S1 kapittel 6 Derivasjon Løsninger til oppgavene i boka

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "S1 kapittel 6 Derivasjon Løsninger til oppgavene i boka"

Transkript

1 S kpittel 6 Derivsjon Løsninger til oppgvene i ok 6. c y x y x = = = = y x y 5 6 x 4 = = = = y x y x = = = = 7 ( 5) 6 ( ) 8 6. f( x ) f( x ) 5 7 x x ( ) 4 = = = = 6. T( x) = 0,x +,0 T T = + = (0) 0, 0,0,0 = + = + = + = (4) 0, 4,0 0, 6,0,6,0,6 T( x) T(4) T(0),6,0,6 = = = = 0, 4 x Den gjennomsnittlige vekstfrten er på 0,4 C/time. Det er mindre enn i intervllet [4, 8]. 6.4 H( x) = 0,x + 80, D H = [0, 8] H H = += (0) 0, 0 80 = + = + = + = (6) 0, , 6 80, , 6 DH( x) H(6) H(0) 8,6 80,6 = = = = 0,6 Dx Busken vokste i gjennomsnitt,6 cm/uke de seks første ukene. Aschehoug Side v 78

2 6.5 Vi leser v grfen t temperturen synker fr 46 C til C. 46 = 4 Grfen synker med 8 grder. y 4 = =, 4 x 0 Temperturen synker i gjennomsnitt med,4 C/minutt. Vi leser v grfen t temperturen ved t = 0 er C, og ved t = 0 er den 6 C. 6 = 6 y 6 = = 0,6 x 0 Den gjennomsnittlige vekstfrten i intervllet [0, 0] er på 0,6 C/minutt. 6.6 Vi leser v verdiene fr tellen. T T(0) T(0) = = = =, 5 t Den gjennomsnittlige vekstfrten i intervllet t = 0 til t = 0 er på,5 C/minutt. Vi leser v verdiene fr tellen. T T(0) T(0) = = = =, t Den gjennomsnittlige vekstfrten i intervllet [0, 0] er på, C/minutt. 6.7 f x f f = x ( ) 0, = = = = () 0, 0, 4 0,8, = = = = (5) 0, 5 0, 5 5 f( x) f(5) f() (, ) 4, = = = =, 4 x 5 Den gjennomsnittlige vekstfrten i intervllet [,5] er på,4. Vi tegner grfen til f. Vi setter v punktene A= (, f() ) og B ( 5, f(5) ) =. Vi ruker verktøyknppen Linje mellom to ojekt og tegner linj mellom punktene. Vi ruker verktøyknppen Stigning og finner stigningstllet til linj. Se figuren. Aschehoug Side v 78

3 c Den gjennomsnittlige vekstfrten i intervllet [,5] er på,4. Den gjennomsnittlige vekstfrten i intervllet [,5] er på, Vi tegner grfen til f. Vi setter v punktene A= (, f( ) ) og B ( 6, f(6) ) =. Vi ser t punktene hr smme funksjonsverdi. Se figuren. Den gjennomsnittlige vekstfrten i intervllet [, 6] er dermed 0. Aschehoug Side v 78

4 Vi løser i CAS: Linj er en konstnt. Den gjennomsnittlige vekstfrten i intervllet [, 6] er dermed f( x) = 0,x + 40 f f f( x) f(0) f(5) 50 4,5 7,5 = = = =,5 x (5) = 0, = 0, =, = 4,5 (0) = 0, = 0, = = 50 Gjennomsnittlig vekstfrt i intervllet [5,0] er,5. f( x) = 0,x + 40 f f f( x) f( ) f( 6) 40, 4 4, 6, = = = = 0,8 x ( ) ( 6) 4 4 ( 6) = 0, ( 6) + 40 = 0, =, = 4,6 ( ) = 0, ( ) + 40 = 0, = 0, = 40, 4 Gjennomsnittlig vekstfrt i intervllet [ 6, ] er 0, Loddrett symptote i ruddpunktet, dvs. x = Vnnrett symptote for store verdier for x. 4x 4x f( x) = = 4 x+ x x 4 0 f( x) Aschehoug Side 4 v 78

5 4x f( x) = x + 40 f (0) = = f (5) = = = = f( x) f(5) f(0) ( ) 5 = = = = x Gjennomsnittlig vekstfrt i intervllet [0,5] er. 6. Vi ser v grfen t funksjonen vtr i intervllet [, 0] c negtiv.. Her er gjennomsnittlig vekstfrt Vi ser også t f( ) = f(). Funksjonen verken stiger eller synker i gjennomsnitt over dette intervllet. Gjennomsnittlig vekstfrt i intervllet [, ] er dermed 0. Gjennomsnittlig vekstfrt i [, ] er dermed større enn i [, 0]. Utsgnet er glt. Vi ser v grfen t funksjonen øker i intervllet [0, ]. Her er gjennomsnittlig vekstfrt positiv Fr oppgve hr vi t gjennomsnittlig vekstfrt i intervllet [, ] er 0. Gjennomsnittlig vekstfrt i [0, ] er dermed større enn i [, ]. Utsgnet er riktig. Fr oppgve hr vi t utsgnet er riktig. 6. f( x) = x x f (0) = f (4) = 4 4 = 6 8 = 7 f( x) f(4) f(0) 7 ( ) 8 = = = = x Gjennomsnittlig vekstfrt i intervllet [0, 4] er. f( x) = x x f( ) = ( ) ( ) = = 6+ 7 f( + ) = ( + ) ( + ) = = + f( x) f( + ) f( ) + ( 6+ 7) 8 8 = = = = = ( ) x + ( ) 4 4 Gjennomsnittlig vekstfrt i intervllet [, + ] er ( ). Vekstfrten i oppgve er en fktor ( ) fr svret i oppgve. Aschehoug Side 5 v 78

6 c Gjennomsnittlig vekstfrt er null for =. Dette er det smme som x-verdien til unnpunktet til f. Andregrdsfunksjoner er symmetriske om unnpunktet. ± vil gi to x-verdier like lngt fr symmetrilinj, og symmetrien til f vil føre til t de hr smme y-verdi. Dermed er gjennomsnittlig vekstfrt mellom dem Den momentne vekstfrten er stigningstllet til tngenten til grfen i punkt A. Vi leser v grfen t momentn vekstfrt er, Momentn vekstfrt i Momentn vekstfrt i 0, 4 A = = 0, 4, B = =, 6.5 Vi leser v grfen. Vi ser t vekstfrten når x =, er c. 0 mm/dg, dvs. t på dg vokser plnten med c. 0 mm/dg. Vi ser t vekstfrten når x =, er c. 7,5 mm/dg, dvs. t på dg vokser plnten med c. 7,5 mm/dg. Plnten vokser rskest der grfen er rttest. Vi leser v figuren og ser t dette er når x = Vi tegner grfen til funksjonen, setter v punktene A= ( 5, f(5) ) og B (, f() ) setter v tngenter i punktene og leser v stigningstllene. Se figuren. =. Vi Aschehoug Side 6 v 78

7 Momentn vekstfrt når x = 5, er,5 mm/dg. Momentn vekstfrt når x =, er 9,9 mm/dg. Etter 5 dger vokser plnten med,5 mm/dg. Etter dger vokser plnten med 9,9 mm/dg. 6.7 Momentn vekstfrt er positiv når grfen stiger. Det er i punkt C. Momentn vekstfrt er negtiv når grfen synker. Det er i punkt A og punkt E. c Momentn vekstfrt er null når grfen hr et topp- eller unnpunkt. Det er i punktene B og D. 6.8 I punktet P stiger grfen. Den momentne vekstfrten er dermed positiv, c.,8. I punktet der x = 5, synker grfen. Den momentne vekstfrten er dermed negtiv, c.,8. c Den momentne vekstfrten er null i grfens toppunkt. Det er der x =. 6.9 Vi tegner grfen til funksjonen, setter v punktene A= ( 5, f(5) ) og B (, f() ) tngenter i punktene og leser v stigningstllene. Se figuren. =. Vi setter v Aschehoug Side 7 v 78

8 Momentn vekstfrt når x = 5, er 6 esøkende/dg. Det etyr t den 5. mrs vtr ntllet esøkende med 6 esøkende/dg. Momentn vekstfrt når x = 0, er 54 esøkende/dg. Det etyr t den 0. mrs øker ntllet esøkende med 54 esøkende/dg. 6.0 Vi leser v stigningstllet til tngenten t den momentne vekstfrten når x = 50, er = Vi leser v funksjonsverdiene fr grfen og eregner vekstfrt f () = 4 f () = f( x) f() f() 4 = = = = x Gjennomsnittlig vekstfrt i intervllet [, ] er. f () = f (5) = 4 f( x) f(5) f() 4 = = = = x 5 Gjennomsnittlig vekstfrt i intervllet [, 5] er. c Vi leser v stigningstllet til tngenten t den momentne vekstfrten når x =, er =. d Vi leser v stigningstllet til tngenten t den momentne vekstfrten når x = 5,5, er 5,5 =. Aschehoug Side 8 v 78

9 6. Vi eregner gjennomsnittlig vekstfrt i CAS: Gjennomsnittlig vekstfrt i intervllet [0,5] er c.,5 C/min. Det etyr t temperturen etter 5 minutter er i ferd med å stige med,5 C/min. Vi tegner grfen til funksjonen, setter v punktene A= (, T() ), B ( 6, T(6) ) C ( 9, T(9) ) = og =. Vi setter v tngenter i punktene og leser v stigningstllene. Se figuren. Momentn vekstfrt når x =, er,8 C/min. Momentn vekstfrt når x = 6, er 9,4 C/min. Momentn vekstfrt når x = 9, er 4,8 C/min. Dette forteller oss t temperturen i ovnen fortsetter å øke, men sktere og sktere. 6. Gjennomsnittlig endring i ensinforruket mellom 70 km/h og 90 km/h er gitt ved (0,74 0,59) L/mil 0,5 L/mil L/mil L/mil = = 0, 0075 = 7,5 0 (90 70) km/h 0 km/h km/h km/h Vi ruker CAS og eregner gjennomsnittlig endring i ensinforruket mellom 90 km/h og 0 km/h. Vi ruker så denne vekstfrten for å finne ensinforruket ved 97 km/h. Aschehoug Side 9 v 78

10 Bensinforruket ved 97 km/h er på c. 0,8 L/mil. 6.4 Vi ruker CAS til å finne de gjennomsnittlige vekstfktorene: I intervllet [0,] er den gjennomsnittlige vekstfrten på 5,4 cm/år. I intervllet [,7] er den gjennomsnittlige vekstfrten på,58cm/år. Jentene vokser sktere og sktere desto eldre de lir. Vi tegner grfen til funksjonen, setter v punktene A= ( 0, H(0) ) og B ( 5, T(5) ) setter v tngenter i punktene og leser v stigningstllene. Se figuren. =. Vi Den momentnte vekstfrten for gjennomsnittshøyden for 0 år gmle jenter er 5,96 cm/år. Den momentnte vekstfrten for gjennomsnittshøyden for 5 år gmle jenter er,66 cm/år. Aschehoug Side 0 v 78

11 6.5 Løsninger til oppgvene i ok Grfen må skjære x-ksen i x = og stige mot en topp eller et terssepunkt i x =. Den kn dermed se slik ut: f () = = 4 f (4) = = c Funksjonen hr ett toppunkt for x =. Dermed er f () = f( x) =,5x+ f ( x) =,5 f( x) = 5 f ( x) = 0 c f( x) =,5x+ 9 f ( x) =,5 6.8 f( x) = 45x+ 00 f ( x) = 45 f( x) = 5 f ( x) = 0 c f( x) = 5 4x f ( x) = 4 Aschehoug Side v 78

12 6.9 I( x) = 45x I ( x) = 45 Svret forteller t inntekten stiger med 45 kr/solgte jojo. Prisen er ltså 45 kr per jojo. 6.0 Px ( ) = x P ( x) = 5 Svret forteller t prisen for flyttelsset øker med 5 kr per kjørte kilometer. 6. c f( x) = x f ( x) = x gx ( ) = x 6 g ( x) = x = x 6 hx ( ) = x 5 h ( x) = 5x = 0x f( x) = 5x+ f ( x) = 5 c gx= x x ( ) g x = x = x () 9 ( ) 5 hx = x + x x h x = x + x = x + x () ix ( ) = x + 5x 4 = + = + d i ( x) x 5 x x 0x 6. x f( x) = x + 4 f ( x) = x+ = x+ 4 4 Aschehoug Side v 78

13 c d gx ( ) = x x+ 4 = = g ( x) x x x x hx ( ) = x + x 4 = + = h() x x x x 6x x x ix ( ) = + 6 x x i ( x) = + = = + h( x) 0,0096x 0, 48x h (5) = 5, 04 Det etyr t på den 5. dgen vokste solsikken med 5,04 cm/dg. h (0) = 5, 76 Det etyr t på den 0. dgen vokste solsikken med 5,76 cm/dg. Plnten vokser ltså rskere på den 0. dgen enn på den 5. Aschehoug Side v 78

