Påbygging kapittel 2 Funksjoner 1 Løsninger til oppgavene i boka

Transkript

1 Påygging kpittel 2 Funksjoner 1 Løsninger til oppgvene i ok 2.1 Origo hr koordintene (0, 0). Vi finner koordintene til punktene ved å lese v punktets verdi på x-ksen og y-ksen. A = (125,10) B = (0, 12,5) C = ( 125,10) D = (125, 17,5) E = ( 150, 10) 2.2 -d Ashehoug Side 1 v 40

2 2.3 Punktene med 2 som førstekoordint ligger lngs en loddrett linje som psserer gjennom verdien 2 på x-ksen. Løsninger Punktene med 4 som ndrekoordint ligger lngs en vnnrett linje som psserer gjennom verdien 4 på y-ksen. Punktene med 0 som førstekoordint ligger på selve y-ksen (ndreksen). d Punktene med 0 som ndrekoordint ligger på selve x-ksen (førsteksen). 2.4 Vi setter x = 1 inn i funksjonsuttrykket Px ( ) = 3x + 4 og regner ut. P (1) = = = 7. Vi setter x = 4 inn i funksjonsuttrykket og regner ut. P (4) = = = 16. Vi setter x = 10 inn i funksjonsuttrykket og regner ut. P (10) = = = Vi setter x = 4 inn i funksjonsuttrykket 2 g (4) = = = gx ( ) = x + 3 og regner ut. Vi setter x = 0 inn i funksjonsuttrykket og regner ut. 2 g (0) = = = 3. Vi setter x = 5 inn i funksjonsuttrykket og regner ut. 2 g( 5) = ( 5) + 3 = = Vi setter x = 12 inn i funksjonsuttrykket og regner ut. T (10) = = = 370. Ashehoug Side 2 v 40

3 Vi setter x = 20 inn i funksjonsuttrykket og regner ut. T (20) = = = 450. Vi setter x = 5 inn i funksjonsuttrykket og regner ut. T ( 5) = ( 5) = = Vi finner verdien ved å lese v grfen. Vi finner først den ktuelle verdien på x-ksen. Vi går så loddrett opp til vi kommer til det punktet der vi krysser selve grfen. Fr dette punktet går vi så vnnrett til venstre og leser v verdien på y-ksen. Vi finner d t f (4) = 60 og f (12) = 100. Vi ser t f (0) vil si det punktet der grfen skjærer y-ksen. Vi leser v grfen, og finner t f (0) = 40. Å finne f( x ) = 80 vil si t vi skl finne det punktet på grfen som hr y-verdi lik 80. Vi leser v grfen på smme måte som i oppgve ), men motstt vei. Vi finner d t x = Vi leser v grfen. Toppunktet hr irk koordintene (7,1, 3,9). Vi leser v grfen. Bunnpunktet hr irk koordintene (3, 1). Vi ser t grfen skjærer x-ksen to steder, og funksjonen hr dermed to nullpunkter. Vi leser v grfen. Nullpunktene hr koordintene (1, 0) og (5, 0). d Skjæringspunktene mellom grfen og førsteksen vil si det smme som å finne nullpunktene som vi fnt i oppgve ). Skjæringspunktene hr dermed koordintene (1, 0) og (5, 0). e Skjæringspunktet mellom grfen og ndreksen vil si der grfen krysser y-ksen. Vi leser v grfen. Skjæringspunktet hr koordintene (0, 1). Ashehoug Side 3 v 40

4 2.9 Løsninger Vi finner ntllet psseringer den 8. pril ved å lese v grfen. Vi finner y-verdien til punktet som hr x-verdi 8. Denne y-verdien ser vi er 500, og dermed psserer det 500 iler den 8. pril. Flest psseringer vr det i punktet med den høyeste y-verdien. Vi leser v grfen og finner t dette toppunktet hr koordintene (12, 600). Det vil si t det vr flest psseringer den 12. pril, og dette døgnet psserte det 600 iler. Færrest psseringer vr det i punktet med den lveste y-verdien. Vi leser v grfen og finner t dette unnpunktet hr koordintene (3, 350). Det vil si t det vr færrest psseringer den 3. pril, og dette døgnet psserte det 350 iler. d For å finne ut hvilket døgn det vr kkurt 500 psseringer må vi lese v grfen, og vi må finne lle punktene som hr 500 som y-verdi. Vi tegner en vnnrett linje gjennom y-verdien 500, og finner 4 skjæringspunkt med grfen. Disse skjæringspunktene lir (8, 500), (16, 500), (23, 500) og (27, 500). Det vil si t det psserte 500 iler gjennom omstsjonen den 8. pril, 16. pril, 23. pril og 27. pril. e Vi vet llerede hvilke dtoer det vr nøyktig 500 psseringer. Det vil være minst 500 psseringer mellom disse dtoene, men re i de intervllene der grfen ligger høyere enn 500 på y-ksen. Vi leser v grfen og ser t dette krvet er oppfylt mellom punktene (8, 500) og (16, 500), og mellom punktene (23, 500) og (27, 500). Det vil si t det vr minst 500 psseringer fr om med den 8. pril til og med den 16. pril, og fr og med den 23. pril til og med den 27. pril. f Vi kn si t kurven er grfen til en funksjon på grunn v t hver verdi v x gir én estemt verdi for y. Hver dto gir oss et estemt ntll psseringer Vi leser v grfens y-verdier for de oppgitte x-verdiene og får denne tellen: Dg Antll Vi leser v grfen og finner intervllene der kurven ligger høyere enn 360 på y-ksen. Vi ruker x-verdiene til punktene der disse intervllene strter og slutter, siden x-verdiene tilsvrer dtoene i juni. Her er det viktig å ikke t med dtoene der det vr nøyktig 360 esøkende, siden oppgven spør etter når det vr mer enn 360. Ashehoug Side 4 v 40

