Eksamen R2, Va ren 2014, løsning

Transkript

1 Eksmen R, V ren 04, løsning Tid: timer Hjelpemidler: Vnlige skrivesker, psser, linjl med centimetermål og vinkelmåler er tilltt. Oppgve ( poeng) Deriver funksjonene ) f sin Vi bruker kjerneregelen på sin, og setter Vi får d g uu cosu cos f g u sin u og u b) g e cos uv uv uv der u e og v cos Vi bruker produktregelen for derivsjon. cos sin cos sin g e e e Oppgve (4 poeng) Regn ut integrlene ) sin d Vi bruker metoden med vribelskifte du du Vi setter u som gir dermed er d d du sin d sinud sinu sinudu cosu C cos C b) e ln d Vi bruker delvis integrsjon og finner først det ubestemte integrlet. ln d ln d ln d ln C ln C e e e e e e ln ln ln ln d e e Eksmen REA04 Mtemtikk R våren 04 Side v 7

2 Oppgve ( poeng) Funksjonen f er gitt ved f e 4 e, D f Bestem koordintene til eventuelle vendepunkter på grfen til f. Vi finner eventuelle vendepunkter ved å løse likningen f e e f e e f 4 og e e 0 e 0 e 0 e 0 f f 0 e 4e 4 Vi sjekker om 4 4 f skifter fortegn i 0 f e e her er f e e her er Grfen til f hr vendepunkt i f 0 d e f 0 d e 0, f 0 0, Eksmen REA04 Mtemtikk R våren 04 Side v 7

3 Oppgve 4 (4 poeng) En uendelig geometrisk rekke er gitt ved s ) Bestem konvergensområdet til rekken. Rekken hr kvotienten k Vi hr d og konvergerer når k. 0 0 Rekken konvergerer for 0 b) Løs likningene s og s Sumformelen for uendelige konvergente geometriske rekker er gitt ved S k s s Vi ser t er med i konvergensområdet til rekken, og er dermed en løsning v likningen s. s Vi ser t ingen løsning. ikke er med i konvergensområdet til rekken, og likningen s hr dermed Eksmen REA04 Mtemtikk R våren 04 Side v 7

4 Oppgve 5 (5 poeng) Plnet er gitt ved : y z 0 ) Vis t punktet P, 4, ikke ligger i plnet. Vi setter punktet P inn i likningen for plnet, og finner t høyre side v likningen er ulik venstre side Punktet P ligger ikke i plnet til. En linje går gjennom P slik t. b) Bestem en prmeterfrmstilling for. En normlvektor til plnet er n,,. Vi hr t og bruker normlvektoren n som en retningsvektor til. Vi lr B, y, z være et tilfeldig punkt på linj. En prmeterfrmstilling for er d gitt ved: OB OA t n, y, z, 4, t,, : t y 4 t z t c) Bestem koordintene til skjæringspunktet mellom og. Et tilfeldig punkt på linj hr koordintene t, 4 t, t. Vi setter dette punktet inn i likningen for og finner den t verdien som gir skjæringspunktet S mellom og. t t t t 4 t 4 4t 0 9t 9 Skjæringspunktet,, t S er S, 4,,, 4 d) Bestem vstnden fr P til. Vi vet t. I tillegg hr vi skjæringspunktet S mellom og. Avstnden fr punktet P til skjæringspunktet S er d gitt ved PS, 4, 4,, 9 Eksmen REA04 Mtemtikk R våren 04 Side 4 v 7

5 Oppgve 6 (4 poeng) En funksjon f er gitt ved sin f c d Grfen til funksjonen hr et toppunkt i 0, 7. Det nærmeste bunnpunktet til høyre for dette toppunktet er,. ) Forklr t funksjonsuttrykket kn skrives sin 5 f Konstntleddet 5 er likevektslinj d til f. fmks fmin 7 Likevektslinj er gitt ved d 5 Vi ser fr funksjonsuttrykket t mplituden A, dvs. utslget fr likevektslinj, er. fmks fmin 7 Amplituden er gitt ved A Vi ser t vstnden mellom toppunktet og det nærmeste bunnpunktet er. Det er en hlv periode mellom toppunktet og det nærmeste bunnpunktet. Det betyr t perioden er 4. Koeffisienten k forn er gitt ved k periode 4 Nærmeste bunnpunkt til venstre for det oppgitte toppunktet vil h koordintene,, d perioden er 4. Midt mellom dette bunnpunktet og toppunktet 0, 7 skjærer grfen til f likevektslinj på vei oppover. Det betyr t grfen til funksjonen f skjærer likevektslinj og er økende for. Grfen til f er ltså forskjøvet mot venstre. Vi hr t fseforskyvning. Det gir k Funksjonsuttrykket blir dermed f sin 5 Eksmen REA04 Mtemtikk R våren 04 Side 5 v 7

