M2, vår 2008 Funksjonslære Integrasjon

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "M2, vår 2008 Funksjonslære Integrasjon"

Transkript

1 M, vår 008 Funksjonslære Integrsjon Avdeling for lærerutdnning, Høgskolen i Vestfold. pril Arelet under en grf Vi begynner vår diskusjon v integrsjon, på smme måte som vi begynte med derivsjon, ved å snkke om en biltur. Tenk om vi kjører tre timer, og vi vil vite hvor lngt vi hr kjørt under turen. Vi betrkter i utgngspunktet det enkleste tilfellet, der frten er jevn under hele turen, l oss si 50km/time. D kn vi lett beregne strekningen til enhver tid ved hjelp v formelen strekning = hstighet tid. (1) (Egentlig skulle det stå gjennomsnittshstighet her, men siden frten er jevn, spiller det ingen rolle.) I vårt tilfelle vil dette se ut som strekning etter t timer = (50km/time) (t timer). Her vil en grf v frten mot tiden se ut som i figur 1. Det noen interessnt å hente: grfen er ei vnnrett linje med vstnd 50 fr x-ksen. Se for eksempel på rektngelet vstengt v x- og y-ksene, grfen og linj x = 1, 5 timer. Dette hr rel 1, 5 50 = 75, eller, med de riktige enhetene, 1, 5 timer 50km/time = 75km. Derfor er relet v dette rektngelet lik strekningen tilbkelgt etter hlvnnen timers kjøring. På kkurt smme måte finner vi ut t strekningen etter t timer er like relet vstengt v ksene, grfen og linj x = t timer (fig. ). Slik ser vi en interessnt smmenheng mellom geometrien på grfen og den fysiske situsjonen som grfen fremstiller. Akkurt som vi måtte gjøre når vi begynte med derivsjon, må vi likevel innrømme t denne er en såpss spesiell situsjon; i virkelighet vil frten 1

2 under turen vriere. I fig. 3 trekker vi en (litt!) mer relistisk grf v frten som funksjon v tiden. Her vil ikke strekningen til enhver tid kunne beregnes så enkelt. L oss derfor tenke tilbke til når vi begynte å bygge ut derivsjonsbegrepet. Der delte vi opp grfen til en funksjon i små biter, og ltet som om hver bit vr lineær, og d kunne vi bruke de spesielle egenskpene v lineære funksjoner. Kn vi gjøre noe slikt her? Jo, vi kunne for eksempel dele opp grfen i tre intervll, og d nslå funksjonen i hvert intervll med det vnnrette linjestykket tilsvrende funksjonens verdi i midten v intervllet (fig. 4A). Ved å beregne relet v rektnglene vi så får, får vi et nslg til strekningen tilbkelgt i den timen som vi gjorde ovenfor. Vi legger relene smmen for å nslå strekningen tilbkelgt under hele turen. Her blir det 1 time 9km/time + 1 time 70km/time + 1 time 40km/time = 139km. Vi kn forbedre dette nslg ved å betrkte mindre intervll. Deler vi opp i hlvtimer istedenfor hele timer (fig. 4B), så får vi 1 67km time ( ) km/time = = 133, 5km. Idéen med integrsjon er å dele opp intervllet i mindre og mindre stykker for å få til bedre og bedre nslg. Vi håper t disse nslgene vil gå mot en bestemt verdi, som blir den riktige strekningen, som er gitt v det riktige relet under grfen. For å oppsummere: relet under en grf kn være noe som det er hensiktsmessig å studere, og dessuten kn vi tilnærme oss det ved å nslå funksjonen med små lineære biter, på en måte som minner om derivsjon. Slik er vi ført til en definisjon. Definisjon 1.1 L f være en funksjon som er kontinuerlig på et intervll [, b]. Det bestemte integrlet b f(x)dx () er det relet som er vstengt v x-ksen, funksjonens grf og de loddrette linjene gjennom (, 0) og (b, 0). Se fig. 5. L oss begrunne denne notsjon litt. Tegnet kommer fr en S, som står for summe. Symbolet dx kommer fr x, som står for en liten endring i x. Som sgt, nslår vi relet ved å dele det opp i mnge små stykker

