S1 kapittel 4 Logaritmer Løsninger til oppgavene i boka

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "S1 kapittel 4 Logaritmer Løsninger til oppgavene i boka"

Transkript

1 Løsninger til oppgvene i ok S kpittel 4 Logritmer Løsninger til oppgvene i ok 4. Vi leser v fr tllet 4 på y-ksen og ser t vi får den tilhørende verdien,6 på -ksen. lg 4,6 Vi leser v fr tllet,5 på y-ksen og ser t vi får den tilhørende verdien, på -ksen. lg, 5, Vi leser v fr tllet,5 på y-ksen og ser t vi får den tilhørende verdien, 5 på -ksen. lg,5, 5 d Vi kn ikke estemme logritmen til et negtivt tll, for unsett hv vi opphøyer tllet i, så vil svret li positivt. f( ) hr re positive funksjonsverdier d lg lg 4 lg, lg lg, lg lg lg,5,5 lg 4, 75 4 lg(5 5) lg,8 lg 4,5 Ashehoug Side v 4

2 Løsninger til oppgvene i ok lg 95 d lg 75 e lg 4.5 lg 4 lg54 lg d lg + lg,5 Ashehoug Side v 4

3 Løsninger til oppgvene i ok 4.6 d 4.7 d 4.8 d lg 7 lg lg 6 4 lg + lg lg lg lg lg lg lg lg, lg lg + lg lg + lg lg5 lg 5 5 lg + lg lg + lg + + lg lg, lg lg ( ) 4 5 lg lg 5 J,5 lg,5 G lg lg E lg lg H lg, lg 4. B 6 lg lg lg 6 lg lg lg 5lg, 5lg 5() 5 Vi får dermed denne stigende rekkefølgen: lg 5 lg, lg lg lg 4. + lg lg lg lg 4 lg(lg) lg() 5 d 5 lg lg + lg lg lg 6 Ashehoug Side v 4

4 Løsninger til oppgvene i ok 4. Vi regner først ut lg, 5 ved hjelp v CAS. Vi skriver,5 med som grunntll: lg,5,,5 4. lg lg > lg > lg 4.4 lg lg lg lg < lg < 4.5 < < lg, < <, Vi ruker regelen lg. Dermed hr vi t Vi ruker regelen lg lg, kominert med regelen vi rukte i oppgve. Dermed hr vi t 4.6 lg lg lg lg lg lg lg lg lg lg 5 lg + lg 5lg + lg 7 lg lg 8 lg 7 ( 8lg ) ( 7 lg ) 4lg 4lg lg lg. Ashehoug Side 4 v 4

5 Løsninger til oppgvene i ok lg + 8lg lg lg + 8 ( lg ) ( lg ) 4.7 lg lg lg lg + lg 4 7 lg + 6lg + 6lg lg 5lg y lg y 5 4lg y 7 lg y lg y 7 lg y lg y 6lg z lg z lg z 6 lg z lg z lg z ( ) 4.8 ( lg ) ( lg ) ( lg ) 4.9 lg lg ( ) lg lg lg lg lg lg lg lg lg lg lg 8lg z+ 4lg z lg z lg z lg5 lg 5 lg 5,7, 4. lg + lg lg + lg + lg lg + lg lg + 4 lg 5lg lg + lg + 4 lg + lg 5lg lg + lg + 4lg + 4lg 5lg lg + 4lg lg lg lg + lg lg lg + lg lg lg Ashehoug Side 5 v 4

6 4. lg + lg 4 ( lg + lg ) + ( lg 4 + lg ) lg lg lg lg lg + lg + lg + lg 4lg + 5lg lg + lg lg + lg + lg lg lg lg+ lg ( lg + lg ) + ( lg + lg ) 4. + lg + + lg + lg + + 6lg 7 lg ( + ) + ( + ) + ( ) lg lg lg lg lg lg lg lg lg + lg + lg + lg lg lg lg Løsninger til oppgvene i ok 4 4 5lg ( ) + lg ( ) lg ( ) 5( lg + lg ) + ( lg + lg ) ( lg + lg ) 4. lg + lg lg + lg lg 4.4 Venstre side: lg 9 lg 9 ( ) + (( ) ) lg ( 4 6) lg 4 lg 4 lg 4 4 Høyre side: lg Svret lir ( ) lg 4 + lg 4 lg ( ) ( ) ( ) 5 lg + lg + lg + lg lg + 4lg 5lg + lg + 6lg + 4lg lg lg 8lg + lg Ashehoug Side 6 v 4

7 Løsninger til oppgvene i ok d Venstre side: lg 6 + lg lg 6 + lg + lg Høyre side: lg lg + lg lg + lg + lg lg + lg + lg + lg lg + lg + lg lg ( 4) lg + lg + lg 4 + lg + + lg lg lg lg + lg + lg Svret lir lg 6 + lg lg Venstre side: lg + + lg 9 lg + 9 ( ) lg ( 9 + 9) Høyre side: lg + Svret lir lg + + lg 9 lg + Venstre side: lg lg Høyre side: lg + Svret lir lg lg lg lg + lg lg lg + lg ( lg lg ) + ( lg lg) lg + lg lg lg + lg lg lg ( lg lg) ( lg lg ) lg Ashehoug Side 7 v 4

8 4.6 lg + lg + lg + lg ( lg lg ) + ( lg lg) lg + lg lg lg lg ( lg lg ) ( lg lg 4) lg lg lg + lg lg 4 lg + lg + lg ( lg lg ) + ( lg lg ) + ( lg lg ) lg lg + lg lg + lg lg 5lg lg lg ( lg lg ) ( lg lg ) 4.8 lg lg + lg Gitt t >, hr vi lg ( lg lg ) lg lg 4.9 lg + lg lg + lg ( lg lg ) lg ( lg ) + + lg lg lg 6lg 5lg 9lg 4lg lg + lg lg lg + lg lg lg + lg ( lg + lg ) + ( lg + lg ) lg + lg + lg + lg lg + lg Løsninger til oppgvene i ok Ashehoug Side 8 v 4

9 Løsninger til oppgvene i ok d lg + lg ( lg + lg ) + ( lg lg ) 4. lg + lg + lg lg ( lg ) + lg ( lg + lg ) + ( lg lg ) lg + lg + lg lg lg lg ( ) ( lg + lg ) lg + ( lg ) ( lg + lg ) lg + d lg ( ) lg ( lg + lg ) ( lg lg ) 4. lg + lg + lg y + lg lg lg + lg y + lg lg y lg y lg + lg 5 ( lg 5 lg ) + ( lg 5 + lg ) + + lg 5 lg lg 5 4lg lg 5 lg + lg 5 + 4lg lg + lg 5 lg lg lg + 5lg lg + 5( lg lg ) lg + 5 lg 5 8lg d lg lg lg lg, 5 Ashehoug Side 9 v 4

10 Løsninger til oppgvene i ok 4. lg lg ( ) lg 9 lg lg ( ) lg ( ) d 4. lg lg lg8 lg 7, 5 lg,,9 lg lg lg 6 lg ( ) lg + lg lg, +, 48,78 lg 45 lg 5 9 lg 5 + lg 9 lg 5 + lg lg 5 + lg,7 +, 48, 7 +,96, 66 lg 6,5 lg lg lg d,,,8 Ashehoug Side v 4

11 lg + lg lg ( ) ( lg + lg ) + ( lg lg ) ( lg + lg ) lg 5lg + lg lg 4 lg lg lg 5lg + lg lg 8lg lg lg 6lg 4 4 lg + lg ( ) lg + ( lg + lg ) 4.5 ( lg lg ) ( 4lg ) + + lg lg lg + 4 lg ( ) lg + lg ( ) lg ( ) ( lg + lg ) + lg ( ) ( lg + lg ) lg lg + lg ( ) 4.6 ( 5lg ) 5 lg lg lg lg lg lg lg + 5lg lg lg + lg 4 ( lg ) ( ) 8lg lg 4 4lg + ( lg ) ( lg ) 4lg + 6lg ( lg ) lg ( lg ) lg Vi ruker regelen Vi får lg lg. Løsninger til oppgvene i ok lg + lg lg lg + lg lg + lg + lg Ashehoug Side v 4

12 d Vi ruker regelen fr oppgve på egge fktorene i produktet. lg lg Vi ruker den generelle logritmeregelen Vi får + lg lg lg lg Av svrene i oppgvene og kn vi slutte t lg lg ( lg + lg) lg 4 lg 4 lg, lg n lg lg n lg 4 n 4 5 lg, lg ( ) lg + y+ z y z. Løsninger til oppgvene i ok Ashehoug Side v 4