14 c 6.5 K ( x) = 0,x+ 4 K (00) = 78 kr/enhet K (50) = 84 kr/enhet K (40) = 9, 0 kr/enhet Svrene etyr t kostnden for å øke produksjonen lir større når produksjonen øker. Aschehoug Side 4 v 78

15 6.6 Volumet i llongen vr på 497, 5 cm etter 5 minutter. c V ( t) = 0,0t 5 Når t = 50, minker volumet til llongen med Når t = 50, øker volumet til llongen med cm /minutt. cm /minutt. 6.7 f( x) = x f ( x) = Aschehoug Side 5 v 78

16 f( x) = 0,8x f ( x) = 0,8 c f( x) = x+ f ( x) = d f( x) =,5x+ 00 f ( x) =,5 e f( x) = x+ 4 8 f ( x) = 4 f f( x) = 0, 7x+,4 f ( x) = 0,7 6.8 c f( x) = x 4x+ f f = + = + = () = + = + + = ( ) ( ) 4 ( ) 4 9 f x = x x+ ( ) 4 f ( x) = x 4= 4x 4= 4( x ) f () = 4 ( ) = 4 = 4 f ( ) = 4 ( ) = 4 ( ) 8 Svrene i CAS stemmer med svrene funnet i oppgve og oppgve. Aschehoug Side 6 v 78

17 6.9 f x = x + x+ ( ) f ( x) = x+ f ( ) = ( ) + = 4 + = 6 f (0) = 0 + = f () = + = 4+ = f x = x + x + x ( ) f x = x + x+ ( ) f = + + = + = f (0) = = f = + + = + + = ( ) ( ) ( ) 4 4 () f( x) = x + x 6 4 ( ) = + = + 6 f x x x x x f ( ) = ( ) + ( ) = = = c f = + = + = + = + = Svrene stemmer med oppgve og oppgve. 6.4 f( x) = x 8x f ( x) = 4x 8 Aschehoug Side 7 v 78

18 Vi leser v grfen t f ( x) = 4 når x =. 6.4 Vi ruker CAS: Stopplengden ved frten 60 km/h er 69 m. c Stopplengden lir 47 m lengre ved 80 km/h enn ved 60 km/h. Aschehoug Side 8 v 78

19 m s (60) =,05 km/h m s (80) =,65 km/h Økningen i stopplengde per km/h er henholdsvis,05 m og,65 m ved disse hstighetene. 6.4 Vi legger inn en linje y = 8 i GeoGer og mrkerer skjæringspunktene mellom den og grfen til T. Vi eregner hvor mnge timer det er mellom skjæringspunktene. Temperturen er over 8 C i c. 98,5 timer. Aschehoug Side 9 v 78

20 c Vi ruker CAS: Den gjennomsnittlige temperturstigningen de ti første timene er på c. 0,09 C/time. d T (5) 0,09 C/time. Det etyr t etter fem timer er den momentne temperturøkningen c. 0,09 C/time Når =, er f () = Ar () = πr A () r = π r= Or () Den momentne økningen i relet til en sirkel med rdius r er lik omkretsen til sirkel med rdius r f( x) = x 8x+ f ( x) = 4x 8 f ( x) = 0 4x 8 = 0 4x = x = x = = 4 Aschehoug Side 0 v 78

21 Det etyr t for f ( x) = 0 4x 8= 0 4x = 8 9 x = er den momentne vekstfrten til f, 0. Løsninger til oppgvene i ok 8 x = = 4 Det etyr t for x = er den momentne vekstfrten til f lik 0. Grfen hr ltså et ekstremlpunkt her. Siden f er en ndregrdsfunksjon med positiv -koeffisient, så hr den et unnpunkt for x = = og c = Vi ruker CAS: Plnten er 00 cm høy etter 50 dger. Vi ruker CAS: Den gjennomsnittlige vekstfrten i intervllet x = 5 til x = 0 er på,04 cm/dg Aschehoug Side v 78

22 c Vi ruker CAS: h (0) =,84 cm/dg h (45) =,6 cm/dg d Plnten vokser rskere etter 0 dger enn etter 45 dger. Vi ruker CAS: e Den momentne vekstfrten er på 4, cm/dg etter, dger og etter 8,7 dger. Vi ruker CAS: Den momentne vekstfrten er størst etter 5 dger. D vokser plnten med 6,0 cm/dg Aschehoug Side v 78

23 Vi ruker CAS: T (0) = 00 s T (0) = 60 s/dm c Etter 00 sekunder er vnnhøyden 0 dm, og den øker med 60 s/dm. Når eholderen er fylt opp hlvveis, er h = 7,5. Vi ruker CAS: Når eholderen er fylt hlvveis, er den momentne vekstfrten på 65 s/dm Aschehoug Side v 78

24 6.5 Løsninger til oppgvene i ok Vi legger inn funksjonen i GeoGer. Vi tegner N () t. Vi legger inn linj y = 00 og finner skjæringen mellom den og N () t. Se figuren. Vi leser v t tilveksten er på 00 kterier/time etter,75 timer. N (,75) = 584, 7 D er det c kterier i kulturen. Ved CAS: Tilveksten er på 00 kterier/time etter,75 timer. D er det c kterier i kulturen. Aschehoug Side 4 v 78

25 6.5 k = 6.5 f ( x) > 0 når grfen stiger, ltså når x < og x > 5. f ( x) < 0 når grfen synker, ltså når < x < 5. c f ( x) = 0 når grfen hr et topp- eller unnpunkt, ltså når x = og x = Vi leser v grfene og ser t f( x ) hr unnpunkt i (, ). gx ( ) hr unnpunkt i (0, ) og toppunkt i (, ) 6.56 Aschehoug Side 5 v 78

26 Grfen til f stiger frm til x =. I dette intervllet må f ( x) være positiv. Grfen synker etter x =, så i dette intervllet må f ( x) være negtiv. I toppunktet x = er f ( x) = 0. Det er ltså figuren til venstre som er fortegnslinj til f ( x) Fortegnslinj viser t den deriverte til funksjonen er negtiv for x < 0 og for x >. Den deriverte til funksjonen er positiv for 0< x <. Det etyr t funksjonen synker frm til x = 0 og stiger til x =, før den synker igjen. Vi ser t dette stemmer med figuren til høyre, ltså gx. ( ) 6.58 Fr fortegnslinj ser vi t vi må h en grf som synker mot et unnpunkt i x = før den stiger igjen. Grfen kn dermed se slik ut: Fr fortegnslinj ser vi t vi må h en grf som stiger mot et toppunkt i x = før den synker mot et unnpunkt i x = 4. Deretter stiger grfen igjen. Grfen kn se slik ut: 6.59 f ( x) er positiv frm til x =. Deretter er den negtiv. Fortegnslinj til f ( x) lir d Aschehoug Side 6 v 78

27 f ( x) er positiv for x < og x >. Den er negtiv for < x <. Fortegnslinj lir d 6.60 f( x) = x + x f ( x) = x+ f ( x) = 0 for x =,5. Fortegnslinj lir d f x = x + x f x = x + x ( ) 5 ( ) = xx ( ) c f x x x ( ) = + + = + f ( x) x 6x = xx ( ) f( x) = x x + x f ( x) = x 4x+ d Vi fktoriserer ved hjelp v nullpunktfktorisering Aschehoug Side 7 v 78

28 x f ( x) = 0 4x+ = 0 ± x = ( 4) ( 4) 4 4 ± 6 x = 4± x = x= x= f ( x) = ( x )( x ) 6.6 f x x x f ( ) = + + () = + + = = Tngeringspunktet er (, ). f ( x) = x+ f () = + = 4+ = Stigningstllet er. Likningen for tngenten lir d y = ( x ) y = x+ 4 y = x+ 7 Med GeoGer: Vi tegner grfen. Vi skriver Tngent[,f]. Vi ser v figuren t dette stemmer med resulttet vi fikk uten hjelpemidler. Aschehoug Side 8 v 78

29 Med CAS: f x x x f ( ) = + 4 () = + 4= = 6 Tngeringspunktet er (, 6). f ( x) = x+ f () = + = 4+ = 7 Stigningstllet er 7. Likningen for tngenten lir d y 6 = 7( x ) y 6 = 7x 4 y = 7x 8 Med GeoGer: Vi tegner grfen. Vi skriver Tngent[,f]. Vi ser v figuren t dette stemmer med resulttet vi fikk uten hjelpemidler. Aschehoug Side 9 v 78

30 Med CAS: c f x x x f ( ) = () = + + 5= = Tngeringspunktet er (, ). f ( x) = 4x+ f () = 4 + = 8+ = 7 Stigningstllet er. Likningen for tngenten lir d y ( ) = 7( x ) y+ = 7x+ 4 y = x+ Med GeoGer: Vi tegner grfen. Vi skriver Tngent[,f]. Vi ser v figuren t dette stemmer med resulttet vi fikk uten hjelpemidler. Aschehoug Side 0 v 78

31 Med CAS: 6.6 f x x x ( ) = + f ( x) = x+ f( x) = x + x f x = x + x= x x+ ( ) 6 ( ) c ( ) f x = x x + f x = x x= x x+ ( ) 4 ( 4) 6.6 Vi leser v grfen t g hr nullpunktene x= 0 x= 4. g er positiv for x < 0 og x > 4. g er negtiv for 0< x < 4. Grfen til g synker frm til x =. Deretter stiger den. Det gir fortegnslinj for g ( x) : Aschehoug Side v 78

32 4 Vi leser v figuren t tngenten i punktet (, ) er. gx ( ) = x 4x g ( x) = x 4 c Nullpunktene til g: gx = x = xx ( ) 4 ( 4) gx ( ) = 0 xx ( 4) = 0 x= 0 x= 4 Fortegnslinj til gx: ( ) Fortegnslinj til g ( x) : g ( x) = x 4 g ( x) = 0 x = Stigningstllet til tngenten er gitt ved den deriverte til funksjonen i tngeringspunktet. g ( x) = x 4 g () = 4 = 6 4 = Aschehoug Side v 78

33 6.64 Funksjonen synker frm til x =. Deretter stiger den. Grfen kn se slik ut: Løsninger til oppgvene i ok 6.65 Funksjonen synker for x < og x >. Den stiger for < x <. Grfen til funksjonen kn se slik ut: 6.66 Grfen til f stiger for < x <. Den synker for x < og x > f ( x) = x 4 x, > 0 f ( x) = x 4 = x ( ) Aschehoug Side v 78

34 Vi ser t x-verdien til unnpunktet er uvhengig v. Fortegnslinj lir Løsninger til oppgvene i ok 6.68 c Vi skriver Tngent[4,f] og finner Likningen for tngenten til f i punktet ( 4, (4)) I CAS: f er y = 4x Vi ser v grfen t f stiger for x < 0 og x >. Den synker for 0< x <. Det gir følgende fortegnslinje for f ( x) : Tngenten til grfen hr negtivt stigningstll der grfen synker. Det er i intervllet 0,. Aschehoug Side 4 v 78

35 c Funksjonsverdien i toppunktet er. Tngenten her er dermed vnnrett linje, med likningen y =. Den vil skjære grfen i lle punkter hvor f( x ) =. Vi ser t dette er i punktet (, ). d f ( x) hr sin minste verdi når grfen synker rttest. Det skjer mellom topp- og unnpunktet, dvs. i x = Vi leser v grfen t f ( x) er positiv for x < og x > 0 og negtiv for < x < 0. Det etyr t grfen til f må stige frm til x =, deretter synke frm til x = 0, og deretter stige igjen. I tillegg må grfen skjære y-ksen i y =. Grfen kn se slik ut: 6.7 f( x) = x x x+ f ( x) = x x Vi fktoriserer ved hjelp v nullpunktfktorisering: x f x = x x 0 ( ) f ( x) = 0 x = ± x = ( ) ( ) 4 ( ) ± x = 4 ± 5 x = 4 x= x= f ( x) = x+ x ( ) Aschehoug Side 5 v 78

36 Vi tegner fortegnslinje: Grfen stiger for x < og x >. Grfen synker for < x <. 6.7 Vi leser v fortegnslinj t grfen hr nullunkter for x =, x = og for x =7. Grfen stiger for x < 0 og for x > 5 og synker for 0< x < 5. Grfen til f kn dermed se slik ut: 6.7 For å finne tngenter i CAS trenger vi funksjonen og x-verdien til tngeringspunktet. Tngeringspunktet hr x-verdien som løser likningen f ( x) = 5. Først må vi ltså løse den likningen. Deretter må vi finne tngenten til f i dette punktet. Vi ruker CAS til egge: Aschehoug Side 6 v 78

