Oppgave N2.1. Kontantstrømmer

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "Oppgave N2.1. Kontantstrømmer"

Transkript

1 1 Orientering: Oppgvenummereringen leses slik: N står for nettsiden, første siffer står for kpittelnummer og ndre for oppgvenummer. Oppgve N2.1. Kontntstrømmer En edrift vurderer å investere 38 millioner kroner i en ny frikk. Budsjettert dekningsidrg de 5 første driftsårene er på hhv. 12, 11, 12, 13 og 12,5 millioner kroner. Fste kostnder i de smme årene er 3,3; 3,7; 3,8; 4,1 og 4 millioner kroner. Ant t nlegget kn selges for 12,452 millioner kroner etter 5 år. Se ort fr reidskpitl. c d Budsjetter kontntstrøm til totlkpitlen (dvs. fr driften) før sktt. Sldosts for vskrivning er 20 %. Ant t skttestsen er 27 % og t okført verdi v nlegget ved plnperiodens slutt vskrives i sin helhet det siste året. Budsjetter årlige vskrivninger, resultt før sktt og kontntstrøm til totlkpitlen etter sktt. Investeringen vil li delvis finnsiert med et serielån på 30 millioner kroner. Løpetid er 5 år, rente 6 %. Budsjetter dette lånets kontntstrøm før og etter sktt. Budsjetter kontntstrøm til egenkpitlen etter sktt ved å kominere svrene fr delspørsmålene over. Kontroller svret ved å udsjettere hvordn prosjektets totle kontntstrøm før sktt lir fordelt mellom långiver, skttemyndighetene og eierne. Fsit ( , 8 700, 7 300, 8 200, 8 900, ) Se løsningsforslget c Før sktt: (30 000, , , , , ) Etter sktt: (30 000, , , , , ) d Se løsningsforslget Løsningsforslg

2 2 c d Sktten i nest siste linje er eregnet som summen v sktteetlingen i delspørsmål og sprt sktt i delspørsmål c (eksempelvis i år 1: = 189). Som du ser fr de positive sktteeløpene i årene 1 og 2, er det forutstt t edriften er i sktteposisjon i hele plnperioden. Du ser også t sktten i år 2 oppgis til 59, men tllene tilsier 60 ( ). Dette er en vrundingsunøyktighet. Det er flere slike i dette løsningsforslget. Du ser også t den kontntstrømmen som tilfller eierne (siste linje i kontrolleregningen), er det som lir igjen etter t kreditor og skttemyndigheter hr fått sin del v prosjektets totle kontntstrøm før sktt.

3 3 Oppgve N3.3. Annuitetslån Et lån på kroner skl tilkeetles som årlige etterskuddsnnuiteter, og du får vlget mellom følgende tre kominsjoner: Rentests, % Avdrgstid, år Beregn årlig nnuitet ved de tre etlingsmulighetene. Hv vil skje med nnuitetseløpene dersom låneeløpet økes med hhv. 20 %, 50 % og 100 %? Begrunn svret. Du gjennomgår din privte økonomi og konkluderer med t du trenger 12 års vdrgstid. Det mksimle, årlige nnuitetseløpet du kn greie å etle, er kroner. c Hvor stort lån kn du nå mksimlt t opp når rentestsen er 6 %? Du vil nødig redusere låneeløpet fr de opprinnelige kroner. Derfor estemmer du deg for å undersøke om ndre nker hr lengre vdrgstid. d Hvor lng må vdrgstiden være dersom et årlig eløp på skl nedetle et lån på til 6 % rente? Fsit ; ; Hhv. 20 %, 50 % og 100 % c d 19,86 år Løsningsforslg Annuiteten X er gitt fr uttrykk (3.18): NV X A r ; T 4 % 5 % 6 % Avdrgstid, år Annuitet For nok en gng å minne om vrundingspoenget: Hvis du her ruker uvrundede verdier fr, lir nnuitetene henholdsvis , og Vil du ruke finnsklkultor eller fne 1 i regnerket Diskontering, ser resulttet slik ut for kominsjonen 6 % rente og 12 års vdrgstid: A r ; T

4 4 (3.18) viser t nnuitetseløpet er lik låneeløpet multiplisert med nnuitetsfktoren. Derfor vil nnuiteten øke i nøyktig smme tkt som låneeløpet. Annuitetseløpet vil dermed stige med hhv. 20 %, 50 % og 100 %. Ved eksempelvis doling v låneeløpet vil derfor nnuiteten stige til hhv , og c d NV A 6; , A A 6; Y 11, ; T, dvs. Rentetell 3 viser t ved 16 års vdrgstid, som er den mksimle levetiden tellen er eregnet for, får vi A Her må du derfor regne ut den inverse nnuitetsfktoren ved lengre vdrgstid: 6 ;16, Avdrgstid (T) 16 10, , , , ,4699 Her ser du t dersom en nnuitet på skl kunne forrente og vdr et lån på til 6 %, må vdrgstiden være nesten 20 år. Nøyktig svr er 19,86 år. Dette svret finner du også fr finnsklkultor eller fne 1 i regnerket Diskontering:

5 5 Her finner du ntll perioder som gjør t en gitt nnuitet hr en gitt nåverdi ved en gitt rentests Nåverdi Rentests 6,0 % Annuitet Antll perioder 19,86

6 6 Oppgve N4.2. Selgerfinnsiering Finnsvisen skriver 7. ferur 2009 om et oligprosjekt med 24 leiligheter på Ullern i Oslo (http://www.hegnr.no/personlig_okonomi/rticle ece). Siden kun 6 v dem vr solgt etter et drøyt år, vlgte utygger å tily gunstig finnsiering. Hn reduserte imidlertid ikke selve prisen på leilighetene, som lå mellom 8 og 12 millioner kroner. Utygger Trygve Brudevold (88) sier: «Vi tilyr selgerfinnsiering på to tredeler v kjøpesummen. Her lir renten 2,85 % og løpetiden 5 år.» Journlisten opplyser t tilsvrende lån i DnB NOR hr en effektiv rente på 4,78 %. Hn tr så utgngspunkt i en leilighet på 12 millioner kroner og skriver: «Brudevold punger ut med snue 2 prosent i rentesusidier eller rundt kroner årlig. Over fem år gir det en kostnd på kroner. Det gir en rtt på slgsprisen på 6,3 %.» Ant t disse 2,85 % er effektiv rente på lånet fr selger, og t du kjøper leiligheten på 12 millioner. Forutsett også t du låner mksimlt v selger over fem år, og t lånet er vdrgsfritt. Se ort fr sktt. c d Budsjetter lånets kontntstrøm og skisser nåverdiprofilen. Hv er årlig rentesusidie regnet i kroner? Hvilken rtt på leilighetens slgspris inneærer lånetiludet? Blir rtten høyere hvis det vdrgsfrie lånet omgjøres til et nnuitetslån? Fsit (8 000, 228, 228, 228, 228, ) Kr c 5,6 % d Nei, lvere. Løsningsforslg Renter Avdrg Restlån Kontntstrøm Legg denne kontntstrømmen inn i fne 1 i regnerket Lønnsomhet. D får du:

7 Nåverdi 7 Kontntstrøm År Prosjekt Internrente Oppgve N ,9% Nåverdi Kpitlkostnd Prosjekt 0 % 1 % 2 % 3 % 4 % 5 % 6 % Oppgve N Oppgve N Kpitlkostnd (%) Alterntiv rente Tiludt rente Rentesusidium c Ved en lterntiv rente på 4,78 % viser finnsklkultoren t dette lånet hr en nåverdi på kr :

8 8 Dette eløpet tilsvrer 5,6 % v prisen på leiligheten. d Nei, den lir lvere fordi fr og med tidspunkt 1 er utestående lån lvere enn ved vdrgsfrihet. Dermed lir også rentesusidien lvere.

