S2 kapittel 6 Sannsynlighet

Transkript

1 S kpittel 6 Snnsynlighet Løsninger til oppgvene i bok Oppgve 6. Ett v de 36 mulige utfllene er gunstig for hendelsen S. Alle de 36 mulige utfllene er like snnsynlige. Altså er PS ( ) 36 b Det er utfll som er gunstige for hendelsen S 3. Derfor er PS ( 3) 36 8 c Det er 3 utfll som er gunstige for hendelsen S 4. Derfor er 3 PS ( 4) 36 d Det er 6 utfll som er gunstige for hendelsen S 4. Derfor er 6 PS ( 4) 36 6 Aschehoug Side v 50

2 Oppgve 6. Hendelsen S 3 omftter hendelsene S og S 3. Hendelsene er disjunkte. Derfor er 3 P( S 3) P( S ) P( S 3) Løsninger til oppgvene i bok b Hendelsen S 9 omftter de disjunkte hendelsene S 9, S 0, S og S P( S 9) P( S 9) P( S 0) P( S ) P( S ) c Hendelsen S 6 omftter de disjunkte hendelsene S, S 3, S 4 og S P( S 6) P( S ) P( S 3) P( S 4) P( S 5) d P(3 S 9) P( S 3) P( S 4) P( S 5) P( S 6) P( S 7) P( S 8) P( S 9) e f P(7 S ) P( S 8) P( S 9) P( S 0) P( S ) P(3 S 6) P( S 3) P( S 4) P( S 5) Oppgve 6.3 De mulige utfllene er KKK, KKM, KMK, KMM, MKK, MKM, MMK og MMM. b Vi kn få enten 0,, eller 3 mynt. Altså kn X h verdiene 0,, og 3. X 0 : KKK X : KKM, KMK og MKK X : KMM, MKM og MMK X 3: MMM c Det er ett utfll som er gunstig for hendelsen X 0, tre utfll er gunstige for hendelsen X, tre utfll er gunstige for hendelsen X, og ett utfll er gunstig for hendelsen X 3. Totlt er det 8 mulige utfll. Det gir denne tbellen: d e k P( X k) Se figuren til høyre P( X ) P( X 0) P( X ) P( X ) P( X ) P( X ) P( X 3) P( X ) P( X ) P( X ) P(0 X 3) P( X ) P( X ) Aschehoug Side v 50

3 Oppgve 6.4 Løsninger til oppgvene i bok Summen v lle snnsynlighetene i snnsynlighetsfordelingen er lik én. Derfor er P( X ) P( X ) P( X 3) P( X 4) P( X 5) 0, 5 0, 0 0,5 0,0 0, 30 b P( X ) P( X ) P( X ) 0,30 0, 5 0,55 P( X ) P( X ) 0,30 3 P( X 3) P( X 3) P( X 4) P( X 5) 0, 0 0,5 0,0 0, 45 4 P( X 4) P( X ) P( X 3) P( X 4) 0, 5 0, 0 0,5 0,60 5 P( X 4) P( X 3) 0, 0 6 P( X 4) P( X ) P( X ) P( X 3) 0,30 0, 5 0, 0 0,75 Oppgve 6.5 De tre punktene som gir binomisk forsøk er oppfylt: (i) Hvert brn er enten gutt eller jente, (ii) snnsynligheten for gutt er 5,4 % for hvert brn og (iii) brns kjønn er uvhengig v hverndre siden de ikke er tvillinger, trillinger eller firlinger. Antll gutter X er derfor binomisk fordelt med n 4 og p 5,4 % 0,54. b Vi bruker snnsynlighetsklkultoren i GeoGebr, velger binomisk fordeling og legger inn n 4 og p 0,54. Så finner vi P( X ) P( X ). Snnsynligheten er 37,4 % for t fmilien hr to gutter. Vi finner P( X 3) P(3 X 3). Snnsynligheten er 6,4 % for t fmilien hr tre gutter. 3 Vi finner PX ( ). Snnsynligheten er 70,8 % for t fmilien hr minst to gutter. Oppgve 6.6 Av tbellen ser vi t PX ( 38) 0,35. Snnsynligheten er 35 % for t en tilfeldig vlgt eske inneholder 38 pstiller. b Hendelsen X 39 omftter hendelsene X 39 og X 40. Hendelsene er disjunkte. Derfor er P( X 39) P( X 39) P( X 40) 0, 0 0,05 0, 5 Snnsynligheten er 5 % for t en tilfeldig vlgt eske inneholder minst 39 pstiller. c Hendelsene «høyst 38 pstiller» og «minst 39 pstiller» er komplementære. Altså er P( X 38) P( X 39) 0, 5 0,75 Snnsynligheten er 75 % for t en tilfeldig vlgt eske inneholder høyst 38 pstiller. Aschehoug Side 3 v 50

4 Oppgve 6.7 De tre punktene som gir binomisk forsøk er oppfylt: (i) For hvert pengestykke får vi enten mynt eller krone, (ii) snnsynligheten for mynt er 50 % for hvert pengestykke og (iii) pengestykkene viser mynt eller krone uvhengig v hverndre. Antll mynt X er derfor binomisk fordelt. b Vi bruker snnsynlighetsklkultoren i GeoGebr, velger binomisk fordeling og legger inn n 0 og p 0,50. Så finner vi P( X 5) P(5 X 5). Snnsynligheten er 4,6 % for t vi får fem mynt. Vi finner PX ( 4). Snnsynligheten er 37,7 % for t vi får høyst fire mynt. 3 Vi finner PX ( 7). Snnsynligheten er 7, % for t vi får minst sju mynt. 4 Vi finner P( X 6). Snnsynligheten er 8,7 % for t vi får mellom to og seks mynt. Oppgve 6.8 Summen v lle snnsynlighetene i snnsynlighetsfordelingen er lik én. Derfor er P( X 3) P( X ) P( X ) P( X 4) 0, 0 0,30 0, 0 0,30 b P( X ) P( X ) P( X ) 0, 0 0,30 0,50 P( X 3) P( X 3) P( X 4) 0,30 0, 0 0,50 3 P( X 3) P( X ) P( X 3) 0,30 0,30 0,60 Aschehoug Side 4 v 50

5 Oppgve 6.9 b Av figuren ser vi t det er ni utfll som er gunstige for hendelsen Y, fem utfll er gunstige for hendelsen Y 4, og tre utfll er gunstige for hendelsen Y 5. Alle de 36 mulige utfllene er like snnsynlige. Det gir denne tbellen: 3 4 k P( Y k) Oppgve P( Y ) P( Y ) P( Y ) P( Y 4) P( Y 4) P( Y 5) P( Y 6) Løsninger til oppgvene i bok P( Y 5) P( Y ) P( Y 3) P( Y 4) P( Y 5) P(3 Y 6) P( Y 3) P( Y 4) P( Y 5) Summen v lle snnsynlighetene i snnsynlighetsfordelingen er lik én. Det gir likningen 0, 5 3 0, 0 0,5 4 0, ,40 0,0 b Hendelsen X 3 omftter hendelsene X 0, X, X og X 3. Hendelsene er disjunkte. Derfor er P( X 3) P( X 0) P( X ) P( X ) P( X 3) 0,0 0, 5 0, 30 0, 0 0,85 P( X ) P( X 3) P( X 3) P( X 4) 0, 0 0,5 0,35 3 P( X ) P( X ) P( X 3) P( X 4) 0,30 0, 0 0,5 0,65 4 P( X 3) P( X ) P( X ) P( X 3) 0, 5 0,30 0, 0 0,75 5 P( X 3) P( X ) P( X ) P( X ) 0, 5 0,30 0,55 6 P( X 3) P( X 3) P( X ) P( X 3) 0,30 0, 0 0,50 Aschehoug Side 5 v 50

6 Oppgve 6. De mulige utfllene er,,, 3,, 4,,,, 3,, 4, 3,, 3,, 3, 4, 4,, 4, og 4, 3. Det er mulige utfll. Alle utfllene er like snnsynlige. Snnsynligheten er derfor for hvert v utfllene. b Det høyeste tllet X på de to lppene kn h verdiene, 3 og 4. X :, og, X 3:, 3, 3,, 3, 3, og X 4:, 4,, 4, 3, 4, 4,, 4, og 4, 3 c Det er to utfll som er gunstige for hendelsen X. Altså er Det er seks utfll som er gunstige for hendelsen X 4. Altså er k 3 4 P( X k) 6 3 d Det lveste tllet Y på de to lppene kn h verdiene, og 3. Y : 4,,,, 3,, 4,,, 3, og Y :, 3,, 4, 3, og 4, Y 3 : 3, 4 og 4, 3 k 3 P( Y k) 3 6 e Summen S v de to tllene kn h verdiene 3, 4, 5, 6 og 7. S 3:, og, S 4 :, 3 og 3, S 5 : 3, og 4,, 4,, 3, S 6 :, 4 og 4, S 7 : 3, 4 og 4, 3 k P( S k) PX ( ). 6 6 PX ( 4). Aschehoug Side 6 v 50