37 Tngenten til f med stigningstll 5 hr likningen y = 5x For å finne tngenter i CAS trenger vi funksjonen og x-verdien til tngeringspunktet. Tngeringspunktene hr x-verdiene som løser likningen f ( x) = 5. Først må vi ltså løse den likningen. Deretter må vi finne tngenten til f i egge tngeringspunktene. Vi ruker CAS til egge: Tngentene til f med stigningstll 5 hr likningene y = 5x 4 og 8 y = 5x. Aschehoug Side 7 v 78

38 6.75 f x x x ( ) = + + 5, < 0 = + f ( x) x 6x = x( x + ) Siden < 0, så vil den idr med en negtiv linje i fortegnslinj: 6.76 f( x) = x x = f ( x) x 4x = x(x 4) f( x ) minker i 4 0,. Grfen synker i dette intervllet. f( x ) vokser i,0 og 4,. Grfen stiger i egge intervllene. f (0) = 0 0 = 0 Mksimlpunkt: 0. Mksimlverdi: f = 64 6 = = = = Minimlpunkt: 4 Minimlverdi: 7 Aschehoug Side 8 v 78

39 d Toppunkt: ( 0,0 ) Bunnpunkt: e Vi lger verditell og tegner grfen: x 0 f( x) 0 0 4, f( x) = x 6x + 9x f x = x x+ ( ) 9 x = x x+ ( 4 ) ( 4 ) 0 x f ( x) = 0 x+ = 4x+ = 0 ± x = ( 4) ( 4) 4 4 ± 6 x = 4± x = x= x= f ( x) = ( x )( x ) Vi tegner fortegnslinje: Aschehoug Side 9 v 78

40 f( x ) minker i,. Grfen synker i dette intervllet. f( x ) vokser i, og,. Grfen stiger i egge intervllene. Toppunkt i (, f () ) c f () = = 6+ 9= 4 Toppunkt i (, 4) Bunnpunkt i (, f ()) f () = = = 0 Bunnpunkt i (, 0) Vi lger verditell og tegner grfen: x 0 4 f( x) f x x x ( ) = + = + f ( x) x 6x = xx ( ) Aschehoug Side 40 v 78

41 f( x ) minker i,0 og,. Grfen synker i egge intervllene. f( x ) øker i 0,. Grfen stiger i dette intervllet. f () = + = 8 + = Mksimlpunkt:. Mksimlverdi: f (0) = = Minimlpunkt: 0. Minimlverdi: d Toppunkt: (, ) Bunnpunkt: ( 0, ) e Vi lger verditell og tegner grfen: x f( x) 6.79 f( x) = x x 8, D f = [ 4, 8] f ( x) = x = ( x ) f ( x) = 0 ( x ) = 0 x = Aschehoug Side 4 v 78

42 Grfen stiger når x, 8] og synker når x [ 4,. Bunnpunkt i (, f () ) f () = 8 = 9 Bunnpunkt i (, 9) Vi undersøker rndpunktene: f = ( 4) ( 4) ( 4) 8 = = 6 Toppunkter i ( 4,6) og ( 8, 40 ) f = (8) (8) 8 8 = = 40 Asolutt mksimum: y = 40. Asolutt minimum: y = 9 Skjæring med y-ksen i f (0) f (0) = = 8 Skjæring med y-ksen i (0, 8) Skjæring med x-ksen der f( x ) = 0 x f( x) = 0 x 8= 0 ± x = ( ) ( ) 4 ( 8) ± 4 + x = ± 6 x = x= x= 4 Skjæring med x-ksen i (, 0) og i (4, 0) f x x x D f ( ) = + + 8, =, 5] f ( x) = x+ = ( x ) Grfen stiger når x, og synker når x, 5]. Toppunkt i (, f () ) f () = = 9 Aschehoug Side 4 v 78

43 Toppunkt i (,9 ) Vi undersøker rndpunktet: f (5) = = = 7 Bunnpunkt i ( 5, 7) Asolutt mksimum: y = 9. Asolutt minimum: y = 7 Skjæring med y-ksen i f (0) f (0) = = 8 Skjæring med y-ksen i (0, 8) Løsninger til oppgvene i ok Skjæring med x-ksen: Siden funksjonen i oppgve er gnger funksjonen i oppgve, vil den h smme nullpunkter. (Et ndregrdsuttrykk multiplisert med en konstnt endrer ikke nullpunktene.) Skjæring med x-ksen i (, 0) og i (4, 0) f x = x x + x x f x = x x+ ( ) 9, 0, 4] ( ) 6 9 = ( x ) Grfen hr et terssepunkt i (, f ()). f = + = = 9 () 9 Terssepunkt i (,9 ) Vi undersøker rndpunktet: Aschehoug Side 4 v 78

44 f = + 64 = (4) = = = Funksjonen hr et toppunkt i 8 4,. 6.8 A Snn. Se figuren for mulig grf: B Snn. Se figuren for mulig grf: C Snn. Se figuren for mulig grf: Aschehoug Side 44 v 78

45 D Snn. Se figuren for mulig grf: 6.8 x f x = x x ( ) 8 Nullpunkter der f( x ) = 0 x 8= 0 ± x = ( ) ( ) 4 ( 8) ± 4 + x = ± 6 x = x= x= 4 f ( x) = x = ( x ) c Bunnpunkt i (, f () ) f () = 8 = 9 Bunnpunkt i (, 9) 6.8 f x = x x+ D f = ( ) 4,, 6] Nullpunkter der f( x ) = 0 Aschehoug Side 45 v 78

46 x x+ 4= 0 ± x = ( ) ( ) 4 4 x = ± 9 8 x = ± x= x= 4 Nullpunktene er x = og x = 4. Grfen til f skjærer ndreksen i f (0). f = + = (0) Skjæringspunkt med y-ksen: (0, 4) c f ( x) = x Grfen hr et unnpunkt i x =. f () = = 9+ 4= Bunnpunkt:, Toppunkt i rndpunktet x = 6 f (6) = = = 4 Toppunkt: ( 6,4 ) Aschehoug Side 46 v 78

47 d Skisse v grfen: 6.84 f x x x xx ( ) = + 4 = ( + 4) Vi ser t nullpunktene er x = 4 og x = 0. f ( x) = x+ 4 = ( x+ ) c Vi lger verditell og tegner grfen: x f( x) Aschehoug Side 47 v 78

48 d Skjæringspunktene er der f( x) = gx ( ). x x x x + 4 = + + x = 0 4 ( ) ± x = ± 4 + x = ± 4 x = x= x= g( ) = ( ) + = 6 + = g() = + = + = 5 f og g skjærer hverndre i (, ) og i (, 5) Nullpunktene er x = og x =. Grfen til f er positiv for x <. Grfen til f er negtiv for < x < og x >. Vi leser v grfen t f hr toppunkt i (, 0) og unnpunkt i (, 8). 4 Grfen til f stiger for < x <. Grfen til f synker for x < og x >. Aschehoug Side 48 v 78

49 Det gir følgende fortegnslinje for f ( x) : 5 f( x) vokser for < x <. f( x ) minker for x < og x >. f x x x ( ) = f x = x + = x = x+ x ( ) 6 6 6( ) 6( )( ) Vi tegner fortegnslinje: f( x ) vokser for < x <. f( x ) minker for x < og x > Grfen til f hr toppunkt i (, f () ). f () = + 6 4= + 6 4= 0 Toppunkt: (, 0) Grfen til f hr unnpunkt i (, f ( ) ). f ( ) = ( ) + 6 ( ) 4 = 6 4 = 8 Bunnpunkt: (, 8) c Funksjonens lokle mksimumsverdi er Funksjonens lokle minimumsverdi er 8. f( x) = x x f x = x x= xx ( ) ( ) Vi tegner fortegnslinje: Aschehoug Side 49 v 78

50 Grfen til f stiger for x < 0 og x >. Grfen til f synker for 0< x <. Toppunkt i ( 0, f (0)) f = = (0) Toppunkt: (0, 0) Bunnpunkt i (, f () ) f () = = = Bunnpunkt:, Skisse v grfen: 6.87 f x x x 4 ( ) = + Grfen skjærer y-ksen i Skjæringspunkt med y-ksen: (0, ) 4 f (0) = =. Vi tegner grfen i GeoGer. Vi setter v linj y =. Vi skriver Skjæring[f,] og finner skjæringspunktene. Aschehoug Side 50 v 78

51 c f( x ) = for x= 0, 5 x=,6 Vi definerer funksjonen i CAS og løser f( x ) = : d f( x ) = for x= 0, 5 x=,6 Vi definerer funksjonen og finner nullpunktet til den deriverte i CAS: Vi undersøker fortegnet til den deriverte på hver side v det stsjonære punktet. Aschehoug Side 5 v 78

52 Vi ser t f ( x) er negtiv for det stsjonære punktet, og positiv etter. Punktet er ltså et nullpunkt. f( x ) hr et unnpunkt i (0,794, 0,9) Opplysningene gir følgende fortegnslinje: Funksjonen hr et toppunkt for x = og et unnpunkt for x = Grfen til f stiger når x < og når x > 5. Grfen til f synker når < x < 5 Vi definerer funksjonen i CAS og løser likningen f (4) = 8 med hensyn på : Vi m h = 0 for t f (4) = f x x x x x 4 ( ) = = ( ) Skjæring med y-ksen: 4 f (0) = 0 0 = 0 Grfen skjærer y-ksen i (0, 0). Aschehoug Side 5 v 78

53 Grfen skjærer x-ksen der f( x ) = 0. x ( x ) = 0 x = 0 x = 0 x= 0 x = x= 0 x= Skjæringspunkter med x-ksen: (0, ), (0, 0) og (0, ). = = 4 xx ( ) = 4 xx ( + )( x ) f ( x) 4x 4x Grfen til f stiger for < x < 0 og x >. Grfen til f synker for x < og 0< x <. Grfen hr et toppunkt i ( 0, f (0)). 4 f (0) = 0 0 = 0 Toppunkt: (0, 0) Grfen hr unnpunkter i (, f ( ) ) og i (, () ) f. d f 4 ( ) = ( ) ( ) = = f 4 () = = = Bunnpunkter: (, ) og (, ) g( x) = x For t grfen til g skl gå gjennom unnpunktene til f, så må vi h g( ) = f( ) = ( ) = Vi sjekker t dette stemmer med det ndre unnpunktet til f: g() = f() = = Vi ser t dersom =, så vil grfen til g gå gjennom unnpunktene til f. Aschehoug Side 5 v 78

54 6.9 f x = x x D f = ( ) 6, [, ] f x = x ( ) 6 6 = x 6( ) = 6( x+ )( x ) Vi ser v fortegnslinj t grfen hr et toppunkt i x = og i rndpunktet x =. Grfen til f hr unnpunkt i x = og i rndpunktet x =. f f ( ) = ( ) 6 ( ) = + 6 = 4 f f () = 6 = 6 = 4 () = 6 = 6= 4 ( ) = ( ) 6 ( ) = 6 + = 4 Toppunkter: (, 4) og (, 4) Bunnpunkter: (, 4) og (, 4) Se fortegnslinj i oppgve. c Grfen til f stiger for x < og x >. Grfen til f synker for < x <. Vi ruker informsjonen om topp- og unnpunkter til å tegne skissen: 6.9 Vi vet t f () =, og t f ( x) =. Det etyr t grfen er en rett linje som går gjennom punktet (, ) og hr stigningstll. Fr x = til x = er x = ( ) = 5. Aschehoug Side 54 v 78

55 Endringen i y er d ( ) 5 = 5. Grfen hr sunket med 5. Det etyr t f( ) = f() ( 5) = + 5= 7 f ( ) = 7 Løsninger til oppgvene i ok Vi ruker ettpunktsformelen for å finne likningen til en rett linje gjennom (, ( )) stigningstll. Her er punktet (, ), og = f ( x) =. f( x) f( x) = ( x x) f( x) = ( x ) f( x) = x+ + f( x) = x+ 5 x f x med 6.9 f( x) = x + x+ Dette er en ndregrdsfunksjon med topppunkt, så vi må først finne x-verdien som gir f ( x) = 0, og deretter estemme slik t funksjonsverdien i toppunktet er 5. Vi ruker CAS til å definere funksjonen og løse likningene: Funksjonsverdien i toppunktet er 5 dersom = Vet t f (0) = 4, f ( ) = 0 og f (4) = 0. Dette definerer en ndregrdsfunksjon entydig. Vi klrer oss dermed uten resten v opplysningene. Vi setter opp og løser i CAS: Aschehoug Side 55 v 78