3 som lle er nesten rektngulære. Hvert stykke hr rel omtrent lik x f(x) for en verdi v x. Til slutt legger vi smmen ( summerer vi) lle disse relene for å nslå relet v det hele, og slik kn notsjonen forklres. Er vi heldige, dersom x blir mindre og mindre, så går nslgene mot en bestemt verdi (en grenseverdi), som er det riktige relet. Denne prosedyren v å beregne relet under en (kontinuerlig) grf klles for integrsjon. Det viser seg t det å beregne den ovennevnte grenseverdien direkte kn være vnskelig. Det vi skl gjøre istedenfor, er å bruke en overrskende og vkker forbindelse mellom derivsjon og integrsjon, som vi nå skl studere. Et interessnt eksempel L f(x) være den lineære funksjonen 4x + 1. Definisjon.1 Vi skriver F (x) for relfunksjonen til f, hvis verdien i et punkt x er relet vstengt v x- og y-ksene, grfen til f og den loddrette linj gjennom (x, 0). Se fig. 6. Obs: Her teller rel som ligger under x-ksen negtivt. L oss beregne en formel for F (x). Arelet vi undersøker er i formen v en trpes. De to prllelle sidene hr vstnd x fr hverndre, og de to ndre sidene hr lengde f(0) = 1 og f(x) = 4x + 1. Arelet til trpesen er derfor ( ) 1 + 4x + 1 F (x) = x = x + x. Nå skjer det noe uforventet og spennende. Hvis vi deriverer F (x), d får vi ikke noe nnet enn den opprinnelige funksjonen f(x) = 4x +1! Kn det være tilfeldig? Rskt ersttter vi f(x) med en vilkårlig lineær funksjon x + b, og d sjekker vi på smme måte t relfunksjonen er gitt v x + bx, hvis den deriverte er nok igjen lik den opprinnelige funksjonen x + b. Dr meg bklengs inn i fuglekss! Hv kn dette bety? Dette er et eksempel på et generelt fenomen: t integrsjon er det motstte til derivsjon, på en måte som vi skl presisere i det som følger. 3

4 3 Integrsjon og derivsjon L f være en funksjon som er kontinuerlig på et intervll [, b]. Her skl vi beskrive en metode for å beregne det bestemte integrlet (). Som i Defn..1, definerer vi relfunksjonen til f på [, b] som F (x) := x f(s)ds. Bemerkning 3.1 Her ser vi ut til å h rotet med x og s. Vribelen s er en slgs hjelpevribel, som forsvinner når vi beregner relet. Vi hr sett hjelpevribler som forsvinner til slutt før: tenk på t-en i definisjonen v den deriverte. Arelet F (x) er vhengig bre v x (den smme x-en som f(x) er vhengig v), kkurt som det skl være. Se fig. 7. Nå er vi i stnd til å beskrive den viktige forbindelsen mellom integrsjon og derivsjon: Setning 3. Arelfunksjonen F (x) er deriverbr på (, b), og tilfredsstiller F (x) = f(x). Bevis L x (, b). Vi må bevise t grenseverdien ( ) F (x + t) F (x) lim t 0 eksisterer og er lik f(x). Først ser vi t F (x + t) F (x) er per definisjon t (relet under grfen mellom og x + t) (relet under grfen mellom og x), som er ikke nnet enn Nå skriver vi og Nå legger vi merke til t (relet under grfen mellom x og x + t). M t := den største verdien v f på [x, x + t] m t := den minste verdien v f på [x, x + t]. m t t (rel under grfen på [x, x + t]) M t t 4

5 (se fig. 8). Siden t ldri blir null, får vi lov å dele på t, og vi får m t (rel under grfen på [x, x + t]) t M t, ltså F (x + t) F (x) m t M t. (3) t Men f er kontinuerlig på [, b], og derfor hr vi Derfor ser vi fr (3) t 1 som er det vi trenger. lim t 0 lim M t = f(x) = lim m t. t 0 t 0 Å beregne bestemte integrl ( ) F (x + t) F (x) = f(x), t Siden den deriverte v relfunksjonen er den opprinnelige funksjonen, kunne det tenkes t for å beregne b f(x)dx, ville det holde med å finne en funksjon hvis den deriverte er lik f(x) på [, b], og beregne dens verdi i endpunktet b. Men det er et problem: det kn være mnge funksjoner som lle hr derivert lik f(x). For eksempel, 6x+3 er den deriverte til både 3x +3x og 3x +3x+1. Fktisk, dersom vi hr én funksjon G(x) hvis den deriverte er lik f(x), d er det smme for G(x) + c for lle tll c. For å løse dette problem, må vi først bli kjent med de ntideriverte til en funksjon. Definisjon 3.3 L f(x) være en funksjon. En ntiderivert for f(x) med hensyn til x er en funksjon hvis den deriverte er lik f(x). Vi skriver f(x)dx. Den klles også for det ubestemte integrlet til f(x) m.h.t. x. Obs: Når vi er gitt en funksjon f(x) og vi hr beregnet en ntiderivert G(x) til den, så er det vnlig å skrive f(x)dx = G(x) + c 1 Egentlig må dette bevises, men det virker trolig nok. 5

