Løsningsforslag til obligatorisk oppgave i ECON 2130
|
|
- Kjetil Sørensen
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Andres Mhre April 13 Løsningsforslg til obligtorisk oppgve i ECON 13 Oppgve 1: E(XY) = E(X(Z X)) Setter inn Y = Z - X E(XY) = E(XZ X ) E(XY) = E(XZ) E(X ) X og Z er uvhengige v hverndre, så Cov(X, Z) =. Dermed er E(XZ) = Cov(X, Z) + E(X)E(Z) også lik, E(XY) = - E(X ) siden E(X) = E(Z) =. E(XY) = - (Vr(X) + (E(X)) ) Bruker formelen Vr(X) = E(X ) (E(X)) E(XY) = - Vr(X) E(XY) = -1 Hr fått oppgitt i oppgven t X er normlfordelt med forventning E(X) lik og stndrdvvik lik 1. D er også Vr(X) = 1. Cov( X, Y ) x Cov( X, Y) Vr ( X )* Vr ( Y) Vr(X) = 1, og Vr (Y) kn skrives som Vr(Z X): E( XY ) x Vr ( Z X ) µ x = µ =, så dette leddet fller bort. E( XY ) Vr (1* Z ( 1) X ) 1 1 Vr ( Z) ( 1) Vr ( X ) 1 Vr ( Z) Vr ( X ) Vr(Z) og vr(x) er begge lik 1. Så: 1 1
2 Oppgve : Her lot jeg først Excel til å trekke tll for vriblene X og Z, der X og Z er normlfordelte med forventning og stndrdvvik 1. Deretter lgde jeg en tredje kolonne for Y, og stte Y lik Z - X. Først lgde jeg et punktdigrm for vriblene X og Z, og fikk følgende resultt: 1,5 1, ,5 Serie1-1 -1,5 - Her ser vi t det er stor spredning og liten smmenheng mellom vriblene, X og Z virker å være uvhengige v hverndre. Korrelsjonen mellom X og Z er derfor i dette tilfellet liten (,17 i med disse tllene i Excel), d det ikke er noen tdelig lineær smmenheng. Den forventede korrelsjonen mellom X og Z er lik, så vårt estimt bommer noe på den snne korrelsjonen. Dette skldes i hovedsk tilfeldigheter og t vi hr få observsjoner. Deretter gjorde jeg kkurt det smme for vriblene X og Y. Resulttet ble slik:,5,5 Serie1 - -1,5-1 -,5 -,5,5 1 1,5 1, ,5 - Her ser vi en viss smmenheng mellom vriblene, d det ikke er noen observsjoner v lv verdi på X som medfører lv verdi på Y, og ingen observsjoner v hø verdi for X som medfører en hø verdi for Y. Vi observerer derfor en negtiv smmenheng mellom vriblene. X og Y gir dermed et visst inntrkk v vhengighet, som forventet, d den teoretiske korrelsjonen mellom X og Y er -.77.
3 Oppgve 3: Først skl vi se t vi kn skrive korrelsjonen som 1 Vi hr Cov( X, Y ) x og Y = Z + X Cov( X, Y) Vr ( X )* Vr ( Y) Vr(X) = 1, så vi kn skrive: E( XY ) x Vr ( Y) µ x = µ =, så dette leddet fller bort. Setter inn for Y: E( X ( Z X )) Vr ( Z X ) E( XZ ) E( X Vr ( Z) 1 ) Vr ( X ) Siden X og Z er uvhengige er E(XZ) =. E(X ) = Vr(X) + (E(X)) = 1. Vr(X) = Vr(Z) = 1. D kn vi skrive uttrkket som: Deretter løser vi denne likningen mhp for ρ = -. og ρ =.9: For ρ = -.: 1 (-.) = 1.4(1+ ) =.4 =.4 3
4 .96 =.4 1 = 4 1 = ± = ± Her blir = fordi og ρ må h smme fortegn. Etter å h simulert n = observsjoner for X og Z i Excel på smme måte som i oppgve, lger vi en tredje kolonne for Y, der vi setter Y = Z.414X. Deretter plotter vi X og Y-vriblene i et punktdigrm. Der fikk jeg følgende resultt: 3,5 1,5 1,5 Serie1 - -1,5-1 -,5 -,5,5 1 1,5-1 -1,5 Her ser vi t det er en svk negtiv smmenheng mellom X og Y, omtrent som forventet, d ρ = -.. For ρ =.9: 1 (.9) = 1.81(1+ ) =.81 = =.81 4
5 81 = = ± = ± Her blir =.6474 fordi og ρ må h smme fortegn. Deretter gjør vi det smme som i sted, og får dette spredningsplottet: Serie Her ser vi t det er en tdelig lineær smmenheng mellom X og Y, som er positiv. Smmenhengen er me tdeligere enn i sted, noe som skldes t bsoluttverdien på ρ er større ved dette tilfellet. Oppgve 4: Her bruker vi tllene fr oppgve, og beregner korrelsjonen mellom X og Y ved hjelp v Excel. Resulttet jeg fikk, ltså estimert korrelsjon mellom X og Y med mine observsjoner, ble r = Estimeringsfeilen er dermed (-.77) =.1355 Vi ser t korrelsjonen mellom X og Y for n = tilfeldige vribler er i nærheten v det forventede resulttet (-.77), men smtidig ikke helt nøktig. Dette skldes i stor grd størrelsen på utvlget, d n = er et forholdsvis lite utvlg. Hdde vi økt n, og dermed fått et større utvlg, hdde snnsnligvis estimeringsfeilen vært mindre. Men størrelsen på estimeringsfeilen skldes også i stor grd tilfeldigheter. 5
6 Frekvens Oppgve 5: Etter å h fått 5 ulike observsjoner for r, lgde jeg et histogrm med 6 intervller og intervllbredde.5. Histogrmmet mitt ble seende slik ut: Histogrm ,85 -,8 -,75 -,7 -,65 -,6 Mer Intervll Frekvens Til tross for reltivt få observsjoner for r (5 observsjoner), gir histogrmmet et visst inntrkk v t r er normlfordelt, d det er en klr tendens til t de fleste observsjonene smler seg rundt gjennomsnittet for de 5 observsjonene for r, som er -.74 (se Excel-rk). Smtidig er flere v observsjonene for r er et stkke unn denne verdien. Dette kn forklres ved hjelp v størrelsen på stndrdvviket for r, som Excel beregnet til å være.67 med dette dtsettet. Hdde stndrdvviket vært mindre, hdde snnsnligvis flere v observsjonene smlet seg rundt midten v histogrmmet ved fst intervllbredde. Gjennomsnittet er beregnet til , og medinen til Vi ser her t begge disse verdiene treffer forholdsvis br i forhold til forventningsverdien ρ (som er -.77), selv om treffsikkerheten nok kunne vært bedre. Gjennomsnittet bommer ltså med.3357 på den forventete korrelsjonen. Stndrdvviket til gjennomsnittet v observsjonene for r, er v Excel beregnet til å være.1364 (står som stndrdfeil i Excel). Vi forventer ltså t gjennomsnittet bommer med.1364 på den snne verdien ρ med dette dtsettet. Men gjennomsnittet bommer her med me mer, fktisk så me som.53 stndrdvvik (sjekk selv; t gjennomsnittet v observsjonene for r minus forventningsverdien (ρ) delt på stndrdvviket til gjennomsnittet, klt stndrdfeil i Excel). Dette er en forholdsvis stor bom også reltivt til stndrdvviket, men smtidig ikke unturlig stort. Hdde vi htt flere observsjoner, hdde gjennomsnittet v observsjonene våre for r snnsnligvis truffet end nærmere forventningsverdien ρ. Men me v årsken til størrelsen på bommen skldes i dette tilfellet tilfeldigheter. Vår estimerte korrelsjon r virker å være en reltivt pålitelig estimtor for den snne korrelsjonen ρ, vi må i lle fll være forsiktige med å konkludere med det motstte. Største verdi for r vr , og minste verdi Dette gir en differnse på.7647 mellom største og minste verdi. 6
