1P kapittel 3 Funksjoner

Transkript

1 Løsninger til oppgvene i ok 1P kpittel 3 Funksjoner Løsninger til oppgvene i ok 3.1 Origo hr koordintene (0, 0). Vi finner koordintene til punktene ved å lese v punktets verdi på x-ksen og y-ksen. A = (125,10) B = (0, 12,5) C = ( 125,10) D = (125, 17,5) E = ( 150, 10) 3.2 d 3.3 Punktene med 2 som førstekoordint ligger lngs en loddrett linje som psserer gjennom verdien 2 på x-ksen. Aschehoug Side 1 v 56

2 Løsninger til oppgvene i ok Punktene med 4 som ndrekoordint ligger lngs en vnnrett linje som psserer gjennom verdien 4 på y-ksen. c d Punktene med 0 som førstekoordint ligger på selve y-ksen (ndreksen). Punktene med 0 som ndrekoordint ligger på selve x-ksen (førsteksen). 3.4 Vi setter x = 1 inn i funksjonsuttrykket Px ( ) = 3x + 4 og regner ut. P (1) = = = 7 Vi setter x = 4 inn i funksjonsuttrykket og regner ut. P (4) = = = 16 Vi setter x = 10 inn i funksjonsuttrykket og regner ut. P (10) = = = Vi setter x = 4 inn i funksjonsuttrykket g 2 (4) = = = 19 2 ( ) 3 Vi setter x = 0 inn i funksjonsuttrykket og regner ut. g 2 (0) = = = 3 gx = x + og regner ut. Vi setter x = 5 inn i funksjonsuttrykket og regner ut. 2 g( 5) = ( 5) + 3 = = Vi setter x = 12 inn i funksjonsuttrykket og regner ut. T (10) = = = 370 Vi setter x = 20 inn i funksjonsuttrykket og regner ut. T (20) = = = 490 Vi setter x = 5 inn i funksjonsuttrykket og regner ut. T ( 5) = ( 5) = = Vi finner verdien ved å lese v grfen. Vi finner først den ktuelle verdien på x-ksen. Vi går så loddrett opp til vi kommer til det punktet der vi krysser selve grfen. Fr dette punktet går vi så vnnrett til venstre og leser v verdien på y-ksen. Vi finner d t f (4) = 60 og f (12) = 100. Aschehoug Side 2 v 56

3 Løsninger til oppgvene i ok Vi ser t f (0) vil si det punktet der grfen skjærer y-ksen. Vi leser v grfen, og finner t f (0) = 40. c Å finne f( x ) = 80 vil si t vi skl finne det punktet på grfen som hr y-verdi lik 80. Vi leser v grfen på smme måte som i oppgve, men motstt vei. Vi finner d t x = Vi leser v grfen. Toppunktet hr c. koordintene (7,1, 3,9). Vi leser v grfen. Bunnpunktet hr c. koordintene (3, 1). c d e Vi ser t grfen skjærer x-ksen to steder, og funksjonen hr dermed to nullpunkter. Vi leser v grfen. Nullpunktene hr koordintene (1, 0) og (5, 0). Skjæringspunktene mellom grfen og førsteksen vil si det smme som å finne nullpunktene som vi fnt i oppgve c. Skjæringspunktene hr dermed koordintene (1, 0) og (5, 0). Skjæringspunktet mellom grfen og ndreksen vil si der grfen krysser y-ksen. Vi leser v grfen. Skjæringspunktet hr koordintene (0, 1). 3.9 Vi finner ntllet psseringer den 8. pril ved å lese v grfen. Vi finner y-verdien til punktet som hr x-verdi 8. Denne y-verdien ser vi er 500, og dermed psserer det 500 iler den 8. pril. c d Flest psseringer vr det i punktet med den høyeste y-verdien. Vi leser v grfen og finner t dette toppunktet hr koordintene (12, 600). Det vil si t det vr flest psseringer den 12. pril, og dette døgnet psserte det 600 iler. Færrest psseringer vr det i punktet med den lveste y-verdien. Vi leser v grfen og finner t dette unnpunktet hr koordintene (3, 350). Det vil si t det vr færrest psseringer den 3. pril, og dette døgnet psserte det 350 iler. For å finne ut hvilket døgn det vr kkurt 500 psseringer, må vi lese v grfen, og vi må finne lle punktene som hr 500 som y-verdi. Vi tegner en vnnrett linje gjennom y-verdien 500 og finner 4 skjæringspunkt med grfen. Disse skjæringspunktene lir (8, 500), (16, 500), (23, 500) og (27, 500). Det vil si t det psserte 500 iler gjennom omstsjonen den 8. pril, 16. pril, 23. pril og 27. pril. e Vi vet llerede hvilke dtoer det vr nøyktig 500 psseringer. Det vil være minst 500 psseringer mellom disse dtoene, men re i de intervllene der grfen ligger høyere enn 500 på y-ksen. Vi leser v grfen og ser t dette krvet er oppfylt mellom punktene (8, 500) og (16, 500), og mellom punktene (23, 500) og (27, 500). Aschehoug Side 3 v 56

4 Løsninger til oppgvene i ok Det vil si t det vr minst 500 psseringer fr om med den 8. pril til og med den 16. pril, og fr og med den 23. pril til og med den 27. pril. f Vi kn si t kurven er grfen til en funksjon på grunn v t hver verdi v x gir én estemt verdi for y. Hver dto gir oss et estemt ntll psseringer Vi leser v grfens y-verdier for de oppgitte x-verdiene og får denne tellen: Dg Antll c Vi leser v grfen og finner intervllene der kurven ligger høyere enn 360 på y-ksen. Vi ruker x-verdiene til punktene der disse intervllene strter og slutter, siden x-verdiene tilsvrer dtoene i juni. Her er det viktig å ikke t med dtoene der det vr nøyktig 360 esøkende, siden oppgven spør etter når det vr mer enn 360. Vi ser t det er mer enn 360 esøkende fr og med 9. juni til og med dg 12. juni, og den 27. juni. Hifinn vil gå med underskudd der kurven ligger lvere enn 320 på y-ksen. Vi finner intervllene der dette skjer, og ruker x-verdiene til punktene der disse intervllene strter og slutter, siden x-verdiene tilsvrer dtoene i juni. Her er det viktig å ikke t med punktene der Hifinn hr nøyktig 320 esøkende, siden de d ikke går i underskudd, re nøyktig i null. Vi ser t Hifinn hr færre enn 320 esøkende fr og med 2. juni til og med 4. juni, og fr og med 17. juni til og med 19. juni = 1 Stigningstllet er 3. = 1 Konstntleddet er 1. f( x) = 3x + 1 Aschehoug Side 4 v 56

5 Løsninger til oppgvene i ok 3.12 x y Vi får punktene ( 2, 8), (1, 2) og (3, 2). c y = 2x 4 Aschehoug Side 5 v 56

6 Løsninger til oppgvene i ok d Vi finner nullpunktet der grfen skjærer x-ksen. Punktet er (2, 0) Stigningstllet er 0,5. Det forteller oss t når x øker med 1, øker y med 0,5. Linj skjærer y-ksen når x = 0. Vi setter x = 0 inn i gx ( ) og får g (0) = 4. Skjæringspunktet lir dermed (0, 4). c Vi finner nullpunktet der grfen skjærer x-ksen. Vi setter gx ( ) = 0 og løser likningen. Vi får svret x = 8. Nullpunktet lir dermed ( 8, 0). d Når x øker fr 2 til 5, øker y med 1,5. Vi finner svret ved å gnge økningen lngs x-ksen (3) med stigningstllet (0,5). 0,5 3 = 1, Vi finner konstntleddet der grfen skjærer y-ksen. Konstntleddet = 3. Stigningstllet forteller hvor fort den rette linj stiger. Stigningstllet = 2. c Vi ruker formelen for rett linje y = x + og får y = 2x Konstntleddet = 2. Stigningstllet = 1. Likningen for linj lir y = x + 2. Konstntleddet = 3. Stigningstllet = 2. Likningen for linj lir y = 2x + 3. Aschehoug Side 6 v 56