5 Vi ser t det er mer enn 360 esøkende fr og med 9. juni til og med dg 12. juni, og den 27. juni. Hifinn vil gå med underskudd der kurven ligger lvere enn 320 på y-ksen. Vi finner intervllene der dette skjer, og ruker x-verdiene til punktene der disse intervllene strter og slutter, siden x-verdiene tilsvrer dtoene i juni. Her er det viktig å ikke t med punktene der Hifinn hr nøyktig 320 esøkende, siden de d ikke går i underskudd, re nøyktig i null. Vi ser t Hifinn hr færre enn 320 esøkende fr og med 2. juni til og med 4. juni, og fr og med 17. juni til og med 19. juni = 1 Stigningstllet er 3. = 1 Konstntleddet er 1. f( x) = 3x + 1 Ashehoug Side 5 v 40

6 2.12 x y Løsninger Vi får punktene ( 2, 8), (1, 2) og (3, 2). y = 2x 4 d Vi finner nullpunktet der grfen skjærer x-ksen. Punktet er (2, 0) Stigningstllet er 0,5. Det forteller oss t når x øker med 1, øker y med 0,5. Linj skjærer y-ksen når x = 0. Vi setter x = 0 inn i gx ( ) og får g (0) = 4. Skjæringspunket lir dermed (0, 4). Vi finner nullpunktet der grfen skjærer x-ksen. Vi setter gx ( ) = 0 og løser likningen. Vi får svret x = 8. Nullpunktet lir dermed ( 8, 0). d Når x øker fr 2 til 5, øker y med 1,5. Vi finner svret ved å gnge økningen lngs x-ksen (3) med stigningstllet (0,5). 0,5 3 = 1,5 Ashehoug Side 6 v 40

7 2.14 Vi finner konstntleddet der grfen skjærer y-ksen. Konstntleddet = 3. Løsninger Stigningstllet forteller hvor fort den rette linj stiger. Stigningstllet = 2. Vi ruker formelen for rett linje y = x + og får y = 2x Konstntleddet = 2. Stigningstllet = 1. Likningen for linj lir y = x + 2. Konstntleddet = 3. Stigningstllet = 2. Likningen for linj lir y = 2x Linje 3 hører smmen med = 2 2 y-ksen i 2. y x fordi linj hr negtivt stigningstll og skjærer Linje 2 hører smmen med y = 2 fordi linj hr stigningstll 0, noe som gir en vnnrett linje, og skjærer y-ksen i 2. Linje 1 hører smmen med y = x 3 fordi linj hr stigningstll 1 og skjærer y-ksen i 3. d Linje 4 hører smmen med y = 2x 2fordi linj hr stigningstll 2 og skjærer y-ksen i Av figuren kn vi lese v t når x øker med 4, øker y med 5. Stigningstllet lir 5 = = 1, Av figuren kn vi lese v t når x øker med 2, minker y med 5. Stigningstllet lir 5 = = 2, Vi finner stigningstllet ved å dele økningen i y på økningen i x = = = Vi finner ved å sette = 2, x = 1 og y = 5 inn i likningen y = x +. y = x + 5 = = 2 + Ashehoug Side 7 v 40

8 = 3 Likningen for linj lir dermed y = 2x + 3. Vi finner stigningstllet ved å dele økningen i y på økningen i x = = = Vi finner ved å sette = 4, x = 2 og y = 10 inn i likningen y = x +. y = x + 10 = = 8 + = 2 Likningen for linj lir dermed y = 4x + 2. Vi finner stigningstllet ved å dele økningen i y på økningen i x = = = = 4 ( 2) Vi finner ved å sette y = x = ( 2) = = = 3 Likningen for linj lir dermed 11 =, x = 2 og y = 7 inn i likningen y = x y = x. 3 3 Ashehoug Side 8 v 40

9 2.19 Vi tegner grfene i smme koordintsystem i GeoGer. Løsninger Vi ruker GeoGer og verktøyknppen Skjæring mellom to ojekt. Vi klikker én gng på hver linje. Skjæringspunktet lir (2,3). Vi finner nullpunktet ved å ruke kommndoen Nullpunkt [g] i GeoGer. Nullpunktet lir (0,5, 0). d Vi skriver inn f ( 7,3) i skriv inn -feltet i GeoGer NB! Husk t vi ruker desimlpunktum og ikke desimlkomm når vi legger inn desimltll i GeoGer. f ( 7,3) = 7, 65 Vi tegner grfene på GeoGer. f skriver vi rett inn i Skriv inn -feltet. g skriver vi inn ved hjelp v kommndoen [ < Funksjon >, < Strt >, < Slutt > ], siden g skl tegnes for x-verdier fr og med 1 til og med 12. Ashehoug Side 9 v 40