13 4.9 lg lg + lg lg lg lg ( ) ( ) lg lg lg ( ) ( ) lg lg lg 4.4 Vi løser likningen med produktsetningen og setter hver fktor lik. lg lg lg lg lg + 4lg + ( ) lg Vi kontrollerer med CAS: 4± 4 4 lg 4± lg 4+ 4 lg lg lg lg lg,, Løsninger til oppgvene i ok Ashehoug Side v 4

14 Løsninger til oppgvene i ok lg lg 8 4( 8) ± lg ± 6 lg lg lg lg 4 lg lg 4, Vi kontrollerer med CAS: 4.4 lg lg lg lg lg 4lg 4 lg lg 4 lg lg 4 6 Ashehoug Side 4 v 4

15 lg lg lg lg lg lg lg ( 6 ) lg ( ) lg 6 lg 6 6 ( 6 ) lg 6 lg lg 6 lg ,5 lg 5 lg ( ) ( ) lg 5 lg Løsninger til oppgvene i ok Vi ser her t ikke kn være 4, fordi d lir uttrykket lg ( 5 ) til lg ( 5 4) lg ( 5 ) lg ( 7). Vi kn ikke t logritmen til negtive tll, og vi hr fått en flsk løsning. Likningen hr ingen løsning. Ashehoug Side 5 v 4

16 lg lg ± lg 6 lg 6 5 lg + lg 6 5 lg 6 4 lg 6 4 lg( ) ± Vi ser her t >, så dermed er en flsk løsning. Svret lir. lg lg Løsninger til oppgvene i ok d lg lg lg lg lg lg, Ashehoug Side 6 v 4

17 Løsninger til oppgvene i ok 4.45 lg lg lg lg + 5 lg 4 lg 4,5 lg,5 4 lg lg 4 d ( ) lg + 5 ( + ) lg lg lg ( ) lg lg lg lg 5 lg + lg 4 lg 4 lg Ashehoug Side 7 v 4

18 Løsninger til oppgvene i ok lg d ( ) 4.47 ( ) lg lg 4 lg 4 lg ± lg lg lg 4 lg lg lg 4, ± + lg lg ( ) lg lg lg d ( ) lg + lg lg lg + lg lg + lg lg lg lg, Ashehoug Side 8 v 4

19 Løsninger til oppgvene i ok 4.48 lg lg 4.49 lg lg lg lg lg lg lg + lg lg 8 lg lg ( ) lg8 lg lg8 lg ( ) ( ) 4 ± lg ± lg + lg lg lg lg 8,5 lg +,5 lg lg lg, 8 lg8 Ashehoug Side 9 v 4

20 4.5 lg 6 lg lg ± 4 lg 5lg lg lg 4 lg lg 4 lg 4 ( ) ( ) lg 4 lg 4 ± lg + lg lg + lg ( + ) lg lg ± 4 Løsninger til oppgvene i ok ± Men vi hr t >, og dermed er en flsk løsning. Svret lir. Ashehoug Side v 4

21 Løsninger til oppgvene i ok 4.5 lg lg 4( ) ± lg ± 4 lg lg lg 6 6 lg lg lg lg( 5) lg 4 + lg ( ) lg( 5) lg 4 ( 5) , 5 4 I den opprinnelige likningen ser vi t 5 må være større enn null. Det gir t må være større enn,5. Likningen hr derfor ingen løsning. ( ) ( ) (( ) ( )) lg + + lg lg lg + lg ( ) lg 4 lg ( ) lg 4 lg ± 5 Men vi hr t >, og dermed er 5 en flsk løsning. Svret lir 5. Ashehoug Side v 4

22 4.5 ( ) lg lg lg ( ) ( ) lg lg lg lg lg lg lg 5 lg lg 5 ( ) ( ) ( ) lg lg lg lg 5 lg lg 5 lg 5 lg lg 5 lg 5 lg lg5 ( ) 5 lg lg lg lg lg lg Løsninger til oppgvene i ok 4 Men vi hr t >, og dermed er løsningen flsk. Likningen hr løsningen ( n) lg lg lg ( n) ( n) lg lg lg n lg lg lg n n lg lg lg lg n lg lg n lg n lg lg n lg n lg lg n n n lg n lg lg n lg ( n) lg lg n n n n+ n ( n ) n lg lg lg Ashehoug Side v 4

23 Løsninger til oppgvene i ok 4.54 L k lg r 5 k lg5 k 5+ lg5 Konstnten k 64,98. L k lg r 55 64,98 lg r Vi løser denne likningen i CAS og ruker kommndoen Løsninger[ <Likning>, <Vriel>. Avstnden r fr høyttleren er ltså,6 meter. Vi strter med Aslk. Vi ntr hn står m meter unn høyttleren. Hn opplever d en lydstyrke som tilsvrer L k lg r L 64,98 lg m Berit står doelt så lngt unn. Hun står dermed m i vstnd fr høyttleren, og opplever en lydstyrke som tilsvrer L k lg r L 64,98 lg ( m) ( m) L 64,98 lg + lg L 64,98 lg lg m Smmenlikner vi de to lydstyrkene, ser vi t Berit opplever en lydstyrke som er ekskt lg mindre enn Aslk, siden leddet lg er det eneste som skiller de to uttrykkene for lydstyrken. Dette tilsvrer en tilnærmet verdi på 6, desiel lvere lydstyrke for Berit. Ashehoug Side v 4

24 Løsninger til oppgvene i ok 4.55 t 45lg (, T, 4) t 45lg (, 5,4) Det vil ltså t. minutter før temperturen i sft hr flt til 5 C. Tiden t idet Crmine fylte flsk. Vi får følgende likning: 45lg, T, 4 Vi løser denne likningen i CAS og ruker kommndoen Løsninger[ <Likning>, <Vriel>. Temperturen vr 7 C d hun fylte flsk. Tre kvrter tilsvrer t 45, siden tiden måles i minutter. Vi får likningen 45 45lg, T, 4 Vi løser denne likningen i CAS og ruker kommndoen Løsninger[ <Likning>, <Vriel> Temperturen i sft vr 5 C etter tre kvrter Ashehoug Side 4 v 4

25 Løsninger til oppgvene i ok d 4.57 d ( + ) + ± Ashehoug Side 5 v 4

26 Løsninger til oppgvene i ok d 4.59 lg lg lg gir ingen løsninger siden > for lle. gir ingen løsninger siden > for lle. lg lg lg Ashehoug Side 6 v 4

27 Løsninger til oppgvene i ok gir ingen løsninger siden 5 > 5 5 lg 5 lg lg lg lg 5 lg lg 5 lg ± 4 6 ± 5 5 ± gir ingen løsning. lg lg 5 for lle. Ashehoug Side 7 v 4

28 Løsninger til oppgvene i ok 4.6 d 4 ± ± 6 ± hr ingen løsning hr ingen løsning. Ashehoug Side 8 v 4

29 Løsninger til oppgvene i ok 4.6 d 4 lg lg 4 lg lg lg lg lg ± 4 4 4± ( 7) ( 7) 4 ( 8) ± 7 ± 7 ± hr ingen løsning. 9 Ashehoug Side 9 v 4

30 Løsninger til oppgvene i ok lg lg 8 lg lg 8 lg8 lg 8, lg lg7 lg lg7 lg7 lg,,, 4, lg7 lg L 9,9 55 9,9 45 9,9 9, ,9 9,9,5,9,5 lg,9 lg,5 lg,9 lg,5 lg,5 lg,9 Fisken er ltså. 6,5 år gmmel. Ashehoug Side v 4

31 4.66 Løsninger til oppgvene i ok,t Vi får likningen, 5. Vi løser likningen med CAS og ruker kommndoen Løsninger[ <Likning>, <Vriel>. Det tr ltså litt over 4,5 måneder før det er,5 mg igjen i kroppen lg lg 5 ± lg lg 5 lg 5 lg lg lg Ingen løsning lg 5 lg lg lg Ashehoug Side v 4

32 Løsninger til oppgvene i ok d lg lg 7 lg 5 lg lg 7 lg lg 5 lg hr ingen løsning. lg lg lg lg 64 ( ) 8 8 lg lg 8 lg lg8 lg8 lg8,9,,6 Ashehoug Side v 4

