Kalkulus 2. Volum av et omdreiningslegeme. Rotasjon rundt x-aksen

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "Kalkulus 2. Volum av et omdreiningslegeme. Rotasjon rundt x-aksen"

Transkript

1 Klkulus Klkulus Volum v et omdreiningslegeme Rotsjon rundt x-ksen På figuren nedenfor hr vi skrvert området vgrenset v grfen til den kontinuerlige funksjonen y = f( x) og x-ksen fr x= til x=. Når vi roterer dette vgrensede området rundt x-ksen frmkommer et såklt omdreiningslegeme. Se figuren nedenfor. For å finne volumet v omdreiningslegemet tenker vi oss t vi deler omdreiningslegemet inn i mnge små vertikle segmenter med redde dx. Hvis vi roterer et segment plssert i x, rundt x-ksen, får vi en rett vkortet kjegle slik figuren nedenfor viser. Siden høyden dx er svært liten, kn vi med god tilnærming etrkte den tynne skiven som en sylinder med smme høyde som kjeglen og med en rdius som er gjennomsnittet v rdius i topp og unn v kjeglen. Rdius i sylinderen lir derfor f( x). Vi velger ltså å etrkte sylinderen som en svært tynn skive med tykkelse dx, og rdius f(x). Volumet v sylinderen finner vi ved å multiplisere grunnflten med høyden i sylinderen. Vi gjentr denne prosedyren for lle segmentene som vi hr delt x-ksen inn i. Omdreiningslegemet lir på denne måten delt inn i mnge svært tynne skiver med smme tykkelse. Se figuren nedenfor. Volumet v omdreiningslegemet som hr frmkommet ved t det skrverte området er rotert rundt x-ksen, kn vi finne ved å summere volumene v lle de tynne skivene. Denne summeringen utfører vi ved hjelp v integrsjon og vi får: 89

2 Klkulus Volume = π( rdius) dx = π ( f ( x)) dx Eksempel Et område er vgrenset v grfen til y = x der 0 x 4 og x-ksen. Vi roterer dette området rundt x-ksen. D får vi et omdreiningslegeme. Beregning v volumet til dette omdreiningslegemet er vist nedenfor. Dersom vi roterer området vgrenset v hlvsirkelen gitt ved en kule. Beregning v volumet v kul er vist nedenfor. y = r x og x-ksen, får vi Svret vi får her, ør vekke umiddelr gjenkjennelse. Prøv selv å tolke svrene som dukker opp på skjermen til ClssPd 300 på figuren nedenfor. 90

3 Klkulus Det kn være en god pedgogisk hndling å knytte gmmel og ny lærdom smmen på den måten vi her demonstrerer. Rugyllen 4x y Ellipsen gitt ved + = 1 eskriver profilen til en rugyll. Nedenfor hr vi eregnet 11 1 volumet v denne rugyllen åde nlytisk og i grf ppliksjonen til ClssPd 300. Områder mellom grfer L oss nå studere volumet v et omdreiningslegeme som frmkommer når et område mellom to grfer f og g roterer rundt x-ksen. Se figuren på neste side. 91

4 Klkulus Volumet v dette omdreiningslegemet finner vi ved først å finne volumet v omdreiningslegemet estemt v f og så trekke i fr volumet v hullet estemt v g. D får vi t ( ) ( ) ( ( ) ( ) ) V = π f x dx π g x dx= π f x g x dx Eksempel Et område er vgrenset v grfen til y = x + 1 og den rette linjen y = x+ 3. Vi roterer dette området rundt x-ksen og vi får et omdreiningslegeme. Vi vil finne volumet til omdreiningslegemet. Grensene til det estemte integrlet er i dette tilfellet estemt v x-koordintene til skjæringspunktet mellom prelen og den rette linjen. Se figuren ovenfor. Overflterelet til omdreiningslegemer På figuren nedenfor ser vi omdreiningslegemet vi får etter t grfen til f i intervllet [ ], o hr rotert 360 rundt ksen gitt ved y = A der A < min( f ). Vi skl nå studere overflten til dette omdreiningslegemet. 9

5 Klkulus For å finne overflterelet deler vi først intervllet [ ], på x-ksen inn i småintervller med redde dx. For hvert småintervll ser vi så på de små delene vi får på grfen til f. Vi kn tilnærme hvert delintervll på grfen til å være rette linjer med stigning f ( x) Lengden l v linjestykket i hvert delintervll finner vi så ved hjelp v Pythgors læresetning. Altså l = dx + dy. Vi summerer disse relene og får Når vi roterer linjestykket på grfen rundt ksen får vi en rett vkortet kjegle. Vi finner overflterelet v denne vkortede kjeglen ved å multiplisere lengden v linjestykket på grfen med strekningen som midtpunktet på linjestykket tilkelegger under rotsjonen, nemlig π gnger rdius, Rdien er f ( x) A. Prosessen li gjenttt for lle de små delintervllene i intervllet [,]. Det etyr t vi tilnærmer overflterelet v omdreiningslegemet til å være en sum v overfltereler v lle kjeglene i intervllet [,]. x= x= S = dx + dy π( f( x) A) = π( f( x) A) 1 + ( f ( x)) x= x= π ( ( ) ) 1 + ( ( )) f x A f x dx Hvis funksjonen f er deriverr i hele intervllet x, er overflterelet til omdreiningslegemet vi får når kurven y = f( x) roterer rundt x-ksen, gitt ved S dy = π y 1+ dx dx 93

6 Klkulus Rotsjon rundt y-ksen Hvis x = f( y) hr en kontinuerlig derivert i hele intervllet y, er overflterelet til omdreiningslegemet som frmkommer når vi roterer kurven x = f( y) rundt y-ksen gitt ved S dx = π x 1+ dy dy Eksempler Området vgrenset v hlvsirkelen y = r x og x-ksen roterer rundt x-ksen. Omdreiningslegemet som d frmkommer, er en kule med rdius r. Vi vil finne overflterelet til denne kul. Se figuren nedenfor. ClssPd 300 ekrefter den velkjente formelen for overflterelet til en kule, 4π r. Hvis linjestykket x = 1 y, y [ 0,1] lir rotert rundt y-ksen, frmkommer en kjegle. Vi husker fr før t relet v sideflten til en kjegle er gitt ved formelen S = π rs. I vårt spesielle tilfelle får vi t S = π 1 = π. Når vi hr lært en ny frmgngsmåte for å esvre en prolemstilling er det som tidligere nevnt, god pedgogikk å vise t gmmel- og ny frmgngsmåte gir likelydende svr på prolemet. 94

7 Klkulus Svret på ClssPd 300 er funnet ved hjelp v formelen for overflterelet til et omdreiningslegeme, er selvfølgelig identisk med svret vi fikk ved hjelp v konvensjonell regning. Utforskning Bruk ClssPd 300 til å vise t overflten S til omdreiningslegemet som frmkommer når vi 1 π roterer kurven x = y 1 der y,1, rundt y-ksen, er S = ( 1). 3 Hvordn ser denne flten ut? Buelengder i plnet Figuren nedenfor viser grfen til funksjonen f i intervllet [,]. For Lengden å finne v lengden et kort linjestykke v grfen (uelengden), kn vi enkelt deler eregne vi intervllet ved hjelp [ v, Pyt ] hgors i segmenter læresetning med redde dx. dersom Kurven vi kjenner lir dermed lengden delt v inn egge i tilsvrende ktetene. Se figuren småstykker. til venstre. Hvert småstykke v grfen er svært kort og vi kn med god tilnærming etrkte Lengden småstykkene v den som horisontle rette linjestykker. kteten er dx. Siden linjestykket er lineært, finner vi lengden v den vertikle kteten ved å multiplisere lengden v den horisontle kteten med stigningen til linjestykket. Stigningen er gitt som den deriverte til f i x. Altså er dy = f ( x) dx. 95

8 Klkulus Vi summerer lengden v lle linjestykkene og får lengden L v grfen i intervllet [,]. Vi kller denne lengden for uelengden. x= x= L= dx + dy = dx + ( f ( x) dx) x= x= x= x= 1 + ( f ( x)) dx 1 + ( f ( x)) dx = Vi må forvisse oss om t integrlet eksisterer. Hvis funksjonen y = f ( x) hr en kontinuerlig derivert i hele intervllet dy ved L= 1+ d dx x. x, så er uelengden L til kurven y = f( x) fr til gitt Eksempler Vi ønsker å finne uelengden til kurven ( ) 3 4 y = f x = x 1 der 0 x 1. 3 Vi velger å løse prolemet lgerisk på ClssPd 300. Se figuren nedenfor. Enklest er det å finne uelengden ved å ruke kommndoen rclen på ClssPd 300. Se skjermildet til høyre ovenfor. Lengden v en stroide Kurven gitt ved likningen x 3 + y 3 = 1 tilhører en fmilie v kurver som vi kller stroider, fordi formen minner om en slgs stjerne. Nå skl vi se nærmere på denne estemte kurven ved hjelp v ClssPd 300. Vi ønsker også å finne lengden v denne stroiden. Vi foretrekker å tegne stroiden på prmeterform. Se figuren på neste side. Litt senere i dette kpitlet vil vi lære mer om prmeterform. Som figuren viser, hr vi eregnet uelengden lgerisk på ClssPd

9 Klkulus Hvordn finner vi nedre grenseverdi i det estemte integrlet på skjermildet nedenfor? Verifiser på din ClssPd 300 t uelengden til stroiden 3 3 x + y = er 6. Verifiser også t relet A vgrenset v denne kurven, er 3 gitt ved A = π. 8 Areid Når en gjenstnd påvirket v en konstnt krft F, eveger seg rettlinjet en strekning d, er reidet som lir utført på gjenstnden, definert som W = Fd. Hvis vi måler krft i Newton og strekning i meter, lir enheten til reid Newtonmeter (Nm), Vi definerer 1 Joule (J) som 1 Newtonmeter. Definisjon: Areidet W som lir utført v en vriel krft F(x) med retning lngs x-ksen fr x = til x =, er gitt ved W = F( x) dx Denne formelen omtles som integrsjonsformelen for reid. Merk. Hvis vi deler intervllet fr to inn i en smling v små intervller med redde dx, er reidet utført over ett v disse små intervllene plssert i x, gitt ved 97

