2P kapittel 2 Funksjoner

Transkript

1 Løsninger til oppgvene i ok P kpittel Funksjoner Løsninger til oppgvene i ok.1 D f = [ 1, 6,5] V = [ 1,4] f V f. D f Vnnstnden kl. 16 er gitt i punktet A på figuren. Vnnstnden vr c. 190 cm. Aschehoug Side 1 v 4

2 Løsninger til oppgvene i ok c Høyeste vnnstnd vr på c. 80 cm. Den inntrff c. kl og kl Lveste vnnstnd vr på c. 40 cm. Den inntrff c. kl og kl Aschehoug Side v 4

3 Løsninger til oppgvene i ok d Vnnstnden vr 180 cm kl , og e Verdimengden er hvilke verdier Ht () kn h, og lir i denne figuren V = [40, 80]..3 H Vnnstnden i Hmmerfest kl er 100 cm. Aschehoug Side 3 v 4

4 Løsninger til oppgvene i ok 95 cm. Forskjellen i vnnstnden lir 195 cm 100 cm = c Vnnstndene i Bodø og Hmmerfest er like kl. 0.00, 08.15, og Aschehoug Side 4 v 4

5 Løsninger til oppgvene i ok d Høyeste vnnstnd i Bodø er kl og kl Dette er en tidsforskjell på 1 timer og 15 min. Høyeste vnnstnd i Hmmerfest er kl og kl Dette er en tidsforskjell på 1 timer og 30 min. e Verdimengden for Hmmerfest er V H = [55, 80] og for Bodø V B = [40, 80]. Dette viser t forskjellen i tidevnnshøyden i Hmmerfest er større enn i Bodø..4 Aschehoug Side 5 v 4

6 Løsninger til oppgvene i ok f ( 1) = 7,5 f () = 3, 0 c Grfen skjærer y-ksen i (0, 6). d Grfen skjærer x-ksen i (4, 0). e Nullpunktet finner vi der grfen skjærer x-ksen, dvs. t nullpunktet er 4. f Vi tegner linj y =,5 i GeoGer og mrkerer skjæringspunktet der grfen krysser linj, se figuren. Vi leser v punktet C som hr koordintene (,3,,5). x hr d verdien,33. g Verdimengden er de verdiene f(x) kn h, V f = [ 1,5, 9]..5 c f og g er egge lineære funksjoner. Stigningstllet er negtivt. D synker grfen mot høyre. d Skjæringspunktet mellom grfene er (3, 1, 5). e f skjærer y-ksen i (0,3). g skjærer y-ksen i (0, 3). f f skjærer x-ksen i (6, 0). g skjærer x-ksen i (, 0) er fste utgifter per måned, og 0,60 er prisen per kwh. Aschehoug Side 6 v 4

7 Løsninger til oppgvene i ok c Vi tster inn S(480) i GeoGer og får t el-utgiftene lir på 588 kr ved et forruk på 480 kwh. Alterntivt regner vi ut S (480) = , = 588. d Vi tegner linj y = 500 inn i GeoGer, mrkerer punktet der grfen krysser linj (punkt D på figuren), og finner x-verdien til dette punktet. Vi finner t forruket kn være mksimlt på 333,3 kwh..7 Alterntivt kn vi løse følgende likning: S(x) = , 60x = 500 0, 60x = x = 0,60 x = 333,3 60 er ntll liter ensin igjen på tnken når vi strter å måle, og 0,8 er hvor mnge liter ensin ilen ruker per mil. Aschehoug Side 7 v 4

8 Løsninger til oppgvene i ok c Vi skriver B(5) i GeoGer og får t etter 5 mil er det 40 liter igjen på tnken. d B (3) = 60 0,8 3 = 34, 4 Etter t ilen hr kjørt 3 mil, er det 34,4 liter ensin igjen på tnken. e Vi leser v grfen t nullpunktet er 75. Etter 75 mil er det ikke mer ensin igjen på tnken, så ilen kn mksimlt kjøre 75 mil. f Verdimengden er de verdiene B(x) kn h, her V B = [0, 60]. g Vi tegner linj y = 1 inn i GeoGer, mrkerer punktet der grfen krysser linj, og finner x-verdien til dette punktet (mrkert med A på figuren). Vi finner t når ensintnken hr 1 liter igjen, hr ilen kjørt 60 mil..8 Alterntivt kn vi løse følgende likning: Bx ( ) = ,8x = 1 0,8x = ,8x = x = 0,8 x = 60 S (30) = 0, , = 19,8 Stopplengden er 19,8 meter. 1 Vi leser v figuren t hvis stopplengden er 45 m, er frten 50 km/h. Vi leser v figuren t hvis stopplengden er 90 m, er frten 75 km/h. c Vi ser t stopplengden øker rskere enn frten. I oppgven doles stopplengden når frten øker med 50 %. Aschehoug Side 8 v 4

