10 = 0 Grfen skjærer ikke førsteksen. Likningen hr derfor ingen løsning, L =. Oppgve 3.60 Når plnten lir stt ned, er x = 0. Funksjonsuttrykket er gyldig i ti dger, ltså til x = 10. x 0,10. Vi skl derfor tegne grfen for [ ] Vi ser t h (0) = 4. Konstntleddet 4 etyr ltså t plnten vr 4 m høy d den le plntet. Se figuren til høyre. d Vi ser v figuren t hx ( ) = 6 når x = 3,. Plnten vr 6 m høy etter 3, dger. Oppgve 3.61 Vi tegner grfen til B for x [ 1, 31]. Bunnpunktet på grfen er (11,1801). Det vr færrest esøkende 11. mrs. Funksjonen hr mksimlverdien 3001 når x = 31. Den dgen det vr flest esøkende (nemlig 31. mrs) kom det 3001 personer til lpinnlegget. d Vi ser t grfen til B skjærer linj y = 1909 for x = 5 og x = 17. Det vr 1909 esøkende ved lpinnlegget 5. mrs og 17. mrs. Vi finner svret ved regning ved å løse likningen Bx ( ) = x 66x+ 164 = x 66x+ 55 = 0 Her er = 3, = 66 og = 55. Vi setter inn i -formelen og får ± ± ± ± x = = = = x = x = 6 6 x = 5 x = 17 ( 66) ( 66) Ashehoug Side 0 v 56

21 Oppgve 3.6 Vi løser likningen K( x) = I( x). 0, = 8 x x x 0,1x 3x+ 900 = 0 Her er = 0,1, = 3 og = 900. Vi setter inn i -formelen og får ( 3) ± ( 3) 4 0, ± ± 169 3± 13 x = = = = 0,1 0, 0, 0, x = x = 0, 0, x = 50 x = 180 Kostnden er lik inntekten når det lir produsert 50 eller 180 enheter. Dette stemmer med figuren i oppgve, der grfene til K( x ) og I( x ) skjærer hverndre for x = 50 og x = 180. Overskuddet er gitt ved differnsen mellom inntekter og utgifter. Altså er Ox ( ) = Ix ( ) Kx ( ) ( ) Ox ( ) = 8x 0,1x 15x+ 900 = + 8x 0,1x 15x 900 0,1x 3x 900 = + d Vi tegner grfen til Ox. ( ) Grfen hr et toppunkt i (115, 4,5). Den største verdien overskuddet kn h, er ltså 4,50 kr. (Dette skjer når det lir produsert 115 enheter.) Ashehoug Side 1 v 56

22 Oppgve 3.63 Vi tegner grfen i GeoGer. Vi finner vekten etter tre uker ved å skrive V (3) i inntstingsfeltet i GeoGer. Etter tre uker vr vekten v plnten,5 kg. Tilsvrende finner vi t vekten v plnten etter ni uker vr 5,4 kg. (Alterntivt kn vi finne skjæringspunktene mellom grfen til V og linjene x = 3 og x = 9, slik vi hr gjort i figuren i oppgve.) Vi finner skjæringspunktene mellom grfen til V og linjene y = 1,1 og y = 1, 3. Etter 0,00 uker vr vekten 1,1 kg, og etter 0,6015 uker vr vekten 1,3 kg. 0, , 00 = 0, , 4013 uker = 0, dger =,8091 dger Det gikk,8 dger fr vekten vr 1,1 kg til den le 1,3 kg. Ashehoug Side v 56

23 Oppgve 3.64 Vi setter inn t = 0 i funksjonsuttrykket. 3 N (0) =, = 00 Det vr 00 elg i området 1. jnur 006. Funksjonsuttrykket gjelder fr og med 1. jnur 006, ltså for t 0. Uttrykket gjelder til og med 013. Det etyr t uttrykket gjelder frm til 1. jnur 014, ltså for t < 8. Definisjonsmengden er dermed D N = 0,8. Vi tegner grfen i GeoGer. d Vi tegner inn linj y = 0, og finner skjæringspunktene mellom linj og grfen til N. Likningen Nt ( ) = 0 hr løsningene t = 0,4 t = 4,69 t = 7,06 De tre tidspunktene svrer til hhv. en dg i 006, en dg i 010 og en dg i 013. Vi må regne ut hvilke dtoer desimltllene tilsvrer. 0,4 365 = dger etter 1. jnur er 30. mrs. 0, = 5 5 dger etter 1. jnur er 10. septemer. 0, = dger etter 1. jnur er 3. jnur. Elgestnden vr på 0 dyr rundt 30. mrs 006, 10. septemer 010 og 3. jnur 013. e Grfen til N hr et toppunkt i (, 80), som svrer til 1. jnur 008. I tillegg er N (8) = 80. Dette punktet er ikke med i definisjonsmengden til funksjonen. Men det vr omtrent like mnge elg 31. desemer året før, ltså 31. desemer 013. (Hvis vi regner det ut nøyktig, finner vi t N( ) = 79,75 80.) Elgestnden vr på topp rundt 1. jnur 008 og 31. desemer 013, med 80 elg. f Grfen til N hr et unnpunkt i (6, 00), som svrer til 1. jnur 01. I tillegg er N (0) = 00, og t = 0 er med i definisjonsmengden til funksjonen. Elgestnden vr ltså minst rundt 1. jnur 006 og 1. jnur 01. Ashehoug Side 3 v 56

24 Oppgve 3.65 Oppgve 3.66 Av figuren ser vi t funksjonen hr minimlverdien 4 og mksimlverdien 1. V = 4,1. Verdimengden til funksjonen er ltså [ ] Grfen hr et unnpunkt i (1, 4). Grfen til f skjærer førsteksen i punktene ( 1, 0) og (3, 0). Nullpunktene til funksjonen er derfor 1 og 3. d Vi ser t grfen til f skjærer linj y = 3 i punktene (0, 3) og (, 3). Likningen f( x ) = 3 hr ltså løsningene x= 0 x=. e f Oppgve 3.67 Funksjonen hr definisjonsmengden [ 0,8] D =. Kl. 1 svrer til x = 0, og kl. 17 svrer til x = 5. Vi leser v på grfen, og finner t T(0) = T(5) = 16. Temperturen vr 16 C åde kl. 1 og kl. 17. Funksjonen hr et toppunkt i (,5,17,5). Temperturen vr høyest kl Temperturen vr d 17,5 C. T Ashehoug Side 4 v 56

25 Oppgve 3.68 For eksempel finner vi t M (30) = 0, , = 54 Frt i km/h Utslipp i grm/km Vi tegner grfen til M for 30 v 100. Vi ser t grfen til M hr et unnpunkt i (73,75,177,44). CO -utslippet per km er minst når frten er 74 km/h. d En frt på 60 km/h gir et CO -utslipp på 185 grm/km. I løpet v en hlvtime kjører ilen 60 km/h 0,5 h = 30 km. CO -utslipp: 185 grm/km 30 km = 5550 grm = 5,55 kg Bilen slipper ut til smmen 5,55 kg CO. Oppgve 3.69 Vi tegner grfen til h i GeoGer for 4 x 17. Vi regner ut h (16) i GeoGer, enten ved å skrive inn denne kommndoen direkte, eller ved å finne skjæringspunktet mellom linj x = 16 og grfen til h. Det gir h (16) = 166,56. Ifølge modellen er gjennomsnittshøyden for 16 år gmle jenter 167 m. Vi finner skjæringspunktet mellom grfen til h og linj y = 150, som er (11,49,150). Gjennomsnittshøyden psserer 150 m etter 11,5 år. Oppgve 3.70 ( ) f x er positiv for x <, negtiv for < x < 1, positiv for 1< x < 3, og negtiv for x > 3. Nullpunktene til funksjonen er, 1 og 3. Ashehoug Side 5 v 56

26 Oppgve 3.71 Løsninger Når en funksjon er symmetrisk om er vertikl linje, etyr det t det for hvert punkt på grfen til funksjonen, finnes et tilsvrende punkt med smme funksjonsverdi på den ndre siden v symmetrilinj. En prel hr nøyktig ett punkt hvor funksjonsverdien enten er mksiml (toppunkt) eller miniml (unnpunkt). Dette punktet må derfor ligge på symmetrilinj. f( x) = x 4x 5 Her er = 1, = 4 og = 5. Bunnpunktet hr dermed x-verdien 4 4 x = = = = 1 Det gir y = f() = 4 5 = = 9. Bunnpunktet hr koordintene (, 9). Nullpunktene er løsningene v likningen f( x ) = 0. Vi setter inn i -formelen og får ± ( 4) ± ( 4) 4 1 ( 5) ± + ± ± x = = = = = x = x = x = 1 x = 5 Nullpunktene til f er 1 og 5. Oppgve 3.7 Skjæringspunktet mellom grfen til f og y-ksen hr x-koordint 0. Vi setter x = 0 inn i funksjonsuttrykket, og får d likningen f (0) = = 3 = 3 Nullpunktene til funksjonen er løsningene v likningen f( x ) = 0. Vi setter x =, og løser likningen f () = 0 med hensyn på. 3 + = = 0 = Oppgve 3.73 f x x f f Linj går gjennom punktene (,3) og (3, 8). Det gir stigningstllet y y y = = = = = 1 x x x1 3 ( ) 5 Vi finner likningen for linj fr ettpunktsformelen. y y1 = x ( x1) y 3 = 1 ( x ( ) ) y 3= x+ y = x+ 5 ( ) = 1 ( ) = ( ) 1 = 4 1 = 3 (3) = 3 1 = 9 1 = 8 Ashehoug Side 6 v 56