7 Frekvens Oppgve 6: Her gjør vi det smme som i oppgve 5, men øker n slik t n = 5 (for hver observsjon v r). Dette g meg følgende histogrm for observsjonene v r, med smme intervllbredde (.5) som i oppgve 5: Histogrm ,8 -,75 -,7 -,65 -,6 -,55 Mer Intervll Frekvens Dette histogrmmet ser litt nnerledes ut enn det jeg fikk i oppgve 5, men også her får vi inntrkket v t r er normlfordelt. Her ser histogrmmet mer pålitelig ut, d ingen v intervllene skiller seg voldsomt ut med en veldig hø eller lv frekvens. Dette histogrmmet gir også muligens et litt klrere inntrkk v t r er normlfordelt i forhold til i oppgve 5. Dette er helt forventet siden ntllet observsjoner for hver v de 5 estimtorene for ρ (ltså våre 5 observsjoner for r) hr økt fr til 5. Men vær obs på t dette også i stor grd kn skldes tilfeldigheter, d et histogrm kn se rimelig forskjellig ut vhengig v hvor mn setter intervllgrensene. Det er begrenset for hvor bstnte konklusjoner mn kn trekke fr et histogrm med så få observsjoner. Gjennomsnittet for våre 5 observsjoner for r er nå beregnet til å være -.714, og medinen er Disse verdiene treffer ltså bedre enn verdiene i oppgve 5 på den forventede verdien ρ = Dette er i tråd med forventningene om t gjennomsnittet er en mer pålitelig estimtor for den snne verdien ρ når ntllet observsjoner øker. Men som vi skl se, skldes dette her i stor grd tilfeldigheter. Stndrdvviket til r og stndrdvviket til gjennomsnittet til r (står som stndrdfeil i Excel) er henholdsvis.67 og.134, ltså nesten det smme som i oppgve 5. Fordi vi hr flere observsjoner for hver verdi v r, skulle en forvente t flere v verdiene smlet seg rundt midten v histogrmmet ved smme intervllbredde, dvs. en skulle forvente t stndrdvviket for r vr mindre enn i oppgve 5. Dette er dog ikke tilfellet her, så vi må konkludere med t dette skldes tilfeldigheter. Gjennomsnittet treffer likevel bedre enn i oppgve 5 (som ikke er gitt med tnke på t stndrdvviket for gjennomsnittet er omtrent det smme). For å komme med en litt mer generell konklusjon: Vi forventer t stndrdvviket for r, er mindre jo flere observsjoner vi hr for hver verdi v r. Altså forventer vi også t stndrdvviket til gjennomsnittet for observsjonene v r, er mindre jo flere observsjoner vi hr for hver verdi v r. Således forventer vi t gjennomsnittet treffer bedre på den snne verdien ρ jo flere observsjoner vi hr for hver verdi v r. Det gjorde det også i dette tilfellet, men ikke på grunn v lvere stndrdvvik. Her skldtes det i hovedsk tilfeldigheter. Men t stndrdvviket for r ikke vr mindre selv om ntll observsjoner økte, vr ikke forventet, og således også tilfeldig. 7
8 Oppgve 7: Etter å h simulert 5 observsjoner for X og Z, og stt Y = Z 3X fikk jeg følgende resultt: Serie1 Deretter beregnet jeg korrelsjonen mellom X og Y i Excel, og fikk r(x, Y) =.783. Resulttet tder derfor på t det ikke er noen klr lineær smmenheng mellom X og Y, noe vi også ser i punktdigrmmet, t det ikke er. Vi observerer derimot t X og Y likevel virker å være stokstisk vhengige v hverndre, d observsjonene smler seg rundt det som ville vært en ikke-lineær kurve i digrmmet. Men denne effekten fnges ikke opp i beregningen v korrelsjonen. Dette er fordi korrelsjonsverdien r som vi beregner, beskriver den lineære smmenhengen mellom X og Y. I dette tilfellet er det heller ingen klr lineær smmenheng, men definitivt en smmenheng. Vi kn derfor konkludere med t r ikke nødvendigvis er egnet til å beskrive en smmenheng mellom to vribler som ikke er lineær. Her ser vi t selv om kovrinsen mellom to vribler forventes å være lik (og derfor også korrelsjonen), trenger ikke nødvendigvis vriblene å være uvhengige. Beregner også den snne ρ: Cov( X, Y) x Cov(X, Y) = E(XY) - µ x µ Forventningen til X og Y er lik. Cov(X, Y) = E(X(Z 3X )) Cov(X, Y) = E(XZ 3X 3 ) Cov(X, Y) = E(XZ) 3E(X 3 ) X og Z er uvhengige og E(XZ) er derfor lik. E(X 3 ) er også lik når X er normlfordelt med Cov(X, Y) = forventning. Og derfor må også korrelsjonen mellom X og Y, ltså ρ(x, Y) være lik. Korrelsjon lik tilsier t det ikke er noen form for lineær smmenheng mellom X og Y, og eksperimentet gikk dermed omtrent som forventet, d estimeringsverdien r vr svært liten, og ikke signifiknt forskjellig fr. 8
9 HKS-dødelighet Oppgve 8: (i) = 4511 = 148 X sigrettkonsum per voksen per år. = 34. = Y HKS-dødelighet per 1. S x = S = Bruk formlene oppgitt i oppgve 4 for estimering v stndrdvviket til x og smt kovrinsen. S x = Estimerer ρ: r(x, Y) = r(x, Y) = S S x x S * r(x, Y) = Smmenheng mellom sigrettkonsum og HKS-dødelighet Serie1 Lineær (Serie1) Sigrettkonsum 9
10 Vi ser t det er en reltivt klr smmenheng mellom sigrettkonsum og HKS-dødelighet, uten t det forklrer lt. Korrelsjonskoeffisienten r =.795, gir r = Dermed forklres c. 53 % v HKS-dødeligheten ut ifr sigrettkonsumet. Resten blir stående uforklrt i vår modell. Denne uforklrte delen, er et resultt v t ndre fktorer også spiller inn (som for eksempel lndenes helsevesen), feilmrgin (kommer n på størrelsen på utvlget) smt tilfeldigheter. Smmenhengen er likevel såpss klr t vi trolig kn slå fst t røking fører til en hppigere HKS-dødelighetsrte. Hvor sikkert vi kn slå fst dette, skl vi se nærmere på i oppgve 9. (ii) Hvis vi endrer benevningen for HKS-dødelighet til å omhndle hver 1, vil vi få følgende endringer: Estimtor for stndrdvvik for X og Y: S x = S = uendret. 1/1 i forhold til i sted. Estimtor for kovrinsen: S x = /1 i forhold til i sted. Estimtor for korrelsjonskoeffisienten: r(x, Y) = r(x, Y) = S S x x S * r(x, Y) =.795 uendret. Vi ser her t om vi endrer benevningen for HKS-dødeligheten til pr. 1, vil lle Y- verdiene bli 1 gnger mindre. Dette får konsekvenser for stndrdvviket til Y og kovrinsen mellom X og Y, som begge får lvere verdier i forhold til i sted. Korrelsjonskoeffisienten, derimot, forblir uendret. Fordi lle Y-verdiene endres proporsjonlt med X, vil ikke den reltive smmenhengen mellom X og Y bli påvirket. 1