9 .9 Vi tegner grfen til funksjonen inn i GeoGer og mrkerer toppunktet A. Løsninger til oppgvene i ok Det største relet er Ax ( ) = 100 cm. x hr d verdien 10 som gir t egge sidene i rektnglet hr lengde 10 cm. Området hr d en kvdrtisk form..10 c h (0) = 0, ,0 =,0 Dette etyr t kulestøteren strter kstet v kul, 0 m over kken. Vi regner ut for hånd: h (4) = 0, ,0 = 0, ,0 = 0,80 + 6, 0 = 5, 40 Kul er 5, 40 m over kken når x = 4. d Vi leser v y-verdien til toppunktet (mrkert med d på figuren). Største høyde er 7, m. Aschehoug Side 9 v 4

10 Løsninger til oppgvene i ok e Lengden v kulestøtet v vstnden lngs x-ksen er mrkert med punktet e i figuren. Lengden er m. Aschehoug Side 10 v 4

11 Løsninger til oppgvene i ok.11 c V(1) V(0) 9, 5 0 = = 9, Gjennomsnittlig vekstfrt i intervllet [0, 1] er 9,5 liter/minutt. V V (7) = 0, = 4, = 45,5 (8) = 0, = = 48 V(8) V(7) 48 45,5 = =, Gjennomsnittlig vekstfrt i intervllet [7, 8] er,5 liter/minutt. V = + = + = (10) 0, V(10) V(0) 50 0 = = Gjennomsnittlig vekstfrt i intervllet [0,10] er 5 liter/minutt..1 Vi leser v grfen temperturen 37 C ved t = 5 og temperturen 31 C ved t = 10. Temperturen synker med 6 C fr t = 5 til t = 10. I dette tidsrommet synker temperturen med 1, C/min. y y = = = 1, t t Gjennomsnittlig vekstfrt er 1, C/min = = 15, Gjennomsnittlig vekstfrt er c. 16 C/time. De første tre timene synker temperturen gjennomsnittlig med 16 C/time. I intervllet [3, 5] er vekstfrten større. Vi ser dette fordi kurven flter ut og stigningstllet er mindre negtivt. f = + = (0) 0, , f (0) = 0, , = 5 Svrene forteller t rusflsk hr temperturen 45 C ved strten v vkjølingen, og etter 0 min hr rusflsk temperturen 5 C. f(0) f(0) 5 45 = = Gjennomsnittlig vekstfrt er 1 C/min. De første 0 min synker temperturen med gjennomsnittlig 1 C/min. Aschehoug Side 11 v 4

12 .15 1 f (0) = 0, = f (4) = 0, = f(4) f(0) = = f (4) = 0, = f (8) = 0, = f(8) f(4) ( ) = = f(8) f(0) 3 = = Det siste svret forteller t f( x ) hr smme verdi for x = 0 og x = Vi plotter grfen i GeoGer. Løsninger til oppgvene i ok Vi finner nullpunktene 3 og 67 (mrkert med 1 og på figuren). Bedriften må produsere og selge mer enn enheter og mindre enn 68 enheter. Alterntiv skrivemåte: Bedriften får overskudd når < x < 68. Vi finner toppunktet (35, 105) (mrkert med på figuren). Overskuddet er størst når edriften produserer og selger 35 enheter. Overskuddet er d 105 kr. c Vi tegner linj y = 1000 i GeoGer og mrkerer krysning med grfen (mrkert med c1 og c). For t overskuddet skl li 1000 kr, må edriften produsere enten 30 eller 40 enheter. d 1 O(35) O(0) = = Gjennomsnittlig vekstfrt er 15 kr/enhet. O(40) O(35) = = Gjennomsnittlig vekstfrt er 5 kr/enhet. I intervllet [0, 35] øker overskuddet i gjennomsnitt med 15 kr for hver enhet produksjonen øker med. Aschehoug Side 1 v 4

13 Løsninger til oppgvene i ok I intervllet [35, 40] minker overskuddet i gjennomsnitt med 5 kr for hver enhet produksjonen øker med. Aschehoug Side 13 v 4

14 Løsninger til oppgvene i ok.17 3 F(0) = F = = (10) = = c d Vi finner unnpunktet på grfen (mrkert med c på figuren). Folketllet vr lvest i det åttende året, dvs. i 008. Folketllet vr d på innyggere. 3 F() = = F(8) = = F(1) = = F(8) F() = = Gjennomsnittlig vekstfrt er 500 innyggere/år. F(1) F(8) = = Gjennomsnittlig vekstfrt er 150 innyggere/år. I intervllet [, 8] minker innyggertllet gjennomsnittlig med 500 personer per år. I intervllet [8,1] stiger innyggertllet gjennomsnittlig med 150 personer per år. Aschehoug Side 14 v 4