7 3.16 Løsninger til oppgvene i ok Linje 3 hører smmen med y = 2x 2 fordi linj hr negtivt stigningstll og skjærer y-ksen i 2. Linje 2 hører smmen med y = 2 fordi linj hr stigningstllet 0, noe som gir en vnnrett linje, og skjærer y-ksen i 2. c Linje 1 hører smmen med y = x 3 fordi linj hr stigningstllet 1 og skjærer y-ksen i 3. d Linje 4 hører smmen med y = 2x 2fordi linj hr stigningstllet 2 og skjærer y-ksen i Av figuren kn vi lese v t når x øker med 4, øker y med 5. Stigningstllet lir Av figuren kn vi lese v t når x øker med 2, minker y med 5. Stigningstllet lir 5 = = 2,5. 2 Vi finner stigningstllet ved å dele økningen i y på økningen i x = = = Vi finner ved å sette = 2, x = 1 og y = 5 inn i likningen y = x +. y = x + 5 = = 2 + = 3 Likningen for linj lir dermed y = 2x + 3. Vi finner stigningstllet ved å dele økningen i y på økningen i x = = = Vi finner ved å sette = 4, x = 2 og y = 10 inn i likningen y = x +. y = x + 10 = = 8 + = 2 Likningen for linj lir dermed y = 4x + 2. c Vi finner stigningstllet ved å dele økningen i y på økningen i x = = = = 4 ( 2) = = 1, Aschehoug Side 7 v 56

8 Vi finner ved å sette y = x = ( 2) = = = 3 Likningen for linj lir dermed 3.19 Løsninger til oppgvene i ok 11 =, x = 2 og y = 7 inn i likningen y = x y = x. 3 3 Vi tegner grfene i smme koordintsystem i GeoGer. c Vi ruker GeoGer og verktøyknppen «Skjæring mellom to ojekt». Vi klikker én gng på hver linje. Skjæringspunktet lir (2,3). Vi finner nullpunktet ved å ruke kommndoen Nullpunkt [g] i GeoGer. Nullpunktet lir (0,5, 0). Aschehoug Side 8 v 56

9 d Vi skriver inn f ( 7,3) i «Skriv inn»-feltet i GeoGer Løsninger til oppgvene i ok NB! Husk t vi ruker desimlpunktum og ikke desimlkomm når vi legger inn desimltll i GeoGer. f ( 7,3) = 7, 65 Vi tegner grfene med GeoGer. f skriver vi rett inn i «Skriv inn»-feltet. g skriver vi inn ved hjelp v kommndoen [ < Funksjon >, < Strt >, < Slutt > ] siden g skl tegnes for x-verdier fr og med 1 til og med 12. Vi ruker GeoGer og verktøyknppen «Skjæring mellom to ojekt». Vi klikker én gng på hver linje. Skjæringspunktet lir (6,2, 92,7). c Vi skriver inn g (3.4) i «Skriv inn»-feltet i GeoGer. NB! Legg merke til t vi her ruker desimlpunktum og ikke desimlkomm når vi legger inn desimltll i GeoGer. g (3, 4) = 68,9 Aschehoug Side 9 v 56

10 3.21 Løsninger til oppgvene i ok Vi løser oppgvene med GeoGer. I «Skriv inn»-feltet skriver vi først inn (1, 8) og trykker «Enter». Deretter gjør vi det smme med (5,10). Så ruker vi kommndoen Linje gjennom punkt og klikker etter tur på de to punktene. Høyreklikk på likningen og velg formen y = x +. Likningen for linj lir y = 0,5x + 7,5. Likningen for linj lir y = 1, 63x + 1, 88. c Likningen for linj lir y = 0,8x c x y x y x y ,5 Aschehoug Side 10 v 56

11 3.23 Løsninger til oppgvene i ok Stigningstllet til linj finner vi ved vlesning v grfen. Stigningstllet = 1, 5. Nullpunktet til linj finner vi ved vlesning v grfen. Nullpunktet er (2, 0). c Linj skjærer y-ksen i punktet (0,3). Linj skjærer x-ksen i punktet (2, 0). d Likningen for linj er på formen y = x +, der er y-verdien til skjæringspunktet med y-ksen. Likningen lir y = 1, 5x Likningen for linj lir y = 2x 3. c Siden denne linj skjærer y-ksen i smme punkt som den første linj, vil de to linjene h smme konstntledd og dermed smme i likningen y = x +. Likningen for den nye linj lir y = 3x For t en lineær funksjon skl h en grf som stiger mot høyre, må funksjonen h positivt stigningstll. Det vil si t må være et positivt tll i likningen y = x +. Funksjonene som oppfyller krvet, er f( x ), hx ( ) og ix. ( ) Aschehoug Side 11 v 56

12 Løsninger til oppgvene i ok c For t to lineære funksjoner skl være prllelle, må funksjonsuttrykkene deres h smme stigningstll. Det vil si t må h smme verdi i likningen y = x +. Funksjonene som oppfyller krvet, er f( x ) og ix ( ) som dermed er prllelle. For t to lineære grfer skl skjære y-ksen i smme punkt, må de h smme konstntledd. Det vil si t må h smme verdi i likningen y = x +. Funksjonene som oppfyller krvet, er hx ( ) og ix ( ), som dermed skjærer y-ksen i smme punkt Ved vlesning ser vi t stigningstllet = 1, siden en økning lngs x-ksen på 1 medfører en økning på y-ksen på 1. Ved regning ruker vi de to punktene ( 2, 1) og (1, 4). Vi finner stigningstllet ved å dele økningen i y på økningen i x = = = = 1 1 ( 2) c En rett linje hr likningen y = x +. Vi hr llerede funnet stigningstllet = 1. Dermed trenger vi å finne konstntleddet. Ved vlesning på grfen ser vi t = 3. Ved regning finner vi ved å sette = 1, x = 2 og y = 1 inn i likningen y = x +. y = x + Aschehoug Side 12 v 56

13 Løsninger til oppgvene i ok = 1 ( 2) + 1 = 2 + = 3 Likningen for den rette linj lir y = x + 3. Vi finner stigningstllet ved for eksempel å ruke de to punktene ( 4, 11) og ( 3, 9), og dele økningen i y på økningen i x = = = = 2 ( 3) ( 4) ( 3) Vi kn også finne stigningstllet ved å se t når x-verdien øker med 1, synker y-verdien med 2, og = 2. Vi skl finne f (0). Det tilsvrer å finne punktet der grfen skjærer y-ksen, ltså det smme som å finne konstntleddet. Vi finner ved å sette = 2, x = 4 og y = 11 inn i likningen y = x +. y = x + 11 = ( 2) ( 4) + 11 = 8 + = 3 f (0) = 3 c f( x ) = 0 vil si å finne det punktet der grfen til f skjærer x-ksen. Vi finner først funksjonsuttrykket f( x ) som er på formen y = x +. Vi hr llerede funnet = 2 og = f( x) = y = 2x + 3 Vi setter funksjonsuttrykket lik 0, ltså f( x ) = 0, og løser likningen. 2x + 3 = 0 2x = 3 Vi deler på 2 på egge sider v likningen. 3 3 x = = = 1, For å undersøke om punktene ligger på grfen til funksjonen y = 1, 5x + 3, setter vi x-verdien inn i funksjonsuttrykket. Hvis y-verdien vi d får ut, er lik y-verdien til punktet, vet vi t punktet ligger på grfen. f ( 3) = 1,5 ( 3) + 3 = 4,5 + 3 = 7,5 y-verdien er lik, og punktet ( 3, 7,5) ligger på grfen. f ( 1) = 1,5 ( 1) + 3 = 1,5 + 3 = 4,5 y-verdien er ikke lik, og punktet ( 1,1,5) ligger ikke på grfen. f (4) = 1, = = 3 y-verdien er lik, og punktet (4, 3) ligger på grfen. Aschehoug Side 13 v 56