10 Vi ruker GeoGer og verktøyknppen Skjæring mellom to ojekt. Vi klikker én gng på hver linje. Skjæringspunktet lir (6,2, 92,7). Vi skriver inn g (3.4) i skriv inn -feltet i GeoGer. NB! Legg merke til t vi her ruker desimlpunktum og ikke desimlkomm når vi legger inn desimltll i GeoGer. g (3, 4) = 68, Vi løser oppgvene med GeoGer. I Skriv inn -feltet skriver vi først inn (1, 8) og trykker Enter. Deretter gjør vi det smme med (5,10). Så ruker vi kommndoen Linje gjennom punkt og klikker etter tur på de to punktene. Høyreklikk på likningen og velg formen y = x +. Likningen for linj lir y = 0,5x + 7,5. Likningen for linj lir y = 1, 63x + 1, 88. Likningen for linj lir y = 0,8x + 5. Ashehoug Side 10 v 40

11 2.22 x y x y x y , Stigningstllet til linj finner vi ved vlesning v grfen. Stigningstllet = 1, 5. Nullpunktet til linj finner vi ved vlesning v grfen. Nullpunktet er (2, 0). Linj skjærer y-ksen i punktet (0,3). Linj skjærer x-ksen i punktet (2, 0). d Likningen for linj er på formen y = x +, der er y-verdien til skjæringspunktet med y-ksen. Likningen lir y = 1, 5x + 3. Ashehoug Side 11 v 40

12 2.24 Løsninger Likningen for linj lir y = 2x 3. Siden denne linj skjærer y-ksen i smme punkt som den første linj, vil de to linjene h smme konstntledd og dermed smme i likningen y = x +. Likningen for den nye linj lir y = 3x For t en lineær funksjon skl h en grf som stiger mot høyre, må funksjonen h positivt stigningstll. Det vil si t må være et positivt tll i likningen y = x +. Funksjonene som oppfyller krvet, er f( x ), hx ( ) og. For t to lineære funksjoner skl være prllelle, må funksjonsuttrykkene deres h smme stigningstll. Det vil si t må h smme verdi i likningen y = x +. Funksjonene som oppfyller krvet, er f( x ) og ix ( ) som dermed er prllelle. For t to lineære grfer skl skjære y-ksen i smme punkt, må de h smme konstntledd. Det vil si t må h smme verdi i likningen y = x +. Funksjonene som oppfyller krvet, er hx ( ) og ix ( ), som dermed skjærer y-ksen i smme punkt. Ashehoug Side 12 v 40

13 2.26 Løsninger Ved vlesning ser vi t stigningstllet = 1, siden en økning lngs x-ksen på 1 medfører en økning på y-ksen på 1. Ved regning ruker vi de to punktene ( 2, 1) og (1, 4). Vi finner stigningstllet ved å dele økningen i y på økningen i x = = = = 1 1 ( 2) En rett linje hr likningen y = x +. Vi hr llerede funnet stigningstllet = 1. Dermed trenger vi å finne konstntleddet. Ved vlesning på grfen ser vi t = 3. Ved regning finner vi ved å sette = 1, x = 2 og y = 1 inn i likningen y = x +. y = x + 1 = 1 ( 2) + 1 = 2 + = 3 Likningen for den rette linj lir y = x + 3. Ashehoug Side 13 v 40

14 2.27 Løsninger Vi finner stigningstllet ved for eksempel å ruke de to punktene ( 4, 11) og ( 3, 9), og dele økningen i y på økningen i x = = = = 2 ( 3) ( 4) ( 3) Vi kn også finne stigningstllet ved å se t når x-verdien øker med 1, synker y-verdien med 2, og = 2. Vi skl finne f (0). Det tilsvrer å finne punktet der grfen skjærer y-ksen, ltså det smme som å finne konstntleddet. Vi finner ved å sette = 2, x = 4 og y = 11 inn i likniningen y = x +. y = x + 11 = ( 2) ( 4) + 11 = 8 + = 3 f (0) = 3 f( x ) = 0 vil si å finne det punktet der grfen til f skjærer x-ksen. Vi finner først funksjonsuttrykket f( x ) som er på formen y = x +. Vi hr llerede funnet = 2 og = 3. f( x) = y = 2x + 3 Vi setter funksjonsuttrykket lik 0, ltså f( x ) = 0, og løser likningen. 2x + 3 = 0 2x = 3 Vi deler på 2 på egge sider v likningen. 3 3 x = = = 1, For å undersøke om punktene ligger på grfen til funksjonen y 1, 5x 3, = + setter vi x-verdien inn i funksjonsuttrykket. Hvis y-verdien vi d får ut er lik y-verdien til punktet, vet vi t punktet ligger på grfen. f ( 3) = 1,5 ( 3) + 3 = 4,5 + 3 = 7,5 y-verdien er lik, og punktet.. ligger på grfen. f ( 1) = 1,5 ( 1) + 3 = 1,5 + 3 = 4,5 y-verdien er ikke lik, og punktet ( 1,1,5) ligger ikke på grfen. f (4) = 1, = = 3 y-verdien er lik, og punktet (4, 3) ligger på grfen. Ashehoug Side 14 v 40