56 f x x x ( ) = = f ( x) x 4x Vi må først finne x-verdien som gir t f ( x) = 0, og deretter estemme slik t funksjonsverdien i ekstremlpunktet er. Vi setter opp og løser i CAS: Med en negtiv får vi en ndregrdsfunksjon med toppunkt, som stemmer med krvene i oppgven. Dersom =, så er funksjonsverdien i toppunktet Ox = x + x D O = O ( x) = 0,x+ 45 O (00) = 0, = = 5 kr/enhet O (50) = 0, = = 0 kr/enhet ( ) 0, , 50, 600 Overskuddet øker med 5 kr/enhet ved produksjon v 00 enheter, og det øker med 0 kr/enhet ved produksjon v 50 enheter. O ( x) = 0,x+ 45 = 0,( x 450) Vi tegner fortegnslinje: Vi ser t overskuddsfunksjonen hr et toppunkt for x = 450. O (450) = 0, = 0, = = 95 Aschehoug Side 56 v 78

57 Overskuddet lir størst ved produksjon v 450 enheter. Det største overskuddet er på 95 kr Inntekt må være pris per solgte enhet gnget med ntll solgte enheter. Ix ( ) = x px ( ) = x (50 0,0 x) = = 50x 0, 0 x DI [000, 4000] I ( x) = 50 0,0x I ( x) = , 0x = 0 x = 500 Vi ser t inntekten hr et toppunkt for x = 500 I (500) = , = , = = Inntekten lir størst ved produksjon v 500 enheter. Den største inntekten er på kr. c p (500) = 50 0, = 50 5 = Den største inntekten oppnås ved en pris på 5 kr. I det nye rektnglet er sidene henholdsvis (4 + x) dm og (8 x) dm. Arelet v et rektngel er gitt ved lengde gnger redde. Arelet v det nye rektnglet lir dermed Ax ( ) = (4 + x)(8 x) = 4x+ 8x x = + + x 4x Vi ruker CAS til å løse A ( x) = 0 for å finne størst rel. Aschehoug Side 57 v 78

58 Arelet er størst når x = dm. Arelet er d Volumet er gitt ved grunnflte gnger høyde. 6 dm. Vi ruker CAS og finner et uttrykk for volumet, og når det er størst: Vi forkster negtiv løsning d volum er en positiv størrelse. Volumet lir størst når x = 4,86 dm Vi definerer funksjonene i CAS og eregner: Siden I ( x) > K ( x), vil inntekten øke mer enn kostnden ved en produksjonsøkning. Det lønner seg å øke produksjonen. Aschehoug Side 58 v 78

59 Vi eregner i CAS: Siden I ( x) < K ( x), vil kostnden øke mer enn inntekten ved en produksjonsøkning. Det lønner seg ikke å øke produksjonen. Vi setter opp I ( x) = K ( x) og løser i CAS. Vi eregner deretter overskuddet: Overskuddet er størst når det produseres og selges 00 enheter. Overskuddet er d 000 kr Inntekt er pris per enhet gnger ntll solgte enheter. I( x) = 50x I ( x) = 50 O ( x) = x+ 50 I ( x) = Ox = x + 50 x = 00 O(00) = I(00) K(00) = (0, ) = ( ) = 000 Overskuddet er størst ved produksjon og slg v 00 enheter. Overskuddet er d 000 kr. Vi tegner grfen i GeoGer og ruker Nullpunkt[O] til å finne når produksjonen går med overskudd. Se figuren. Aschehoug Side 59 v 78

60 Produksjonen går med overskudd ved x [, 987], ltså 987 skistver per dg. Vi ruker Ekstremlpunkt[O]. c d Overskuddet er størst ved produksjon v 500 skistver. Overskuddet er d på 9500 kr. Ox = x + x ( ) 0, O ( x) = 0,08x+ 40 Vi ruker CAS: Overskuddet er størst ved produksjon v 500 skistver. Overskuddet er d på 9500 kr. Aschehoug Side 60 v 78

61 6.0 A= l l = x = (0 x) Ax = x x = x + x ( ) (0 ) 0 Løsninger til oppgvene i ok Vi må h 0 < x < 0 for å få et reelt rektngel. Dersom x lir mindre enn null eller større enn 0, vil en v sidene i rektnglet få en negtiv lengde. c A ( x) = x+ 0 A ( x) = 0 x + 0 = 0 x = 0 A(0) = = Arelet er størst når x = 0. D er området kvdrtisk. Inntekt må være pris per solgte enhet gnget med ntll solgte enheter. Ix ( ) = x px ( ) = x (00 0, 08 x) = = 00x 0, 08 x DI [600, 400] I ( x) = 00 0,6x c I ( x) = ,6x = 0 x = 50 p (50) = 00 0, = = 00 Den største inntekten oppnås ved en produksjon på 50 enheter og en pris på 00 kr. Aschehoug Side 6 v 78

62 6.04 Vi definerer funksjonene i CAS og løser: Kostndene ved produksjon v 500 enheter er på kr. Inntektene ved produksjon v 500 enheter er på kr. Overskuddet ved en produksjon på 500 enheter er på kr. Overskuddet er gitt ved inntekt minus kostnd. Ox ( ) = Ix ( ) Kx ( ) = x + x x + x+ 0, 000 (0, ) = x + x 0, Vi tegner funksjonen i GeoGer og ruker Ekstremlpunkt[O]. Vi leser v grfen t overskuddet er størst ved en produksjon på 47 enheter. Overskuddet er d på kr. Aschehoug Side 6 v 78

63 d O ( x) =, x+ 500 O ( x) = 0, x = x = 47, Overskuddet er størst ved en produksjon på 47 enheter. e I ( x) = K ( x) 0, 6x+ 000 = 0, 6x+ 500, x = x = 47, Overskuddet er størst ved en produksjon på 47 enheter Ox ( ) = Ix ( ) Kx ( ) = x + x x + x+ 0, 0 80 (0, ) Ox = x + x ( ) Vi finner ekstremlverdiene til O i CAS: Overskuddet er størst ved en produksjon på 00 enheter. Overskuddet er d på 000 kr Ix ( ) = px ( ) x = (00 0, 05 x) x = + 0, 05x 00 Ox ( ) = Ix ( ) Kx ( ) x = x + x x + x+ 0, (0, ) = x + x 0, Aschehoug Side 6 v 78

64 O ( x) = 0,5x+ 50 O ( x) = 0 0,5x + 50 = 0 x = 500 Overskuddet er størst ved en produksjon på 500 enheter K ( x) = 0, x+ 4 K (00) = 0, = 4 Det vil koste c. 4 kr ekstr å øke produksjonen fr 00 til 0 enheter. K (80) = 0, = 0 Inntekten øker lltid med 0 kr per solgte enhet (grensekostnden er lltid 0 kr) Ved en økning fr en produksjon på 80, så vil utgiftene øke med c. 0 kr, mens inntektene vil øke med 0 kr. Det vil lønne seg å øke produksjonen. c K(80) = 960 K(80) 960 = = 5, Ved en produksjon på 80 enheter koster hver enhet c. 6 kr å produsere. Prisen må dekke dette og må ltså være minst 6 kr for t edriften skl gå i lnse f( x) = 0,5x+ f () = 0,5 + = + = c Det skrverte området er et rektngel med sideknter x og f( x ). Når x =, lir relet A = = A= l l = x = f( x) Ax ( ) = x ( 0,5x+ ) = 0,5x + x A ( x) = x+ A ( x) = 0 x = A () = 0,5 + = Det største relet området kn få, er. Aschehoug Side 64 v 78

65 6.09 A= l l = x = f( x) Ax ( ) = x x + = x + x Vi definerer funksjonen i CAS og finner ekstremlverdiene. Vi finner deretter funksjonsverdien til f for denne x-verdien: Vi forkster verdier utenfor definisjonsmengden. P hr koordintene (, ) når relet er størst mulig. D er relet. 6.0 Den korteste siden i plt er,0 m. Den skl eskjæres i hver knt. Dersom det ts vekk 0,5 m på hver side, er det ikke noe igjen v plt. Dersom det ikke ts vekk noe, får kvriet ingen sideknter. x 0, 0,5 V= lh l = x = x h= x V( x) = ( x)( xx ) = x x+ x x ( 4 4 ) = x x + x 4 6 Aschehoug Side 65 v 78

66 c Vi løser i CAS: d Vi eholder løsningen innenfor gyldighetsområdet. + V ( x) = 0 for x = 0, 6 Vi ruker CAS: Volumet er størst når x 0, m. D er volumet 0,9 m. 6. Overflten estår v to kvdrter med rel x x og fire rektngler med rel h x. Overflten er dermed Vi løser for h. x + hx = hx = 400 x 400 x h = 4x 4x 00 x h = x O x hx = + 4 = 400. x må være større enn 0 for t vi skl h et prisme. h må også være større enn 0. Vi ser på grensen h = 0. Aschehoug Side 66 v 78

67 h = 0 00 x = 0 x x 00 = x x = 00 x = 00 Vi må ltså h 0 < x < 00. Volumet er gitt ved V = lh l = = x 00 x h = x 00 x V( x) = x x = x + 00x x Vi deriverer for å finne toppunkt: x V x = x + V ( x) = 0 + = ( ) x = x = 8, V = Sniker mn til seg et hjelpemiddel her, så finner mn t volumet er størst når x 8,. D er volumet 544 cm og h 8,. 6. y = 9800 kx x = 0 y = k = k = 800 k = 80 Aschehoug Side 67 v 78

68 c Inntekten er pris per il gnger ntll psserte iler. I( x) = x y = x ( x) = + 80x 9800 x Vi definerer funksjonen i CAS og finner ekstremlverdiene: En pris på 7,50 kr gir størst inntekt for selskpet. Inntekten er d kr. Her ntr vi t de ønsker å øke prisen fr 7,50 kr til 0 kr. Vi smmenlikner I (0) og I (7,50) i CAS: En vekstfktor på 0,98 tilsvrer en nedgng i inntektene på %. Det er ltså en dårlig idé å sette opp prisen. 6. f( x) = 4x f( x+ x) = 4( x+ x) = 4x+ 4 x f( x) = f( x+ x) f( x) = 4x 4 x (4x ) = 4 x f( x) 4 x c = = 4 x x Dette er den deriverte v f. 6.4 f( x) = x f( x+ x) = ( x+ x) = x + x x + x ( ( ) ( ) ) = x + 6 x ( x) + ( x) Aschehoug Side 68 v 78

69 c f( x) = f( x+ x) f( x) = x + 6 x ( x) + ( x) x = 6 x ( x) + ( x) f( x) 6 x ( x) + ( x) = = 6x+ x x x f( x) lim = 6x+ x= 6x x x 0 Dette er den deriverte v f. 6.5 f( x) = x+ f( x+ x) = ( x+ x) + = x x+ f( x) = f( x+ x) f( x) = x x+ ( x+ ) = x f( x) x c = = x x Dette er den deriverte v f. 6.6 c f( x) = x f( x+ x) = ( x+ x) = + + ( x x ( x) ( x) ) = x + 4 x ( x) + ( x) f( x) = f( x+ x) f( x) = x + 4 x ( x) + ( x) x = 4x x+ ( x) f( x) 4 x ( x) + ( x) = = 4x+ x x x f( x) lim = 4x+ x= 4x x x 0 Dette er den deriverte v f. Aschehoug Side 69 v 78

70 6.7 f( x) x x = + f x x x x x x ( + ) = ( + ) + ( + ) x x ( x) ( x) x x = f( x) = f( x+ x) f( x) ( x x ( x) ( x) x x) ( x x) = x x ( x) ( x) x x x x = = ( ) + ( ) + x x x x = x (x+ x+ ) f( x) x (x+ x+ ) = = x+ x+ x x f( x) f ( x) = lim x 0 x = lim x+ x+ = x+ x 0 f ( x) = x+ f x = x + x ( ) f x+ x = x+ x + x+ x ( ) ( ) ( ) = x x x x + x+ x 4 ( ) ( ) f( x) = f( x+ x) f( x) ( x 4 x ( x) ( x) x x ) ( x x ) = = x x x x + x+ x + x + x 4 ( ) ( ) = 4 ( ) ( ) + x x x x = x ( 4x x+ ) f( x) x ( 4x x+ ) = = 4x x+ x x f( x) f ( x) = lim x 0 x = lim 4x x+ = 4x+ x 0 f ( x) = 4x+ Aschehoug Side 70 v 78

71 c f( x) = x f( x+ x) = ( x+ x) = x + x ( x) + x ( x) + ( x) f( x) = f( x+ x) f( x) = x + x ( x) + x ( x) + ( x) x = x ( x) + x ( x) + ( x) = x x + x x + x ( ( ) ( ) ) f( x) x (x + x ( x) + ( x) ) = = x + x ( x) + ( x) x x f( x) f ( x) = lim x 0 x = limx + x ( x) + ( x) = x x 0 f ( x) = x 6.8 ( ) = + + f x x x c f x+ x = x+ x + x+ x + c ( ) ( ) ( ) = + ( ) + ( ) x x x x x x c f( x) = f( x+ x) f( x) ( x x ( x) ( x) x x c) ( x x c) = = + ( ) + ( ) x x x x x x c x x c = ( ) + ( ) + x x x x = x ( x + ( x) + ) f ( x) x ( x + ( x) + ) = = x + ( x) + x x f( x) f ( x) = lim x 0 x = lim x + ( x) + = x + x 0 f ( x) = 4x+ 6.9 Her må du fktisk ut på Internett eller gå på ilioteket og finne svret selv. Så det så. Aschehoug Side 7 v 78