14 3.29 Løsninger til oppgvene i ok Frysepunktet for vnn er 0 C. Celsiusgrder finner vi lngs x-ksen, og fhrenheitgrder finner vi lngs y-ksen. Vi finner dermed verdien 0 på x-ksen og leser v grfen. D er y-verden c. 30. Det vil si t 0 C er tilnærmet lik 30 F. Grfen er en rett linje på formen y = x +. er stigningstllet som vi finner ved å dele økningen i y på økningen i x. Vi leser v to punkter på grfen med tilnærmede verdier og får punktene (0, 30) og (10, 50) = = = Konstntleddet er y-verdien til punktet der grfen skjærer y-ksen, og det skjer i (0, 30). Dermed er = 30. Likningen for linj lir dermed y = 2x Vi velger å ytte ut x med C, og å ytte ut y med F. Formelen lir dermed F = 2C c Vi velger å løse oppgven grfisk med GeoGer. Vi skriver egge formlene i «Skriv inn»- feltet. Vi ruker x i stedet for C, og vi ruker y i stedet for F. Etter å h tegnet egge de to grfene, ruker vi verktøyknppen «Skjæring mellom to ojekt». Vi klikker en gng på hver linje og får skjæringspunktet (10, 50). Det vil si t for 10 C gir åde den tilnærmede og den ekskte formelen smme fhrenheitverdi. d Uten regning: Siden 17 C og 26 C egge er høyere verdier enn 10 C, vet vi t de to temperturene ligger til høyre for skjæringspunktet på grfen. Vi vet t den tilnærmede formelen hr lvest konstntledd, 30 mot 32. Det vil si t den tilnærmede formelen strter lvest og gir en lvere verdi for fhrenheit enn den ekskte formelen for små verdier v celsius. Men ved 10 C er de to formlene nøyktig like. At den tilnærmede formelen hr «nådd igjen» den ekskte formelen, kn forklres med t den tilnærmede formelen hr et høyere stigningstll enn den ekskte, 2 mot 9 5. Det vil si t for celsiusverdier som er høyere enn 10 C, vil den tilnærmede formelen gi for høye fhrenheittemperturer. Dermed kn vi konkludere med t for egge de to sommerdgene i vår oppgve vil den tilnærmede formelen gi for høy fhrenheittempertur. Ved regning: Ved tilnærmet formel får vi disse fhrenheitverdiene: F (17) = = = 64 F (26) = = = 82 Ved ekskt formel får vi disse fhrenheitverdiene: Aschehoug Side 14 v 56

15 9 F (17) = = 30, = 60, F (26) = = 46, = 76,8 5 Løsninger til oppgvene i ok Vi ser t i egge tilfeller gir den tilnærmede formelen det største svret, og vi får ltså for høye fhrenheitverdier På åtte dger vil Mri ruke = 2400 kr. Dermed hr hun igjen = 3600 kr. c Etter x dger vil ntll kroner Mri hr igjen være gitt ved formelen: Kroner igjen = kroner hun hdde (kroner hun ruker hver dg x ntll dger) K( x) = x. K( x) = x = = 300x x = = x x = 20 Det vil si t det tr 20 dger før Mri hr rukt opp lle pengene sine og hr 0 kr igjen Vi finner strtprisen der grfen skjærer y-ksen. Vi ser t grfen skjærer y-ksen i 40, og strtprisen lir dermed 40 kr. Prisen per kilometer tilsvrer stigningstllet til grfen. Vi ser t på 4 km øker prisen fr 40 kr til 180 kr. Vi finner d stigningstllet ved å regne ut: = 140 = Det vil si t prisen per kilometer er 35 kr. Prisen for turen = strtprisen + (prisen per kilometer x ntll kilometer). Px ( ) = x Px ( ) = 35x + 40 c Vi setter x = 12,5 inn i uttrykket. P (12,5) = 35 12, = 437, = 477,5 Drosjeturen koster 477,50 kr. Aschehoug Side 15 v 56

16 Løsninger til oppgvene i ok d Vi ytter ut venstre side i uttrykket fr oppgve med = 35x = 35x 460 = 35x x = ,1 = x x = 13,1 Du kn kjøre 13,1 km for 500 kr Vi leser v figuren t sykkelrittet hr htt en økning på 20 deltkere per år fr 2010 til I 2013 leser vi v figuren t det deltok 400 syklister. Fr 2013 til 2015 vil økningen gjent seg to gnger til, og vi vil ltså få 20 2 = 40 nye deltkere i 2015 smmenliknet med Vi får dermed = 440 deltkere i Stigningstllet står for ntll centimeter plnten vokser hver dg. Denne plnten vokser ltså 1,5 cm per dg. Konstntleddet står for høyden v plnten idet den le plntet, ltså utgngshøyden. Denne plnten vr 35 cm høy d den le plntet. Aschehoug Side 16 v 56

17 3.34 Prisen i kroner = strtprisen + prisen per kilometer ntll kilometer ByTxi: Bx ( ) = x LndTxi: Lx ( ) = x Løsninger til oppgvene i ok c Vi ser på figuren i oppgve. Den grfen som til en hver tid hr den lveste y-verdien for ulike x-verdier er illigst, og den det lønner seg å velge. Vi ser t etter skjæringspunktet i (2,5, 80) ligger grfen til ByTxi lvest. Det vil si t hvis vi skl kjøre en tur som er lengre enn 2,5 km, så lønner det seg å velge ByTxi Vi løser disse oppgvene ved å skrive inn venstre side og høyre side v likningen som to uvhengige funksjoner i GeoGer. Vi ruker deretter verktøyknppen «Skjæring mellom to ojekt» og finner x-verdien til skjæringspunktet. Aschehoug Side 17 v 56

18 Løsninger til oppgvene i ok x = 4 x = 0,67 Aschehoug Side 18 v 56

19 Løsninger til oppgvene i ok c x = 1, Timelønn = fst eløp + kroner per slg x ntll slg Lx ( ) = x Lx ( ) = 15x + 80 c Vi setter inn 150 for L(x). 150 = 15x = 15x 70 = 15x 70 15x = ,7 = x x = 4,7 Her må vi runde v svret oppover siden hn skl tjene mer enn 150 kr i timen. Det vil si t Svenn Olv minst må h 5 slg i løpet v en time. Aschehoug Side 19 v 56

20 3.37 Løsninger til oppgvene i ok Antll liter tnken rommer tilsvrer her konstntleddet. Det vil si t tnken rommer 60 liter. c Bensinforruket tilsvrer her stigningstllet til funksjonsuttrykket. Siden ilen forruker ensin, er stigningstllet negtivt. Stigningstllet er, og ilen ruker ltså 0,70 liter per mil. Vi setter inn 5 for V(x). 5 = 60 0, 70x 5 60 = 0, = 0, 70x 55 0, 70x = 0,70 0,70 78,6 = x x = 78,6 Lrs kn ltså kjøre 78,6 mil før vrsellmp tennes Vi ser t lle fire punktene ligger på en rett linje, og dermed er det rimelig å nt t modellen er lineær. Vi tegner en rett linje gjennom de fire punktene, og forlenger linj mot venstre til den skjærer y-ksen. Vi ser d t linj skjærer y-ksen i 1,4. I dette skjæringspunktet er også, og det hr gått null timer siden hn sluttet å drikke. Promillen til mnnen vr dermed 1,40 idet hn sluttet å drikke. Aschehoug Side 20 v 56