11 Oppgve 9: (i) Ved å plotte en rd for verdiene v x for så å beregne verdiene for h(x), får vi følgende grf: 3 h(x) 1-1,5-1 -,5,5 1 1,5-1 h(x) - -3 Som vi ser er strengt voksende i x. Legg også merke til t funksjonen er kontinuerlig, dvs. det er ingen hopp. (ii) Legg merke til t Z = h(r), den smme funksjonen som i oppgve (i) bre med r som rgument istedenfor x. Siden h(r) er en strengt voksende, kontinuerlig funksjon v r, vil h(r) være større enn eller lik h(r ) hvis og bre hvis r er større enn eller lik r. Å si t h(r) er større enn eller lik h(r ) er derfor ekvivlent med å si t r er større enn eller lik r. Snnsnligheten for t r er større enn eller lik r er derfor det smme som snnsnligheten for t Z er større enn eller lik h(r ). Altså P(r r ) = P(Z h(r )). (iii) Vi hr P(r r ) = P(Z h(r )). Vår observerte verdi for r fr oppgve 8, vr r =.795. Så vi kn sette inn denne verdien i uttrkket: P(r.795) = P(Z h(.795)) = P(Z ) = P(Z 8.97) Siden vi vet t Z er tilnærmet normlfordelt med forventning og stndrdvvik 1, kn vi tolke dette uttrkket slik: Snnsnligheten for t vi observerer en verdi for r som er større enn vår verdi under ntgelsen ρ =, er det smme som snnsnligheten for t en normlfordelt vribel er minst 8.97 stndrdvvik unn sin forventede verdi. Altså ekstremt usnnsnlig. Hvor usnnsnlig, kn vi finne ut ved hjelp v Excel, eller ved hjelp v tbell D.3 i Løvås. 11
12 For en normlfordelt vribel med forventning og stndrdvvik 1 gjelder følgende: P(Z z) = G(z) P(Z 8.97) = 1 - P(Z < 8.97) = 1 - P(Z 8.97) Siden Z er en kontinuerlig vribel. Så P(Z 8.97) = 1 - P(Z 8.97) = 1 - G(8.97) Ved å bruke Excel, finner vi G(8.97) 1. Altså er P(r.795) = P(Z 8.97). Vi observerer en p-verdi så liten t vi kn runde den v til. Dette betr t snnsnligheten for t vi observerer en verdi for r som er større enn vår verdi, er tilnærmet lik under ntgelsen om t ρ =. Vi burde derfor vurdere om ntgelsen vår er feil, og t det finnes en smmenheng mellom vriblene, dvs. ρ. I dette tilfellet er resulttet svært signifiknt, og vi kn fstslå nesten helt sikkert t ρ, og t det er en smmenheng mellom sigrettkonsum og HKS-dødelighet. En p-verdi nærme forteller oss t snnsnligheten for t ρ = er ekstremt liten, og konklusjonen vår om t ρ nesten lltid er snn. I dette tilfellet konkluderer vi med t ρ >, dvs. smmenhengen er positiv. Merk: Tbell D.3 i Løvås hr bre verdier for G opp til c. 3. Vi ser t llerede for G(3) er snnsnligheten veldig nærme 1. Altså er det ekstremt sjeldent en normlfordelt vribel er mer enn 3 stndrdvvik unn sin forventede verdi. Dermed er det end sjeldnere t en normlfordelt vribel er så me som 8.97 stndrdvvik unn sin forventede verdi, og snnsnligheten for dette er veldig nærme. For verdier over 3 er vi derfor såpss sikre t vi i de fleste tilfeller kn runde snnsnligheten opp til 1. Men pss her på å si t snnsnligheten er tilnærmet lik 1, for helt 1 % sikkert er det ikke, men nesten! 1
Løsningsforslag til obligatorisk oppgave i ECON 2130
Andreas Mhre April 15 Løsningsforslag til obligatorisk oppgave i ECON 13 Oppgave 1: E(XY) = E(X(Z X)) Setter inn Y = Z - X E(XY) = E(XZ X ) E(XY) = E(XZ) E(X ) E(XY) = - E(X ) X og Z er uavhengige, så
DetaljerLøsningsforslag ECON 2130 Obligatorisk semesteroppgave 2017 vår
Løsningsforslag ECON 130 Obligatorisk semesteroppgave 017 vår Andreas Myhre Oppgave 1 1. (i) Siden X og Z er uavhengige, vil den simultane fordelingen mellom X og Z kunne skrives som: f(x, z) = P(X = x
DetaljerTema 2: Stokastiske variabler og sannsynlighetsfordelinger Kapittel 3 ST :44 (Gunnar Taraldsen)
Tem 2: Stokstiske vribler og snnsynlighetsfordelinger Kpittel 3 ST1101 2019-01-13 12:44 (Gunnr Trldsen) Det nts i nottet t S er et utfllsrom utstyrt med en snnsynlighet P (A) for enhver hendelse A F. F
DetaljerS2 kapittel 6 Sannsynlighet
S kpittel 6 Snnsynlighet Løsninger til oppgvene i bok Oppgve 6. Ett v de 36 mulige utfllene er gunstig for hendelsen S. Alle de 36 mulige utfllene er like snnsynlige. Altså er PS ( ) 36 b Det er utfll
DetaljerBioberegninger - notat 3: Anvendelser av Newton s metode
Bioberegninger - nott 3: Anvendelser v Newton s metode 20. februr 2004 1 Euler-Lotk ligningen L oss tenke oss en populsjon bestående v individer v ulik lder. L n være mksiml lder. L m i være ntll vkom
DetaljerBrøkregning og likninger med teskje
Brøkregning og likninger med teskje Dette heftet gir en uformell trinn for trinn gjennomgng v grunnleggende regler for brøkregning og likninger. Dette er sto som vi i FYS 000 egentlig forventer t dere
DetaljerFasit til utvalgte oppgaver MAT1100, uka 20-24/9
Fsit til utvlgte oppgver MAT00, uk 20-24/9 Øyvind Ryn oyvindry@ifi.uio.no September 24, 200 Oppgve 5..5 år vi viser t f er kontinuerlig i ved et ɛ δ-bevis, er det lurt å strte med uttrykket fx f, og finne
DetaljerMatematikk Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 9 Numerisk integrasjon
Mtemtikk 1000 Øvingsoppgver i numerikk leksjon 9 Numerisk integrsjon Forståelsen v integrlet som et rel ligger til grunn når vi skl beregne integrler numerisk. Litt mer presist: Når f(x) 0 for lle x i
DetaljerSensorveiledning Oppgaveverksted 4, høst 2013 (basert på eksamen vår 2011)
Sensorveiledning Oppgveverksted 4, høst 203 (bsert på eksmen vår 20) Ved sensuren tillegges oppgve vekt 0,2, oppgve 2 vekt 0,4, og oppgve 3 vekt 0,4. For å bestå eksmen, må besvrelsen i hvert fll: gi minst
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det mtemtisk-nturvitenskpelige fkultet Eksmen i: STK1110 Sttistiske metoder og dtnlyse 1 Eksmensdg: Tirsdg 18. desemer 2018 Tid for eksmen: 09.00 13.00 Oppgvesettet er på 5 sider.