27 Oppgve 3.74 Vi setter x = 90 inn i formelen f( x) 0,3x 0,014x = +. f (90) = 0, , = 140, Stopplengden er 140 meter, mens elgen står re 130 meter forn ilen. Erik kjører derfor på elgen. Med x = 80 får vi f (80) = 0, , = 113, Hvis frten er 80 km/h, lir stopplengden 114 meter. Det hdde derfor gått r hvis Erik hdde holdt frtsgrensen. Frtsøkningen er på 10 km/h. 10 0,15 1,5 % 80 = = Frtsøkningen er på 1,5 %. d Økningen i stopplengde er 140, 4 m 113, 6 m = 6,8 m. 6,8 0,36 3,6 % 113,6 = = Stopplengden øker med 3,6 %. Oppgve 3.75 Kl svrer til x = = 5,5. Vi setter dette inn i formelen for hx ( ). h = + = Kl vr snødyden 4,5 m. 3 (5,5) 0,0075 5,5 0, ,5 1,055 5,5 4,5 Vi tegner grfen til hx ( ) smmen med linj y =,0 i GeoGer, og finner skjæringspunktene mellom linjene. Likningen hx ( ) =, 0 hr løsningene x= 1,95 x= 10,76. Dette svrer til kl. 1 h + 0,95 60 min = og kl. 10 h + 0,76 60 min = Snødyden vr,0 m. kl og. kl Grfen hr toppunktet (6,85, 4,81). Dette finner vi med kommndoen Mks[h,0,1]. Snødyden vr størst. kl D vr snødyden 4,8 m. d Snødyden vr størst for x = 6,85. Grfen til h skjærer x-ksen for x = 11,86. 11,86 6,85 = 5, 01 Det tok 5,0 timer fr snødyden vr størst til ll snøen vr orte igjen. Ashehoug Side 7 v 56

28 Oppgve 3.76 Funksjonen hr nullpunktene og 1. Vi ser t f( x ) er negtiv åde for x < og for x >. Punktet (, 0) er ltså et toppunkt på grfen. I tillegg er punktet (0, 4) et unnpunkt. Grfen kommer nedenfr og går oppover. Oppgve 3.77 Funksjonen hr nullpunktene 1, og 3. f( x ) er positiv for x < 1 og negtiv for x > 3. Grfen kommer ltså ovenfr og går nedover. Dessuten går grfen gjennom punktet (0, ). Oppgve 3.78 Strtverdien v ilen er kr. Altså er = Verdien synker med 18 % hvert år, som svrer til vekstfktoren 0,8. Altså er = 0,8. Verdien v ilen etter t år er dermed gitt ved Vt ( ) = ,8 t. Funksjonsuttrykket gjelder de neste sju årene. Altså er definisjonsmengden [ 0,7] d e D V =. Funksjonen vtr hele tiden. Altså er minimlverdien V (7) og mksimlverdien V (0). 7 V (7) = ,8 = V (0) = ,8 = V = , Verdimengden for funksjonen er [ ] 3 V (3) = ,8 = Verdien v ilen etter tre år er kr. V V () = ,8 = V() V(3) = = Verditpet det tredje året er kr. Bilen er mindre verdt i egynnelsen v det fjerde året enn i egynnelsen v det tredje året. Derfor lir også verditpet i kroner mindre det fjerde året enn det tredje året. Ashehoug Side 8 v 56

29 f Når verdien v ilen er hlvert, er verdien kr. Vi løser derfor likningen Vt ( ) = t ,8 = t ,8 = t 0,8 = 0,5 lg 0,5 t = lg 0,8 t = 3, 49 Verdien v ilen er hlvert etter. 3,5 år. Oppgve N (0) = ,40 = Det vr kterier i kteriekulturen til å egynne med. Vekstfktoren er 1,40. Det svrer til en økning på 40 %. Antll kterier økte med 40 % hver time. Se figuren til høyre. d Vi ruker grfen og leser v funksjonsverdien for t = 3. Etter tre timer vr det kterier i kulturen. e Grfen til N skjærer linj y = for x = 3, 7. Antll kterier er tredolet etter. 3,3 timer. Oppgve 3.80 Det opprinnelige eløpet vr kr. Etter tre år hr eløpet vokst til kr. 3 Tenk t vekstfktoren er x. Det gir likningen x = x = x = x = 1,030 Vekstfktoren er 1,030. En vekstfktor på 1,030 svrer til en økning på 3,0 %. Den årlige renten er 3,0 %. Strteløpet er kr, og vekstfktoren er 1,030. Etter x år hr derfor spreeløpet i kroner vokst til ( ) ,030 x K x =. Ashehoug Side 9 v 56

30 Oppgve 3.81 x Verdien v ilen etter x år er gitt ved V( x) = , der er vekstfktoren. Etter fire år er verdien v ilen kr kr = kr. Vi finner vekstfktoren ved å løse likningen V (4) = = 4 = = = 0,899 Vekstfktoren er 0,899 = 89,9 %. Det svrer til en nedgng på 100 % 89,9 % = 10,1 %. Det gjennomsnittlige årlige verditpet på ilen vr på 10,1 %. Oppgve 3.8 Antll nstte i strten v 011: Nedgng i ntll nstte i løpet v 011: 500 = 500 0, 06 = Antll nstte i strten v 01: = Nedgng i ntll nstte i løpet v 01: 470 = 470 0, 06 = Løsninger Det er flere nstte i strten v 011 enn i strten v 01. Derfor lir nedgngen i ntll nstte større i 011 enn i 01. År Antll nstte ved strten v året Nedgng i ntll nstte i løpet v året = ,06 = = ,06 = = ,06 = 3 d I 011 vr det 500 nstte i edriften. Strtverdien er ltså 500. Antll nstte lir redusert med 6 % hvert år. Det svrer til vekstfktoren 0,94. Antll nstte n år etter 011 er dermed gitt ved An ( ) = 500 0,94 n. Ashehoug Side 30 v 56

31 Oppgve V (0) = ,80 = 3000 Det vr 3000 liter vnn i tnken før lekksjen. Se figuren til høyre. 3 v vnnet hr lekket ut, ltså 3000 L 000 L 3 =. D er det igjen 3000 L 000 L = 1000 L vnn i tnken. Av figuren ser vi t V( x ) = 1000 for x = 4,9. Etter 4,9 timer hr to tredeler v vnnet i tnken lekket ut. Oppgve 3.84 Til å egynne med vr det innyggere i kommunen. Folketllet minker med 4 % hvert år. Det svrer til vekstfktoren 0,96. Folketllet etter x år er derfor gitt ved F( x ) = ,96 x. Vi setter x = 5 inn i formelen for F( x ). 5 F (5) = ,96 = Etter fem år er folketllet forventet å være Oppgve V (0) = ,8 = Bilen kostet kr d den le kjøpt. Vekstfktoren er 0,8 = 8 %. Det svrer til en nedgng på 100 % 8 % = 18 %. Det årlige verditpet er på 18 % Vi løser likningen V( x ) = = x ,8 = x ,8 = x 0,8 = 0,5 lg 0,5 x = lg 0,8 x = 3, 49 Verdien v ilen er hlvert etter 3,5 år. d 3 V (3) = ,8 = V (4) = ,8 = V(3) V(4) = = Verditpet det fjerde året er på kr. Ashehoug Side 31 v 56

32 Oppgve K (0) =,3 0,98 =,3 Like etter t psienten får sprøyten, er konsentrsjonen i lodet,3 mg/ml. Vekstfktoren er 0,98, som svrer til en nedgng på %. Konsentrsjonen i lodet v medisinen vtr med % hver time. Vi løser likningen Kt ( ) = 1, 5. t,3 0,98 = 1,5 t 1, 5 0,98 =,3 t 0,98 = 0, 65 lg 0,65 t = lg 0,98 t = 1,16 Konsentrsjonen er nede i 1,5 mg/ml etter 1 timer. Oppgve 3.87 I 013 vr produksjonen 3000 enheter. Produksjonen øker med 10 % hvert år, som svrer til vekstfktoren 1,10. I 015 hr det gått to år, og i 016 hr det gått tre år ,10 = , = I 015 vil edriften produsere enheter, og i enheter. Strtverdien er 3000, og vekstfktoren er 1,10. Etter x år er dermed ntll produserte enheter gitt ved ( ) ,10 x Px =. 5 I 018 vil produksjonen være P (5) = ,10 = 483. Etter 018 vil produksjonen øke med 5 % hvert år, som svrer til vekstfktoren 1,05. x år etter 013 er det smme som ( x 5) år etter 018, forutstt t x > 5. Strtverdien i 018 er ltså 483 enheter, og vekstfktoren etter 018 er 1,05. 5 ( x 5) år etter 018 vil derfor produksjonen være Px ( ) 483 1,05 x =. d I 018 vil produksjonen være 483 enheter, som er mindre enn Produksjonen vil ltså pssere 7000 enheter etter 018. Vi ruker derfor uttrykket fr oppgve, og løser likningen Px ( ) = x , = 1, 05 x = 483 = x 5 1,05 1,4487 lg1, 4487 x 5 = lg1, 05 x = 1, år etter 013 lir i 06. Produksjonen vil pssere 7000 enheter i 06. Ashehoug Side 3 v 56

33 Oppgve 3.88 Løsninger I 00 vr folketllet Den årlige økningen er %, som svrer til vekstfktoren 1,0. x år etter 00 er derfor folketllet gitt ved ( ) ,0 x f x = svrer til x = 6. Vi setter inn og får f (6) = ,0 = I 008 vr folketllet i kommunen År 000 svrer til x =. Vi får f ( ) = ,0 = I 000 vr folketllet i kommunen svrer til x = 4 : f ( 4) = ,0 = Økning i ntll personer: = Økning i prosent: 0,19 1,9 % = = Fr 1998 til 008 økte folketllet med 1,9 %. Oppgve 3.89 Fr 010 til 011 minket folketllet fr 7500 til 775. ny verdi Vekstfktor = gmmel verdi 775 V = = 0, I 011 vr folketllet 775, og vekstfktoren er 0,97. 5 I 016, som er 5 år senere, er derfor folketllet 775 0,97 = 647. Folketllet vil være. 650 i 016. Oppgve (3) , f = = Etter 3 minutter er det L sft i tnken. 6 f (6) = ,977 = 4348 Det er 4348 L sft i tnken etter 6 minutter. Til å egynne med vr det 5000 L i tnken = Etter 6 minutter hr det lekket ut. 650 L sft fr tnken. Vi løser likningen f( t ) = 500. t ,977 = 500 t 0,977 = 0,5 lg 0,5 t = lg 0,977 t = 9,8 30 Innholdet i tnken er hlvert etter 30 minutter. d Skjæringspunktet hr koordintene (9,8, 500). Vi ser t g( t) = 5000 f( t) = f(0) f( t). gt () viser ltså hvor mye sft som hr lekket ut etter t minutter. Ashehoug Side 33 v 56