7 Oppgve 6. Hvert v de 0 frøene vil enten spire eller ikke spire. Hvert frø spirer med 70 % snnsynlighet, og spirer ikke med 30 % snnsynlighet. Hvis frøene spirer uvhengig v hverndre, hr vi et binomisk forsøk. b Vi bruker snnsynlighetsklkultoren i GeoGebr, velger binomisk fordeling og legger inn n 0 og p 0,70. Så finner vi P( X 5) P(5 X 5). Snnsynligheten er 7,9 % for t 5 frø spirer. Vi finner PX ( 5). Snnsynligheten er 4,6 % for t minst 5 frø spirer. 3 Vi finner PX ( 0). Snnsynligheten er 4,8 % for t høyst 0 frø spirer. 4 Vi finner P( X 8). Snnsynligheten er 87,9 % for t mellom og 8 frø spirer. 5 P( X 8) P( X 7) Snnsynligheten er 85, % for t mellom og 7 frø spirer. 6 P( X 8) P(3 X 8) Snnsynligheten er 76,5 % for t mellom 3 og 8 frø spirer. Aschehoug Side 7 v 50

8 Oppgve 6.3 Vi velger hypergeometrisk fordeling i GeoGebr, legger inn en populsjon på 5, n 4 og et utvlg på 3, og regner ut P( X ) P( X ). Snnsynligheten er 33,5 % for t det blir én gutt i festkomiteen. b Vi finner PX ( ). Snnsynligheten er 59,3 % for t det blir minst to gutter i komiteen. c Vi finner P( X ). Snnsynligheten er 77,0 % for t det blir én eller to gutter i komiteen. Oppgve 6.4 Vi trekker kulene uten tilbkelegging. D får vi en hypergeometrisk fordeling, m n m k r k P( X k) n r der n 0, m 6 og r 3. Vi finner snnsynlighetsfordelingen i GeoGebr. k 0 3 P( X k) 3,3 % 30,0 % 50,0 % 6,7 % b P( X ) P( X ) P( X 0) P( X ) 3,3 % 30,0 % 33,3 % P( X ) P( X ) P( X ) P( X 3) 50,0 % 6,7 % 66,7 % 3 P( X 3) P( X ) P( X ) P( X ) 30,0 % 50,0 % 80,0 % 4 P( X 3) P( X ) P( X ) 50,0 % Aschehoug Side 8 v 50

9 Oppgve 6.5 b c Hvis vi trekker med tilbkelegging, blir utfllene v trekningene uvhengig v hverndre. D hr vi en 0 binomisk fordeling, der n 5 og p 0, k P( X k) 3,7 % 39,6 % 6,4 % 8,8 %,5 % 0,0 % Hvis vi trekker uten tilbkelegging, får vi en hypergeometrisk fordeling. I GeoGebr er d populsjonen 40, n 0 og utvlget er 5. k P( X k),7 % 4,6 % 7,8 % 7,9 %,0 % 0,04 % Med tilbkelegging får vi en binomisk fordeling, 50 der n 5 og p 0,5. Vi får derfor smme snnsynlighetsfordeling som i oppgve. Uten tilbkelegging får vi en hypergeometrisk fordeling, der populsjonen nå er 000, n 50 og utvlget er 5. k P( Y k) 3,7 % 39,6 % 6,4 % 8,8 %,4 % 0,09 % Vi ser t vi får tilnærmet smme snnsynlighetsfordeling som den binomiske fordelingen i oppgve. Hvis vi trekker noen få elementer fr en stor mengde, er det liten forskjell på trekning med og uten tilbkelegging. D kn vi bruke binomisk fordeling som en god tilnærming til hypergeometrisk fordeling. Oppgve 6.6 b c Antll øyne på terningen kn bli,, 3, 4, 5 eller 6. Alle utfllene er like snnsynlige. Det gir denne snnsynlighetsfordelingen: k P( X k) EX ( ) Hvis vi kster terningen mnge gnger, vil ntll øyne i gjennomsnitt være omtrent lik forventningen 7 3,5. I det lnge løp vil ltså terningen i gjennomsnitt vise 3,5 øyne. Oppgve 6.7 EX ( ) 0,30 0,5 30,0 40,5 50,0,5 Aschehoug Side 9 v 50

10 Oppgve EX ( ) b Hvert v de tre pengestykkene lnder enten på mynt eller krone. Snnsynligheten for mynt er 50 % for hvert pengestykke. Pengestykkene lnder på mynt eller krone uvhengig v hverndre. Betingelsene for binomisk fordeling er derfor oppfylt. c Vi kster n 3 pengestykker. For hvert kst er snnsynligheten Forventningsverdien for ntll mynt er derfor gitt ved 3 E( X ) np 3 Løsninger til oppgvene i bok p for å få mynt. Oppgve 6.9 Vi kster n 0 terninger. For hver terning er snnsynligheten p for å få sekser. 6 Antll seksere X er binomisk fordelt. Forventningsverdien er derfor gitt ved 0 0 E( X ) np Oppgve 6.0 b Snnsynligheten er % for t sykkeleieren får 7500 kr i ersttning, og 5 % for t hun får 000 kr i ersttning. Altså er snnsynligheten 93 % for t hun ikke får noen ersttning. EX ( ) 00, , , Forventningen er 50 kr. Kundene vil i gjennomsnitt få utbetlt omtrent 50 kr fr forsikringsselskpet. Hver kunde betler 350 kr for forsikringen. Forsikringsselskpet vil derfor i gjennomsnitt tjene 00 kr per kunde i det lnge løp. Aschehoug Side 0 v 50

11 Oppgve 6. Vi lr snnsynligheten for å vinne 00 kr være x. Snnsynligheten for å vinne 000 kr er d 5 x. Forventningsverdien er dermed E( X ) 0 P( X 0) 00 P( X 00) 000 P( X 000) x 0 P( X 0) 00 x x 00x 400x 5 Gjennomsnittsgevinsten er 0 kr i det lnge løp. Fr de store tlls lov er ltså EX ( ) x 0 0 x 0, Snnsynligheten er 5 % for å vinne 00 kr. Snnsynligheten er d % for å vinne 000 kr, og snnsynligheten for å vinne 0 kr er dermed 00 % 5 % % 94 %. k P( X k) 0,94 0,05 0,0 Oppgve 6. E( X ) 0 P( X 0) P( X ) P( X ) 3 P( X 3) 00,40 0,30 0,0 30,0 0 0,30 0, 40 0,30 Oppgve 6.3 EX ( ) 0,0 0,5 30,30 40,5 50,0 0, 0,5 0,9 0,5 3 Oppgve EY ( ) Hvis vi kster to terninger mnge gnger, vil det lveste ntll øyne i gjennomsnitt være omtrent 9,5 36. Aschehoug Side v 50

12 Oppgve 6.5 Antll øyne på terningen kn være,, 3, 4, 5 eller 6. Y kn derfor h verdiene, 4, 6, 8, 0 og. Alle utfllene er like snnsynlige. Det gir denne snnsynlighetsfordelingen: b c k P( Y k) EY ( ) Løsninger til oppgvene i bok 7 EX ( ) Vi ser ltså t E( Y) E( X ). Forventningsverdien til det dobbelte v ntll øyne på terningen er lik det dobbelte v forventningsverdien til ntll øyne på terningen. Oppgve 6.6 Hvert pengestykke blir enten mynt eller krone, snnsynligheten er p 0,50 for t det blir mynt hver gng, og kstene er uvhengige v hverndre. Vi hr derfor et binomisk forsøk. E( X ) np 50 0,50 5 Forventet ntll mynt er 5. b Vi hr et binomisk forsøk, der n 600 og E( X ) np Forventet ntll seksere er 00. p for å få sekser hver gng. 6 c Vi hr et binomisk forsøk, der n 00 og p 0,54 for t et brn er en gutt. E( X ) np 00 0,54 5, 4 Forventet ntll gutter er 5,4. Oppgve 6.7 Summen v lle snnsynlighetene i snnsynlighetsfordelingen er lik én. Det gir likningen 3 0,30 0,0 6 0,60 0,0 b E( X ) 0 P( X 0) P( X ) P( X ) 3 P( X 3) 4 P( X 4) 00,0 0,0 0,30 30,30 40,0 0 0, 0,6 0,9 0, 4, Aschehoug Side v 50