Detaljer1 Mandag 25. januar 2010
Mndg 5. jnur Vi fortsetter med å se på det bestemte integrlet, bl.. på hvordn vi kn bruke numeriske beregninger til å bestemme verdien når vi ikke nødvendigvis kn finne en nti-derivert. Videre skl vi t
DetaljerMatematikk 1000. Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 8 Numerisk integrasjon
Mtemtikk 1000 Øvingsoppgver i numerikk leksjon 8 Numerisk integrsjon Som kjent kn vi regne ut (bestemte) integrler ved nti-derivsjon. Dette resulttet er et v de viktikgste innen klkulus; det heter tross
DetaljerMAT 1110: Løsningsforslag til obligatorisk oppgave 2, V-06
MAT : Løsningsforslg til obligtorisk oppgve, V-6 Oppgve : ) Hvis = (,,...) og = (,,...) er to vektorer, vil kommndoen >> plot(,) tegne rette forbindelseslinjer mellom punktene (, ), (, ) osv. For å plotte
Detaljer5: Algebra. Oppgaver Innhold Dato
5: Alger Pln resten v året: - Kpittel 6: Ferur - Kpittel 7: Ferur/mrs - Kpittel 8: Mrs - Repetisjon: April/mi - Eventuell offentlig eksmen: Mi - Økter, prøver, prosjekter: Mi - juni For mnge er egrepet
DetaljerSem 1 ECON 1410 Halvor Teslo
Løsningsforslg til seminr i ECON : Internsjonl økonomi.seminruke V ) Den økonomien vi her står ovenfor produserer re to goder, tø og vin. Altså vil lterntivkostnden for den ene vren nødvendigvis måles
DetaljerNytt skoleår, nye bøker, nye muligheter!
Nytt skoleår, nye øker, nye muligheter! Utstyret dere trenger, er som i fjor: Læreok lånes v skolen vinkelmåler, --9 og - -9-treknter, psser, lynt, viskelær, penn, A-rk til innføring og A klddeok. Og en
DetaljerLøsningsforslag Kollokvium 6
Løsningsforslg Kollokvium 6 25. februr 25 Her finner dere et løsningsforslg for oppgvene som ble diskutert på Kollokvium 6. Oppgve Diskusjonsoppgve Diskuter følgende spørsmål med hverndre og prøv å bli
DetaljerDEL 1 Uten hjelpemidler
DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med entimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 Vrisjonsredden er differnsen mellom største og minste verdi. Største verdi vr 20 poeng. Minste
DetaljerM2, vår 2008 Funksjonslære Integrasjon
M, vår 008 Funksjonslære Integrsjon Avdeling for lærerutdnning, Høgskolen i Vestfold. pril 009 1 Arelet under en grf Vi begynner vår diskusjon v integrsjon, på smme måte som vi begynte med derivsjon, ved
DetaljerKapittel 4 Tall og algebra Mer øving
Kpittel 4 Tll og lger Mer øving Oppgve 1 d Oppgve 2 Se på uttrykket A = g h. Hv forteller de ulike okstvene? Se på uttrykket A = 2π. Hv står de ulike symolene for? Forklr hv vi mener med en vriel og en
Detaljer1 k 2 + 1, k= 5. i=1. i = k + 6 eller k = i 6. m+6. (i 6) i=1
TMA4 Høst 6 Norges teknisk nturvitenskpelige universitet Institutt for mtemtiske fg Løsningsforslg Øving 5 5..6 Vi er gitt summen og ønsker å skrive den på formen m k=5 k +, f(i). i= Strtpunktene er henholdsvis
DetaljerDEL 1 Uten hjelpemidler
DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med entimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 Vrisjonsredden er differnsen mellom største og minste verdi. Største verdi vr 20 poeng. Minste
DetaljerS1 kapittel 6 Derivasjon Løsninger til oppgavene i boka
S kpittel 6 Derivsjon Løsninger til oppgvene i ok 6. c y x y x = = = = y x 4 5 9 4 y 5 6 x 4 = = = = y x y x = = = = 7 ( 5) 6 ( ) 8 6. f( x ) f( x ) 5 7 x x ( ) 4 = = = = 6. T( x) = 0,x +,0 T T = + = (0)
DetaljerR1 kapittel 1 Algebra
Løsninger til oppgvene i ok R1 kpittel 1 Alger Løsninger til oppgvene i ok Oppgve 1.1 1 8 4 ( ) 15 5 (4 ) 7 1 7 ( ) d ( )( ) ( 4)( ) ( ) ( 4) ( )( 1) Oppgve 1. 49 7 ( 7)( 7) 5 5 5 5 1y 75 (4y 5) ( y) 5
DetaljerLøsningsforslag til avsluttende eksamen i HUMIT1750 høsten 2003.
Løsningsforslg til vsluttende eksmen i HUMIT1750 høsten 2003. Teksten under hr litt litt prtsom fordi jeg hr villet forklre hvordn jeg gikk frm. Fr en studentesvrelse le det ikke forventet nnet enn sluttresulttene.