15 Løsninger til oppgvene i ok.18 f (5) = 0, = 100 Snødyden den 5. mrs vr 100 cm. c Vi finner unnpunktet (15, 60) på grfen (mrkert med c på figuren). Snødyden vr lvest den 15. mrs. Snødyden vr d 60 cm. d Vi tegner linj y = 70 inn i GeoGer og finner skjæring med grfen til f (mrkert med d1 og d på figuren). Snødyden vr 70 cm den 10. mrs og den 0. mrs..19 O (50) = 0, = 3750 Overskuddet ved 50 produserte enheter er 3750 kr. Aschehoug Side 15 v 4

16 Løsninger til oppgvene i ok c Vi finner nullpunktene ved hjelp v GeoGer (mrkert med c1 og c på figuren). Nullpunktene er 00 og 500. Når ntll produserte enheter er 00 eller 500, er overskuddet null. d For å få overskudd må edriften produsere mer enn 00 enheter og mindre enn 500 enheter. Alterntiv skrivemåte: Bedriften får overskudd når 00 < x < 500. e Vi tegner linj y = 3750 inn i GeoGer og finner skjæring med grfen til O (mrkert med e1 og e på figuren). Bedriften får et overskudd på 3750 kr for 50 og 450 produserte enheter. f Vi finner toppunktet til grfen (350, 6750) (mrkert med f på figuren). Størst overskudd er ved 350 produserte enheter. Overskuddet er d 6750 kr. O(50) O(00) g = = Gjennomsnittlig vekstfrt er 75 kr/enhet. I intervllet [00, 50] øker overskuddet med gjennomsnittlig 75 kr per enhet..0 Vi tegner grfen til overskuddsfunksjonen. Aschehoug Side 16 v 4

17 Løsninger til oppgvene i ok Vi finner nullpunktene til grfen 55,5 og 198 (mrkert med 1 og på figuren). For å få overskudd må edriften produsere mer enn 55 enheter og mindre enn 199 enheter. Alterntiv skrivemåte: Bedriften får overskudd når 55 < x < 199. c Vi tegner linj y = 4000 og finner skjæring med grfen til O (mrkert med c1 og c på figuren). Bedriften får et overskudd på over 4000 kr når den produserer mer enn 110 enheter og mindre enn 167 enheter. Alterntiv skrivemåte: Bedriften får et overskudd over 4000 kr når 110 < x < 167. d Vi finner toppunktet på grfen (140, 4840) (mrkert med d på figuren). Størst overskudd er for 140 produserte enheter. Overskuddet er d 4840 kr..1 3 T (5) = 0, = 400 Det tr 400 sekunder (6 min og 40 s) å fylle eholderen til 5 dm. c Vi tegner linj y = 0 60 = 100 (må gjøre om til sekunder) og finner skjæring med grfen til T (mrkert med c på figuren). Vnnhøyden etter 0 min er 10 dm. T(10) T(0) d = = Gjennomsnittlig vekstfrt er 10 s/dm. I intervllet [0,10] øker tiden det tr å fylle eholderen, med gjennomsnittlig 10 s per dm. Aschehoug Side 17 v 4

18 Løsninger til oppgvene i ok. Vi tegner grfen i GeoGer og finner toppunktet (3,1, 39,1) (mrkert med på figuren). Høyeste tempertur oppnås etter 3,1 timer (3 timer og 6 min). Temperturen er d 39,1 C. Vi finner t C (5) = 35,8 (mrkert med på figuren). V C = [35,8, 39,1] c Vi regner ut verdiene vi trenger: 3 V (0) = 0, , = 37 3 V (1) = 0, , = 37,5 3 V () = 0,14 + 0, = 38,5 3 V (3) = 0, , = 39,1.3 Vi regner ut gjennomsnittlig vekstfrt i intervllene. V(1) V(0) 37,5 37 = = 0, V() V(1) 38,5 37,5 = = 1, V(3) V() 39,1 38,5 = = 0,6 3 1 Gjennomsnittlig vekstfrt i [0, 1] er 0,5 grder/time. Gjennomsnittlig vekstfrt i [1, ] er 1,0 grder/time. Gjennomsnittlig vekstfrt i [, 3] er 0,6 grder/time. Svrene forteller oss t kroppstemperturen øker med o 0,5 C/h den første timen, o 1, 0 C/h o den ndre timen og 0,6 C/h den tredje timen. Størst temperturendring er i løpet v den ndre timen etter vksineringen. 0 K (0) = ,035 = 5000 Amund stte inn 5000 kr inn på kontoen. Vekstfktoren er 1,035. Renten nken gir, er 3,5 %. Aschehoug Side 18 v 4