10 Klkulus krft strekning = F( x) dx Integrsjon fr x= til x= gir integrsjonsformelen ovenfor. Dette er i smsvr med tolkningen v et estemt integrl som summen v dx-intervller fr x= til x=. Eksempel En fjellkltrer heiser opp et 100 meter lngt tu som henger loddrett ned. Hver meter tu hr en tyngde på 0.75N. Hvor stort reid utfører fjellkltreren dersom hn heiser opp hele tuet? Det estemte integrlet som representerer reidet i dette tilfellet, er regnet ut nedenfor. Forsøk selv å forklre nedre og øvre grenseverdi for integrlet. ClssPd 300 viser t reidet som fjellkltreren utfører, er 3750 Joule (Nm). Uekte (uegentlige) integrl Så lngt hr vi studert integrl v typen f ( xdx ) der f er en undet funksjon i det vgrensede intervllet [ ],. Nå skl vi studere hv som skjer dersom enten f eller intervllet [, ] er uundet. I egge tilfeller får vi et såklt uekte (uegentlig) integrl. Integrlene vi hr reidet med så lngt, hr vært ekte integrler. Som vi snrt vil få se, er ikke et uekte integrl definert lene ved hjelp v oppdeling og summering, men som grenseverdien til et ekte integrl. Vi velger å se på tilfellet der integrsjonsintervllet er [, >, dvs. en uundet øvre grense. I dette tilfellet får vi følgende definisjon: f ( xdx ) = lim f( xdx ) forutstt t grensen eksisterer. Hvis f er en positiv funksjon, kn grensen tolkes som det totle relet mellom grfen og x- ksen til høyre for. 98

11 Klkulus Griels horn på ClssPd 300 Dette vsnittet hndler om et uekte integrl der øvre grenseverdi vokser mot uendelig. 1 På ClssPd 300 skjermilde nedenfor hr vi tegnet kurven y = for x > 0. x Området vgrenset v kurven, x-ksen og de vertikle linjene x = 1 og x = 15, roterer vi rundt x-ksen. D frmkommer et omdreiningslegeme med form som kn minne om et låsehorn. Se figuren nedenfor. Prosedyren er: Anlysis > G-solve > π f( x) dx. Du må selv legge inn nedre og øvre grenseverdi på lommeregneren. ClssPd 300 viser t volumet til hornet er omtrent.93. Se figuren ovenfor. Volumet ekreftes v eregningen på ClssPd 300. Men hv vil skje dersom vi utvider omdreiningslegemet (hornet) mot høyre, slik t vi produserer et uendelig lngt horn? 99

12 Klkulus Vi regner ut det uekte integrlet 1 1 π dx x på ClssPd 300. Se figuren nedenfor. Integrlet 1 π dx x 1 som representerer volumet til omdreiningslegemet, konvergerer. Det uendelig lnge hornet hr ltså et endelig volum. Nå er vi ClssPd 300 om å eregne overflterelet til dette uendelig lnge omdreiningslegemet, hvis det d eksisterer. Vi repeterer t formelen for overflterelet er S dy = π y 1+ dx dx. Altså: Hvis vi forsøker å klkulere integrlet med en uendelig øvre grense, vil ikke ClssPd 300 komme med et svr. På figuren ovenfor til venstre ser vi t derom vi skriver det uekte integrlet som et grenseuttrykk der øvre grenseverdi vokser mot uendelig, vil ClssPd 300 kun returnere et uttrykk skrevet i såklt nturl disply. Skjermildet til høyre ovenfor viser imidlertid t ClssPd 300 er i stnd til å eregne tilsvrende ekte integrl. Hv kn dette tyde på? 100

13 Klkulus 1 Vi vet t dx divergerer. Siden π 1+ π, innser vi t 4 4 x x x x π 1+ dx også x 1 1 x må divergere. Omdreiningslegemet hr ltså et endelig volum, men overflterelet er uendelig stort. Hvis vi forestiller oss t omdreiningslegemet er hult med tynne vegger og fylt med mling, er denne endelige mengden v mling ikke tilstrekkelig til å mle utsiden v omdreiningslegemet. Omdreiningslegemet hr fått nvnet Griels horn. Snnsynlighetsfordeling Fr teorien om snnsynlighetsregning vet vi t summen v lle snnsynligheter for en hendelse må være lik 1. Den såklte normlfordelingsfunksjonen er definert som x 1 f ( x) = e der x,. Området under grfen til f er et ikke-vgrenset område π og integrlet som representerer summen v lle snnsynligheter, er derfor et uekte integrl. L oss undersøke verdien til dette uekte integrlet ved å utføre integrsjonen på ClssPd 300. Svret på ClssPd 300 er korrekt. Polrkoordinter Ant t l er en rettlinjet kse som strter i origo O, og t P er et punkt i plnet. Vi kn loklisere P i forhold til l og O ved å spesifisere åde vstnden r fr O til P og vinkelen θ som linjestykket OP dnner med l. 101

14 Klkulus Det ordnede tllpret (, r θ ) kller vi polrkoordintene til punktet P. Polrkoordintene til punktet P er ikke spesifikke. Siden vinkelen gjentr seg for hver π rdiner, er det opplgt t (, r θ ) = (, r θ + π). En negtiv verdi for r tilsvrer en dreining på 180. Det etyr t ( r, θ ) = ( r, θ + π). π π Prøv selv å loklisere punktene (, ) og ( 3, ) i koordintsystemet ved hjelp v 4 3 polrkoordinter. Polrkoordinter og krtesiske koordinter. Hvis vi lr ksen l være den positive x-ksen, kn punktet P i plnet h åde krtesiske koordinter ( x, y ) og polrkoordinter (, r θ ). Se figuren nedenfor. Ved å nvende definisjonen v sinus og cosinus får vi følgende smmenheng mellom de krtesiske koordintene ( x, y) og polrkoordintene (, r θ ): x= rcosθ, y = rsinθ. Vi kn også uttrykke r og θ ved x og y. Vi får t y r = x + y og tnθ =. x Altså r = x + y 1 y og θ = tn. x Eksempel π L oss omgjøre koordintene (4, ) fr polrkoordinter til krtesiske koordinter. Deretter 4 gjør vi om koordintene for punktet ( 3, 1) fr krtesiske koordinter til polrkoordinter. Se figuren neste side. 10

15 Klkulus Klkulus med polrkoordinter Arel Vi skl nå eregne relet v et område vgrenset v en kurve gitt på polrkoordintform, i.e. r = f( θ ) og to rdier r mellom α og β. Se figuren nedenfor. Vi strter med å regne ut relet v små sektorer med uelengde rdθ. Se figuren nedenfor. r = f(θ) 1 Arelet v en sektor med uelengde rdθ er d A v hele sirkelen med rdius r. Arelet v sirkelflten er som vi husker, gitt ved A = π r. α En sirkelsektor med sentrlvinkel α hr et rel som utgjør ( ) v hele sirkelflten. Det π 1 etyr t relet v sektoren er r α. Altså for d α = θ får vi t 1 da= r dθ. Arelet A v området vgrenset v kurven r = f( θ ) og r r( θ ) A β 1 = r dθ. α r θ. For å forstå dette strter vi med relet = der θ [ α, β ] er derfor 103

16 Klkulus Krdioiden Kurven r = (1+ cos θ ) hr form som et hjerte og lir derfor klt krdioiden. På skjermildet nedenfor hr vi åde tegnet kurven og eregnet relet til området vgrenset v denne kurven. ClssPd 300 viser t relet vgrenset v krdioiden r = (1+ cos θ ) er lik 6π. Generelt er likningen for en krdioide gitt ved r = (1+ cos θ ). Vis på ClssPd 300 t relet vgrenset v krdioiden er 6π. Stemmer dette med svrte vi fikk ovenfor? Nå skl vi ruke ClssPd 300 til og eregne relet v området som ligger innenfor sirkelen gitt ved polrfunksjonen r = 1 og utenfor krdioiden gitt ved r = 1 cosθ. Videre skl vi eregne relet v området som åde ligger innefor krdioiden og sirkelen. π Arelet innenfor sirkelen og utenfor krdioiden er ltså lik 1 8. Arelet v området som efinner seg åde innenfor sirkelen og krdioiden er Smmenlign de to relene og kommenter det du finner. 5π

17 Klkulus Arelet v lemniskten I krtesiske koordinter er likningen for lemniskten uttrykt ved ( x + y ) = ( x y ). Vi velger prmeteren = og regner ut relet v området inne i lemniskten. Denne utregningen foregår lgerisk på ClssPd 300. Se figuren nedenfor. Deretter studerer vi lemniskten gitt med polrkoordinter, i.e. r = cos θ. Vi ser på skjermildet nedenfor til høyre t integrlet i polrkoordinter ekrefter relet som vi eregnet lgerisk i krtesiske koordinter. Det er mulig å vise t relet inne i lemniskten generelt er. Prøv dette selv på ClssPd 300. Utforskning Roser På figuren nedenfor til venstre ser vi en rose med tre ld. Generelt gjelder t r = cos nθ eller r = sin nθ hr n ld hvis n er oddetll. Utforsk denne påstnden på ClssPd 300. På figuren nedenfor til høyre ser vi en rose med fire ld. Generelt gjelder t eller r = sin nθ hr n ld hvis n er et prtll. Utforsk også denne påstnden på ClssPd 300. Bruk ClssPd 300 til å estemme relet v ldene på ulike roser. r = cos nθ 105