9 9 Oppgve N5.3. Bilholdskostnder Fr en rtikkel i Nettvisen hr vi hentet følgende eregning v årlige ilkostnder: Beregn årlig kpitlkostnd i kroner sert på investeringseløpet. Bruk et vkstningskrv på 4 %. Ant t ilen hr en restverdi på kroner etter 10 år. Smmenlign svret med det som i oppstillingen ovenfor klles vskrivning og renter v undet kpitl. I rtikkelen oppgis totlkostnder for lterntive kjørelengder slik: Bruk disse kostndene til å eregne gjennomsnittskostnd og mrginlkostnd ved lterntive kjørelengder. I rtikkelen omtles kostnder ved kilometer som «svimlende». Kommenter ruken v dette djektivet her. Diskuter kort i hvilke situsjoner de to kostndsegrepene «gjennomsnittskostnd» og «mrginlkostnd» er mest ktuelle. Fsit Kr

10 10 Hint: Kostnder ved å eie kontr å ruke il Løsningsforslg Formel Klipp fr regnerket Diskontering, Fne 3 Finnsklkultor (-349' 50' R ) A 38,867 4;10 4;10 «Avskrivning» og «Renter v undet kpitl» i rtikkelen er c kroner ( ), ltså omtrent det smme som vår eregning. Sjekk formlene i regnerket (5H.3) dersom du hr fått ndre svr enn dette (eløp i kroner): Det er ikke urimelig t mye ruk gir høye kostnder. Den fremste kndidten til å skulle klles «svimlende» er likevel ikke totlkostnden på kroner ved km kjørelengde, men gjennomsnittskostnden på 11,39 kroner ved kilometer. Med så lite ruk kn kollektive løsninger som uss eller drosje li gunstigere enn å eie egen il. Vi hr ikke funnet noen god forklring på hvorfor mrginlkostnden ved kjørelengder mellom 5000 og kilometer pr. år er så mye lvere enn tilsvrende tll for lle ndre kjørelengder. En mulig forklring er t eløpet kroner er feil. Vurdering v rimelighet i resulttene er derfor nyttig og nødvendig i kvlitetssikringen v en nlyse. Gjennomsnittskostnden er mest relevnt før ilen er kjøpt og når spørsmålet er å eie egen il kontr reise kollektivt. Mrginlkostnden er relevnt når ilen llerede er kjøpt, og når spørsmålet for en enkelt tur er om en skl velge egen il, reise kollektivt eller li hjemme (jf. eslutningshierrki i del 1.5.7: «gitt t jeg hr il»).

11 11 Høsten 2015 er sttens stser for ilgodtgjørelse kr 4,10 pr. kilometer. For ileiere med moderte kjørelengder dekker stsen litt mer enn mrginlkostndene, men eieren må selv dekke kostndene ved å eie ilen (vskrivninger og renter).

12 12 Oppgve N5.6. Medlemsnk Del 2 Oppgve N3.8 refererte fr en reportsje i Finnsvisen Der omtles den svenske nken JAK Medlemsnk, som ifølge visen gir rentefrie lån. JAK låner ut penger til sine medlemmer på følgende vilkår: Lånet tilkeetles som et serielån over lånets løpetid. Låntker etler en lånevgift til nken ved hver vdrgsetling. Ved hver vdrgsetling må låntker også sette inn tilsvrende eløp på en konto. Summen v innskuddene på denne kontoen kn heves når siste vdrg er etlt. Du gjør en vtle med JAK om å låne kroner over tolv år. Tilkeetlingen skl skje årlig (første gng om ett år), og årlig lånevgift er 700 kroner. c d Vis nåverdiprofil og effektiv rente på vtlens spredel og lånedel hver for seg. Hv ville du gjort om de to delene vr seprt tilgjengelige? Vis nåverdiprofilen og effektiv rente for vtlen. Når er JAKs tilud lønnsomt? Effektiv rente på este lterntive lånemulighet er 5%. Hv er verdien v din vtle med JAK? Fsit Spredelen og lånedelen hr effektiv rente på hhv. 0 % og 0,88 %. Forkstet spredelen så snt det tilys rente på spremidler ndre steder. Forkstet lånedelen hvis ndre låner ut til under 0,88 % effektiv rente. c Hvis effektiv lånerente ndre steder er høyere enn 3,29 %. d kroner.

13 Nåverdi 13 Løsningsforslg Spredelen er et investeringsprosjekt (synkende NV-profil). Kontntstrømmen og nåverdiprofilen ser slik ut: Innskudd, Uttk, Kontnt- Tidspunkt sprekonto sprekonto strøm Sum Kpitlkostnd, % Effektiv rente på spredelen er 0 %. Lånedelen er et finnsieringsprosjekt (stigende NV-profil). Her er kontntstrøm og nåverdiprofil:

14 Nåverdi 14 Kontnt- Tidspunkt Låneopptk Avdrg Lånevgift strøm Kpitlkostnd, % Effektiv rente på lånedelen er 0,88 %. Generelt ør du velge lterntivet med høyest positiv nåverdi, unsett om det gjelder investering eller finnsiering. I dette tilfellet ville du ikke h vlgt JAKs spredel (investeringsprosjekt) dersom ndre tilyr positiv innskuddsrente. Tilsvrende ville du ikke h vlgt JAKs lånedel (finnsieringsprosjekt) hvis effektiv lånerente er lvere enn 0,88 % ndre steder.

15 Nåverdi 15 c Avtlen (spreprosjektet + låneprosjektet) hr følgende nåverdiprofil: Kpitlkostnd, % Effektiv rente på vtlen er 3,29 %. Dette lånet er ltså ikke rentefritt, og det skyldes to forhold. For det første må du etle lånevgift. For det ndre må du deponere (spre) rentefritt et eløp tilsvrende vdrget i hver periode vdrg etles. d Nåverdiprofilen i svret på delspørsmål c viser en nåverdi på c kroner ved 5 % rente. Nøyktig utregnet: NV = , , ,05, dvs

16 16 Oppgve N6.3. Simulering Sonj plnlegger å delfinnsiere sommerferien ved å selge jordær på Stortorget. Hun mener å stå overfor stor usikkerhet åde i pris og kvntum. Dette skyldes t prisen hun kn oppnå, vhenger v hv de ndre selgerne på torget estemmer seg for å t (særlig de selgerne som står nærmest). Sonj estemmer seg derfor for å t smme pris som nærmeste konkurrent. Hun hr også erfrt t unsett pris er omstt kvntum usikkert, l.. fordi folk kn kjøpe jordær mnge ndre steder, f.eks. på Youngstorget og nærmeste Rimi, som egge ligger rett orti gt. Likevel mener Sonj det er en viss smmenheng mellom pris og solgt kvntum. Bsert på tidligere suksess og fisko nslår hun følgende for den forestående sesongen: Blir prisen (P) 20, er det 40 % sjnse for et kvntum (K) på 500 og 60 % sjnse for K = 800. Blir prisen 30, er det 80 % sjnse for K = 500 og 20 % sjnse for K = 800. Pris på 20 eller 30 tror hun er like snnsynlig. Beregn snnsynlighetsfordelingen for lterntive kominsjoner v pris og kvntum. Sonj leser sitt finnspensum mellom jordærkurvene. Derfor vil hun simulere slgsinntekten ved å trekke 20 lodd fr en kurv. Loddene nummereres fortløpende fr 1 til 20. Bestem forholdet mellom pris, kvntum og loddnumre. Mellom to slg trekker Sonj 15 lpper med numrene 11, 20, 3, 7, 14, 19, 1, 3, 8, 17, 9, 8, 5, 10, 5. c Hv er simulert hyppighet for slgsinntekt på minst kr ? Hv er tilsvrende snnsynlighet i inngngsfordelingen? Fsit Se løsningsforslget. Nøkkel: Pris og kvntum kn ikke simuleres uvhengig v hverndre. c 20 % og 10 % Løsningsforslg Tellen viser snnsynligheten for ulike kominsjoner v pris (P) og kvntum (K): K = 500 K = 800 P = 20 0,2 0,3 P = 30 0,4 0,1 Siden det er vhengighet mellom pris og kvntum, kn det ikke gjøres uvhengige trekninger v disse to vrilene under simuleringen. En måte å ordne dette på er å lge en trekningsprosedyre direkte fr den eregnede snnsynlighetsfordelingen i spørsmål, hvor slgsinntekten er produktet v pris og kvntum: Pris Kvntum Slgsinntekt Snnsynlighet Loddnummer ,2 1, 2, 3, 4

17 ,3 5, 6, 7, 8, 9, ,4 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, ,1 19, 20 c Den simulerte fordelingen ser slik ut: Loddnummer Slgsinntekt Hyppighet Prosent 3, 1, / , 8, 9, 8, 5, 10, / , 14, / , /15 13 Simulert snnsynlighet for minst i slgsinntekt er 60 % ( ). Inngngsfordelingen fr spørsmål eller gir 40 % sjnse (30 % + 10 %) for slgsinntekt på minst

18 18 Oppgve N7.8 - et De to prosjektene A og B hr et på hhv. 0,8 og 1,2. Du får vite gjennom Dgsnytt t hele mrkedet hr flt med 0,5 %. Hvor mye vil du forvente t verdien på de to prosjektene hr endret seg? To ndre prosjekter C og D hr egge en et på 0,7. C hr imidlertid mer usystemtisk risiko enn D. Skisser et plott v vkstning i C og D, hvor mrkedsvkstningen er på den horisontle kse og prosjektvkstningen er på den vertikle. Du regner med t mrkedsindeksen vil stige med 5 % neste år. c Hv er forventet verdiendring på prosjekt C og D? Vil du være like sikker i ditt nslg i de to prosjektene? Fsit Forventet verdifll på A: 0,4 % Forventet verdifll på B: 0,6 % Se løsningsforslget. c 3,5 % for egge; mest usikkert nslg for C. Løsningsforslg A Forventet verdiendring i prosent for prosjektet er lik prosjektets et multiplisert med prosentvis endring i mrkedsporteføljen (se diskusjonen i læreokens del ). Forventet verdifll på A er 0,8 0,5 0,4% Forventet verdifll på B er 1,2 0,5 0,6%

19 19 25 Prosjekt C Mrkedet 25 Prosjekt D Mrkedet Tendensen til å evege seg i tkt med mrkedet er den smme i gjennomsnitt for prosjektene C og D. Derfor hr de smme etverdi. Dette er det smme som å si t hvis du legger en linjl gjennom punktsvermene i de to grfene, vil linjlen h smme helning egge steder. De to figurene viser imidlertid t C hr større innslg v usystemtisk risiko og dermed også hr høyere totlrisiko enn D. Dette ser du v t C hr et mer diffust plott. Det er det smme som å si t vstnden fr linjlen til et typisk punkt er lengre i prosjekt C enn i prosjekt D.