21 Løsninger til oppgvene i ok c Vi finner minkingen i promille per time ved å se på grfens stigningstll. Hver gng vi øker x- verdien med én, synker y-verdien med 0,15. Promille i lodet = strtpromille (minking i promille per time ntll timer). Pt ( ) = 1, 40 0,15t d Vi ytter ut venstre side i funksjonsuttrykket med 0,2. 0, 2 = 1, 40 0,15t 0, 2 1, 40 = 0,15t 1, 2 = 0,15t 1, 2 0,15t = 0,15 0,15 8 = t t = 8 Det tr ltså 8 timer før promillen hr sunket til 0, Vi strter med å finne stigningstllet i formelen y = x +. Til dette ruker vi forndringen i y-verdi og deler på forndring i x-verdi. y = = = = 2 x Deretter finner vi. Vi ruker x-verdien 250 og den tilhørende y-verdien 1220, og setter, x og y inn i formelen y = x = = 720 = = 720 Vi setter nå = 2 og = 720 inn i formelen y = x +. y = 2x Konstnten forteller her hvor mye prisen øker for hver ekstr kilo søppel husholdningen leverer. Konstnten forteller hvor mye firmet tr i strtpris for å hente søppel For å finne ut hvor mye hun tjener per kurv hun selger, må vi finne stigningstllet til linj. Vi leser v to punkter på figuren, for eksempel punktene (0, 200) og (40, 400). Stigningstllet kller vi. y = = = = 5 x Solfrid tjener ltså 5 kr ekstr per kurv hun selger. Aschehoug Side 21 v 56

22 Løsninger til oppgvene i ok Vi leser v figuren og ser t for å tjene mer enn 1000 kr per dg, må hun selge mer enn 160 jordærkurver. Vi kunne også funnet dette ved å ruke formelen y = x +. Vi hr = 5. Ut fr figuren kn vi lese v = 200, som er tllet der grfen skjærer y-ksen, det såklte konstntleddet. Vi setter d inn y = 1000 i formelen y = 5x = 5x = 5x 800 = 5x 800 5x = = x x = 160 Altså tjener hun 1000 kr ved å selge 160 kurver, og siden grfen stiger mot høyre, må hun selge mer enn 160 kurver for å tjene mer enn 1000 kr Prisen på juleesken tilsvrer linjs konstntledd, ltså der linj skjærer y-ksen. Vi finner dette punktet med GeoGer med verktøyknppen «Skjæring mellom to ojekt», og klikker så på grfen og på y-ksen. Vi får d punktet (0,12), og vi vet dermed t juleesken kostet 12 kr. Prisen per hektogrm sjokolde tilsvrer stigningstllet til linj. Vi ruker to v punktene vi hr fått oppgitt i tellen, for eksempel (3, 42) og (6, 72), og finner ved å dele økningen i y på økningen i x. Aschehoug Side 22 v 56

23 Løsninger til oppgvene i ok y = = = = 10 x Prisen per hektogrm sjokolde lir dermed 10 kr. c Linj er en rett linje og kn skrives på formen y = x +. Vi hr og fr oppgven ovenfor, og linj hr likningen y = 10x Vi ytter nå ut venstre side med 60. y = 10x = 10x = 10x 48 = 10x 48 10x = x = 4,8 Sjokoldekulene veier 4,8 hg Vi setter år 2008 som x = 0, 2010 som x = 2 osv. Vi leser v figuren og plotter de fire punktene (0, 8800), (2, 8500), (3, 8350) og (5, 8050) inn i regnerket i GeoGer. Vi mrker punktene og ruker deretter verktøyknppen «Lg liste med punkt». Vi får nå punktene i Grfikkfeltet i GeoGer. Vi velger så verktøykppen «Linje» og klikker på to v punktene. Vi får d opp den rette linj gjennom punktene, og funksjonsuttrykket 150x + y = 8800 dukker opp i lgerfeltet. Dette kn vi omforme til y = 150x Stigningstllet lir dermed = 150. Det vil si t folketllet i kommunen synker med 150 per år Vi strter med å finne stigningstllet i formelen. Til dette ruker vi forndringen i y-verdi og deler på forndring i x-verdi. y = = = = 1 x Deretter finner vi. Vi ruker x-verdien 20 og den tilhørende y-verdien 200, og setter, x og y inn i formelen. 200 = = = 220 Vi setter nå = 1 og = 220 inn i formelen. T( x) = 3x + 88 Stigningstllet = 1 vil si t den mksimle pulsfrekvensen til en person minker med ett slg per år, jo eldre personen lir. Aschehoug Side 23 v 56

24 c Vi setter x = 35 inn i likningen y = x y = = 185 Mksiml pulsfrekvens for en 35-åring lir dermed 185 slg per minutt. d Vi ytter ut venstre side i likningen med y = x = x = x x = 40 = x Løsninger til oppgvene i ok Mksiml frekvens på 180 slg per minutt kn en person forvente som er 40 år gmmel. Vi ruker GeoGer og plotter de tre punktene (3, 79), (5, 73) og (7,67) inn i regnerket i GeoGer. Vi mrker punktene og ruker deretter verktøyknppen «Skjæring mellom to ojekt». Vi får nå punktene i Grfikkfeltet i GeoGer. Vi velger så verktøyknppen «Linje» og klikker på to v punktene. Vi får d opp den rette linj gjennom punktene, og funksjonsuttrykket 3x + y = 88 dukker opp i lgerfeltet. Dette kn vi omforme til y = 3x Vi ytter ut y med T( x ) og får uttrykket T( x) = 3x Vi ytter ut venstre side i funksjonsuttrykket med 60. T( x) = 3x = 3x = 3x 28 = 3x 28 3x = 3 3 x = 9,33 Det vil si t det tr c. 9 timer og 20 minutter før temperturen kommer under 60 C. c Denne modellen vil ikke gi noen god eskrivelse etter lng tid på grunn v t den er lineær. Etter hvert vil kkoen i virkeligheten skte, men sikkert, nærme seg temperturen i omgivelsene rundt. Temperturen i vår modell vil derimot fortsette å synke til evig tid, og etter hvert vil modellen gi negtive temperturer med kuldegrder Økningen i medlemstllet tilsvrer stigningstllet til funksjonen. Det vil si t økningen vr på 17 medlemmer per år. c Fr 1. jnur 2008 til 1. jnur 2013 hr det gått fem år. Det vil si t medlemstllet hr økt med 5 17 = 85 medlemmer i dette tidsrommet. Antll medlemmer 1. jnur 2008 tilsvrer funksjonsuttrykkets konstntledd. Det vil si t det vr 684 medlemmer i idrettslget denne dtoen. Aschehoug Side 24 v 56

25 3.46 Løsninger til oppgvene i ok Vi strter med å finne funksjonens stigningstll. Til dette ruker vi forndringen i y-verdi og deler på forndring i x-verdi. y = = = = 420 x Konstntleddet tilsvrer folketllet i 2008, ltså = Riktig funksjonsuttrykk lir dermed f( x) = 420x , lterntiv Vi leser v figuren og ser t linjene skjærer hverndre i punktet (2, 6). Det vil si t x = 2 er løsningen på likningen. Vi må finne de to funksjonsuttrykkene på formen y = x +. Vi leser v figuren og finner de to funksjonsuttrykkene som f( x) = 2x + 2 og gx ( ) = x + 8. Likningen som Kine skulle løse, lir dermed 2x + 2 = x For å undersøke om prisen og vekten er proporsjonle størrelser, deler vi prisen på vekten i hvert v de tre tilfellene. Vi får d disse resulttene: 20, ,5 =, 32, ,8 = og 48,00 = 40. 1, 2 Vi ser t forholdet mellom pris og vekt er det smme i lle tre tilfellene, og prisen er dermed proporsjonl med vekten. Prisen tilsvrer proporsjonlitetskonstnten som vi fnt i forrige oppgve, og prisen per kilo lir 40 kr ,50 Vi finner prisen per kilo ved å regne ut proporsjonlitetskonstnten: k = = 9. 2,5 Når x og y er proporsjonle størrelser, vet vi t y = k x, og dermed får vi funksjonsuttrykket: y = 9x Vi leser v et punkt på grfen, for eksempel (10,1200). Kine hr ltså tjent 1200 kr på 10 timer. y x = 10 = Timelønn er ltså 120 kr. Vi ser t lønn er proporsjonl med ntll timer Kine joer, siden grfen er lineær og går gjennom origo. Timelønn er den smme som proporsjonlitetskonstnten k. Aschehoug Side 25 v 56