6 b) Lg en skisse v grfen til f for 0,. Grfen nedenfor er tegnet i GeoGebr. I denne oppgven skulle det tegnes en skisse v grfen til f. Ved en skisse kreves ikke smme nøyktighet som ved tegning v en grf, men grfen må gå gjennom punktene vi hr gitt ovenfor. I tillegg vet vi t perioden er 4. Det betyr t neste toppunkt kommer for 4 osv. Slik fortsetter vi og tegner i lle toppunktene i intervllet 0, Det betyr t vi tegner grfen gjennom toppunktene 0, 7, 4,7, 8,7,, 7. Vi bruker smme resonnement for bunnpunktene. Det betyr t grfen til f hr bunnpunkt,, 6,, 0,7 og t grfen krysser likevektslinj i, 5, 5,5, 9,5 Grfen må også tegnes området gitt ved 0,. Eksmen REA04 Mtemtikk R våren 04 Side 6 v 7

7 Oppgve 7 ( poeng) Løs differensillikningen yy når y0 Likningen ovenfor er en lineær, førsteordens differensillikning på formen Vi velger å bruke metoden med integrerende fktor for å løse likningen. Den integrerende fktor er gitt ved p e. I dette tilfellet blir integrerende fktor y p y q. e. Gitt y y e e y e y e y0 e y e e y e d e y e C e y C e Ce C 0 Dermed er ye Eksmen REA04 Mtemtikk R våren 04 Side 7 v 7

8 Tid: timer Hjelpemidler: Alle hjelpemidler er tilltt, med unntk v internett og ndre verktøy som tillter kommuniksjon. Oppgve (6 poeng) Punktene A4,,, B,, 0 og C,, er gitt. En setning i geometrien sier: ) Bruk denne setningen til å vise t punktene A, B og Vi finner vektorene AB og AC. C bestemmer et pln entydig. AB 4,, 0,, og 4,,,, AC. Vi ser t AB ikke er prllell med AC. Det betyr t punktene A, B og linje. Det betyr i følge setningen ovenfor t A, B og C ikke ligger på en rett C bestemmer et pln entydig. b) Bestem en likning til plnet. Vi finner en normlvektor til plnet ved å finne AB AC. Vi finner AB AC ved å bruke CASverktøyet i GeoGebr med kommndoen, Vektorprodukt[ <Vektor>, <Vektor> ] Vi hr dermed t AB AC,, er en normlvektor til plnet. Likningen for et pln er gitt ved by y cz z , der, y, z er et punkt i plnet og, b, c er en normlvektor til plnet. Vi velger å bruke punkt B,, 0 ovenfor. Likningen til plnet blir dermed y z : 0 0 y z 0 Eksmen REA04 Mtemtikk R våren 04 Side 8 v 7

9 Et punkt T hr koordintene, 5, 4t. c) Bestem t slik t volumet v pyrmiden ABCT blir. Vi hr t volumet v pyrmiden er gitt ved AT 4, 5, 4t,, 4t V,,,, t 6 4 t 0 6 t V AB AC AT 6 Vi bestemmer så t slik t volumet blir ved å løse likningen 4t 0 6 Vi bruker CAS-verktøyet i GeoGebr. Vi finner t volumet v pyrmiden ABCT blir når t t 7. Oppgve (5 poeng) En kuleflte er gitt ved likningen y z y 6z 0 ) Vis t punktet P,, 5 ligger på kuleflten. Punktet P,, 5 ligger på flten fordi b) Bestem sentrum og rdius til kulen. Likningen kn skrives som: y y z 6z 0 y y z 6z 9 9 ( ) ( y ) ( z ) 9 Eksmen REA04 Mtemtikk R våren 04 Side 9 v 7