6 der c er en såklt integrsjonskonstnt. For eksempel, hvis f(x) = x og vi finner ut t G(x) = x er en ntiderivert, d er også x +c for enhver konstnt c. Vi trenger ekstr betingelser for å bestemme entydig en ntiderivert til x. Dette skl vi se et eksempel på i 7. Nå kn vi uttle en viktig resultt: Setning 3.4 L f(x) være en kontinuerlig funksjon på et intervll [, b]. L G(x) være en funksjon på [, b] hvis den deriverte er f(x). D hr vi b f(x)dx = G(b) G(). Bevis (skisse) Husk t vi definerte relfunksjonen F (x) på [, b] som relet under grfen mellom og x. Derfor er det F (b) vi er ute etter. Vi vet fr Setning 3. t F (x) er en ntiderivert til f(x) på [, b]. Det kn bevises t enhver ntiderivert for f er lik F (x) + c, der c er en konstnt. Derfor hr vi G(b) G() = (F (b) + c) (F () c) = F (b) F () Men F () = 0, fordi t det er ingen rel under et punkt. Derfor er G(b) G() = F (b), slik vi trenger. Nå er vi nesten i stnd til å beregne rel. Vi må bre bli kjent med hvordn vi skl ntiderivere. 4 Antiderivsjon I denne delen skl vi utvikle regler for ntiderivsjon v noen funksjoner. De skl stort sett følge lett fr reglene vi llerede kn for derivsjon. Monomer: D hr vi Nå tenker vi på monomfunksjonen x n der n er et nturlig tll. x n dx = xn+1 n c. Dette kn vi lett sjekke ved å derivere. Fktisk, så fungerer denne regelen hvis n er et vilkårlig réelt tll forskjellig fr 1. 6

7 Summer og differenser: Vi så t dersom f(x) er en summe g(x)+h(x) der både g(x) og h(x) er deriverbre, d er f(x) også deriverbr, og den deriverte er lik g (x)+h (x). Videre, for hvert reelt tll α hdde vi (α f) (x) = α f (x). På smme måte hr vi følgende: Er f(x) en summe g(x) + h(x) der g(x) og h(x) er kontinuerlige, gjelder f(x)dx = g(x)dx + h(x)dx. Videre, for hvert réelt tll α hr vi α f(x)dx = α b f(x)dx. Polynomer: Ved hjelp v denne og de ovennevnte reglene for monomer og summer, så kn vi integrere noen polynomfunksjon. Eksempel 4.1 Hv er det ubestemte integrlet (9x + 15x + 13 ) dx? Jo, vi kn integrere hvert ledd for seg og d legge smmen resulttene. Vi får 9 x x + 13x + c = 3x x + 13x + c. Sinus- og cosinusfunksjoner: Vi hr sett t den deriverte til sin(x) er cos(x) og den deriverte til cos(x) er sin(x). Derfor hr vi sin(x)dx = cos(x) + c og cos(x)dx = sin(x) + c. 5 Å beregne rel Nå skl vi bruke det vi hr byggd opp for å beregne noen rel. Eksempel 5.1 Hvor stort er relet under grfen til f(x) = x + på intervllet [, ]? Løsning Arelet er lik det bestemte integrlet ( x + ) dx. 7

8 Ifølge Setning 3.4 må vi finne en ntideriverte G(x) til f(x) på [, ], og d beregne G() G( ). Den enkleste G(x) å bruke er 1 3 x3 + x. D hr vi ( ) ( ) 1 1 G() G( ) = ( )3 + ( ) = 8 3 = Eksempel 5. Hvor stort er relet under grfen til x 3 4x på intervllet [, ]? Løsning Arelet er lik det bestemte integrlet ( x 3 4x ) dx. En ntideriverte G(x) til f(x) på [, ] kn være 1 x4 x. D hr vi ( ) ( ) 1 1 G() G( ) = 4 ( )4 ( ) = 0. Bemerkning 5.3 Vi påpeker noen spesielle egenskper v disse eksemplene. Funksjonen f(x) = x + tilfredsstiller identiteten f(x) f( x), ltså f( x) = f(x) for lle x. Derfor er relet mellom og 0 er smme som det mellom 0 og. Til gjengjeld, så tilfredsstiller funksjonen f(x) = x 3 4x identiteten f( x) f(x). Derfor er relet og 0 er minus relet mellom 0 og, og det er slik vi får null for det hele relet. Nå ser vi på en nnen type eksempel: Eksempel 5.4 Hvor stort er relet mellom grfene til sin(x) og 3x + 1 på intervllet [0, π ]? Løsning Svret blir differensen mellom de bestemte integrlene som vi kn skrive som π 0 (3x + 1)dx og π 0 sin(x)dx, π 0 (3x + 1 sin(x)) dx. En ntiderivert G(x) til 3x + 1 sin(x) kn være 3 x + x + cos(x). D hr vi 8