34 Oppgve 3.91 Når x er et stort positivt eller stort negtivt tll, er 6x+ 3 6x f( x) = = 3 x 4 x Altså er linj y = 3 en vnnrett symptote. Funksjonen er ikke definert for x =. Linj x = er en loddrett symptote. Vi finner nullpunktet ved å løse likningen f( x ) = 0. 6x + 3 = 0 x x 4 6x + 3= 0 1 x = 1 Funksjonen hr nullpunktet. Når x er et stort positivt eller stort negtivt tll, er 4x 6 4x f( x) = = x x Altså er linj y = en vnnrett symptote. Funksjonen er ikke definert for x = 1. Linj x = 1 er en loddrett symptote. Vi finner nullpunktet ved å løse likningen f( x ) = 0. 4x 6 = 0 x 1 x 4x 6= 0 3 x = Funksjonen hr nullpunktet 3. Når x er et stort positivt eller stort negtivt tll, er 5x 5x 5 f( x) = 1 x x = 5 Altså er linj y = en vnnrett symptote. 1 Funksjonen er ikke definert for x =. 1 Linj x = er en loddrett symptote. Vi finner nullpunktet ved å løse likningen f( x ) = 0. 5x 1 = 0 x 1 x 5x = 0 x = 0 Funksjonen hr nullpunktet 0. Ashehoug Side 34 v 56

35 Oppgve 3.9 Vi tegner grfen i GeoGer, og finner symptotene med kommndoen Asymptote[f]. Løsninger y = 4 er vnnrett symptote, og x = 1 er loddrett symptote. y = er vnnrett symptote, og x = 0 er loddrett symptote. y = 5 er vnnrett symptote, og x = 1,5 er loddrett symptote. Ashehoug Side 35 v 56

36 Oppgve 3.93 Vi tegner grfen til funksjonen f( x) = x + 4 x + med GeoGer. Vi finner symptotene til funksjonen med kommndoen Asymptote[f]. x = er en loddrett symptote. I tillegg hr funksjonen en skrå symptote y = x. Oppgve 3.94 Vi utvider tellen med en rd der vi regner ut produktet x Px ( ). x Px ( ) x Px ( ) Produktet er konstnt. Prisen per trening er derfor omvendt proporsjonl med ntll treninger. x er ntll treninger per måned, og Px ( ) er prisen per trening. Produktet x Px ( ) er derfor den totle prisen per måned for treningen. I oppgve fnt vi t x Px ( ) = 480. Medlemskpet koster 480 kr per måned. Vi hr funnet t x Px ( ) = 480. Funksjonsuttrykket er ltså d Px ( ) 480 =. x Ashehoug Side 36 v 56

37 Oppgve 3.95 Av figuren ser vi t timelønn er 90 kr når reidstiden er 8,9 timer, og timelønn er 110 kr når reidstiden er 7,3 timer. Diep må ltså ruke mellom 7,3 og 8,9 timer på joen for t timelønn skl være mellom 90 kr og 110 kr. Oppgve 3.96 Vi finner nullpunktet ved å løse likningen f( x ) = 0. d 5x + 3 = 0 x x + 4 5x + 3= 0 3 x = 5 3 Funksjonen hr nullpunktet 5. Vi finner skjæringspunktet med ndreksen ved å sette x = f (0) = = ,. Funksjonen skjærer ndreksen i punktet ( ) Når x er et stort positivt eller stort negtivt tll, er 5x+ 3 5x 5 f( x) = = x+ 4 x 5 Altså er linj y = en vnnrett symptote. Funksjonen er ikke definert for x =. Linj x = er en loddrett symptote. Se figuren til høyre. Funksjonen er definert for lle reelle tll ortsett fr den loddrette symptoten. Definisjonsmengden er derfor D f = \{ }. Funksjonsverdien kn være ethvert reelt tll ortsett fr den vnnrette symptoten. V = \. Verdimengden er derfor { } f 5 4 Ashehoug Side 37 v 56

38 Oppgve 3.97 Se figuren til høyre. Vi ruker grfen og leser v funksjonsverdien når x = 0. Når det kommer 0 personer, lir utgiftene per person 65 kr. Grfen til E skjærer linj y = 80 for x = 1,5. Det må komme minst 13 personer for t utgiftene per person skl li lvere enn 80 kr. d Utgiftene per person er gitt ved x 500 Ex ( ) = = + 40 x x Uttrykket er ikke på formen y = k x, siden vi hr et ekstr ledd 40. Utgiftene per deltker er ikke omvendt proporsjonlt med ntll deltkere. Oppgve 3.98 Den totle prisen på ussen er uvhengig v ntll deltkere. Skolen må etle for 35 deltkere unsett hvor mnge som kommer. Den totle prisen er ltså kr = 9100 kr Prisen per deltker er dermed gitt ved Px ( ) =. x 9100 F.eks. får vi P (1) = = Antll deltkere, x Pris per deltker, Px ( ) Se figuren til høyre. Prisen per deltker er på formen y = k x. Tiludet fr usselskpet er ltså et eksempel på omvendt proporsjonlitet. Oppgve 3.99 Den loddrette symptoten er x = 1. Funksjonen er ltså ikke definert for x = 1. Dette psser med lterntivene B, C og D. Den vnnrette symptoten er y = 1, som psser med lterntivene A, C og D. Funksjonen hr nullpunkt. Dette psser med lterntivene A og D. Til smmen ser vi t det re er lterntiv D som psser med lle disse tre opplysningene. x + Figuren kn ltså vise grfen til funksjonen f( x) =. x + 1 Ashehoug Side 38 v 56

39 Oppgve Når x er et stort positivt eller stort negtivt tll, er 3x 3x f( x) = 3 x 1 x = Altså er linj y = 3 en vnnrett symptote. Funksjonen er ikke definert for x = 1. Linj x = 1 er en loddrett symptote. Når x er et stort positivt eller stort negtivt tll, er 4x 1 4x gx ( ) = = 4 x+ x Altså er linj y = 4 en vnnrett symptote. Funksjonen er ikke definert for x =. Linj x = er en loddrett symptote. Oppgve Vi tegner grfen til h i GeoGer. Vi ser t grfen til h hr unnpunktet (0, 3). Grfen til h skjærer førsteksen for x = 1, 73 og x = 1, 73. Funksjonen hr ltså nullpunktene 1, 73 og 1,73. d Funksjonen hr re én symptote, nemlig den vnnrette symptoten y = 1. e Funksjonen hr ingen loddrette symptoter, og er definert for lle reelle tll. Definisjonsmengden er derfor D h =. I unnpunktet hr funksjonen minimlverdien 3. Hele grfen til h ligger under den vnnrette symptoten y = 1. Verdimengden er derfor tllene fr og med 3 til 1, V h = 3,1. Ashehoug Side 39 v 56

40 Oppgve 3.10 Løsninger Den loddrette symptoten er gitt ved x = 1. Funksjonen er ltså ikke definert for x = 1. Det etyr t nevneren må være null her: 1+ d = 0. Altså er d = 1. Grfen til f skjærer ndreksen i punktet (0, 4). Vi setter x = 0 og løser likningen f (0) = 4 : = = 4 Vi ruker de to nullpunktene og til å finne to likninger for de to ukjente størrelsene og : ( ) + ( ) = 0 = = 0 = = = 0 (1) Vi legger smmen de to likningene: (4 4) + (4+ 4) = 0 8 8= 0 = 1 Til slutt setter vi inn i den første likningen i (1) for å finne : 41 4= 0 = 0 = 0 For å oppsummere hr vi ltså funnet løsningen = 1, = 0, = 4 og d = 1. Oppgve Vi ser t grfen til V skjærer linj y = 500 for x = 34,7. Svret forteller oss t vekten v fosteret er 500 grm etter. 35 uker. Vi setter x = 40 og leser v funksjonsverdien på figuren. Det gir V (40) = Ifølge modellen er fødselsvekten for rn grm. Ashehoug Side 40 v 56

41 Oppgve ,5 f( m) = 00 m Eksponenten i potensfunksjonen er negtiv, nemlig 0, 5. Det etyr t funksjonsverdien vtr når m øker. Hjertefrekvensen vtr ltså når vekten v dyret øker. Løsninger Vi setter m = 6000 inn i formelen. 0,5 f (6000) = =, 7 Elefnten hr i virkeligheten en hjertefrekvens på 5. Modellen psser derfor rukrt for elefnten. Spurven veier 40 g = 0, 040 kg. Vi setter m = 0,040 inn i formelen. 0,5 f (0, 040) = 00 0, 040 = Etter denne modellen lir hjertefrekvensen til en spurv. 450 slg per minutt. d Vi kn for eksempel prøve med m = 75. 0,5 f (75) = = 68 Mennesker hr typisk en hvilepuls på rundt 60 slg per minutt. Modellen psser derfor rukrt også for mennesker, i hvert fll for voksne mennesker med ikke lt for unorml kroppsvekt. Oppgve f( x) = x 3 Tllet under rottegnet må være positivt eller null. x 3 0 x 3 Definisjonsmengden er derfor D f = 3,. gx ( ) = x Tllet under rottegnet må være positivt eller null. x 0 x x Definisjonsmengden er D g =,. Oppgve For egge funksjonene må tllet under rottegnet være positivt eller null. Altså er 9 x 0. x 9 x 9 3 x 3 Vi tegner derfor grfen til de to funksjonene for 3 x 3. Av figuren ser vi t de to grfene til smmen dnner en sirkel med sentrum i origo og rdius lik 3. Ashehoug Side 41 v 56

42 Oppgve Vi leser v f (15) på grfen, og får f (15) 3, 9. En tilnærmet verdi for 15 er ltså 3,9. Oppgve f( x) = x+ 4 Tllet under rottegnet må være positivt eller null. x x 4 Definisjonsmengden er derfor D f = 4,. gx ( ) = 3x 9 Tllet under rottegnet må være positivt eller null. 3x 9 0 3x 9 x 3 Definisjonsmengden er derfor D g = 3,. Funksjonen hx ( ) = 16 xer jevnt minkende. Vi finner derfor ytterpunktene for verdimengden ved å se på ytterpunktene for definisjonsmengden. h( 4) = 16 ( 4) = 0 4, 47 h() = 16 = 14 3, 74 Verdimengden er ltså [ 3,74, 4,47] V =. h d Funksjonen kx ( ) = x+ 4 er jevnt økende. Vi finner derfor ytterpunktene for verdimengden ved å se på ytterpunktene for definisjonsmengden. kx ( ) er ikke definert for x = 1. Men vi finner hvilken verdi funksjonen nærmer seg i grensen for definisjonsmengden ved å sette x = 1 inn i funksjonsuttrykket = 3 1, 73 k(1) = = 16 = 4 Verdimengden er ltså V k = 1, 73, 4. Oppgve Se figuren til høyre. Vi leser v h (1) på figuren, og får h (1) = 0,8. Etter ett år vr usken 80 m høy. Vi leser v h (6) på figuren, og får h (6) = 1,638 1,64. Etter seks år vr usken 1,64 m høy. d h(5) = 1,53 h(6) h(5) = 1, 638 1,53 = 0,115 0,1 Det sjette året vokste usken 1 m. Ashehoug Side 4 v 56

