Vår 2004 Ordinær eksamen

Transkript

1 år Ordinær eksmen. En bil kjører med en hstighet på 9 km/h lngs en rett strekning. Sjåføren tråkker plutselig på bremsene, men gjør dette med økende krft slik t (den negtive) kselersjonen (retrdsjonen) er gitt ved: (t) = ct der c =. m/s på bremsen. og hvor tiden t måles fr det øyeblikket sjåføren begynner å tråkke ) Beregn hstigheten v som funksjon v tiden, og beregn hvor lng tid det tr før bilen stnser. b) Beregn hvor lngt bilen hr beveget seg under oppbremsingen.. En lytter beveger seg med en hstighet på. m/s på en vogn på et jernbnespor. Bk kommer et tog T. Toget sender ut en fløytelyd med frekvens f T = 9 Hz. ytteren oppftter frekvensen f = Hz. ydhstigheten i luft settes til v = m/s. Beregn togets hstighet.. En lengde x v et kjede med små ledd henger utover en bordknt (se figur.). Kjedets totle lengde er. Kjedet holdes i ro, deretter slippes det, og det begynner å gli. i ntr t det ikke er friksjon mellom kjedet og bordet. ) Betrkt de to delene v kjedet (den delen som fortstt ligger på bordet og den delen som henger utenfor bordknten) som to seprte systemer. Tegn inn de ytre kreftene som virker på disse to systemene (lg to forskjellige tegninger), og sett opp Newtons. lov for begge disse systemene. Kll den delen v mssen v kjedet som fortstt ligger på bordet for m og mssen v den delen v kjedet som henger utenfor bordknten for m. b) Beregn kjedets kselersjon som funksjon v x. Hint: Innfør hjelpevrielen som msse per lengde-enhet v kjedet. ig.

2 . Et lite hjul med rdius r ruller (uten å gli) med konstnt vinkelhstighet på et større hjul med rdius R (se figur.). Det store hjulet står helt i ro, og det lille hjulet ruller (føres) rundt det store hjulet uten å gli bort fr det store hjulet. ) is (ut fr figuren) t vi hr følgende uttrykk for vinkelen : R r dersom punktet P vr i punktet P d =. Beregn deretter ved hjelp v dette uttrykket vinkelhstigheten til linjestykket mellom de to hjulenes senterer uttrykt ved r, R og. b) Beregn hstigheten til senteret i det minste hjulet uttrykt ved r, R og. c) Beregn kselersjonen (tngentiell og rdiell komponent) til senteret i det minste hjulet uttrykt ved de smme størrelsene som i b). ig.

3 Merk: Oppgve nr kun for Bygg og Mskin, oppgve nr 6 kun for de resterende studentene, oppgve nr 6 gjelder også de studentene som går opp etter gmmelt pensum (YS).. igur. viser (ved hjelp v et P digrm) en serie termodynmiske prosesser. Trykket i tilstndene og c er. P, mens trykket i tilstndene b og d er er 7. P. olumet i tilstndene og b er er. m, mens volumet i tilstndene c og d er. m. rmetilførselen ved prosessen er J, mens vrmetilførselen ved prosessen er J. ) Bestem endringen v den indre energien ved prosessen. b) Bestem endringen v den indre energien ved prosessen d. c) Bestem vrmetilførselen ved prosessen cd. ig. 6. igur 6. viser deler v en elektrisk krets. Spenningen (den elektriske potensildifferensen) mellom punktene og b er. volt. De fem kondenstorene som vises på figuren hr kpsitns henholdsvis: =., = 6., =.6, =., =.. ( = 6 ). ) Beregn resultntkpsitnsen for de tre kondenstorene, og. b) Beregn resultntkpsitnsen for lle fem kondenstorene. c) Beregn ldningen på kondenstor nr (kondenstoren med kpsitns =. ). igur 6.

