EKSAMEN. 1. klassene, ingenørutdanning og Flexing. ANTALL SIDER UTLEVERT: 5 (innkl. forside og 2 sider formelark)

Transkript

1 KANDIDATNUMMER: EKSAMEN EMNENAVN: Mtemtikk EMNENUMMER: REA42 og REA42f EKSAMENSDATO:. desember 2 KLASSE:. klssene, ingenørutdnning og Flexing. TID: kl FAGANSVARLIG: Hns Petter Hornæs ANTALL SIDER UTLEVERT: 5 (innkl. forside og 2 sider formelrk) TILLATTE HJELPEMIDLER: John Hugn: Formler og tbeller. INNFØRING MED PENN. Ved innlevering skilles hvit og gul besvrelse og legges i hvert sitt omslg. Oppgvetekst, kldd og blå kopi beholder kndidten. Husk kndidtnummer på lle rk.

2 Eksmen i Mtemtikk. desember 2 Hvert v de 9 bokstvpunktene teller likt. Oppgver uten bokstvpunkter regnes som et bokstvpunkt. Oppgve ) Deriver funksjonen f gitt ved f(x) =5(x 2 +) 2. b ) Finn likningen til tngenten til kurven gitt ved likningen y = 5 (x 2 +) 2 i punktet der x =. Svret skl gies på stndrdformen y = x + b, gjernemed og b som desimltll med 2 desimler. Oppgve 2 Finn grensen eventuelt vis t grensen ikke eksisterer. lim x x cos(x), Oppgve 4 Betrkt rektngler i xy plnet der to v sidene ligger lngs koordintksene, et hjørne er i origo og det digonlt motstte hjørnet på dendelenv prbelen gitt ved y =4 x 2 som ligger i første kvdrnt (det vil si t x ogy ). Figuren til høyre viser et eksempel på et slikt rektngel. Hv er ekskt verdi v det største relet slike rektngler kn h? 2 x 2 Oppgve 4 En prtikkel beveger seg i xy plnet slik t posisjonen ved tidspunktet t er gitt ved r(t) =[cos(t) sin(t), cos(t)+sin(t)] Finn hstigheten v(t) for denne prtikkelen, og vis t frten v(t) er konstnt.

3 Eksmen i Mtemtikk. desember 2 2 Oppgve 5 ) Vis ved hjelp v integrsjon og substitusjonen u = t cos(x) dx =ln() + C. b ) når vi begrenser oss til området <x<π. Vis ved delvis integrsjon t x dx = x cos(x)++c. c ) En funksjon y definert på intervllet <x<πer gitt ved y + cos(x) y = x, y(π/2) =. Finn funksjonsuttrykkket for y, på eksplisitt form. Oppgve 6 Regn ut det uegentlige integrlet ln(x) dx, eventuelt vis t integrlet divergerer. Spesielt kreves og vektlegges det t du viser hvordn du finner den involverte grensen. Lykke til.

4 Eksmen i Mtemtikk. desember 2 Formelrk. Derivsjon og integrsjon (to sider). Derivsjonsregler f, g, u og v er deriverbre funksjoner., b og r er konstnter. Generelle derivsjonsregler f f f + bg f + bg Lineritet 2 u v u v + u v Produktregelen u v u v u v v 2 Kvotienttregelen 4 f(u(x)) f (u) u (x) Kjerneregelen Den deriverte v spesielle funksjoner f(x) f (x) 5 x + b Spesielt f(x) =x + b: b = 6 x r rx r Også omr er negtiv eller en brøk 7 cos(x) 8 cos(x) 9 tn(x) +tn 2 (x) Alterntiv: tn(x) =/ cos 2 (x) e x e x ln(x) 2 rc x x 2 Mer generelt: ln( x ) =/x rctn(x) +x 2

5 Eksmen i Mtemtikk. desember 2 4 Integrsjonsregler Generelle integrsjonsregler f + bg dx = fdx+ b gdx 2 u v dx = uv u vdx 4 f(u(x)) u (x) dx = f(u) du Lineritet Delvis integrsjon Substitusjon Integrlet v spesielle funksjoner dx = x + C Integrsjon v konstnt x r dx = r+ xr+ + C r (Se for r = ) cos(x) dx = +C dx = cos(x) +C e x dx = e x + C x dx = ln( x )+C dx = rc+c x 2 dx = rctn(x)+c +x2 Bestemte integrler 4) Hvis f(x) er kontinuerlig og F (x) =f(x)er A d b b f(x) dx =[F (x)] b = F (b) F (). 5) Integrsjon over smmenstt område, A er disjunkt union v intervllene [, c] og [d, b]: c b b c b f(x) dx = f(x) dx+ f(x) dx. Spesielt f(x) dx = f(x) dx+ f(x) dx. c 6) Ombytting v grenser: 7) Substitusjon: b f(x) dx = f(u(x))u (x) dx = b f(x) dx. u(b) u() f(u) du. Helt slutt!