43 Oppgve Se figuren til høyre. Vi leser v T (50) på figuren, og får T (50) = 49, sek = ( ) sek = 4 min 10 sek Den perfekte koketiden for et egg på 50 grm er 4 minutter og 10 sekunder. T (55) = 66,1 T(55) T(50) = 66,1 49,8 = 16,3 16 Egget på 55 grm må koke 16 sekunder lengre enn egget på 50 grm for t det skl li perfekt. Oppgve 3.11 f( x) = x 4 Tllet under rottegnet må være positivt eller null. x x x 4 Definisjonsmengden er D f =, 4. gx ( ) = x 4 Tllet under rottegnet må være positivt eller null. x 4 0 x 4 x 4 x x Definisjonsmengden er D g =,,. hx ( ) = x 5x+ 6 Tllet under rottegnet må være positivt eller null. Fr -formelen er tllet lik null når ( 5) ± ( 5) ± ± 1 5 ± 1 x = = = = 1 x= x= 3 Tllet under rottegnet i hx ( ) er positivt hvis x er et stort positivt eller stort negtivt tll. Det må ety t tllet er negtivt hvis < x < 3. Funksjonen er ikke definert for < x < 3. Altså er definisjonsmengden gitt ved D h =, 3,. Ashehoug Side 43 v 56

44 Oppgve Vi setter x = 90 inn i formelen for Sx. ( ) 0,85 Sx ( ) = x 0,85 S(90) = = 873 Når prisen er 90 kr, er slget på 873 enheter. 0,85 Slg når prisen er 100 kr: S(100) = = 798 Nedgng i ntll enheter: = 75 Nedgng i prosent: 75 0,086 8,6 % 873 = = Hvis prisen økes fr 90 kr til 100 kr, vil slget gå ned med 8,6 %. 0,85 Slg når prisen er 80 kr: S(80) = = 965 Økning i ntll enheter: = 9 Økning i prosent: 9 0,105 10,5 % 873 = = Hvis prisen senkes fr 90 kr til 80 kr, vil slget øke med 10,5 %. Oppgve Vi setter x =,0 inn i formelen for f( x ). f f( x) = 11,56 x 1,78 1,78 (, 0) = 11,56, 0 = 39, 7 40 Når hullet hr en dimeter på,0 mm, renner det ut Vi løser likningen f( x ) = 00. 1,78 11,56 x = 00 x 1,78 00 = 11,56 x = 1,78 x = 4, ,56 Dimeteren på hullet er 4,96 mm når det renner ut 3 40 m vnn per uke m per uke. Vi vet ikke hv dimeteren på hullet er til å egynne med, og setter den lik x mm. 1,78 Vnnmengden som renner ut er d gitt ved f( x) = 11,56 x. Når dimeteren hr økt med 10 %, er dimeteren 1,10 x mm. D er vnnmengden gitt ved f(1,10 x) 11,56 (1,10 x) 11,56 1,10 x 1,78 1,78 1,78 = =. 1,78 1,78 f(1,10 x) 11,56 1,10 x 1,78 = = 1,10 = 1,185 1,78 f( x) 11,56 x Vekstfktoren er 1,185, som svrer til en økning på 18,5 %. Vnntpet øker med 18,5 % hvis dimeteren på hullet øker med 10 %. Ashehoug Side 44 v 56

45 Oppgve Vi setter x = 800 inn i formelen for f( x ). f( x) = 4600 x 0,63 0,63 f (800) = = 68 Når omdreiningsfrten er 800 omdreininger per minutt, lir restfuktigheten 68 %. Vi tegner grfen til f for 500 x Vi ser t grfen til f skjærer linj y = 50 for x = Omdreiningsfrten er omdreininger per minutt når restfuktigheten er 50 %. d 0,63 Omdreiningsfrten er til å egynne med x. Restfuktigheten er d f( x) = 4600 x. Omdreiningsfrten øker med 0 % til 1, 0x. D lir restfuktigheten Løsninger 0,63 0,63 0,63 f(1,0 x) = 4600 (1,0 x) = ,0 x Det gir 0,63 0,63 f(1,0 x) ,0 x 0,63 = = 1, 0 = 0,891 0,63 f( x) 4600 x Vekstfktoren er 0,891 = 89,1 %. Det svrer til en nedgng på 100 % 89,1 % = 10,9 %. Når omdreiningsfrten øker med 0 %, synker restfuktigheten med 10,9 %. Oppgve Vi setter t = 16 inn i formelen for dt. () dt ( ) = 7,0 t 1 d(16) = 7, = 7, 0 4 = 7, 0 = år etter t isen forsvnt er dimeteren til lvet 14 mm. Vi tegner grfen til d for t > 1. Vi ser t grfen til d skjærer linj y = 35 for x = 37. Det er 37 år siden isen forsvnt på dette stedet. Oppgve f( x) = 4 x gx ( ) = 4 x Funksjonene er definert for 4 x 0. D = D =,. Definisjonsmengden er ltså [ ] Av figuren ser vi t sirkelen hr sentrum i origo (0, 0). Rdien i sirkelen er. f g Ashehoug Side 45 v 56

S1 kapittel 6 Derivasjon Løsninger til oppgavene i boka

S1 kapittel 6 Derivasjon Løsninger til oppgavene i boka S kpittel 6 Derivsjon Løsninger til oppgvene i ok 6. c y x y x = = = = y x 4 5 9 4 y 5 6 x 4 = = = = y x y x = = = = 7 ( 5) 6 ( ) 8 6. f( x ) f( x ) 5 7 x x ( ) 4 = = = = 6. T( x) = 0,x +,0 T T = + = (0)

Detaljer

1P kapittel 3 Funksjoner

1P kapittel 3 Funksjoner Løsninger til oppgvene i ok 1P kpittel 3 Funksjoner Løsninger til oppgvene i ok 3.1 Origo hr koordintene (0, 0). Vi finner koordintene til punktene ved å lese v punktets verdi på x-ksen og y-ksen. A =

Detaljer

YF kapittel 10 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka

YF kapittel 10 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka YF kpittel 10 Eksmenstrening Løsninger til oppgvene i læreok Uten hjelpemidler Oppgve E1 5 + 5 + 6 11 5 + 4 (5 + ) 5 + 4 7 10 6 + 8 d + ( + 1) 5 + 4 5 + 16 5 + 10 5 4 + 4 4 + 8 1 + + + + + + + + 49 49

Detaljer

S1 kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka

S1 kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka S1 kpittel 8 Eksmenstrening Løsninger til oppgvene i læreok E1 995 995 5 + 5 (995 5) (995 + 5) + 5 990 1000 + 5 990 000 + 5 990 05 E E (61+ 9) 51 49) (51+ 49) 61 9 (61 9) 51 49 ( 100 100 11 1997 00 199

Detaljer

Påbygging kapittel 2 Funksjoner 1 Løsninger til oppgavene i boka

Påbygging kapittel 2 Funksjoner 1 Løsninger til oppgavene i boka Påygging kpittel 2 Funksjoner 1 Løsninger til oppgvene i ok 2.1 Origo hr koordintene (0, 0). Vi finner koordintene til punktene ved å lese v punktets verdi på x-ksen og y-ksen. A = (125,10) B = (0, 12,5)

Detaljer

S1 kapittel 4 Logaritmer Løsninger til oppgavene i boka

S1 kapittel 4 Logaritmer Løsninger til oppgavene i boka Løsninger til oppgvene i ok S kpittel 4 Logritmer Løsninger til oppgvene i ok 4. Vi leser v fr tllet 4 på y-ksen og ser t vi får den tilhørende verdien,6 på -ksen. lg 4,6 Vi leser v fr tllet,5 på y-ksen

Detaljer

2P kapittel 2 Funksjoner

2P kapittel 2 Funksjoner Løsninger til oppgvene i ok P kpittel Funksjoner Løsninger til oppgvene i ok.1 D f = [ 1, 6,5] V = [ 1,4] f V f. D f Vnnstnden kl. 16 er gitt i punktet A på figuren. Vnnstnden vr c. 190 cm. Aschehoug www.lokus.no

Detaljer

Kapittel 4 Tall og algebra Mer øving

Kapittel 4 Tall og algebra Mer øving Kpittel 4 Tll og lger Mer øving Oppgve 1 d Oppgve 2 Se på uttrykket A = g h. Hv forteller de ulike okstvene? Se på uttrykket A = 2π. Hv står de ulike symolene for? Forklr hv vi mener med en vriel og en

Detaljer

1T kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka

1T kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka T kpittel 8 Eksmenstrening Løsninger til oppgvene i lærebok Uten hjelpemidler E b c E b c Vi gnger vnlige tll med vnlige tll og tierpotenser med tierpotenser. Til slutt omformer vi svret så vi får et tll

Detaljer

Eksempeloppgaver 2014 Løsninger

Eksempeloppgaver 2014 Løsninger DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med centimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 19 millirder 9 10 = 19 10 = 1,9 10 0,089 10 = 8,9 10 10 = 8,9 10 Oppgve 6 6 8 Prosentvis

Detaljer

Fasit. Grunnbok. Kapittel 2. Bokmål

Fasit. Grunnbok. Kapittel 2. Bokmål Fsit 9 Grunnbok Kpittel Bokmål Kpittel Lineære funksjoner rette linjer. ƒ(x) = 4x + 5 ƒ() = 3 ƒ(4) = ƒ(6) = 9.6 ƒ(x) = -x b ƒ(x) = x b ƒ(x) = (x + ) 3 ƒ() = ƒ(4) = 8 ƒ(6) = 4 ƒ(x) = x 4 ƒ() = - ƒ(4) =

Detaljer

2P kapittel 5 Eksamenstrening

2P kapittel 5 Eksamenstrening P kpittel 5 Eksmenstrening Løsninger til oppgvene i ok Uten hjelpemidler E1 3 4 0 3+ 4+ 0 7 = = = = 5 5 5 ( ) ( ) c d 7 5 3 3 3 3 6 4 3 6 4 3 3x x = 3 x x = 3 x x = 3 x = 3 x = 7x 1, 10 5,0 10 = 1, 5,0

Detaljer

DEL 1 Uten hjelpemidler

DEL 1 Uten hjelpemidler Eksmen høsten 013 Løsninger Eksmen høsten 013 Løsninger DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med centimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 150 sider Vi finner først hvor mnge

Detaljer

Terminprøve Matematikk for 1P 1NA høsten 2014

Terminprøve Matematikk for 1P 1NA høsten 2014 Terminprøve Mtemtikk for 1P 1NA høsten 2014 DEL 1 Vrer 1,5 time Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med entimetermål og vinkelmåler. Forsøk på lle oppgvene selv om du er usikker

Detaljer

Mer øving til kapittel 3

Mer øving til kapittel 3 Mer øving til kpittel 3 KAPITTEL 3 FUNKSJONER Oppgve 1 Tegn et koordintsystem og merk v punktene (1, 5) d (3, 2) ( 2, 3) e ( 3, 5) (4, 0) f (0, 4) Oppgve 2 Hvilke koordintpr hr de ulike punktene i koordintsystemet?