9 ( π ) G G(0) = 3π 8 + π 1. Nå skl vi uttle et pr konsekvenser v Setning 3.4. L f(x) være en funksjon som er kontinuerlig på et intervll [, b]. L G(x) være en ntideriverte til f(x) på [, b]. Hv skjer om vi bytter på rekkefølgen v endpunktene til intervllet? Jo, ifølge Setning 3.4 får vi b f(x)dx = G() G(b) = (G(b) G()) = b f(x)dx. Hv skjer hvis endpunktene fller smmen, ltså, b =? D hr vi f(x)dx = G() G() = 0. Vi vslutter kpitlet med et eksempel som spiller litt mer på geometrien til grfen: Eksempel 5.5 Beregn hvor mye rel er vstengt mellom grfen til f(x) = x x 3 og x-ksen på intervllet [, 4]. Her skl lle rel telle positivt, t.o.m. det som ligger under x-ksen. Løsning Først må vi finne ut kkurt hvor mye rel ligger nedenfor og ovenfor x- ksen, slik t vi kn få lt til å telle positivt. Derfor undersøker vi hvor grfen krysser x-ksen. Dette gjør vi ved å løse nnengrdslikningen f(x) = x x 3 = 0. Funksjonsuttrykket kn fktoriseres som (x 3)(x + 1), så er skjæringspunktene mellom grfen og x-ksen ( 1, 0) og (3, 0). Videre er grfen en blid prbel, så vet vi t relet mellom skjæringspunktene blir negtivt og resten positivt. Derfor vil lle rel telle positivt dersom vi beregner slik: 1 f(x)dx 3 1 f(x)dx f(x)dx. (Integrlet i midten ville i utgngspunkt gi et negtivt tll, og ved å sette et minustegn forn det hr vi gjort det til å telle positivt.) Utregningen v de enkelte integrlene vil d foregå på smme vis som i eksemplene ovenfor. 9

10 6 Volumer med integrsjon Nå skl vi skissere på en prktisk nvendelse for integrsjon: Den kn brukes til å beregne noen volumer. Hr vi en kontinuerlig funksjon f(x) på et intervll [, b], d kn vi lge en solid ved å dreie funksjonens grf om x-ksen på et bestemt (helst endelig!) intervl. For eksempel, hvis funksjonen er konstnt, d dreier vi ei rett linje om x-ksen, og vi får en sylinder. Er funksjonen lineær men ikke konstnt, får vi en bit v en kjegle eller to kjegler, osv. Formelen er slik: Volumet generert ved å dreie grfen til f(x) om x-ksen mellom x = og x = b er π b f(x) dx. (4) Eksempel: Hvor stort er volumet generert ved å dreie grfen til f(x) = 3x x om x-ksen mellom 1 og? Løsning Vi hr f(x) = 9x 6x 3 + x 4. Så putter vi lt inn i formelen (4), og får π 1 ( (9x 6x 3 + x 4 )dx = π 9x 6x 3 + x 4) 1 = π (3x 3 3 x ) x5 = π = 111π 10 (( ) 5 34, ( Vi kn også bruke dette til å finne den kjente formelen for volumet v en sylinder med rdius r og høyde h. Denne sylinder kn lges ved å dreie den vnnrette linj y = r om x-ksen mellom x = 0 og x = h. D blir sylinderens volum lik π h 0 r dx = π(r x) h x=0 = πr h som er formelen vi kjenner til. Metoden kn også brukes til å finne volumet til kjegler, stykker v kjegler mm. 7 Bevegelse Her skl vi skissere en måte (v mnge) som integrsjon og derivsjon kn brukes i fysikk på. )) 10

11 Tenk om vi hr et objekt (en bil, et fly, et menneske som går) som beveger seg med konstnt kselersjon. Det tilbkelegger en strekning s i en tid t, med frten u i begynnelsen og frten v på slutten. Vi hr en relsjon mellom u, v, og t: endring i frt kselersjon =. tid I symboler blir dette = v u, eller v = u + t. (5) t Vi betrkter s og v som funksjoner v t, og derfor skriver vi s(t) og v(t). De ndre størrelsene og u endrer ikke i verdi. Vi beregner s ved hjelp v formelen strekning = gjennomsnittshstigheten tid Siden kselersjonen er konstnt, er gjennomsnittshstigheten lik gjennomsnittet v u og v(t), ltså u+v(t), så får vi ( ) u + v(t) s(t) = t. Vi kn uttrykke denne på en nnen måte ved å sette inn verdien for v(t) i (5): s(t) = u + u + t t = ut + 1 t. (6) Nå skl vi bruke det vi kn om derivsjon og integrsjon for å finne frem til disse formlene på en nnen måte. Først legger vi merke til følgende: Den deriverte til s(t) m.h.t. t er lik v(t). Den deriverte til v(t) m.h.t. t er lik. Derfor er v(t) en ntiderivert for og s(t) en ntiderivert for v(t), og vi vet først t v(t) = dt = t + c 1 der c 1 er en konstnt. For å finne ut hv c 1 er, bruker vi en verdi v v som vi kjenner: v(0) er hstigheten i utgngspunktet, som er lik u. Derfor er v(0) = 0 + c 1 = c 1 = u, og v(t) = t + u, som vi ønsker. Til gjengjeld, siden s(t) er en ntiderivert for v(t), hr vi s(t) = (u + t) dt = ut + 1 t + c 11