13 Oppgve 6.8 Løsninger til oppgvene i bok Summen v lle snnsynlighetene i snnsynlighetsfordelingen er lik én. Det gir likningen 0,0 0,30 3 0,60 0,0 Forventningsverdien er dermed EX ( ) 0,0 0,30 30, 0 40, 40 0, 0,6 0,6,6,9 Oppgve 6.9 Forventningsverdien til X er gitt ved E( X ) 00,5 0,50 0,5 c 0,0 Forventningsverdien er EX ( ),40. Det gir likningen 0 0,5 0,5 0,c, 40 Oppgve ,c 0, 4 c 4 Snnsynligheten er 6 for å få sekser. D er utbetlingen 60 kr. Det koster kr å spille. Nettogevinsten er derfor (60 ) kr. b c Tilsvrende er snnsynligheten for å få femmer. Nettogevinsten er d (30 6 ) kr. Hvis du får,, 3 eller 4 på terningen, får du ingen utbetling. Snnsynligheten for dette er 4, og nettogevinsten er (0 ) kr kr. 6 3 Vi får dermed denne snnsynlighetsfordelingen: k P( X k) E( X ) (30 ) (60 ) I gjennomsnitt skl nettogevinsten til spillerne i det lnge løp være kr. Fr de store tlls lov er ltså EX ( ). Det gir likningen 5 6 Aschehoug Side 3 v 50

14 Oppgve 6.3 Snnsynlighetsfordelingen for summen S v ntll øyne på de to terningene er gitt på side 75. Snnsynligheten er 36 Snnsynligheten er 36 Snnsynligheten er 3 36 for t summen blir. D får du utbetlt 0 kr. for t summen blir. D får du utbetlt 0 kr. for t summen blir 0. D får du utbetlt 00 kr. Hvis summen er mindre enn 0, får du ingen utbetling. Snnsynligheten for dette er Snnsynlighetsfordelingen for utbetlingen X er dermed gitt ved denne tbellen: k P( X k) Forventningsverdien er EX ( ) , Forventet utbetling er 7,78 kr og innstsen er 5 kr. Ved de store tlls lov vil du i gjennomsnitt tjene,78 kr per spilleomgng i det lnge løp. Det lønner seg derfor å delt i spillet. Oppgve 6.3 EX ( ) 00,077 0,3348 0, ,583,68 b Antll gutter X er hypergeometrisk fordelt med n 5, m 4 og r 3. Forventningsverdien er dermed m 4 4 E( X ) r 3,68 n 5 5 Resulttet i oppgve stemmer ltså med formelen. Oppgve 6.33 Antll øyne kn bli,, 3, 4, 5 eller 6. Alle utfllene hr snnsynlighet 6. b 7 Forventningen er. Vrinsen blir dermed Vr( X ) Hvis du kster én terning mnge gnger, vil det gjennomsnittlige kvdrtvviket mellom 7 ntll øyne og være omtrent 35. Aschehoug Side 4 v 50

15 Oppgve 6.34 Løsninger til oppgvene i bok Vr( X ) (,5) 0,30 (,5) 0, 5 (3,5) 0, 0 (4,5) 0,5 (5,5) 0,0,75 Oppgve EX ( ) b Vr( X ) (0 ) ( ) ( ) 0 SD( X) Vr( X) 4 Oppgve 6.36 Snnsynlighetsfordelingen er gitt ved k 0 kr 000 kr 7500 kr P( X k) 0,93 0,05 0,0 I oppgve 6.0 fnt vi t forventningen er 50 kr. Vrinsen er dermed Vr( X ) (0 50) 0,93 (000 50) 0,05 ( ) 0, Siden ersttningen hr benevning kr, hr vrinsen benevning Vrinsen er ltså Vr( X ) kr. kr. Stndrdvviket er SD( X) Vr( X) kr 3,6 kr. Oppgve Vr( X ) b Fr formelen for vrins i en binomisk fordeling med n 3 og 3 Vr( X ) np( p) Svret i oppgve stemmer ltså med formelen. p er Oppgve 6.38 X er binomisk fordelt, med n 0 og p. Vrinsen og stndrdvviket er Vr( X ) np( p) SD( X) Vr( X) 9 3 Aschehoug Side 5 v 50

16 Oppgve 6.39 Vr( X ) ( 3) 0,0 ( 3) 0, 5 (3 3) 0,30 (4 3) 0, 5 (5 3) 0,0 40,0 0,5 00,30 0,5 4 0,0 0,4 0,5 0,5 0,4,3 Oppgve 6.40 Vr( X ) (0 ) 0, 40 ( ) 0,30 ( ) 0, 0 (3 ) 0,0 0,40 00,30 0,0 40,0 0,4 0, 0,4 SD( X) Vr( X) Oppgve Vr( Y ) , SD( Y) Vr( Y), Oppgve 6.4 Vi hr et binomisk forsøk med n 50 og p. Vrins og stndrdvvik er 50 Vr( X ) np( p) 50 50,5 4 SD( X) Vr( X),5 3,54 b Vi hr et binomisk forsøk med n 600 og p. Vrins og stndrdvvik er Vr( X ) np( p) , SD( X) Vr( X) 9,3 3 c Vi hr et binomisk forsøk med n 00 og p 0,54. Vrins og stndrdvvik er Vr( X ) np( p) 000,54 ( 0,54) 5, 0 SD( X) Vr( X) 5, 0 5, 0 Aschehoug Side 6 v 50

17 Oppgve 6.43 b Løsninger til oppgvene i bok Summen v lle snnsynlighetene i snnsynlighetsfordelingen er lik én. Det gir likningen 0, ,60 0,0 EX ( ) 0,0 0,0 30,40 40,0 50,0 0, 0,4, 0,8 0,5 3 Vr( X ) ( 3) 0,0 ( 3) 0, 0 (3 3) 0, 40 (4 3) 0, 0 (5 3) 0,0 40,0 0,0 0 0,40 0,0 4 0,0 0,4 0, 0, 0,4, Oppgve 6.44 Først finner vi forventningsverdien. E( X ) c 0, 5 00,50 c0, 5 c(0, 5 0, 5) 0 c0 0 Så finner vi vrinsen uttrykt ved c. Vr( X ) ( c 0) 0, 5 (0 0) 0,50 ( c 0) 0, 5 0, 5c 0 0, 5c 0,5c Vi vet t Vr( X ). Det gir likningen c 4 c ( c0) Oppgve ,5c. Y kn h verdiene, 4, 6, 8, 0 og. Alle utfllene hr snnsynlighet 6. b Forventningen er EY ( ) 7. Vrinsen blir dermed Vr( Y) ( 7) (4 7) (6 7) (8 7) (0 7) ( 7) I oppgve 6.33 fnt vi t Vr( X ). Altså er Vr( Y) 4 4 Vr( X ) Vr( X ) 3 Vrinsen til gnger en stokstisk vribel X er gnger vrinsen til X. Oppgve 6.46 E( X ) 0 ( p) p p Vr( ) (0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) X p p p p p p p p p ( p) ( p p) p ( p) p( p) Aschehoug Side 7 v 50

18 Oppgve 6.47 Løsninger til oppgvene i bok Vr( X ) (0, 68) 0, 077 (, 68) 0,3348 (, 68) 0, 435 (3, 68) 0,583 0, 6776 b Antll gutter X er hypergeometrisk fordelt med n 5, m 4 og r 3. Vrinsen er dermed m m n r Vr( X) r 3 0,6776 n n n Resulttet i oppgve stemmer ltså med formelen. Oppgve 6.48 b EX ( ) 0,40 0,30 30,0 40,0 0,4 0,6 0,6 0,4 Vr( X ) ( ) 0, 40 ( ) 0,30 (3 ) 0, 0 (4 ) 0,0 3 0,40 00,30 0,0 40,0 0,4 0, 0,4 E( Y) 3 E( X ) 3 6 Vr( Y) 3 Vr( X) 3 9 E( Y) 3 E( X ) 3 8 Vr( Y) 3 Vr( X) 3 9 E( Y) E( X ) Vr( Y) Vr( X) 4 Oppgve 6.49 Vi lr X, X, X 3, 4 X og X 5 være ntll øyne i de fem kstene. Fr oppgve 6.6 og 6.33 vet vi t 7 E( X) E( X ) E( X 3) E( X 4) E( X 5) 35 Vr( X) Vr( X ) Vr( X 3) Vr( X 4) Vr( X 5) Siden S X X X3 X 4 X5, og terningkstene er uvhengige, får vi dermed E( S) E( X X X X X ) E( X ) E( X ) E( X ) E( X ) E( X ) Vr( S) Vr( X X X X X ) Vr( X ) Vr( X ) Vr( X ) Vr( X ) Vr( X ) Aschehoug Side 8 v 50