Detaljer

Tall i arbeid Påbygging terminprøve våren 2013

Tall i arbeid Påbygging terminprøve våren 2013 Tll i rei Påygging terminprøve våren 2013 DEL 1 Uten hjelpemiler Hjelpemiler: vnlige skrivesker, psser, linjl me entimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 Skriv tllene på stnrform. 1 0,000 00015 2 19,6 millirer

Detaljer

Integralregning. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne

Integralregning. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne 8 Integrlregning Mål for opplæringen er t eleven skl kunne gjøre rede for definisjonen v estemt integrl som grense for en sum og uestemt integrl som ntiderivert eregne integrler v de sentrle funksjonene

Detaljer

Terminprøve Matematikk Påbygging høsten 2014

Terminprøve Matematikk Påbygging høsten 2014 Terminprøve høsten 2014 Terminprøve Mtemtikk Påygging høsten 2014 DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med entimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 Regn ut 3 3 3 4 1 3 3 2

Detaljer

2P kapittel 2 Modellering Løsninger til innlæringsoppgavene

2P kapittel 2 Modellering Løsninger til innlæringsoppgavene P kapittel Modellering Løsninger til innlæringsoppgavene.1 a c d e y = 4x+ 1 Stigningstallet er 4. Konstantleddet er 1. Linja skjærer altså y-aksen i punktet (0,1). y = 3x 4 Stigningstallet er 3. Konstantleddet

Detaljer

R1 kapittel 1 Algebra

R1 kapittel 1 Algebra Løsninger til oppgvene i ok R1 kpittel 1 Alger Løsninger til oppgvene i ok Oppgve 1.1 1 8 4 ( ) 15 5 (4 ) 7 1 7 ( ) d ( )( ) ( 4)( ) ( ) ( 4) ( )( 1) Oppgve 1. 49 7 ( 7)( 7) 5 5 5 5 1y 75 (4y 5) ( y) 5

Detaljer

R1 kapittel 8 Eksamenstrening

R1 kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgvene i ok R kpittel 8 Eksmenstrening Løsninger til oppgvene i ok Uten hjelpemidler Oppgve E Hvis er et nullpunkt for De mulige nullpunktene for P, er konstntleddet 8 delelig med. P er

Detaljer

Påbygging kapittel 4 Funksjoner 2 Løsninger til oppgavene i læreboka

Påbygging kapittel 4 Funksjoner 2 Løsninger til oppgavene i læreboka Påygging kpittel 4 Funksjoner Løsninger til oppgvene i læreok 4.1 D f = [ 1, 6,5] V = [ 1,4] f V f 4. D f Vnnstnden kl. 16 er gitt i punktet A på figuren. Vnnstnden vr c. 190 cm. Aschehoug www.lokus.no

Detaljer

S1 kapittel 5 Funksjoner Løsninger til oppgavene i boka

S1 kapittel 5 Funksjoner Løsninger til oppgavene i boka S1 kapittel 5 Funksjoner Løsninger til oppgavene i boka 5.1 a f( x) = 4x+ 0 I GeoGebra skriver vi f(x)=funksjon[-4x+0,-5,5]. Grafen viser at [ 0, 40] V =. f b gx ( ) =,5x+ 10 I GeoGebra skriver vi f(x)=funksjon[,5x+10,-10,4].

Detaljer

... JULEPRØVE 9. trinn...

... JULEPRØVE 9. trinn... .... JULEPRØVE 9. trinn.... Nvn: Gruppe: DELPRØVE 1 uten hjelpemidler ( 37 poeng) På denne delprøven kn du re ruke skrivesker, psser og linjl. Alle oppgvene i del 1 skl føres rett på rket. I noen oppgver

Detaljer

YF kapittel 8 Rom Løsninger til oppgavene i læreboka

YF kapittel 8 Rom Løsninger til oppgavene i læreboka YF kpittel 8 Rom Løsninger til oppgvene i læreok Oppgve 809 Vi skl gå ett hkk mot venstre, og deler derfor med 10. 40 dl = (40 :10) L = 4 L Vi skl gå to hkk mot venstre, og deler derfor med 10 10 = 100.

Detaljer

9 Potenser. Logaritmer

9 Potenser. Logaritmer 9 Potenser. Logritmer Foret utregingene nedenfor: 5 5 c 6 7 d e 5 f g h i Regn ut og gjør svrene så enkle som mulige: c y y d e f g h i j y y + y + y + + y Prisen på en motorsg vr kr 56 i 99. Vi regner

Detaljer

S2 kapittel 5 Vekstmodeller. Løsninger til oppgavene i boka Vi løser oppgaven i CAS i GeoGebra.

S2 kapittel 5 Vekstmodeller. Løsninger til oppgavene i boka Vi løser oppgaven i CAS i GeoGebra. Løsninger til oppgvene i ok S kpittel 5 Vekstmodeller Løsninger til oppgvene i ok 5. Vi løser oppgven i CAS i GeoGer. Veksten er lineær på formen y = x +. Vi ser t stigningstllet lir 59, og t konstntleddet

Detaljer

1 c 6. 1 c 2. b Olav får 1500 kr. Trine får 3000 kr. c 4 Oppgave 39 165,50 kr 6 Oppgave 40 a 0 b 28 c 9 d F.eks. 15 8 e

1 c 6. 1 c 2. b Olav får 1500 kr. Trine får 3000 kr. c 4 Oppgave 39 165,50 kr 6 Oppgave 40 a 0 b 28 c 9 d F.eks. 15 8 e Fsit Fsit I gng igjen Oppgve 0 Oppgve > < > < Oppgve 9 Oppgve 6 6 Oppgve = < < < Oppgve 6 0 0 0 0 Oppgve 7 6 6 6 Oppgve 0,7 000 Oppgve 9 0,09 700 0,79 7 Oppgve 0 0, 0, 0, 0, Oppgve 0,07 0,7,,7 Oppgve Oppgve

Detaljer

Brøkregning og likninger med teskje

Brøkregning og likninger med teskje Brøkregning og likninger med teskje Dette heftet gir en uformell trinn for trinn gjennomgng v grunnleggende regler for brøkregning og likninger. Dette er sto som vi i FYS 000 egentlig forventer t dere

Detaljer

S1 kapittel 1 Algebra Løsninger til oppgavene i læreboka

S1 kapittel 1 Algebra Løsninger til oppgavene i læreboka Løsninger til oppgvene i ok S kpittel Alger Løsninger til oppgvene i læreok. 8 ( ) 5 9. e = = 9 = = 8 5 = = 0 = 0 0 0 = 000 =. e Ashehoug www.lokus.no Sie v Løsninger til oppgvene i ok..5..7 = = + 5 =

Detaljer

Tall i arbeid Påbygging terminprøve våren 2014

Tall i arbeid Påbygging terminprøve våren 2014 Terminprøve våren 014 Tll i rei Påygging terminprøve våren 014 DEL 1 Uten hjelpemiler Hjelpemiler: vnlige skrivesker, psser, linjl me entimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 1 Skriv tllet Skriv tllet 6 3,15

Detaljer

Fag: Matematikk 1T-Y for yrkesfag for elever og privatisterr. Eksamensdato: 16. januar 2012

Fag: Matematikk 1T-Y for yrkesfag for elever og privatisterr. Eksamensdato: 16. januar 2012 Loklt gittt eksmen Eksmen Fg: Mtemtikk 1T-Y for yrkesfg for elever og privtisterr Fgkode: MAT1006 Eksmensdto: 16. jnur 2012 Antll sider i oppgven: 7 inklusiv forside og opplysningsside Del 1: oppgve 1-5

Detaljer

Fag: Matematikk 1T-Y for elever og privatister. Antall sider i oppgaven: 8 inklusiv forside og opplysningsside

Fag: Matematikk 1T-Y for elever og privatister. Antall sider i oppgaven: 8 inklusiv forside og opplysningsside Loklt gitt eksmen 2012 Eksmen Fg: Mtemtikk 1T-Y for elever og privtister Fgkode: MAT1006 Eksmensdto: 25. mi Antll sider i oppgven: 8 inklusiv forside og opplysningsside Eksmenstid: Hjelpemidler under eksmen:

Detaljer

1P kapittel 8 Eksamenstrening

1P kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgvene i ok 1P kpittel 8 Eksmenstrening Løsninger til oppgvene i ok Uten hjelpemidler E1 Vi ytter ut 7,60 kr med 8 kr og 104 euro med euro. Det gir: 8 kr 4 300 kr. For fire overnttinger

Detaljer

Fasit. Grunnbok. Kapittel 4. Bokmål

Fasit. Grunnbok. Kapittel 4. Bokmål Fsit Grunnok Kpittel 4 Bokmål Kpittel 4 Kvdrtiske funksjoner ndregrdsfunksjoner 4.1 Stigningstll Skjæring -kse Skjæring y-kse 4 ( 2, 0) (0, 8) 1 (1, 0) (0, 1) 1 (9, 0) (0, 3) 3 4.5 y = + = 0, y =, y =