12 der c er en nnen konstnt. For å beregne c, bruker vi det t s(0) = 0, og smtidig hr vi s(0) = u c = c, så er c = 0 og s(t) = ut + 1 t, som vi ønsker. Når er konstnt, er denne metoden ikke så mye kortere enn den første vi brukte, men dersom også kn vriere, blir integrsjon en nturlig måte å finne hstighet og tilbkelgt strekning til enhver tid på. Refernser [A] F. Ayres: Clculus,. utgve, Schum s Outline Series, McGrw Hill, UK, 197. [BV] T. Breiteig, R. Venheim: Mtemtikk for Lærere, 4. utgve, Universitetsforlget, Oslo, 005. [SH] S. L. Sls, E. Hille: Clculus, 7th edition, John Wiley & Sons Inc., USA, [SRH] B. K. Selvik, R. Rinvold, M. Johnsen Høines: Algebr og funksjonslære, Mtemtiske smmenhenger, Cspr Forlg, Bergen, Avdeling for Lærerutdnning Høgskolen i Vestfold Grenderveien Tønsberg Emil: 1

Integrasjon Skoleprosjekt MAT4010

Integrasjon Skoleprosjekt MAT4010 Integrsjon Skoleprosjekt MAT4010 Tiin K. Kristinslund, Julin F. Rossnes og Torstein Hermnsen 19. mrs 2014 1 Innhold 1 Innledning 3 2 Integrsjon 3 3 Anlysens fundmentlteorem 7 4 Refernser 10 2 1 Innledning

Detaljer

Integralregning. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne

Integralregning. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne 8 Integrlregning Mål for opplæringen er t eleven skl kunne gjøre rede for definisjonen v estemt integrl som grense for en sum og uestemt integrl som ntiderivert eregne integrler v de sentrle funksjonene

Detaljer

Matematikk 1000. Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 8 Numerisk integrasjon

Matematikk 1000. Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 8 Numerisk integrasjon Mtemtikk 1000 Øvingsoppgver i numerikk leksjon 8 Numerisk integrsjon Som kjent kn vi regne ut (bestemte) integrler ved nti-derivsjon. Dette resulttet er et v de viktikgste innen klkulus; det heter tross

Detaljer

Matematikk Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 9 Numerisk integrasjon

Matematikk Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 9 Numerisk integrasjon Mtemtikk 1000 Øvingsoppgver i numerikk leksjon 9 Numerisk integrsjon Forståelsen v integrlet som et rel ligger til grunn når vi skl beregne integrler numerisk. Litt mer presist: Når f(x) 0 for lle x i

Detaljer

1 Mandag 1. mars 2010

1 Mandag 1. mars 2010 Mndg. mrs Fundmentlteoremet sier t integrsjon og derivsjon er motstte opersjoner. Vi hr de siste ukene sett hvordn vi på ulike måter kn derivere funksjoner i flere vrible. Nå er turen kommet til den motstte

Detaljer

1 Mandag 18. januar 2010

1 Mandag 18. januar 2010 Mndg 8. jnur 2 I denne første forelesningen skl vi friske opp litt rundt funksjoner i en vribel, se på hvordn de vokser/vtr, studere kritiske punkter og beskrive krumning og vendepunkter. Vi får ikke direkte

Detaljer

Sammendrag kapittel 1 - Aritmetikk og algebra

Sammendrag kapittel 1 - Aritmetikk og algebra Smmendrg kpittel 1 - Aritmetikk og lgebr Regneregler for brøker Utvide brøk: Gng med smme tll i teller og nevner. b = k b k Forkorte brøk: del med smme tll i teller og nevner. b = : k b : k Summere brøker:

Detaljer

S1 kapittel 6 Derivasjon Løsninger til oppgavene i boka

S1 kapittel 6 Derivasjon Løsninger til oppgavene i boka S kpittel 6 Derivsjon Løsninger til oppgvene i ok 6. c y x y x = = = = y x 4 5 9 4 y 5 6 x 4 = = = = y x y x = = = = 7 ( 5) 6 ( ) 8 6. f( x ) f( x ) 5 7 x x ( ) 4 = = = = 6. T( x) = 0,x +,0 T T = + = (0)

Detaljer

2 Symboler i matematikken

2 Symboler i matematikken 2 Symoler i mtemtikken 2.1 Symoler som står for tll og størrelser Nvn i geometri Nvn i mtemtikken enyttes på lignende måte som nvn på yer og personer, de refererer eller representerer et tll eller en størrelse,

Detaljer

Brøkregning og likninger med teskje

Brøkregning og likninger med teskje Brøkregning og likninger med teskje Dette heftet gir en uformell trinn for trinn gjennomgng v grunnleggende regler for brøkregning og likninger. Dette er sto som vi i FYS 000 egentlig forventer t dere

Detaljer

R2 - Heldagsprøve våren 2013

R2 - Heldagsprøve våren 2013 Løsningsskisser HD R R - Heldgsprøve våren 0 Løsningsskisser Viktigste oppsummeringer: Må skrive med penn på eksmen! Slurv og regnefeil, både med tll og bokstver, er hovedproblemet. Beste måten å fikse

Detaljer

Integrasjon av trigonometriske funksjoner

Integrasjon av trigonometriske funksjoner Integrsjon v trigonometriske funksjoner øistein Søvik 3. november 15 I dette dokumentet skl jeg vise litt ulike integrsjonsteknikker og metoder for å utforske integrlene v (cos x) og (sin x). De bestemte

Detaljer

Faktorisering. 1 Hva er faktorisering? 2 Hvorfor skal vi faktorisere? Per G. Østerlie Senter for IKT i utdanningen 11.