15 2.29 Løsninger Frysepunktet for vnn er 0 C. Celsiusgrder finner vi lngs x-ksen, og fhrenheitgrder finner vi lngs y-ksen. Vi finner dermed verdien 0 på x-ksen og leser v grfen. D er y-verden. 30. Det vil se t 0 C er tilnærmet lik 30 F. Grfen er en rett linje på formen y = x +. er stigningstllet som vi finner ved å dele økningen i y på økningen i x. Vi leser v to punkter på grfen med tilnærmede verdier og får punktene (0, 30) og (10, 50) = = = Konstntleddet er y-verdien til punktet der grfen skjærer y-ksen, og det skjer i (0, 30). Dermed er = 30. Likningen for linj lir dermed y = 2x Vi velger å ytte ut x med C, og å ytte ut y med F. Formelen lir dermed F = 2C Vi velger å løse oppgven grfisk på GeoGer. Vi skriver egge formlene i Skriv inn - feltet. Vi ruker x i stedet for C, og vi ruker y i stedet for F. Etter å h tegnet egge de to grfene, ruker vi verktøyknppen Skjæring mellom to ojekt. Vi klikker en gng på hver linje og får skjæringspunktet (10, 50). Det vil si t for 10 elsius gir åde den tilnærmede og den ekskte formelen smme fhrenheitverdi. d Uten regning: Siden 17 C og 26 C egge er høyere verdier enn 10 C, vet vi t de to temperturene ligger til høyre for skjæringspunktet på grfen. Vi vet t den tilnærmede formelen hr lvest konstntledd, 30 mot 32. Det vil si t den tilnærmede formelen strter lvest og gir en lvere verdi for fhrenheit enn den ekskte formelen for små verdier v elsius. Men ved 10 C er de to formlene nøyktig like. At den tilnærmede formelen hr nådd igjen den ekskte formelen, kn forklres med t den tilnærmede formelen hr et høyere stigningstll enn den ekskte, 2 mot 9 5. Det vil si t for elsiusverdier som er høyere enn 10 C, vil den tilnærmede formelen gi for høye fhrenheittemperturer. Dermed kn vi konkludere med t for egge de to sommerdgene i vår oppgve vil den tilnærmede formelen gi for høy fhrenheittempertur. Ved regning: Ved tilnærmet formel får vi disse fhrenheitverdiene: F (17) = = = 64 Ashehoug Side 15 v 40

16 2.30 F (26) = = = 82 Ved ekskt formel får vi disse fhrenheitverdiene: 9 F (17) = = 30, = 60, F (26) = = 46, = 76,8 5 Løsninger Vi ser t i egge tilfeller gir den tilnærmede formelen det største svret, og vi får ltså for høye fhrenheitverdier. På åtte dger vil Mri ruke = 2400 kroner. Dermed hr hun igjen = 3600 kroner. Etter x dger vil ntll kroner Mri hr igjen være gitt ved formelen: Kroner igjen = kroner hun hdde (kroner hun ruker hver dg x ntll dger) K( x) = x. K( x) = x = = 300x x = = x x = 20 Det vil si t det tr 20 dger før Mri hr rukt opp lle pengene sine og 0 kroner igjen Vi finner strtprisen der grfen skjærer y-ksen. Ser t grfen skjærer y-ksen i 40, og strtprisen lir dermed 40 kroner. Prisen per kilometer tilsvrer stigningstllet til grfen. Vi ser t på 4 kilometer øker prisen fr 40 kroner til 180 kroner. Vi finner d stigningstllet ved å regne ut: = 140 = Det vil si t prisen per kilometer er 35 kroner. Prisen for turen = strtprisen + (prisen per kilometer x ntll kilometer). Px ( ) = x Px ( ) = 35x Ashehoug Side 16 v 40

17 Vi setter x = 12,5 inn i uttrykket. P (12,5) = 35 12, = 437, = 477,5 Drosjeturen koster 477,50 kroner. d Vi ytter ut venstre side i uttrykket fr oppgve ) med = 35x = 35x 460 = 35x x = ,1 = x x = 13,1 Du kn kjøre 13,1 kilometer for 500 kroner Vi leser v figuren t sykkelrittet hr htt en økning på 20 deltkere per år fr 2010 til I 2013 leser vi v figuren t det deltok 400 syklister. Fr 2013 til 2015 vil økningen gjent seg to gnger til, og vi vil ltså få 20 2 = 40 nye deltkere i 2015 smmenlignet med Vi får dermed = 440 deltkere i Stigningstllet står for ntll entimeter plnten vokser hver dg. Denne plnten vokser ltså 1,5 entimeter per dg. Konstntleddet står for høyden v plnten i det den le plntet, ltså utgngshøyden. Denne plnten vr 35 entimeter høy d den le plntet Prisen i kroner = strtprisen + prisen per kilometer ntll kilometer ByTxi: Bx ( ) = x LndTxi: Lx ( ) = x Ashehoug Side 17 v 40

18 Vi ser på figuren i oppgve ). Den grfen som til en hver tid hr den lveste y-verdien for ulike x-verdier er illigst, og den det lønner seg å velge. Vi ser t etter skjæringspunktet i (2,5, 80) ligger grfen til ByTxi lvest. Det vil si t hvis vi skl kjære en tur som er lengre enn 2,5 kilometer, så lønner det seg å velge ByTxi Vi løser disse oppgvene ved å skrive inn venstre side og høyre side v likningen som to uvhengige funksjoner i GeoGer. Vi ruker deretter verktøyknppen Skjæring mellom to ojekt og finner x-verdien til skjæringspunktet. Ashehoug Side 18 v 40

19 x = 4. x = 0,67 Ashehoug Side 19 v 40

20 x = 1, Timelønn = Fst eløp + kroner per slg x ntll slg Lx ( ) = x Lx ( ) = 15x Ashehoug Side 20 v 40