19 b Siden X S får vi E( X ) E S E( S) Vr( X ) Vr S Vr( S) Oppgve 6.50 E( Y) E( X ) 4 Vr( Y) Vr( X) 4 E( Y) E( X ) Vr( Y) Vr( X) 3 E( Y) 3 E( X ) 3 4 Vr( Y) 3 Vr( X) 3 9 b Vi får oppgitt t E( X ) E( Y) 3 og SD( X) SD( Y). Altså er Vr( X) Vr( Y). Siden X og Y er uvhengige får vi dermed E( S) E( X Y) E( X ) E( Y) Vr( S) Vr( X Y) Vr( X ) Vr( Y) 4 SD( S) Vr( S) 4 Oppgve 6.5 EX ( ) 360,0 37 0,30 380, , 0 400,05 37,8 Vr( X ) (36 37,8) 0,0 (37 37,8) 0,30 (38 37,8) 0,35 (39 37,8) 0, 0 (40 37,8) 0,05,06 b Esken inneholder X pstiller. Vekten v pstillene i esken er derfor 0,5 X grm. I tillegg veier selve esken 3 grm. Totlvekten i grm er derfor V 0,5 X 3,0. c E( V) 0,5 E( X) 3,0 0,537,8 3,0,9 Forventet vekt til en eske med pstiller er,9 g. d Vr( V) 0,5 Vr( X) 0,5,06 0, 65 0, 7 V hr benevning grm. Benevningen til Vr( V ) er derfor Vrinsen v vekten til en eske med pstiller er SD( V) Vr( V) 0, 65 0,5 Stndrdvviket til vekten er 0,5 g. 0,7 g. grm. Aschehoug Side 9 v 50

20 Oppgve 6.5 X hr forventningsverdi og stndrdvvik. Altså er Med Z X får vi dermed E( Z) E( X ) 0 X Vr( Z) Vr( ) SD( Z) Vr( Z) Vr( X ). Oppgve EX ( ) 0 0, Vr( X ) 0 0, b Hvis spilleren vinner, er X, og nettogevinsten er Y Hvis spilleren tper, er X 0, og nettogevinsten er Y Nettogevinsten er ltså gitt ved Y 60 X 0. c d 6 0 E( Y) 60 E( X ) , Vr( Y) 60 Vr( X) , SD( Y) Vr( Y) 489,, Forventningen er 0,7 euro, vrinsen er 489, euro og stndrdvviket er, euro. Forventningsverdien for nettogevinsten per omgng er 0,7 euro. Ved de store tlls lov vil derfor spilleren i det lnge løp tpe 0,7 euro per omgng. Aschehoug Side 0 v 50

21 Oppgve 6.54 Spilleren hr stset på k v tllene. Totlt er det 37 tll på ruletthjulet. k Snnsynligheten for t hun vinner er ltså PX ( ). 37 k 37 k Snnsynligheten for t hun tper er dermed P( X 0) P( X ) b c d e 37 k k k E( X ) 0 P( X 0) P( X ) k 37 k k k k 37 k 37 k k Vr( X ) k 37 k k 37 k k 37 k 37 k 37 k Spilleren får utbetlt 360 euro fr ksinoet hvis hun vinner. k Hvis hun tper får hun ingen utbetling. Unsett betler hun en innsts på 0 euro. 360 Nettogevinsten er derfor gitt ved Y X 0. k k E( Y) E( X ) k k Forventningsverdien til nettogevinsten er euro. 37 Den forventede nettogevinsten vhenger ltså ikke v k k 37 k Vr( Y) Vr( X) k k k k k 37 k k k k k k k Vrinsen til nettogevinsten er Vr( Y) euro. 37 k k k Stndrdvviket er SD( Y) Vr( Y) euro euro. 37 k 37 k Når k øker, minker telleren 37 k i uttrykket for SD( Y ), mens nevneren k øker. Brøken 37 k minker derfor når k øker. Stndrdvviket minker når k øker. k Aschehoug Side v 50

22 Oppgve EX ( ) EY ( ) ES ( ) b Når S X Y, gjelder det generelt t E( S) E( X Y) E( X ) E( Y) Altså er ES ( ) c d Løsninger til oppgvene i bok Vr( X ) Vr( Y) Vr( S) (3 5) (4 5) (5 5) (6 5) (7 5) Vi ser t Vr( S), mens Vr( X) Vr( Y) Vr( S ) er ltså ikke lik Vr( X) Vr( Y). Grunnen til det er t X og Y ikke er uvhengige stokstiske vribler. Oppgve 6.56 Snnsynligheten er p for t A inntreffer, og p E( X ) 0 ( p) p p i Vr( ) (0 ) ( ) ( ) X i p p p p for t A ikke inntreffer. Dermed er p ( p) ( p) p p ( p) ( p p) p( p) SD( X ) Vr( X ) p( p) i i b Vi setter X X X X n. De n delforsøkene er uvhengige. Det gir E( X ) E( X X X ) E( X ) E( X ) E( X ) p p p np n Vr( X ) Vr( X X X ) Vr( X ) Vr( X ) Vr( X ) n p( p) p( p) p( p) np( p) SD( X ) Vr( X ) np( p) n n Aschehoug Side v 50

23 Oppgve 6.57 Forventningen EX ( i ) for lle i. Det gir n Løsninger til oppgvene i bok E( X X X ) E( X ) E( X ) E( X ) n b Stndrdvviket SD( X i ) for lle i. Vrinsen er derfor De stokstiske vriblene er uvhengige. Derfor er n Vr( X i ). Vr( X X X n) Vr( X) Vr( X ) Vr( X n) n Stndrdvviket er dermed SD( ) Vr( ) X X X n X X X n n n n E( X ) E ( X X X ) E( X X X n) n n n n c n n n Vr( X ) Vr ( X X X ) Vr( X X X ) n n n n n SD( X) Vr( X) n n Oppgve 6.58 b 353 For høyder under 65 cm finner vi f.eks. t den reltive frekvensen er 0, Høyde (i cm) Antll Reltiv frekvens Under ,0 65, ,047 70, ,50 75, ,66 80, ,8 85,90 * ,68 90, ,06 Minst ,04 *) I første opplg v bok står det feilktig t det vr 493 gutter i dette intervllet. Aschehoug Side 3 v 50

24 Oppgve 6.59 X er normlfordelt med forventning 5. Grfen til tetthetsfunksjonen hr derfor toppunkt for x 5. Dette stemmer for den blå og den grønne grfen. Stndrdvviket skl være. Det betyr t grfen skl h vendepunkter for x 5 4 og x 5 6. Dette stemmer for den blå grfen, men ikke for den grønne grfen (som hr vendepunkter rundt x 3 og x 7 ). Den blå grfen viser derfor tetthetsfunksjonen til en normlfordeling med forventning 5 og stndrdvvik. Oppgve 6.60 Vi ser t histogrmmet stemmer br med normlfordelingsfunksjonen for 80,0 og 7,0. Høyden v norske vernepliktige ser ltså ut til å være normlfordelt, med forventningsverdi 80,0 cm og stndrdvvik 7,0 cm. Oppgve 6.6 Vi bruker snnsynlighetsklkultoren i GeoGebr, velger normlfordeling, og legger inn forventningsverdi 80,0 og stndrdvvik 7,0. Så regner vi ut P(7,0 X 78,0). Snnsynligheten er 6, % for t en 8 år gmmel gutt er mellom 7,0 cm og 78,0 cm. Vi regner ut P(88,0 X 96,0). Snnsynligheten er,5 % for t en 8 år gmmel gutt er mellom 88,0 cm og 96,0 cm. b Vi regner ut PX ( 68,0). Snnsynligheten er 4,3 % for t en 8 år gmmel gutt er mindre enn 68,0 cm. Vi regner ut ( 90,0) PX. Snnsynligheten er 9,3 % for t en 8 år gmmel gutt er mindre enn 90,0 cm. Aschehoug Side 4 v 50