Detaljerx 1, x 2,..., x n. En lineær funksjon i n variable er en funksjon f(x 1, x 2,..., x n ) = a 1 x 1 + a 2 x a n x n,
Introduksjon Velkommen til emnet TMA45 Mtemtikk 3, våren 9 Disse nottene inneholder det vi gjennomgår i forelesningene, og utgjør, smmen med lle øvingene, pensum for emnet Læreoken nefles som støttelittertur
DetaljerLøsningsforslag til Eksamen i fag MA1103 Flerdimensjonal analyse
Norges teknisk nturvitenskpelige universitet Institutt for mtemtiske fg Side 1 v 5 Løsningsforslg til Eksmen i fg MA113 Flerdimensjonl nlyse 2.5.6 Oppgve 1 Vi hr f(x, y) = (4 x 2 y 2 )e x+y. ) Kritiske
Detaljer1 Mandag 1. mars 2010
Mndg. mrs Fundmentlteoremet sier t integrsjon og derivsjon er motstte opersjoner. Vi hr de siste ukene sett hvordn vi på ulike måter kn derivere funksjoner i flere vrible. Nå er turen kommet til den motstte
DetaljerMED SVARFORSLAG UNIVERSITETET I OSLO
Eksmen i : MED SVARFORSLAG UNIVERSITETET I OSLO Det mtemtisk-nturvitenskpelige fkultet INF5110 - Kompiltorteknikk Eksmensdg : Onsdg 6. juni 2012 Tid for eksmen : 14.30-18.30 Oppgvesettet er på : Vedlegg
DetaljerTFY4104 Fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Lsningsforslag til ving 8. a =
TFY414 Fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Lsningsforslg til ving 8. Oppgve 1. ) C F = E = m Newtons. lov. Her er = e, s elektronets kselersjon blir = e m E lts mot venstre. b) C Totlt elektrisk felt i
Detaljer75045 Dynamiske systemer 3. juni 1997 Løsningsforslag
75045 Dynmiske systemer 3. juni 1997 Løsningsforslg Oppgve 1 ẋ = 0 gir y = ±x, og dette innstt i ẏ = 0 gir 1 ± x = 0. Vi må velge minustegnet, og får x = y = ±1/. Vi deriverer: [ ] x y ( 1 Df(x, y) = ;
DetaljerTFY4104 Fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Høsten Løsningsforslag til øving 8. a = e m E
TFY414 Fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Høsten 16. Løsningsforslg til øving 8. Oppgve 1. ) C F = E = m Newtons. lov. Her er = e, så elektronets kselersjon blir = e m E ltså mot venstre. b) C Totlt elektrisk
DetaljerIntegrasjon Skoleprosjekt MAT4010
Integrsjon Skoleprosjekt MAT4010 Tiin K. Kristinslund, Julin F. Rossnes og Torstein Hermnsen 19. mrs 2014 1 Innhold 1 Innledning 3 2 Integrsjon 3 3 Anlysens fundmentlteorem 7 4 Refernser 10 2 1 Innledning
Detaljer1 Mandag 18. januar 2010
Mndg 8. jnur 2 I denne første forelesningen skl vi friske opp litt rundt funksjoner i en vribel, se på hvordn de vokser/vtr, studere kritiske punkter og beskrive krumning og vendepunkter. Vi får ikke direkte
DetaljerLøsningsforslag Eksamen 30. mai 2007 FY2045 Kvantefysikk
Eksmen FY045 30. mi 007 - løsningsforslg 1 Oppgve 1 Løsningsforslg Eksmen 30. mi 007 FY045 Kvntefysikk. I grensen 0 er potensilet V x et enkelt okspotensil, V = V 0 for < x < 0 og uendelig ellers. Den
DetaljerMAT 100A: Mappeeksamen 4
. november, MAT A: Mppeeksmen Løsningsforslg Oppgve ) Vi bruker produktregelen: f (x) x rctn x + x + x Siden x og rctn x hr smme fortegn, og x ldri er negtiv, er f (x) positiv overlt, bortsett fr t f ().
DetaljerEksamen høsten 2015 Løsninger
DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med entimetermål og vinkelmåler Oppgve 1, 4 4 = = 6 0, 4 4 Du kn innt mksimlt 6 g slt per dg. 00 0,8 0,8, 4 100 = = Én porsjon pizz
DetaljerE K S A M E N. Matematikk 3MX. Elevar/Elever Privatistar/Privatister. AA6524/AA6526 8. desember 2004 UTDANNINGSDIREKTORATET
E K S A M E N UTDANNINGSDIREKTORATET Mtemtikk 3MX Elevr/Elever Privtistr/Privtister AA654/AA656 8. desember 004 Vidregånde kurs II / Videregående kurs II Studieretning for llmenne, økonomiske og dministrtive
DetaljerEksamen våren 2018 Løsninger
DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med centimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 5x+ y = 4 x+ 4y = 6 Vi multipliserer likningen 5x+ y = 4 med på egge sider og får 10x+ 4y
Detaljerdx = 1 2y dy = dx/ x 3 y3/2 = 2x 1/2 + C 1
NTNU Institutt for mtemtiske fg TMA Mtemtikk høsten Løsningsforslg - Øving 7 Avsnitt 6.5 ) En hr t y = e, så y + 3y = e + 3e = e. b) En hr t y = e 3 e (3/), så y + 3y = e 3e (3/) + 3e + 3e (3/) = e. c)
DetaljerNumerisk kvadratur. PROBLEM STILLING: Approksimér. f(x)dx. I(f) = hvor f : R R. Numerisk sett, integralet I(f) = b. f(x)dx approksimeres med en summe
Numerisk kvdrtur PROBLEM STILLING: Approksimér 1/18 I(f) = f(x)dx. hvor f : R R. Numerisk sett, integrlet I(f) = f(x)dx pproksimeres med en summe Q n (f) = w i f(x i ), n-punkter regel hvor x 1 < x 2
DetaljerSammendrag kapittel 1 - Aritmetikk og algebra
Smmendrg kpittel 1 - Aritmetikk og lgebr Regneregler for brøker Utvide brøk: Gng med smme tll i teller og nevner. b = k b k Forkorte brøk: del med smme tll i teller og nevner. b = : k b : k Summere brøker:
DetaljerLøsningsforslag til Obligatorisk oppgave 2
Løsningsforslg til Oligtorisk oppgve INF1800 Logikk og eregnrhet Høsten 008 Alfred Brtterud Oppgve 1 Vi hr lfetet A = {} og språkene L 1 = {s s } L = {s s inneholder minst tre forekomster v } L 3 = {s
Detaljer1P kapittel 3 Funksjoner