21 Vi setter inn 150 for L(x). 150 = 15x = 15x 70 = 15x 70 15x = ,7 = x x = 4,7 Her må vi runde v svret oppover siden hn skl tjene mer enn 150 kroner i timen. Det vil si t Svenn Olv minst må h 5 slg i løpet v en time Antll liter tnken rommer tilsvrer her konstntleddet. Det vil si t tnken rommer 60 liter. Bensinforruket tilsvrer her stigningstllet til funksjonsuttrykket. Siden ilen forruker ensin er stigningstllet negtivt. Stigningstllet er, og ilen ruker ltså 0,70 liter per mil. Vi setter inn 5 for V(x). 5 = 60 0, 70x 5 60 = 0, = 0, 70x 55 0, 70x = 0,70 0,70 78,6 = x x = 78,6 Lrs kn ltså kjøre 78,6 mil før vrsellmp tennes. Ashehoug Side 21 v 40

22 2.38 Løsninger Vi ser t lle fire punktene ligger på en rett linje, og dermed er det rimelig å nt t modellen er lineær. Vi tegner en rett linje gjennom de fire punktene, og forlenger linj mot venstre til den skjærer y-ksen. Vi ser d t linj skjærer y-ksen i 1,4. I dette skjæringspunktet er også, og det hr gått null timer siden hn sluttet å drikke. Promillen til mnnen vr dermed 1,40 i det hn sluttet å drikke. Vi finner minkingen i promille per time ved å se på grfens stigningstll. Hver gng vi øker x- verdien med en, synker y-verdien med 0,15. Promille i lodet = Strtpromille (minking i promille per time ntll timer). Pt ( ) = 1, 40 0,15t. d Vi ytter ut venstre side i funksjonsuttrykket med 0,2. 0, 2 = 1, 40 0,15t 0, 2 1, 40 = 0,15t 1, 2 = 0,15t 1, 2 0,15t = 0,15 0,15 8 = t t = 8 Det tr ltså åtte timer før promillen hr sunket til 0,2. Ashehoug Side 22 v 40

23 2.39 Løsninger Vi strter med å finne stigningstllet i formelen y = x +. Til dette ruker vi forndringen i y-verdi og deler på forndring i x-verdi. y = = = = 2 x Deretter finner vi. Vi ruker x-verdien 250 og den tilhørende y-verdien 1220, og setter, x og y inn i formelen y = x = = 720 = = 720 Vi setter nå = 2 og = 720 inn i formelen y = x +. y = 2x Konstnten forteller her hvor mye prisen øker for hver ekstr kilo søppel husholdningen leverer. Konstnten forteller hvor mye firmet tr i strtpris for å hente søppel For å finne ut hvor mye hun tjener per kurv hun selger må vi finne stigningstllet til linj. Vi leser v to punkter på figuren, for eksempel punktene (0, 200) og (40, 400). Stigningstllet kller vi. y = = = = 5 x Solfrid tjener ltså 5 kroner ekstr per kurv hun selger. Vi leser v figuren og ser t for å tjene mer enn 1000 kroner per dg, må hun selge mer enn 160 jordærkurver. Vi kunne også funnet dette ved å ruke formelen y = x +. Vi hr = 5. Ut fr figuren kn vi lese v = 200, som er tllet der grfen skjærer y-ksen, det såklte konstntleddet. Vi setter d inn y = 1000 i formelen y = 5x = 5x = 5x 800 = 5x 800 5x = = x x = 160 Altså tjener hun 1000 kroner ved å selge 160 kurver, og siden grfen stiger mot høyre, må hun selge mer enn 160 kurver for å tjene mer enn 1000 kroner. Ashehoug Side 23 v 40

24 2.41 Prisen på juleesken tilsvrer linjs konstntledd, ltså der linj skjærer y-ksen. Vi finner dette punktet på GeoGer med verktøyknppen Skjæring mellom to ojekt, og klikker så på grfen og på y-ksen. Vi får d punktet (0,12), og vi vet dermed t juleesken kostet 12 kroner. Prisen per hektogrm sjokolde tilsvrer stigningstllet til linj. Vi ruker to v punktene vi hr fått oppgitt i tellen, for eksempel (3, 42) og (6, 72), og finner ved å dele økningen i y på økningen i x. y = = = = 10 x Prisen per hektogrm sjokolde lir dermed 10 kroner. Linj er en rett linje og kn skrives på formen y = x +. Vi hr og fr oppgven over og linj hr likningen y = 10x Vi ytter nå ut venstre side med 60. y = 10x = 10x = 10x 48 = 10x Ashehoug Side 24 v 40

25 48 10x = x = 4,8 Sjokoldekulene veier 4,8 hektogrm Vi setter år 2008 som x = 0, 2010 som x = 2 osv. Vi leser v figuren og plotter de fire punktene (0, 8800), (2, 8500), (3, 8350) og (5, 8050) inn i regnerket i GeoGer. Vi mrker punktene og ruker deretter verktøyknppen Lg liste med punkt. Vi får nå punktene i Grfikkfeltet i GeoGer. Vi velger så verktøykppen Linje, og klikker på to v punktene. Vi får d opp den rette linj gjennom punktene, og funksjonsuttrykket 150x + y = 8800 dukker opp i Algrerfeltet. Dette kn vi omforme til y = 150x Stigningstllet lir dermed = 150. Det vil si t folketllet i kommunen synker med 150 per år Vi strter med å finne stigningstllet i formelen. Til dette ruker vi forndringen i y-verdi og deler på forndring i x-verdi. y = = = = 1 x Deretter finner vi. Vi ruker x-verdien 20 og den tilhørende y-verdien 200, og setter, x og y inn i formelen. 200 = = = 220 Vi setter nå = 1 og = 220 inn i formelen. T( x) = 3x Stigningstllet = 1 vil si t den mksimle pulsfrekvensen til en person minker med ett slg per år, jo eldre personen lir. Vi setter x = 35 inn i likningen y = x y = = 185 Mksiml pulsfrekvens for en 35-åring lir dermed 185 slg per minutt. d Vi ytter ut venstre side i likningen med 180. Ashehoug Side 25 v 40