33 ( ) lg lg lg lg7 lg lg7 lg lg lg7 lg + lg lg7 lg lg + lg lg lg7 lg + lg lg lg7 lg + lg lg,, 48 +,,, 5,,5,5 I I,85 gir oss følgende likning for hlvering v intensiteten:,5,85 Vi løser likningen med CAS og ruker kommndoen Løs[ <Likning med > ]. Løsninger til oppgvene i ok Det vil si t strålingen må gå 4,7 m inn i etongen. Ashehoug Side v 4

34 4.7 Tt 7, 4,978 t + Vi finner T (), temperturen idet termosen fylles. T () 7, 4, ,4 + 9, 4 Når denne temperturen er hlvert, holder sft 9, 4 C 46,7 C. Vi får dermed denne likningen: 46,7 7,4,978 t + Løsninger til oppgvene i ok Vi løser likningen med CAS og ruker kommndoen Løsninger[ <Likning>, <Vriel>. Det vil ltså t. 45,5 timer før temperturen er hlvert ± ± lg 5 lg lg 5 lg lg lg lg 5 lg 5 Ashehoug Side 4 v 4

35 Løsninger til oppgvene i ok ± 4 ± + hr ingen løsning. lg lg lg hr ingen løsning. lg lg lg lg ± 4± Nt 4 5,5 t t [, 5] Ashehoug Side 5 v 4

36 Løsninger til oppgvene i ok Vi får likningen 4 5, 5 t 7. Vi løser likningen med CAS og ruker kommndoen Løsninger[ <Likning>, <Vriel> Det vil ltså t.,5 år. t Pt,95 Vi får likningen,95 t 4. Vi løser likningen med CAS og ruker kommndoen Løsninger[ <Likning>, <Vriel>. Det vil ltså t rett under 7 år, ltså. år Tllet forteller t hun hr 5 kr på konto ved oppstrt. Renten finner vi ved å se på vekstfktor. Renten lir, 75 % per år. Vi får likningen 5, 75. Vi løser likningen med CAS og ruker kommndoen Løs[ <Likning med > ] Det vil t 5 år siden renten legges til ved slutten v året Verdien vtr 5 % i året, noe som tilsvrer en vekstfktor på,85. Vi får uttrykket t Ht 45,85 Verdien vtr % i året, noe som tilsvrer en vekstfktor på,9. Vi får uttrykket Ot 5,9 Vi setter de to uttrykkene lik hverndre. Ht () Ot () 45,85 t t 5,9 Vi løser likningen med CAS. t Det vil ltså t 4,4 år før ilene er like mye verdt, ltså i år 8. Ashehoug Side 6 v 4

37 Løsninger til oppgvene i ok 4.77 Vi løser likningen med CAS. Vi løser likningen med CAS. Vi løser likningen med CAS Det le stt ut 4 dyr. Vi får likningen 4,5 t 8. Vi løser likningen med CAS. Det vil t nesten 5 år før det er 8 dyr på øy Verdien vil minke med % per år, noe som gir en vekstfktor på,8. Nt 5,8 t Vi får likningen 5,8 t 7 5. Løser likningen med CAS. Det vil t litt over år før verdien er hlvert til 7 5 kr, ltså i år 7. Ashehoug Side 7 v 4

38 4.8 Vi finner først 6 % v kjøpesummen på 5 kr: kr Verdien vil minke med % per år, noe som gir en vekstfktor på,88. Vi får likningen 5,88 t 5. Vi løser likningen med CAS. Løsninger til oppgvene i ok Det vil t 4 år. 4.8 Vi får likningen 5, 95 t. Vi løser likngen med CAS. Det vil si t det er trygt å øke dosen i 9 dger. 4.8 t Rndis ksjefond vil h utviklingen Rt 5,4. t Jors il vil h utviklingen Jt 45,8. Vi setter uttrykkene lik hverndre og løser likningen i CAS. Det vil t litt over 4 år før verdiene er like. Ashehoug Side 8 v 4

39 Løsninger til oppgvene i ok Kpitteltest Del Uten hjelpemidler Oppgve 5 lg 5 lg lg ( ) 8 lg lg lg 6 Oppgve 5 lg 5lg 6 5,, 5 5 lg lg 5 lg, 7,, 4 lg 5 lg ( 5 7) lg 5 + lg 7, 7 +,85, 55 Oppgve lg + lg lg + lg lg + 6lg 9lg lg lg lg ( lg lg ) lg + lg lg + lg lg + lg lg + lg lg + 5lg 4 4 lg + lg lg + lg + lg lg lg Ashehoug Side 9 v 4

40 Løsninger til oppgvene i ok Oppgve 4 4, 5 4 lg lg lg lg lg,5 lg Vi får dermed denne stigende rekkefølgen: lg lg 4 lg Oppgve 5 lg + lg 9 lg lg lg + lg ( ) lg lg lg lg + lg 4 ± lg ± 4 lg lg lg lg lg lg lg, Ashehoug Side 4 v 4

41 Løsninger til oppgvene i ok Oppgve Del Med hjelpemidler Oppgve 7 Et verditp på 7,5 % i året tilsvrer en vekstfktor på,95. Vi får følgende likning: 5,95 t 5 Vi løser likningen med CAS. Det vil t 5, år. Oppgve 8 5 v 8,95 5 v 8,95 : 5 v v 8,95 5, 6, 95 v, 6, 95 Vi setter inn 4 som skl være en løsning, inn i likningen: 4 4 v, 6, 95 Vi løser likningen i CAS med kommndoen Løsninger[ <Likning>, <Vriel> ]. v kn ltså være, 7 eller,7. Ashehoug Side 4 v 4

42 Oppgve 9 Mt M kt Vi setter inn hlveringstiden og hlvering i uttrykket og får denne likningen:,5 k 5568 Vi løser likningen i CAS med kommndoen Løsninger[ <Likning>, <Vriel> ]. Løsninger til oppgvene i ok k,5464 5,4 5 Vi får følgende likning når vi setter inn hvor mye som er igjen v stoffet og konstnten k: 5 ( 5,4 ) t, 76 Vi løser likningen i CAS. Det vil si t åten vr. 7 år gmmel. Ashehoug Side 4 v 4

R1 kapittel 1 Algebra

R1 kapittel 1 Algebra Løsninger til oppgvene i ok R1 kpittel 1 Alger Løsninger til oppgvene i ok Oppgve 1.1 1 8 4 ( ) 15 5 (4 ) 7 1 7 ( ) d ( )( ) ( 4)( ) ( ) ( 4) ( )( 1) Oppgve 1. 49 7 ( 7)( 7) 5 5 5 5 1y 75 (4y 5) ( y) 5

Detaljer

1T kapittel 3 Funksjoner Løsninger til oppgavene i læreboka

1T kapittel 3 Funksjoner Løsninger til oppgavene i læreboka 1T kpittel 3 Funksjoner Løsninger til oppgvene i læreok Oppgve 3.1 Origo er skjæringspunktet mellom førsteksen og ndreksen. Koordintene til origo er ltså (0, 0). Førstekoordinten til punktet A er 15, og

Detaljer

S1 kapittel 6 Derivasjon Løsninger til oppgavene i boka

S1 kapittel 6 Derivasjon Løsninger til oppgavene i boka S kpittel 6 Derivsjon Løsninger til oppgvene i ok 6. c y x y x = = = = y x 4 5 9 4 y 5 6 x 4 = = = = y x y x = = = = 7 ( 5) 6 ( ) 8 6. f( x ) f( x ) 5 7 x x ( ) 4 = = = = 6. T( x) = 0,x +,0 T T = + = (0)

Detaljer

Oppgave 2 Betydningen til hvert enkelt siffer er bestemt av sifferets plassering eller posisjon. Tallet 4321 betyr

Oppgave 2 Betydningen til hvert enkelt siffer er bestemt av sifferets plassering eller posisjon. Tallet 4321 betyr KAPITTEL 1 TALL OG TALLREGNING FLERE UTFORDRINGER Oppgve 1 Du hr sifrene A 1 3 5 7 9 og B 2 4 6 8 Ve å ruke tre v sifrene i enten A eller B skl u lge ett tll så nærme 500 som mulig. Du kn re ruke ett siffer

Detaljer

Basisoppgaver til 2P kap. 1 Tall og algebra

Basisoppgaver til 2P kap. 1 Tall og algebra Bsisoppgver til P kp. Tll og lger. Potenser. Nye potenser. Store og små tll. Stnrform. Tllsystemer. Femtllsystemet. Totllsystemet.7 Prosentregning me vekstfktor.8 Renteregning Ashehoug www.lokus.no Ashehoug

Detaljer

Mer øving til kapittel 3

Mer øving til kapittel 3 Mer øving til kpittel 3 KAPITTEL 3 FUNKSJONER Oppgve 1 Tegn et koordintsystem og merk v punktene (1, 5) d (3, 2) ( 2, 3) e ( 3, 5) (4, 0) f (0, 4) Oppgve 2 Hvilke koordintpr hr de ulike punktene i koordintsystemet?