Løsninger til oppgvene i ok 1P kpittel 3 Funksjoner Løsninger til oppgvene i ok 3.1 Origo hr koordintene (0, 0). Vi finner koordintene til punktene ved å lese v punktets verdi på x-ksen og y-ksen. A =
DetaljerLøsningsforslag Kollokvium 1
Løsningsforslg Kollokvium 1 30. jnur 015 Her finner dere et løsningsforslg for oppgvene som ble diskutert på Kollokvium 1. Oppgve 1 Regning med enheter ) Energienheten 1 ev (elektronvolt) er definert som
DetaljerLøsningsforslag SIE4010 Elektromagnetisme 5. mai 2003
Oppgve 1 Løsningsforslg SIE4010 Elektromgnetisme 5. mi 2003 ) Av symmetrigrunner må det elektriske feltet være rdielt rettet og uvhengig v φ, E = E(r)u r.vilrs være overflten til en sylinder med rdius
DetaljerNumerisk Integrasjon
Numerisk Integrsjon Anne Kværnø Mrch 1, 018 1 Problemstilling Vi skl ltså finne en numerisk tilnærmelse til integrlet for en gitt funksjon f (x). I(, b) = f (x)dx Teknikken vi skl diskutere klles numeriske
DetaljerFASIT, tips og kommentarer
FASIT, tips og kommentrer JULEKALENDER 8.- 10- trinn Nivå 1 og Nivå 2. Tips til orgnisering: Kn jobbes med i gruppe, to og to eller individuelt. Spre rbeidet med klenderen i mttetimene i desember, eller
DetaljerNøtterøy videregående skole
Til elever og forestte Borgheim, 1. ugust 2018 Viktig info om vlg v mtemtikkfg for elever på vg1 studiespesilisering I vg1 får elevene vlget mellom to ulike mtemtikkfg. Mtemtikk 1T (teoretisk) og Mtemtikk
DetaljerEKSAMEN. ANTALL SIDER UTLEVERT: 7 (innkl. forside og 2 sider formelark)
KANDIDATNUMMER: EKSAMEN FAGNAVN: Mtemtikk FAGNUMMER: REA EKSAMENSDATO: 5. desember 6 KLASSE:. klssene, ingenørutdnning. TID: kl. 9... FAGLÆRER: Hns Petter Hornæs ANTALL SIDER UTLEVERT: 7 (innkl. forside
Detaljergir g 0 (x) = 2x + x 2 (x + 3) x x 2 x 1 (x + 3) 2 x 5 + 2x 4 + 6x 3 + x 2 + x + 3 x 2 (x + 3) 2 g(x; y) h(x) F (x; y) =
Oppgve ) gir b) c) d) e) f() = 5 4 3 gir f () = 3 6 + 3 g() = + 3 f)når så blir Merk her t = Tilsvrende er gir g () = + ( + 3) ( + 3) 5 + 4 + 6 3 + + + 3 ( + 3) h() = f() gir h () = f () + f() f() = g(;
DetaljerFeilestimeringer. i MAT-INF1100
Feilestimeringer i MAT-INF11 Ett v de viktigste punktene i MAT-INF11, og smtidig det som nsees som det vnskeligste i pensum, er feilestimter. Vi bruker mye tid på å beregne tilnærmede verdier for funksjoner,
DetaljerEksamen høsten 2015 Løsninger
DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med centimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 30 Vekstfktoren er 1 1 0,30 0, 70. 100 N GV N V G 80 800 V 400 0,70 7 Vren kostet 400 kr
DetaljerEKSAMENSOPPGAVE. Alle trykte og skrevne Kalkulator. Rute. Ola Løvsletten
Fkultet for nturvitenskp og teknologi EKSAMENSOPPGAVE Eksmen i: Brukerkurs i sttistikk STA-0001 Dto: 28.05.2018 Klokkeslett: 09.00-13.00 Sted: TEO H1, PLAN 3 Tilltte hjelpemidler: Alle trykte og skrevne
DetaljerLøsningsforslag TFE4120 Elektromagnetisme 24. mai = 2πrlɛE(r) = Q innenfor S =
Norges teknisk nturvitenskpelige universitet Institutt for elektronikk og telekommuniksjon Side 1 v 5 Løsningsforslg TFE4120 Elektromgnetisme 24. mi 2011 Oppgve 1 ) Av symmetrigrunner må det elektriske
DetaljerLEDDVIS INTEGRASJON OG DERIVASJON AV POTENSREKKER:
LEDDVIS INTEGRASJON OG DERIVASJON AV POTENSREKKER: Vi ntr t potensrekken n x n n= konvergerer i ( R, R), R >, med summen s(x). D gjelder: og s (x) = n n x n for hver x med x < R, s(t) dt = n= (Dette er
Detaljeraddisjon av 2 og 3. Vi skriver da i alt: 2+3= og etter at likhetstegnet er skrevet så gir matcad oss svaret.
ddisjon v og. Vi skriver d i lt: += og etter t likhetstegnet er skrevet så gir mtcd oss svret. + + + = 5 ddisjon med + først. Skriv inn et +tegn, så og bruk TAB + + + + = 5 minus 5 5 5 = Å bruke gngetegn
DetaljerSTATISTIKK, KOMBINATORIKK OG SANNSYNLIGHET
Mer øving til kpittel 4 STATISTIKK, KOMBINATORIKK OG SANNSYNLIGHET Oppgve 1 Under ser du resulttet v ntll kinoesøk for en klsse de siste to måneder: 1, 3, 5, 4, 2, 7, 1, 1, 4, 5, 3, 3, 4, 0, 1, 3, 6, 5,
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT
Øvelsesoppgave i: ECON30 Statistikk Dato for utlevering: Mandag 6. mars 009 Dato for innlevering: Tirsdag 3. mars 009 UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Innleveringssted: Ved siden av SV-info-senter
DetaljerTemahefte nr. 1. Hvordan du regner med hele tall
1 ARBEIDSHEFTE I MATEMATIKK SNART MATTE EKSAMEN Hvordn du effektivt kn forberede deg til eksmen Temhefte nr. 1 Hvordn du regner med hele tll Av Mtthis Lorentzen mttegrisenforlg.com Opplysning: De nturlige
DetaljerLøsningsforslag til øving 4
1 Oppgve 1 FY1005/TFY4165 Termisk fysikk Institutt for fysikk, NTNU åren 2015 Løsningsforslg til øving 4 For entomig gss hr vi c pm = 5R/2 og c m = 3R/2, slik t γ = C p /C = 5/3 Lngs dibten er det (pr
DetaljerLøsningsforslag Eksamen 19. august 2005 TFY4250 Atom- og molekylfysikk
Eksmen TFY450 19. ugust 005 - løsningsforslg 1 Oppgve 1 Løsningsforslg Eksmen 19. ugust 005 TFY450 Atom- og molekylfysikk. For det oppgitte, symmetriske brønnpotensilet er bundne energiegentilstnder enten
DetaljerØving 4: Coulombs lov. Elektrisk felt. Magnetfelt.