Detaljer

E K S A M E N. Matematikk 3MX. Elevar/Elever Privatistar/Privatister. AA6524/AA6526 8. desember 2004 UTDANNINGSDIREKTORATET

E K S A M E N. Matematikk 3MX. Elevar/Elever Privatistar/Privatister. AA6524/AA6526 8. desember 2004 UTDANNINGSDIREKTORATET E K S A M E N UTDANNINGSDIREKTORATET Mtemtikk 3MX Elevr/Elever Privtistr/Privtister AA654/AA656 8. desember 004 Vidregånde kurs II / Videregående kurs II Studieretning for llmenne, økonomiske og dministrtive

Detaljer

a 5 (2 + 8) d 5 (2 + 8) 4 g b 3 5 (2 + 8) e h 3 ( ) j Begrunn hvorfor du ikke får samme svar på oppgave b og g.

a 5 (2 + 8) d 5 (2 + 8) 4 g b 3 5 (2 + 8) e h 3 ( ) j Begrunn hvorfor du ikke får samme svar på oppgave b og g. Mtemtikk for ungomstrinnet KAPITTEL 4 TALL OG ALGEBRA MER ØVING Oppgve 1 Oppgve 2 Se på uttrykket A = g h. Hv forteller e ulike okstvene? Se på uttrykket O = 2π. Hv står e ulike symolene for? Forklr hv

Detaljer

... JULEPRØVE

... JULEPRØVE Ashehoug JULEPRØVE 2014 9. trinn.... JULEPRØVE 2014.... Nvn: Gruppe: DELPRØVE 1 uten hjelpemidler ( 37 poeng) På denne delprøven kn du re ruke skrivesker, psser og linjl. Alle oppgvene i del 1 skl føres

Detaljer

Flere utfordringer til kapittel 1

Flere utfordringer til kapittel 1 Flere utfordringer til kpittel 1 KAPITTEL 1 TALL OG TALLREGNING Oppgve 1 Forklr forskjellen på rsjonle og irrsjonle tll. Hv kjennetegner dem? Hvordn kn vi se t et tll er rsjonlt eller irrsjonlt? Skriv

Detaljer

Sammendrag kapittel 1 - Aritmetikk og algebra

Sammendrag kapittel 1 - Aritmetikk og algebra Smmendrg kpittel 1 - Aritmetikk og lgebr Regneregler for brøker Utvide brøk: Gng med smme tll i teller og nevner. b = k b k Forkorte brøk: del med smme tll i teller og nevner. b = : k b : k Summere brøker:

Detaljer

5: Algebra. Oppgaver Innhold Dato

5: Algebra. Oppgaver Innhold Dato 5: Alger Pln resten v året: - Kpittel 6: Ferur - Kpittel 7: Ferur/mrs - Kpittel 8: Mrs - Repetisjon: April/mi - Eventuell offentlig eksmen: Mi - Økter, prøver, prosjekter: Mi - juni For mnge er egrepet

Detaljer

Mer øving til kapittel 2

Mer øving til kapittel 2 Mer øving til kpittel 2 KAPITTEL 2 GEOMETRI OG MÅLING Oppgve 1 Oppgve 2 Oppgve 3 Anne hr vært på ferie til sine esteforeldre fr 28. juni til 9. ugust. Hvor mnge dger hr hun vært på ferie? Fr hun kom hjem

Detaljer

2P kapittel 1 Tall og algebra Løsninger til oppgavene i læreboka

2P kapittel 1 Tall og algebra Løsninger til oppgavene i læreboka P kpittel 1 Tll og lger Løsninger til oppgvene i læreok Oppgve 1.1 ( ) Oppgve 1. 8 = 8 8 = = = 00 ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) = 1 ( ) = =() = 7 Oppgve 1. 81 = 9 9 = 9 81= = 1= = = ( ) ( ) = = Oppgve 1. 8 = 1

Detaljer

1 Tallregning og algebra

1 Tallregning og algebra Tllregning og lger ØV MER. REGNEREKKEFØLGE Oppgve.0 6 d) ( : 6) Oppgve. ( ) ( ) ()() ( ) ( ) ( ) () (6 ) () d) ( ) 7() ( ) Oppgve. 6 ( ) d) Oppgve. Med ett ddisjonstegn, ett sutrksjonstegn, ett multipliksjonstegn

Detaljer

OPPLÆRINGSREGION NORD. Skriftlig eksamen. MAT1001 Matematikk 1P-Y HØSTEN 2011. Privatister. Yrkesfag. Alle yrkesfaglige utdanningsprogrammer

OPPLÆRINGSREGION NORD. Skriftlig eksamen. MAT1001 Matematikk 1P-Y HØSTEN 2011. Privatister. Yrkesfag. Alle yrkesfaglige utdanningsprogrammer OPPLÆRINGSREGION NORD LK06 Finnmrk fylkeskommune Troms fylkeskommune Nordlnd fylkeskommune Nord-Trøndelg fylkeskommune Sør-Trøndelg fylkeskommune Møre og Romsdl fylke Skriftlig eksmen MAT1001 Mtemtikk

Detaljer

Oppgave N2.1. Kontantstrømmer

Oppgave N2.1. Kontantstrømmer 1 Orientering: Oppgvenummereringen leses slik: N står for nettsiden, første siffer står for kpittelnummer og ndre for oppgvenummer. Oppgve N2.1. Kontntstrømmer En edrift vurderer å investere 38 millioner

Detaljer

... ÅRSPRØVE 2014...

... ÅRSPRØVE 2014... Delprøve 1 Ashehoug ÅRSPRØVE 014 9. trinn.... ÅRSPRØVE 014... Nvn: Gruppe: DELPRØVE 1 uten hjelpemiler (39 poeng) Alle oppgvene i el 1 skl føres rett på rket. I noen oppgver er et en regnerute. Her skl

Detaljer

DELPRØVE 2 (35 poeng)

DELPRØVE 2 (35 poeng) DELPRØVE 2 (35 poeng) På denne delprøven er lle hjelpemidler tilltt. Alle oppgvene i del 2 skl føres på eget rk. Før svrene oversiktlig, slik t det går tydelig frm hvordn du hr løst oppgvene. Bruk penn.

Detaljer

Oppgave 1 Diagrammet nedenfor viser hvordan karakteren var fordelt på en norskprøve.

Oppgave 1 Diagrammet nedenfor viser hvordan karakteren var fordelt på en norskprøve. Mtemtikk for ungomstrinnet KAPITTEL 5 STATISTIKK OG SANNSYNLIGHET MER ØVING Oppgve 1 Digrmmet neenfor viser hvorn krkteren vr forelt på en norskprøve. 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 Hvor mnge fikk krkteren 4?

Detaljer

Juleprøve trinn Del 1. Navn: Del 1 Aschehoug JULEPRØVE trinn. Informasjon for del 1

Juleprøve trinn Del 1. Navn: Del 1 Aschehoug JULEPRØVE trinn. Informasjon for del 1 Juleprøve 2015 10. Del 1 Nvn: Informsjon for del 1 Prøvetid Hjelpemidler i del 1 Andre opplysninger Frmgngsmåte og forklring 5 timer totlt Del 1 og del 2 lir delt ut smtidig. Del 1 skl leveres inn seinest

Detaljer

Mer øving til kapittel 1

Mer øving til kapittel 1 Mer øving til kpittel 1 KAPITTEL 1 TALL OG TALLREGNING Oppgve 1 Finn svret ve hoeregning. Velg to v oppgvene og forklr hvilken strtegi u hr rukt. 27 + 38 e 160 70 i 130 4 35 + 75 f 19 5 j 6 7,5 58 + 42

Detaljer

Basisoppgaver til 2P kap. 1 Tall og algebra

Basisoppgaver til 2P kap. 1 Tall og algebra Bsisoppgver til P kp. Tll og lger. Potenser. Nye potenser. Store og små tll. Stnrform. Tllsystemer. Femtllsystemet. Totllsystemet.7 Prosentregning me vekstfktor.8 Renteregning Ashehoug www.lokus.no Ashehoug

Detaljer

M2, vår 2008 Funksjonslære Integrasjon

M2, vår 2008 Funksjonslære Integrasjon M, vår 008 Funksjonslære Integrsjon Avdeling for lærerutdnning, Høgskolen i Vestfold. pril 009 1 Arelet under en grf Vi begynner vår diskusjon v integrsjon, på smme måte som vi begynte med derivsjon, ved

Detaljer

R2 - Heldagsprøve våren 2013

R2 - Heldagsprøve våren 2013 Løsningsskisser HD R R - Heldgsprøve våren 0 Løsningsskisser Viktigste oppsummeringer: Må skrive med penn på eksmen! Slurv og regnefeil, både med tll og bokstver, er hovedproblemet. Beste måten å fikse

Detaljer

Eneboerspillet. Håvard Johnsbråten

Eneboerspillet. Håvard Johnsbråten Håvrd Johnsråten Eneoerspillet Når vi tenker på nvendelser i mtemtikken, ser vi gjerne for oss Pytgors læresetning eller ndre formler som vi kn ruke til å eregne lengder, reler, kostnder osv. Men mer strkte

Detaljer

R1 kapittel 6 Vektorer. Løsninger til oppgavene i boka Løsninger til oppgavene i boka

R1 kapittel 6 Vektorer. Løsninger til oppgavene i boka Løsninger til oppgavene i boka R1 kpittel 6 Vektorer Løsninger til oppgvene i ok Løsninger til oppgvene i ok 6.1 Tilfellene, e og f er vektorstørrelser fordi de hr retning. Tilfellene, og d er sklrer fordi de ikke hr retning. 6. d e

Detaljer

1 Geometri KATEGORI 1. 1.1 Vinkelsummen i mangekanter. 1.2 Vinkler i formlike figurer

1 Geometri KATEGORI 1. 1.1 Vinkelsummen i mangekanter. 1.2 Vinkler i formlike figurer Oppgver 1 Geometri KTGORI 1 1.1 Vinkelsummen i mngeknter Oppgve 1.110 ) I en treknt er to v vinklene 65 og 5. Finn den tredje vinkelen. b) I en firknt er tre v vinklene 0, 50 og 150. Finn den fjerde vinkelen.