Detaljer

Terminprøve Matematikk Påbygging høsten 2014

Terminprøve Matematikk Påbygging høsten 2014 Terminprøve høsten 2014 Terminprøve Mtemtikk Påygging høsten 2014 DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med entimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 Regn ut 3 3 3 4 1 3 3 2

Detaljer

Kapittel 4 Tall og algebra Mer øving

Kapittel 4 Tall og algebra Mer øving Kpittel 4 Tll og lger Mer øving Oppgve 1 d Oppgve 2 Se på uttrykket A = g h. Hv forteller de ulike okstvene? Se på uttrykket A = 2π. Hv står de ulike symolene for? Forklr hv vi mener med en vriel og en

Detaljer

S1 kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka

S1 kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka S1 kpittel 8 Eksmenstrening Løsninger til oppgvene i læreok E1 995 995 5 + 5 (995 5) (995 + 5) + 5 990 1000 + 5 990 000 + 5 990 05 E E (61+ 9) 51 49) (51+ 49) 61 9 (61 9) 51 49 ( 100 100 11 1997 00 199

Detaljer

a 5 (2 + 8) d 5 (2 + 8) 4 g b 3 5 (2 + 8) e h 3 ( ) j Begrunn hvorfor du ikke får samme svar på oppgave b og g.

a 5 (2 + 8) d 5 (2 + 8) 4 g b 3 5 (2 + 8) e h 3 ( ) j Begrunn hvorfor du ikke får samme svar på oppgave b og g. Mtemtikk for ungomstrinnet KAPITTEL 4 TALL OG ALGEBRA MER ØVING Oppgve 1 Oppgve 2 Se på uttrykket A = g h. Hv forteller e ulike okstvene? Se på uttrykket O = 2π. Hv står e ulike symolene for? Forklr hv

Detaljer

S1 kapittel 1 Algebra Løsninger til oppgavene i læreboka

S1 kapittel 1 Algebra Løsninger til oppgavene i læreboka Løsninger til oppgvene i ok S kpittel Alger Løsninger til oppgvene i læreok. 8 ( ) 5 9. e = = 9 = = 8 5 = = 0 = 0 0 0 = 000 =. e Ashehoug www.lokus.no Sie v Løsninger til oppgvene i ok..5..7 = = + 5 =

Detaljer

Tall i arbeid Påbygging terminprøve våren 2013

Tall i arbeid Påbygging terminprøve våren 2013 Tll i rei Påygging terminprøve våren 2013 DEL 1 Uten hjelpemiler Hjelpemiler: vnlige skrivesker, psser, linjl me entimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 Skriv tllene på stnrform. 1 0,000 00015 2 19,6 millirer

Detaljer

Eksempeloppgaver 2014 Løsninger

Eksempeloppgaver 2014 Løsninger DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med centimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 19 millirder 9 10 = 19 10 = 1,9 10 0,089 10 = 8,9 10 10 = 8,9 10 Oppgve 6 6 8 Prosentvis

Detaljer

2P kapittel 1 Tall og algebra Løsninger til oppgavene i læreboka

2P kapittel 1 Tall og algebra Løsninger til oppgavene i læreboka P kpittel 1 Tll og lger Løsninger til oppgvene i læreok Oppgve 1.1 ( ) Oppgve 1. 8 = 8 8 = = = 00 ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) = 1 ( ) = =() = 7 Oppgve 1. 81 = 9 9 = 9 81= = 1= = = ( ) ( ) = = Oppgve 1. 8 = 1

Detaljer

1P kapittel 3 Funksjoner

1P kapittel 3 Funksjoner Løsninger til oppgvene i ok 1P kpittel 3 Funksjoner Løsninger til oppgvene i ok 3.1 Origo hr koordintene (0, 0). Vi finner koordintene til punktene ved å lese v punktets verdi på x-ksen og y-ksen. A =

Detaljer

Påbygging kapittel 2 Funksjoner 1 Løsninger til oppgavene i boka

Påbygging kapittel 2 Funksjoner 1 Løsninger til oppgavene i boka Påygging kpittel 2 Funksjoner 1 Løsninger til oppgvene i ok 2.1 Origo hr koordintene (0, 0). Vi finner koordintene til punktene ved å lese v punktets verdi på x-ksen og y-ksen. A = (125,10) B = (0, 12,5)

Detaljer

DELPRØVE 2 (35 poeng)

DELPRØVE 2 (35 poeng) DELPRØVE 2 (35 poeng) På denne delprøven er lle hjelpemidler tilltt. Alle oppgvene i del 2 skl føres på eget rk. Før svrene oversiktlig, slik t det går tydelig frm hvordn du hr løst oppgvene. Bruk penn.

Detaljer

DEL 1 Uten hjelpemidler

DEL 1 Uten hjelpemidler Eksmen høsten 013 Løsninger Eksmen høsten 013 Løsninger DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med centimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 150 sider Vi finner først hvor mnge

Detaljer

YF kapittel 8 Rom Løsninger til oppgavene i læreboka

YF kapittel 8 Rom Løsninger til oppgavene i læreboka YF kpittel 8 Rom Løsninger til oppgvene i læreok Oppgve 809 Vi skl gå ett hkk mot venstre, og deler derfor med 10. 40 dl = (40 :10) L = 4 L Vi skl gå to hkk mot venstre, og deler derfor med 10 10 = 100.

Detaljer

2P kapittel 2 Funksjoner

2P kapittel 2 Funksjoner Løsninger til oppgvene i ok P kpittel Funksjoner Løsninger til oppgvene i ok.1 D f = [ 1, 6,5] V = [ 1,4] f V f. D f Vnnstnden kl. 16 er gitt i punktet A på figuren. Vnnstnden vr c. 190 cm. Aschehoug www.lokus.no

Detaljer

Mer øving til kapittel 1

Mer øving til kapittel 1 Mer øving til kpittel 1 KAPITTEL 1 TALL OG TALLREGNING Oppgve 1 Finn svret ve hoeregning. Velg to v oppgvene og forklr hvilken strtegi u hr rukt. 27 + 38 e 160 70 i 130 4 35 + 75 f 19 5 j 6 7,5 58 + 42

Detaljer

YF kapittel 10 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka

YF kapittel 10 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka YF kpittel 10 Eksmenstrening Løsninger til oppgvene i læreok Uten hjelpemidler Oppgve E1 5 + 5 + 6 11 5 + 4 (5 + ) 5 + 4 7 10 6 + 8 d + ( + 1) 5 + 4 5 + 16 5 + 10 5 4 + 4 4 + 8 1 + + + + + + + + 49 49

Detaljer

Terminprøve Matematikk for 1P 1NA høsten 2014

Terminprøve Matematikk for 1P 1NA høsten 2014 Terminprøve Mtemtikk for 1P 1NA høsten 2014 DEL 1 Vrer 1,5 time Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med entimetermål og vinkelmåler. Forsøk på lle oppgvene selv om du er usikker

Detaljer

S2 kapittel 5 Vekstmodeller. Løsninger til oppgavene i boka Vi løser oppgaven i CAS i GeoGebra.

S2 kapittel 5 Vekstmodeller. Løsninger til oppgavene i boka Vi løser oppgaven i CAS i GeoGebra. Løsninger til oppgvene i ok S kpittel 5 Vekstmodeller Løsninger til oppgvene i ok 5. Vi løser oppgven i CAS i GeoGer. Veksten er lineær på formen y = x +. Vi ser t stigningstllet lir 59, og t konstntleddet

Detaljer

... JULEPRØVE 9. trinn...