26 3.51 Vi regner først ut ensinforruket per mil, ensin per mil. Løsninger til oppgvene i ok 8, 25 k = = 0,55. Det vil si t åten ruker 0,55 liter 15 For å kjøre 67 mil trenger Olsen dermed 67 0,55 = 36,85 liter ensin Vi finner prisen per tur (y) ved å regne ut x y ,50 y = 300 x. c d Vi undersøker om prisen per tur (y) er omvendt proporsjonl med ntll turer (x) ved å regne ut x y i hvert tilfelle. Vi får resulttene x y = = 75 4 = 50 6 = 8 37,50 = 300. Siden produktet x y er konstnt, er x og y omvendt proporsjonle. 300 y = x Aschehoug Side 26 v 56

27 3.53 Prisen per person finner vi ved å dele den totle kostnden på ntll personer. Pris ved fire personer Pris ved seks personer Pris ved x personer kller vi Px. ( ) Px ( ) = x = = 6000 kr per person = = 4000 kr per person. 6 Løsninger til oppgvene i ok c Her velger vi x-verdier fr 1 til 16. Det gjør vi fordi det ikke gir mening med pris per person for null personer, og hytt mksimlt hr 16 sengeplsser Disse to størrelsene er omvendt proporsjonle fordi en doling v ntll treninger per måned vil føre til en hlvering v prisen per trening i kroner. Når to størrelser endrer seg slik t en doling v den ene fører til hlvering v den ndre, sier vi t de er omvendt proporsjonle. Vi leser v grfen for x = 4. Den tilhørende y-verdien er 120, og det vil dermed ltså koste 120 kr per trening hvis Ole Mgnus trener fire gnger i uk. c Medlemskpets pris per måned finner vi ved å gnge prisen per trening med ntllet treninger. Vi ruker tllene fr oppgve. Månedspris = pris per trening ntll treninger Månedspris = = 480 kr Aschehoug Side 27 v 56

28 3.55 Løsninger til oppgvene i ok Figur 2 viser smmenhengen mellom proporsjonle størrelser. Det kommer v t grfen åde strter i origo og er rettlinjet. Begge disse kriteriene er ikke oppfylt i Figur 1 og Figur 3. Proporsjonlitetskonstnten til Figur 2 kller vi k. Vi ruker punktet (1, 2) på grfen som x og y. = y 2 k = 2 x 1 = 3.56 y = x er ikke en proporsjonl størrelse, siden grfen ikke vil strte i origo. y = 1, 2x er en proporsjonl størrelse, siden grfen er lineær og den strter i origo. y = 3 2 x er ikke en proporsjonl størrelse, siden grfen ikke er lineær Vi strter med å regne ut proporsjonlitetskonstnten til den midterste krtongen på 300 ml. = y 28,50 k = 0,095 x 300 = Det vil si t hver ml koster 0,095 kr. Vi finner nå prisen på de ndre krtongene ved formelen y = k x = 0,95 x, der x er ntll ml. Krtongen på 200 ml vil dermed koste y = 0, = 19,00 kr. Krtongen på 500 ml vil dermed koste y = 0, = 47,50 kr Vi strter med å plotte de tre punktene (3, 51), (5,85) og (7,119) inn i regnerket i GeoGer. Vi mrker punktene og ruker deretter verktøyknppen «Skjæring mellom to ojekt». Vi får nå punktene i Grfikkfeltet i GeoGer. Vi velger så verktøyknppen «Linje» og klikker på to v punktene. Vi ser d t lle de tre punktene ligger på en rett linje, og vi får oppgitt funksjonsuttrykket 17x + y = 0 i lgerfeltet. Dette funksjonsuttrykket kn omformes til y = 17x, der x står for ntll dger, y står for ntll leste sider, og 17 er proporsjonlitetskonstnten k, som forteller hvor mnge sider hn leser hver dg. Vi ytter nå ut venstre side med 323 siden ok hr 323 sider. y = 17x 323 = 17x x = x = 19 Det vil ltså t 19 dger å lese hele ok hvis Asgeir holder jevnt tempo. Aschehoug Side 28 v 56

29 Løsninger til oppgvene i ok 3.59 Vi ruker formelen for proporsjonle størrelser. y = k t Vi strter med å regne ut proporsjonlitetskonstnten k. y 4,0 1 k = = = 0,333 t 12 3 Vi hr nå formelen y = 0,333 t. Vi setter inn t = 8 i formelen og regner ut. y = 0,333 t = 0,333 8 = 2, 664 2, 7 Det vil si t lynnedslget vi hører etter 8 s, er 2,7 km unn Vi deler prisen på gven, 800 kr, på x ntll personer som er med på spleisingen. Hver og en må d etle K( x ) kr. x K( x) Vi får denne formelen: K( x) = 800 x 3.61 x y Vi strtet med å se på kolonnen der vi hr to opplysninger, nemlig t ved seks deltkere vil det koste 2000 kr per deltker. Vi kller ntll deltkere for x og prisen per person for y. Siden vi vet t størrelsene er omvendt proporsjonle, hr vi t k = x y, og vi vet t dette produktet er konstnt. k = x y = = Det vil si t det totlt koster kr å leie hytt, og vi får uttrykket y =. x Ved tre deltkere lir prisen y per deltker y = = 4000 kr. 3 For t prisen per deltker skl li 1500 kr, må vi ytte ut y i uttrykket med Aschehoug Side 29 v 56

30 Løsninger til oppgvene i ok = x x 1500 x = x x = 1500 x = 8 Altså koster det 1500 kr per person ved 8 deltkere Vi kn regne ut Dieps timelønn ( Kt ()) ved å dele 1400 kr på ntll timer (t) hun reider. Kt () 1400 = t c Ved regning ytter vi ut Kt () i formelen med 120 og etterpå med Kt ()= t = t Aschehoug Side 30 v 56

31 120t = t = 11, Diep må ltså joe 11,7 timer for t timelønn skl li 120 kr. Løsninger til oppgvene i ok = t 140t = t = = Diep må ltså joe 10 timer for t timelønn skl li 140 kr. Det vil si t hun må ruke mellom 10 og 11,7 timer for t timelønn skl ligge i riktig område. Grfisk løser vi dette ved å tegne en vnnrett linje ut fr 140 på y-ksen. Fr det punktet hvor denne vnnrette linj treffer grfen, tegner vi så en loddrett linje rett ned. Der denne loddrette linj skjærer x-ksen kn vi nå lese v hvor mnge timer hun må joe. Vi gjør det smme en gng til med 120 på y-ksen, og vi får de smme svrene som ved regning: Aschehoug Side 31 v 56

32 Løsninger til oppgvene i ok 3.63 y = 0,04x. I denne funksjonen er x og y proporsjonle størrelser, siden grfen går gjennom origo, og den er lineær. c d e 300 y =. I denne funksjonen er x og y verken proporsjonle eller omvendt proporsjonle x + 5 størrelser. 320 y = 0,8x. I denne funksjonen er x og y omvendt proporsjonle størrelser, siden en doling v x fører til en hlvering v y. y størrelser. 2 = x I denne funksjonen er x og y verken proporsjonle eller omvendt proporsjonle 5000 y =. I denne funksjonen er x og y omvendt proporsjonle størrelser, siden en doling x v x fører til en hlvering v y. f y = 25x. I denne funksjonen er x og y proporsjonle størrelser, siden grfen går gjennom origo, og den er lineær Hytteprisen skl være proporsjonl med ntll sengeplsser i hytt. Det vil si t en sengeplss må koste like mye, enten mn or i en liten eller stor hytte. I den lille hytt koster hver sengeplss 150 kr, og det vil den også gjøre i de ndre hyttene. En hytte med seks sengeplsser vil derfor koste = 900 kr. En hytte med tolv sengeplsser vil derfor koste = 1800 kr Vi finner først prisen det koster å leie ussen. Skolen må etle det smme for ussen, uvhengig v hvor mnge som lir med på turen. Prisen på ussen = = 9100 kr Vi finner nå prisen Px ( ) per deltker ved formelen Px ( ) =, der 9100 er prisen på x ussen og x er ntll deltkere. Det gir oss denne tellen: x Px ( ) Aschehoug Side 32 v 56