10 Dette viser t likningen beskriver en kuleflte med sentrum i S,, og rdius lik. c) Bestem likningen til plnet som tngerer kuleflten i punktet P. Vektoren SP vil være en normlvektor til plnet som tngerer kuleflten i punktet P. Tngentplnet i P hr normlvektor SP,, 5,,. D kn likningen for plnet som tngerer kuleflten skrives som y z d 0 Vi hr t punktet P,, 5 ligger i tngentplnet. Vi finner konstnten d i likningen ovenfor. 5d 0d 8 Likningen for tngentplnet i P blir d: y z 8 0 Oppgve (7 poeng) I en kriminlserie på TV ble et drpsoffer funnet kl..00. Kroppstemperturen ble d målt til 0 C. Rommet der den drepte ble funnet, hdde htt en konstnt tempertur på C siden mordet skjedde. Vi lr kroppstemperturen være yt grder Celsius t timer etter t den døde ble funnet. ) Ifølge Newtons vkjølingslov er temperturendringen per time proporsjonl med differnsen mellom kroppstempertur og romtempertur. Forklr t dette gir differensillikningen y ky der k 0 yt. Endringen i kroppstempertur kn d betegnes med. Vi hr oppgitt t y ky der k er en proporsjonlitetskonstnt og Kroppstemperturen er gitt ved y t y y er differnsen mellom kroppstemperturen til drpsofferte d det ble funnet og temperturen i rommet. Vi hr videre t kroppstemperturen til drpsofferet y er høyere enn romtemperturen på C. Det betyr t kroppstemperturen til drpsofferte vil synke. Det gir t vi må h minus forn proporsjonlitetskonstnten k d k 0. Eksmen REA04 Mtemtikk R våren 04 Side 0 v 7

11 b) Forklr t y0 0, og løs differensillikningen ved regning. Kroppstemperturen når drpsofferte ble funnet, ltså ved t 0, vr 0 C, dvs. Vi velger å løse differensillikningen ved å bruke CAS-verktøyet i GeoGebr. Vi bruker kommndoen LøsODE[ <Likning>, <Avhengig vribel>, <Uvhengig vribel> ] og skriver inn initilbetingelsen til slutt i kommndoen, se nedenfor. NB! Det er viktig å huske multipliksjonstegnet * mellom k og y. y0 0. Løsningen v differensillikningen er yt 8e kt c) En time etter t den døde ble funnet, ble kroppstemperturen målt til 8 C. Bruk dette til å bestemme konstnten k. Vi bruker CAS-verktøyet i GeoGebr og setter y 8 og t. Konstnten k 0,9 Vi ntr t drpsofferet hdde en kroppstempertur på 7 C like etter t døden inntrff. d) Bruk yt til å nslå når drpet ble utført. Vi bruker CAS-verktøyet i GeoGebr og setter y 7 og k 0,877. Drpet ble utført,85 timer før kl..00. Vi gjør om 0,85 timer til minutter, 0,85*60. Vi finner t drpet ble utført timer og minutter før kl..00, dvs. kl Eksmen REA04 Mtemtikk R våren 04 Side v 7

12 Oppgve 4 (7 poeng) En uendelig rekke er gitt ved ) Vis t, når, Dette er en geometrisk rekke med kvotient k. Vi hr gitt t, som gir t k, d k. Det betyr t rekken er konvergent. Vi bruker sumformelen for uendelig konvergent geometrisk rekke S, og får S k Det kn vises t b) Vis t, når, 4, når, Vi deriverer venstre og høyre side i likningen Venstre side: Høyre side: Vi hr dermed 4, når, c) Bruk resulttet i oppgve b) til å vise t 4 4 Vi ser t. 4 Venstre side i likningen fr b) gir: 4 Vi hr videre t høyre side gir: Det betyr t 4 Eksmen REA04 Mtemtikk R våren 04 Side v 7