20 20 c Forventet verdiøkning på åde C og D er 0,7 5 = 3,5 %. Når mrkedet endres med 5 %, er ltså forventet endring i prosjektverdi 3,5 % i smme retning for egge prosjekter. Usikkerheten i dette nslget er imidlertid størst i prosjekt C. Dette skyldes t i prosjekt C er en større del v vkstningen estemt v usystemtiske risikokilder, dvs. v økonomiske fktorer som er uvhengige v mrkedet som helhet. Prosjekt C lever mer sitt eget isolerte liv i forhold til mrkedsevegelsene enn hv prosjekt D gjør.

21 21 Oppgve N8.4. Hotellinvestering Kysthotellet Hvrott er slått konkurs. Boestyreren hr nå ntydet t et ud på 11 mill. kroner vil være kseptelt for kreditorene. Dette tiludet er interessnt for tre dvoktvenner som en stund hr syslet med tnken om å li hotelleiere. Alle tre sprer i gjennomsnitt 27 øre i sktt for hver krone de kn kostndsføre. Advoktene ønsker nå en oversikt over kontntstrømmen til eierne etter sktt for de seks nærmeste årene. På grunn v investeringens etydelige usikkerhet er dvoktene ikke villige til å tillegge hotellet noen verdi seks år frem i tid. Hvrott hr 70 rom, og hvert gjestedøgn forventes å gi en inntekt på 800 kroner og et dekningsidrg på 310 kr (regnet i dgens prisnivå). Advoktene regner med t relistisk elegg tilsvrer 160 v totlt 300 gjestedøgn pr. år med full kpsitetsutnyttelse. For øvrig foreligger følgende dt om prosjektet (lle eløp er oppgitt i dgens prisnivå): Årlig inflsjon 3 % Årlige fste utetlinger (ekskl. finnsielle poster) 1 mill. Sldosts (nttt gjennomsnitt for lle eiendeler) 18 % Gjeldsopptk 7 mill. Løpetid 5 år Effektiv lånerente 6 % Tilkeetling Fste vdrg Budsjetter nominell kontntstrøm til egenkpitlen etter sktt i Hvrott-prosjektet. Forutsett t rentene får umiddelr sktteeffekt. Advoktene hr et vkstningskrv på 20 % til den egenkpitlen de investerer. Hv er Hvrott verdt for dem? Hv er kritisk nivå på vkstningskrvet? Fsit ( 4 000, 687, 708, 747, 803, 872, 3 256) kroner. 14,4 % Løsningsforslg Her er en udsjetteringsmodell for Hvrott. Inngngsdt er mrkert med fet skrift i modellens øvre del, og lle eløp i udsjettet i nedre del er i tusen nominelle kroner:

22 22 Antll rom 70 Døgn med full kpsitetsutnyttelse 160 Dekningsidrg pr. rom pr. døgn (kr) 310 Fste kostnder pr.år (mill. kr) 1 Investering (mill. kr) 11 Gjeldsopptk (mill. kr) 7 Løpetid (år) 5 Lånerente 6 % Skttests 27 % Sldosts 18 % Årlig inflsjon 3 % År Dekningsidrg Fste kostnder Investering Kontnstrøm fr driften før sktt Avskrivninger Restlån Avdrg Renter Skttrt overskudd Sktt Kontntstrøm til eierne etter sktt Her er eksempelvis dekningsidrget i år 1 eregnet som 310 (DB pr. døgn) 70 rom 160 døgn 1,03 (prisstigning). Avskrivningene i år 3 på er gitt ved ( ) 0,18. Sktteetlingene det femte året er eregnet som ( ) 0, 27. Avskrivningene det sjette året er investeringseløpet minus summen v vskrivningene for årene 1 5. Husk t vskrivninger, renter og vdrg ikke skl inflsjonsjusteres. Du kn legge den udsjetterte egenkpitlstrømmen fr delspørsmål inn i finnsklkultoren. Alterntivt kn du lime inn disse tllene som inngngsdt i fne 1 i regnerket Lønnsomhet. Regnerket viser:

23 Nåverdi 23 Kontntstrøm År Prosjekt Internrente Oppgve N ,4% Nåverdi Kpitlkostnd Prosjekt 0 % 5 % 10 % 15 % 20 % 25 % 30 % Oppgve N Oppgve N Kpitlkostnd (%) Prosjektet er verdt 676 kroner ved 20 % kpitlkostnd. Derfor ør det forkstes. Kritisk nivå for kpitlkostnden er lik internrenten på egenkpitlstrømmen, som er 14,4 %.

24 24 Oppgve N9.3 Forfllsdto Som student får du knskje ikke så mnge v disse giroene, men senere i livet dukker de stdig opp i fysisk eller elektronisk postksse: Tenk deg t du reider i en edrift som hvert år sender ut regninger ved nkgiro på til smmen 100 millioner kroner. Vnligvis sendes regningene ut fire uker før forfll. Erfringsmessig etler c. 20 % v kundene regningene med en gng de er motttt. I jkten på edret lønnsomhet er det foreslått å sende ut regningene seks uker før forfll i stedet for fire. Det er delte meninger om dette forslget lnt de nstte i din vdeling. Noen mener det er uetisk på denne måten å forsøke å lure kunder til å etle unødvendig lng tid på forhånd. Andre mener enhver får psse på seg selv, og hvis noen vil etle tidlig, er det deres vlg og ikke vårt. Dessuten mener denne gruppen t dette re er et spørsmål om småpenger for hver enkelt kunde. Selv om du er med i den første gruppen v skeptikere, kn det likevel være v interesse å vurdere økonomien i forslget. Som den sist nstte tildeles du denne oppgven. Fsit: Beregn hvordn omleggingen vil påvirke likviditet og lønnsomhet for edriften. Bruk en kpitlkostnd på 8 %. Synes du svret på delspørsmål ør påvirke holdningen til om forslget er etisk kseptelt eller ikke? kroner, kroner Se løsningsforslg. Løsningsforslg Antr du 50 uker per år, lir gjennomsnittlig fkturering fr edriften 2 mill. kroner pr. uke. Gitt t ndelen som etler direkte, ikke endres v omleggingen, inneærer to uker

25 25 tidligere etling v 20 % v kundene t likviditeten edres med kroner (2 2 0,2). Med en kpitlkostnd på 8 % inneærer dette en årlig resulttforedring på kroner (800' 0,08). På etikkens område er det ikke så klre svr som i økonomi. Vi synes svret er nei på spørsmålet om lønnsomheten skl påvirke den etiske vurderingen. Glt er glt enten konsekvensene er store eller små, synes vi.

Kapittel 4 Tall og algebra Mer øving

Kapittel 4 Tall og algebra Mer øving Kpittel 4 Tll og lger Mer øving Oppgve 1 d Oppgve 2 Se på uttrykket A = g h. Hv forteller de ulike okstvene? Se på uttrykket A = 2π. Hv står de ulike symolene for? Forklr hv vi mener med en vriel og en

Detaljer

9 Potenser. Logaritmer

9 Potenser. Logaritmer 9 Potenser. Logritmer Foret utregingene nedenfor: 5 5 c 6 7 d e 5 f g h i Regn ut og gjør svrene så enkle som mulige: c y y d e f g h i j y y + y + y + + y Prisen på en motorsg vr kr 56 i 99. Vi regner

Detaljer

Tall i arbeid Påbygging terminprøve våren 2013

Tall i arbeid Påbygging terminprøve våren 2013 Tll i rei Påygging terminprøve våren 2013 DEL 1 Uten hjelpemiler Hjelpemiler: vnlige skrivesker, psser, linjl me entimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 Skriv tllene på stnrform. 1 0,000 00015 2 19,6 millirer

Detaljer

Terminprøve Matematikk Påbygging høsten 2014

Terminprøve Matematikk Påbygging høsten 2014 Terminprøve høsten 2014 Terminprøve Mtemtikk Påygging høsten 2014 DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med entimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 Regn ut 3 3 3 4 1 3 3 2

Detaljer

Matematikk 1000. Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 8 Numerisk integrasjon

Matematikk 1000. Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 8 Numerisk integrasjon Mtemtikk 1000 Øvingsoppgver i numerikk leksjon 8 Numerisk integrsjon Som kjent kn vi regne ut (bestemte) integrler ved nti-derivsjon. Dette resulttet er et v de viktikgste innen klkulus; det heter tross