18 Klkulus Buelengde Vi strter igjen med kurven gitt ved likningen r = f( θ ) i polrkoordinter. Se figuren nedenfor. Vi kn eregne lengden v differensilet (et uendelig lite stykke v kurven) ds ved hjelp v den differensile treknten (ds og rdθ er så korte t vi kn tilnærme kurvestykkene til å være rette linjer). Buelengden til sirkelsektoren med rdius r og sentrlvinkel dθ er lik rdθ. Den såklte differensile treknten er en rettvinklet treknt med kteter dr nd rdθ. Vi får ved hjelp v Pythgors læresetning t ds = dr + r dθ Dersom r f( θ ) = hr en kontinuerlig derivert for θ [ α, β ] og hvis punktet P( r, θ ) ligger på kurven r = f( θ ) kun en gng når θ går frα to β, er lengden v kurven (uelengden) gitt ved formelen β dr L= r + dθ dθ α Buelengden til krdioiden På skjermildet nedenfor hr ClssPd 300 eregnet uelengden til krdioiden gitt i polrkoordinter ved r = (1+ cos θ ). 106

19 Klkulus Buelengden er 16. Vi repeterer t den generelle likningen for krdioiden er uttrykt ved r = (1+ cos θ ). Bruk ClssPd 300 til å verifisere t uelengden til krdioiden generelt er gitt ved 16. Eksempel Finn uelengden til kurven r = θ fr 0 til π. Utforskning: Gjennomsnittsverdi Den såklte gjennomsnittsverdien til polrkoordintfunksjonen r r( θ ) hensyn på θ er gitt ved β 1 r( θ ) dθ β α. α =, θ [ α, β ] med Bruk ClssPd 300 til å eregne gjennomsnittsverdien til r i sirkelen r =. Finn også gjennomsnittsverdien til r i krdioiden r = (1+ cos θ ). Diskuter svrene. 107

20 Klkulus Prmeterfrmstilling Mnge svært interessnte grfer er ikke funksjonsgrfer v typen y = f( x), men kn eskrives ved t åde x nd y selv er funksjoner v en prmeter. Sirkelen x + y = 1 kn for eksempel eskrives prmetrisk ved x = cos t nd y = sin t. Her er ltså t prmeteren. Kurven som et evegelig punkt følger, kn på denne måten eskrives v en prmeter, der prmeteren t er tiden. Et evegelig punkt festet til et roterende hjul er et interessnt eksempel der prmeterfrmstilling kn nvendes. Sykloiden kn eskrives v et punkt som er festet på eiken til et hjul som triller ortover på et horisontlt underlg. Vi kommer tilke til denne spesielle kurven litt senere i dette kpitlet. På figuren til venstre ser vi et ilde v en såklt episykloide med krtesisk prmeterlikning: x = ( + )cos( t) cos(( + 1) t) y = ( + )sin( t) sin(( + 1) t) Klkulus med prmeterfrmstilling Buelengde V i ntr t y = f( x) hr kontinuerlig derivert for x [, ]. Vi hr sett tidligere t lengden L dy til grfen er gitt ved L= 1+ dx dx. Ant t grfen ovenfor kn eskrives v prmeterlikningene x = xt () og y = y() t der dx α t β og hvor x() t og yt () hr kontinuerlig derivert. Videre ntr vi t 0. D dt > et etyr t funksjonsgrfen tegnes ut fr venstre mot høyre. dy dy D er dt dx = og dx = dt dx dx dt dt Lengden L v grfen kn ltså uttrykkes ved formelen 108

21 Klkulus dy β β dx dx dy L 1 dt = + dt dx = dt + dt dt dt α α dt Formelen gjelder for de fleste prmetriske kurver. Det eneste foreholdet vi må t er t kurven ikke i noen områder legger seg oppå seg selv når t tr verdier fr α til β. Sykloiden Vi tenker oss t sirkelen med rdius ruller på x-ksen uten å gli. Et fst punkt P på sirkelen eskriver d en kurve som vi kller en sykloide. Prmeterfrmstillingen til sykloiden er x() t = ( t sin t) yt () = (1 cos) t Finn uelengden til en sykloide eskrevet v et fst punkt på en sirkel som roterer på x-ksen. Sirkelen hr rdius =. Tegn kurven på ClssPd 300. Forklr den øvre grenseverdien i det estemte integrlet. Forsøk til slutt å komme frm til uelengden v en ue v sykloiden uttrykt ved. Arkimedes spirl K urven med prmeterfrmstillingen x = tcost, y tsin t =, der t [ 0,6π ] er en type kurve som vi kller Arkimedes spirl. På figuren på neste side ser vi sp irlen slik den frmkommer på ClssPd 300. Vi eregner også lengden v denne delen v spirlen. 109

22 Klkulus Lengden v Arkimedes spirl er i dette tilfellet Lengden v stroiden. En stroid er gitt ved prmeterlikningen x 3 3 = cos t, y sin t, = t [ 0, π ]. L oss tegne og eregne lengden v denne stroiden. ClssPd 300 viser t lengden v denne stroiden er 6. Sirkelen En sirkel med rdius 1 er gitt ved prmeterlikningen x() t = cost, yt () = sint. Vi regner ut omkretsen til denne sirkelen. Se figuren på neste side. 110

23 Klkulus Svret vi får på ClssPd 300 ør være velkjent. Utforskninger 1. Finn omkretsen til en ellipse gitt ved prmeterlikningen x() t = cost og yt () = sint.. Omkretsen L til en ellipse gitt ved prmeterlikningen x() t = cost, yt () = sint, [ 0, π ] t kn uttrykkes ved Vi hr t e = π L = 4 1 e cos t 0 dt der e er eksentrisiteten. Bruk ClssPd 300 til å verifisere det såklte elliptiske integrlet ovenfor. Det estemte integrlet ør være opplgt for e =1. Hvilken form hr ellipsen d? 3. Utforsk den såklte tricuspoiden gitt ved prmeterlikningen x = (cost+ cos t ) og y = (sint sin t) Figuren til venstre viser en tricuspoide tegnet på ClssPd

24 Klkulus Tylorpolynom Polynomene er på mnge måter en tkknemmelig gruppe funksjoner å reide med ikke minst ved nummeriske eregninger. Vi kn nemlig estemme funksjonsverdien til et polynom ved et endelig ntll ddisjoner og multipliksjoner. I tillegg får vi et nytt polynom når vi deriverer eller integrerer en polynomfunksjon. På grunn v hendigheten til polynomer ersttter vi ofte i et intervll en funksjon med et polynom som er tilnærmet lik funksjonen i intervllet. Vi sier t vi pproksimerer funksjonen med et polynom. Dette kn gjøres på mnge måter. Vi vil her se nærmere på såklte Tylorpolynom. Definisjon: L f være en funksjon med derivert v grd k der k = 1,,3,..., N i et intervll som inneholder punktet. For lle hele tll n fr 0 til N, er Tylorpolynomet for f med grd n i punktet gitt ved ( k) ( n) f ( ) f ( ) k f ( ) Pn ( x) = f( ) + f ( )( x ) + ( x ) ( x ) ( x )! k! n! Som et eksempel vil vi finne Tylorpolynomet med grd som pproksimerer f ( x) = 1 x nær x = 0. 1 Polynomet er ifølge definisjonen ovenfor gitt ved f (0) + f (0) x+ f (0) x Så regner vi ut koeffisientene i tur og orden. Vi må huske å ruke kjerneregelen under derivsjonen. Vi får f (0) = f ( x) = ( 1) (1 x) f (0) = n f ( x) = ( 1) (1 x) f (0) = 4 D er vi i mål. Tylorpolynomet med grd nær 1 1 x = 0 for funksjonen 1 x er ltså 1 x x 8 Er dette en god pproksimsjon nær x = 0? Vi emerker t kvdrtroten i dette tilfellet ikke er definert for x-verdier større enn x = 1. Resulttet vi kom frm til lir ekreftet på ClssPd 300. Se figuren på neste side. 11

25 Klkulus x L oss fortsette med å finne Tylorpolynom for funksjonen f gitt ved f ( x) = e i = 0 med grdene n =, n = 3 nd n = 5. Videre tegner vi lle grfene på lommeregneren. Se figuren nedenfor. Vi legger merke til t tilnærmingen er spesiell god i nærheten v 0 x =. 113

26 Klkulus Hv vil skje dersom vi øker grden? Til slutt vil vi ved hjelp v lommeregneren finne Tylorpolynom med grd for funksjonen f gitt ved f( x) = cosx i punktet = 0. Opersjonen er støttet grfisk på ClssPd 300. Se figuren nedenfor. n = 8 og n = 16 Undersøk på ClssPd 300 om Tylorpolynomene med grd n og n+1 er identiske. Tylor og Mclurin rekker Definisjon: L f være en kontinuerlig funksjon med derivert v lle grder i et intervll som inneholder punktet. Tylorrekken for funksjonen f i punkt er d gitt ved ( k ) f ( ) ( x ) k. k! k = 0 Mclurinrekken er et spesiltilfelle v Tylorrekken. I Mclurinrekken for funksjonen f er = 0. Derfor får vi ( k ) f (0) k x. k! k = 0 Eksempel Vi verifiserer på ClssPd 300 t Mclurinrekken for f( x) = ln( x+ 1) kn uttrykkes som n n x ln( x+ 1) = ( ( 1) ), 1 < x 1. Bruk grfppliksjonen på ClssPd 300 til å støtte n= 1 n opp under resulttet i Min. 114

27 Klkulus Utforskninger 1. Bruk ClssPd 300 til å vgjøre om hvorvidt vi kn kvdrere Tylorpolynomet for sin x for å oppnå polynomet for sin x. Hvilken konklusjon vil du trekke på kgrunn v resulttet på skjermildet ovenfor?. Vis på ClssPd 300 t vi kn få Mclurinrekken for 1 + sin( x ) 3 Mclurinrekken for sin( x) og deretter å dividere med 3. ved å ddere 1 til Forsøk ndre eksempler selv. Eulers formel Mclurinrekken for e x og ruk v ndre relsjoner, leder til følgende definisjon: 115