33 Løsninger til oppgvene i ok c J, tiludet fr usselskpet er et eksempel på omvendt proporsjonlitet. Det kommer v t størrelsene x og Px ( ) er omvendt proporsjonle størrelser. En doling v ntll deltkere x fører til en hlvering v prisen per deltker Px. ( ) 3.66 Høyde (x) og dimeter (y) i lysestken skl være omvendt proporsjonle. Det vil si t produktet v x og y er konstnt, og vi hr k = x y = = 160. Vi får d formelen k 160 y = = x x Lysestke to er 8 cm høy, og vi setter x = 8 inn i formelen. 160 y = = 20, og vi ser t lysestken må h en dimeter på 20 cm. 8 Lysestke tre er 20 cm høy, og vi setter x = 20 inn i formelen. 160 y = = 8, og vi ser t lysestken må h en dimeter på 8 cm. 20 Aschehoug Side 33 v 56

34 3.67 Løsninger til oppgvene i ok I denne oppgven hr vi x venner. Disse vennene må vi dele i to grupper, de to vennene som skl y etle kr, og resten v vennene, det vil si x 2 venner, som skl etle y kr. Til smmen skl 2 lle vennene etle kr, noe som gir oss denne likningen: y 2 + ( x 2) y = y + ( x 2) y = ( ( x )) y = Her setter vi y utenfor prentesen. y (1 + x 2) = Her åpner vi opp den innerste prentesen. y ( x 1) = y = x 1 Her deler vi på ( x 1) på egge sider v likningen. I denne formelen er x og y ikke omvendt proporsjonle størrelser siden en doling v den ene ikke vil føre til en hlvering v den ndre Påstnden er feil. Grfen krysser ikke x-ksen i x = 3. 2 Påstnden er riktig. Grfen hr et toppunkt, så dermed må < 0. 3 Påstnden er riktig. Grfens toppunkt hr y-verdi på 4. Vi ser t f( x ) = 3 i punktene der grfens y-verdi er 3. Vi leser v grfen og ser t det skjer i to punkter, og dermed for to x-verdier. x = 2 og x = 0. c Funksjonsverdien er negtiv for de x-verdiene der grfen ligger under x-ksen. Vi ser t det skjer når x < 3 eller når x > 1. Aschehoug Side 34 v 56

35 Løsninger til oppgvene i ok Funksjonen gjelder for de ti første dgene, og x står for ntll dger. Dermed skl vi tegne grfen for x-verdier mellom 0 og 10, eller sgt med mtemtiske symoler: 0 x 10. Konstntleddet tilsvrer hx ( )-verdien når x = 0. Det vil si t konstntleddet forteller oss hvor høy plnten vr idet Jenny plntet den. I dette tilfellet vr plnten 4 cm d den le stt i jord. Aschehoug Side 35 v 56

36 Løsninger til oppgvene i ok c d Vi tegner linj y = 6 i smme koordintsystem i GeoGer som grfen til h. Vi finner skjæringspunktet mellom linj og grfen ved å ruke verktøyknppen Skjæring mellom to ojekt, og vi klikker deretter på linj y = 6 og grfen til h. Vi finner d punktet (3,16, 6). Det vil si t x = 3,16 3, 2. Med ndre ord tr det 3,2 døgn før plnten hr litt 6 cm høy. Aschehoug Side 36 v 56

37 Løsninger til oppgvene i ok 3.71 Vi ruker formelen E. 2 Ex ( ) = 0,15 x og regner ut (55) 2 E (55) = 0,15 55 = 453, 75 kwh En vingelengde på 55 cm gir en energiproduksjon på 453,75 kwh. c Vi regner ut E (85). 2 E (85) = 0,15 85 = 1083, 75 Vi regner nå ut differnsen E(85) E(55) = 1083,75 453,75 = 630 kwh Det vil si t en økning v vingelengden gir en økning i energiproduksjonen på 630 kwh. Aschehoug Side 37 v 56

38 Løsninger til oppgvene i ok 3.72 Vi tegner den loddrette linj x = 750 i GeoGer og finner skjæringspunktet mellom linj og grfen til K med verktøyknppen «Skjæring mellom to ojekt». Vi ser d t det koster kr å produsere 750 enheter frossenfisk. c Vi tegner den vnnrette linj y = i GeoGer, og finner skjæringspunktet mellom linj og grfen til K med verktøyknppen «Skjæring mellom to ojekt». Vi ser d t vi kn produsere 1750 enheter frossenfisk for kr. d Inntektene ser vi t vi får ved å t prisen per enhet og gnge med ntllet enheter vi selger. Prisen per enhet er 45 kr, og vi selger x ntll enheter. Vi får d inntektene gitt ved funksjonen I( x) = 45 x. Aschehoug Side 38 v 56

39 Løsninger til oppgvene i ok e f Slgsinntekten er lik kostnden der de to grfene I og K skjærer hverndre. Det skjer to steder, i punkt A og i punkt B. Vi finner disse punktene ved å ruke verktøyknppen «Skjæring mellom to ojekt», og så klikke hver v de to grfene. Punktenes x-verdier forteller oss hvor mnge enheter vi må produsere, og vi ser t det skjer for x 270 og x Det vil si t vi må produsere enten 270 eller 2313 enheter frossenfisk. g Produksjonen vil gå i overskudd i det intervllet der grfen til I ligger høyere opp på y-ksen enn grfen til K. Vi ser t dette skjer mellom de to punktene A og B. I punkt A må vi vrunde oppover, mens i punkt B må vi vrunde nedover. Produksjonen går ltså i overskudd når vi produserer fr og med 271 enheter til og med 2313 enheter frossenfisk. Overskudd: 271 x Vi skl regne ut kostnden, inntekten og overskuddet når det produseres og selges 60 enheter. D må vi regne ut K (60), I (60) og O (60). 2 K (60) = 0,1 (60) (15 60) = 360. Det koster ltså 360 kr å produsere 60 enheter. I (60) = 8 60 = 480. Inntektene lir ltså 480 kr ved å selge 60 enheter. Overskuddet O (60) finner vi ved å t inntektene og trekke fr kostndene. O(60) = I(60) K(60) = = 120. Vi tjener ltså 120 kr på å produsere 60 enheter. Aschehoug Side 39 v 56

40 Løsninger til oppgvene i ok c d Produksjonen vil gå i overskudd i det intervllet der grfen til I ligger høyere opp på y-ksen enn grfen til K. Vi må ltså først finne skjæringspunktene mellom grfen til I og grfen til K. Vi ruker verktøyknppen Skjæring mellom to ojekt. I skjæringspunkt A er x = 50 og i skjæringspunkt B er x = 180. I disse to punktene er inntekten og kostnden like stor, og vi går i null, verken i overskudd eller underskudd. Mellom de to punktene går vi derimot i overskudd siden grfen til I ligger over grfen til K. Det vil si t vi går i overskudd hvis vi produserer fr og med 51 vrer til og med 179 vrer. Overskudd: 51 x 179 Overskudd = inntekter kostnder Ox ( ) = Ix ( ) Kx ( ) Ox x x x 2 ( ) = 8 (0, ) Ox x x x 2 ( ) = 8 0, h (16) 2 e Vi tegner grfen til Ox ( ) i GeoGer og skriver inn Ox ( ) = 0,1x + 23x 900 i inntstingsfeltet. Vi skriver deretter inn kommndoen Ekstremlpunkt[ O ] i GeoGer, og vi får toppunktet (115, 422,5). Det vil si t vi får størst overskudd ved å produsere 115 vrer, og d vil overskuddet vårt li på 422,50 kr. Aschehoug Side 40 v 56