26 y = x = x = x x = 40 = x Mksiml frekvens på 180 slg per minutt kn en person forvente som er 40 år gmmel. Løsninger 2.44 Vi ruker GeoGer og plotter de tre punktene (3, 79), (5, 73) og (7,67) inn i regnerket i GeoGer. Vi mrker punktene og ruker deretter verktøyknppen Skjæring mellom to ojekt. Vi får nå punktene i Grfikkfeltet i GeoGer. Vi velger så verktøyknppen Linje, og klikker på to v punktene. Vi får d opp den rette linj gjennom punktene, og funksjonsuttrykket 3x + y = 88 dukker opp i Algrerfeltet. Dette kn vi omforme til y = 3x Vi ytter ut y med T( x ) og får uttrykket T( x) = 3x Vi ytter ut venstre side i funksjonsuttrykket med 60. T( x) = 3x = 3x = 3x 28 = 3x 28 3x = 3 3 x = 9,33 Det vil si t det tr irk ni timer og tjue minutter før temperturen kommer under 60 grder. Denne modellen vil ikke gi noen god eskrivelse etter lng tid, på grunn v t den er lineær. Etter hvert vil kkoen i virkeligheten skte, men sikkert, nærme seg temperturen i omgivelsene rundt. Temperturen i vår modell vil derimot fortsette å synke til evig tid, og etter hvert vil modellen gi negtive temperturer med kuldegrder Økningen i medlemstllet tilsvrer stigningstllet til funksjonen. Det vil si t økningen vr på 17 medlemmer per år. Fr 1. jnur 2008 til 1. jnur 2013 hr det gått fem år. Det vil si t medlemstllet hr økt med 5 17 = 85 medlemmer i dette tidsrommet. Ashehoug Side 26 v 40

27 Antll medlemmer 1. jnur 2008 tilsvrer funksjonsuttrykkets konstntledd. Det vil si t det vr 684 medlemmer i idrettslget denne dtoen Vi strter med å finne funksjonens stigningstll. Til dette ruker vi forndringen i y-verdi og deler på forndring i x-verdi. y = = = = 420 x Konstntleddet tilsvrer folketllet i 2008, ltså = Riktig funksjonsuttrykk lir dermed f( x) = 420x , lterntiv ) Vi leser v figuren, og ser t linjene skjærer hverndre i punktet (2, 6). Det vil si t x = 2 er løsningen på likningen. Vi må finne de to funksjonsuttrykkene på formen y = x +. Vi leser v figuren og finner de to funksjonsuttrykkene som f( x) = 2x + 2 og gx ( ) = x + 8. Likningen som Kine skulle løse lir dermed 2x + 2 = x For å undersøke om prisen og vekten er proporsjonle størrelser deler vi prisen på vekten i hver v de tre tilfellene. Vi får d disse resulttene: 20, ,5 =, 32, ,8 = og 48, , 2 =. Vi ser t forholdet mellom pris og vekt er det smme i lle tre tilfellene, og prisen er dermed proporsjonl med vekten. Prisen tilsvrer proporsjonlitetskonstnten som vi fnt i forrige oppgve, og prisen per kilo lir 40 kroner ,50 Vi finner prisen per kilo ved å regne ut proporsjonlitetskonstnten. k = = 9. 2,5 Når x og y er proporsjonle størrelser vet vi t y = k x, og dermed får vi funksjonsuttrykket: y = 9x. Ashehoug Side 27 v 40

28 2.50 Løsninger Vi ser t lønn er proporsjonl med ntll timer hun joer, siden grfen er lineær og går gjennom origo. Timelønn vil dermed være den smme som proporsjonlitetskonstnten k. Vi leser v et punkt på grfen, for eksempel (5, 600). y 600 k = = = 120, og dermed er timelønn til Kine 120 kroner. x 5 J, lønn og reidstiden er proporsjonle størrelser , 25 Vi regner først ut ensinforruket per mil, k = = 0,55. Det vil si t åten ruker 0,55 liter 15 ensin per mil. For å kjøre 67 mil trenger Olsen dermed 67 0,55 = 36,85 liter ensin Vi finner prisen per tur (y) ved å regne ut y = 300 x. x y ,50 Vi undersøker om prisen per tur (y) er omvendt proporsjonl med ntll turer (x) ved å regne ut x y i hvert tilfelle. Vi får resulttene x y = = 75 4 = 50 6 = 8 37,50 = 300. Siden produktet x y er konstnt, er x og y omvendt proporsjonle. y = 300 x. Ashehoug Side 28 v 40

29 d 2.53 Prisen per person finner vi ved å dele den totle kostnden på ntll personer Pris ved fire personer = = 6000 kroner per person Pris ved seks personer = = 4000 kroner per person. 6 Pris ved x personer kller vi Px. ( ) Px ( ) =. x Ashehoug Side 29 v 40