Faktorisering. 1 Hva er faktorisering? 2 Hvorfor skal vi faktorisere? Per G. Østerlie Senter for IKT i utdanningen 11. Fktorisering Per G. Østerlie Senter for IKT i utdnningen per@osterlie.no 11. mi 013 1 Hv er fktorisering? Vi må se på veret å fktorisere. Hv er det vi skl gjøre når vi fktoriserer? Svret er: å lge fktorer.

Detaljer

Fasit. Grunnbok. Kapittel 2. Bokmål

Fasit. Grunnbok. Kapittel 2. Bokmål Fsit 9 Grunnbok Kpittel Bokmål Kpittel Lineære funksjoner rette linjer. ƒ(x) = 4x + 5 ƒ() = 3 ƒ(4) = ƒ(6) = 9.6 ƒ(x) = -x b ƒ(x) = x b ƒ(x) = (x + ) 3 ƒ() = ƒ(4) = 8 ƒ(6) = 4 ƒ(x) = x 4 ƒ() = - ƒ(4) =

Detaljer

... JULEPRØVE 9. trinn...

... JULEPRØVE 9. trinn... .... JULEPRØVE 9. trinn.... Nvn: Gruppe: DELPRØVE 1 uten hjelpemidler ( 37 poeng) På denne delprøven kn du re ruke skrivesker, psser og linjl. Alle oppgvene i del 1 skl føres rett på rket. I noen oppgver

Detaljer

1 k 2 + 1, k= 5. i=1. i = k + 6 eller k = i 6. m+6. (i 6) i=1

1 k 2 + 1, k= 5. i=1. i = k + 6 eller k = i 6. m+6. (i 6) i=1 TMA4 Høst 6 Norges teknisk nturvitenskpelige universitet Institutt for mtemtiske fg Løsningsforslg Øving 5 5..6 Vi er gitt summen og ønsker å skrive den på formen m k=5 k +, f(i). i= Strtpunktene er henholdsvis

Detaljer

E K S A M E N. Matematikk 3MX. Elevar/Elever Privatistar/Privatister. AA6524/AA6526 8. desember 2004 UTDANNINGSDIREKTORATET

E K S A M E N. Matematikk 3MX. Elevar/Elever Privatistar/Privatister. AA6524/AA6526 8. desember 2004 UTDANNINGSDIREKTORATET E K S A M E N UTDANNINGSDIREKTORATET Mtemtikk 3MX Elevr/Elever Privtistr/Privtister AA654/AA656 8. desember 004 Vidregånde kurs II / Videregående kurs II Studieretning for llmenne, økonomiske og dministrtive

Detaljer

1 Geometri KATEGORI 1. 1.1 Vinkelsummen i mangekanter. 1.2 Vinkler i formlike figurer

1 Geometri KATEGORI 1. 1.1 Vinkelsummen i mangekanter. 1.2 Vinkler i formlike figurer Oppgver 1 Geometri KTGORI 1 1.1 Vinkelsummen i mngeknter Oppgve 1.110 ) I en treknt er to v vinklene 65 og 5. Finn den tredje vinkelen. b) I en firknt er tre v vinklene 0, 50 og 150. Finn den fjerde vinkelen.

Detaljer

Temahefte nr. 1. Hvordan du regner med hele tall

Temahefte nr. 1. Hvordan du regner med hele tall 1 ARBEIDSHEFTE I MATEMATIKK SNART MATTE EKSAMEN Hvordn du effektivt kn forberede deg til eksmen Temhefte nr. 1 Hvordn du regner med hele tll Av Mtthis Lorentzen mttegrisenforlg.com Opplysning: De nturlige

Detaljer

Numerisk derivasjon og integrasjon utledning av feilestimater

Numerisk derivasjon og integrasjon utledning av feilestimater Numerisk derivsjon og integrsjon utledning v feilestimter Knut Mørken 6 oktober 007 1 Innledning På forelesningen /10 brukte vi litt tid på å repetere inhomogene differensligninger og rkk dermed ikke gjennomgå

Detaljer

Løsningsforslag Kollokvium 1

Løsningsforslag Kollokvium 1 Løsningsforslg Kollokvium 1 30. jnur 015 Her finner dere et løsningsforslg for oppgvene som ble diskutert på Kollokvium 1. Oppgve 1 Regning med enheter ) Energienheten 1 ev (elektronvolt) er definert som

Detaljer

Integrasjon Fundamentalteoremet Substitusjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100