Lørdgsverksted i fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Høsten 007. Veiledning: 9. september kl 1:15 15:00. Øving 4: oulombs lov. Elektrisk felt. Mgnetfelt. Oppgve 1 (Flervlgsoppgver) ) Et proton med hstighet
DetaljerDel 5 Måleusikkerhet 5.2 Type A og type B usikkerhetsbidrag
Del 5 Måleusikkerhet 5. Type A og type B usikkerhetsbidrg Utdrg fr VIM:.8 Type A evlution of mesurement uncertinty Evlution of component of mesurement uncertinty by sttisticl nlysis of mesured quntity
DetaljerR2 - Heldagsprøve våren 2013
Løsningsskisser HD R R - Heldgsprøve våren 0 Løsningsskisser Viktigste oppsummeringer: Må skrive med penn på eksmen! Slurv og regnefeil, både med tll og bokstver, er hovedproblemet. Beste måten å fikse
DetaljerKapittel 5 Statistikk og sannsynlighet Mer øving
Kpittel 5 Sttistikk og snnsynlighet Mer øving Oppgve 1 Digrmmet nefor viser hvorn krkteren vr forelt på en norskprøve. 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 Hvor mnge fikk krkteren 4? Hvor mnge elever er et i klssen?
DetaljerTFE4101 Krets- og Digitalteknikk Vår 2016
Norges teknisk nturvitenskpelige universitet Institutt for elektronikk og telekomuniksjon TFE4101 Krets- og Digitlteknikk Vår 2016 Løsningsforslg Øving 4 1 Oppgve 1 R 1 = 10 R 2 = 8 V = 600 V R 3 = 40
DetaljerINF1800 Forelesning 19
INF1800 Forelesning 19 Førsteordens logikk Roger Antonsen - 21. oktober 2008 (Sist oppdtert: 2008-10-21 20:12) Repetisjon Semntikk Hvis M er en modell og ϕ er en lukket formel, så definerte vi M = ϕ. Vi
DetaljerMer øving til kapittel 3
Mer øving til kpittel 3 KAPITTEL 3 FUNKSJONER Oppgve 1 Tegn et koordintsystem og merk v punktene (1, 5) d (3, 2) ( 2, 3) e ( 3, 5) (4, 0) f (0, 4) Oppgve 2 Hvilke koordintpr hr de ulike punktene i koordintsystemet?
DetaljerFaktorisering. 1 Hva er faktorisering? 2 Hvorfor skal vi faktorisere? Per G. Østerlie Senter for IKT i utdanningen 11.
Fktorisering Per G. Østerlie Senter for IKT i utdnningen per@osterlie.no 11. mi 013 1 Hv er fktorisering? Vi må se på veret å fktorisere. Hv er det vi skl gjøre når vi fktoriserer? Svret er: å lge fktorer.
Detaljer9.6 Tilnærminger til deriverte og integraler
96 TILNÆRMINGER TIL DERIVERTE OG INTEGRALER 169 Figur 915 Bezier-kurve med kontrollpolygon som representerer bokstven S i Postscript-fonten Times-Romn De ulike Bezier-segmentene ser du mellom kontrollpunktene
DetaljerVår 2004 Ordinær eksamen
år Ordinær eksmen. En bil kjører med en hstighet på 9 km/h lngs en rett strekning. Sjåføren tråkker plutselig på bremsene, men gjør dette med økende krft slik t (den negtive) kselersjonen (retrdsjonen)
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det mtemtisk-nturvitenskpelige fkultet Eksmen i: MAT1140 Strukturer og rgumenter Eksmensdg: Fredg 8. desemer 2017 Tid for eksmen: 14:30 18:30 Oppgvesettet er på 5 sider. Vedlegg: Ingen
DetaljerNumerisk kvadratur. Newton-Cotes kvadratur. PROBLEM STILLING: Approksimér. I(f) = f(x)dx. hvor f : R R kan Riemann-integreres.
Numerisk kvdrtur PROBLEM STILLING: Approksimér 1/15 I(f) = hvor f : R R kn Riemnn-integreres. b f(x)dx. Newton-Cotes kvdrtur Newton-Cotes kvdrtur erbsert på ekvidistnte noder i [, b]: For en n-noder åpen
DetaljerNumerisk derivasjon og integrasjon utledning av feilestimater
Numerisk derivsjon og integrsjon utledning v feilestimter Knut Mørken 6 oktober 007 1 Innledning På forelesningen /10 brukte vi litt tid på å repetere inhomogene differensligninger og rkk dermed ikke gjennomgå
DetaljerIntegralregning. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne
8 Integrlregning Mål for opplæringen er t eleven skl kunne gjøre rede for definisjonen v estemt integrl som grense for en sum og uestemt integrl som ntiderivert eregne integrler v de sentrle funksjonene
DetaljerKapittel 4 Kombinatorikk og sannsynlighet. Løsninger til oppgaver i boka. Løsninger til oppgaver i boka
Kpittel 4 Kombintorikk og snnsynlighet Løsninger til oppgver i bok 4.4 Oppgve 4.2 løst ved multipliksjonsprinsippet: multipliksjon v de ulike vlgmulighetene v forretter, hovedretter og desserter gir uttrykket
DetaljerMAT 100a - LAB 4. Før vi gjør dette, skal vi for ordens skyld gjennomgå Maple-kommandoene for integrasjon (cf. GswM kap. 12).
MAT 00 - LAB 4 Denne øvelsen er i hovedsk viet til integrsjon. For mnge er integrsjon i prksis det smme som ntiderivsjon, og noe som kn rukes til å eregne relet v enkelte områder i plnet som lr seg egrense
DetaljerLøsningsforslag til eksamensoppgaver i ECON 2200 våren 2015
Løsningsforslg til eksmensogver i ECON 00 våren 05 Ogve (7 oeng) Deriver følgende funskjoner 3 ) f ( ) gir f ( ) 3 ) f ( ) e e( ) gir f ( ) e c) f ( ) ln gir f ( ) 3 3 (3 ) 3 lterntivt f ( ) ln ln 3 gir
DetaljerNORSK SCHNAUZER BOUVIER KLUBB S HELSE- OG GEMYTTUNDERSØKELSE 2004
NORSK SCHNAUZER BOUVIER KLUBB S HELSE- OG GEMYTTUNDERSØKELSE 2004 Utført v vlsrådet 2003/2004 INNLEDNING NSBK s Gemytt og Helseundersøkelse ble sendt ut i jnur 2004, med svrfrist i februr 2004. Lister
DetaljerSammenhengen mellom ugrasfrøbank og framspiring
3 H. Sjursen / Grønn kunnskp 9 (2) Grønn kunnskp 25 Smmenhengen mellom ugrsfrønk og frmspiring Helge Sjursen / helge.sjursen@plnteforsk.no Plnteforsk Plntevernet Smmendrg Foreløpige resultter fr et kløverunderkulturforsøk
Detaljer2 Symboler i matematikken
2 Symoler i mtemtikken 2.1 Symoler som står for tll og størrelser Nvn i geometri Nvn i mtemtikken enyttes på lignende måte som nvn på yer og personer, de refererer eller representerer et tll eller en størrelse,
DetaljerTerminprøve Matematikk for 1P 1NA høsten 2014
Terminprøve Mtemtikk for 1P 1NA høsten 2014 DEL 1 Vrer 1,5 time Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med entimetermål og vinkelmåler. Forsøk på lle oppgvene selv om du er usikker
Detaljer1T kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka
T kpittel 8 Eksmenstrening Løsninger til oppgvene i lærebok Uten hjelpemidler E b c E b c Vi gnger vnlige tll med vnlige tll og tierpotenser med tierpotenser. Til slutt omformer vi svret så vi får et tll
DetaljerEksamen våren 2016 Løsninger
DEL Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med centimetermål og vinkelmåler Oppgve,8,8 (,8 ) 3,6 3, 6 3, 6,5 5, (5, ) Oppgve 3, 5 Vi ser på tllinj t,5 tilsvrer punkt F. Vi ser
Detaljera 2πf(x) 1 + (f (x)) 2 dx.