72 Kpitteltest Del Uten hjelpemidler Oppgve f x = x + x ( ) + = f( x x) ( x x) x x = + ( ) + ( ) + + x x x x x x f( x) = f( x+ x) f( x) ( x x ( x) ( x) x x) ( x x) = = + ( ) + ( ) + + x x x x x x x x = ( ) + ( ) + x x x x = x (x+ x+ ) f( x) x (x+ x+ ) = = x+ x+ x x f( x) f ( x) = lim x 0 x = lim x+ x+ = x+ x 0 f ( x) = x+ Oppgve f ( x) = 5 f ( ) = 5 f ( x) = x 6 7 f ( ) = ( ) = = = g () x = x + x= 6x + x g = + = = c ( ) 6 ( ) ( ) 6 5 Oppgve Fortegnslinj viser t f ( x) er positiv i, intervllene. og i,. Grfen til f stiger i egge Aschehoug Side 7 v 78

73 f ( x) er negtiv i,. Grfen til f synker i dette intervllet. Grfen hr et unnpunkt for x = og et toppunkt for x =. Grfen til f kn se slik ut: Oppgve 4 Vi leser v grfen: f (0) =, 0 og f (,5) = 0, Den gjennomsnittlige vekstfrten er f( t) f(,5) f(0) (0, ) grm 0,9 grm = = = = 0,6 grm/time t,5 0,5 timer,5 timer Svret forteller t mengden rdioktivt stoff i preprtet vtr med i gjennomsnitt 0,6 grm per time over dette intervllet. Vi leser v stigningstllet til tngenten på grfen: y 0,7 grm Momentn vekstfrt er = 0,78 grm/time. Dette forteller t mengden x 0,9 time rdioktivt stoff i preprtet er i ferd med å vt med 0,78 grm per time når t = 0,4. Aschehoug Side 7 v 78

74 Oppgve 5 Ox ( ) = Ix ( ) Kx ( ) Ox ( ) = ( 0,5x + 4 x) (0,5x + 4x+ ) = 0,5x + 4x 0,5x 4x Ox ( ) = x + 0x Løsninger til oppgvene i ok Bedriften går med overskudd når Ox ( ) > 0. Vi løser ulikheten etter metode fr kpittel. x + x = 0 0 ± x = ( ) ( ) ( ) 0 ± = 0 ± 6 = 0 ± 4 = x= x= 7 Vi fktoriserer ved hjelp v nullpunktmetoden og lger fortegnslinj: Ox ( ) = ( x )( x 7) Vi ser v fortegnslinj t produksjonen går med overskudd for < x < 7, dvs. ved en produksjon på flere enn 000 og færre enn 7000 enheter per måned. c Vi finner største overskudd ved å drøfte Ox: ( ) O ( x) = x+ 0 Vi lger fortegnslinje for O : Vi ser v fortegnslinj t O hr ett toppunkt for x = 5. O (5) = = = 4 Produksjonen kn mksimlt gi et overskudd på 4000 kr. Dette skjer ved en produksjon på 5000 enheter. Aschehoug Side 74 v 78

75 Oppgve 6 f( x) = x + x, D = [, Vi fktoriserer og finner nullpunkter: f f x x x xx xx x f( x) = 0 ( ) = + = ( ) = ( + )( ) x= 0 x= x= x = ligger utenfor definisjonsmengden til funksjonen. Nullpunktene til f er dermed x = 0 og x =. Vi deriverer f, fktoriserer og tegner fortegnslinje: f ( x) = x + f ( x) = 0 x + = 0 x = 6 x =± =± =± 6 6 f ( x) = x+ x 6 6 Vi ser v fortegnslinj t f hr ett unnpunkt for x = og et topppunkt for x =. I tillegg synker grfen etter x =. Altså må grfen h en topp for rndpunktet x = også f = + = = = f = + = = + = f ( ) = ( ) + ( ) = = Aschehoug Side 75 v 78

76 Bunnpunkt: 6 4 6, 9 Toppunkter: (, ) og c Ekstremlpunkter:, d Ekstremlverdier:, 6 4 6, 9 6 og og Aschehoug Side 76 v 78

77 Del Med hjelpemidler Oppgve 7 Det mrkerte området er en treknt. Vi lr grunnlinj g være linjestykket prllelt med x-ksen, og høyden h er linjestykket prllelt med y-ksen. Grunnlinj hr d lengden x, mens høyden hr lengden f( x ). y Vi ser v figuren t linj skjærer y-ksen i y = og hr en stigning på = =. x Vi finner d t f( x) = x+. g h A = x f( x) x ( x+ ) x + x Ax ( ) = = = = x + x Vi løser i CAS: Arelets største mulige verdi er 9 6 0,56. Oppgve 8 Inntekt er pris per enhet gnger ntll solgte enheter. I( x) = x p( x) = x ( 0,5x+ 00) I( x) = 0,5x + 00x Ox ( ) = Ix ( ) Kx ( ) Vi definerer og tegner denne funksjonen i GeoGer og ruker Nullpunkt[O] for å finne når edriften går med overskudd. Se figuren. Aschehoug Side 77 v 78

78 Produksjonen går med overskudd når edriften produserer mellom 07 og 6 enheter. c d Vi ruker Ekstremlpunkt[O] og finner t edriftens største mulige overskudd er på 96 kr. Overskuddet er størst ved produksjon v 6 enheter. D er prisen 9,50 kr per enhet. Aschehoug Side 78 v 78

1T kapittel 3 Funksjoner Løsninger til oppgavene i læreboka

1T kapittel 3 Funksjoner Løsninger til oppgavene i læreboka 1T kpittel 3 Funksjoner Løsninger til oppgvene i læreok Oppgve 3.1 Origo er skjæringspunktet mellom førsteksen og ndreksen. Koordintene til origo er ltså (0, 0). Førstekoordinten til punktet A er 15, og

Detaljer

S1 kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka

S1 kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka S1 kpittel 8 Eksmenstrening Løsninger til oppgvene i læreok E1 995 995 5 + 5 (995 5) (995 + 5) + 5 990 1000 + 5 990 000 + 5 990 05 E E (61+ 9) 51 49) (51+ 49) 61 9 (61 9) 51 49 ( 100 100 11 1997 00 199

Detaljer

1P kapittel 3 Funksjoner

1P kapittel 3 Funksjoner Løsninger til oppgvene i ok 1P kpittel 3 Funksjoner Løsninger til oppgvene i ok 3.1 Origo hr koordintene (0, 0). Vi finner koordintene til punktene ved å lese v punktets verdi på x-ksen og y-ksen. A =

Detaljer

2P kapittel 2 Funksjoner

2P kapittel 2 Funksjoner Løsninger til oppgvene i ok P kpittel Funksjoner Løsninger til oppgvene i ok.1 D f = [ 1, 6,5] V = [ 1,4] f V f. D f Vnnstnden kl. 16 er gitt i punktet A på figuren. Vnnstnden vr c. 190 cm. Aschehoug www.lokus.no

Detaljer

1T kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka

1T kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka T kpittel 8 Eksmenstrening Løsninger til oppgvene i lærebok Uten hjelpemidler E b c E b c Vi gnger vnlige tll med vnlige tll og tierpotenser med tierpotenser. Til slutt omformer vi svret så vi får et tll

Detaljer

DEL 1 Uten hjelpemidler

DEL 1 Uten hjelpemidler Eksmen høsten 013 Løsninger Eksmen høsten 013 Løsninger DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med centimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 150 sider Vi finner først hvor mnge

Detaljer

R1 kapittel 8 Eksamenstrening

R1 kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgvene i ok R kpittel 8 Eksmenstrening Løsninger til oppgvene i ok Uten hjelpemidler Oppgve E Hvis er et nullpunkt for De mulige nullpunktene for P, er konstntleddet 8 delelig med. P er

Detaljer

Integralregning. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne

Integralregning. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne 8 Integrlregning Mål for opplæringen er t eleven skl kunne gjøre rede for definisjonen v estemt integrl som grense for en sum og uestemt integrl som ntiderivert eregne integrler v de sentrle funksjonene

Detaljer

Eksempeloppgaver 2014 Løsninger

Eksempeloppgaver 2014 Løsninger DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med centimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 19 millirder 9 10 = 19 10 = 1,9 10 0,089 10 = 8,9 10 10 = 8,9 10 Oppgve 6 6 8 Prosentvis

Detaljer

YF kapittel 10 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka

YF kapittel 10 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka YF kpittel 10 Eksmenstrening Løsninger til oppgvene i læreok Uten hjelpemidler Oppgve E1 5 + 5 + 6 11 5 + 4 (5 + ) 5 + 4 7 10 6 + 8 d + ( + 1) 5 + 4 5 + 16 5 + 10 5 4 + 4 4 + 8 1 + + + + + + + + 49 49

Detaljer

Påbygging kapittel 4 Funksjoner 2 Løsninger til oppgavene i læreboka

Påbygging kapittel 4 Funksjoner 2 Løsninger til oppgavene i læreboka Påygging kpittel 4 Funksjoner Løsninger til oppgvene i læreok 4.1 D f = [ 1, 6,5] V = [ 1,4] f V f 4. D f Vnnstnden kl. 16 er gitt i punktet A på figuren. Vnnstnden vr c. 190 cm. Aschehoug www.lokus.no

Detaljer

Fasit. Grunnbok. Kapittel 2. Bokmål

Fasit. Grunnbok. Kapittel 2. Bokmål Fsit 9 Grunnbok Kpittel Bokmål Kpittel Lineære funksjoner rette linjer. ƒ(x) = 4x + 5 ƒ() = 3 ƒ(4) = ƒ(6) = 9.6 ƒ(x) = -x b ƒ(x) = x b ƒ(x) = (x + ) 3 ƒ() = ƒ(4) = 8 ƒ(6) = 4 ƒ(x) = x 4 ƒ() = - ƒ(4) =

Detaljer

S1 kapittel 4 Logaritmer Løsninger til oppgavene i boka

S1 kapittel 4 Logaritmer Løsninger til oppgavene i boka Løsninger til oppgvene i ok S kpittel 4 Logritmer Løsninger til oppgvene i ok 4. Vi leser v fr tllet 4 på y-ksen og ser t vi får den tilhørende verdien,6 på -ksen. lg 4,6 Vi leser v fr tllet,5 på y-ksen

Detaljer

2P kapittel 5 Eksamenstrening

2P kapittel 5 Eksamenstrening P kpittel 5 Eksmenstrening Løsninger til oppgvene i ok Uten hjelpemidler E1 3 4 0 3+ 4+ 0 7 = = = = 5 5 5 ( ) ( ) c d 7 5 3 3 3 3 6 4 3 6 4 3 3x x = 3 x x = 3 x x = 3 x = 3 x = 7x 1, 10 5,0 10 = 1, 5,0

Detaljer

S1 kapittel 5 Funksjoner Løsninger til oppgavene i boka

S1 kapittel 5 Funksjoner Løsninger til oppgavene i boka S1 kapittel 5 Funksjoner Løsninger til oppgavene i boka 5.1 a f( x) = 4x+ 0 I GeoGebra skriver vi f(x)=funksjon[-4x+0,-5,5]. Grafen viser at [ 0, 40] V =. f b gx ( ) =,5x+ 10 I GeoGebra skriver vi f(x)=funksjon[,5x+10,-10,4].

Detaljer

Kapittel 4 Tall og algebra Mer øving

Kapittel 4 Tall og algebra Mer øving Kpittel 4 Tll og lger Mer øving Oppgve 1 d Oppgve 2 Se på uttrykket A = g h. Hv forteller de ulike okstvene? Se på uttrykket A = 2π. Hv står de ulike symolene for? Forklr hv vi mener med en vriel og en

Detaljer

Integrasjon Skoleprosjekt MAT4010

Integrasjon Skoleprosjekt MAT4010 Integrsjon Skoleprosjekt MAT4010 Tiin K. Kristinslund, Julin F. Rossnes og Torstein Hermnsen 19. mrs 2014 1 Innhold 1 Innledning 3 2 Integrsjon 3 3 Anlysens fundmentlteorem 7 4 Refernser 10 2 1 Innledning

Detaljer

Mer øving til kapittel 2

Mer øving til kapittel 2 Mer øving til kpittel 2 KAPITTEL 2 GEOMETRI OG MÅLING Oppgve 1 Oppgve 2 Oppgve 3 Anne hr vært på ferie til sine esteforeldre fr 28. juni til 9. ugust. Hvor mnge dger hr hun vært på ferie? Fr hun kom hjem

Detaljer

... JULEPRØVE 9. trinn...