28 Klkulus For et vilkårlig reelt tllθ definerer vi iθ e = cosθ + i sinθ Hvordn er det mulig å underygge Eulers formel på ClssPd 300? En forløffende konsekvens v Eulers formel er likheten e iπ = 1. Denne likheten er verifisert på figuren nedenfor. Utforskning sin x cos x tn x Finn Mclurinrekkene for henholdsvis f ( x) = e, gx ( ) = e og hx ( ) = e. Underygg resulttene grfisk på ClssPd 300. Funksjoner med to vriler Når en størrelse er estemt v to eller flere ndre størrelser, sier vi t størrelsen er en funksjon v to eller flere frie vriler. Svært ofte får vi å gjøre med funksjoner v to frie vriler. En funksjon z = f ( x, y) eller zxy (, ) med to frie vriler og en vhengig vriel, tilordner på 116

29 Klkulus en entydig måte til hvert tllpr ( x, y ) med (reelle) tll fr en mengde D v tllpr i det todimensjonle plnet, et tll z = f ( x, y). Det todimensjonle plnet som estår v lle reelle tllpr ( x, y ), lir ofte skrevet Vi presiserer t x nd y er uvhengige (frie) vriler, mens z ltså er den vhengige vriel. Grfen til f er overflten i det 3-dimensjonle rommet som estår v lle punkter ( x, y, f ( x, y)) der ( x, y ) finnes i D. R. Det kuiske polynomet 3 z f( x, y) x 3x y = = er definert i hele plnet. Grfen (flten) er vist på ClssPd 300 på figuren til venstre. Den vertikle ksen er z-ksen. Det horisontle plnet er utspent v x-ksen og y-ksen. Funksjonsverdien er ltså vstnden mellom grfen (flten) og xy-plnet. Lysere grå frge illustrerer høyere funksjonsverdier på ClssPd 300 i 3D-mode. Vi emerker t f (0,0) = 0. Det etyr t origo (0,0,0) efinner seg på grfen. Hv mer forteller ClssPd 300 om origo i dette tilfellet? Den spesielle fltetypen som er vist her, klles en sdelflte. Grfen (flten) hr et sdelpunkt i ( xy=, ) (,0) hvor z 3 = f( x, y) = 3 0= 4. Kontroller dette på ClssPd 300. L oss nå tegne grfen til funksjonen f ( xy, ) = 1+ x+ y Men først spekulerer vi litt på hvordn denne grfen vil se ut. D må vi nlysere funksjonsuttrykket. Grfen inneholder ltså lle punkt (x, y, z) som tilfredsstiller t z x y = Først konsentrerer vi oss om lle punkt som ligger i plnet x = 0. Funksjonsuttrykket kn d skrives som z = 1+ y. Dette er en prel.. I plnet z = c får vi c= 1+ x + y, i.e. x y c + = 1, som ltså er en sirkel. Ved å kominere disse to resulttene ør vi få en god ide om hvordn den tredimensjonle grfen ser ut. På figuren nedenfor ser vi hvordn resulttet frmstår på ClssPd

30 Klkulus Til slutt i dette vsnittet tegner vi grfen til funksjonen f gitt ved f ( xy, ) cos x y = +. Skriv z = cos x + y som z = cos r der r = x + y representerer vstnden mellom (x, y, z) og z-ksen. Flten frmkommer ved t kurven z = cos y i yz-plnet roterer rundt z-ksen. Se skjermildet til ClssPd 300 på figuren til venstre. 118

Integralregning. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne

Integralregning. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne 8 Integrlregning Mål for opplæringen er t eleven skl kunne gjøre rede for definisjonen v estemt integrl som grense for en sum og uestemt integrl som ntiderivert eregne integrler v de sentrle funksjonene

Detaljer

1 Mandag 1. mars 2010

1 Mandag 1. mars 2010 Mndg. mrs Fundmentlteoremet sier t integrsjon og derivsjon er motstte opersjoner. Vi hr de siste ukene sett hvordn vi på ulike måter kn derivere funksjoner i flere vrible. Nå er turen kommet til den motstte

Detaljer

M2, vår 2008 Funksjonslære Integrasjon

M2, vår 2008 Funksjonslære Integrasjon M, vår 008 Funksjonslære Integrsjon Avdeling for lærerutdnning, Høgskolen i Vestfold. pril 009 1 Arelet under en grf Vi begynner vår diskusjon v integrsjon, på smme måte som vi begynte med derivsjon, ved

Detaljer

R2 - Heldagsprøve våren 2013

R2 - Heldagsprøve våren 2013 Løsningsskisser HD R R - Heldgsprøve våren 0 Løsningsskisser Viktigste oppsummeringer: Må skrive med penn på eksmen! Slurv og regnefeil, både med tll og bokstver, er hovedproblemet. Beste måten å fikse

Detaljer

S1 kapittel 6 Derivasjon Løsninger til oppgavene i boka

S1 kapittel 6 Derivasjon Løsninger til oppgavene i boka S kpittel 6 Derivsjon Løsninger til oppgvene i ok 6. c y x y x = = = = y x 4 5 9 4 y 5 6 x 4 = = = = y x y x = = = = 7 ( 5) 6 ( ) 8 6. f( x ) f( x ) 5 7 x x ( ) 4 = = = = 6. T( x) = 0,x +,0 T T = + = (0)

Detaljer

Sammendrag kapittel 1 - Aritmetikk og algebra

Sammendrag kapittel 1 - Aritmetikk og algebra Smmendrg kpittel 1 - Aritmetikk og lgebr Regneregler for brøker Utvide brøk: Gng med smme tll i teller og nevner. b = k b k Forkorte brøk: del med smme tll i teller og nevner. b = : k b : k Summere brøker:

Detaljer

Integrasjon Skoleprosjekt MAT4010

Integrasjon Skoleprosjekt MAT4010 Integrsjon Skoleprosjekt MAT4010 Tiin K. Kristinslund, Julin F. Rossnes og Torstein Hermnsen 19. mrs 2014 1 Innhold 1 Innledning 3 2 Integrsjon 3 3 Anlysens fundmentlteorem 7 4 Refernser 10 2 1 Innledning

Detaljer

a 2πf(x) 1 + (f (x)) 2 dx.

a 2πf(x) 1 + (f (x)) 2 dx. MA 4: Anlyse Uke 44, http://home.hi.no/ svldl/m4 H Høgskolen i Agder Avdeling for relfg Institutt for mtemtiske fg Om lengde v kurver. Noen få formler der integrsjon brukes for å beregne lengder, reler

Detaljer

Matematikk 1000. Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 8 Numerisk integrasjon

Matematikk 1000. Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 8 Numerisk integrasjon Mtemtikk 1000 Øvingsoppgver i numerikk leksjon 8 Numerisk integrsjon Som kjent kn vi regne ut (bestemte) integrler ved nti-derivsjon. Dette resulttet er et v de viktikgste innen klkulus; det heter tross

Detaljer

1 Geometri KATEGORI 1. 1.1 Vinkelsummen i mangekanter. 1.2 Vinkler i formlike figurer

1 Geometri KATEGORI 1. 1.1 Vinkelsummen i mangekanter. 1.2 Vinkler i formlike figurer Oppgver 1 Geometri KTGORI 1 1.1 Vinkelsummen i mngeknter Oppgve 1.110 ) I en treknt er to v vinklene 65 og 5. Finn den tredje vinkelen. b) I en firknt er tre v vinklene 0, 50 og 150. Finn den fjerde vinkelen.

Detaljer

... JULEPRØVE 9. trinn...

... JULEPRØVE 9. trinn... .... JULEPRØVE 9. trinn.... Nvn: Gruppe: DELPRØVE 1 uten hjelpemidler ( 37 poeng) På denne delprøven kn du re ruke skrivesker, psser og linjl. Alle oppgvene i del 1 skl føres rett på rket. I noen oppgver

Detaljer

Forkunnskaper i matematikk for fysikkstudenter. Trigonometri. Omregning mellom grader og radianer skjer etter formelen nedenfor:

Forkunnskaper i matematikk for fysikkstudenter. Trigonometri. Omregning mellom grader og radianer skjer etter formelen nedenfor: Forkunnskper i mtemtikk for fysikkstudenter.. Vinkelmål. Vinkler måles trdisjonelt i grder. Utgngspunktet er d t en hel sirkel deles i 6 like store deler, der her del klles en grd. En grd kn deles inn

Detaljer

E K S A M E N. Matematikk 3MX. Elevar/Elever Privatistar/Privatister. AA6524/AA6526 8. desember 2004 UTDANNINGSDIREKTORATET

E K S A M E N. Matematikk 3MX. Elevar/Elever Privatistar/Privatister. AA6524/AA6526 8. desember 2004 UTDANNINGSDIREKTORATET E K S A M E N UTDANNINGSDIREKTORATET Mtemtikk 3MX Elevr/Elever Privtistr/Privtister AA654/AA656 8. desember 004 Vidregånde kurs II / Videregående kurs II Studieretning for llmenne, økonomiske og dministrtive

Detaljer

Litt av matematikken bak solur

Litt av matematikken bak solur Anne Bruvold Revidert mrs 005 Bkgrunn Min interesse for solur le vekket d jeg i 000 skulle holde et lite foredrg om kjeglesnitt og under foreredelsen v dette kom over rtikler som kolet kjeglesnitt med

Detaljer

Kapittel 4 Tall og algebra Mer øving

Kapittel 4 Tall og algebra Mer øving Kpittel 4 Tll og lger Mer øving Oppgve 1 d Oppgve 2 Se på uttrykket A = g h. Hv forteller de ulike okstvene? Se på uttrykket A = 2π. Hv står de ulike symolene for? Forklr hv vi mener med en vriel og en