30 Her velger vi x-verdier fr 1 til 16. Det gjør vi fordi det ikke gir mening med pris per person for null personer, og hytt mksimlt hr 16 sengeplsser Disse to størrelsene er omvendt proporsjonle fordi en doling v ntll treninger per måned vil føre til en hlvering v prisen per trening i kroner. Når to størrelser endrer seg slik t en doling v den ene fører til hlvering v den ndre, sier vi t de er omvendt proporsjonle. Vi leser v grfen for x = 4. Den tilhørende y-verdien er 120, og det vil dermed ltså koste 120 kroner per trening hvis Ole Mgnus trener fire gnger i uk. Medlemskpets pris per måned finner vi ved å gnge prisen per trening med ntllet treninger. Vi ruker tllene fr oppgve ). Månedspris = pris per trening ntll treninger Månedspris = = 480 kroner. Ashehoug Side 30 v 40

31 2.55 Løsninger Figur 2 viser smmenhengen mellom proporsjonle størrelser. Det kommer v t grfen åde strter i origo og er rettlinjet. Begge disse kriteriene er ikke oppfylt i Figur 1 og Figur 3. Proporsjonlitetskonstnten til Figur 2 kller vi k. Vi ruker punktet (1, 2) på grfen som x og y. = y 2 k = 2 x 1 = y = x er ikke en proporsjonl størrelse, siden grfen ikke vil strte i origo. y = 1, 2x er en proporsjonl størrelse, siden grfen er lineær og den strter i origo. y = 3 2 x er ikke en proporsjonl størrelse, siden grfen ikke er lineær Vi strter med å regne ut proporsjonlitetskonstnten til den midterste krtongen på 300 ml. = y 28,50 k = 0,095 x 300 =. Det vil si t hver ml koster 0,095 kroner. Vi finner nå prisen på de ndre krtongene ved formelen y = k x = 0,95 x, der x er ntll ml. Krtongen på 200 ml vil dermed koste y = 0, = 19,00 kroner. Krtongen på 500 ml vil dermed koste y = 0, = 47,50 kroner Vi ruker formelen for proporsjonle størrelser. y = k t. Vi strter med å regne ut proporsjonlitetskonstnten k. y 4,0 1 k = = = 0,333. t 12 3 Vi hr nå formelen y = 0,333 t. Vi setter inn t = 8 i formelen og regner ut. y = 0,333 t = 0,333 8 = 2, 664 2, 7 Det vil si t lynnedslget vi hører etter 8 sekunder er 2,7 kilometer unn. Ashehoug Side 31 v 40

32 2.59 Løsninger Vi deler prisen på gven, 800 kroner, på x ntll personer som er med på spleisingen. Hver og en må d etle K( x ) kroner. x K( x) Vi får denne formelen: K( x) = 800 x x y Vi strtet med å se på kolonnen der vi hr to opplysninger, nemlig t ved seks deltkere vil det koste 2000 kroner per deltker. Vi kller ntll deltkere for x og prisen per person for y. Siden vi vet t størrelsene er omvendt proporsjonle, hr vi t k = x y, og vi vet t dette produktet er konstnt. k = x y = = Det vil si t det totlt koster kroner å leie hytt, og vi får uttrykket y =. x Ved tre deltkere lir prisen y per deltker y = = 4000 kroner. 3 For t prisen per deltker skl li 1500 kroner, må vi ytte ut y i uttrykket med = x x = = Altså koster det 1500 kroner per person ved 8 deltkere Vi kn regne ut Dieps timelønn ( Kt ()) ved å dele 1400 kroner på ntll timer (t) hun reider Kt () =. t Ashehoug Side 32 v 40

33 Ved regning ytter vi ut Kt () i formelen med 120 og etterpå med Kt ()= t = t 120t = t = 11, Diep må ltså joe 11,7 timer for t timelønn skl li 120 kroner = t 140t = t = = Diep må ltså joe ti timer for t timelønn skl li 140 kroner. Det vil si t hun må ruke mellom ti og 11,7 timer for t timelønn skl ligge i riktig område. Ashehoug Side 33 v 40

34 Grfisk løser vi dette ved å tegne en vnnrett linje ut fr 140 på y-ksen. Fr det punktet hvor denne vnnrette linj treffer grfen, tegner vi så en loddrett linje rett ned. Der denne loddrette linj skjærer x-ksen kn vi nå lese v hvor mnge timer hun må joe. Vi gjør det smme en gng til med 120 på y-ksen, og vi får de smme svrene som ved regning y = 0,04x. I denne funksjonen er x og y proporsjonle størrelser, siden grfen går gjennom origo, og den er lineær. 300 y =. I denne funksjonen er x og y verken proporsjonle eller omvendt proporsjonle x + 5 størrelser. 320 y = 0,8x. I denne funksjonen er x og y omvendt proporsjonle størrelser, siden en doling v x fører til en hlvering v y. d 2 = +. I denne funksjonen er x og y verken proporsjonle eller omvendt proporsjonle y x 25 størrelser. e 5000 y =. I denne funksjonen er x og y omvendt proporsjonle størrelser, siden en doling x v x fører til en hlvering v y. f y = 25x. I denne funksjonen er x og y proporsjonle størrelser, siden grfen går gjennom origo, og den er lineær. Ashehoug Side 34 v 40