41 Løsninger til oppgvene i ok 3.74 Det er vrmegrder når grfen til T ligger over x-ksen. Vi tster inn kommndoen Nullpunkt[ T ] i GeoGer for å finne funksjonens nullpunkter. Vi får d nullpunktene x = 12, 4 og x = 23,73. Det vil si t det vr vrmegrder fr litt etter kl. 12 til litt før midntt. For å regne ut minuttene nøyktig tr vi desimlene til x-verdiene og gnger med 60, siden det er 60 minutter per time. For 12,4 får vi d 0,4 60 = 24. Det vil si t x = 12, 4 tilsvrer klokkeslettet For 23,73 får vi d 0,73 60 = 43,8 44. Det vil si t x = 23,73 tilsvrer klokkeslettet Dermed får vi t det vr vrmegrder fr kl til kl dette døgnet. c For å finne høyeste og lveste tempertur tster vi inn kommndoen Ekstremlpunkt[ T ] i GeoGer. Vi finner d toppunktet og unnpunktet, og y-verdien til disse to punktene gir oss høyeste og lveste tempertur. Høyeste tempertur lir dermed 3,8 C, mens lveste tempertur lir 5,1 C. d For å finne ut når temperturen vr 2 C, ruker vi GeoGer. Vi tegner den vnnrette linj y = 2. I de punktene der linj skjærer grfen til T, vil temperturen være to grder. Vi finner disse punktene ved å ruke verktøyknppen «Skjæring mellom to ojekt», og så klikke på linj og grfen. Det gir oss x-verdiene x = 14,73 og x = 22,3. Ved å følge frmgngsmåten forklrt i oppgve, gir det oss tidspunktene og Aschehoug Side 41 v 56

42 3.75 Løsninger til oppgvene i ok 3 2 Vi setter inn t = 0 i funksjonsuttrykket Nt ( ) = 2,5t 30t + 90t og regner ut N (0). Vi sitter d kun igjen med konstntleddet 200, og vi ser t det vr 200 elg i området i Modellen gjelder for årene fr 2006 til I 2006 vr t = 0. Det vil si t i 2013 må t = 7, og vi tegner grfen for t-verdier fr og med 0 til og med 7. c 0 t 7 d Vi tegner linj y = 220 i smme koordintsystem som grfen til N i GeoGer. Deretter ruker vi verktøyknppen «Skjæring mellom to ojekt», og klikker på linj og grfen. Vi finner d t-verdiene, tidspunktene, på grfen, der ntllet elg er 220. Vi ser d t t = 0, 24 og t = 4,69. Det vil si t estnden psserte 220 dyr på vei opp våren 2006 og psserte 220 dyr på vei ned sensommeren Aschehoug Side 42 v 56

43 Løsninger til oppgvene i ok e Vi ruker GeoGer og kommndoen Ekstremlpunkt[ T ]. Vi velger punktet som hr høyest y- verdi, ltså toppunktet, som hr koordintene (2, 280). Det vil si t det vr mest elg 1. jnur 2008, og ntllet vr 280 elg. f Vi ruker GeoGer og kommndoen Ekstremlpunkt[ T ]. Vi velger punktet som hr lvest y- verdi, ltså unnpunktet, som hr koordintene (6, 200). Det vil si t det vr færrest elg 1. jnur 2012, og ntllet vr 200 elg. Men her må vi huske t det også vr 200 elg 1. jnur 2006, som vi fnt i oppgve, og oppgven hr ltså to svr. Både 1. jnur 2006 og 1. jnur Vi løser denne oppgven med GeoGer. Vi tegner d den loddrette linj x = 16, og finner skjæringspunktet mellom linj og grfen til h med verktøyknppen «Skjæring mellom to ojekt». Vi får d t y 166,6 cm. Det vil si t gjennomsnittshøyden til ei 16 år gmmel jente er 166,6 cm. c Vi løser denne oppgven med GeoGer. Vi tegner d den vnnrette linj y = 150 og finner skjæringspunktet mellom linj og grfen til h med verktøyknppen «Skjæring mellom to ojekt». Vi får d t x 11, 5. Det vil si t jenter i gjennomsnittshøyden psserer høyden 150 cm når de er 11 og et hlvt år gmle. Aschehoug Side 43 v 56

44 Løsninger til oppgvene i ok 3.77 Kl x C 16,0 17,4 17,0 14,6 10,2 Vi setter x-verdiene inn i funksjonsuttrykket 2 T( x) = 0, 24x + 1, 2x + 16 og regner ut. c Vi løser dette med GeoGer og strter med å tegne den vnnrette linj y = 17 i smme koordintsystem som grfen. Temperturen vil være høyere enn 17 C der grfen til T ligger over denne linj. Vi finner derfor skjæringspunktene mellom linj og grfen T med verktøyknppen «Skjæring mellom to ojekt» i GeoGer. Aschehoug Side 44 v 56

45 Løsninger til oppgvene i ok Dette gir oss x-verdiene x = 1, 06 og x = 3,94. Her må vi huske t x-verdiene ngir ntll timer etter kl. 12, og t for å finne ntllet minutter må vi gnge desimlene med 60, siden det er 60 minutter per time. Vi får d klokkeslettene og Det vil si t det vr over 17 C mellom kl og kl Inntektsfunksjonen er gitt ved I( x) = 90x. Det vil si t hver fugleksse selges for 90 kr. c Vi regner ut inntektene og kostndene ved å produsere og selge 35 fugleksser. I (35) = = 3150 kr. Det vil si t inntektene lir 3150 kr. 2 K (35) = 0,8 (35) = 3370 kr. Det vil si t kostndene lir på 3370 kr. Siden kostndene ved å produsere 35 fugleksser er større enn inntektene, ser vi t slget vil gå med underskudd. Overskuddet er gitt ved inntekter minus kostnder. For å finne det største overskuddet lger vi en ny funksjon ( ) Ox. Ox ( ) = Ix ( ) Kx ( ) Ox ( ) = 90 x (0,8x 14x ) = 90x 0,8x + 14x 2880 = 0,8x + 104x Vi tegner nå Ox ( ) = 0,8x + 104x 2880 i GeoGer og finner toppunktet ved kommndoen Ekstremlpunkt[ O ]. Det gir oss punktet (65, 500). Det vil si t det største overskuddet kommer ved å produsere og selge 65 fugleksser, og overskuddet er d på 500 kr. Aschehoug Side 45 v 56

46 Løsninger til oppgvene i ok 3.79 Vi løser denne oppgven grfisk og digitlt. Vi tegner d den loddrette linj x = 8 i GeoGer og finner skjæringspunktet mellom linj og grfen til v med verktøyknppen «Skjæring mellom to ojekt». Vi får d t y = 224 km/h. Det vil si t frten ved «tke off» vr 224 km per time. c Hlvprten v «tke-off»-frten vil si 224 : 2 = 112 km/h. Vi løser denne oppgven grfisk og digitlt. Vi tegner d den vnnrette linj y = 112 i GeoGer, og finner skjæringspunktet mellom linj og grfen til v med verktøyknppen «Skjæring mellom to ojekt». Vi får d t t = 5, 21 5, 2 s. Det vil si t det tr 5,2 s før frten er 112 km per time Vi løser denne oppgven ved vlesning. Toppunktet til f vil si der grfen hr sin høyeste y- verdi. Vi ser t dette skjer i punktet (1, 4). f (2) vil si t x-verdien er 2. Vi leser v grfen og ser t y-verdien som svrer til denne x- verdien, er y = 3. Dermed hr vi t f (2) = 3. c f( x ) = 3 vil si t y-verdien er 3. Vi leser v grfen og ser t det er tilfellet for to x-verdier, åde x = 0 og x = 2. Aschehoug Side 46 v 56