Detaljer

1 Mandag 18. januar 2010

1 Mandag 18. januar 2010 Mndg 8. jnur 2 I denne første forelesningen skl vi friske opp litt rundt funksjoner i en vribel, se på hvordn de vokser/vtr, studere kritiske punkter og beskrive krumning og vendepunkter. Vi får ikke direkte

Detaljer

Integrasjon av trigonometriske funksjoner

Integrasjon av trigonometriske funksjoner Integrsjon v trigonometriske funksjoner øistein Søvik 3. november 15 I dette dokumentet skl jeg vise litt ulike integrsjonsteknikker og metoder for å utforske integrlene v (cos x) og (sin x). De bestemte

Detaljer

Fag: Matematikk 1T-Y for yrkesfag for elever og privatisterr. Eksamensdato: 16. januar 2012

Fag: Matematikk 1T-Y for yrkesfag for elever og privatisterr. Eksamensdato: 16. januar 2012 Loklt gittt eksmen Eksmen Fg: Mtemtikk 1T-Y for yrkesfg for elever og privtisterr Fgkode: MAT1006 Eksmensdto: 16. jnur 2012 Antll sider i oppgven: 7 inklusiv forside og opplysningsside Del 1: oppgve 1-5

Detaljer

EKSAMEN. ANTALL SIDER UTLEVERT: 7 (innkl. forside og 2 sider formelark)

EKSAMEN. ANTALL SIDER UTLEVERT: 7 (innkl. forside og 2 sider formelark) KANDIDATNUMMER: EKSAMEN FAGNAVN: Mtemtikk FAGNUMMER: REA EKSAMENSDATO: 5. desember 6 KLASSE:. klssene, ingenørutdnning. TID: kl. 9... FAGLÆRER: Hns Petter Hornæs ANTALL SIDER UTLEVERT: 7 (innkl. forside

Detaljer

... JULEPRØVE

... JULEPRØVE Ashehoug JULEPRØVE 2014 9. trinn.... JULEPRØVE 2014.... Nvn: Gruppe: DELPRØVE 1 uten hjelpemidler ( 37 poeng) På denne delprøven kn du re ruke skrivesker, psser og linjl. Alle oppgvene i del 1 skl føres

Detaljer

Integrasjon del 2. October 15, Department of Mathematical Sciences, NTNU, Norway. Integrasjon

Integrasjon del 2. October 15, Department of Mathematical Sciences, NTNU, Norway. Integrasjon Integrsjon del Deprtment of Mthemticl Sciences, NTNU, Norwy Octoer 5, 4 Integrsjon Sustitusjon for estemte integrler Husk kjærneregel d dt f (g(t)) = f (g(t)) g (t) ved fundmentlteoremet (del ) vi får

Detaljer

1T kapittel 3 Funksjoner Løsninger til oppgavene i læreboka

1T kapittel 3 Funksjoner Løsninger til oppgavene i læreboka 1T kpittel 3 Funksjoner Løsninger til oppgvene i læreok Oppgve 3.1 Origo er skjæringspunktet mellom førsteksen og ndreksen. Koordintene til origo er ltså (0, 0). Førstekoordinten til punktet A er 15, og

Detaljer

Fag: Matematikk 1T-Y for elever og privatister. Antall sider i oppgaven: 8 inklusiv forside og opplysningsside

Fag: Matematikk 1T-Y for elever og privatister. Antall sider i oppgaven: 8 inklusiv forside og opplysningsside Loklt gitt eksmen 2012 Eksmen Fg: Mtemtikk 1T-Y for elever og privtister Fgkode: MAT1006 Eksmensdto: 25. mi Antll sider i oppgven: 8 inklusiv forside og opplysningsside Eksmenstid: Hjelpemidler under eksmen:

Detaljer

1T kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka

1T kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka T kpittel 8 Eksmenstrening Løsninger til oppgvene i lærebok Uten hjelpemidler E b c E b c Vi gnger vnlige tll med vnlige tll og tierpotenser med tierpotenser. Til slutt omformer vi svret så vi får et tll

Detaljer

Litt av matematikken bak solur

Litt av matematikken bak solur Anne Bruvold Revidert oktoer 003 Bkgrunn Min interesse for solur le vekket d jeg i 000 skulle holde et lite foredrg om kjeglesnitt og under foreredelsen v dette kom over rtikler som kolet kjeglesnitt med

Detaljer

DEL 1 Uten hjelpemidler

DEL 1 Uten hjelpemidler Eksmen høsten 013 Løsninger Eksmen høsten 013 Løsninger DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med centimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 150 sider Vi finner først hvor mnge

Detaljer

2 Symboler i matematikken

2 Symboler i matematikken 2 Symoler i mtemtikken 2.1 Symoler som står for tll og størrelser Nvn i geometri Nvn i mtemtikken enyttes på lignende måte som nvn på yer og personer, de refererer eller representerer et tll eller en størrelse,

Detaljer

Mer øving til kapittel 2

Mer øving til kapittel 2 Mer øving til kpittel 2 KAPITTEL 2 GEOMETRI OG MÅLING Oppgve 1 Oppgve 2 Oppgve 3 Anne hr vært på ferie til sine esteforeldre fr 28. juni til 9. ugust. Hvor mnge dger hr hun vært på ferie? Fr hun kom hjem

Detaljer

Tom Lindstrøm. Tilleggskapitler til. Kalkulus. 3. utgave. Universitetsforlaget,

Tom Lindstrøm. Tilleggskapitler til. Kalkulus. 3. utgave. Universitetsforlaget, Tom Lindstrøm Tilleggskpitler til Klkulus 3. utgve Universitetsforlget, Oslo 3. utgve Universitetsforlget AS 2006 1. utgve 1995 2. utgve 1996 ISBN-13: 978-82-15-00977-3 ISBN-10: 82-15-00977-8 Mterilet

Detaljer

dy ycos 2 y = dx. Ved å integrere på begge sider av likhetstegnet får man ved å substituere u = y,du = dy dy ycos 2 y = 2du cos 2 u = x.

dy ycos 2 y = dx. Ved å integrere på begge sider av likhetstegnet får man ved å substituere u = y,du = dy dy ycos 2 y = 2du cos 2 u = x. NTNU Institutt for mtemtiske fg TMA Mtemtikk høsten 2 Løsningsforslg - Øving 7 Avsnitt 6.5 ) En hr t y = e, så 2y +y = 2e +e = e. b) En hr t y = e 2 e (/2), så 2y +y = 2e e (/2) +e +e (/2) = e. c) En hr

Detaljer

Faktorisering. 1 Hva er faktorisering? 2 Hvorfor skal vi faktorisere? Per G. Østerlie Senter for IKT i utdanningen 11.

Faktorisering. 1 Hva er faktorisering? 2 Hvorfor skal vi faktorisere? Per G. Østerlie Senter for IKT i utdanningen 11. Fktorisering Per G. Østerlie Senter for IKT i utdnningen per@osterlie.no 11. mi 013 1 Hv er fktorisering? Vi må se på veret å fktorisere. Hv er det vi skl gjøre når vi fktoriserer? Svret er: å lge fktorer.

Detaljer

Numerisk derivasjon og integrasjon utledning av feilestimater

Numerisk derivasjon og integrasjon utledning av feilestimater Numerisk derivsjon og integrsjon utledning v feilestimter Knut Mørken 6 oktober 007 1 Innledning På forelesningen /10 brukte vi litt tid på å repetere inhomogene differensligninger og rkk dermed ikke gjennomgå

Detaljer

Del 2. Alle oppgaver føres inn på eget ark. Vis tydelig hvordan du har kommet frem til svaret. Oppgave 2

Del 2. Alle oppgaver føres inn på eget ark. Vis tydelig hvordan du har kommet frem til svaret. Oppgave 2 Del 2 Alle oppgver føres inn på eget rk. Vis tydelig hvordn du hr kommet frem til svret. Oppgve 1 Figuren viser sidefltene til et prisme. Grunnflten og toppflten mngler. ) Hvilken form må grunn- og toppflten

Detaljer

3.7 Pythagoras på mange måter

3.7 Pythagoras på mange måter Oppgve 3.18 Vis t det er mulig å multiplisere og dividere linjestykker som vist i figur 3.. Bruk formlikhet. 3.7 Pythgors på mnge måter Grekeren Pythgors le født på Smos 569 og døde. år 500 f. Kr. Setningen

Detaljer

YF kapittel 8 Rom Løsninger til oppgavene i læreboka

YF kapittel 8 Rom Løsninger til oppgavene i læreboka YF kpittel 8 Rom Løsninger til oppgvene i læreok Oppgve 809 Vi skl gå ett hkk mot venstre, og deler derfor med 10. 40 dl = (40 :10) L = 4 L Vi skl gå to hkk mot venstre, og deler derfor med 10 10 = 100.

Detaljer

Mer øving til kapittel 3

Mer øving til kapittel 3 Mer øving til kpittel 3 KAPITTEL 3 FUNKSJONER Oppgve 1 Tegn et koordintsystem og merk v punktene (1, 5) d (3, 2) ( 2, 3) e ( 3, 5) (4, 0) f (0, 4) Oppgve 2 Hvilke koordintpr hr de ulike punktene i koordintsystemet?

Detaljer

Løsningsforslag til Eksamen i fag MA1103 Flerdimensjonal analyse

Løsningsforslag til Eksamen i fag MA1103 Flerdimensjonal analyse Norges teknisk nturvitenskpelige universitet Institutt for mtemtiske fg Side 1 v 5 Løsningsforslg til Eksmen i fg MA113 Flerdimensjonl nlyse 2.5.6 Oppgve 1 Vi hr f(x, y) = (4 x 2 y 2 )e x+y. ) Kritiske

Detaljer

MAT 100a - LAB 4. Før vi gjør dette, skal vi for ordens skyld gjennomgå Maple-kommandoene for integrasjon (cf. GswM kap. 12).