35 2.63 Løsninger Hytteprisen skl være proporsjonl med ntll sengeplsser i hytt. Det vil si t en sengeplss må koste like mye, enten mn or i en liten eller stor hytte. I den lille hytt koster hver sengeplss 150 kroner, og det vil den også gjøre i de ndre hyttene. En hytte med seks sengeplsser vil derfor koste = 900 kroner. En hytte med tolv sengeplsser vil derfor koste = 1800 kroner Vi finner først prisen det koster å leie ussen. Skolen må etle det smme for ussen, uvhengig v hvor mnge som lir med på turen. Prisen på ussen = = 9100 kroner Vi finner nå prisen Px ( ) per deltger ved formelen Px ( ) =, der 9100 er prisen på x ussen og x er ntll deltkere. Det gir oss denne tellen: x Px ( ) Ashehoug Side 35 v 40

36 J, tiludet fr usselskpet er et eksempel på omvendt proporsjonlitet. Det kommer v t størrelsene x og Px ( ) er omvendt proporsjonle størrelser. En doling v ntll deltkere x, fører til en hlvering v prisen per deltker Px. ( ) 2.65 Høyde (x) og dimeter (y) i lysestken skl være omvendt proporsjonle. Det vil si t produktet v x og y er konstnt, og vi hr k = x y = = 160. Vi får d formelen: k 160 y = = x x Lysestke to er åtte entimeter høy, og vi setter x = 8 inn i formelen. 160 y = = 20, og vi ser t lysestken må h en dimeter på 20 entimeter. 8 Lysestke tre er tjue entimeter høy, og vi setter x = 20 inn i formelen. 160 y = = 8, og vi ser t lysestken må h en dimeter på 8 entimeter I denne oppgven hr vi x venner. Disse vennene må vi dele i to grupper, de to vennene som skl y etle kroner, og resten v vennene, det vil si x 2 venner, som skl etle y kroner. Til 2 smmen skl lle vennene etle kroner, noe som gir oss denne ligningen: y 2 + ( x 2) y = y + ( x 2) y = ( ( )) y 1 + x 2 = Her setter vi y utenfor prentesen. y (1 + x 2) = Her åpner vi opp den innerste prentesen. y ( x 1) = y = x 1 Her deler vi på ( x 1) på egge sider v likningen. I denne formelen er x og y ikke omvendt proporsjonle størrelser, siden en doling v den ene ikke vil føre til en hlvering v den ndre. Ashehoug Side 36 v 40

37 Kpitteltest Løsninger Del 1 Uten hjelpemidler Oppgve 1 Ved vlesning ser vi t temperturen kl. 8 vr 2 grder. Ved vlesning ser vi t den høyeste temperturen vr i underknt v 4 grder. Den lveste temperturen vr nesten 3 grder. Nullpunktene er t = 0, t = 10, 4 og t = 24. Nullpunktene forteller ved hvilke tidspunkt det vr 0 grder ute. Det skjer klokk 0.00, og Oppgve 2 Linj y = 2x 3 skjærer ndreksen i punktet (0, 3). Vi finner y-verdien 3 ved å se på konstntleddet til linj. Stigningstllet er 2. Ashehoug Side 37 v 40

38 Oppgve 3 Løsninger Linj skjærer y-ksen i 80. Det vil si t Line hr en fst grunnlønn på 80 kroner i timen. I tillegg får hun en onus for ntll kurver hun selger. Denne onusen per kurv tilsvrer stigningstllet til den rette linj. Vi finner stigningstllet ved å dele forndringen i y-verdi på forndringen i x-verdi for to punkter på linj. Vi leser v punktene (0, 80) og (4,100). y = = = = 5 x Line får ltså en onus på 5 kroner per kurv hun selger. Del 2 Med hjelpemidler Oppgve 4 Fmilieilen Stor hr igjen: 60 (0,80 10) = 60 8 = 52 liter ensin. Småilen Smrt hr igjen: 55 (0,6 10) = 55 6 = 49 liter ensin. V( x) = 60 0,8x Vi finner et uttrykk for småilen Smrt: Sx ( ) = 55 0,6x. Vi setter nå uttrykkene for Smrt og Stor lik hverndre. Sx ( ) = Vx ( ) 55 0, 6x = 60 0,8x 0, 6x + 0,8x = , 2x = 5 0, 2x 5 = 0, 2 0, 2 x = 25 Altså hr de to ilene igjen like mye ensin etter 25 mil. V (25) = 60 0,8 25 = = 40 D hr ilene igjen 40 liter ensin på tnken. For å løse oppgven grfisk tegner vi egge grfene i smme koordintsystem i GeoGer. Vi ruker deretter verktøyknppen Skjæring mellom to ojekt. Dette gir oss skjæringspunktet (25, 40), ltså t egge ilene hr igjen 40 liter ensin etter å h kjørt 25 mil. Ashehoug Side 38 v 40

39 Ashehoug Side 39 v 40

40 Oppgve 5 Vi ser på tellen og finner prisen for to treninger: 100kr. Dette medfører t en trening koster 50 kr. 320 (50 4) = 120 Den fste medlemsvgiften lir dermed 120 kr. Vi finner et uttrykk for den totle prisen D for x treninger hos Dimnt: Dx ( ) = 75x Dette er et eksempel på proporsjonlitet fordi den totle prisen og ntll treninger øker i smme tkt. Vi finner et uttrykk for den totle prisen F for x treninger hos Fontenen: F( x) = x Vi tegner grfene til D og F i smme koordintsystem i GeoGer. Vi ruker deretter verktøyknppen Skjæring mellom to ojekt. Dette gir oss skjæringspunktet (4,8, 360), ltså må mn trene minst 5 gnger per måned hos Fontenen for t det skl lønne seg å være medlem der. Ashehoug Side 40 v 40