Integrasjon Fundamentalteoremet Substitusjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Integrsjon Fundmentlteoremet Substitusjon Forelesning i Mtemtikk 1 TMA4100 Hns Jkob Rivertz Institutt for mtemtiske fg 23. september 2011 2 Mtemtisk induksjon Alle elefnter er ros! Vil bevise P n Alle

Detaljer

Kapittel 4 Tall og algebra Mer øving

Kapittel 4 Tall og algebra Mer øving Kpittel 4 Tll og lger Mer øving Oppgve 1 d Oppgve 2 Se på uttrykket A = g h. Hv forteller de ulike okstvene? Se på uttrykket A = 2π. Hv står de ulike symolene for? Forklr hv vi mener med en vriel og en

Detaljer

Oppfriskningskurs i matematikk 2007

Oppfriskningskurs i matematikk 2007 Oppfriskningskurs i mtemtikk 2007 Mrte Pernille Htlo Institutt for mtemtiske fg, NTNU 6.-11. ugust 2007 Velkommen! 2 Temer Algebr Trigonometri Funksjoner og derivsjon Integrsjon Eksponensil- og logritmefunksjoner

Detaljer

EKSAMEN. ANTALL SIDER UTLEVERT: 7 (innkl. forside og 2 sider formelark)

EKSAMEN. ANTALL SIDER UTLEVERT: 7 (innkl. forside og 2 sider formelark) KANDIDATNUMMER: EKSAMEN FAGNAVN: Mtemtikk FAGNUMMER: REA EKSAMENSDATO: 5. desember 6 KLASSE:. klssene, ingenørutdnning. TID: kl. 9... FAGLÆRER: Hns Petter Hornæs ANTALL SIDER UTLEVERT: 7 (innkl. forside

Detaljer

9.6 Tilnærminger til deriverte og integraler

9.6 Tilnærminger til deriverte og integraler 96 TILNÆRMINGER TIL DERIVERTE OG INTEGRALER 169 Figur 915 Bezier-kurve med kontrollpolygon som representerer bokstven S i Postscript-fonten Times-Romn De ulike Bezier-segmentene ser du mellom kontrollpunktene

Detaljer

Mer øving til kapittel 2

Mer øving til kapittel 2 Mer øving til kpittel 2 KAPITTEL 2 GEOMETRI OG MÅLING Oppgve 1 Oppgve 2 Oppgve 3 Anne hr vært på ferie til sine esteforeldre fr 28. juni til 9. ugust. Hvor mnge dger hr hun vært på ferie? Fr hun kom hjem

Detaljer

3.7 Pythagoras på mange måter

3.7 Pythagoras på mange måter Oppgve 3.18 Vis t det er mulig å multiplisere og dividere linjestykker som vist i figur 3.. Bruk formlikhet. 3.7 Pythgors på mnge måter Grekeren Pythgors le født på Smos 569 og døde. år 500 f. Kr. Setningen

Detaljer

5: Algebra. Oppgaver Innhold Dato

5: Algebra. Oppgaver Innhold Dato 5: Alger Pln resten v året: - Kpittel 6: Ferur - Kpittel 7: Ferur/mrs - Kpittel 8: Mrs - Repetisjon: April/mi - Eventuell offentlig eksmen: Mi - Økter, prøver, prosjekter: Mi - juni For mnge er egrepet

Detaljer

2x 3 4/x dx. 2 5 x 3 + LF: Vi utfører polynomdivisjon. 2x + 1 dx = + C = 5x8/ ln 2x C 4. πx 2 e 3x3 dx = π

2x 3 4/x dx. 2 5 x 3 + LF: Vi utfører polynomdivisjon. 2x + 1 dx = + C = 5x8/ ln 2x C 4. πx 2 e 3x3 dx = π Innlevering ELFE KJFE MAFE Mtemtikk HIOA Obligtorisk innlevering 5 Innleveringsfrist Mndg 6. oktober 5 før forelesningen : Antll oppgver: Løsningsforslg Finn de ubestemte integrlene ) x 4/x dx LF: x 4/x

Detaljer

... JULEPRØVE

... JULEPRØVE Ashehoug JULEPRØVE 2014 9. trinn.... JULEPRØVE 2014.... Nvn: Gruppe: DELPRØVE 1 uten hjelpemidler ( 37 poeng) På denne delprøven kn du re ruke skrivesker, psser og linjl. Alle oppgvene i del 1 skl føres

Detaljer

Kalkulus 2. Volum av et omdreiningslegeme. Rotasjon rundt x-aksen

Kalkulus 2. Volum av et omdreiningslegeme. Rotasjon rundt x-aksen Klkulus Klkulus Volum v et omdreiningslegeme Rotsjon rundt x-ksen På figuren nedenfor hr vi skrvert området vgrenset v grfen til den kontinuerlige funksjonen y = f( x) og x-ksen fr x= til x=. Når vi roterer

Detaljer

Multippel integrasjon. Geir Ellingsrud

Multippel integrasjon. Geir Ellingsrud Multippel integrsjon. Geir Ellingsrud 2. pril 24 2 NB: Dette er en midlertidig versjon dtert 2. pril 24. Den kommer til å bli utvidet og korrigert fortløpende!!. Dobbelt integrlet over rektngler og iterert