... JULEPRØVE 9. trinn... .... JULEPRØVE 9. trinn.... Nvn: Gruppe: DELPRØVE 1 uten hjelpemidler ( 37 poeng) På denne delprøven kn du re ruke skrivesker, psser og linjl. Alle oppgvene i del 1 skl føres rett på rket. I noen oppgver

Detaljer

R1 kapittel 1 Algebra

R1 kapittel 1 Algebra Løsninger til oppgvene i ok R1 kpittel 1 Alger Løsninger til oppgvene i ok Oppgve 1.1 1 8 4 ( ) 15 5 (4 ) 7 1 7 ( ) d ( )( ) ( 4)( ) ( ) ( 4) ( )( 1) Oppgve 1. 49 7 ( 7)( 7) 5 5 5 5 1y 75 (4y 5) ( y) 5

Detaljer

S2 kapittel 5 Vekstmodeller. Løsninger til oppgavene i boka Vi løser oppgaven i CAS i GeoGebra.

S2 kapittel 5 Vekstmodeller. Løsninger til oppgavene i boka Vi løser oppgaven i CAS i GeoGebra. Løsninger til oppgvene i ok S kpittel 5 Vekstmodeller Løsninger til oppgvene i ok 5. Vi løser oppgven i CAS i GeoGer. Veksten er lineær på formen y = x +. Vi ser t stigningstllet lir 59, og t konstntleddet

Detaljer

M2, vår 2008 Funksjonslære Integrasjon

M2, vår 2008 Funksjonslære Integrasjon M, vår 008 Funksjonslære Integrsjon Avdeling for lærerutdnning, Høgskolen i Vestfold. pril 009 1 Arelet under en grf Vi begynner vår diskusjon v integrsjon, på smme måte som vi begynte med derivsjon, ved

Detaljer

1 Mandag 1. mars 2010

1 Mandag 1. mars 2010 Mndg. mrs Fundmentlteoremet sier t integrsjon og derivsjon er motstte opersjoner. Vi hr de siste ukene sett hvordn vi på ulike måter kn derivere funksjoner i flere vrible. Nå er turen kommet til den motstte

Detaljer

Fag: Matematikk 1T-Y for elever og privatister. Antall sider i oppgaven: 8 inklusiv forside og opplysningsside

Fag: Matematikk 1T-Y for elever og privatister. Antall sider i oppgaven: 8 inklusiv forside og opplysningsside Loklt gitt eksmen 2012 Eksmen Fg: Mtemtikk 1T-Y for elever og privtister Fgkode: MAT1006 Eksmensdto: 25. mi Antll sider i oppgven: 8 inklusiv forside og opplysningsside Eksmenstid: Hjelpemidler under eksmen:

Detaljer

Sammendrag kapittel 1 - Aritmetikk og algebra

Sammendrag kapittel 1 - Aritmetikk og algebra Smmendrg kpittel 1 - Aritmetikk og lgebr Regneregler for brøker Utvide brøk: Gng med smme tll i teller og nevner. b = k b k Forkorte brøk: del med smme tll i teller og nevner. b = : k b : k Summere brøker:

Detaljer

YF kapittel 8 Rom Løsninger til oppgavene i læreboka

YF kapittel 8 Rom Løsninger til oppgavene i læreboka YF kpittel 8 Rom Løsninger til oppgvene i læreok Oppgve 809 Vi skl gå ett hkk mot venstre, og deler derfor med 10. 40 dl = (40 :10) L = 4 L Vi skl gå to hkk mot venstre, og deler derfor med 10 10 = 100.

Detaljer

... JULEPRØVE

... JULEPRØVE Ashehoug JULEPRØVE 2014 9. trinn.... JULEPRØVE 2014.... Nvn: Gruppe: DELPRØVE 1 uten hjelpemidler ( 37 poeng) På denne delprøven kn du re ruke skrivesker, psser og linjl. Alle oppgvene i del 1 skl føres

Detaljer

1 Tallregning og algebra

1 Tallregning og algebra Tllregning og lger ØV MER. REGNEREKKEFØLGE Oppgve.0 6 d) ( : 6) Oppgve. ( ) ( ) ()() ( ) ( ) ( ) () (6 ) () d) ( ) 7() ( ) Oppgve. 6 ( ) d) Oppgve. Med ett ddisjonstegn, ett sutrksjonstegn, ett multipliksjonstegn

Detaljer

R2 - Heldagsprøve våren 2013

R2 - Heldagsprøve våren 2013 Løsningsskisser HD R R - Heldgsprøve våren 0 Løsningsskisser Viktigste oppsummeringer: Må skrive med penn på eksmen! Slurv og regnefeil, både med tll og bokstver, er hovedproblemet. Beste måten å fikse

Detaljer

DELPRØVE 2 (35 poeng)

DELPRØVE 2 (35 poeng) DELPRØVE 2 (35 poeng) På denne delprøven er lle hjelpemidler tilltt. Alle oppgvene i del 2 skl føres på eget rk. Før svrene oversiktlig, slik t det går tydelig frm hvordn du hr løst oppgvene. Bruk penn.

Detaljer

2P kapittel 2 Modellering Løsninger til innlæringsoppgavene

2P kapittel 2 Modellering Løsninger til innlæringsoppgavene P kapittel Modellering Løsninger til innlæringsoppgavene.1 a c d e y = 4x+ 1 Stigningstallet er 4. Konstantleddet er 1. Linja skjærer altså y-aksen i punktet (0,1). y = 3x 4 Stigningstallet er 3. Konstantleddet

Detaljer

Fasit. Grunnbok. Kapittel 4. Bokmål

Fasit. Grunnbok. Kapittel 4. Bokmål Fsit Grunnok Kpittel 4 Bokmål Kpittel 4 Kvdrtiske funksjoner ndregrdsfunksjoner 4.1 Stigningstll Skjæring -kse Skjæring y-kse 4 ( 2, 0) (0, 8) 1 (1, 0) (0, 1) 1 (9, 0) (0, 3) 3 4.5 y = + = 0, y =, y =

Detaljer

5: Algebra. Oppgaver Innhold Dato

5: Algebra. Oppgaver Innhold Dato 5: Alger Pln resten v året: - Kpittel 6: Ferur - Kpittel 7: Ferur/mrs - Kpittel 8: Mrs - Repetisjon: April/mi - Eventuell offentlig eksmen: Mi - Økter, prøver, prosjekter: Mi - juni For mnge er egrepet

Detaljer

Påbygging kapittel 2 Funksjoner 1 Løsninger til oppgavene i boka

Påbygging kapittel 2 Funksjoner 1 Løsninger til oppgavene i boka Påygging kpittel 2 Funksjoner 1 Løsninger til oppgvene i ok 2.1 Origo hr koordintene (0, 0). Vi finner koordintene til punktene ved å lese v punktets verdi på x-ksen og y-ksen. A = (125,10) B = (0, 12,5)

Detaljer

Årsprøve 2014 10. trinn Del 2

Årsprøve 2014 10. trinn Del 2 2 Årsprøve 2014 10. trinn Del 2 Informsjon for del 2 Prøvetid: Hjelpemidler på del 2: Vedlegg: Andre opplysninger: Fremgngsmåte og forklring: Veiledning om vurderingen: 5 timer totlt Del 2 skl du levere

Detaljer

Terminprøve Matematikk Påbygging høsten 2014

Terminprøve Matematikk Påbygging høsten 2014 Terminprøve høsten 2014 Terminprøve Mtemtikk Påygging høsten 2014 DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med entimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 Regn ut 3 3 3 4 1 3 3 2

Detaljer

Mer øving til kapittel 3

Mer øving til kapittel 3 Mer øving til kpittel 3 KAPITTEL 3 FUNKSJONER Oppgve 1 Tegn et koordintsystem og merk v punktene (1, 5) d (3, 2) ( 2, 3) e ( 3, 5) (4, 0) f (0, 4) Oppgve 2 Hvilke koordintpr hr de ulike punktene i koordintsystemet?

Detaljer

Løsningsforslag for 1P høsten 2015

Løsningsforslag for 1P høsten 2015 Løsningsforslag for 1P høsten 015 Dette løsningsforslaget er mest en veiledning til hvordan oppgaven kan løses og forstås. Noen av forklaringene som er gitt kan greit utelates i en besvarelse. Del 1 Oppgave

Detaljer

2 Symboler i matematikken

2 Symboler i matematikken 2 Symoler i mtemtikken 2.1 Symoler som står for tll og størrelser Nvn i geometri Nvn i mtemtikken enyttes på lignende måte som nvn på yer og personer, de refererer eller representerer et tll eller en størrelse,

Detaljer

Terminprøve Matematikk for 1P 1NA høsten 2014

Terminprøve Matematikk for 1P 1NA høsten 2014 Terminprøve Mtemtikk for 1P 1NA høsten 2014 DEL 1 Vrer 1,5 time Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med entimetermål og vinkelmåler. Forsøk på lle oppgvene selv om du er usikker

Detaljer

9 Potenser. Logaritmer

9 Potenser. Logaritmer 9 Potenser. Logritmer Foret utregingene nedenfor: 5 5 c 6 7 d e 5 f g h i Regn ut og gjør svrene så enkle som mulige: c y y d e f g h i j y y + y + y + + y Prisen på en motorsg vr kr 56 i 99. Vi regner

Detaljer

Oppfriskningskurs i matematikk 2007

Oppfriskningskurs i matematikk 2007 Oppfriskningskurs i mtemtikk 2007 Mrte Pernille Htlo Institutt for mtemtiske fg, NTNU 6.-11. ugust 2007 Velkommen! 2 Temer Algebr Trigonometri Funksjoner og derivsjon Integrsjon Eksponensil- og logritmefunksjoner

Detaljer

Funksjoner og andregradsuttrykk

Funksjoner og andregradsuttrykk 88 4 Funksjoner og andregradsuttrykk Mål for opplæringen er at eleven skal kunne bruke matematiske metoder og hjelpemidler til å løse problemer fra ulike fag og samfunnsområder løse likninger, ulikheter

Detaljer

1 Algebra. 1 Skriv disse uttrykkene så enkelt som mulig: a) 2(a + 3) (3 + 3a) b) 2(1 a) + a(2 + a) c) 1 + 2(1 3a) + 5a d) 4a 3ab 2(a 5b) + 3(ab 2b)

1 Algebra. 1 Skriv disse uttrykkene så enkelt som mulig: a) 2(a + 3) (3 + 3a) b) 2(1 a) + a(2 + a) c) 1 + 2(1 3a) + 5a d) 4a 3ab 2(a 5b) + 3(ab 2b) Alger Skriv disse uttrykkene så enkelt som mulig c 5 d 5 Multipliser ut og gjør svrene så enkle som mulige c c c c d e f g h 5 i Regn ut 5 Regn ut og vis frmgngsmåten 5 c Regn ut og vis frmgngsmåten 5

Detaljer

1P kapittel 5 Funksjoner Utvalgte løsninger oppgavesamlingen

1P kapittel 5 Funksjoner Utvalgte løsninger oppgavesamlingen 1P kapittel 5 Funksjoner Utvalgte løsninger oppgavesamlingen 50 a Vi ser at grafen har et toppunkt i (11, 380). Det var altså flest besøkende 11. juni. Antall besøkende var da 380. b Vi ser at grafen har

Detaljer

S2 kapittel 3 Derivasjon Løsninger til kapitteltesten i læreboka

S2 kapittel 3 Derivasjon Løsninger til kapitteltesten i læreboka S kapittel 3 Derivasjon Løsninger til kapitteltesten i læreoka 3.A a h () t = 0,5 t = 0,5t Vannhøyden øker stadig raskere. c h (3) =,5 h (5) =,5 Etter 3 minutter øker vannhøyden med,5 cm per minutt. Etter

Detaljer

Tall i arbeid Påbygging terminprøve våren 2013

Tall i arbeid Påbygging terminprøve våren 2013 Tll i rei Påygging terminprøve våren 2013 DEL 1 Uten hjelpemiler Hjelpemiler: vnlige skrivesker, psser, linjl me entimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 Skriv tllene på stnrform. 1 0,000 00015 2 19,6 millirer

Detaljer

1P kapittel 8 Eksamenstrening

1P kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgvene i ok 1P kpittel 8 Eksmenstrening Løsninger til oppgvene i ok Uten hjelpemidler E1 Vi ytter ut 7,60 kr med 8 kr og 104 euro med euro. Det gir: 8 kr 4 300 kr. For fire overnttinger

Detaljer

2 Tallregning og algebra

2 Tallregning og algebra Tllregning og lger KATEGORI. Regnerekkefølge Oppgve.0 Regn uten digitlt hjelpemiddel. + ( + ) ( ) Oppgve. Regn uten digitlt hjelpemiddel. Oppgve. Regn ut med og uten digitlt hjelpemiddel. + (7 + ) ( 9)

Detaljer

S1 kapittel 1 Algebra Løsninger til oppgavene i læreboka

S1 kapittel 1 Algebra Løsninger til oppgavene i læreboka Løsninger til oppgvene i ok S kpittel Alger Løsninger til oppgvene i læreok. 8 ( ) 5 9. e = = 9 = = 8 5 = = 0 = 0 0 0 = 000 =. e Ashehoug www.lokus.no Sie v Løsninger til oppgvene i ok..5..7 = = + 5 =

Detaljer

S1 2014 høst LØSNING. 2x 10 = x(x 5) x 2 + 7x 10 = 0 x = 7± 49 4 ( 1) ( 10) x = 7±3. x = 2 x = 5. lg( ) + 3 = 5. lg( ) = 2.