Detaljer

R1 kapittel 7 Sannsynlighet. Kapitteltest. Oppgave 1. Oppgave 2. Oppgave 3. Del 1 Uten hjelpemidler. Løsninger til oppgavene i boka

R1 kapittel 7 Sannsynlighet. Kapitteltest. Oppgave 1. Oppgave 2. Oppgave 3. Del 1 Uten hjelpemidler. Løsninger til oppgavene i boka Løsninger til oppgvene i ok R1 kpittel 7 Snnsynlighet Løsninger til oppgvene i ok Kpitteltest Del 1 Uten hjelpemidler Oppgve 1 De fem lppene kn ordnes i rekkefølge på 5! = 15 = forskjellige måter. Vi kn

Detaljer

Integrasjon Skoleprosjekt MAT4010

Integrasjon Skoleprosjekt MAT4010 Integrsjon Skoleprosjekt MAT4010 Tiin K. Kristinslund, Julin F. Rossnes og Torstein Hermnsen 19. mrs 2014 1 Innhold 1 Innledning 3 2 Integrsjon 3 3 Anlysens fundmentlteorem 7 4 Refernser 10 2 1 Innledning

Detaljer

Tall i arbeid Påbygging kapittel 3 Funksjoner Løsninger til innlæringsoppgavene

Tall i arbeid Påbygging kapittel 3 Funksjoner Løsninger til innlæringsoppgavene Tall i arbeid Påbygging kapittel 3 Funksjoner Løsninger til innlæringsoppgavene 3.1 a Origo er skjæringspunktet mellom x-aksen og y-aksen. Koordinatene til origo er altså. (0, 0) b Førstekoordinaten til

Detaljer

Temahefte nr. 1. Hvordan du regner med hele tall

Temahefte nr. 1. Hvordan du regner med hele tall 1 ARBEIDSHEFTE I MATEMATIKK SNART MATTE EKSAMEN Hvordn du effektivt kn forberede deg til eksmen Temhefte nr. 1 Hvordn du regner med hele tll Av Mtthis Lorentzen mttegrisenforlg.com Opplysning: De nturlige

Detaljer

Tall i arbeid Påbygging Kapittel 3 Funksjoner Løsninger til innlæringsoppgavene

Tall i arbeid Påbygging Kapittel 3 Funksjoner Løsninger til innlæringsoppgavene Tall i arbeid Påbygging Kapittel 3 Funksjoner Løsninger til innlæringsoppgavene 3.1 a Koordinatene til origo er (0, 0). b Vi leser av førstekoordinaten langs x-aksen og andrekoordinaten langs y-aksen for

Detaljer

R1 kapittel 7 Sannsynlighet

R1 kapittel 7 Sannsynlighet Løsninger til oppgvene i ok R kpittel 7 Snnsynlighet Løsninger til oppgvene i ok Oppgve 7. Hvis A hr inntruffet, ltså t den første kul er lå, så er det tre røde og én lå kule igjen i esken når vi skl trekke

Detaljer

Kapittel 5 Statistikk og sannsynlighet Mer øving

Kapittel 5 Statistikk og sannsynlighet Mer øving Kpittel 5 Sttistikk og snnsynlighet Mer øving Oppgve 1 Digrmmet nefor viser hvorn krkteren vr forelt på en norskprøve. 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 Hvor mnge fikk krkteren 4? Hvor mnge elever er et i klssen?

Detaljer

1T kapittel 1 Algebra Løsninger til oppgavene i læreboka

1T kapittel 1 Algebra Løsninger til oppgavene i læreboka T kpittel Alger Løsninger til oppgvene i læreok Oppgve. 0 8 ( 0) + 0 + ( 0) 0 8 Oppgve. 7 ( ) + + ( ) 7 Oppgve. ( ) + Oppgve. 0 ( ) 0 ( 0) ( ) 0 ( 0) : ( ) 0 : ( ) Oppgve. ( ) ( ) ( ) (,) ( ) (,) 9 Oppgve.

Detaljer

Funksjoner og andregradsuttrykk

Funksjoner og andregradsuttrykk 88 4 Funksjoner og andregradsuttrykk Mål for opplæringen er at eleven skal kunne bruke matematiske metoder og hjelpemidler til å løse problemer fra ulike fag og samfunnsområder løse likninger, ulikheter

Detaljer

STATISTIKK, KOMBINATORIKK OG SANNSYNLIGHET

STATISTIKK, KOMBINATORIKK OG SANNSYNLIGHET Mer øving til kpittel 4 STATISTIKK, KOMBINATORIKK OG SANNSYNLIGHET Oppgve 1 Under ser du resulttet v ntll kinoesøk for en klsse de siste to måneder: 1, 3, 5, 4, 2, 7, 1, 1, 4, 5, 3, 3, 4, 0, 1, 3, 6, 5,

Detaljer

1 Algebra. 1 Skriv disse uttrykkene så enkelt som mulig: a) 2(a + 3) (3 + 3a) b) 2(1 a) + a(2 + a) c) 1 + 2(1 3a) + 5a d) 4a 3ab 2(a 5b) + 3(ab 2b)

1 Algebra. 1 Skriv disse uttrykkene så enkelt som mulig: a) 2(a + 3) (3 + 3a) b) 2(1 a) + a(2 + a) c) 1 + 2(1 3a) + 5a d) 4a 3ab 2(a 5b) + 3(ab 2b) Alger Skriv disse uttrykkene så enkelt som mulig c 5 d 5 Multipliser ut og gjør svrene så enkle som mulige c c c c d e f g h 5 i Regn ut 5 Regn ut og vis frmgngsmåten 5 c Regn ut og vis frmgngsmåten 5

Detaljer

Kapittel 5 Verb. 5.4 For å få tak i en engelsk avis. For å finne utenlandske varer. For å treffe venninna si. For å invitere henne med til lunsj.

Kapittel 5 Verb. 5.4 For å få tak i en engelsk avis. For å finne utenlandske varer. For å treffe venninna si. For å invitere henne med til lunsj. Kpittel 5 Ver 5.1 For eksempel: Hver dg pleier jeg å sove middg Liker du ikke å dnse? I dg kn jeg ikke hndle mt. Jeg orker ikke å lge slt. Nå må jeg lese norsk. Jeg hr ikke tid til å t ferie. Kn du synge?

Detaljer

Årsprøve 2014 10. trinn Del 2

Årsprøve 2014 10. trinn Del 2 2 Årsprøve 2014 10. trinn Del 2 Informsjon for del 2 Prøvetid: Hjelpemidler på del 2: Vedlegg: Andre opplysninger: Fremgngsmåte og forklring: Veiledning om vurderingen: 5 timer totlt Del 2 skl du levere

Detaljer

Fasit. 1 Algebra. 1.11 a 2 b 10 c 7 1.12 a 7 b 1 c 3 b 2 4 8 = 8. c ( 3) 2 9. 1.14 a 4 og 7 b ( 7+ 5) 3 15 2 ( 7)

Fasit. 1 Algebra. 1.11 a 2 b 10 c 7 1.12 a 7 b 1 c 3 b 2 4 8 = 8. c ( 3) 2 9. 1.14 a 4 og 7 b ( 7+ 5) 3 15 2 ( 7) 9 Algera. a 8 8. a 7 7. a 6. a d. a 9 d.6 a 8 ( ).7 a 9 9 7 d 7.8 a d.9 a 6 7 d. 6 ( ),. a 7. a 7. a ( + 6) = 8 = 8 ( ) 9. a og 7 ( 7+ ) ( 7) 7.6 a 6 d 7 e.7 96 C.8 9 66 ( ).9 a d. a 9 8. a 6 = 7 ( ):

Detaljer

2 Tallregning og algebra

2 Tallregning og algebra Tllregning og lger KATEGORI. Regnerekkefølge Oppgve.0 Regn uten digitlt hjelpemiddel. + ( + ) ( ) Oppgve. Regn uten digitlt hjelpemiddel. Oppgve. Regn ut med og uten digitlt hjelpemiddel. + (7 + ) ( 9)

Detaljer

EKSAMEN. ANTALL SIDER UTLEVERT: 7 (innkl. forside og 2 sider formelark)

EKSAMEN. ANTALL SIDER UTLEVERT: 7 (innkl. forside og 2 sider formelark) KANDIDATNUMMER: EKSAMEN FAGNAVN: Mtemtikk FAGNUMMER: REA EKSAMENSDATO: 5. desember 6 KLASSE:. klssene, ingenørutdnning. TID: kl. 9... FAGLÆRER: Hns Petter Hornæs ANTALL SIDER UTLEVERT: 7 (innkl. forside

Detaljer

Innledning. Kategori Regnerekkefølge. 1.2 Bokstavregning og parenteser

Innledning. Kategori Regnerekkefølge. 1.2 Bokstavregning og parenteser Innledning Ktegori. Regnerekkefølge Oppgve.0 Regn uten lommeregner. b) ( ) d) ( ) Oppgve. Regn uten lommeregner. b) d) Oppgve. Regn ut med og uten lommeregner. b) ( ) d) ( 9) Oppgve. Regn ut med lommeregner.

Detaljer

1T kapittel 2 Likninger

1T kapittel 2 Likninger Løsninger til oppgvene i ok T kpittel Likninger Løsninger til oppgvene i ok. 6+ 8 6 8 + 5 5 5 6 VS 6 8 HS 6 ( 6) + 8 6 + 8 8 Sien VS HS når 6, er 6 en løsning på likningen. ( + ) 6 + 6 6 VS HS ( + ) 5

Detaljer

Oppgave 2 Betydningen til hvert enkelt siffer er bestemt av sifferets plassering eller posisjon. Tallet 4321 betyr

Oppgave 2 Betydningen til hvert enkelt siffer er bestemt av sifferets plassering eller posisjon. Tallet 4321 betyr KAPITTEL 1 TALL OG TALLREGNING FLERE UTFORDRINGER Oppgve 1 Du hr sifrene A 1 3 5 7 9 og B 2 4 6 8 Ve å ruke tre v sifrene i enten A eller B skl u lge ett tll så nærme 500 som mulig. Du kn re ruke ett siffer

Detaljer

Sem 1 ECON 1410 Halvor Teslo

Sem 1 ECON 1410 Halvor Teslo Løsningsforslg til seminr i ECON : Internsjonl økonomi.seminruke V ) Den økonomien vi her står ovenfor produserer re to goder, tø og vin. Altså vil lterntivkostnden for den ene vren nødvendigvis måles

Detaljer

Nytt skoleår, nye bøker, nye muligheter!