... JULEPRØVE 9. trinn... .... JULEPRØVE 9. trinn.... Nvn: Gruppe: DELPRØVE 1 uten hjelpemidler ( 37 poeng) På denne delprøven kn du re ruke skrivesker, psser og linjl. Alle oppgvene i del 1 skl føres rett på rket. I noen oppgver

Detaljer

1 Tallregning og algebra

1 Tallregning og algebra Tllregning og lger ØV MER. REGNEREKKEFØLGE Oppgve.0 6 d) ( : 6) Oppgve. ( ) ( ) ()() ( ) ( ) ( ) () (6 ) () d) ( ) 7() ( ) Oppgve. 6 ( ) d) Oppgve. Med ett ddisjonstegn, ett sutrksjonstegn, ett multipliksjonstegn

Detaljer

Integralregning. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne

Integralregning. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne 8 Integrlregning Mål for opplæringen er t eleven skl kunne gjøre rede for definisjonen v estemt integrl som grense for en sum og uestemt integrl som ntiderivert eregne integrler v de sentrle funksjonene

Detaljer

... JULEPRØVE

... JULEPRØVE Ashehoug JULEPRØVE 2014 9. trinn.... JULEPRØVE 2014.... Nvn: Gruppe: DELPRØVE 1 uten hjelpemidler ( 37 poeng) På denne delprøven kn du re ruke skrivesker, psser og linjl. Alle oppgvene i del 1 skl føres

Detaljer

2P kapittel 5 Eksamenstrening

2P kapittel 5 Eksamenstrening P kpittel 5 Eksmenstrening Løsninger til oppgvene i ok Uten hjelpemidler E1 3 4 0 3+ 4+ 0 7 = = = = 5 5 5 ( ) ( ) c d 7 5 3 3 3 3 6 4 3 6 4 3 3x x = 3 x x = 3 x x = 3 x = 3 x = 7x 1, 10 5,0 10 = 1, 5,0

Detaljer

1 Algebra. 1 Skriv disse uttrykkene så enkelt som mulig: a) 2(a + 3) (3 + 3a) b) 2(1 a) + a(2 + a) c) 1 + 2(1 3a) + 5a d) 4a 3ab 2(a 5b) + 3(ab 2b)

1 Algebra. 1 Skriv disse uttrykkene så enkelt som mulig: a) 2(a + 3) (3 + 3a) b) 2(1 a) + a(2 + a) c) 1 + 2(1 3a) + 5a d) 4a 3ab 2(a 5b) + 3(ab 2b) Alger Skriv disse uttrykkene så enkelt som mulig c 5 d 5 Multipliser ut og gjør svrene så enkle som mulige c c c c d e f g h 5 i Regn ut 5 Regn ut og vis frmgngsmåten 5 c Regn ut og vis frmgngsmåten 5

Detaljer

1T kapittel 1 Algebra Løsninger til oppgavene i læreboka

1T kapittel 1 Algebra Løsninger til oppgavene i læreboka T kpittel Alger Løsninger til oppgvene i læreok Oppgve. 0 8 ( 0) + 0 + ( 0) 0 8 Oppgve. 7 ( ) + + ( ) 7 Oppgve. ( ) + Oppgve. 0 ( ) 0 ( 0) ( ) 0 ( 0) : ( ) 0 : ( ) Oppgve. ( ) ( ) ( ) (,) ( ) (,) 9 Oppgve.

Detaljer

1T kapittel 2 Likninger

1T kapittel 2 Likninger Løsninger til oppgvene i ok T kpittel Likninger Løsninger til oppgvene i ok. 6+ 8 6 8 + 5 5 5 6 VS 6 8 HS 6 ( 6) + 8 6 + 8 8 Sien VS HS når 6, er 6 en løsning på likningen. ( + ) 6 + 6 6 VS HS ( + ) 5

Detaljer

Fag: Matematikk 1T-Y for yrkesfag for elever og privatisterr. Eksamensdato: 16. januar 2012

Fag: Matematikk 1T-Y for yrkesfag for elever og privatisterr. Eksamensdato: 16. januar 2012 Loklt gittt eksmen Eksmen Fg: Mtemtikk 1T-Y for yrkesfg for elever og privtisterr Fgkode: MAT1006 Eksmensdto: 16. jnur 2012 Antll sider i oppgven: 7 inklusiv forside og opplysningsside Del 1: oppgve 1-5

Detaljer

Tall i arbeid Påbygging terminprøve våren 2014

Tall i arbeid Påbygging terminprøve våren 2014 Terminprøve våren 014 Tll i rei Påygging terminprøve våren 014 DEL 1 Uten hjelpemiler Hjelpemiler: vnlige skrivesker, psser, linjl me entimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 1 Skriv tllet Skriv tllet 6 3,15

Detaljer

Årsprøve 2014 10. trinn Del 2

Årsprøve 2014 10. trinn Del 2 2 Årsprøve 2014 10. trinn Del 2 Informsjon for del 2 Prøvetid: Hjelpemidler på del 2: Vedlegg: Andre opplysninger: Fremgngsmåte og forklring: Veiledning om vurderingen: 5 timer totlt Del 2 skl du levere

Detaljer

2 Tallregning og algebra

2 Tallregning og algebra Tllregning og lger KATEGORI. Regnerekkefølge Oppgve.0 Regn uten digitlt hjelpemiddel. + ( + ) ( ) Oppgve. Regn uten digitlt hjelpemiddel. Oppgve. Regn ut med og uten digitlt hjelpemiddel. + (7 + ) ( 9)

Detaljer

R1 kapittel 7 Sannsynlighet. Kapitteltest. Oppgave 1. Oppgave 2. Oppgave 3. Del 1 Uten hjelpemidler. Løsninger til oppgavene i boka

R1 kapittel 7 Sannsynlighet. Kapitteltest. Oppgave 1. Oppgave 2. Oppgave 3. Del 1 Uten hjelpemidler. Løsninger til oppgavene i boka Løsninger til oppgvene i ok R1 kpittel 7 Snnsynlighet Løsninger til oppgvene i ok Kpitteltest Del 1 Uten hjelpemidler Oppgve 1 De fem lppene kn ordnes i rekkefølge på 5! = 15 = forskjellige måter. Vi kn

Detaljer

STATISTIKK, KOMBINATORIKK OG SANNSYNLIGHET

STATISTIKK, KOMBINATORIKK OG SANNSYNLIGHET Mer øving til kpittel 4 STATISTIKK, KOMBINATORIKK OG SANNSYNLIGHET Oppgve 1 Under ser du resulttet v ntll kinoesøk for en klsse de siste to måneder: 1, 3, 5, 4, 2, 7, 1, 1, 4, 5, 3, 3, 4, 0, 1, 3, 6, 5,

Detaljer

Brøkregning og likninger med teskje

Brøkregning og likninger med teskje Brøkregning og likninger med teskje Dette heftet gir en uformell trinn for trinn gjennomgng v grunnleggende regler for brøkregning og likninger. Dette er sto som vi i FYS 000 egentlig forventer t dere

Detaljer

Mer øving til kapittel 2

Mer øving til kapittel 2 Mer øving til kpittel 2 KAPITTEL 2 GEOMETRI OG MÅLING Oppgve 1 Oppgve 2 Oppgve 3 Anne hr vært på ferie til sine esteforeldre fr 28. juni til 9. ugust. Hvor mnge dger hr hun vært på ferie? Fr hun kom hjem

Detaljer

Fasit. Grunnbok. Kapittel 2. Bokmål

Fasit. Grunnbok. Kapittel 2. Bokmål Fsit 9 Grunnbok Kpittel Bokmål Kpittel Lineære funksjoner rette linjer. ƒ(x) = 4x + 5 ƒ() = 3 ƒ(4) = ƒ(6) = 9.6 ƒ(x) = -x b ƒ(x) = x b ƒ(x) = (x + ) 3 ƒ() = ƒ(4) = 8 ƒ(6) = 4 ƒ(x) = x 4 ƒ() = - ƒ(4) =

Detaljer

R2 kapittel 4 Tredimensjonale vektorer

R2 kapittel 4 Tredimensjonale vektorer Løsninger v oppgvene i ok R kpittel 4 Tredimensjonle vektorer Løsninger v oppgvene i ok 4. Vi tegner punket A i xy-plnet. Vi mrkerer plsseringen v A med linjestykker ut fr punktene (4,0,0) på x-ksen og

Detaljer

5: Algebra. Oppgaver Innhold Dato

5: Algebra. Oppgaver Innhold Dato 5: Alger Pln resten v året: - Kpittel 6: Ferur - Kpittel 7: Ferur/mrs - Kpittel 8: Mrs - Repetisjon: April/mi - Eventuell offentlig eksmen: Mi - Økter, prøver, prosjekter: Mi - juni For mnge er egrepet

Detaljer

Flere utfordringer til kapittel 1

Flere utfordringer til kapittel 1 Flere utfordringer til kpittel 1 KAPITTEL 1 TALL OG TALLREGNING Oppgve 1 Forklr forskjellen på rsjonle og irrsjonle tll. Hv kjennetegner dem? Hvordn kn vi se t et tll er rsjonlt eller irrsjonlt? Skriv

Detaljer

1T kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka

1T kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka T kpittel 8 Eksmenstrening Løsninger til oppgvene i lærebok Uten hjelpemidler E b c E b c Vi gnger vnlige tll med vnlige tll og tierpotenser med tierpotenser. Til slutt omformer vi svret så vi får et tll

Detaljer

Oppgave 1 Diagrammet nedenfor viser hvordan karakteren var fordelt på en norskprøve.