25 c Vi regner ut PX ( 7,0). Snnsynligheten er 87,3 % for t en 8 år gmmel gutt er minst 7,0 cm. Vi regner ut PX ( 9,0). Snnsynligheten er 4,3 % for t en 8 år gmmel gutt er minst 9,0 cm. Oppgve 6.6 Vi velger normlfordeling, og legger inn 3,50 og 0,48 i snnsynlighetsklkultoren i GeoGebr. Så regner vi ut P(3,0 X 4,0). 70, % v lle nyfødte jenter veier mellom 3,0 kg og 4,0 kg. b Vi regner ut PX (,5).,9 % v lle nyfødte jenter hr lv fødselsvekt. c Vi skl finne tllet x som er slik t P( X x) 0,0. D velger vi ikonet for " X " i GeoGebr, og skriver inn snnsynligheten 0,0. En nyfødt jente må veie minst 4, kg for å være blnt de 0 % som hr høyest fødselsvekt. d Vi skl finne tllet x som er slik t P( X x) 0,05. D velger vi ikonet for " X " i GeoGebr, og skriver inn snnsynligheten 0,05. En nyfødt jente må veie mindre enn,7 kg for å være blnt de 5 % som hr lvest fødselsvekt. Oppgve 6.63 Vi skl finne PZ ( 0,90). D strter vi med å finne den linj i tbellen der det står 0,9 i venstre kolonne. Så finner vi den kolonnen der det står 0,00 i øverste linje, ltså den ndre kolonnen. Vi leser v verdien 0,859. Altså er PZ ( 0,90) 0,859. b Vi skl finne PZ (,07). D finner vi linj der det står,0, og kolonnen der det står 0,07. Det gir PZ (,07) 0,43. c Vi skl finne PZ ( 0,90), og bruker d t P( Z 0,90) P( Z 0,90). Med resulttet fr oppgve gir det PZ ( 0,90) 0,859 0,84. d Vi skl finne P( Z 0,4) P( Z 0,4). Vi finner linj der det står 0,, og kolonnen der det står 0,04. Det gir PZ ( 0, 4) 0, 405 0,5948. e P(, 0 Z,90) P( Z,90) P( Z, 0) 0,973 0,8849 0,0864 f P(, 4 Z 0, 4) P( Z 0, 4) P( Z, 4) 0, 405 0,05 0,397 Aschehoug Side 5 v 50

26 Oppgve 6.64 X er normlfordelt med 00 og 5. D er Vi skl finne PX ( 70). D bruker vi t Løsninger til oppgvene i bok X 00 Z stndrdnormlfordelt. 5 X P( X 70) P P( Z ) P( Z ) 5 5 Av tbellen ser vi t PZ ( ) 0,08. Snnsynligheten er,3 % for t IQ til en tilfeldig vlgt person er lvere enn 70. X P( X 5) P P( Z ) P( Z ) 5 5 Av tbellen ser vi t PZ ( ) 0,843. Snnsynligheten er 84, % for t personen hr lvere IQ enn 5. b c X P( X 85) P P( Z ) P( Z ) 5 5 Av tbellen ser vi t PZ ( ) 0,587. Dermed er PX ( 85) 0,587 0,843. Snnsynligheten er 84, % for t personen hr høyere IQ enn 85. X P( X 30) P P( Z ) P( Z ) 5 5 Av tbellen ser vi t PZ ( ) 0,977. Dermed er PX ( 30) 0,977 0,08. Snnsynligheten er,3 % for t personen hr høyere IQ enn X P(70 X 00) P P( Z 0) P( Z 0) P( Z ) 0,5000 0,08 0, 477 Snnsynligheten er 47,7 % for t personen hr IQ mellom 70 og X P(85 X 30) P P( Z ) P( Z ) P( Z ) 0,977 0,587 0,885 Snnsynligheten er 8,9 % for t personen hr IQ mellom 85 og 30. Aschehoug Side 6 v 50

27 Oppgve 6.65 X Z er stndrdnormlfordelt. Løsninger til oppgvene i bok X P( X ) P P( Z ) P( Z ) P( Z ) Av tbellen hr vi t PZ ( ) 0,977 og PZ ( ) 0,08. Derfor er P( X ) 0,977 0,08 0,9544 Snnsynligheten er 95,4 % for t en normlfordelt stokstisk vribel får en verdi som vviker høyst to stndrdvvik fr forventningsverdien. 3 X 3 P( 3 X 3 ) P P( 3 Z 3) P( Z 3) P( Z 3) Av tbellen hr vi t PZ ( 3) 0,9987 og PZ ( 3) 0,003. Derfor er P( 3 X 3 ) 0,9987 0,003 0,9974 Snnsynligheten er 99,7 % for t en normlfordelt stokstisk vribel får en verdi som vviker høyst tre stndrdvvik fr forventningsverdien. Oppgve 6.66 X er normlfordelt med forventningsverdi 4 og stndrdvvik. X 4 D er Z stndrdnormlfordelt. X 4 x 4 x 4 P( X x) P P Z Denne snnsynligheten skl være 0,587. x 4 Av tbellen ser vi t PZ ( ) 0,587. Altså er. Det gir x 4 x X 4 x 4 x 4 x 4 P( X x) P P Z P Z x 4 Denne snnsynligheten skl være 0,08. Altså er PZ 0,08 0, Av tbellen ser vi t PZ ( ) 0,977. Det betyr t x. x 44 x 8 Aschehoug Side 7 v 50

28 b Y Z er stndrdnormlfordelt. 5 Y,5,5,5 P( Y,5) P P Z P Z ,5 Denne snnsynligheten skl være 0,0668. Altså er PZ 0,0668 0, Av tbellen ser vi t PZ (,5) 0,933. Det betyr t,5,5. 5,5 7,5 5 Forventningsverdien er 5. Oppgve 6.67 Høyden X v en tilfeldig vlgt 8 år gmmel gutt er normlfordelt med 80 og 7. X 80 D er Z stndrdnormlfordelt. Vi skl finne x slik t P( X x) 0,0. 7 X 80 x 80 x 80 x 80 P( X x) P P Z P Z x 80 Av tbellen ser vi t PZ ( 0,84) 0,005 0,0. Altså er 0,84. 7 x 80 70, ,88 74, Snnsynligheten er omtrent 0 % for t en 8 år gmmel gutt er lvere enn 74, cm. Oppgve 6.68 Vi skl finne PZ (,35). D strter vi med å finne den linj i tbellen der det står,3 i venstre kolonne. Så finner vi den kolonnen der det står 0,05 i øverste linje. Vi leser v verdien 0,95. Altså er PZ (,35) 0,95. b Vi skl finne PZ ( 0,87). D finner vi linj der det står 0,8, og kolonnen der det står 0,07. Det gir PZ ( 0,87) 0,9. c Vi skl finne PZ (,4), og bruker d t P( Z,4) P( Z,4). Av tbellen ser vi t PZ (,4) 0,05. Altså er PZ (,4) 0,05 0,9875. d P( Z,73) P( Z,73) 0,958 0,048 e P( 0,3 Z,0) P( Z,0) P( Z 0,3) 0,846 0,3745 0, 476 f P(, 3 Z,69) P( Z,69) P( Z, 3) 0,9964 0,8907 0,057 Aschehoug Side 8 v 50

29 Oppgve 6.69 X er normlfordelt med,5 og 0,5. D er b Løsninger til oppgvene i bok X,5 Z stndrdnormlfordelt. 0,5 X,5,75,5 P( X,75) P P( Z 0,5) 0,5 0,5 Av tbellen ser vi t PZ ( 0,5) 0,695. Altså er PX (,75) 0,695. X,5 0,75,5 P( X 0,75) P P( Z,5) P( Z,5) 0,5 0,5 Av tbellen ser vi t PZ (,5) 0,0668. Altså er PX ( 0,75) 0,0668 0,933. c P(0,75 X,75) P( X,75) P( X 0,75) 0,695 0,0668 0,647 d 0,90,5 X,5, 40,5 P(0,90 X, 40) P 0,5 0,5 0,5 P(, Z 0,) P( Z 0,) P( Z,) 0, 407 0,5 0,3056 Oppgve 6.70 Snnsynlighetstettheten til en normlfordeling med forventning og stndrdvvik hr toppunkt for x og vendepunkt for x og x. Vi ser t grf A hr toppunkt for x 50 og vendepunkt rundt x 45 og x 55. Det svrer til 50 og 5. Grf A viser ltså snnsynlighetstettheten til X. Grf B hr toppunkt for x 50 og vendepunkt rundt x 40 og x 60. Det svrer til 50 og 0. Grf B viser ltså snnsynlighetstettheten til U. Grf C svrer til 30 og 0, og viser ltså snnsynlighetstettheten til Y. Grf D svrer til 70 og 5, og viser ltså snnsynlighetstettheten til V. Oppgve 6.7 X er normlfordelt med 6,5 og,. Vi skl finne P( X 7,0) P( X 7,0), og bruker snnsynlighetsklkultoren i GeoGebr. Snnsynligheten er 66, % for t kolesterolinnholdet er mindre enn 7,0 millimol per liter. b Vi finner P( X 8,0) P( X 8,0). Snnsynligheten er 0,6 % for t kolesterolinnholdet er mer enn 8,0 millimol per liter. c Vi finner P(5,0 X 7,0). Snnsynligheten er 55,6 % for t kolesterolinnholdet er mellom 5,0 og 7,0 millimol per liter. Aschehoug Side 9 v 50