19 Løsninger til oppgvene i ok c d 018 er 4 år ettter 014, dvs. x = 4. 4 K (4) = ,035 = 5737,6 I egynnelsen v 018 står det 5737,6 kr på kontoen til Amund. Grfisk mrkerer vi punktet på grfen i GeoGer (kn skrive ( 4, K (4)) for å få opp punktet mrkert med d på figuren). Vi leser v t Amund hr 5737,6 kr på kontoen i egynnelsen v 018. e Vi tegner linj y = 7000 og finner skjæring med grfen til K (mrkert med e på figuren). I løpet v år 10 (03) psserer eløpet på Amunds konto 7000 kr..4 c 0 V (0) = ,85 = Bilen kostet kr. Vekstfrten er 0,85. Bilen vtr 15 % i verdi per år. Vi tegner linj y = og finner skjæring med grfen til V (mrkert med c på figuren). Aschehoug Side 19 v 4

20 Løsninger til oppgvene i ok d.5 c Det tr 5 år før verdien v ilen hr sunket til kr. V(5) V(0) = = Gjennomsnittlig vekstfrt er kr/år. I intervllet [0,5] synker verdien v ilen med gjennomsnittlig kr per år. 0 A (0) = 860 0,94 = 860 I 013 hdde edriften 860 nstte. Vekstfrten er 0,94. Antll nstte le redusert med 6 % per år. Vi tegner linj y = 670 og finner skjæring med grfen til A (mrkert med c på figuren). Det tr c. 4 år før ntll nstte hr sunket til c 0,664 T (50) = 18, 6 50 = 49,8 Det tr 50 sekunder (4 min og 10 s) å løtkoke et egg på 50 grm. 0,664 T (55) = 18, 6 55 = 66,1 Det tr 66 sekunder (4 min og 6 s) å løtkoke et egg på 55 grm. T(55) T(50) = 16,3 Det tr c. 16 sekunder lenger å koke et egg på 55 grm enn et egg på 50 grm. Aschehoug Side 0 v 4

21 Løsninger til oppgvene i ok V(55) V(50) 16,3 d = = 3, Gjennomsnittlig vekstfrt er 3,3 s/g. I intervllet [50, 55] øker tiden det tr for å løtkoke et egg, med gjennomsnittlig 3,3 s per grm..7 5 Vi tegner funksjonen F( x) = 5500 x. Vi tegner linj y = 60 og finner skjæring med grfen til F. Vekstfktoren er 1,05. Folketllet økte med,5 % per år..8 6 Vi tegner grfen til funksjonen Ut ( ) = 600 t. Vi tegner linj y = 6 og finner skjæring med grfen til U. Vekstfktoren er 0,85. Slget v ntll enheter snk med 15 % per dg..9 Aschehoug Side 1 v 4

22 Løsninger til oppgvene i ok v (10) = = 50, 4 Frten til steinen etter 10 m er 50,4 km/h. Aschehoug Side v 4

23 Løsninger til oppgvene i ok c Vi tegner linj y = 80 og finner skjæring med grfen til v (mrkert med c på figuren). Når frten til steinen er 80 km/h, hr steinen flt 5, m (30) 65 1,10 71,5 f = = Stoffskiftet til fisken er 71,5 mg O per kg per time. Vi tegner linj y = 04 og finner skjæring med grfen til f. Hvtemperturen når stoffskiftet er 04 mg O per kg per time, er 1 C. Aschehoug Side 3 v 4

24 Løsninger til oppgvene i ok.31 Vi tegner linj y = 45 og finner skjæring med grfen til N. Antll dyr le større enn 45 i løpet v det femte året, dvs. i ,4 f (3) = 1,3 3 =,0 Omsetningen det tredje året vil være,0 mill. kr. c Vi tegner linj y = 3 og finner skjæring med grfen til f. Bedriften vil oppnå en omsetning på 3 mill. kr i egynnelsen v år 8. f(3) f(0),0 0 = = 0, f(8) f(3),99,0 = = 0, Gjennomsnittlig vekstfrt i [0, 3] er 0,67 mill. kr/år. Gjennomsnittlig vekstfrt i [3, 8] er 0,19 mill. kr/år. Det første tre årene øker omsetningen med 0,67 mill.kr. per år, mens de fem neste vr omsetningen på 0,19 mill. kr per år. Aschehoug Side 4 v 4