MAT 100a - LAB 4. Før vi gjør dette, skal vi for ordens skyld gjennomgå Maple-kommandoene for integrasjon (cf. GswM kap. 12). MAT 00 - LAB 4 Denne øvelsen er i hovedsk viet til integrsjon. For mnge er integrsjon i prksis det smme som ntiderivsjon, og noe som kn rukes til å eregne relet v enkelte områder i plnet som lr seg egrense

Detaljer

Juleprøve trinn Del 1. Navn: Del 1 Aschehoug JULEPRØVE trinn. Informasjon for del 1

Juleprøve trinn Del 1. Navn: Del 1 Aschehoug JULEPRØVE trinn. Informasjon for del 1 Juleprøve 2015 10. Del 1 Nvn: Informsjon for del 1 Prøvetid Hjelpemidler i del 1 Andre opplysninger Frmgngsmåte og forklring 5 timer totlt Del 1 og del 2 lir delt ut smtidig. Del 1 skl leveres inn seinest

Detaljer

R2 2010/11 - Kapittel 4: 30. november 2011 16. januar 2012

R2 2010/11 - Kapittel 4: 30. november 2011 16. januar 2012 R 00/ - Kpittel 4: 0. noemer 0 6. jnr 0 Pln for skoleåret 0/0: Kpittel 5: 6/ 6/. Kpittel 6: 6/ /. Kpittel 7: / /4. Prøer på eller skoletime etter hert kpittel. Én heildgsprøe i her termin. En del prøer

Detaljer

YF kapittel 10 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka

YF kapittel 10 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka YF kpittel 10 Eksmenstrening Løsninger til oppgvene i læreok Uten hjelpemidler Oppgve E1 5 + 5 + 6 11 5 + 4 (5 + ) 5 + 4 7 10 6 + 8 d + ( + 1) 5 + 4 5 + 16 5 + 10 5 4 + 4 4 + 8 1 + + + + + + + + 49 49

Detaljer

Formelsamling i matematikk

Formelsamling i matematikk Formelsmling i mtemtikk Alger Aritmetiske opersjoner ( + c) = + c + c Potensregler Polynom = + c + c d + c = d c c d = d c = d c x y = x+y x = x / x y = x y n x = x /n 0 = x n = x n ( x ) y = xy () x =

Detaljer

R1 kapittel 8 Eksamenstrening

R1 kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgvene i ok R kpittel 8 Eksmenstrening Løsninger til oppgvene i ok Uten hjelpemidler Oppgve E Hvis er et nullpunkt for De mulige nullpunktene for P, er konstntleddet 8 delelig med. P er

Detaljer

S1 kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka

S1 kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka S1 kpittel 8 Eksmenstrening Løsninger til oppgvene i læreok E1 995 995 5 + 5 (995 5) (995 + 5) + 5 990 1000 + 5 990 000 + 5 990 05 E E (61+ 9) 51 49) (51+ 49) 61 9 (61 9) 51 49 ( 100 100 11 1997 00 199

Detaljer

2x 3 4/x dx. 2 5 x 3 + LF: Vi utfører polynomdivisjon. 2x + 1 dx = + C = 5x8/ ln 2x C 4. πx 2 e 3x3 dx = π

2x 3 4/x dx. 2 5 x 3 + LF: Vi utfører polynomdivisjon. 2x + 1 dx = + C = 5x8/ ln 2x C 4. πx 2 e 3x3 dx = π Innlevering ELFE KJFE MAFE Mtemtikk HIOA Obligtorisk innlevering 5 Innleveringsfrist Mndg 6. oktober 5 før forelesningen : Antll oppgver: Løsningsforslg Finn de ubestemte integrlene ) x 4/x dx LF: x 4/x

Detaljer

9 Potenser. Logaritmer

9 Potenser. Logaritmer 9 Potenser. Logritmer Foret utregingene nedenfor: 5 5 c 6 7 d e 5 f g h i Regn ut og gjør svrene så enkle som mulige: c y y d e f g h i j y y + y + y + + y Prisen på en motorsg vr kr 56 i 99. Vi regner

Detaljer

OPPLÆRINGSREGION NORD. Skriftlig eksamen. MAT1001 Matematikk 1P-Y HØSTEN 2011. Privatister. Yrkesfag. Alle yrkesfaglige utdanningsprogrammer

OPPLÆRINGSREGION NORD. Skriftlig eksamen. MAT1001 Matematikk 1P-Y HØSTEN 2011. Privatister. Yrkesfag. Alle yrkesfaglige utdanningsprogrammer OPPLÆRINGSREGION NORD LK06 Finnmrk fylkeskommune Troms fylkeskommune Nordlnd fylkeskommune Nord-Trøndelg fylkeskommune Sør-Trøndelg fylkeskommune Møre og Romsdl fylke Skriftlig eksmen MAT1001 Mtemtikk

Detaljer

1P kapittel 3 Funksjoner

1P kapittel 3 Funksjoner Løsninger til oppgvene i ok 1P kpittel 3 Funksjoner Løsninger til oppgvene i ok 3.1 Origo hr koordintene (0, 0). Vi finner koordintene til punktene ved å lese v punktets verdi på x-ksen og y-ksen. A =

Detaljer

1 Mandag 8. mars 2010

1 Mandag 8. mars 2010 1 Mndg 8. mrs 21 Vi hr tidligere integrert funksjoner lngs x-ksen, og vi hr integrert funksjoner i flere vrible over begrensede områder i xy-plnet. I denne forelesningen skl vi integrere funksjoner lngs

Detaljer

1 Tallregning og algebra

1 Tallregning og algebra Tllregning og lger ØV MER. REGNEREKKEFØLGE Oppgve.0 6 d) ( : 6) Oppgve. ( ) ( ) ()() ( ) ( ) ( ) () (6 ) () d) ( ) 7() ( ) Oppgve. 6 ( ) d) Oppgve. Med ett ddisjonstegn, ett sutrksjonstegn, ett multipliksjonstegn

Detaljer

Høgskolen i Bergen. Formelsamling. for. ingeniørutdanningen. FOA150 høsten 2006 fellespensum. 3.utgave

Høgskolen i Bergen. Formelsamling. for. ingeniørutdanningen. FOA150 høsten 2006 fellespensum. 3.utgave Høgskolen i Bergen Formelsmling for ingeniørutdnningen FOA5 høsten 6 fellespensum. 3.utgve Funksjoner. Elementære regneregler og funksjoner: y = y, ( ) =, y y =,, =, = ) = ) = = log = ln ln c) ln y = y

Detaljer

Matematikk Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 9 Numerisk integrasjon

Matematikk Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 9 Numerisk integrasjon Mtemtikk 1000 Øvingsoppgver i numerikk leksjon 9 Numerisk integrsjon Forståelsen v integrlet som et rel ligger til grunn når vi skl beregne integrler numerisk. Litt mer presist: Når f(x) 0 for lle x i

Detaljer

75045 Dynamiske systemer 3. juni 1997 Løsningsforslag

75045 Dynamiske systemer 3. juni 1997 Løsningsforslag 75045 Dynmiske systemer 3. juni 1997 Løsningsforslg Oppgve 1 ẋ = 0 gir y = ±x, og dette innstt i ẏ = 0 gir 1 ± x = 0. Vi må velge minustegnet, og får x = y = ±1/. Vi deriverer: [ ] x y ( 1 Df(x, y) = ;

Detaljer

R1 kapittel 1 Algebra

R1 kapittel 1 Algebra Løsninger til oppgvene i ok R1 kpittel 1 Alger Løsninger til oppgvene i ok Oppgve 1.1 1 8 4 ( ) 15 5 (4 ) 7 1 7 ( ) d ( )( ) ( 4)( ) ( ) ( 4) ( )( 1) Oppgve 1. 49 7 ( 7)( 7) 5 5 5 5 1y 75 (4y 5) ( y) 5

Detaljer

5: Algebra. Oppgaver Innhold Dato

5: Algebra. Oppgaver Innhold Dato 5: Alger Pln resten v året: - Kpittel 6: Ferur - Kpittel 7: Ferur/mrs - Kpittel 8: Mrs - Repetisjon: April/mi - Eventuell offentlig eksmen: Mi - Økter, prøver, prosjekter: Mi - juni For mnge er egrepet

Detaljer

Ma1101. Part I. 1 Grunnleggende. 1.1 Noen symboler. 1.2 Tallene. 1.3 Noen algebraiske lover

Ma1101. Part I. 1 Grunnleggende. 1.1 Noen symboler. 1.2 Tallene. 1.3 Noen algebraiske lover Prt I M1101 1 Grunnleggende 1.1 Noen symboler Union A B i A og/eller B Snitt A B i både A og B Element i B er et element i B Undersett A B A er et undersett v B Skikkelig undersett A B A er et undersett

Detaljer

9.6 Tilnærminger til deriverte og integraler

9.6 Tilnærminger til deriverte og integraler 96 TILNÆRMINGER TIL DERIVERTE OG INTEGRALER 169 Figur 915 Bezier-kurve med kontrollpolygon som representerer bokstven S i Postscript-fonten Times-Romn De ulike Bezier-segmentene ser du mellom kontrollpunktene

Detaljer

1 k 2 + 1, k= 5. i=1. i = k + 6 eller k = i 6. m+6. (i 6) i=1

1 k 2 + 1, k= 5. i=1. i = k + 6 eller k = i 6. m+6. (i 6) i=1 TMA4 Høst 6 Norges teknisk nturvitenskpelige universitet Institutt for mtemtiske fg Løsningsforslg Øving 5 5..6 Vi er gitt summen og ønsker å skrive den på formen m k=5 k +, f(i). i= Strtpunktene er henholdsvis