Detaljer

1 Algebra. 1 Skriv disse uttrykkene så enkelt som mulig: a) 2(a + 3) (3 + 3a) b) 2(1 a) + a(2 + a) c) 1 + 2(1 3a) + 5a d) 4a 3ab 2(a 5b) + 3(ab 2b)

1 Algebra. 1 Skriv disse uttrykkene så enkelt som mulig: a) 2(a + 3) (3 + 3a) b) 2(1 a) + a(2 + a) c) 1 + 2(1 3a) + 5a d) 4a 3ab 2(a 5b) + 3(ab 2b) Alger Skriv disse uttrykkene så enkelt som mulig c 5 d 5 Multipliser ut og gjør svrene så enkle som mulige c c c c d e f g h 5 i Regn ut 5 Regn ut og vis frmgngsmåten 5 c Regn ut og vis frmgngsmåten 5

Detaljer

1 Tallregning og algebra

1 Tallregning og algebra Tllregning og lger ØV MER. REGNEREKKEFØLGE Oppgve.0 6 d) ( : 6) Oppgve. ( ) ( ) ()() ( ) ( ) ( ) () (6 ) () d) ( ) 7() ( ) Oppgve. 6 ( ) d) Oppgve. Med ett ddisjonstegn, ett sutrksjonstegn, ett multipliksjonstegn

Detaljer

YF kapittel 10 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka

YF kapittel 10 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka YF kpittel 10 Eksmenstrening Løsninger til oppgvene i læreok Uten hjelpemidler Oppgve E1 5 + 5 + 6 11 5 + 4 (5 + ) 5 + 4 7 10 6 + 8 d + ( + 1) 5 + 4 5 + 16 5 + 10 5 4 + 4 4 + 8 1 + + + + + + + + 49 49

Detaljer

DELPRØVE 2 (35 poeng)

DELPRØVE 2 (35 poeng) DELPRØVE 2 (35 poeng) På denne delprøven er lle hjelpemidler tilltt. Alle oppgvene i del 2 skl føres på eget rk. Før svrene oversiktlig, slik t det går tydelig frm hvordn du hr løst oppgvene. Bruk penn.

Detaljer

Integralregning. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne

Integralregning. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne 8 Integrlregning Mål for opplæringen er t eleven skl kunne gjøre rede for definisjonen v estemt integrl som grense for en sum og uestemt integrl som ntiderivert eregne integrler v de sentrle funksjonene

Detaljer

Terminprøve Matematikk for 1P 1NA høsten 2014

Terminprøve Matematikk for 1P 1NA høsten 2014 Terminprøve Mtemtikk for 1P 1NA høsten 2014 DEL 1 Vrer 1,5 time Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med entimetermål og vinkelmåler. Forsøk på lle oppgvene selv om du er usikker

Detaljer

1P kapittel 3 Funksjoner

1P kapittel 3 Funksjoner Løsninger til oppgvene i ok 1P kpittel 3 Funksjoner Løsninger til oppgvene i ok 3.1 Origo hr koordintene (0, 0). Vi finner koordintene til punktene ved å lese v punktets verdi på x-ksen og y-ksen. A =

Detaljer

Kapittel 5 Verb. 5.4 For å få tak i en engelsk avis. For å finne utenlandske varer. For å treffe venninna si. For å invitere henne med til lunsj.

Kapittel 5 Verb. 5.4 For å få tak i en engelsk avis. For å finne utenlandske varer. For å treffe venninna si. For å invitere henne med til lunsj. Kpittel 5 Ver 5.1 For eksempel: Hver dg pleier jeg å sove middg Liker du ikke å dnse? I dg kn jeg ikke hndle mt. Jeg orker ikke å lge slt. Nå må jeg lese norsk. Jeg hr ikke tid til å t ferie. Kn du synge?

Detaljer

1T kapittel 3 Funksjoner Løsninger til oppgavene i læreboka

1T kapittel 3 Funksjoner Løsninger til oppgavene i læreboka 1T kpittel 3 Funksjoner Løsninger til oppgvene i læreok Oppgve 3.1 Origo er skjæringspunktet mellom førsteksen og ndreksen. Koordintene til origo er ltså (0, 0). Førstekoordinten til punktet A er 15, og

Detaljer

Eneboerspillet. Håvard Johnsbråten

Eneboerspillet. Håvard Johnsbråten Håvrd Johnsråten Eneoerspillet Når vi tenker på nvendelser i mtemtikken, ser vi gjerne for oss Pytgors læresetning eller ndre formler som vi kn ruke til å eregne lengder, reler, kostnder osv. Men mer strkte

Detaljer

Juleprøve trinn Del 1. Navn: Del 1 Aschehoug JULEPRØVE trinn. Informasjon for del 1

Juleprøve trinn Del 1. Navn: Del 1 Aschehoug JULEPRØVE trinn. Informasjon for del 1 Juleprøve 2015 10. Del 1 Nvn: Informsjon for del 1 Prøvetid Hjelpemidler i del 1 Andre opplysninger Frmgngsmåte og forklring 5 timer totlt Del 1 og del 2 lir delt ut smtidig. Del 1 skl leveres inn seinest

Detaljer

STATISTIKK, KOMBINATORIKK OG SANNSYNLIGHET

STATISTIKK, KOMBINATORIKK OG SANNSYNLIGHET Mer øving til kpittel 4 STATISTIKK, KOMBINATORIKK OG SANNSYNLIGHET Oppgve 1 Under ser du resulttet v ntll kinoesøk for en klsse de siste to måneder: 1, 3, 5, 4, 2, 7, 1, 1, 4, 5, 3, 3, 4, 0, 1, 3, 6, 5,

Detaljer

5: Algebra. Oppgaver Innhold Dato

5: Algebra. Oppgaver Innhold Dato 5: Alger Pln resten v året: - Kpittel 6: Ferur - Kpittel 7: Ferur/mrs - Kpittel 8: Mrs - Repetisjon: April/mi - Eventuell offentlig eksmen: Mi - Økter, prøver, prosjekter: Mi - juni For mnge er egrepet

Detaljer

... ÅRSPRØVE 2014...

... ÅRSPRØVE 2014... Delprøve 1 Ashehoug ÅRSPRØVE 014 9. trinn.... ÅRSPRØVE 014... Nvn: Gruppe: DELPRØVE 1 uten hjelpemiler (39 poeng) Alle oppgvene i el 1 skl føres rett på rket. I noen oppgver er et en regnerute. Her skl

Detaljer

Integrasjon Skoleprosjekt MAT4010

Integrasjon Skoleprosjekt MAT4010 Integrsjon Skoleprosjekt MAT4010 Tiin K. Kristinslund, Julin F. Rossnes og Torstein Hermnsen 19. mrs 2014 1 Innhold 1 Innledning 3 2 Integrsjon 3 3 Anlysens fundmentlteorem 7 4 Refernser 10 2 1 Innledning

Detaljer

Tall i arbeid Påbygging terminprøve våren 2014

Tall i arbeid Påbygging terminprøve våren 2014 Terminprøve våren 014 Tll i rei Påygging terminprøve våren 014 DEL 1 Uten hjelpemiler Hjelpemiler: vnlige skrivesker, psser, linjl me entimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 1 Skriv tllet Skriv tllet 6 3,15

Detaljer

Fasit. Grunnbok. Kapittel 2. Bokmål

Fasit. Grunnbok. Kapittel 2. Bokmål Fsit 9 Grunnbok Kpittel Bokmål Kpittel Lineære funksjoner rette linjer. ƒ(x) = 4x + 5 ƒ() = 3 ƒ(4) = ƒ(6) = 9.6 ƒ(x) = -x b ƒ(x) = x b ƒ(x) = (x + ) 3 ƒ() = ƒ(4) = 8 ƒ(6) = 4 ƒ(x) = x 4 ƒ() = - ƒ(4) =

Detaljer

Årsprøve 2014 10. trinn Del 2

Årsprøve 2014 10. trinn Del 2 2 Årsprøve 2014 10. trinn Del 2 Informsjon for del 2 Prøvetid: Hjelpemidler på del 2: Vedlegg: Andre opplysninger: Fremgngsmåte og forklring: Veiledning om vurderingen: 5 timer totlt Del 2 skl du levere

Detaljer

Eksempeloppgaver 2014 Løsninger

Eksempeloppgaver 2014 Løsninger DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med centimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 19 millirder 9 10 = 19 10 = 1,9 10 0,089 10 = 8,9 10 10 = 8,9 10 Oppgve 6 6 8 Prosentvis

Detaljer

Faktorisering. 1 Hva er faktorisering? 2 Hvorfor skal vi faktorisere? Per G. Østerlie Senter for IKT i utdanningen 11.

Faktorisering. 1 Hva er faktorisering? 2 Hvorfor skal vi faktorisere? Per G. Østerlie Senter for IKT i utdanningen 11. Fktorisering Per G. Østerlie Senter for IKT i utdnningen per@osterlie.no 11. mi 013 1 Hv er fktorisering? Vi må se på veret å fktorisere. Hv er det vi skl gjøre når vi fktoriserer? Svret er: å lge fktorer.