30 Oppgve 6.7 Vi bruker snnsynlighetsklkultoren i GeoGebr med forventning 3,0 og stndrdvvik 0,4. Vi finner t PX ( 3,5) 0,056. Snnsynligheten er 0,6 % for t en frisk år gmmel gutt hr en vitlkpsitet som er minst 3,5 liter. Videre finner vi t P(,0 X 3,0) 0,4938. Snnsynligheten er 49,4 % for t vitlkpsiteten er mellom,0 og 3,0 liter. b Vi skl finne tllet x som er slik t P( X x) 0,975. D velger vi ikonet for " X " i GeoGebr, og skriver inn snnsynligheten 0,975. Grenseverdien for vitlkpsitet er, liter. Oppgve 6.73 b Vi bruker snnsynlighetsklkultoren i GeoGebr med forventning 3,8 og stndrdvvik 0,6. Så finner vi PX ( 4,0). Snnsynligheten er 36,9 % for t en 8 år gmmel jente hr en vitlkpsitet på minst 4,0 liter. Vi ntr t vitlkpsiteten til de to jentene er uvhengig v hverndre. Snnsynligheten er 0,3694 for t hver v dem hr en vitlkpsitet på minst 4,0 liter. Snnsynligheten for t begge to hr en vitlkpsitet på minst 4,0 liter er derfor 0,3694 0,3694 0,3694 0,36 3,6 % Oppgve 6.74 X er normlfordelt med 55 og 3. Vi skl finne P( X 50) P( X 50), og bruker snnsynlighetsklkultoren i GeoGebr. Snnsynligheten er 4,8 % for t en tilfeldig vlgt kffepose blir sortert vekk. b Vi hr t Z X er stndrdnormlfordelt. 3 Ved GeoGebr finner vi t PZ (,363) 0,0. Vi skl bestemme forventningsverdien slik t X 50 P( X 50) P 0, Altså er gitt som løsningen v likningen 50, Det gir 50, ,0 Kffemskinen må stilles inn på forventningsverdien 57,0 grm. Aschehoug Side 30 v 50

31 Oppgve 6.75 Vi legger inn forventning 59 og stndrdvvik 6 b i snnsynlighetsklkultoren i GeoGebr, og finner PX ( 55). Snnsynligheten er 5, % for t en 3 år gmmel jente er 55 cm eller lvere. Vi finner PX ( 67). Snnsynligheten er 9, % for t en 3 år gmmel jente er minst 67 cm. Vi ntr t høyden v jentene er uvhengig v hverndre. Vi lr X være ntll jenter på håndbllget som er minst 67 cm høye. D hr vi et binomisk forsøk, der n 0 og p 0,09 (fr oppgve ). Vi velger binomisk fordeling i snnsynlighetsklkultoren i GeoGebr, og finner P( X ) P( X ). Snnsynligheten er 7,4 % for t nøyktig to v jentene på håndbllget er minst 67 cm høye. Oppgve 6.76 X er normlfordelt med forventningsverdi og stndrdvvik. X D er Z stndrdnormlfordelt. X 5 5 P( X 5) P P Z Denne snnsynligheten skl være 0,843. Av tbellen ser vi t PZ ( ) 0,843. Altså er Forventningsverdien er 3. b Y er normlfordelt med forventningsverdi 0 og stndrdvvik. Y 0 D er Z stndrdnormlfordelt. Y P( Y 5) P P Z P Z 5 Denne snnsynligheten skl være 0,08. Altså er PZ 0,08 0,977. Av tbellen ser vi t PZ ( ) 0,977. Det betyr t 5. 5 Stndrdvviket er,5. Aschehoug Side 3 v 50

32 c V Z er stndrdnormlfordelt. V P( V ) P P Z 0,587 V P( V ) P P Z P Z 0, 08 PZ 0, 08 0,977 Av tbellen ser vi t PZ ( ) 0,587 og PZ ( ) 0,977. Altså er og. Fr den første likningen er. Vi setter dette inn i den ndre likningen. ( ) Dermed er 5 3. Forventningsverdien er 5 og stndrdvviket er 3. Oppgve 6.77 ( x) ( x) ( x ) f( x) e e ( x ) e ( x ) x e 3 ( x ) ( x ) ( x ) ( x ) x x x f( x) e e e ( x) ( x) x e e 3 3 ( x) ( x ) x e ( x ) 3 ( x ) x e 3 Aschehoug Side 3 v 50

33 b Vi finner toppunktet på grfen til f ved å løse likningen f( x) 0. ( x ) x e 0 3 x 0 Grfen til normlfordelingsfunksjonen hr toppunkt for x. Vi finner vendepunktene på grfen til f ved å løse likningen f( x) 0. ( x) x e 0 3 Løsninger til oppgvene i bok x x x x Grfen til normlfordelingsfunksjonen hr vendepunkt for x og x. Oppgve 6.78 Vi lr X, X,..., X 500 stå for nettogevinsten i hver v spilleomgngene. Forventningsverdien til hver enkelt nettogevinst er kr, og stndrdvviket er 37 kr. Den smlede nettogevinsten er S X X X500. Av sentrlgrensesetningen er S tilnærmet normlfordelt med forventningsverdi E( S) n 500 ( ) 500 og stndrdvvik SD( S) n ,35 Vi skl finne PS ( 500), og bruker snnsynlighetsklkultoren i GeoGebr. Snnsynligheten er omtrent % for t spilleren tper minst 500 kr. b Vi finner P( S 0) P( S 0). Snnsynligheten er omtrent 7 % for t spilleren tjener penger på å spille. Aschehoug Side 33 v 50

34 Oppgve 6.79 Vi lr X være ntll mynt vi får. X er binomisk fordelt med n 600 og b c Siden n er stor, er X tilnærmet normlfordelt med forventningsverdi E( X ) np og stndrdvvik Løsninger til oppgvene i bok p. SD( X ) np( p) X 800 D er tilnærmet stndrdnormlfordelt. Det gir 0 X P( X 780) P P( Z ) 0 0 der Z er stndrdnormlfordelt. Av tbellen finner vi t er PZ ( ) 0,587. Altså er PX ( 780) 0,587. Snnsynligheten er c. 6 % for t du får høyst 780 mynt. X P( X 840) P P( Z ) P( Z ) 0 0 For stndrdnormlfordelingen er PZ ( ) 0,977. Altså er PX ( 840) 0,977 0,08. Snnsynligheten er c. % for t du får minst 840 mynt X P(770 X 830) P P(,5 Z,5) P( Z,5) P( Z,5) For stndrdnormlfordelingen er PZ (,5) 0,933 og PZ (,5) 0,0668. Altså er P(770 X 830) 0,933 0,0668 0,8664. Snnsynligheten er c. 87 % for t du får mellom 770 og 830 mynt. Oppgve 6.80 Vi lr X være ntll seksere vi får. X er binomisk fordelt med n 70 og Siden n er stor, er X tilnærmet normlfordelt med forventningsverdi E( X ) np og stndrdvvik p SD( X ) np( p) X 0 er tilnærmet stndrdnormlfordelt. 0 X P( X 00) P P( Z ) 0 0 der Z er stndrdnormlfordelt. Nå er PZ ( ) 0,08. Altså er PX ( 00) 0,08. Snnsynligheten er c. % for t du får høyst 00 seksere. Aschehoug Side 34 v 50

35 b c X P( X 35) P P( Z,5) P( Z,5) 0 0 For stndrdnormlfordelingen er PZ (,5) 0,933. Altså er PX ( 35) 0,933 0,0668. Snnsynligheten er c. 7 % for t du får minst 35 seksere. 0 0 X P(0 X 30) P P( Z ) P( Z ) P( Z ) For stndrdnormlfordelingen er PZ ( ) 0,843 og PZ ( ) 0,587. Altså er P(0 X 30) 0,843 0,587 0,686. Snnsynligheten er c. 68 % for t du får mellom 0 og 30 seksere. Oppgve 6.8 Vi lr X være ntllet v de spurte som stemte på Arbeiderprtiet. Siden det er en liten ndel v lle velgerne som blir spurt, ntr vi t svrene er uvhengige. Vi hr d t X er binomisk fordelt, med n 5000 og p 0,308. Siden n er stor, er X tilnærmet normlfordelt med forventningsverdi E( X ) np , og stndrdvvik SD( X ) np( p) ,308 ( 0,308) 3,64 Vi bruker GeoGebr til å finne P( X ,300) P( X 500) Snnsynligheten er c. % for t Arbeiderprtiets oppslutning på vlgdgsmålingen blir høyst 30,0 %. b Vi finner P( X ,30) P( X 600). Snnsynligheten er c. 3 % for t Arbeiderprtiets oppslutning på vlgdgsmålingen blir minst 3,0 %. Oppgve 6.8 Vi velger binomisk fordeling og legger inn n 0 og p 0,5 i snnsynlighetsklkultoren i GeoGebr. Så finner vi PX ( 8). Snnsynligheten er 0, % for t Signe får minst åtte riktige svr. Vi finner P(3 X 7). Snnsynligheten er 80,7 % for t Signe får mellom tre og sju riktige svr. b Vi velger normlfordeling med 5 og,94. Det gir PX ( 8) 0,06 6, %. Med normlfordeling får vi P(3 X 7) 0,697 69,7 % Aschehoug Side 35 v 50