Detaljer

EKSAMEN. 1. klassene, ingenørutdanning og Flexing. ANTALL SIDER UTLEVERT: 5 (innkl. forside og 2 sider formelark)

EKSAMEN. 1. klassene, ingenørutdanning og Flexing. ANTALL SIDER UTLEVERT: 5 (innkl. forside og 2 sider formelark) KANDIDATNUMMER: EKSAMEN EMNENAVN: Mtemtikk EMNENUMMER: REA4 EKSAMENSDATO:. desember 9 KLASSE:. klssene, ingenørutdnning og Flexing. TID: kl. 9. 3.. FAGANSVARLIG: Hns Petter Hornæs ANTALL SIDER UTLEVERT:

Detaljer

Oppfriskningskurs i matematikk 2007

Oppfriskningskurs i matematikk 2007 Oppfriskningskurs i mtemtikk 2007 Mrte Pernille Htlo Institutt for mtemtiske fg, NTNU 6.-11. ugust 2007 Velkommen! 2 Temer Algebr Trigonometri Funksjoner og derivsjon Integrsjon Eksponensil- og logritmefunksjoner

Detaljer

S1 kapittel 4 Logaritmer Løsninger til oppgavene i boka

S1 kapittel 4 Logaritmer Løsninger til oppgavene i boka Løsninger til oppgvene i ok S kpittel 4 Logritmer Løsninger til oppgvene i ok 4. Vi leser v fr tllet 4 på y-ksen og ser t vi får den tilhørende verdien,6 på -ksen. lg 4,6 Vi leser v fr tllet,5 på y-ksen

Detaljer

Brøkregning og likninger med teskje

Brøkregning og likninger med teskje Brøkregning og likninger med teskje Dette heftet gir en uformell trinn for trinn gjennomgng v grunnleggende regler for brøkregning og likninger. Dette er sto som vi i FYS 000 egentlig forventer t dere

Detaljer

TFY4104 Fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Høsten Løsningsforslag til øving 8. a = e m E

TFY4104 Fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Høsten Løsningsforslag til øving 8. a = e m E TFY414 Fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Høsten 16. Løsningsforslg til øving 8. Oppgve 1. ) C F = E = m Newtons. lov. Her er = e, så elektronets kselersjon blir = e m E ltså mot venstre. b) C Totlt elektrisk

Detaljer

Øving 4: Coulombs lov. Elektrisk felt. Magnetfelt.

Øving 4: Coulombs lov. Elektrisk felt. Magnetfelt. Lørdgsverksted i fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Høsten 007. Veiledning: 9. september kl 1:15 15:00. Øving 4: oulombs lov. Elektrisk felt. Mgnetfelt. Oppgve 1 (Flervlgsoppgver) ) Et proton med hstighet

Detaljer

Praktiske opplysninger til rektor. Fag: MATEMATIKK 1TY for yrkesfag Fagkode: MAT1006 Eksamensdato: Antall forberedelsesdager: Ingen

Praktiske opplysninger til rektor. Fag: MATEMATIKK 1TY for yrkesfag Fagkode: MAT1006 Eksamensdato: Antall forberedelsesdager: Ingen Loklt gitt eksmen 2013 Prktiske opplysninger til rektor Fg: MATEMATIKK 1TY for yrkesfg Fgkode: MAT1006 Eksmensdto: 30.5.2013 Antll foreredelsesdger: Ingen Forhold som skolen må være oppmerksom på: Eksmenen

Detaljer

Vår 2004 Ordinær eksamen

Vår 2004 Ordinær eksamen år Ordinær eksmen. En bil kjører med en hstighet på 9 km/h lngs en rett strekning. Sjåføren tråkker plutselig på bremsene, men gjør dette med økende krft slik t (den negtive) kselersjonen (retrdsjonen)

Detaljer

Forkurs i matematikk. Kompendium av Amir Hashemi, UiB. Notater, eksempler og oppgaver med fasit/løsningsforslag 1

Forkurs i matematikk. Kompendium av Amir Hashemi, UiB. Notater, eksempler og oppgaver med fasit/løsningsforslag 1 Forkurs i mtemtikk Kompendium v Amir Hshemi, UiB. Notter, eksempler og oppgver med fsit/løsningsforslg Mtemtisk Institutt UiB Innhold Sist oppdtert 07. juni 0 i Forord... Kpittel 0 Test deg selv... Oppgver

Detaljer

... ÅRSPRØVE 2014...

... ÅRSPRØVE 2014... Delprøve 1 Ashehoug ÅRSPRØVE 014 9. trinn.... ÅRSPRØVE 014... Nvn: Gruppe: DELPRØVE 1 uten hjelpemiler (39 poeng) Alle oppgvene i el 1 skl føres rett på rket. I noen oppgver er et en regnerute. Her skl

Detaljer

Kapittel 4.7. Newtons metode. Kapittel 4.8.

Kapittel 4.7. Newtons metode. Kapittel 4.8. Ekskt løsning Newtons metode - Integrsjon Forelesning i Mtemtikk TMA00 Hns Jko Rivertz Institutt for mtemtiske fg 0. septemer 0 Kpittel.7. Newtons metode Den ekskte løsningen v x x = 0er ikke særlig rukelig

Detaljer

FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I, løsning øving 10 1 LØSNING ØVING 10

FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I, løsning øving 10 1 LØSNING ØVING 10 FY45/TFY45 Kvntemeknikk I, løsning øving LØSNING ØVING Løsning oppgve Spinn. D åde χ + og χ i likhet med lle ndre spinorer er egentilstnder til enhetsmtrisen med egenverdi lik, hr vi Videre finner vi t

Detaljer

MAT 1110: Løsningsforslag til obligatorisk oppgave 2, V-06

MAT 1110: Løsningsforslag til obligatorisk oppgave 2, V-06 MAT : Løsningsforslg til obligtorisk oppgve, V-6 Oppgve : ) Hvis = (,,...) og = (,,...) er to vektorer, vil kommndoen >> plot(,) tegne rette forbindelseslinjer mellom punktene (, ), (, ) osv. For å plotte

Detaljer

Multippel integrasjon. Geir Ellingsrud

Multippel integrasjon. Geir Ellingsrud Multippel integrsjon. Geir Ellingsrud 2. pril 24 2 NB: Dette er en midlertidig versjon dtert 2. pril 24. Den kommer til å bli utvidet og korrigert fortløpende!!. Dobbelt integrlet over rektngler og iterert

Detaljer

Kompendium av Amir Hashemi, HiB. Notater, eksempler og oppgaver med fasit/løsningsforslag Institutt for Matematikk og Statistikk, UiT, Høsten 2012

Kompendium av Amir Hashemi, HiB. Notater, eksempler og oppgaver med fasit/løsningsforslag Institutt for Matematikk og Statistikk, UiT, Høsten 2012 Forkurs i mtemtikk til MAT-, ugust Kompendium v Amir Hshemi, HiB. Notter, eksempler og oppgver med fsit/løsningsforslg Institutt for Mtemtikk og Sttistikk, UiT, Høsten Innhold Forord... Kpittel Test deg

Detaljer

EKSAMEN. 1. klassene, ingenørutdanning og Flexing. HansPetterHornæsogLarsNilsBakken. ANTALL SIDER UTLEVERT: 7 (innkl. forside og 4 sider formelark)

EKSAMEN. 1. klassene, ingenørutdanning og Flexing. HansPetterHornæsogLarsNilsBakken. ANTALL SIDER UTLEVERT: 7 (innkl. forside og 4 sider formelark) KANDIDATNUMMER: EKSAMEN EMNENAVN: Mtemtikk EMNENUMMER: REA4 og REA4f EKSAMENSDATO: 9. desember 0 KLASSE:. klssene, ingenørutdnning og Flexing. TID: kl. 9.00 3.00. FAGANSVARLIG: HnsPetterHornæsogLrsNilsBkken

Detaljer

Anvendt matematikk formelsamling versjon 21

Anvendt matematikk formelsamling versjon 21 Anvendt mtemtikk formelsmling versjon Alger,, c, x R. Kvdrtsetning: ( + ) = + + θ grder sin θ cos θ tn θ. Kvdrtsetning: ( ) = + 0 0 0 0 Konjugtsetningen: ( + )( ) = Andregrdslikningen: x + x + c = 0 x

Detaljer

Årsprøve 2014 10. trinn Del 2

Årsprøve 2014 10. trinn Del 2 2 Årsprøve 2014 10. trinn Del 2 Informsjon for del 2 Prøvetid: Hjelpemidler på del 2: Vedlegg: Andre opplysninger: Fremgngsmåte og forklring: Veiledning om vurderingen: 5 timer totlt Del 2 skl du levere

Detaljer

Terminprøve Matematikk for 1P 1NA høsten 2014

Terminprøve Matematikk for 1P 1NA høsten 2014 Terminprøve Mtemtikk for 1P 1NA høsten 2014 DEL 1 Vrer 1,5 time Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med entimetermål og vinkelmåler. Forsøk på lle oppgvene selv om du er usikker

Detaljer

Oppgave N2.1. Kontantstrømmer

Oppgave N2.1. Kontantstrømmer 1 Orientering: Oppgvenummereringen leses slik: N står for nettsiden, første siffer står for kpittelnummer og ndre for oppgvenummer. Oppgve N2.1. Kontntstrømmer En edrift vurderer å investere 38 millioner

Detaljer

Fasit. Grunnbok. Kapittel 2. Bokmål

Fasit. Grunnbok. Kapittel 2. Bokmål Fsit 9 Grunnbok Kpittel Bokmål Kpittel Lineære funksjoner rette linjer. ƒ(x) = 4x + 5 ƒ() = 3 ƒ(4) = ƒ(6) = 9.6 ƒ(x) = -x b ƒ(x) = x b ƒ(x) = (x + ) 3 ƒ() = ƒ(4) = 8 ƒ(6) = 4 ƒ(x) = x 4 ƒ() = - ƒ(4) =