Oppgave 1 Diagrammet nedenfor viser hvordan karakteren var fordelt på en norskprøve. Mtemtikk for ungomstrinnet KAPITTEL 5 STATISTIKK OG SANNSYNLIGHET MER ØVING Oppgve 1 Digrmmet neenfor viser hvorn krkteren vr forelt på en norskprøve. 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 Hvor mnge fikk krkteren 4?

Detaljer

9 Potenser. Logaritmer

9 Potenser. Logaritmer 9 Potenser. Logritmer Foret utregingene nedenfor: 5 5 c 6 7 d e 5 f g h i Regn ut og gjør svrene så enkle som mulige: c y y d e f g h i j y y + y + y + + y Prisen på en motorsg vr kr 56 i 99. Vi regner

Detaljer

Løsning til KONTROLLOPPGAVER Sinus S2 1 Rekker Uten hjelpemidler OPPGAVE 1 a) 1) b) 1) c) d)

Løsning til KONTROLLOPPGAVER Sinus S2 1 Rekker Uten hjelpemidler OPPGAVE 1 a) 1) b) 1) c) d) Løsning til KONTROLLOPPGAVER Sinus S Rekker Uten hjelpemidler OPPGAVE ) ) Når følgen er ritmetisk, er 3 d 8 = + d 8 = d 6 d 8 d 8 0 ) Når følgen er geometrisk, er k 3 8 = k k = 8 = 9 k = 3 eller k = 3

Detaljer

R1 kapittel 6 Vektorer. Løsninger til oppgavene i boka Løsninger til oppgavene i boka

R1 kapittel 6 Vektorer. Løsninger til oppgavene i boka Løsninger til oppgavene i boka R1 kpittel 6 Vektorer Løsninger til oppgvene i ok Løsninger til oppgvene i ok 6.1 Tilfellene, e og f er vektorstørrelser fordi de hr retning. Tilfellene, og d er sklrer fordi de ikke hr retning. 6. d e

Detaljer

addisjon av 2 og 3. Vi skriver da i alt: 2+3= og etter at likhetstegnet er skrevet så gir matcad oss svaret.

addisjon av 2 og 3. Vi skriver da i alt: 2+3= og etter at likhetstegnet er skrevet så gir matcad oss svaret. ddisjon v og. Vi skriver d i lt: += og etter t likhetstegnet er skrevet så gir mtcd oss svret. + + + = 5 ddisjon med + først. Skriv inn et +tegn, så og bruk TAB + + + + = 5 minus 5 5 5 = Å bruke gngetegn

Detaljer

... ÅRSPRØVE 2014...

... ÅRSPRØVE 2014... Delprøve 1 Ashehoug ÅRSPRØVE 014 9. trinn.... ÅRSPRØVE 014... Nvn: Gruppe: DELPRØVE 1 uten hjelpemiler (39 poeng) Alle oppgvene i el 1 skl føres rett på rket. I noen oppgver er et en regnerute. Her skl

Detaljer

Temahefte nr. 1. Hvordan du regner med hele tall

Temahefte nr. 1. Hvordan du regner med hele tall 1 ARBEIDSHEFTE I MATEMATIKK SNART MATTE EKSAMEN Hvordn du effektivt kn forberede deg til eksmen Temhefte nr. 1 Hvordn du regner med hele tll Av Mtthis Lorentzen mttegrisenforlg.com Opplysning: De nturlige

Detaljer

YF kapittel 1 Tall Løsninger til oppgavene i læreboka

YF kapittel 1 Tall Løsninger til oppgavene i læreboka YF kpittel 1 Tll Løsninger til oppgvene i læreok Oppgve 10,, 0, 1,, 5,,, 0 Oppgve 10 Tllet 5 står til høyre for tllet på tllinj. Altså er 5>. Tllet 5 står til venstre for tllet 1 på tllinj. Altså er 5

Detaljer

YF kapittel 6 Lengder og vinkler Løsninger til oppgavene i læreboka

YF kapittel 6 Lengder og vinkler Løsninger til oppgavene i læreboka YF kpittel 6 Lengder og vinkler Løsninger til oppgvene i læreok Oppgve 601 Vi skl gå ett hkk mot høyre, og gnger derfor med 10. 14 cm 14 10 mm 140 mm c Vi skl gå to hkk mot høyre, og gnger derfor med 10

Detaljer

Navn: Klasse: Ekstrahefte 2. Brøk

Navn: Klasse: Ekstrahefte 2. Brøk Nvn: Klsse: Ekstrhefte Brøk Brøk Oppg. ) Finn største felles fktor (sff) for teller og nevner ved å fktorisere. Bruk dette til å forkorte røken. 0 6 ) Finn minste felles multiplum (mfm) for nevnerne ved

Detaljer

Faktorisering. 1 Hva er faktorisering? 2 Hvorfor skal vi faktorisere? Per G. Østerlie Senter for IKT i utdanningen 11.

Faktorisering. 1 Hva er faktorisering? 2 Hvorfor skal vi faktorisere? Per G. Østerlie Senter for IKT i utdanningen 11. Fktorisering Per G. Østerlie Senter for IKT i utdnningen per@osterlie.no 11. mi 013 1 Hv er fktorisering? Vi må se på veret å fktorisere. Hv er det vi skl gjøre når vi fktoriserer? Svret er: å lge fktorer.

Detaljer

Eneboerspillet. Håvard Johnsbråten

Eneboerspillet. Håvard Johnsbråten Håvrd Johnsråten Eneoerspillet Når vi tenker på nvendelser i mtemtikken, ser vi gjerne for oss Pytgors læresetning eller ndre formler som vi kn ruke til å eregne lengder, reler, kostnder osv. Men mer strkte

Detaljer

Juleprøve trinn Del 1. Navn: Del 1 Aschehoug JULEPRØVE trinn. Informasjon for del 1

Juleprøve trinn Del 1. Navn: Del 1 Aschehoug JULEPRØVE trinn. Informasjon for del 1 Juleprøve 2015 10. Del 1 Nvn: Informsjon for del 1 Prøvetid Hjelpemidler i del 1 Andre opplysninger Frmgngsmåte og forklring 5 timer totlt Del 1 og del 2 lir delt ut smtidig. Del 1 skl leveres inn seinest

Detaljer

Mer om algebra. Sti 1 Sti 2 Sti 3 500, 501, 503, 504, 505, 511 513, 514, 515, 516, 517, 519, 520, 521, 525 531, 534, 535, 538

Mer om algebra. Sti 1 Sti 2 Sti 3 500, 501, 503, 504, 505, 511 513, 514, 515, 516, 517, 519, 520, 521, 525 531, 534, 535, 538 5 Mer om lger Kompetnsemål: Mål for opplæringen er t eleven skl kunne regne me rsjonle og kvrtiske uttrykk me tll og okstver og ruke kvrtsetningene til å fktorisere lgeriske uttrykk løse likninger, ulikheter

Detaljer

R1 kapittel 8 Eksamenstrening

R1 kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgvene i ok R kpittel 8 Eksmenstrening Løsninger til oppgvene i ok Uten hjelpemidler Oppgve E Hvis er et nullpunkt for De mulige nullpunktene for P, er konstntleddet 8 delelig med. P er

Detaljer

1P kapittel 8 Eksamenstrening

1P kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgvene i ok 1P kpittel 8 Eksmenstrening Løsninger til oppgvene i ok Uten hjelpemidler E1 Vi ytter ut 7,60 kr med 8 kr og 104 euro med euro. Det gir: 8 kr 4 300 kr. For fire overnttinger

Detaljer

Tillegg til kapittel 2 Grunntall 10

Tillegg til kapittel 2 Grunntall 10 8.09.0 Kvrtsetningene Tillegg til kpittel Grunntll 0 Ne læringsmål i reviert lærepln 0 Mål for et u skl lære: kunne ruke kvrtsetningene til å multiplisere to prentesuttrkk kunne fktorisere ve å ruke kvrtsetningene

Detaljer

Løsningsforslag til øving 4

Løsningsforslag til øving 4 1 Oppgve 1 FY1005/TFY4165 Termisk fysikk Institutt for fysikk, NTNU åren 2015 Løsningsforslg til øving 4 For entomig gss hr vi c pm = 5R/2 og c m = 3R/2, slik t γ = C p /C = 5/3 Lngs dibten er det (pr