S1 2014 høst LØSNING. 2x 10 = x(x 5) x 2 + 7x 10 = 0 x = 7± 49 4 ( 1) ( 10) x = 7±3. x = 2 x = 5. lg( ) + 3 = 5. lg( ) = 2. /14/016 S1 014 høst LØSNING matematikk.net S1 014 høst LØSNING Contents DEL EN Oppgave 1 x 10 = x(x 5) x + 7x 10 = 0 x = 7± 49 4 ( 1) ( 10) x = 7± x = x = 5 lg( ) + = 5 x lg( ) = x = 10 lg( x ) 10 x =

Detaljer

Praktiske opplysninger til rektor. Fag: MATEMATIKK 1TY for yrkesfag Fagkode: MAT1006 Eksamensdato: Antall forberedelsesdager: Ingen

Praktiske opplysninger til rektor. Fag: MATEMATIKK 1TY for yrkesfag Fagkode: MAT1006 Eksamensdato: Antall forberedelsesdager: Ingen Loklt gitt eksmen 2013 Prktiske opplysninger til rektor Fg: MATEMATIKK 1TY for yrkesfg Fgkode: MAT1006 Eksmensdto: 30.5.2013 Antll foreredelsesdger: Ingen Forhold som skolen må være oppmerksom på: Eksmenen

Detaljer

Fag: Matematikk 1T-Y for yrkesfag for elever og privatisterr. Eksamensdato: 16. januar 2012

Fag: Matematikk 1T-Y for yrkesfag for elever og privatisterr. Eksamensdato: 16. januar 2012 Loklt gittt eksmen Eksmen Fg: Mtemtikk 1T-Y for yrkesfg for elever og privtisterr Fgkode: MAT1006 Eksmensdto: 16. jnur 2012 Antll sider i oppgven: 7 inklusiv forside og opplysningsside Del 1: oppgve 1-5

Detaljer

R1 kapittel 6 Vektorer. Løsninger til oppgavene i boka Løsninger til oppgavene i boka

R1 kapittel 6 Vektorer. Løsninger til oppgavene i boka Løsninger til oppgavene i boka R1 kpittel 6 Vektorer Løsninger til oppgvene i ok Løsninger til oppgvene i ok 6.1 Tilfellene, e og f er vektorstørrelser fordi de hr retning. Tilfellene, og d er sklrer fordi de ikke hr retning. 6. d e

Detaljer

YF kapittel 7 Flate Løsninger til oppgavene i læreboka

YF kapittel 7 Flate Løsninger til oppgavene i læreboka YF kpittel 7 Flte Løsninger til oppgvene i læreok Oppgve 701 Vinkel C er en rett vinkel. Altså er C = 90. c AB er motstående side til den rette vinkelen i treknten. Derfor er AB ypotenus. AC er osliggende

Detaljer

1 c 6. 1 c 2. b Olav får 1500 kr. Trine får 3000 kr. c 4 Oppgave 39 165,50 kr 6 Oppgave 40 a 0 b 28 c 9 d F.eks. 15 8 e

1 c 6. 1 c 2. b Olav får 1500 kr. Trine får 3000 kr. c 4 Oppgave 39 165,50 kr 6 Oppgave 40 a 0 b 28 c 9 d F.eks. 15 8 e Fsit Fsit I gng igjen Oppgve 0 Oppgve > < > < Oppgve 9 Oppgve 6 6 Oppgve = < < < Oppgve 6 0 0 0 0 Oppgve 7 6 6 6 Oppgve 0,7 000 Oppgve 9 0,09 700 0,79 7 Oppgve 0 0, 0, 0, 0, Oppgve 0,07 0,7,,7 Oppgve Oppgve

Detaljer

Integrasjon av trigonometriske funksjoner

Integrasjon av trigonometriske funksjoner Integrsjon v trigonometriske funksjoner øistein Søvik 3. november 15 I dette dokumentet skl jeg vise litt ulike integrsjonsteknikker og metoder for å utforske integrlene v (cos x) og (sin x). De bestemte

Detaljer

Kalkulus 2. Volum av et omdreiningslegeme. Rotasjon rundt x-aksen

Kalkulus 2. Volum av et omdreiningslegeme. Rotasjon rundt x-aksen Klkulus Klkulus Volum v et omdreiningslegeme Rotsjon rundt x-ksen På figuren nedenfor hr vi skrvert området vgrenset v grfen til den kontinuerlige funksjonen y = f( x) og x-ksen fr x= til x=. Når vi roterer

Detaljer

... ÅRSPRØVE 2014...

... ÅRSPRØVE 2014... Delprøve 1 Ashehoug ÅRSPRØVE 014 9. trinn.... ÅRSPRØVE 014... Nvn: Gruppe: DELPRØVE 1 uten hjelpemiler (39 poeng) Alle oppgvene i el 1 skl føres rett på rket. I noen oppgver er et en regnerute. Her skl

Detaljer

1T kapittel 4 Likningssystemer og ulikheter

1T kapittel 4 Likningssystemer og ulikheter T kapittel 4 Likningssystemer og ulikheter Løsninger til oppgavene i oka Oppgave 4. a Vi tegner grafene til y = og y = + 3 i samme koordinatsystem. Skjæringspunktet mellom grafene har koordinatene (, ).

Detaljer

YF kapittel 6 Lengder og vinkler Løsninger til oppgavene i læreboka

YF kapittel 6 Lengder og vinkler Løsninger til oppgavene i læreboka YF kpittel 6 Lengder og vinkler Løsninger til oppgvene i læreok Oppgve 601 Vi skl gå ett hkk mot høyre, og gnger derfor med 10. 14 cm 14 10 mm 140 mm c Vi skl gå to hkk mot høyre, og gnger derfor med 10

Detaljer

Del 2. Alle oppgaver føres inn på eget ark. Vis tydelig hvordan du har kommet frem til svaret. Oppgave 2

Del 2. Alle oppgaver føres inn på eget ark. Vis tydelig hvordan du har kommet frem til svaret. Oppgave 2 Del 2 Alle oppgver føres inn på eget rk. Vis tydelig hvordn du hr kommet frem til svret. Oppgve 1 Figuren viser sidefltene til et prisme. Grunnflten og toppflten mngler. ) Hvilken form må grunn- og toppflten

Detaljer

OPPLÆRINGSREGION NORD. Skriftlig eksamen. MAT1001 Matematikk 1P-Y HØSTEN 2011. Privatister. Yrkesfag. Alle yrkesfaglige utdanningsprogrammer

OPPLÆRINGSREGION NORD. Skriftlig eksamen. MAT1001 Matematikk 1P-Y HØSTEN 2011. Privatister. Yrkesfag. Alle yrkesfaglige utdanningsprogrammer OPPLÆRINGSREGION NORD LK06 Finnmrk fylkeskommune Troms fylkeskommune Nordlnd fylkeskommune Nord-Trøndelg fylkeskommune Sør-Trøndelg fylkeskommune Møre og Romsdl fylke Skriftlig eksmen MAT1001 Mtemtikk

Detaljer

Matematikk 1000. Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 8 Numerisk integrasjon

Matematikk 1000. Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 8 Numerisk integrasjon Mtemtikk 1000 Øvingsoppgver i numerikk leksjon 8 Numerisk integrsjon Som kjent kn vi regne ut (bestemte) integrler ved nti-derivsjon. Dette resulttet er et v de viktikgste innen klkulus; det heter tross

Detaljer

Talsnes ONE - 995850168 Enhver form for mangfoldiggjørelse av hele eller deler av innholdet av dette materiale er i henhold til norsk lov om

Talsnes ONE - 995850168 Enhver form for mangfoldiggjørelse av hele eller deler av innholdet av dette materiale er i henhold til norsk lov om 1 Eksponentielt vekst: En størrelse vokser eller avtar med en fast prosent per tidsenhet. Eulers tall e: En matematisk konstant, e=2,7 1828.. ln a gir det tallet du må opphøye Eulers tall e i for å få

Detaljer

Tall i arbeid Påbygging terminprøve våren 2014

Tall i arbeid Påbygging terminprøve våren 2014 Terminprøve våren 014 Tll i rei Påygging terminprøve våren 014 DEL 1 Uten hjelpemiler Hjelpemiler: vnlige skrivesker, psser, linjl me entimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 1 Skriv tllet Skriv tllet 6 3,15

Detaljer

Løsningsforslag matematikk S1 V14

Løsningsforslag matematikk S1 V14 Løsningsforslag matematikk S1 V14 Oppgave 1 Bruker ABC-formelen: ABC-formelen gir x = 2 x = 3 x 2 + 3x 3 = 3 2x x 2 + 5x 6 = 0 x = b ± b 2 4ac 2a lg(x + 2) = 2 lg x lg(x + 2) = lg x 2 10 lg(x+2) lg x2

Detaljer

ALTERNATIV GRUNNBOK BOKMÅL

ALTERNATIV GRUNNBOK BOKMÅL Anne Rsch-Hlvorsen Oddvr Asen Illustrtør: Bjørn Eidsvik 7B NY UTGAVE ALTERNATIV GRUNNBOK BOKMÅL CAPPELEN DAMM AS, 2011 Mterilet i denne publiksjonen er omfttet v åndsverklovens bestemmelser. Uten særskilt

Detaljer

1 Geometri KATEGORI 1. 1.1 Vinkelsummen i mangekanter. 1.2 Vinkler i formlike figurer

1 Geometri KATEGORI 1. 1.1 Vinkelsummen i mangekanter. 1.2 Vinkler i formlike figurer Oppgver 1 Geometri KTGORI 1 1.1 Vinkelsummen i mngeknter Oppgve 1.110 ) I en treknt er to v vinklene 65 og 5. Finn den tredje vinkelen. b) I en firknt er tre v vinklene 0, 50 og 150. Finn den fjerde vinkelen.

Detaljer

Fasit. 1 Algebra. 1.11 a 2 b 10 c 7 1.12 a 7 b 1 c 3 b 2 4 8 = 8. c ( 3) 2 9. 1.14 a 4 og 7 b ( 7+ 5) 3 15 2 ( 7)

Fasit. 1 Algebra. 1.11 a 2 b 10 c 7 1.12 a 7 b 1 c 3 b 2 4 8 = 8. c ( 3) 2 9. 1.14 a 4 og 7 b ( 7+ 5) 3 15 2 ( 7) 9 Algera. a 8 8. a 7 7. a 6. a d. a 9 d.6 a 8 ( ).7 a 9 9 7 d 7.8 a d.9 a 6 7 d. 6 ( ),. a 7. a 7. a ( + 6) = 8 = 8 ( ) 9. a og 7 ( 7+ ) ( 7) 7.6 a 6 d 7 e.7 96 C.8 9 66 ( ).9 a d. a 9 8. a 6 = 7 ( ):

Detaljer

1T kapittel 1 Algebra Løsninger til oppgavene i læreboka

1T kapittel 1 Algebra Løsninger til oppgavene i læreboka T kpittel Alger Løsninger til oppgvene i læreok Oppgve. 0 8 ( 0) + 0 + ( 0) 0 8 Oppgve. 7 ( ) + + ( ) 7 Oppgve. ( ) + Oppgve. 0 ( ) 0 ( 0) ( ) 0 ( 0) : ( ) 0 : ( ) Oppgve. ( ) ( ) ( ) (,) ( ) (,) 9 Oppgve.