36 c PX ( 7,5) 0,099 9,9 % P(,5 X 7,5) 0,80 80, % d Det er stor forskjell på svrene i oppgvene og b. Men når vi i oppgve c gjør en hlvkorreksjon, får vi nesten de smme svrene som i oppgve. Oppgve 6.83 Vi lr X være ntll seksere vi får. X er binomisk fordelt med n 600 og Siden n er stor, er X tilnærmet normlfordelt med forventningsverdi E( X ) np og stndrdvvik 5 SD( X ) np( p) 600 9,3 6 6 Vi velger normlfordeling i GeoGebr, og regner ut PX ( 85). Snnsynligheten er c. 5,0 % for t du får høyst 85 seksere. Vi regner ut PX ( 5). Snnsynligheten er c. 5,0 % for t du får minst 5 seksere. b Vi velger binomisk fordeling i GeoGebr, og skriver inn n 600 og p 0, Så regner vi ut PX ( 85). Snnsynligheten er 5,4 % for t du får høyst 85 seksere. Vi regner ut PX ( 5). Snnsynligheten er 5,8 % for t du får minst 5 seksere. p. 6 Vi ser t vi får litt for lv snnsynlighet når vi bruker normltilnærming. Men vviket er ikke spesielt stort. Det skyldes t både np og n( p) er mye større enn fem. Aschehoug Side 36 v 50

37 Oppgve 6.84 X er binomisk fordelt med n 00 og p. Siden n er stor, er X tilnærmet normlfordelt med forventningsverdi E( X ) np og stndrdvvik SD( X ) np( p) 00 7,3 Vi velger normlfordeling i GeoGebr, og regner ut PX ( 580). Snnsynligheten er c.,4 % for t du får høyst 580 krone. Vi regner ut PX ( 60). Snnsynligheten er c.,4 % for t du får minst 60 krone. 3 Vi regner ut P(590 X 60). Snnsynligheten er c. 43,6 % for t du får mellom 590 og 60 krone. b Vi velger binomisk fordeling i GeoGebr, og skriver inn n 00 og p 0,5. Så regner vi ut PX ( 580). Snnsynligheten er 3,0 % for t du får høyst 580 krone. Vi regner ut PX ( 60). Snnsynligheten er 3,0 % for t du får minst 60 krone. 3 Vi regner ut P(590 X 60). Snnsynligheten er 45,6 % for t du får mellom 590 og 60 krone. Løsninger til oppgvene i bok Vi ser t normltilnærmingen gir gnske gode resultter. Snnsynligheten blir litt for lv, men vviket er lite siden både np og n( p) er mye større enn fem. Oppgve 6.85 Vi lr X, X,..., X 00 være ntll øyne på hver v de 00 terningene. For hver terning er 7 35 forventningen og stndrdvviket. Vi kn skrive summen v ntll øyne som S X X X. Siden n 00 er stor, er S tilnærmet normlfordelt med 00 7 forventningsverdi E( S) n og stndrdvvik SD( S) n ,08 Vi skl finne PS ( 330). Vi bruker GeoGebr og finner t snnsynligheten er c. % for t summen v ntll øyne blir høyst 330. b Vi finner ( 360) PS ved å bruke GeoGebr. Snnsynligheten er c. 8 % for t summen v ntll øyne blir minst 360. Aschehoug Side 37 v 50

38 Oppgve 6.86 Vi lr X være ntll frø som spirer. X er binomisk fordelt med n 000 og p 0,70. Siden n er stor, er X tilnærmet normlfordelt med forventningsverdi E( X ) np 000 0, og stndrdvvik SD( X ) np( p) 000 0,70 0,30 4, 49 Vi velger normlfordeling i GeoGebr. Uten hlvkorreksjon: Vi finner PX ( 670). Snnsynligheten er c.,9 % for t høyst 670 frø vil spire. Med hlvkorreksjon: Vi finner PX ( 670,5). Snnsynligheten er c., % for t høyst 670 frø vil spire. Uten hlvkorreksjon: Vi finner PX ( 75). Snnsynligheten er c. 4, % for t minst 75 frø vil spire. Med hlvkorreksjon: Vi finner PX ( 74,5). Snnsynligheten er c. 4,5 % for t minst 75 frø vil spire. 3 Uten hlvkorreksjon: Vi finner P(680 X 70). Snnsynligheten er c. 83, % for t mellom 680 og 70 frø vil spire. Med hlvkorreksjon: Vi finner P(679,5 X 70,5). Snnsynligheten er c. 84,3 % for t mellom 680 og 70 frø vil spire. b Vi velger binomisk fordeling i GeoGebr, og finner PX ( 670). Snnsynligheten er, % for t høyst 670 frø vil spire. Vi finner PX ( 75). Snnsynligheten er 4,5 % for t minst 75 frø vil spire. 3 Vi finner P(680 X 70). Snnsynligheten er 84,3 % for t mellom 680 og 70 frø vil spire. Uten hlvkorreksjon gir normltilnærmingen konsekvent litt for lv snnsynlighet, selv om vviket ikke er spesielt stort. Når vi gjør en hlvkorreksjon, får vi tilnærmet de smme svrene med normltilnærming og binomisk fordeling. Aschehoug Side 38 v 50

39 Oppgve 6.87 Meningsmålingen svrer egentlig til trekning uten tilbkelegging. Men siden det bre er en liten brøkdel v lle personer over 8 år som blir spurt, kn vi regne med t svrene er uvhengige. Vi lr X være ntll personer som svrer t de ville h stemt på Venstre. D kn vi regne med t X er binomisk fordelt, med n 000 og p 5,5 % 0,055. Siden n er stor, er X tilnærmet normlfordelt med forventningsverdi E( X ) np 000 0, og stndrdvvik SD( X ) np( p) 000 0,055 0,945 7, En oppslutning på 4,5 % betyr t X 000 0, Vi velger normlfordeling i GeoGebr. Uten hlvkorreksjon: Vi finner PX ( 45). Snnsynligheten er c. 8,3 % for t oppslutningen blir høyst 4,5 %. Med hlvkorreksjon: Vi finner PX ( 45,5). Snnsynligheten er c. 9,4 % for t oppslutningen blir høyst 4,5 %. Uten hlvkorreksjon: Vi finner PX ( 70). Snnsynligheten er c.,9 % for t oppslutningen blir minst 7,0 %. Med hlvkorreksjon: Vi finner PX ( 69,5). Snnsynligheten er c., % for t oppslutningen blir minst 7,0 %. 3 Uten hlvkorreksjon: Vi finner P(45 X 65). Snnsynligheten er c. 83,5 % for t oppslutningen blir mellom 4,5 % og 6,5 %. Med hlvkorreksjon: Vi finner P(44,5 X 65,5). Snnsynligheten er c. 85,5 % for t oppslutningen blir mellom 4,5 % og 6,5 %. b Vi velger binomisk fordeling i GeoGebr, og finner PX ( 45). Snnsynligheten er 9, % for t oppslutningen om Venstre blir høyst 4,5 %. Vi finner PX ( 70). Snnsynligheten er,5 % for t oppslutningen om Venstre blir minst 7,0 %. 3 Vi finner P(45 X 65). Snnsynligheten er 85,5 % for t oppslutningen om Venstre blir mellom 4,5 % og 6,5 %. Vi ser t normltilnærmingen blir bedre når vi gjør en hlvkorreksjon. Aschehoug Side 39 v 50

40 Oppgve 6.88 Vi lr S være summen v ntll øyne på de to terningene. F.eks. er snnsynligheten for t S. Nettogevinsten er d ( 3 0) kr 3 kr 36. Snnsynligheten er for t 8 36 S. Nettogevinsten er d 0 kr. Snnsynlighetsfordelingen for nettogevinsten X er gitt ved denne tbellen: k P( X k) Forventningsverdien blir EX ( ) , Forventet nettogevinst i én spilleomgng er,67 kr. Vrinsen blir Vr( X ) Stndrdvviket er dermed 7070 SD( X) Vr( X) 4,0 36 Stndrdvviket til nettogevinsten i én spilleomgng er 4,0 kr. b Vi lr S være smlet nettogevinst etter 00 omgnger, S X X X00. Fr sentrlgrensesetningen er S tilnærmet normlfordelt med forventningsverdi 60 E( S) n 00 66,67 36 og stndrdvvik SD( S) n ,4 Vi skl finne PS ( 00). Snnsynligheten er c. 3 % for t du tper minst 00 kr. Vi skl finne PS ( 00). Snnsynligheten er c. 68 % for t du vinner minst 00 kr. Aschehoug Side 40 v 50