MA 4: Anlyse Uke 44, http://home.hi.no/ svldl/m4 H Høgskolen i Agder Avdeling for relfg Institutt for mtemtiske fg Om lengde v kurver. Noen få formler der integrsjon brukes for å beregne lengder, reler
Detaljer1 Geometri KATEGORI 1. 1.1 Vinkelsummen i mangekanter. 1.2 Vinkler i formlike figurer
Oppgver 1 Geometri KTGORI 1 1.1 Vinkelsummen i mngeknter Oppgve 1.110 ) I en treknt er to v vinklene 65 og 5. Finn den tredje vinkelen. b) I en firknt er tre v vinklene 0, 50 og 150. Finn den fjerde vinkelen.
DetaljerSENSORVEILEDNING ECON 1410; VÅREN 2005
SENSORVEILEDNING ECON 40; VÅREN 2005 Oppgve er midt i pensum, og urde kunne esvres v dem som hr lest og fulgt seminrer. Her kommer en fyldig gjennomgng v det jeg hr ttt opp. ) Her ør kndidten gjøre rede
DetaljerLEDDVIS INTEGRASJON OG DERIVASJON AV POTENSREKKER: a n x n. R > 0, med summen s(x). Da gjelder: a n n + 1 xn+1 for hver x < R.
LEDDVIS INTEGRASJON OG DERIVASJON AV POTENSREKKER: Vi ntr t potensrekken konvergerer i ] R, R[, n x n R >, med summen s(x). D gjelder: s (x) = n n x n 1 for hver x < R, og s(t)dt = n n + 1 xn+1 for hver
Detaljerf '( x) 28x 6x 2 ( 2) x x 4(3t 2 s) 6s 2x 6(3t 2 s) 2t ln x 2ln y med bibetingelsen 2x y m. Her er m 0
Fsit obligtorisk oppgve Oppgve (9 poeg) Deriver følgede fuksjoer med hes på lle rgumeter ) f ( ) 7 f '( ) 8 6 svr: b) Svr: g ( ) ( ) ( ) g ( ) ( ) ( ) c) h( ) f ( )( ) Svr: h( ) f '( )( ) f ( ) d) Svr:
DetaljerLØSNINGSFORSLAG EKSAMEN TEP 4115/4120 TERMODYNAMIKK 1 (KONT) Fredag 19. august 2005 Tid: kl. 09:00-13:00
Side v 8 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET (NTNU) - TRONDHEIM INSTITUTT FOR ENERGI OG PROSESSTEKNIKK LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN TEP 45/40 TERMODYNAMIKK (KONT) Fredg 9. ugust 005 Tid: kl. 09:00
DetaljerInstitutt for elektroteknikk og databehandling
Institutt for elektroteknikk og dtbehndling Stvnger, 7. mi 997 Løsningsforslg til eksmen i TE 9 Signler og Systemer, 6. mi 997 Oppgve ) Et system er lineært dersom superposisjonsprinsippet gjelder, d.v.s.
DetaljerALTERNATIV GRUNNBOK BOKMÅL
Anne Rsch-Hlvorsen Oddvr Asen Illustrtør: Bjørn Eidsvik 7B NY UTGAVE ALTERNATIV GRUNNBOK BOKMÅL CAPPELEN DAMM AS, 2011 Mterilet i denne publiksjonen er omfttet v åndsverklovens bestemmelser. Uten særskilt
Detaljer2x 3 4/x dx. 2 5 x 3 + LF: Vi utfører polynomdivisjon. 2x + 1 dx = + C = 5x8/ ln 2x C 4. πx 2 e 3x3 dx = π
Innlevering ELFE KJFE MAFE Mtemtikk HIOA Obligtorisk innlevering 5 Innleveringsfrist Mndg 6. oktober 5 før forelesningen : Antll oppgver: Løsningsforslg Finn de ubestemte integrlene ) x 4/x dx LF: x 4/x
Detaljer1 Mandag 8. mars 2010
1 Mndg 8. mrs 21 Vi hr tidligere integrert funksjoner lngs x-ksen, og vi hr integrert funksjoner i flere vrible over begrensede områder i xy-plnet. I denne forelesningen skl vi integrere funksjoner lngs
Detaljer2P kapittel 5 Eksamenstrening
P kpittel 5 Eksmenstrening Løsninger til oppgvene i ok Uten hjelpemidler E1 3 4 0 3+ 4+ 0 7 = = = = 5 5 5 ( ) ( ) c d 7 5 3 3 3 3 6 4 3 6 4 3 3x x = 3 x x = 3 x x = 3 x = 3 x = 7x 1, 10 5,0 10 = 1, 5,0
DetaljerDel 2. Alle oppgaver føres inn på eget ark. Vis tydelig hvordan du har kommet frem til svaret. Oppgave 2
Del 2 Alle oppgver føres inn på eget rk. Vis tydelig hvordn du hr kommet frem til svret. Oppgve 1 Figuren viser sidefltene til et prisme. Grunnflten og toppflten mngler. ) Hvilken form må grunn- og toppflten
DetaljerPåbygging kapittel 2 Funksjoner 1 Løsninger til oppgavene i boka
Påygging kpittel 2 Funksjoner 1 Løsninger til oppgvene i ok 2.1 Origo hr koordintene (0, 0). Vi finner koordintene til punktene ved å lese v punktets verdi på x-ksen og y-ksen. A = (125,10) B = (0, 12,5)
Detaljer1 dx cos 1 x =, 1 x 2 sammen med kjerneregelen for derivasjon. For å forenkle utregningen lar vi u = Vi regner først ut den deriverte til u,
TMA0 Høst 205 Norges teknisk nturvitenskpelige universitet Institutt for mtemtiske fg 3.5.30: Vi bruker erivsjonsregelen for cos x, x cos x =, x 2 smmen me kjerneregelen for erivsjon. For å forenkle utregningen
DetaljerSensorveiledning UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT. ECON 1310 Obligatorisk øvelsesoppgave høsten 2011
Sensorveiledning UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT ECON 3 Obligtorisk øvelsesoppgve høsten 2 Ved sensuren tillegges oppgve vekt,3, oppgve 2 vekt,4, og oppgve 3 vekt,3. For å bestå eksmen, må besvrelsen
Detaljer