Detaljer

EKSAMEN. ANTALL SIDER UTLEVERT: 7 (innkl. forside og 2 sider formelark)

EKSAMEN. ANTALL SIDER UTLEVERT: 7 (innkl. forside og 2 sider formelark) KANDIDATNUMMER: EKSAMEN FAGNAVN: Mtemtikk FAGNUMMER: REA EKSAMENSDATO: 5. desember 6 KLASSE:. klssene, ingenørutdnning. TID: kl. 9... FAGLÆRER: Hns Petter Hornæs ANTALL SIDER UTLEVERT: 7 (innkl. forside

Detaljer

1T kapittel 6 Geometri Løsninger til oppgavene i læreboka

1T kapittel 6 Geometri Løsninger til oppgavene i læreboka T kpittel 6 Geometri Løsninger til oppgvene i læreok Oppgve 6. Vi ruker pytgorssetningen. h 5 + 6 h 5 + 36 h 6 h ± 6 Hypotenusen er 6. Vi ruker pytgorssetningen. h, 4 + 6,7 h h 5, 076 + 45, 04 50, 047

Detaljer

1 k 2 + 1, k= 5. i=1. i = k + 6 eller k = i 6. m+6. (i 6) i=1

1 k 2 + 1, k= 5. i=1. i = k + 6 eller k = i 6. m+6. (i 6) i=1 TMA4 Høst 6 Norges teknisk nturvitenskpelige universitet Institutt for mtemtiske fg Løsningsforslg Øving 5 5..6 Vi er gitt summen og ønsker å skrive den på formen m k=5 k +, f(i). i= Strtpunktene er henholdsvis

Detaljer

Kalkulus 2. Volum av et omdreiningslegeme. Rotasjon rundt x-aksen

Kalkulus 2. Volum av et omdreiningslegeme. Rotasjon rundt x-aksen Klkulus Klkulus Volum v et omdreiningslegeme Rotsjon rundt x-ksen På figuren nedenfor hr vi skrvert området vgrenset v grfen til den kontinuerlige funksjonen y = f( x) og x-ksen fr x= til x=. Når vi roterer

Detaljer

Kapittel 5 Statistikk og sannsynlighet Mer øving

Kapittel 5 Statistikk og sannsynlighet Mer øving Kpittel 5 Sttistikk og snnsynlighet Mer øving Oppgve 1 Digrmmet nefor viser hvorn krkteren vr forelt på en norskprøve. 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 Hvor mnge fikk krkteren 4? Hvor mnge elever er et i klssen?

Detaljer

Praktiske opplysninger til rektor. Fag: MATEMATIKK 1TY for yrkesfag Fagkode: MAT1006 Eksamensdato: Antall forberedelsesdager: Ingen

Praktiske opplysninger til rektor. Fag: MATEMATIKK 1TY for yrkesfag Fagkode: MAT1006 Eksamensdato: Antall forberedelsesdager: Ingen Loklt gitt eksmen 2013 Prktiske opplysninger til rektor Fg: MATEMATIKK 1TY for yrkesfg Fgkode: MAT1006 Eksmensdto: 30.5.2013 Antll foreredelsesdger: Ingen Forhold som skolen må være oppmerksom på: Eksmenen

Detaljer

Midtsemesterprøve fredag 23. mars 2007 kl

Midtsemesterprøve fredag 23. mars 2007 kl Institutt for fysikk, NTNU FY1003 Elektrisitet og mgnetisme I TFY4155 Elektromgnetisme Vår 2007 Midtsemesterprøve fredg 23. mrs 2007 kl 1415 1615. Løsningsforslg 1) I et område er det elektriske feltet

Detaljer

S2 kapittel 6 Sannsynlighet

S2 kapittel 6 Sannsynlighet S kpittel 6 Snnsynlighet Løsninger til oppgvene i bok Oppgve 6. Ett v de 36 mulige utfllene er gunstig for hendelsen S. Alle de 36 mulige utfllene er like snnsynlige. Altså er PS ( ) 36 b Det er utfll

Detaljer

Løsningsforslag til eksamensoppgaver i ECON 2200 våren 2015

Løsningsforslag til eksamensoppgaver i ECON 2200 våren 2015 Løsningsforslg til eksmensogver i ECON 00 våren 05 Ogve (7 oeng) Deriver følgende funskjoner 3 ) f ( ) gir f ( ) 3 ) f ( ) e e( ) gir f ( ) e c) f ( ) ln gir f ( ) 3 3 (3 ) 3 lterntivt f ( ) ln ln 3 gir

Detaljer

Sem 1 ECON 1410 Halvor Teslo

Sem 1 ECON 1410 Halvor Teslo Løsningsforslg til seminr i ECON : Internsjonl økonomi.seminruke V ) Den økonomien vi her står ovenfor produserer re to goder, tø og vin. Altså vil lterntivkostnden for den ene vren nødvendigvis måles

Detaljer

Påbygging kapittel 4 Funksjoner 2 Løsninger til oppgavene i læreboka

Påbygging kapittel 4 Funksjoner 2 Løsninger til oppgavene i læreboka Påygging kpittel 4 Funksjoner Løsninger til oppgvene i læreok 4.1 D f = [ 1, 6,5] V = [ 1,4] f V f 4. D f Vnnstnden kl. 16 er gitt i punktet A på figuren. Vnnstnden vr c. 190 cm. Aschehoug www.lokus.no

Detaljer

Oppgave N2.1. Kontantstrømmer

Oppgave N2.1. Kontantstrømmer 1 Orientering: Oppgvenummereringen leses slik: N står for nettsiden, første siffer står for kpittelnummer og ndre for oppgvenummer. Oppgve N2.1. Kontntstrømmer En edrift vurderer å investere 38 millioner

Detaljer

2 Symboler i matematikken

2 Symboler i matematikken 2 Symoler i mtemtikken 2.1 Symoler som står for tll og størrelser Nvn i geometri Nvn i mtemtikken enyttes på lignende måte som nvn på yer og personer, de refererer eller representerer et tll eller en størrelse,

Detaljer

MATEMATIKKPRØVE 11. FEBRUAR.

MATEMATIKKPRØVE 11. FEBRUAR. MATEMATIKKPRØVE 11. FEBRUAR. Nvn: Klsse: DELPRØVE 1 uten lommeregner og p (41 poeng) Alle oppgvene i del 1 skl føres rett på rket. I noen oppgver er det en regnerute. Her skl du føre oppgven oversiktlig

Detaljer

Numerisk matematikk. Fra Matematikk 3MX (2002) Side

Numerisk matematikk. Fra Matematikk 3MX (2002) Side Numerisk mtemtikk Fr Mtemtikk 3MX (2002) Side 142 147 142 Kpittel 4: Integrlregning 47 NUMERISK MATEMATIKK pffiffiffiffiffi På lommeregneren finner du rskt t 71 er lik 8,426150, og t lg 5 er lik 0,698970

Detaljer

TFY4104 Fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Høsten Løsningsforslag til øving 8. a = e m E

TFY4104 Fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Høsten Løsningsforslag til øving 8. a = e m E TFY414 Fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Høsten 16. Løsningsforslg til øving 8. Oppgve 1. ) C F = E = m Newtons. lov. Her er = e, så elektronets kselersjon blir = e m E ltså mot venstre. b) C Totlt elektrisk

Detaljer

6 Brøk. Matematisk innhold Brøk i praktiske situasjoner Brøk som del av en mengde. Utstyr Eventuelt ulike konkreter, som brikker og knapper

6 Brøk. Matematisk innhold Brøk i praktiske situasjoner Brøk som del av en mengde. Utstyr Eventuelt ulike konkreter, som brikker og knapper Brøk I dette kpitlet lærer elevene om røk som del v en helhet, der helheten kn være en mengde, en lengde eller en figur, og de skl lære om røk som del v en mengde. De skl lære å finne delen når det hele

Detaljer

1 Tall og variabler. Oppgave Regn ut uten lommeregner. Oppgave Sett inn symbolet eller i de tomme rutene. a) 9 N b) π Q c) 3 R

1 Tall og variabler. Oppgave Regn ut uten lommeregner. Oppgave Sett inn symbolet eller i de tomme rutene. a) 9 N b) π Q c) 3 R Tll og vribler. TALL OG TALLREGNING Oppgve.0 Sett inn smbolet eller i de tomme rutene. ) N π Q R Oppgve. Sett inn smbolet eller i de tomme rutene. { } { π } ), 0,,,,,,, Oppgve. Skriv disse mengdene på