25 Løsninger til oppgvene i ok.33 gx= ( ) 100 1,05 x Vi tegner egge funksjonene inn i GeoGer. Vi finner skjæringen mellom grfene til f og g (mrkert med på figuren). I egynnelsen v år 13 (07) vil Crmine hr mer enn Corneli på kontoen. c Vi tegner funksjonen y = g 100 inn i GeoGer (mrkert med rødt på figuren) og finner skjæringen mellom grfene til f og y (mrkert med c på figuren). I egynnelsen v år 8 (0) vil Corneli hr mindre enn 100 kr mer enn Crmine på kontoen..34 Vi tegner linj y = 8 og finner skjæring med grfen til h. Treet oppnådde en høyde på 8 meter i egynnelsen v det åttende året. Aschehoug Side 5 v 4

26 Løsninger til oppgvene i ok c h h = = 0,8 (1) 1,5 1 1,5 = = 0,8 (6) 1,5 6 6, 9 h(6) h(1) 6, 9 1, 5 = = 0, Gjennomsnittlig vekstfrt er 0,96 m/år. Det første fem årene vokser treet med c. 1 meter per år. 0,8 h(5) = 1,5 5 = 5, 44 h(6) h(5) 6, 9 5, 44 = = 0,156 h(5) 5, 44 Treet le c.16 % høyere i løpet v det femte året etter t det le plntet..35 0,63 f (800) = = 0, 68 Restfunktigheten er 68, % når omdreiningsfrten er 800 omdreininger per minutt. c Vi tegner linj y = 0,5 og finner skjæring med grfen til f (mrkert med c på figuren). Når restfuktigheten er 50 %, er omdreiningsfrten 1310 omdreininger per minutt. d Høyeste og lveste restfuktighet er mrkert med d1 og d på figuren:.36 f f 0,63 (500) = = 0,917 = = 0,63 (1500) , 459 Høyeste restfuktighet er 91,7 %, og lveste restfuktighet er 45,9 %. Aschehoug Side 6 v 4

27 Løsninger til oppgvene i ok O(1) = 0, =,034 1 O(3) = 0, = 0,973 3 O(3) O(1) 0,973,034 = = 0, Gjennomsnittlig vekstfrt er 0,531 mill. kr/år. O(6) = 0, = 1, O(9) = 0, =,976 9 O(9) O(6), 976 1, 557 = = 0, Gjennomsnittlig vekstfrt er 0,473 mill. kr/år. Omsetningen snk med 0,531 millioner kroner per år fr 014 til 016. Omsetningen steg med 0,473 millioner kroner per år fr 018 til c O (0) = 5 1,03 = 3 0+ Omsetningen i 013 vr på 3 millioner kroner. 0 4 O (4) = 5 1, 03 = 4,96 4+ Omsetningen i 017 vr på c. 4,96 millioner kroner. 4 4 O(4) O(0) 4,96 3 = = 0, O(8) = 5 1, 03 = 5,93 8+ O(8) O(4) 5,93 4,96 = = 0, Aschehoug Side 7 v 4

28 Løsninger til oppgvene i ok Gjennomsnittlig vekstfrt i intervllet [0, 4] er 0,49 mill. kr/år, og i intervllet [4, 8] er den 0,4 mill. kr/år. d Vi tegner linj y = 6 og finner skjæring med grfen til O (mrkert med c på figuren). Etter 8,3 år (pril 01) psserer edriften en omsetning på 6 millioner kroner. e Funksjonen O er smmenstt v to type funksjoner. 5 1, 03 t 4 er en eksponentilfunksjon, og er en røkfunksjon. t +.38 S() = = ,18 10 S(10) = 7,5 1, 74 = I 005 le det solgt 1380 elektriske iler, og i 013 le det solgt elektriske iler..39 S(0) = = 1080 S(7) = = 3355 S(7) S(0) = = Gjennomsnittlig vekstfrt er 35 iler/år. Fr 003 til 010 økte slget v eliler med gjennomsnittlig 35 iler per år. 1,18 8 S(8) = 7,5 1, 74 = ,18 10 S(10) = 7,5 1, 74 = S(10) S(8) = = 6914, Gjennomsnittlig vekstfrt er 6914 iler/år. Fr 011 til 013 økte slget v eliler med gjennomsnittlig 6914 iler per år P () = 10 Aschehoug Side 8 v 4

29 Løsninger til oppgvene i ok Hvis turen er km lng, er prisen 10 kr. P (8) = = 16 Hvis turen er 8 km lng, er prisen 16 kr. c Vi tegner linj y = 180 og finner skjæring med grfen til P (mrkert med c på figuren). Vi kn kjøre 5 km for 180 kr. Aschehoug Side 9 v 4