Nytt skoleår, nye bøker, nye muligheter! Nytt skoleår, nye øker, nye muligheter! Utstyret dere trenger, er som i fjor: Læreok lånes v skolen vinkelmåler, --9 og - -9-treknter, psser, lynt, viskelær, penn, A-rk til innføring og A klddeok. Og en

Detaljer

YF kapittel 1 Tall Løsninger til oppgavene i læreboka

YF kapittel 1 Tall Løsninger til oppgavene i læreboka YF kpittel 1 Tll Løsninger til oppgvene i læreok Oppgve 10,, 0, 1,, 5,,, 0 Oppgve 10 Tllet 5 står til høyre for tllet på tllinj. Altså er 5>. Tllet 5 står til venstre for tllet 1 på tllinj. Altså er 5

Detaljer

YF kapittel 6 Lengder og vinkler Løsninger til oppgavene i læreboka

YF kapittel 6 Lengder og vinkler Løsninger til oppgavene i læreboka YF kpittel 6 Lengder og vinkler Løsninger til oppgvene i læreok Oppgve 601 Vi skl gå ett hkk mot høyre, og gnger derfor med 10. 14 cm 14 10 mm 140 mm c Vi skl gå to hkk mot høyre, og gnger derfor med 10

Detaljer

S2 kapittel 6 Sannsynlighet

S2 kapittel 6 Sannsynlighet S kpittel 6 Snnsynlighet Løsninger til oppgvene i bok Oppgve 6. Ett v de 36 mulige utfllene er gunstig for hendelsen S. Alle de 36 mulige utfllene er like snnsynlige. Altså er PS ( ) 36 b Det er utfll

Detaljer

Regn i hodet. a) 15 : 3 = b) 24 : 6 = c) 36 : 4 = d) 48 : 8 = Regn i hodet. a) 21 : 3 = b) 28 : 7 = c) 49 : 7 = d) 64 : 8 =

Regn i hodet. a) 15 : 3 = b) 24 : 6 = c) 36 : 4 = d) 48 : 8 = Regn i hodet. a) 21 : 3 = b) 28 : 7 = c) 49 : 7 = d) 64 : 8 = 10 Divisjon 2 1 Regn i hodet. ) 15 : 3 = b) 24 : 6 = c) 36 : 4 = d) 48 : 8 = 2 Regn i hodet. ) 21 : 3 = b) 28 : 7 = c) 49 : 7 = d) 64 : 8 = 3 ) 39 : 3 = b) 56 : 4 = c) 96 : 8 = d) 98 : 7 = 4 Gi svret med

Detaljer

MATEMATIKKPRØVE 11. FEBRUAR.

MATEMATIKKPRØVE 11. FEBRUAR. MATEMATIKKPRØVE 11. FEBRUAR. Nvn: Klsse: DELPRØVE 1 uten lommeregner og p (41 poeng) Alle oppgvene i del 1 skl føres rett på rket. I noen oppgver er det en regnerute. Her skl du føre oppgven oversiktlig

Detaljer

Integrasjon av trigonometriske funksjoner

Integrasjon av trigonometriske funksjoner Integrsjon v trigonometriske funksjoner øistein Søvik 3. november 15 I dette dokumentet skl jeg vise litt ulike integrsjonsteknikker og metoder for å utforske integrlene v (cos x) og (sin x). De bestemte

Detaljer

Praktiske opplysninger til rektor. Fag: MATEMATIKK 1TY for yrkesfag Fagkode: MAT1006 Eksamensdato: Antall forberedelsesdager: Ingen

Praktiske opplysninger til rektor. Fag: MATEMATIKK 1TY for yrkesfag Fagkode: MAT1006 Eksamensdato: Antall forberedelsesdager: Ingen Loklt gitt eksmen 2013 Prktiske opplysninger til rektor Fg: MATEMATIKK 1TY for yrkesfg Fgkode: MAT1006 Eksmensdto: 30.5.2013 Antll foreredelsesdger: Ingen Forhold som skolen må være oppmerksom på: Eksmenen

Detaljer

1 Mandag 1. mars 2010

1 Mandag 1. mars 2010 Mndg. mrs Fundmentlteoremet sier t integrsjon og derivsjon er motstte opersjoner. Vi hr de siste ukene sett hvordn vi på ulike måter kn derivere funksjoner i flere vrible. Nå er turen kommet til den motstte

Detaljer

1T kapittel 6 Geometri Løsninger til oppgavene i læreboka

1T kapittel 6 Geometri Løsninger til oppgavene i læreboka T kpittel 6 Geometri Løsninger til oppgvene i læreok Oppgve 6. Vi ruker pytgorssetningen. h 5 + 6 h 5 + 36 h 6 h ± 6 Hypotenusen er 6. Vi ruker pytgorssetningen. h, 4 + 6,7 h h 5, 076 + 45, 04 50, 047

Detaljer

2 Symboler i matematikken

2 Symboler i matematikken 2 Symoler i mtemtikken 2.1 Symoler som står for tll og størrelser Nvn i geometri Nvn i mtemtikken enyttes på lignende måte som nvn på yer og personer, de refererer eller representerer et tll eller en størrelse,

Detaljer

Årsprøve trinn Del 1. Navn: Informasjon for del 1. Del 1 skal du levere innen 2 timer.ere innen 2 timer. Del 2 leverer du innen 5 timer.

Årsprøve trinn Del 1. Navn: Informasjon for del 1. Del 1 skal du levere innen 2 timer.ere innen 2 timer. Del 2 leverer du innen 5 timer. Årsprøve 2015 10. trinn Del 1 Nvn: Informsjon for del 1 Prøvetid: Hjelpemidler på del 1: Andre opplysninger: Fremgngsmåte og forklring: 5 timer totlt. Del 1 skl du levere innen 2 timer.ere innen 2 timer.

Detaljer

YF kapittel 7 Flate Løsninger til oppgavene i læreboka

YF kapittel 7 Flate Løsninger til oppgavene i læreboka YF kpittel 7 Flte Løsninger til oppgvene i læreok Oppgve 701 Vinkel C er en rett vinkel. Altså er C = 90. c AB er motstående side til den rette vinkelen i treknten. Derfor er AB ypotenus. AC er osliggende

Detaljer

Eksamensdato: 25. mai. I del 3 skal du gjøre oppgavene for ditt utdanningsprogram.

Eksamensdato: 25. mai. I del 3 skal du gjøre oppgavene for ditt utdanningsprogram. Lokl gitt eksmen 2012 Eksmen Fg: Mtemtikk 1P for yrkesfg for elever og privtister Fgkode: MAT1001 Eksmensdto: 25. mi Del 1: oppgve 1-5 Del 2: oppgve 6-11 Del 3: oppgve 12-13 I del 3 skl du gjøre oppgvene

Detaljer

Funksjoner 1T Quiz. Test, 4 Funksjoner

Funksjoner 1T Quiz. Test, 4 Funksjoner Test, 4 Funksjoner Innhold 4.1 Funksjonsbegrepet... 4. Lineære funksjoner... 6 4.3 Andre funksjonstyper... 14 4.4 Vekstfart og derivasjon... 0 4.5 Drøfting av funksjoner på grunnlag av egenskaper hos den

Detaljer

Kapittel 3. Potensregning

Kapittel 3. Potensregning Kpittel. Potensregning I potensregning skriver vi tll som potenser og forenkler uttrykk som inneholder potenser. Dette kpitlet hndler blnt nnet om: Betydningen v potenser som hr negtiv eksponent eller

Detaljer

Matematikk 1000. Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 8 Numerisk integrasjon

Matematikk 1000. Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 8 Numerisk integrasjon Mtemtikk 1000 Øvingsoppgver i numerikk leksjon 8 Numerisk integrsjon Som kjent kn vi regne ut (bestemte) integrler ved nti-derivsjon. Dette resulttet er et v de viktikgste innen klkulus; det heter tross

Detaljer

Fasit til utvalgte oppgaver MAT1100, uka 20-24/9

Fasit til utvalgte oppgaver MAT1100, uka 20-24/9 Fsit til utvlgte oppgver MAT00, uk 20-24/9 Øyvind Ryn oyvindry@ifi.uio.no September 24, 200 Oppgve 5..5 år vi viser t f er kontinuerlig i ved et ɛ δ-bevis, er det lurt å strte med uttrykket fx f, og finne

Detaljer

Kalkulus 2. Volum av et omdreiningslegeme. Rotasjon rundt x-aksen

Kalkulus 2. Volum av et omdreiningslegeme. Rotasjon rundt x-aksen Klkulus Klkulus Volum v et omdreiningslegeme Rotsjon rundt x-ksen På figuren nedenfor hr vi skrvert området vgrenset v grfen til den kontinuerlige funksjonen y = f( x) og x-ksen fr x= til x=. Når vi roterer

Detaljer

S2 kapittel 1 Rekker Utvalgte løsninger oppgavesamlingen

S2 kapittel 1 Rekker Utvalgte løsninger oppgavesamlingen Utvlgte løsiger oppgvesmlige S kpittel Rekker Utvlgte løsiger oppgvesmlige 0 Vi k prøve med differsemetode Differsee mellom leddee utover er 4,6,8, så det er rimelig t differse mellom femte og fjerde ledd

Detaljer

1P kapittel 5 Funksjoner Utvalgte løsninger oppgavesamlingen

1P kapittel 5 Funksjoner Utvalgte løsninger oppgavesamlingen 1P kapittel 5 Funksjoner Utvalgte løsninger oppgavesamlingen 50 a Vi ser at grafen har et toppunkt i (11, 380). Det var altså flest besøkende 11. juni. Antall besøkende var da 380. b Vi ser at grafen har

Detaljer

2P kapittel 3 Modellering

2P kapittel 3 Modellering P kapittel 3 Modellering Løsninger til oppgavene i oka 3.1 a Forskerne fant 00 individer av fiskearten da de startet areidet. I løpet av de neste 10 årene sank estanden og etter 10 år var den utryddet.

Detaljer

Sensorveiledning Oppgaveverksted 4, høst 2013 (basert på eksamen vår 2011)

Sensorveiledning Oppgaveverksted 4, høst 2013 (basert på eksamen vår 2011) Sensorveiledning Oppgveverksted 4, høst 203 (bsert på eksmen vår 20) Ved sensuren tillegges oppgve vekt 0,2, oppgve 2 vekt 0,4, og oppgve 3 vekt 0,4. For å bestå eksmen, må besvrelsen i hvert fll: gi minst

Detaljer