Detaljer

Praktiske opplysninger til rektor. Fag: MATEMATIKK 1TY for yrkesfag Fagkode: MAT1006 Eksamensdato: Antall forberedelsesdager: Ingen

Praktiske opplysninger til rektor. Fag: MATEMATIKK 1TY for yrkesfag Fagkode: MAT1006 Eksamensdato: Antall forberedelsesdager: Ingen Loklt gitt eksmen 2013 Prktiske opplysninger til rektor Fg: MATEMATIKK 1TY for yrkesfg Fgkode: MAT1006 Eksmensdto: 30.5.2013 Antll foreredelsesdger: Ingen Forhold som skolen må være oppmerksom på: Eksmenen

Detaljer

OPPLÆRINGSREGION NORD. Skriftlig eksamen. MAT1001 Matematikk 1P-Y HØSTEN 2011. Privatister. Yrkesfag. Alle yrkesfaglige utdanningsprogrammer

OPPLÆRINGSREGION NORD. Skriftlig eksamen. MAT1001 Matematikk 1P-Y HØSTEN 2011. Privatister. Yrkesfag. Alle yrkesfaglige utdanningsprogrammer OPPLÆRINGSREGION NORD LK06 Finnmrk fylkeskommune Troms fylkeskommune Nordlnd fylkeskommune Nord-Trøndelg fylkeskommune Sør-Trøndelg fylkeskommune Møre og Romsdl fylke Skriftlig eksmen MAT1001 Mtemtikk

Detaljer

ALTERNATIV GRUNNBOK BOKMÅL

ALTERNATIV GRUNNBOK BOKMÅL Anne Rsch-Hlvorsen Oddvr Asen Illustrtør: Bjørn Eidsvik 7B NY UTGAVE ALTERNATIV GRUNNBOK BOKMÅL CAPPELEN DAMM AS, 2011 Mterilet i denne publiksjonen er omfttet v åndsverklovens bestemmelser. Uten særskilt

Detaljer

Temahefte nr. 1. Hvordan du regner med hele tall

Temahefte nr. 1. Hvordan du regner med hele tall 1 ARBEIDSHEFTE I MATEMATIKK SNART MATTE EKSAMEN Hvordn du effektivt kn forberede deg til eksmen Temhefte nr. 1 Hvordn du regner med hele tll Av Mtthis Lorentzen mttegrisenforlg.com Opplysning: De nturlige

Detaljer

S1 kapittel 6 Derivasjon Løsninger til oppgavene i boka

S1 kapittel 6 Derivasjon Løsninger til oppgavene i boka S kpittel 6 Derivsjon Løsninger til oppgvene i ok 6. c y x y x = = = = y x 4 5 9 4 y 5 6 x 4 = = = = y x y x = = = = 7 ( 5) 6 ( ) 8 6. f( x ) f( x ) 5 7 x x ( ) 4 = = = = 6. T( x) = 0,x +,0 T T = + = (0)

Detaljer

Oppgave 2 Betydningen til hvert enkelt siffer er bestemt av sifferets plassering eller posisjon. Tallet 4321 betyr

Oppgave 2 Betydningen til hvert enkelt siffer er bestemt av sifferets plassering eller posisjon. Tallet 4321 betyr KAPITTEL 1 TALL OG TALLREGNING FLERE UTFORDRINGER Oppgve 1 Du hr sifrene A 1 3 5 7 9 og B 2 4 6 8 Ve å ruke tre v sifrene i enten A eller B skl u lge ett tll så nærme 500 som mulig. Du kn re ruke ett siffer

Detaljer

Sem 1 ECON 1410 Halvor Teslo

Sem 1 ECON 1410 Halvor Teslo Løsningsforslg til seminr i ECON : Internsjonl økonomi.seminruke V ) Den økonomien vi her står ovenfor produserer re to goder, tø og vin. Altså vil lterntivkostnden for den ene vren nødvendigvis måles

Detaljer

... JULEPRØVE 9. trinn...

... JULEPRØVE 9. trinn... .... JULEPRØVE 9. trinn.... Nvn: Gruppe: DELPRØVE 1 uten hjelpemidler ( 37 poeng) På denne delprøven kn du re ruke skrivesker, psser og linjl. Alle oppgvene i del 1 skl føres rett på rket. I noen oppgver

Detaljer

Mer øving til kapittel 3

Mer øving til kapittel 3 Mer øving til kpittel 3 KAPITTEL 3 FUNKSJONER Oppgve 1 Tegn et koordintsystem og merk v punktene (1, 5) d (3, 2) ( 2, 3) e ( 3, 5) (4, 0) f (0, 4) Oppgve 2 Hvilke koordintpr hr de ulike punktene i koordintsystemet?

Detaljer

6 Brøk. Matematisk innhold Brøk i praktiske situasjoner Brøk som del av en mengde. Utstyr Eventuelt ulike konkreter, som brikker og knapper

6 Brøk. Matematisk innhold Brøk i praktiske situasjoner Brøk som del av en mengde. Utstyr Eventuelt ulike konkreter, som brikker og knapper Brøk I dette kpitlet lærer elevene om røk som del v en helhet, der helheten kn være en mengde, en lengde eller en figur, og de skl lære om røk som del v en mengde. De skl lære å finne delen når det hele

Detaljer

DEL 1 Uten hjelpemidler

DEL 1 Uten hjelpemidler Eksmen høsten 013 Løsninger Eksmen høsten 013 Løsninger DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med centimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 150 sider Vi finner først hvor mnge

Detaljer

Fag: Matematikk 1T-Y for yrkesfag for elever og privatisterr. Eksamensdato: 16. januar 2012

Fag: Matematikk 1T-Y for yrkesfag for elever og privatisterr. Eksamensdato: 16. januar 2012 Loklt gittt eksmen Eksmen Fg: Mtemtikk 1T-Y for yrkesfg for elever og privtisterr Fgkode: MAT1006 Eksmensdto: 16. jnur 2012 Antll sider i oppgven: 7 inklusiv forside og opplysningsside Del 1: oppgve 1-5

Detaljer

Mer øving til kapittel 2

Mer øving til kapittel 2 Mer øving til kpittel 2 KAPITTEL 2 GEOMETRI OG MÅLING Oppgve 1 Oppgve 2 Oppgve 3 Anne hr vært på ferie til sine esteforeldre fr 28. juni til 9. ugust. Hvor mnge dger hr hun vært på ferie? Fr hun kom hjem

Detaljer

2 Symboler i matematikken

2 Symboler i matematikken 2 Symoler i mtemtikken 2.1 Symoler som står for tll og størrelser Nvn i geometri Nvn i mtemtikken enyttes på lignende måte som nvn på yer og personer, de refererer eller representerer et tll eller en størrelse,

Detaljer

S1 kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka

S1 kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka S1 kpittel 8 Eksmenstrening Løsninger til oppgvene i læreok E1 995 995 5 + 5 (995 5) (995 + 5) + 5 990 1000 + 5 990 000 + 5 990 05 E E (61+ 9) 51 49) (51+ 49) 61 9 (61 9) 51 49 ( 100 100 11 1997 00 199

Detaljer

Sensorveiledning Oppgaveverksted 4, høst 2013 (basert på eksamen vår 2011)

Sensorveiledning Oppgaveverksted 4, høst 2013 (basert på eksamen vår 2011) Sensorveiledning Oppgveverksted 4, høst 203 (bsert på eksmen vår 20) Ved sensuren tillegges oppgve vekt 0,2, oppgve 2 vekt 0,4, og oppgve 3 vekt 0,4. For å bestå eksmen, må besvrelsen i hvert fll: gi minst

Detaljer

2 Tallregning og algebra

2 Tallregning og algebra Tllregning og lger KATEGORI. Regnerekkefølge Oppgve.0 Regn uten digitlt hjelpemiddel. + ( + ) ( ) Oppgve. Regn uten digitlt hjelpemiddel. Oppgve. Regn ut med og uten digitlt hjelpemiddel. + (7 + ) ( 9)

Detaljer

Effektivitet og fordeling

Effektivitet og fordeling Effektivitet og fordeling Vi skl svre på spørsmål som dette: Hv etyr det t noe er smfunnsøkonomisk effektivt? Er det forskjell på smfunnsøkonomisk og edriftsøkonomisk effektivitet? Er det en motsetning

Detaljer

E K S A M E N. Matematikk 3MX. Elevar/Elever Privatistar/Privatister. AA6524/AA6526 8. desember 2004 UTDANNINGSDIREKTORATET

E K S A M E N. Matematikk 3MX. Elevar/Elever Privatistar/Privatister. AA6524/AA6526 8. desember 2004 UTDANNINGSDIREKTORATET E K S A M E N UTDANNINGSDIREKTORATET Mtemtikk 3MX Elevr/Elever Privtistr/Privtister AA654/AA656 8. desember 004 Vidregånde kurs II / Videregående kurs II Studieretning for llmenne, økonomiske og dministrtive