4 øsning. ) i hr gitt uttrykket for kselersjon som funksjon v tiden og kn finne hstigheten v som funksjon v tiden ved integrsjon. or å finne tidspunktet for når bilen stopper, settes hstigheten lik null og ligningen v(t) = løses med hensyn på t. ct dv ct dt dv ctdv v v dv c v c t v v ct v( t) v ct v v t tdt t v ct t v c km 9 h m. s m 9 6s m. s.7s b) r ) hr vi gitt hstigheten v som funksjon v tiden og kn finne stekningen s som funksjon v tiden ved hjelp v integrsjon. Bremsestrekningen kn så bestemmes ved å sette inn bremsetiden fr ) inn i uttrykket for strekningen. v v ct ds v ct dt ds v ct dt S ds vt ct 6 s( t) vt ct 6 s s T v ct dt t km m s(.7s) 9.7s (. )(.7s) h 6 s m m 9.7s (. )(.7s) 7.m 6s 6 s

5 . i løser følgende formel (med hensyn på toghstigheten v T ) for smmenhengen mellom lytterfrekvens f og kildfrekvens f T. f v v v v v T f T ft 9 m km ( v v) v ( ( )).7 8. f s h At hstigheten blir negtiv, skyldes t positiv retning ved bruk v formelen ovenfor lltid regnes fr lytter til kilde. Alterntivt kunne vi llerede i første linje i formelen stt minus forn v T.. ) ørste linje, Newtons. lov (horisontlt) for den delen v kjedet som fortstt ligger på bordet. Andre linje, Newtons. lov (vertiklt) for den delen v kjedet som henger utenfor bordknten. T m m g T m b) igningssytemet ovenfor løses med hensyn på kselersjonen. T m m g T m m x x ( x) g g g m m ( x) x () ( ) g Rimelige svr i spesiltilfellene (ingen kselersjon når hele kjedet ligger på bordet), og kselersjon g når hele kjedet henger utenfor bordknten (fritt fll). Strengt ttt benytter vi Newtons. lov på en feil måte i denne oppgven. Den korrekte formen for Newtons. lov er gitt ved: d (mv) dv g x Hvis mssen m er konstnt, får vi den formen v Newtons. lov som vi benytter oftest, nemlig: m I vår oppgve med kjedet som sklir v bordet, vil mssen v de to delene som vi nvender Newtons. lov på endre msse. Derfor vil korrekt bruk v Newtons. lov gi følgende: d dm dv dm dm T ( mv ) v m v m v m dt dt dt dt dt d dm dv dm mg T ( mv) v m v m dt dt dt dt Her hr vi benyttet v mssen m vtr like mye som mssen m øker. i ser t msse-endringen i de to ligningene opphever hverndre og vi får de smme beregninger og resultter som tidligere.

6 . ) Geometriske betrktninger gir smmenhengen mellom vinklene og. inkelhstigheten for linjen er lik den deriverte v vinkelen. b b' R R u r r r r R r R r r R r R r b) Hstigheten er lik rdien (r+r) multiplisert med vinkelhstigheten for linjen, dvs den deriverte v vinkelen. r v ( r R) ( r R) r r R c) Tngentiell kselersjon er lik rdien (r+r) multiplisert med vinkelkselersjonen til det lille hjulet, dvs den deriverte v. Rdiell kselersjon er lik rdien (r+r) multiplisert med kvdrtet v vinkelhstigheten til linjen. T R r (r R) (r R) r r r R (r R) r (r R) r R r r R

7 . ) Benytter termodynmikkens første lov. U U W W J b) Benytter termodynmikkens første lov. d U U d d d W W W J J 7. P (. J J J 9J d d ( W p ( ) b W ) m b. m ) ( W ) c) Benytter termodynmikkens første lov, smt t den indre energien er veiuvhengig, dvs endringen i indre energi er den smme lngs cd som lngs d. cd U U U U d d d cd W ( W W cd W ) U p ( ) 9J. P (. 9J J 6J c c cd cd d ( W m c ) U. m ) d W c 6

8 7 6. ) Resultntkpsitns v kondenstorene nr, og : b) Resultntkpsitns v lle fem kondenstorene: c) eller (c):