30 Løsninger til oppgvene i ok.41 y y1 1,7 = = 1,7 x x1 1 Momentn vekstfrt i punkt P er 1,7..4 y y1 1, = = 1, x x1 1 I punktet A er momentn vekstfrt 1,. y y1 0, 4 = = 0, 4 x x1 1 I punktet B er momentn vekstfrt 0,4..43 y y = = 10 x x1 3 1 For x = 3 er den momentne vekstfrten 10 mm/dg. y y = = 7 x x For x = 1 er den momentne vekstfrten 7 mm/dg. Den momentne vekstfrten er størst for x = 7, ltså dg Tngenten i A er uttrykt ved funksjonen y = 7, x+ 93,. Momentn vekstfrt for x = 1 er 7, mm/dg. Svret forteller t kkurt 1 dger etter plnting er plnten i ferd med å vokse 7, mm per dg. Aschehoug Side 30 v 4

31 Løsninger til oppgvene i ok.45 Tngenten i punktet er gitt ved y = 36x Momentn vekstfrt 5. mrs er 36 esøkende/dg. Tngenten i punktet er gitt ved y = 54x Momentn vekstfrt 0. mrs er 54 esøkende/dg. Svrene forteller t 5. mrs vtr ntll esøkende i lpinkken med 36 personer per dg, og 0. mrs øker ntll esøkende i lpinkken med 54 personer per dg..46 y y1 1, 8 1 = = 0, 4 x x1 4 Stigningstllet til tngenten er 0,4. Den momentne vekstfrten når x =, er lik stigningstllet til tngenten, dvs. 0,4..47 Vi tegner grfen og tngenten for 7 x =. Tngenten i punktet A er gitt ved y = 3x+ 4,5. Momentn vekstfrt etter 7 minutter er 3 L/min. Svret forteller t etter kkurt 7 minutter øker vnnvolumet i tnken med 3 liter per minutt. Aschehoug Side 31 v 4

32 Løsninger til oppgvene i ok.48 c 4 f (4) = 7 0,9 4 = 15,3 Temperturen kl er 15,3 C. Vi tegner inn tngentene til tidspunktene og 0.00 (mrkert på figuren med c1 og c). Stigningstllet til tngentene er, 5 og 1, 61. Momentn vekstfrt er,5 grder/time. Momentn vekstfrt er 1,61 grder/time. Svrene forteller t kl synker temperturen med,5 C/time og kl synker temperturen med 1,61 C/time..49 s (35) = 0, , 7 35 = 9,1 Vi tegner tngenten for v = 35 og finner stiningstllet til tngenten, som er 1, 4. Momentn vekstfrt er 1,4 m/(km/h). Aschehoug Side 3 v 4

33 Løsninger til oppgvene i ok Svrene forteller t for 35 km/h så er stopplengden litt over 9 meter. I tillegg øker stopplengden med 1, 4 meter for hver km/h vi øker frten med..50 V (19) = = 17 V () = = = 60 Mellom kl. 19 til kl. renner det ut 60 liter vnn. c Vi tegner linj y = 100 og finner skjæring med grfen (mrkert med c på figuren). Vi ser t grfen til V ligger over grfen til y helt frm til skjæringspunktet. Det er mer enn 100 liter 0,35 h = 0,35 h 60 min/h = 1 min..51 vnn i tnken fr kl til kl. 0.1 ( ) c 0,8 0,75 f (0) = = 4000 Fødselsvekten til gutten vr 4000 grm. Vi tegner linj y = 4000 og finner skjæring med grfen (mrkert med på figuren). Gutten psserer fødselsvekten etter 3, uker. Aschehoug Side 33 v 4

34 Løsninger til oppgvene i ok d Vi finner unnpunktet på grfen (mrkert med c på figuren). Gutten er lettest i slutten v den første uk (0,9 uker) og veier d c grm..5 Totlprisen for rrngementet lir Px ( ) = x, der 3000 er prisen for loklet og 150 per deltker. For å finne prisen per deltker må vi dele på ntll deltkere, som er x : 3000 Ex ( ) = x Vi tegner grfen og linj y = 00 og finner skjæring med grfen (mrkert med på figuren). Det må minst melde seg på 60 deltkere for t prisen per deltker skl li lvere enn 00 kr. Aschehoug Side 34 v 4

35 Løsninger til oppgvene i ok.53 Vi tegner grfen, mrkerer punktene og tegner tngenten i de punktene. (x-ksen på grfen er forskjøvet opp slik t vi kn lettere skille mellom punktene.) Vi leser v den momentne vekstfrten i GeoGer. For x = 0 er den momentne vekstfrten 0,3 kr/døgn. For x = 0 er den momentne vekstfrten 0, 5 kr/døgn. For x = 50 er den momentne vekstfrten 0,14 kr/døgn. Svrene forteller t personen vil vt i vekt med 0,3 kg første døgnet, 0,5 kg det 0. døgnet, og 0,14 kg det 50. døgnet. Vekten vil vt mest i egynnelsen v kuren..54 Vi skisserer en tngent i punktet [, 1] og leser v to punkter på tngenten: 1,8 1 0,8 = = 0,4 4 Den momentne vekstfrten når x =, er 0,4..55 Merk t vi hr skjøvet på ksene slik t vi lettere kn se grfen. i kr Aschehoug Side 35 v 4