Detaljer

Formelsamling i matematikk

Formelsamling i matematikk Formelsmling i mtemtikk Algebr Aritmetiske opersjoner (b + c) b + c + c b Potensregler Polynom b + c b b + c d + bc d bc b c d b d c d bc x y x+y x x / x y x y n x x /n 0 x n x n ( x ) y xy (b) x x y (

Detaljer

a 5 (2 + 8) d 5 (2 + 8) 4 g b 3 5 (2 + 8) e h 3 ( ) j Begrunn hvorfor du ikke får samme svar på oppgave b og g.

a 5 (2 + 8) d 5 (2 + 8) 4 g b 3 5 (2 + 8) e h 3 ( ) j Begrunn hvorfor du ikke får samme svar på oppgave b og g. Mtemtikk for ungomstrinnet KAPITTEL 4 TALL OG ALGEBRA MER ØVING Oppgve 1 Oppgve 2 Se på uttrykket A = g h. Hv forteller e ulike okstvene? Se på uttrykket O = 2π. Hv står e ulike symolene for? Forklr hv

Detaljer

Eneboerspillet. Håvard Johnsbråten

Eneboerspillet. Håvard Johnsbråten Håvrd Johnsråten Eneoerspillet Når vi tenker på nvendelser i mtemtikken, ser vi gjerne for oss Pytgors læresetning eller ndre formler som vi kn ruke til å eregne lengder, reler, kostnder osv. Men mer strkte

Detaljer

θ grader sin θ cos θ tan θ

θ grader sin θ cos θ tan θ MA-8 Klkulus formelsmling versjon 8. Kvdrtsetning: ( + ) = + +. Kvdrtsetning: ( ) = + Konjugtsetningen: ( + )( ) = Andregrdslikningen: x + x + c = 0 x = ± c Fullstendig kvdrt: x + x + c = ( ) x + + c Trigonometriske

Detaljer

Temahefte nr. 1. Hvordan du regner med hele tall

Temahefte nr. 1. Hvordan du regner med hele tall 1 ARBEIDSHEFTE I MATEMATIKK SNART MATTE EKSAMEN Hvordn du effektivt kn forberede deg til eksmen Temhefte nr. 1 Hvordn du regner med hele tll Av Mtthis Lorentzen mttegrisenforlg.com Opplysning: De nturlige

Detaljer

Eksempeloppgaver 2014 Løsninger

Eksempeloppgaver 2014 Løsninger DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med centimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 19 millirder 9 10 = 19 10 = 1,9 10 0,089 10 = 8,9 10 10 = 8,9 10 Oppgve 6 6 8 Prosentvis

Detaljer

Løsningsforslag AA6526 Matematikk 3MX Privatister 3. mai 2005. eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag AA6526 Matematikk 3MX Privatister 3. mai 2005. eksamensoppgaver.org Løsningsforslag AA6526 Matematikk 3MX Privatister 3. mai 2005 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 3MX er gratis, og det er lastet

Detaljer

Årsprøve trinn Del 1. Navn: Informasjon for del 1

Årsprøve trinn Del 1. Navn: Informasjon for del 1 Årsprøve 2015 9. trinn Del 1 Nvn: Informsjon for del 1 Prøvetid: Hjelpemidler på del 1: Andre opplysninger: Fremgngsmåte og forklring: 5 timer totlt. Del 1 og Del 2 skl deles ut smtidig Del 1 skl du levere

Detaljer

2 Tallregning og algebra

2 Tallregning og algebra Tllregning og lger KATEGORI. Regnerekkefølge Oppgve.0 Regn uten digitlt hjelpemiddel. + ( + ) ( ) Oppgve. Regn uten digitlt hjelpemiddel. Oppgve. Regn ut med og uten digitlt hjelpemiddel. + (7 + ) ( 9)

Detaljer

1T kapittel 6 Geometri Løsninger til oppgavene i læreboka

1T kapittel 6 Geometri Løsninger til oppgavene i læreboka T kpittel 6 Geometri Løsninger til oppgvene i læreok Oppgve 6. Vi ruker pytgorssetningen. h 5 + 6 h 5 + 36 h 6 h ± 6 Hypotenusen er 6. Vi ruker pytgorssetningen. h, 4 + 6,7 h h 5, 076 + 45, 04 50, 047

Detaljer

EKSAMEN. 1. klassene, ingenørutdanning og Flexing. ANTALL SIDER UTLEVERT: 5 (innkl. forside og 2 sider formelark)

EKSAMEN. 1. klassene, ingenørutdanning og Flexing. ANTALL SIDER UTLEVERT: 5 (innkl. forside og 2 sider formelark) KANDIDATNUMMER: EKSAMEN EMNENAVN: Mtemtikk 0 EMNENUMMER: REA04 EKSAMENSDATO:. desember 008 KLASSE:. klssene, ingenørutdnning og Flexing. TID: kl. 9.00 3.00. FAGANSVARLIG: Hns Petter Hornæs ANTALL SIDER

Detaljer

EKSAMEN. 1. klassene, ingenørutdanning og Flexing. ANTALL SIDER UTLEVERT: 5 (innkl. forside og 2 sider formelark)

EKSAMEN. 1. klassene, ingenørutdanning og Flexing. ANTALL SIDER UTLEVERT: 5 (innkl. forside og 2 sider formelark) KANDIDATNUMMER: EKSAMEN EMNENAVN: Mtemtikk EMNENUMMER: REA42 og REA42f EKSAMENSDATO:. desember 2 KLASSE:. klssene, ingenørutdnning og Flexing. TID: kl. 9... FAGANSVARLIG: Hns Petter Hornæs ANTALL SIDER

Detaljer

Påbygging kapittel 2 Funksjoner 1 Løsninger til oppgavene i boka

Påbygging kapittel 2 Funksjoner 1 Løsninger til oppgavene i boka Påygging kpittel 2 Funksjoner 1 Løsninger til oppgvene i ok 2.1 Origo hr koordintene (0, 0). Vi finner koordintene til punktene ved å lese v punktets verdi på x-ksen og y-ksen. A = (125,10) B = (0, 12,5)

Detaljer

Terminprøve Matematikk Påbygging høsten 2014

Terminprøve Matematikk Påbygging høsten 2014 Terminprøve høsten 2014 Terminprøve Mtemtikk Påygging høsten 2014 DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med entimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 Regn ut 3 3 3 4 1 3 3 2

Detaljer

R2 kapittel 4 Tredimensjonale vektorer

R2 kapittel 4 Tredimensjonale vektorer Løsninger v oppgvene i ok R kpittel 4 Tredimensjonle vektorer Løsninger v oppgvene i ok 4. Vi tegner punket A i xy-plnet. Vi mrkerer plsseringen v A med linjestykker ut fr punktene (4,0,0) på x-ksen og

Detaljer

Derivasjon. Oversikt over Matematikk 1. Derivasjon anvendelser. Sekantsetningen

Derivasjon. Oversikt over Matematikk 1. Derivasjon anvendelser. Sekantsetningen 3 Oversikt over Mtemtikk Induksjon Grenser og kontinuitet Skjæringssetningen Eksistens v ekstrempunkt Elementære funksjoner Derivsjon Sekntsetningen Integrsjon Differensilligninger Kurver i plnet Rekker

Detaljer

MAT 1001, Høsten 2009 Oblig 2, Løsningsforslag

MAT 1001, Høsten 2009 Oblig 2, Løsningsforslag MAT 1001, Høsten 009 Oblig, sforslag a) En harmonisk svingning er gitt som en sum av tre delsvingninger H(x) = cos ( π x) + cos (π (x 1)) + cos (π (x )) Skriv H(x) på formen A cos (ω(x x 0 )). siden H(x)

Detaljer

Løsningsforslag Kollokvium 1

Løsningsforslag Kollokvium 1 Løsningsforslg Kollokvium 1 30. jnur 015 Her finner dere et løsningsforslg for oppgvene som ble diskutert på Kollokvium 1. Oppgve 1 Regning med enheter ) Energienheten 1 ev (elektronvolt) er definert som

Detaljer

Oppgave 2 Betydningen til hvert enkelt siffer er bestemt av sifferets plassering eller posisjon. Tallet 4321 betyr

Oppgave 2 Betydningen til hvert enkelt siffer er bestemt av sifferets plassering eller posisjon. Tallet 4321 betyr KAPITTEL 1 TALL OG TALLREGNING FLERE UTFORDRINGER Oppgve 1 Du hr sifrene A 1 3 5 7 9 og B 2 4 6 8 Ve å ruke tre v sifrene i enten A eller B skl u lge ett tll så nærme 500 som mulig. Du kn re ruke ett siffer

Detaljer

6 Brøk. Matematisk innhold Brøk i praktiske situasjoner Brøk som del av en mengde. Utstyr Eventuelt ulike konkreter, som brikker og knapper

6 Brøk. Matematisk innhold Brøk i praktiske situasjoner Brøk som del av en mengde. Utstyr Eventuelt ulike konkreter, som brikker og knapper Brøk I dette kpitlet lærer elevene om røk som del v en helhet, der helheten kn være en mengde, en lengde eller en figur, og de skl lære om røk som del v en mengde. De skl lære å finne delen når det hele

Detaljer

Årsprøve trinn Del 1. Navn: Informasjon for del 1. Del 1 skal du levere innen 2 timer.ere innen 2 timer. Del 2 leverer du innen 5 timer.

Årsprøve trinn Del 1. Navn: Informasjon for del 1. Del 1 skal du levere innen 2 timer.ere innen 2 timer. Del 2 leverer du innen 5 timer. Årsprøve 2015 10. trinn Del 1 Nvn: Informsjon for del 1 Prøvetid: Hjelpemidler på del 1: Andre opplysninger: Fremgngsmåte og forklring: 5 timer totlt. Del 1 skl du levere innen 2 timer.ere innen 2 timer.

Detaljer