Detaljer

Matematikk 1000. Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 8 Numerisk integrasjon

Matematikk 1000. Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 8 Numerisk integrasjon Mtemtikk 1000 Øvingsoppgver i numerikk leksjon 8 Numerisk integrsjon Som kjent kn vi regne ut (bestemte) integrler ved nti-derivsjon. Dette resulttet er et v de viktikgste innen klkulus; det heter tross

Detaljer

Løsningsforslag, Midtsemesterprøve fredag 13. mars 2009 kl Oppgavene med kort løsningsforslag (Versjon A)

Løsningsforslag, Midtsemesterprøve fredag 13. mars 2009 kl Oppgavene med kort løsningsforslag (Versjon A) Institutt for fysikk, NTNU FY100 Elektrisitet og mgnetisme TFY4155 Elektromgnetisme Vår 2009 Løsningsforslg, Midtsemesterprøve fredg 1. mrs 2009 kl 1415 1615. Fsit side 10. Oppgvene med kort løsningsforslg

Detaljer

1 Mandag 18. januar 2010

1 Mandag 18. januar 2010 Mndg 8. jnur 2 I denne første forelesningen skl vi friske opp litt rundt funksjoner i en vribel, se på hvordn de vokser/vtr, studere kritiske punkter og beskrive krumning og vendepunkter. Vi får ikke direkte

Detaljer

Løsningsforslag til avsluttende eksamen i HUMIT1750 høsten 2003.

Løsningsforslag til avsluttende eksamen i HUMIT1750 høsten 2003. Løsningsforslg til vsluttende eksmen i HUMIT1750 høsten 2003. Teksten under hr litt litt prtsom fordi jeg hr villet forklre hvordn jeg gikk frm. Fr en studentesvrelse le det ikke forventet nnet enn sluttresulttene.

Detaljer

Fasit. Grunnbok. Kapittel 4. Bokmål

Fasit. Grunnbok. Kapittel 4. Bokmål Fsit Grunnok Kpittel 4 Bokmål Kpittel 4 Kvdrtiske funksjoner ndregrdsfunksjoner 4.1 Stigningstll Skjæring -kse Skjæring y-kse 4 ( 2, 0) (0, 8) 1 (1, 0) (0, 1) 1 (9, 0) (0, 3) 3 4.5 y = + = 0, y =, y =

Detaljer

Nytt skoleår, nye bøker, nye muligheter!

Nytt skoleår, nye bøker, nye muligheter! Nytt skoleår, nye øker, nye muligheter! Utstyret dere trenger, er som i fjor: Læreok lånes v skolen vinkelmåler, --9 og - -9-treknter, psser, lynt, viskelær, penn, A-rk til innføring og A klddeok. Og en

Detaljer

Kapittel 3. Potensregning

Kapittel 3. Potensregning Kpittel. Potensregning I potensregning skriver vi tll som potenser og forenkler uttrykk som inneholder potenser. Dette kpitlet hndler blnt nnet om: Betydningen v potenser som hr negtiv eksponent eller

Detaljer

OPPLÆRINGSREGION NORD. Skriftlig eksamen. MAT1001 Matematikk 1P-Y HØSTEN 2011. Privatister. Yrkesfag. Alle yrkesfaglige utdanningsprogrammer

OPPLÆRINGSREGION NORD. Skriftlig eksamen. MAT1001 Matematikk 1P-Y HØSTEN 2011. Privatister. Yrkesfag. Alle yrkesfaglige utdanningsprogrammer OPPLÆRINGSREGION NORD LK06 Finnmrk fylkeskommune Troms fylkeskommune Nordlnd fylkeskommune Nord-Trøndelg fylkeskommune Sør-Trøndelg fylkeskommune Møre og Romsdl fylke Skriftlig eksmen MAT1001 Mtemtikk

Detaljer

TFE4101 Krets- og Digitalteknikk Vår 2016

TFE4101 Krets- og Digitalteknikk Vår 2016 Norges teknisk nturvitenskpelige universitet Institutt for elektronikk og telekomuniksjon TFE4101 Krets- og Digitlteknikk Vår 2016 Løsningsforslg Øving 4 1 Oppgve 1 R 1 = 10 R 2 = 8 V = 600 V R 3 = 40

Detaljer

ALTERNATIV GRUNNBOK BOKMÅL

ALTERNATIV GRUNNBOK BOKMÅL Anne Rsch-Hlvorsen Oddvr Asen Illustrtør: Bjørn Eidsvik 7B NY UTGAVE ALTERNATIV GRUNNBOK BOKMÅL CAPPELEN DAMM AS, 2011 Mterilet i denne publiksjonen er omfttet v åndsverklovens bestemmelser. Uten særskilt

Detaljer

Oppgaver i matematikk, 9-åringer

Oppgaver i matematikk, 9-åringer Oppgver i mtemtikk, 9-åringer Her er gjengitt e frigitte oppgvene fr TIMSS 2003. For 4. klsse enyttes nå etegnelsen mønstre for et som i 1995 le omtlt som lger. Oppgvene er innelt i isse emnene: Tll Geometri

Detaljer

Kapittel 2 Mer om tall og tallregning Mer øving

Kapittel 2 Mer om tall og tallregning Mer øving Kpittel Mer om tll og tllregning Mer øving Oppgve Plsser isse tllene på ei tllinje:,, 9,, Skriv røkene i stigene rekkefølge. Skriv lle tllene som esimltll Oppgve Skriv en røk og fortell hv som er teller,

Detaljer

Innledning. Kategori Regnerekkefølge. 1.2 Bokstavregning og parenteser

Innledning. Kategori Regnerekkefølge. 1.2 Bokstavregning og parenteser Innledning Ktegori. Regnerekkefølge Oppgve.0 Regn uten lommeregner. b) ( ) d) ( ) Oppgve. Regn uten lommeregner. b) d) Oppgve. Regn ut med og uten lommeregner. b) ( ) d) ( 9) Oppgve. Regn ut med lommeregner.

Detaljer

Fasit til utvalgte oppgaver MAT1100, uka 20-24/9

Fasit til utvalgte oppgaver MAT1100, uka 20-24/9 Fsit til utvlgte oppgver MAT00, uk 20-24/9 Øyvind Ryn oyvindry@ifi.uio.no September 24, 200 Oppgve 5..5 år vi viser t f er kontinuerlig i ved et ɛ δ-bevis, er det lurt å strte med uttrykket fx f, og finne

Detaljer

R1 kapittel 7 Sannsynlighet

R1 kapittel 7 Sannsynlighet Løsninger til oppgvene i ok R kpittel 7 Snnsynlighet Løsninger til oppgvene i ok Oppgve 7. Hvis A hr inntruffet, ltså t den første kul er lå, så er det tre røde og én lå kule igjen i esken når vi skl trekke

Detaljer

Oppgave 5 Et rektangel har en omkrets på 24 cm 2. Hva blir arealet? Dersom lengdene på sidene skal ha heltallige svar, hvor mange løsninger får du?

Oppgave 5 Et rektangel har en omkrets på 24 cm 2. Hva blir arealet? Dersom lengdene på sidene skal ha heltallige svar, hvor mange løsninger får du? KAPITTEL 3 GEOMETRI Mer øving kpittel 3 I e første oppgvene skl u gjøre om enheter på en lgeriske måten. Det vil si t når u skl gjøre om mellom relenheter skl u gå veien om å gjøre om mellom lengeenheter.

Detaljer

3.7 Pythagoras på mange måter

3.7 Pythagoras på mange måter Oppgve 3.18 Vis t det er mulig å multiplisere og dividere linjestykker som vist i figur 3.. Bruk formlikhet. 3.7 Pythgors på mnge måter Grekeren Pythgors le født på Smos 569 og døde. år 500 f. Kr. Setningen

Detaljer

FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I, løsning øving 10 1 LØSNING ØVING 10

FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I, løsning øving 10 1 LØSNING ØVING 10 FY45/TFY45 Kvntemeknikk I, løsning øving LØSNING ØVING Løsning oppgve Spinn. D åde χ + og χ i likhet med lle ndre spinorer er egentilstnder til enhetsmtrisen med egenverdi lik, hr vi Videre finner vi t

Detaljer

1 Mandag 1. mars 2010

1 Mandag 1. mars 2010 Mndg. mrs Fundmentlteoremet sier t integrsjon og derivsjon er motstte opersjoner. Vi hr de siste ukene sett hvordn vi på ulike måter kn derivere funksjoner i flere vrible. Nå er turen kommet til den motstte

Detaljer