36 Løsninger til oppgvene i ok Vi mrkerer punktet for x = 90, tegner tngenten og finner stigningstllet. Den momentne vekstfrten når x = 90 er 8, 4 enheter/kr. Svret forteller t når prisen er på 90 kr, vil slget v vren synke med 8 enheter per krone prisen øker..56 Vi gjør om klokkeslett til desimltll først og setter deretter inn i funksjonen. V (18) = ,5 18 = 147 V (18,75) = ,75 = = 15 Det hr rent ut 15 liter vnn mellom kl og kl Aschehoug Side 36 v 4

37 Løsninger til oppgvene i ok Vi tegner linj y = 50 og finner skjæring med grfen (mrkert med 1 og på figuren). Vi leser v x-koordintene til punktene som er x = 5 for 1 og c. x = 16 for. Temperturen i vnnet vr høyere enn 50 C i tidsrommet 5 til 16 minutter. c.58 Temperturen i kjøleskpet må være den temperturen vnnet vil få etter lng tid. Vi kn enten lese v grfen hv funksjonen nærmer seg ettersom x lir stor, eller vi kn sette inn store verdier for x inn i den siste funksjonen. Vi ser t temperturen nærmer seg 4 C. d (16) = 7, = 14, 0 Dimeteren til sirkelen etter 16 år er 14 mm. c Vi tegner linj y = 35 og finner skjæring med grfen (mrkert med c på figuren). Det er 37 år siden isen forsvnt. d d(1) = 7, = 0 d(16) d(1) 14 0 = = 3, Gjennomsnittlig vekstfrt er 3,5 mm/år. I løpet v de 4 første årene lven vokser, øker dimeteren med gjennomsnittlig 3,5 mm per år. e Vi mrkerer punktet ved t = 16, tegner tngenten og finner stigningtllet til tngenten. Momentn vekstfrt når t = 16, er 1,75 mm/år. Etter 16 år øker dimeteren til sirkelen med lv med 1,75 mm per år. Aschehoug Side 37 v 4

38 Løsninger til oppgvene i ok.59 c 1,6 h (5) = 0, ,5 = 8,1 Treet vr litt over 8 meter høyt etter 5 år. 1,6 h(0) = 0, ,5= 1,5 1,6 h() = 0,5 + 1,5= 3,0 1,6 h(4) = 0, ,5 = 6,09 h() h(0) 3, 0 1,5 = = 0,76 0 h(4) h() 6,09 3,0 = = 1,54 4 Gjennomsnittlig vekstfrt i [0, ] er 0,76 m/år. Gjennomsnittlig vekstfrt i [, 4] er 1,54 m/år. De første to årene vokser treet gjennomsnittlig med 0,76 m per år. De to neste årene vokser treet med gjennomsnittlig 1,54 meter per år. d Vi mrkerer punktet for x = og x = 4, tegner tngentene og finner stigningtllet til tngentene (mrkert med d1 og d på figuren). Momentn vekstfrt for x = er 1,1 m/år, og for x = 4 er den 1,84 m/år. Etter år vokser treet med 1,1 meter per år, og etter 4 år vokser treet med 1,84 meter per år. Aschehoug Side 38 v 4

39 .60 Løsninger til oppgvene i ok Vi tegner grfen, mrkerer punktene ved t = 100 og t = 300, tegner tngentene og finner stigningstllet til tngentene. Volumet minker med Volumet øker med 3 3 cm /min. 3 1cm /min D (0) = = ,88 Det le stt ut 15 dyr. Her kn vi sette inn store verdier for t og se hvilken verdi Dt () ser ut til å gå mot, lterntivt kn vi lese v grfen til D. Vi ser v figuren over t ntll dyr vil stilisere seg på 300 dyr. c Vi mrkerer punktene for t = 10, t = 4, og t = 36, tegner tngentene og finner stigningstllet til tngentene. Ved t = 10 er momentn vekstfrt 5,1 dyr/år. Ved t = 4 er momentn vekstfrt 9,6 dyr/år. Ved t = 36 er momentn vekstfrt 5, dyr/år. Etter 10 år vokser estnden med 5,1 dyr per år, etter 4 år vokser estnden rskere med 9,6 dyr per år, og etter 36 år vokser estnden sktere igjen med 5, dyr per år. Aschehoug Side 39 v 4