41 Oppgve 6.89 Løsninger til oppgvene i bok Vi lr X være ntll personer som svrer t de ville h stemt på Arbeiderprtiet. Vi kn nt t X er binomisk fordelt, med n 000 og p 0,330. En oppslutning på 3,0 % svrer til X 000 0, Vi bruker GeoGebr og finner t PX ( 30) 0,759. Snnsynligheten er 75,9 % for t Arbeiderprtiets oppslutning blir minst 3,0 %. Vi bruker GeoGebr og finner t P(30 X 350) 0,83. Snnsynligheten er 83, % for t Arbeiderprtiets oppslutning blir mellom 3,0 % og 35,0 %. b Tenk deg t det er n personer som blir spurt og t X v dem ville h stemt på Arbeiderprtiet. X Vi ønsker å bestemme n slik t P0,30 0,350 0,95. n Vi kn nt t X er binomisk fordelt med forventningsverdi np 0,330 n og stndrdvvik np( p) n 0,33 0,67 0, n. X np X 0, 330n D er tilnærmet stndrdnormlfordelt. np( p) 0. n Vi finner dermed t X P0,30 0,350 P0,30 n X 0,350 n n der Z er stndrdnormlfordelt. 0,30 n 0,330 n X 0,330 n 0,350 n 0,330 n P 0, n 0, n 0, n 0, 00 n X 0,330 n 0, 00 n P 0, n 0, n 0, n P0, X 0,330 n n 0, , n P 0, n Z 0, n Vi vil ltså bestemme n slik t P n Z n n 0, , ,95 Av tbellen på sidene hr vi t P(,96 Z,96) P( Z,96) P( Z,96) 0,975 0,05 0,950 Ved å smmenhold de to snnsynlighetene, finner vi t n er løsningen v likningen 0, n,96, 96 n 0, n 3 Meningsmålingsinstituttet må spørre 3 personer for t det skl være c. 95 % snnsynlig t Arbeiderprtiets oppslutning på meningsmålingen blir mellom 3,0 % og 35,0 %. Aschehoug Side 4 v 50

42 Oppgve 6.90 V V V V V V V S ln ln ln ln ln X X X n n n n V0 V0 V Vn V0 V Vn b Vi ntr t de ukentlige logritmevkstningene X i er uvhengige, og t de hr smme forventningsverdi 0 og stndrdvvik. Sentrlgrensesetningen sier d t summen S X X X er tilnærmet normlfordelt når n er stor, med forventningsverdi n n n0 0 og stndrdvvik n. n c S 5 er tilnærmet normlfordelt med forventning 0 og stndrdvvik 0,05 5 0,36. Siden logritmefunksjonen vokser for lle x, får vi V 5 V 5 S5 ln ln 0,693 V0 V0 Vi skl ltså finne P( S5 0,693) P( S5 0,693). Vi bruker GeoGebr og finner t snnsynligheten er c. 3 % for t ksjekursen blir mer enn doblet i løpet v ett år. V5 V 5 S5 ln ln ln 0,693 V0 V0 Vi finner PS ( 5 0,693) ved å bruke GeoGebr. Snnsynligheten er c. 3 % for t ksjekursen reduseres til mindre enn det hlve i løpet v ett år. d S 5 hr nå stndrdvvik 0,0 5 0,7. Vi finner PS ( 5 0,693) ved å bruke GeoGebr. Snnsynligheten er c. 7 % for t ksjekursen blir mer enn doblet i løpet v ett år. Vi finner PS ( 5 0,693) ved å bruke GeoGebr. Snnsynligheten er c. 7 % for t ksjekursen reduseres til mindre enn det hlve i løpet v ett år. Med større stndrdvvik ser vi t snnsynligheten både for dobling og for hlvering v ksjekursen øker betydelig. Større vrisjon i ksjekursen gir ltså større sjnse både for stor gevinst og for stort tp. Oppgve 6.9 Vi lr p være snnsynligheten for t den nye medisinen fungerer best for en tilfeldig vlgt psient. Nullhypotesen sier t de to medisinene er like gode, ltså t p 0,50. L X være ntll psienter som får best resultt med den nye medisinen. P-verdien er snnsynligheten for t medisinen fungerer best for minst 60 v psientene, PX ( 60), under forutsetning v t nullhypotesen er snn. X er binomisk fordelt med n 00 og p 0,50. Ved hjelp v GeoGebr finner vi t PX ( 60) 0,08. P-verdien er ltså,8 %. Vi forkster derfor nullhypotesen. Firmet kn være rimelig sikker på t den nye medisinen er best. n Aschehoug Side 4 v 50

43 Oppgve 6.9 Nullhypotesen er t spireevnen til frøene er p 90 %. Vi lr X være ntll frø som spirer. D er X binomisk fordelt med n 300. P-verdien er snnsynligheten for t høyst 63 frø vil spire, under forutsetning v t nullhypotesen er snn. Vi bruker GeoGebr, og finner t PX ( 63) 0,08. P-verdien er 0,8 %. Vi forkster derfor ikke nullhypotesen. Ane hr ikke godt grunnlg for å påstå t spireevnen til frøene er mindre enn 90 %. Oppgve 6.93 Vi lr X være ntll tvillingfødsler, og p snnsynligheten for tvillingfødsel. Nullhypotesen er t p 0,0. P-verdien er PX ( 99), gitt t nullhypotesen er snn. Hvis nullhypotesen gjelder, er X tilnærmet normlfordelt med forventningsverdi E( X ) np ,0 64,78 og stndrdvvik SD( X ) np( p) ,0 0,989 5,9 Vi bruker GeoGebr, og finner t PX ( 99) 0. P-verdien er tilnærmet lik null. Vi forkster derfor nullhypotesen. Vi hr godt grunnlg for å si t snnsynligheten for tvillingfødsel er større nå enn tidligere. Oppgve 6.94 Nullhypotesen er t gullinnholdet i smykkene er 585 promille, dvs. H 0 : 585. Den lterntive hypotesen er t gullinnholdet er lvere, dvs. H A : 585. Gjennomsnittet X v målingene er normlfordelt med EX ( ) og Hvis H 0 er snn, er EX ( ) 585. Hvis H A er snn, er EX ( ) 585. Små verdier v X er ltså til støtte for den lterntive hypotesen. Gullinnholdet ble i gjennomsnitt målt til å være X 580 promille. P-verdien er snnsynligheten for t X blir høyst lik 580, PX ( 580), under forutsetning v t nullhypotesen er snn. Vi bruker GeoGebr, og finner t P-verdien er 4,6 %. Vi forkster derfor ikke nullhypotesen. Gullsmeden hr ikke godt grunnlg for å påstå t gullinnholdet i smykkene er mindre enn 585 promille. 5 SD( X ) 4,74. 0 Aschehoug Side 43 v 50

44 Oppgve 6.95 P-verdien 8, % er større enn signifiknsnivået på 5 %. Vi forkster derfor ikke nullhypotesen. Utsgnet er glt. b P-verdien,3 % er mindre enn signifiknsnivået på 5 %. Vi forkster derfor nullhypotesen. Utsgnet er riktig. c P-verdien 3, % er større enn signifiknsnivået på %. Vi forkster derfor ikke nullhypotesen. Utsgnet er glt. d P-verdien 0, % er mindre enn signifiknsnivået på %. Vi forkster derfor nullhypotesen. Utsgnet er riktig. e P-verdien 7,5 % er større enn signifiknsnivået på 5 %. Vi forkster derfor ikke nullhypotesen. Utsgnet er riktig. Oppgve 6.96 Siden den lterntive hypotesen er H A : p p0, X x er P-verdien snnsynligheten for t under forutsetning v t p p0. Vi finner derfor PX ( 3), og bruker binomisk fordeling i GeoGebr med n 0 og p p0 0,50. P-verdien er 7, %. Vi velger binomisk fordeling med n 5 og p 0,75. P-verdien er PX ( 6) 4,9 %. obs 3 Binomisk fordeling med n 000 og p 0,0. P-verdien er PX ( 90) 5,8 %. b Når den lterntive hypotesen er H A : p p0, er P-verdien snnsynligheten for t X xobs. Vi finner derfor PX ( 9) for en binomisk fordeling med n 0 og p p0 0,50. P-verdien er, %. Binomisk fordeling med n 5 og p 0,75. P-verdien er PX ( 0) 37,8 %. 3 Binomisk fordeling med n 000 og p 0,0. P-verdien er PX ( 0), %. Aschehoug Side 44 v 50