Detaljer

1T kapittel 6 Geometri Løsninger til oppgavene i læreboka

1T kapittel 6 Geometri Løsninger til oppgavene i læreboka T kpittel 6 Geometri Løsninger til oppgvene i læreok Oppgve 6. Vi ruker pytgorssetningen. h 5 + 6 h 5 + 36 h 6 h ± 6 Hypotenusen er 6. Vi ruker pytgorssetningen. h, 4 + 6,7 h h 5, 076 + 45, 04 50, 047

Detaljer

E K S A M E N. Matematikk 3MX. Elevar/Elever Privatistar/Privatister. AA6524/AA6526 8. desember 2004 UTDANNINGSDIREKTORATET

E K S A M E N. Matematikk 3MX. Elevar/Elever Privatistar/Privatister. AA6524/AA6526 8. desember 2004 UTDANNINGSDIREKTORATET E K S A M E N UTDANNINGSDIREKTORATET Mtemtikk 3MX Elevr/Elever Privtistr/Privtister AA654/AA656 8. desember 004 Vidregånde kurs II / Videregående kurs II Studieretning for llmenne, økonomiske og dministrtive

Detaljer

Faktorisering. 1 Hva er faktorisering? 2 Hvorfor skal vi faktorisere? Per G. Østerlie Senter for IKT i utdanningen 11.

Faktorisering. 1 Hva er faktorisering? 2 Hvorfor skal vi faktorisere? Per G. Østerlie Senter for IKT i utdanningen 11. Fktorisering Per G. Østerlie Senter for IKT i utdnningen per@osterlie.no 11. mi 013 1 Hv er fktorisering? Vi må se på veret å fktorisere. Hv er det vi skl gjøre når vi fktoriserer? Svret er: å lge fktorer.

Detaljer

Eksamen REA3026 S1, Høsten 2012

Eksamen REA3026 S1, Høsten 2012 Eksamen REA306 S1, Høsten 01 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (5 poeng) Løs likningene a) 8 8 0 1 1 4 1 8 4 3 6

Detaljer

1 k 2 + 1, k= 5. i=1. i = k + 6 eller k = i 6. m+6. (i 6) i=1

1 k 2 + 1, k= 5. i=1. i = k + 6 eller k = i 6. m+6. (i 6) i=1 TMA4 Høst 6 Norges teknisk nturvitenskpelige universitet Institutt for mtemtiske fg Løsningsforslg Øving 5 5..6 Vi er gitt summen og ønsker å skrive den på formen m k=5 k +, f(i). i= Strtpunktene er henholdsvis

Detaljer

1T kapittel 2 Likninger

1T kapittel 2 Likninger Løsninger til oppgvene i ok T kpittel Likninger Løsninger til oppgvene i ok. 6+ 8 6 8 + 5 5 5 6 VS 6 8 HS 6 ( 6) + 8 6 + 8 8 Sien VS HS når 6, er 6 en løsning på likningen. ( + ) 6 + 6 6 VS HS ( + ) 5

Detaljer

Brøkregning og likninger med teskje

Brøkregning og likninger med teskje Brøkregning og likninger med teskje Dette heftet gir en uformell trinn for trinn gjennomgng v grunnleggende regler for brøkregning og likninger. Dette er sto som vi i FYS 000 egentlig forventer t dere

Detaljer

a 2πf(x) 1 + (f (x)) 2 dx.

a 2πf(x) 1 + (f (x)) 2 dx. MA 4: Anlyse Uke 44, http://home.hi.no/ svldl/m4 H Høgskolen i Agder Avdeling for relfg Institutt for mtemtiske fg Om lengde v kurver. Noen få formler der integrsjon brukes for å beregne lengder, reler

Detaljer

Eneboerspillet. Håvard Johnsbråten

Eneboerspillet. Håvard Johnsbråten Håvrd Johnsråten Eneoerspillet Når vi tenker på nvendelser i mtemtikken, ser vi gjerne for oss Pytgors læresetning eller ndre formler som vi kn ruke til å eregne lengder, reler, kostnder osv. Men mer strkte

Detaljer

Oppgave 5 Et rektangel har en omkrets på 24 cm 2. Hva blir arealet? Dersom lengdene på sidene skal ha heltallige svar, hvor mange løsninger får du?

Oppgave 5 Et rektangel har en omkrets på 24 cm 2. Hva blir arealet? Dersom lengdene på sidene skal ha heltallige svar, hvor mange løsninger får du? KAPITTEL 3 GEOMETRI Mer øving kpittel 3 I e første oppgvene skl u gjøre om enheter på en lgeriske måten. Det vil si t når u skl gjøre om mellom relenheter skl u gå veien om å gjøre om mellom lengeenheter.

Detaljer

R1 kapittel 4 Funksjonsdrøfting. Løsninger til oppgavene i boka ( 1) 5 ( 2) = = = = = = = ( ) 1 1. f ( a)

R1 kapittel 4 Funksjonsdrøfting. Løsninger til oppgavene i boka ( 1) 5 ( 2) = = = = = = = ( ) 1 1. f ( a) R kapittel 4 Funksjonsdrøfting Løsninger til oppgavene i boka 4. a 4 f( ) f ( ) 4 4 b g ( ) 6 c d e f 4. a b c d e f 4. a g ( ) 0 h ( ),8 4 h ( ),8,8 i ( ),8,8 i 0 ( ) j ( ) π j ( ) 0 k ( ) k ( ) f( )

Detaljer

2P kapittel 2 Modellering Utvalgte løsninger oppgavesamlingen

2P kapittel 2 Modellering Utvalgte løsninger oppgavesamlingen P kapittel Modellering Utvalgte løsninger oppgavesamlingen 01 a Av tabellen ser vi at y minker like mye hver gang x øker med 1. Tallene passer derfor med en lineær funksjon. b Hver gang x øker med 1, minker

Detaljer

a 5 (2 + 8) d 5 (2 + 8) 4 g b 3 5 (2 + 8) e h 3 ( ) j Begrunn hvorfor du ikke får samme svar på oppgave b og g.

a 5 (2 + 8) d 5 (2 + 8) 4 g b 3 5 (2 + 8) e h 3 ( ) j Begrunn hvorfor du ikke får samme svar på oppgave b og g. Mtemtikk for ungomstrinnet KAPITTEL 4 TALL OG ALGEBRA MER ØVING Oppgve 1 Oppgve 2 Se på uttrykket A = g h. Hv forteller e ulike okstvene? Se på uttrykket O = 2π. Hv står e ulike symolene for? Forklr hv

Detaljer

R2 2010/11 - Kapittel 4: 30. november 2011 16. januar 2012

R2 2010/11 - Kapittel 4: 30. november 2011 16. januar 2012 R 00/ - Kpittel 4: 0. noemer 0 6. jnr 0 Pln for skoleåret 0/0: Kpittel 5: 6/ 6/. Kpittel 6: 6/ /. Kpittel 7: / /4. Prøer på eller skoletime etter hert kpittel. Én heildgsprøe i her termin. En del prøer

Detaljer

3.7 Pythagoras på mange måter

3.7 Pythagoras på mange måter Oppgve 3.18 Vis t det er mulig å multiplisere og dividere linjestykker som vist i figur 3.. Bruk formlikhet. 3.7 Pythgors på mnge måter Grekeren Pythgors le født på Smos 569 og døde. år 500 f. Kr. Setningen

Detaljer

Funksjoner 1T Quiz. Test, 4 Funksjoner

Funksjoner 1T Quiz. Test, 4 Funksjoner Test, 4 Funksjoner Innhold 4.1 Funksjonsbegrepet... 4. Lineære funksjoner... 6 4.3 Andre funksjonstyper... 14 4.4 Vekstfart og derivasjon... 0 4.5 Drøfting av funksjoner på grunnlag av egenskaper hos den

Detaljer

Arne B. Sletsjøe. Kompendium, MAT 1012

Arne B. Sletsjøe. Kompendium, MAT 1012 Arne B. Sletsjøe Kompendium, MAT 2 Forord Dette kompendiet dekker nlysedelen v pensum i kurset MAT 2 ved Universitetet i Oslo. Kurset bygger på MAT og legger mer vekt på nvendelser v teorien enn på dens

Detaljer

R1 kapittel 7 Sannsynlighet. Kapitteltest. Oppgave 1. Oppgave 2. Oppgave 3. Del 1 Uten hjelpemidler. Løsninger til oppgavene i boka

R1 kapittel 7 Sannsynlighet. Kapitteltest. Oppgave 1. Oppgave 2. Oppgave 3. Del 1 Uten hjelpemidler. Løsninger til oppgavene i boka Løsninger til oppgvene i ok R1 kpittel 7 Snnsynlighet Løsninger til oppgvene i ok Kpitteltest Del 1 Uten hjelpemidler Oppgve 1 De fem lppene kn ordnes i rekkefølge på 5! = 15 = forskjellige måter. Vi kn

Detaljer

Temahefte nr. 1. Hvordan du regner med hele tall

Temahefte nr. 1. Hvordan du regner med hele tall 1 ARBEIDSHEFTE I MATEMATIKK SNART MATTE EKSAMEN Hvordn du effektivt kn forberede deg til eksmen Temhefte nr. 1 Hvordn du regner med hele tll Av Mtthis Lorentzen mttegrisenforlg.com Opplysning: De nturlige

Detaljer

Tom Lindstrøm. Tilleggskapitler til. Kalkulus. 3. utgave. Universitetsforlaget,

Tom Lindstrøm. Tilleggskapitler til. Kalkulus. 3. utgave. Universitetsforlaget, Tom Lindstrøm Tilleggskpitler til Klkulus 3. utgve Universitetsforlget, Oslo 3. utgve Universitetsforlget AS 2006 1. utgve 1995 2. utgve 1996 ISBN-13: 978-82-15-00977-3 ISBN-10: 82-15-00977-8 Mterilet

Detaljer

EKSAMEN. 1. klassene, ingenørutdanning og Flexing. ANTALL SIDER UTLEVERT: 5 (innkl. forside og 2 sider formelark)

EKSAMEN. 1. klassene, ingenørutdanning og Flexing. ANTALL SIDER UTLEVERT: 5 (innkl. forside og 2 sider formelark) KANDIDATNUMMER: EKSAMEN EMNENAVN: Mtemtikk EMNENUMMER: REA4 EKSAMENSDATO:. desember 9 KLASSE:. klssene, ingenørutdnning og Flexing. TID: kl. 9. 3.. FAGANSVARLIG: Hns Petter Hornæs ANTALL SIDER UTLEVERT:

Detaljer

R2 kapittel 4 Tredimensjonale vektorer

R2 kapittel 4 Tredimensjonale vektorer Løsninger v oppgvene i ok R kpittel 4 Tredimensjonle vektorer Løsninger v oppgvene i ok 4. Vi tegner punket A i xy-plnet. Vi mrkerer plsseringen v A med linjestykker ut fr punktene (4,0,0) på x-ksen og

Detaljer

S2 kapittel 6 Sannsynlighet

S2 kapittel 6 Sannsynlighet S kpittel 6 Snnsynlighet Løsninger til oppgvene i bok Oppgve 6. Ett v de 36 mulige utfllene er gunstig for hendelsen S. Alle de 36 mulige utfllene er like snnsynlige. Altså er PS ( ) 36 b Det er utfll

Detaljer

Oppgaver i funksjonsdrøfting

Oppgaver i funksjonsdrøfting Oppgaver i funksjonsdrøfting To av oppgavene er merket med *. Det betyr at de er ekstra interessante. Oppgave 1 Gitt funksjonen f(x) = x + 4. a) Finn nullpunktene til funksjonen. b) Bruk definisjonen på

Detaljer

Kapittel 3. Potensregning

Kapittel 3. Potensregning Kpittel. Potensregning I potensregning skriver vi tll som potenser og forenkler uttrykk som inneholder potenser. Dette kpitlet hndler blnt nnet om: Betydningen v potenser som hr negtiv eksponent eller

Detaljer

Effektivitet og fordeling

Effektivitet og fordeling Effektivitet og fordeling Vi skl svre på spørsmål som dette: Hv etyr det t noe er smfunnsøkonomisk effektivt? Er det forskjell på smfunnsøkonomisk og edriftsøkonomisk effektivitet? Er det en motsetning

Detaljer

Eksamen REA3028 S2, Høsten 2012

Eksamen REA3028 S2, Høsten 2012 Eksamen REA308 S, Høsten 01 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (6 poeng) Deriver funksjonene 3x x a) gx 3 3x x 3x

Detaljer

Oppsummering om hva som kreves ved bruk av digitale verktøy

Oppsummering om hva som kreves ved bruk av digitale verktøy 1 Oppsummering om hva som kreves ved bruk av digitale verktøy Graftegner Det skal gå klart fram av den grafiske framstillingen hvilken skala og hvilken enhet som er brukt, på hver av aksene. Det er en

Detaljer

Løsningsforslag til Eksamen i fag MA1103 Flerdimensjonal analyse

Løsningsforslag til Eksamen i fag MA1103 Flerdimensjonal analyse Norges teknisk nturvitenskpelige universitet Institutt for mtemtiske fg Side 1 v 5 Løsningsforslg til Eksmen i fg MA113 Flerdimensjonl nlyse 2.5.6 Oppgve 1 Vi hr f(x, y) = (4 x 2 y 2 )e x+y. ) Kritiske

Detaljer