Løsningsforslag Eksamen 30. mai 2007 FY2045 Kvantefysikk

Transkript

1 Eksmen FY mi løsningsforslg 1 Oppgve 1 Løsningsforslg Eksmen 30. mi 007 FY045 Kvntefysikk. I grensen 0 er potensilet V x et enkelt okspotensil, V = V 0 for < x < 0 og uendelig ellers. Den tidsuvhengige Schrödingerligningen TUSL tr d for < x < 0 formen Den generelle løsningen er ψ = m h [V 0 E]ψ k ψ, k 1 h ψx = A sin kx + B cos kx, me V 0. Rndetingelsene ψ0 = 0 og ψ = 0, som sørger for en kontinuerlig ølgefunksjon, gir B = 0 og A sin k = 0, dvs k = nπ. Grunntilstnden som svrer til n = 1 og den tilhørende energien er ψ 1 x = A sin πx og E 1 = V 0 + h k m = h m 1 + π, den siste en fktor 1 + π = gnger potensilverdien V 0 = h /m. Når, vil som for en vnlig oks grunntilstndsenergien E 1 gå mot null. [Mer generelt vil energien E 1 vt jevnt og trutt fr verdien ovenfor mot null, når økes fr null til uendelig.]. For 0 < x <, hvor potensilet er lik null, kn den generelle løsningen v TUSL skrives på formen ψ 1 x = A sin[k 1 x ] + B cos[k 1 x ] k 1 = 1 h me 1. Kontinuiteten i x = krever t B = 0, q.e.d. D grunntilstnden skl være fri for nullpunkter i intervllet < x <, må intervllet 0 < x < svre til mindre enn en hlvølge v sinusen. Dette krever t k 1 < π, q.e.d.

2 Eksmen FY mi løsningsforslg c. Når er så stor t grunntilstndsenergien E 1 lir mindre enn V 0, lir området < x < 0 klssisk forudt for grunntilstnden, og den reltive krumningen i dette området, ψ 1 = m ψ 1 h [V 0 E 1 ], lir positiv ψ 1 krummer d utover fr ksen i dette området. Fordi kontinuiteten v ølgefunksjonen krever t ψ 1 = 0, må d prinsippskissen v grunntilstnden se slik ut: Fordi ψ 1 krummer utover fr ksen for < x < 0, ser vi her t den stiplede forlengelsen v sinusølgen som eskriver ψ 1 for x > 0 skjærer x-ksen et sted mellom x = og x = 0. Følgelig er < λ 1 / < +, q.e.d. d. For E 1 = V 0 følger det fr TUSL t ψ 1 er lik null i intervllet < x < 0, slik t ψ 1 må være lineær i dette området. D den smtidig skl være lik null for x =, hr vi ltså ψ 1 = Bx + og ψ 1 = B for < x < 0. Den logritmisk deriverte umiddelrt til venstre for origo er ltså ψ 10 ψ 1 0 = 1. For 0 < x < hdde vi ψ 1 = A sin[k 1 x ], slik t ψ 1 = k 1 A cos[k 1 x ]. Kontinuiteten i origo v ψ 1 og ψ 1, og dermed v ψ 1/ψ 1, krever d t dvs ψ 10 ψ 1 0 = 1 = ψ 10 + ψ = k 1 cos k 1 sin[k 1 ] = k 1 tn k 1, tn k 1 = k 1. Med E 1 = V 0 er ølgetllet k 1 gnske enkelt k 1 = 1 h Kontinuiteten i origo krever ltså t me 1 = 1 h mv 0 = 1. tn k 1 = tn = 1.

3 Eksmen FY mi løsningsforslg 3 Fordi k 1 skl være mindre enn π slik t ψ 1 lir fri for nullpunkter, lir d entydig estemt: k 1 = 3 3π π = = = 3π k 1 4 Skissen v grunntilstnden ψ 1 lir d slik: Første eksiterte tilstnd, ψ x, skl h ett nullpunkt i intervllet < x <. Dersom denne tilstnden skl h energien E = V 0, lir regnestykket kkurt som ovenfor, re med k 1 = 3π/4 + π. tn k 1 er d fortstt lik 1, og sin[k 1 x ] får plss til en ekstr hlv ølgelengde, slik t det lir ett nullpunkt. Venstre del v grfen for ψ lir kkurt som ψ 1 ovenfor, men i tillegg hr ltså ψ en ekstr hlv ølgelengde til høyre, idet er forlenget til = 7π = 7π k 1 4 Oppgve. Rdilligningen for funksjonen u lnr r = rr lnr r er éndimensjonl : [ h d ] µ dr + h ll + 1 ur = Eur, 0 < r < R, u0 = 0, µr og eskriver ltså formelt en éndimensjonl evegelse i et effektivt potensil V l effr = { h ll+1 µr for 0 < r < R, for r < 0 og for r > R. Her fnger etingelsen V = for r < 0 opp t u0 = 0 og t r > 0. Vi må også h ur = 0, d V = for r > R og ølgefunksjonen skl være kontinuerlig. For l = 0 er dette et rent okspotensil. For l 1 hr vi i tillegg et positivt frstøtende ledd som øker i størrelse med økende l: Bunnen v oksen heves ltså med økende l. Den lveste energien må vi derfor vente å finne for l = 0, dvs for en s-ølge. For en gitt l, derilnt l = 0, vil vi h flere energiegenfunksjoner. Disse skiller seg fr hverndre ved ntll nullpunkter n r i intervllet 0 < r < R. D ligningen ovenfor er éndimensjonl, vet vi t energiegenverdien vil øke