Detaljer

a 5 (2 + 8) d 5 (2 + 8) 4 g b 3 5 (2 + 8) e h 3 ( ) j Begrunn hvorfor du ikke får samme svar på oppgave b og g.

a 5 (2 + 8) d 5 (2 + 8) 4 g b 3 5 (2 + 8) e h 3 ( ) j Begrunn hvorfor du ikke får samme svar på oppgave b og g. Mtemtikk for ungomstrinnet KAPITTEL 4 TALL OG ALGEBRA MER ØVING Oppgve 1 Oppgve 2 Se på uttrykket A = g h. Hv forteller e ulike okstvene? Se på uttrykket O = 2π. Hv står e ulike symolene for? Forklr hv

Detaljer

Kapittel 3. Potensregning

Kapittel 3. Potensregning Kpittel. Potensregning I potensregning skriver vi tll som potenser og forenkler uttrykk som inneholder potenser. Dette kpitlet hndler blnt nnet om: Betydningen v potenser som hr negtiv eksponent eller

Detaljer

SENSORVEILEDNING ECON 1410; VÅREN 2005

SENSORVEILEDNING ECON 1410; VÅREN 2005 SENSORVEILEDNING ECON 40; VÅREN 2005 Oppgve er midt i pensum, og urde kunne esvres v dem som hr lest og fulgt seminrer. Her kommer en fyldig gjennomgng v det jeg hr ttt opp. ) Her ør kndidten gjøre rede

Detaljer

Brøkregning og likninger med teskje

Brøkregning og likninger med teskje Brøkregning og likninger med teskje Dette heftet gir en uformell trinn for trinn gjennomgng v grunnleggende regler for brøkregning og likninger. Dette er sto som vi i FYS 000 egentlig forventer t dere

Detaljer

M2, vår 2008 Funksjonslære Integrasjon

M2, vår 2008 Funksjonslære Integrasjon M, vår 008 Funksjonslære Integrsjon Avdeling for lærerutdnning, Høgskolen i Vestfold. pril 009 1 Arelet under en grf Vi begynner vår diskusjon v integrsjon, på smme måte som vi begynte med derivsjon, ved

Detaljer

Hva er tvang og makt? Tvang og makt. Subjektive forhold. Objektive forhold. Omfanget av tvangsbruk. Noen eksempler på inngripende tiltak

Hva er tvang og makt? Tvang og makt. Subjektive forhold. Objektive forhold. Omfanget av tvangsbruk. Noen eksempler på inngripende tiltak Tvng og mkt Omfng v tvng og mkt, og kommunl kompetnse Hv er tvng og mkt? Tiltk som tjenestemottkeren motsetter seg eller tiltk som er så inngripende t de unsett motstnd må regnes som ruk v tvng eller mkt.

Detaljer

Fag: Matematikk 1T-Y for elever og privatister. Antall sider i oppgaven: 8 inklusiv forside og opplysningsside

Fag: Matematikk 1T-Y for elever og privatister. Antall sider i oppgaven: 8 inklusiv forside og opplysningsside Loklt gitt eksmen 2012 Eksmen Fg: Mtemtikk 1T-Y for elever og privtister Fgkode: MAT1006 Eksmensdto: 25. mi Antll sider i oppgven: 8 inklusiv forside og opplysningsside Eksmenstid: Hjelpemidler under eksmen:

Detaljer

Fasit. Grunnbok. Kapittel 4. Bokmål

Fasit. Grunnbok. Kapittel 4. Bokmål Fsit Grunnok Kpittel 4 Bokmål Kpittel 4 Kvdrtiske funksjoner ndregrdsfunksjoner 4.1 Stigningstll Skjæring -kse Skjæring y-kse 4 ( 2, 0) (0, 8) 1 (1, 0) (0, 1) 1 (9, 0) (0, 3) 3 4.5 y = + = 0, y =, y =

Detaljer

S1 kapittel 4 Logaritmer Løsninger til oppgavene i boka

S1 kapittel 4 Logaritmer Løsninger til oppgavene i boka Løsninger til oppgvene i ok S kpittel 4 Logritmer Løsninger til oppgvene i ok 4. Vi leser v fr tllet 4 på y-ksen og ser t vi får den tilhørende verdien,6 på -ksen. lg 4,6 Vi leser v fr tllet,5 på y-ksen

Detaljer

Kapittel 5 Statistikk og sannsynlighet Mer øving

Kapittel 5 Statistikk og sannsynlighet Mer øving Kpittel 5 Sttistikk og snnsynlighet Mer øving Oppgve 1 Digrmmet nefor viser hvorn krkteren vr forelt på en norskprøve. 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 Hvor mnge fikk krkteren 4? Hvor mnge elever er et i klssen?

Detaljer

Oppgave 1 Diagrammet nedenfor viser hvordan karakteren var fordelt på en norskprøve.

Oppgave 1 Diagrammet nedenfor viser hvordan karakteren var fordelt på en norskprøve. Mtemtikk for ungomstrinnet KAPITTEL 5 STATISTIKK OG SANNSYNLIGHET MER ØVING Oppgve 1 Digrmmet neenfor viser hvorn krkteren vr forelt på en norskprøve. 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 Hvor mnge fikk krkteren 4?

Detaljer

Mer øving til kapittel 1

Mer øving til kapittel 1 Mer øving til kpittel 1 KAPITTEL 1 TALL OG TALLREGNING Oppgve 1 Finn svret ve hoeregning. Velg to v oppgvene og forklr hvilken strtegi u hr rukt. 27 + 38 e 160 70 i 130 4 35 + 75 f 19 5 j 6 7,5 58 + 42

Detaljer

R1 kapittel 7 Sannsynlighet. Kapitteltest. Oppgave 1. Oppgave 2. Oppgave 3. Del 1 Uten hjelpemidler. Løsninger til oppgavene i boka

R1 kapittel 7 Sannsynlighet. Kapitteltest. Oppgave 1. Oppgave 2. Oppgave 3. Del 1 Uten hjelpemidler. Løsninger til oppgavene i boka Løsninger til oppgvene i ok R1 kpittel 7 Snnsynlighet Løsninger til oppgvene i ok Kpitteltest Del 1 Uten hjelpemidler Oppgve 1 De fem lppene kn ordnes i rekkefølge på 5! = 15 = forskjellige måter. Vi kn

Detaljer

Nytt skoleår, nye bøker, nye muligheter!

Nytt skoleår, nye bøker, nye muligheter! Nytt skoleår, nye øker, nye muligheter! Utstyret dere trenger, er som i fjor: Læreok lånes v skolen vinkelmåler, --9 og - -9-treknter, psser, lynt, viskelær, penn, A-rk til innføring og A klddeok. Og en

Detaljer

R2 - Heldagsprøve våren 2013

R2 - Heldagsprøve våren 2013 Løsningsskisser HD R R - Heldgsprøve våren 0 Løsningsskisser Viktigste oppsummeringer: Må skrive med penn på eksmen! Slurv og regnefeil, både med tll og bokstver, er hovedproblemet. Beste måten å fikse

Detaljer

Basisoppgaver til 2P kap. 1 Tall og algebra

Basisoppgaver til 2P kap. 1 Tall og algebra Bsisoppgver til P kp. Tll og lger. Potenser. Nye potenser. Store og små tll. Stnrform. Tllsystemer. Femtllsystemet. Totllsystemet.7 Prosentregning me vekstfktor.8 Renteregning Ashehoug www.lokus.no Ashehoug

Detaljer

Løsninger til oppgaver i boka

Løsninger til oppgaver i boka Løsninger til oppgver i ok Kpittel 1 Alger Løsninger til oppgver i ok 1.9 d På ildet ser vi t den lengste siden i tkåpningen er omtrent så lng som den korteste. Om vi kller den korteste siden for x, hr

Detaljer

1 Geometri KATEGORI 1. 1.1 Vinkelsummen i mangekanter. 1.2 Vinkler i formlike figurer

1 Geometri KATEGORI 1. 1.1 Vinkelsummen i mangekanter. 1.2 Vinkler i formlike figurer Oppgver 1 Geometri KTGORI 1 1.1 Vinkelsummen i mngeknter Oppgve 1.110 ) I en treknt er to v vinklene 65 og 5. Finn den tredje vinkelen. b) I en firknt er tre v vinklene 0, 50 og 150. Finn den fjerde vinkelen.

Detaljer

Juleprøve trinn Del 1 Navn:

Juleprøve trinn Del 1 Navn: Juleprøve 2014 10. Del 1 Nvn: Informsjon for del 1 1 Prøvetid 5 timer totlt. Del1 og Del 2 skl deles ut smtidig. Del 1 skl du levere innen 2 timer. Hjelpemidler i del 1 Andre opplysninger Del 2 skl du

Detaljer

Løsningsforslag til eksamensoppgaver i ECON 2200 våren 2015

Løsningsforslag til eksamensoppgaver i ECON 2200 våren 2015 Løsningsforslg til eksmensogver i ECON 00 våren 05 Ogve (7 oeng) Deriver følgende funskjoner 3 ) f ( ) gir f ( ) 3 ) f ( ) e e( ) gir f ( ) e c) f ( ) ln gir f ( ) 3 3 (3 ) 3 lterntivt f ( ) ln ln 3 gir

Detaljer

MATEMATIKKPRØVE 11. FEBRUAR.