13 d) Bruk induksjon til å bevise påstnden 4 n n Pn: 4, n n n Trinn, Induksjonsgrunnlget Vi skl vise t formelen gjelder for n. Bevis Når n hr vi kun ett ledd på venstre side. Venstre side Høyre side 4 4 Formelen gjelder for n. Trinn, Induksjonstrinnet Vi ntr t formelen gjelder for n t. Vi hr d t Bevis 4 t t Pt: 4, t t t Vi må vise t formelen gjelder for nt. Vi må ltså vise t 4 t t t 4, t t t t 4 t t t 4 t t t 4 t t t t t t 4 4 t t t t t t t t t 4 t t t t t t Vi hr nå vist t venstre side er lik høyre side i likning () Vi hr dermed vist t formelen gjelder for nt. I følge induksjonsprinsippet gjelder formelen d for lle verdier v n. n e) Bruk det du hr funnet ovenfor til å bestemme lim n n 4 Fr oppgve c) hr vi t den uendelige rekken 4. 4 n n Fr oppgve d) hr vi t 4. n n n n Det må bety t lim 0 n, d vi ser fr d) t lim4 4 n n. Eksmen REA04 Mtemtikk R våren 04 Side v 7

14 Oppgve 5 (5 poeng) Et rektngel ABCD er innskrevet i en sirkel. Sirkelen hr sentrum i O og rdius 0. Vi setter COD v, der o v. Se figuren nedenfor. ) Vis ved regning t relet F v sirkelsektoren COD er 50 F v v Vi regner ut relet v sirkelsektoren og får: v 0 v 00v F v r 50v b) Vis ved regning t relet T v det frgelgte området på figuren kn skrives som 50 sin T v v v Vi hr t vstndene OA OB r 0. Vi bruker relsetningen for treknter og finner relet v trekntene AOD, BOC og AOB. 00 sin v AOD BOD 50sin v og Fr enhetssirkelen vet vi t sinv sin v området som: 00sinv AOB 50sinv, og vi kn d skrive relet T v det frgelgte 50sin 50sin 50 50sin 50 sin T v F v v v v v v v Eksmen REA04 Mtemtikk R våren 04 Side 4 v 7

15 c) Bestem v grfisk slik t T blir størst mulig. Bestem T mks. Vi tegner grfen til Tv i GeoGebr og finner mksimlverdien til T. Vi bruker kommndoen T v Funksjon 50 v sin v, 0, for å tegne funksjonen og kommndoen Ekstremlpunkt T,0, for å finne toppunktet på grfen til T. Vi finner t relet T blir størst mulig når v,9. Arelet er d 7. Oppgve 6 (6 poeng) Figur nedenfor viser grfen til funksjonen f gitt ved f,, Vi dreier grfen til f 60 om -ksen. Vi får d frm et omdreiningslegeme som vist på figur. Eksmen REA04 Mtemtikk R våren 04 Side 5 v 7

16 ) Bestem volumet V v omdreiningslegemet. Volumet v omdreiningslegemet er gitt ved V f d Vi bruker kommndoen Integrl[ <Funksjon>, <Strt>, <Slutt> ] i CAS-verktøyet i GeoGebr Vi finner V b) Bestem f d. Omdreiningslegemet hr overflterel O. Forklr t O Vi bruker smme frmgngsmåte i GeoGebr som ovenfor og finner: f d. f d er relet vgrenset v grfen til og -ksen mellom og. Ved å betrkte figur, ser vi umiddelbrt t overflterelet O Vi ser t relet f d. f d tilsvrer litt mindre enn v hele overflten, d hornet krummer. 4 c) Vi lr. Det omdreiningslegemet vi får, klles Gbriels horn. Bestem lim O og limv Vi finner lim dersom grenseverdiene eksisterer. Kommenter svrene. d limln. Vi finner ltså t ln går mot uendelig når går mot uendelig. Det vil si t denne grenseverdien ikke eksisterer. Vi hr videre t O f d. Det må bety t lim O lim Vi finner så limv limv lim lim lim f d Vi hr nå funnet t volumet går mot når, mens relet v overflten går mot uendelig når. Volumet i Gbriels horn vil ltså være endelig unsett hvor lngt det blir, mens overflten vil gå mot uendelig når lengden v hornet blir uendelig stor. Eksmen REA04 Mtemtikk R våren 04 Side 6 v 7

17 Kilder Oppgvetekst med grfiske frmstillinger: Utdnningsdirektortet Løsninger: Stein Anensen Kilder for bilder, tegninger osv. Alle figurer: Utdnningsdirektortet Eksmen REA04 Mtemtikk R våren 04 Side 7 v 7