6 Løsning, eksmen i Mtemtikk. desember 2 Oppgve ) Uttrykket kn skrives om til en brøk, og kvotientregelen brukes, men det er enklere åbruke kjerneregelen på uttrykket slik det står: Ytre funksjon er 5u 2 med derivert 5 ( 2)u 2 = u og kjerne u = x 2 + med derivert u =2x: f (x) = u u = u 2x = 2x (x 2 +) b ) Her hr jeg vlgt åskrivesvretpå brøkform, men svret 2x(x 2 +) er like riktig. Merk t uttrykket på høyresiden i likningen er det smme som i oppgven når dette skrives på brøkform. For x =erx 2 += 2 + =. f() = 5 2 = 5 og f () = 2 = 6 = 6 Tngentlikningen y = f()+f ()(x ) blir d y = (x ) y = x Vi regner om til desimltll ved å flytte desimlpunktumet i telleren 2 plsser mot venstre: Oppgve 2 y =.6x +.2 Siden sin() = og cos() = =får vi et ( ) uttrykk, og kn bruke L hopitls regel. I telleren må vi bruke produktregelen når vi deriverer: ( ) ( ) x lim x cos(x) = L Hopitl +x cos(x) = lim = x Vi får fortstt i både teller og nevner, men kn prøve L hopitl en gng til: Oppgve L Hopitl cos(x)+ cos(x) x cos() + cos() = lim = =2 x cos(x) cos() Hvis vi kller koordintene i hjørnet som ligger på prbelen for (x, y), er relet v rektngelet A = x y. Vi prøver å uttrykke dette med en vribel (det er nturlig åvelgex), og får til dette ved å bruke t y =4 x 2 : A(x) =x (4 x 2 )=4x x Domenet er det lukkede intervllet x 2, og polynomet A(x) er deriverbrt over lt. Dermed finnes mksimum, og mulige mx/min er endepunkter og der A (x) =. Vi hr t A (x) =4 x 2, slik t den deriverte er der 4 x 2 = x 2 = 4 x = 2 = 2 (positiv rot siden x )

7 Løsning, eksmen i Mtemtikk. desember 2 2 Vi ser lett t i endepunktene er relet A() = A(2) = (som tydeligvis er minimum, ikke mksimum). For den eneste gjenstående kndidten er relet ( ) 2 A = 2 ( 4 4 ) = 6 9 Oppgve 4 Hstigheten er den koordintvis deriverte: Frten er bsoluttverdien v denne: v(t) =[ sin(t) cos(t), sin(t)+cos(t)] v(t) = ( sin(t) cos(t)) 2 +( sin(t)+cos(t)) 2 = sin 2 (t)+2sin(t)cos(t)+cos 2 (t)+sin 2 (t) 2sin(t)cos(t)+cos 2 (t) = 2sin 2 (t)+2cos 2 (t) = 2(sin 2 (t)+cos 2 (t)) = 2 = 2. At uttrykket for frten v(t) ikke inneholder t betyr t den er konstnt. Oppgve 5 ) Når <x<πer >, slik t det ikke blir noe kluss med i nevner. Med u = erdu/dx =cos(x), slik t du =cos(x) dx, som finnes ferdig i integrnden ved åskrive cos(x) dx = cos(x) dx = du =ln u + C = ln() + C. u Absoluttverditegnet er unødvendig, siden > pådet ngitte området. b) Bruk u = x og v =, slik t u =ogv = cos(x) i formelen uv dx = uv u vdx: x dx = x ( cos(x)) ( cos(x)) dx = x cos(x)+ cos(x) dx = x cos(x)++c. c ) Denne likningen er lineær, på stndrdformen y +P (x)y = Q(x)medP (x) =cos(x)/. Integrerende fktor er ρ(x) =e F (x) der F (x) = P (x) dx (uten C): F (x) = cos(x) dx = ln() fr -oppgven) ρ(x) =e ln() = Multipliserer så inn den integrerende fktoren i hvert ledd i likningen: y + cos(x) y = x (y) = x

8 Løsning, eksmen i Mtemtikk. desember 2 Integrerer så begge sider for å bli kvitt den deriverte på venstresiden, og integrlet v høyresiden er b oppgven: y = x cos(x)+ + C Dividerer så med, og finner llmenn løsning: y = x cos(x) ++ C Setter så innx = π/2 ogy =forå betemme C. Brukertsin(π/2) = og cos(π/2) = : og setter inn denne C en i llmenn løsning: = ++C/ C =2 y = x cos(x) ++ 2 Oppgve 6 Det er nok lurt å først regne ut det ubestemte integrlet. Substitusjonen u =ln(x) (slik t /x = e u, og en etterfølgende delvis integrsjon) fungerer, men stndrdmåten er delvis integrsjon v ln(x): Bruk u =ln(x) ogv =, slik t u =/x og v = x: ln(x) dx =ln(x) x xdx= x ln(x) dx = x ln(x) x + C x Siden lim x + ln(x) = hr vi ubegrenset funksjon ved nedre grense, og dermed et uegentlig integrl: ln(x) dx = lim ln(x) dx = s + lim s + [x ln(x) x] s =ln() lim s + s s ln(s) s Vi hr ln() = og lim s + s =,menvimå vise hv lim s + s ln(s) er. Dette er produkt v et ledd som gårmot,ogetsomgår mot. Vi hr ikke noe direkte L Hopitl for denne situsjonen, men kn skrive det om som et ( ) -uttrykk: lim s + s ln(s) = lim s + ln(s) ( ) /s = L Hopitl /s = lim s + /s 2 = lim s = s + Dermed er ln(x) dx = ( ) =