4 Eksmen FY mi løsningsforslg 4 med økende n r. Konklusjonen er t grunntilstnden for denne kuleformede oksen må h l = 0 og n r = 0. For l = 0 eskriver rdilligningen som nevnt en ordinær éndimensjonl oks med vidde estemt v 0 < r < R. Grunntilstnden er derfor ψ = u l=0,n r=0 r Grunntilstndsenergien er derfor Y 00, med u 00 r = A sin kr = A sin πr R. E kule = h k µ = h π µr.. For en kuisk oks med sideknt L kn grunntilstnden skrives på formen ψ 111 = A sin πx πy πz sin sin k x = k y = k z = π, L L L L og hr energien E kue = h µ k x + k y + k z = 3 h π µl. For en kuisk oks med smme volum som kul ovenfor V 0 = L 3 = 4 3 πr3 ser vi t sideknten er L = 4π/3 1/3 R 1.61 R. Forholdet mellom grunntilstndsenergiene for kuen og kul lir ltså E kue E kule = 3 R 3 /3 L = 3 = π For et gitt volum lir ltså kvntevillskpen mindre for den kuleformede oksen enn for den kuiske. c. I grunntilstnden vil de N spinn- 1 -fermionene okkupere N/ romlige én-prtikkeltilstnder, med impulser innenfor en kuleflte i impulsrommet. Rdien v denne kuleflt er den mksimle én-prtikkel-impulsen. Volumet v denne kul i impulsrommet er 4 3 πp3 F. Denne såklte Fermi-impulsen p F er d ifølge den oppgitte formelen estemt v relsjonen N = V πp3 F. h 3 Denne formelen vhenger som vi ser re v størrelsen v volumet V 0, ikke v formen. Fermi-impulsen, 3 N 1/3 p F = h = h 3π N 1/3, 8π V 0 V 0

5 Eksmen FY mi løsningsforslg 5 og Fermi-energien den mksimle én-prtikkel-energien, E F = p F µ = h 3π N /3, µ V 0 er derfor den smme for kul og kuen, når de to volumene er like store. Med µ = m e og en ntllstetthet N/V 0 = 10 3 cm 3 lir Fermi-energien E F = h m e 0 Oppgve 3 3π N V /3 = 13.6 ev 3π / ev.. D Sx = Sy = Sz lle er proporsjonle med enhetsmtrisen, følger det umiddelrt t en vilkårlig spinor er en egenspinor til lle disse opertorene, Sxχ = Syχ = Szχ = h 1 0 = h χ, med smme egenverdi h /4. Videre er S χ = 3 h χ, q.e.d. 4 så her er egenverdien 3 h /4. Egenverdien til S kn skrives på formen 3 h 4 = h h ss + 1, med s = 1. Vi sier d t spinnet er 1. Tllet 1 ngir ltså verdien v spinnkvntetllet dreieimpulskvntetllet. D egenverdien til Sx og til Sy og Sz er h /4, vil en måling v Sx med sikkerhet gi h 1 /4. En måling v S z eller S x eller S y må d gi ± h. Dette er også i tråd med den generelle regelen, som sier t vi for et dreieimpulskvntetll j kn måle J z = hm j, med m j = j, j + 1,, j. D opertorene S x, S y og S z ikke kommuterer jf den oppgitte dreieimpulslgeren, kn de tilsvrende oservlene ikke h skrpe verdier smtidig. Vi sier d t oservlene S x, S y og S z er ikke-komptile. Dette etyr eksempelvis t en måling v S x på en tilstnd med skrp S z vil forstyrre tilstnden, dvs endre den. Dette fordi målingen vil etterlte spinnet med en skrp S x, og d kn ikke S z være skrp lenger.. Det er lett å se t de to spinorene er egenspinorer til S y : 0 i 1/ S y χ ±ŷ = 1 h i 0 ±i/ 1/ = ± 1 h ±i/ = ± 1 hχ ±ŷ. 1 1 Egenverdiene er ltså hhvis + h og h. Normeringen er også lett å kontrollere: χ ±ŷ χ ±ŷ = 1/ i/ 1/ ±i/ = = 1, q.e.d.

6 Eksmen FY mi løsningsforslg 6 c. Vi regner ut χ χ = = 1/ 1/ 11 i 11 + i = i1 + i = = 1, og konstterer t χ = I formelen χ = er normert, qed. = 1 0 er og snnsynlighetsmplitudene og = 1 og = 1 i1 + i/4 = 1 er snnsynlighetene for å måle henholdsvis S z = + 1 h og S z = 1 h. 1 d. De mulige måleresulttene er egenverdiene, S y = ± h. Snnsynlighetsmplitudene for å måle hhvis S y = + 1 h og S 1 y = h er gitt ved projeksjonene v tilstnden χ = før målingen på de respektive egentilstndene for S y. Disse projeksjonene er χ ±ŷ χ = 1/ i/ 1/ 1 = i i i = 1 1 ± 1 i. Snnsynlighetene lir d hhvis P ± = χ ±ŷ χ = ± = 1 ± 1 = {