MATEMATIKKPRØVE 11. FEBRUAR. MATEMATIKKPRØVE 11. FEBRUAR. Nvn: Klsse: DELPRØVE 1 uten lommeregner og p (41 poeng) Alle oppgvene i del 1 skl føres rett på rket. I noen oppgver er det en regnerute. Her skl du føre oppgven oversiktlig

Detaljer

Påbygging kapittel 2 Funksjoner 1 Løsninger til oppgavene i boka

Påbygging kapittel 2 Funksjoner 1 Løsninger til oppgavene i boka Påygging kpittel 2 Funksjoner 1 Løsninger til oppgvene i ok 2.1 Origo hr koordintene (0, 0). Vi finner koordintene til punktene ved å lese v punktets verdi på x-ksen og y-ksen. A = (125,10) B = (0, 12,5)

Detaljer

Løsningsforslag til avsluttende eksamen i HUMIT1750 høsten 2003.

Løsningsforslag til avsluttende eksamen i HUMIT1750 høsten 2003. Løsningsforslg til vsluttende eksmen i HUMIT1750 høsten 2003. Teksten under hr litt litt prtsom fordi jeg hr villet forklre hvordn jeg gikk frm. Fr en studentesvrelse le det ikke forventet nnet enn sluttresulttene.

Detaljer

Matematikk Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 9 Numerisk integrasjon

Matematikk Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 9 Numerisk integrasjon Mtemtikk 1000 Øvingsoppgver i numerikk leksjon 9 Numerisk integrsjon Forståelsen v integrlet som et rel ligger til grunn når vi skl beregne integrler numerisk. Litt mer presist: Når f(x) 0 for lle x i

Detaljer

Kalkulus 2. Volum av et omdreiningslegeme. Rotasjon rundt x-aksen

Kalkulus 2. Volum av et omdreiningslegeme. Rotasjon rundt x-aksen Klkulus Klkulus Volum v et omdreiningslegeme Rotsjon rundt x-ksen På figuren nedenfor hr vi skrvert området vgrenset v grfen til den kontinuerlige funksjonen y = f( x) og x-ksen fr x= til x=. Når vi roterer

Detaljer

Flere utfordringer til kapittel 1

Flere utfordringer til kapittel 1 Flere utfordringer til kpittel 1 KAPITTEL 1 TALL OG TALLREGNING Oppgve 1 Forklr forskjellen på rsjonle og irrsjonle tll. Hv kjennetegner dem? Hvordn kn vi se t et tll er rsjonlt eller irrsjonlt? Skriv

Detaljer

... JULEPRØVE

... JULEPRØVE Ashehoug JULEPRØVE 2014 9. trinn.... JULEPRØVE 2014.... Nvn: Gruppe: DELPRØVE 1 uten hjelpemidler ( 37 poeng) På denne delprøven kn du re ruke skrivesker, psser og linjl. Alle oppgvene i del 1 skl føres

Detaljer

Årsprøve trinn Del 1. Navn: Informasjon for del 1. Del 1 skal du levere innen 2 timer.ere innen 2 timer. Del 2 leverer du innen 5 timer.

Årsprøve trinn Del 1. Navn: Informasjon for del 1. Del 1 skal du levere innen 2 timer.ere innen 2 timer. Del 2 leverer du innen 5 timer. Årsprøve 2015 10. trinn Del 1 Nvn: Informsjon for del 1 Prøvetid: Hjelpemidler på del 1: Andre opplysninger: Fremgngsmåte og forklring: 5 timer totlt. Del 1 skl du levere innen 2 timer.ere innen 2 timer.

Detaljer

Eksamensdato: 25. mai. I del 3 skal du gjøre oppgavene for ditt utdanningsprogram.

Eksamensdato: 25. mai. I del 3 skal du gjøre oppgavene for ditt utdanningsprogram. Lokl gitt eksmen 2012 Eksmen Fg: Mtemtikk 1P for yrkesfg for elever og privtister Fgkode: MAT1001 Eksmensdto: 25. mi Del 1: oppgve 1-5 Del 2: oppgve 6-11 Del 3: oppgve 12-13 I del 3 skl du gjøre oppgvene

Detaljer

Løsning til KONTROLLOPPGAVER Sinus S2 1 Rekker Uten hjelpemidler OPPGAVE 1 a) 1) b) 1) c) d)

Løsning til KONTROLLOPPGAVER Sinus S2 1 Rekker Uten hjelpemidler OPPGAVE 1 a) 1) b) 1) c) d) Løsning til KONTROLLOPPGAVER Sinus S Rekker Uten hjelpemidler OPPGAVE ) ) Når følgen er ritmetisk, er 3 d 8 = + d 8 = d 6 d 8 d 8 0 ) Når følgen er geometrisk, er k 3 8 = k k = 8 = 9 k = 3 eller k = 3

Detaljer

R1 kapittel 7 Sannsynlighet

R1 kapittel 7 Sannsynlighet Løsninger til oppgvene i ok R kpittel 7 Snnsynlighet Løsninger til oppgvene i ok Oppgve 7. Hvis A hr inntruffet, ltså t den første kul er lå, så er det tre røde og én lå kule igjen i esken når vi skl trekke

Detaljer

Kvalitetssikring av elektronisk pasientjournal - Skjema 1

Kvalitetssikring av elektronisk pasientjournal - Skjema 1 70778 EPJ Kvlitetssikring Skjem v. Hllvrd Lærum (tlf. 79886) Kvlitetssikring v elektronisk psientjournl - Skjem I dette spørreskjemet ønsker vi å få vite noe om din prktiske ruk v og ditt syn på elektronisk

Detaljer

t-r t_t T 4 Hvorfor arbeider vi? I-l II l- l=i 2 Vokabular 1 Hva er viktig med jobb? Je V Sett kryss og diskuter.

t-r t_t T 4 Hvorfor arbeider vi? I-l II l- l=i 2 Vokabular 1 Hva er viktig med jobb? Je V Sett kryss og diskuter. Hvorfor reider vi? 1 Hv er viktig med jo? Sett kryss og diskuter. For meg er det viktig à treffe mennesker! Ti 3 Er Det er lnn som er viktisstl Jeg symes det er viktig á fà ruke evnene mine. Det er viktig

Detaljer

S2 kapittel 1 Rekker Utvalgte løsninger oppgavesamlingen

S2 kapittel 1 Rekker Utvalgte løsninger oppgavesamlingen Utvlgte løsiger oppgvesmlige S kpittel Rekker Utvlgte løsiger oppgvesmlige 0 Vi k prøve med differsemetode Differsee mellom leddee utover er 4,6,8, så det er rimelig t differse mellom femte og fjerde ledd

Detaljer

Årsprøve trinn Del 1. Navn: Informasjon for del 1

Årsprøve trinn Del 1. Navn: Informasjon for del 1 Årsprøve 2015 9. trinn Del 1 Nvn: Informsjon for del 1 Prøvetid: Hjelpemidler på del 1: Andre opplysninger: Fremgngsmåte og forklring: 5 timer totlt. Del 1 og Del 2 skl deles ut smtidig Del 1 skl du levere

Detaljer

Kapittel 4 Kombinatorikk og sannsynlighet. Løsninger til oppgaver i boka. Løsninger til oppgaver i boka

Kapittel 4 Kombinatorikk og sannsynlighet. Løsninger til oppgaver i boka. Løsninger til oppgaver i boka Kpittel 4 Kombintorikk og snnsynlighet Løsninger til oppgver i bok 4.4 Oppgve 4.2 løst ved multipliksjonsprinsippet: multipliksjon v de ulike vlgmulighetene v forretter, hovedretter og desserter gir uttrykket

Detaljer

Lokalt gitt eksamen 2010

Lokalt gitt eksamen 2010 Loklt gitt eksmen 2010 Eksmen Fg: Mtemtikk 1P for yrkesfg Fgkode: MAT1001 Eksmensdto: 28. mi Del 1: oppgve 1 6 Del 2: oppgve 7 11 Antll sider til smmen i del 1 og 2 inkl. forside: 9 Del 3: oppgve 12 13

Detaljer

Arbeidsinnvandring etter EU-utvidelsen - konsekvenser for byggenæringen

Arbeidsinnvandring etter EU-utvidelsen - konsekvenser for byggenæringen Areidsinnvndring etter EU-utvidelsen - konsekvenser for yggenæringen Norsk Ståldg 4 Advokt Kirsti Stoklnd 1 Tem BNL undersøkelse om ruk v utenlndsk reidskrft Kort om regelverket Den seriøse yggenæringen