47 Løsninger til oppgvene i ok 3.81 v M( v) Vi setter verdiene for v inn i funksjonsuttrykket 2 M( v) = 0, 04v 5,9v c Vi ruker GeoGer og finner unnpunktet ved kommndoen Ekstremlpunkt[ M ]. Bunnpunktet gir oss x-verdien x = 73,75. Det vil si t en frt på 73,75 km/h gir lvest utslipp. d Vi ser i tellen t en frt på 60 km/h gir et utslipp på 185 g krondioksid per kilometer. 1 Hvis vi kjører i 60 km/h i en hlv time, vil vi til smmen h kjørt 60 = 30 km. 2 Det smlede utslippet vil dermed li = 5550 g, eller 5,55 kg krondioksid. Aschehoug Side 47 v 56

48 3.82 Løsninger til oppgvene i ok Siden det er 31 dger i mrs, velger vi x-verdier fr og med 1 til og med 31, 1 x 31. Vi ruker GeoGer og finner unnpunktet ved kommndoen Ekstremlpunkt[ B ]. Bunnpunktet gir oss x-verdien x = 11. Det vil si t det vr færrest esøkende 11. mrs. c Vi ser v grfen t det vr flest esøkende den siste dgen i mrs, ltså den 31. Det vil si t x = 31 denne dgen. Vi kn for eksempel regne ut B (31) for å finne ntll esøkende denne dgen. 2 B (31) = 3 (31) = 3001 Det vil si t det vr flest esøkende den 31. mrs, og denne dgen vr det 3001 esøkende. d Vi løser oppgven grfisk med GeoGer. Vi tegner den vnnrette linj y = 1909 i smme koordintsystem som B. Vi finner så skjæringspunktene mellom linj og grfen til B med verktøyknppen «Skjæring mellom to ojekt». Dette gir oss to punkt med x-verdiene x = 5 og x = 17. Det vil si t det vr 1909 esøkende den 5. mrs og den 17. mrs. Aschehoug Side 48 v 56

49 3.83 Vi regner ut V (0) ved å sette t = 0 inn i funksjonsuttrykket Løsninger til oppgvene i ok 2 Vt ( ) = 0,080t + 0, 2t V (0) = 20, som tilsvrer konstntleddet i uttrykket. Det vil si t det vr 20 liter vnn i tnken ved strt. Vi løser oppgven med GeoGer og tegner grfen Vt () i smme koordintsystem som den vnnrette linj y = 30. Vi finner så skjæringspunktet mellom linj og grfen til V med verktøyknppen «Skjæring mellom to ojekt». Dette gir oss et punkt med t-verdi t = 10. Det vil si t det tr 10 minutter før det er 30 liter vnn i tnken Vi regner ut stopplengden til ilen ved å sette x = 90 inn i funksjonsuttrykket 2 f( x) = 0,3x + 0,014x. 2 f (90) = 0, , 014 (90) = 140, 4 Det vil si t stopplengden i 90 km/h er 140,4 meter, og Erik vil ikke greie å stoppe i tide. Vi regner ut stopplengden når x = f (80) = 0, , 014 (80) = 113, 6. Det vil si t stopplengden i 80 km/h er 113,6 meter, og Erik vil greie å stoppe i tide. c Vi finner endringen i prosent ved å dele differnsen på utgngspunktet og gnge med 100. Frtsøkningen fr 80 til 90 km/h tilsvrer en økning på = 12,5 %. 80 Stopplengdeøkningen fr 113,6 til 140,4 tilsvrer en økning på 26,8 100 = 23, 6 %. 113,6 Aschehoug Side 49 v 56

50 Løsninger til oppgvene i ok 3.85 Vi ser t grfen synker fr t = 0 og frm til unnpunktet, og fr toppunktet og til t = 90. Vi ser t funksjonen vokser fr unnpunktet og frm til toppunktet. Vi ruker kommndoen Ekstremlpunkt[ N ] og finner topp- og unnpunktet. Bunnpunktet hr t-verdi t = 4, 6, mens toppunktet hr t-verdi t = 67,6. Antllet fluer øker dermed fr 4,6 timer og frm til det hr gått 67,6 timer. Antllet fluer synker fr strt og til det hr gått 4,6 timer, og fr det hr gått 67,6 timer og frm til forsøkets slutt etter 90 timer Først må vi gjøre om klokkeslettet 5.15 til desimltll. Det gjør vi ved å gnge 0,15 med 100 og dele på 60, siden det er 60 minutter i en time. Det vil si t 5.15 tilsvrer desimltlltllet 5,25. Vi kunne også tenkt t 15 minutter er det smme som et kvrter, som utgjør en firedels time. 0,25 er det smme som en firedel. Vi regner nå ut h (5, 25) for å finne snødyden. 3 2 h (5, 25) = 0, 0075 (5, 25) 0, (5, 25) + 1, 055 5, 25 = 4, 45 Snødyden vr ltså 4,45 cm. Aschehoug Side 50 v 56

51 Løsninger til oppgvene i ok Vi løser oppgven med GeoGer og tegner grfen hx ( ) i smme koordintsystem som den vnnrette linj y = 2,0. Vi finner skjæringspunktet mellom linj og grfen til h med verktøyknppen «Skjæring mellom to ojekt». Dette gir oss to punkt med x-verdiene x = 1, 95 og x = 10,76. Det vil si t snødyden er 2,0 cm to gnger ntt til 1. juni. Første gng rett før kl. 2 på ntt mens snømengden fortstt stiger, og ndre gng kvrt på 11 på morgen mens snømengden er i ferd med å smelte ort. c Vi ruker kommndoen Ekstremlpunkt[ h ] og finner toppunktet. Toppunktet hr koordintene (6,85, 4,81). Det vil si t snødyden vr størst 6,85 timer etter midntt, noe som tilsvrer klokkeslettet Vi finner klokkeslettet ved å gnge 0,51 med 60, siden det er 60 minutter i en time. Snødyden ved dette tidspunktet vr 4,81 cm. d Vi finner funksjonens nullpunkt ved kommndoen Nullpunkt[ h ]. Nullpunktets x-verdi er x = 11,86. Vi regner ut differnsen mellom nullpunktet og toppunktet: 11,86 6,85 = 5,01 5. Det vil si t det tr 5 timer fr snøen er på sitt dypeste til den hr smeltet igjen Vi løser oppgven grfisk med GeoGer og tegner K( x) = 0,6x og I( x) = 25x i smme koordintsystem. Produksjonen vil gå i overskudd der grfen til I( x ) ligger over grfen til K( x ). Vi ser v grfen t dette skjer mellom de to skjæringspunktene. Vi finner skjæringspunktet mellom grfene med verktøyknppen «Skjæring mellom to ojekt». Dette gir oss to punkt med x-verdiene x = 7,3 og x = 34, 4. Siden vi re kn produsere hele enheter, må 7,3 rundes opp og 34,4 rundes ned. Produksjonen vil gå med overskudd når den produserer fr og med 8 til og med 34 enheter. 8 x 34 Vi finner overskuddet ved å t inntekter minus kostnder. Vi lger en ny funksjon Ox ( ) = Ix ( ) Kx ( ) Ox ( ) = 25 x (0, 6x + 150) = 25x 0, 6x 150 = 0, 6x + 25x 150. Vi tegner Ox ( ) i GeoGer. Vi ruker kommndoen Ekstremlpunkt[ O ] og finner toppunktet. Toppunktet hr koordintene (20,8,110,4). Det vil si t overskuddet lir størst ved å produsere 21 enheter. Vi regner ut O (21) og finner t dette overskuddet er 110,40 kr. Aschehoug Side 51 v 56