40 Løsninger til oppgvene i ok.6 v ( 3 ) v ( 4 ) (3) = ,85 = 7, 0 (4) = ,85 = 33,5 Frten etter 3 sekunder er 7,0 m/s, og etter 4 sekunder er frten 33,5 m/s. c Vi mrkerer punktene for t = 3 og t = 4, tegner tngentene og finner stigningstllet til tngentene. Momentn vekstfrt etter 3 s er 7,0 m/s, og etter 4 s er den 5,9 m/s. Etter 3 sekunder øker frten med med m/s 5,9 s ( 5,9 m/s ) =. Kpitteltest Del 1 Uten hjelpemidler Oppgve 1 m/s 7,0 s ( 7,0 m/s ) =, og etter 4 sekunder øker frten Vi leser v grfen: 1 Når frostvæsken utgjør 0 %, er frysepunktet 10 C. Når frostvæsken utgjør 40 %, er frysepunktet 5 C. 3 Når frostvæsken utgjør 70 %, er frysepunktet 49 C. For et frysepunkt på 30 C må konsentrsjonen være c. 45 % eller 9 %. c Bunnpunktet til grfen er (60, 55). Dette punktet viser konsentrsjonen v frostvæske (60 %) som vi må h for å få den lveste mulig temperturen ( 54 C ). d For t frysepunktet skl ligge lvere enn 30 C, må konsentrsjonen være i intervllet 45, 9 %. Aschehoug Side 40 v 4

41 Oppgve Løsninger til oppgvene i ok Vi leser v y-verdien når t = 3. Kul hr kommet 1,5 meter etter 3 sekunder. Vi leser v x-verdien når st ( ) = 0,5. Kul er 0,5 meter fr utgngspunktet etter 0,6 sekunder og 5,4 sekunder. c D s = [0, 6] V = [0,1,5] d e s Toppunktet er (3,1,5). Toppunktet eskriver når kul er lengst fr utgngspunktet. s(3) s(0) 1,5 0 = = 0, s(6) s(3) 0 1,5 = = 0, Gjennomsnittlig vekstfrt i intervllet [0, 3] er 0,5 m/s. Gjennomsnittlig vekstfrt i intervllet [3, 6] er 0,5 m/s. De første 3 sekundene øker vstnden fr utgngsposisjonen med gjennomsnittlig 0,5 meter per sekund, dvs. t kul triller vekk fr strtpunktet. De neste 3 sekundene minker vstnden til utgngsposisjonen med gjennomsnittlig 0,5 meter per sekund, dvs. t kul triller nedover mot strtpunktet igjen. Del Med hjelpemidler Oppgve 3 Vi tegner grfen i GeoGer. Grfen viser åpningen. Høyden (mrkert med C på figuren) er 0 cm. Bredden på åpningen er vstnden for y = 0, dvs. vstnden fr A til B lngs x-ksen på figuren. xb xa = 50 ( 50) = = 100 Avstnden på åpningen ved kken er 100 cm. f ( 5) = 0, 088 ( 5) + 0 = 165 f (5) = 0, = 165 Svrene forteller t 5 cm til høyre og venstre side v midten v åpningen er høyden 165 cm. Aschehoug Side 41 v 4

42 Løsninger til oppgvene i ok c Vi tegner linj y = 185 og finner skjæringspunktene med grfen (mrkert med D og E på figuren). Vi regner ut redden v åpningen: xe xd = 0 ( 0) = = 40 Åpningen 185 cm over kken er på 40 cm. Oppgve L (5) = ,5 0,90 = 41,3 Lengden er 41,3 cm. 10 L (10) = ,5 0,90 = 65,3 Lengden er 65,3 cm. c L(10) L(5) 65,3 41, = = 4, Gjennomsnittlig vekstfrt er 4,8 cm/år. Lengden v fisken øker med gjennomsnittlig 4,8 cm per år fr fisken er 5 år til den er 10 år gmmel. d Vi kn se på figuren t ettersom x øker, går lengden mot 100 cm. Alterntivt så kn vi sette inn en stdig større verdi for x i funksjonen og se hv Lx ( ) går mot. e Vi tegner linj y = 5 og finner skjæring med grfen (mrkert med e på figuren). Når fisken er 5 cm lng, er den nesten 7 år (6,9 år). Vi tegner tngenten i punktet e og finner stigningtllet til tngenten. Den momentne vekstfrten er 5,1 cm/år. Når fisken er 7 år, vokser den med 5,1 cm per år. f Vi tegner linj y = 40 og linj y = 60, og finner skjæring med grfen (mrkert med f1 og f på figuren). Vi leser v x -koordintene til punktene. Alderen for fisk som norml fnges, er i intervllet 4,80, 8,65, dvs. fr litt under 5 år til litt over 8 og et hlvt år. Aschehoug Side 4 v 4