Detaljer

Fag: Matematikk 1P for yrkesfag. Eksamensdato: sommerskolen

Fag: Matematikk 1P for yrkesfag. Eksamensdato: sommerskolen Loklt gitt eksmen 2011 Eksmen Fg: Mtemtikk 1P for yrkesfg Fgkode: MAT1001 Eksmensdto: sommerskolen Del 1: oppgve 1 6 Del 2: oppgve 7 11 Antll sider til smmen i del 1 og 2 inkl. forside: 10 Del 3: oppgve

Detaljer

! Dekoder: En av 2 n output linjer er høy, avhengig av verdien på n inputlinjer. ! Positive tall: Som før

! Dekoder: En av 2 n output linjer er høy, avhengig av verdien på n inputlinjer. ! Positive tall: Som før Dgens temer Enkoder! Dgens temer hentes fr kpittel 3 i Computer Orgnistion nd Architecture! Dekoder: En v 2 n output linjer er høy, vhengig v verdien på n inputlinjer! Enkoder/demultiplekser (vslutte fr

Detaljer

Navn: Klasse: Ekstrahefte 2. Brøk

Navn: Klasse: Ekstrahefte 2. Brøk Nvn: Klsse: Ekstrhefte Brøk Brøk Oppg. ) Finn største felles fktor (sff) for teller og nevner ved å fktorisere. Bruk dette til å forkorte røken. 0 6 ) Finn minste felles multiplum (mfm) for nevnerne ved

Detaljer

Regn i hodet. a) 15 : 3 = b) 24 : 6 = c) 36 : 4 = d) 48 : 8 = Regn i hodet. a) 21 : 3 = b) 28 : 7 = c) 49 : 7 = d) 64 : 8 =

Regn i hodet. a) 15 : 3 = b) 24 : 6 = c) 36 : 4 = d) 48 : 8 = Regn i hodet. a) 21 : 3 = b) 28 : 7 = c) 49 : 7 = d) 64 : 8 = 10 Divisjon 2 1 Regn i hodet. ) 15 : 3 = b) 24 : 6 = c) 36 : 4 = d) 48 : 8 = 2 Regn i hodet. ) 21 : 3 = b) 28 : 7 = c) 49 : 7 = d) 64 : 8 = 3 ) 39 : 3 = b) 56 : 4 = c) 96 : 8 = d) 98 : 7 = 4 Gi svret med

Detaljer

Litt av matematikken bak solur

Litt av matematikken bak solur Anne Bruvold Revidert mrs 005 Bkgrunn Min interesse for solur le vekket d jeg i 000 skulle holde et lite foredrg om kjeglesnitt og under foreredelsen v dette kom over rtikler som kolet kjeglesnitt med

Detaljer

EKSAMEN. ANTALL SIDER UTLEVERT: 7 (innkl. forside og 2 sider formelark)

EKSAMEN. ANTALL SIDER UTLEVERT: 7 (innkl. forside og 2 sider formelark) KANDIDATNUMMER: EKSAMEN FAGNAVN: Mtemtikk FAGNUMMER: REA EKSAMENSDATO: 5. desember 6 KLASSE:. klssene, ingenørutdnning. TID: kl. 9... FAGLÆRER: Hns Petter Hornæs ANTALL SIDER UTLEVERT: 7 (innkl. forside

Detaljer

3.7 Pythagoras på mange måter

3.7 Pythagoras på mange måter Oppgve 3.18 Vis t det er mulig å multiplisere og dividere linjestykker som vist i figur 3.. Bruk formlikhet. 3.7 Pythgors på mnge måter Grekeren Pythgors le født på Smos 569 og døde. år 500 f. Kr. Setningen

Detaljer

Basisoppgaver til Tall i arbeid P kap. 1 Tall og algebra

Basisoppgaver til Tall i arbeid P kap. 1 Tall og algebra Bsisoppgver til Tll i reid P kp. 1 Tll og lger 1.1 Regning med hele tll 1. Brøk 1.3 Store og små tll 1.4 Bokstvuttrykk 1.5 Likninger 1.6 Formler 1.7 Hverdgsmtemtikk 1.8 Proporsjonlitet Bsisoppgver 1.1

Detaljer

2P kapittel 2 Funksjoner

2P kapittel 2 Funksjoner Løsninger til oppgvene i ok P kpittel Funksjoner Løsninger til oppgvene i ok.1 D f = [ 1, 6,5] V = [ 1,4] f V f. D f Vnnstnden kl. 16 er gitt i punktet A på figuren. Vnnstnden vr c. 190 cm. Aschehoug www.lokus.no

Detaljer

MAT 100a - LAB 4. Før vi gjør dette, skal vi for ordens skyld gjennomgå Maple-kommandoene for integrasjon (cf. GswM kap. 12).

MAT 100a - LAB 4. Før vi gjør dette, skal vi for ordens skyld gjennomgå Maple-kommandoene for integrasjon (cf. GswM kap. 12). MAT 00 - LAB 4 Denne øvelsen er i hovedsk viet til integrsjon. For mnge er integrsjon i prksis det smme som ntiderivsjon, og noe som kn rukes til å eregne relet v enkelte områder i plnet som lr seg egrense

Detaljer

EVALUERINGS- RAPPORT NOTAT SAMMENDRAG X X Helge Hugdahl 18

EVALUERINGS- RAPPORT NOTAT SAMMENDRAG X X Helge Hugdahl 18 EVALUERINGS- RAPPORT GJELDER 16. Nsjonle seminr om Hydrogeologi og Miljøgeokjemi GÅR TIL Jn Crmer Rolf Tore Ottesen VP-møtet BEHANDLING X X NOTAT UTTALELSE ORIENTERING X ETTER AVTALE PROSJEKT DATO SAKSBEARBEIDER/FORFATTER

Detaljer

2P kapittel 5 Eksamenstrening

2P kapittel 5 Eksamenstrening P kpittel 5 Eksmenstrening Løsninger til oppgvene i ok Uten hjelpemidler E1 3 4 0 3+ 4+ 0 7 = = = = 5 5 5 ( ) ( ) c d 7 5 3 3 3 3 6 4 3 6 4 3 3x x = 3 x x = 3 x x = 3 x = 3 x = 7x 1, 10 5,0 10 = 1, 5,0

Detaljer

Lokalt gitt eksamen 2010. Fag: Matematikk 1P for yrkesfag. Eksamensdato: 18. august

Lokalt gitt eksamen 2010. Fag: Matematikk 1P for yrkesfag. Eksamensdato: 18. august Loklt gitt eksmen 2010 Eksmen Fg: Mtemtikk 1P for yrkesfg Fgkode: MAT1001 Eksmensdto: 18. ugust Del 1: oppgve 1 4 Del 2: oppgve 5 10 Antll sider til smmen i del 1 og 2 inkl. forside: 10 Del 3: oppgve 11

Detaljer

Problemløsning eller matematiske idéer i undervisningen?

Problemløsning eller matematiske idéer i undervisningen? Prolemløsning eller mtemtiske idéer i undervisningen? n Lksov Något som oft förekommer i diskussionen om skolns mtemtikundervisning är vvägningen melln prolemlösning och teori. I denn rtikel poängterr

Detaljer

Leger. A. Om din stilling. Klinisk stilling: Turnuslege Assistentlege Overlege. B. Om din erfaring med bruk av datamaskin. 1 Eier du en datamaskin?

Leger. A. Om din stilling. Klinisk stilling: Turnuslege Assistentlege Overlege. B. Om din erfaring med bruk av datamaskin. 1 Eier du en datamaskin? 2357434042 A. Om din stilling Leger 1 11 Kryss v slik: Ikke slik: Klinisk stilling: Turnuslege Assistentlege Overlege B. Om din erfring med ruk v dtmskin 1 Eier du en dtmskin? J Nei 2 Hvor mnge fingre

Detaljer

Løsningsforslag til eksamen i INF2270

Løsningsforslag til eksamen i INF2270 Løsningsforslg til eksmen i INF2270 Omi Mirmothri (oppgve 1 4) Dg Lngmyhr (oppgve 5 6) 13. juni 2014 Eksmen 2270 V2013 - Fsit 1) Konverter følgene tll til inært. Vis utregning (5%). (43)es 43 / 2 = 21

Detaljer

Fasit til utvalgte oppgaver MAT1100, uka 20-24/9

Fasit til utvalgte oppgaver MAT1100, uka 20-24/9 Fsit til utvlgte oppgver MAT00, uk 20-24/9 Øyvind Ryn oyvindry@ifi.uio.no September 24, 200 Oppgve 5..5 år vi viser t f er kontinuerlig i ved et ɛ δ-bevis, er det lurt å strte med uttrykket fx f, og finne

Detaljer

1 k 2 + 1, k= 5. i=1. i = k + 6 eller k = i 6. m+6. (i 6) i=1

1 k 2 + 1, k= 5. i=1. i = k + 6 eller k = i 6. m+6. (i 6) i=1 TMA4 Høst 6 Norges teknisk nturvitenskpelige universitet Institutt for mtemtiske fg Løsningsforslg Øving 5 5..6 Vi er gitt summen og ønsker å skrive den på formen m k=5 k +, f(i). i= Strtpunktene er henholdsvis

Detaljer