Detaljer

Fakultet for realfag Ho/gskolen i Agder - Va ren 2007

Fakultet for realfag Ho/gskolen i Agder - Va ren 2007 Msteroppgve i mtemtikkdidktikk Fkultet for relfg Ho/gskolen i Agder - V ren 2007 Integrl og integrsjon Roger Mrkussen Roger Mrkussen Integrl og integrsjon Msteroppgve i mtemtikkdidktikk Høgskolen i Agder

Detaljer

1 Tallregning og algebra

1 Tallregning og algebra Tllregning og lger ØV MER. REGNEREKKEFØLGE Oppgve.0 6 d) ( : 6) Oppgve. ( ) ( ) ()() ( ) ( ) ( ) () (6 ) () d) ( ) 7() ( ) Oppgve. 6 ( ) d) Oppgve. Med ett ddisjonstegn, ett sutrksjonstegn, ett multipliksjonstegn

Detaljer

Sensorveiledning Oppgaveverksted 4, høst 2013 (basert på eksamen vår 2011)

Sensorveiledning Oppgaveverksted 4, høst 2013 (basert på eksamen vår 2011) Sensorveiledning Oppgveverksted 4, høst 203 (bsert på eksmen vår 20) Ved sensuren tillegges oppgve vekt 0,2, oppgve 2 vekt 0,4, og oppgve 3 vekt 0,4. For å bestå eksmen, må besvrelsen i hvert fll: gi minst

Detaljer

Fag: Matematikk 1T-Y for elever og privatister. Antall sider i oppgaven: 8 inklusiv forside og opplysningsside

Fag: Matematikk 1T-Y for elever og privatister. Antall sider i oppgaven: 8 inklusiv forside og opplysningsside Loklt gitt eksmen 2012 Eksmen Fg: Mtemtikk 1T-Y for elever og privtister Fgkode: MAT1006 Eksmensdto: 25. mi Antll sider i oppgven: 8 inklusiv forside og opplysningsside Eksmenstid: Hjelpemidler under eksmen:

Detaljer

Kvadratur. I(f) = f(x)dx.

Kvadratur. I(f) = f(x)dx. Kvdrtur Når mn snkker om numerisk kvdrtur er mn interessert i pproksimere integrler v funksjoner (som representerer reler, volumer, densiteter, o.s.v.) I(f) = f(x)dx. Det klles for kvdrtur fordi i gmle

Detaljer

LEDDVIS INTEGRASJON OG DERIVASJON AV POTENSREKKER:

LEDDVIS INTEGRASJON OG DERIVASJON AV POTENSREKKER: LEDDVIS INTEGRASJON OG DERIVASJON AV POTENSREKKER: Vi ntr t potensrekken n x n n= konvergerer i ( R, R), R >, med summen s(x). D gjelder: og s (x) = n n x n for hver x med x < R, s(t) dt = n= (Dette er

Detaljer

Del 2. Alle oppgaver føres inn på eget ark. Vis tydelig hvordan du har kommet frem til svaret. Oppgave 2

Del 2. Alle oppgaver føres inn på eget ark. Vis tydelig hvordan du har kommet frem til svaret. Oppgave 2 Del 2 Alle oppgver føres inn på eget rk. Vis tydelig hvordn du hr kommet frem til svret. Oppgve 1 Figuren viser sidefltene til et prisme. Grunnflten og toppflten mngler. ) Hvilken form må grunn- og toppflten

Detaljer

LEDDVIS INTEGRASJON OG DERIVASJON AV POTENSREKKER: a n x n. R > 0, med summen s(x). Da gjelder: a n n + 1 xn+1 for hver x < R.

LEDDVIS INTEGRASJON OG DERIVASJON AV POTENSREKKER: a n x n. R > 0, med summen s(x). Da gjelder: a n n + 1 xn+1 for hver x < R. LEDDVIS INTEGRASJON OG DERIVASJON AV POTENSREKKER: Vi ntr t potensrekken konvergerer i ] R, R[, n x n R >, med summen s(x). D gjelder: s (x) = n n x n 1 for hver x < R, og s(t)dt = n n + 1 xn+1 for hver

Detaljer

EKSAMEN. 1. klassene, ingenørutdanning og Flexing. ANTALL SIDER UTLEVERT: 5 (innkl. forside og 2 sider formelark)

EKSAMEN. 1. klassene, ingenørutdanning og Flexing. ANTALL SIDER UTLEVERT: 5 (innkl. forside og 2 sider formelark) KANDIDATNUMMER: EKSAMEN EMNENAVN: Mtemtikk EMNENUMMER: REA42 og REA42f EKSAMENSDATO:. desember 2 KLASSE:. klssene, ingenørutdnning og Flexing. TID: kl. 9... FAGANSVARLIG: Hns Petter Hornæs ANTALL SIDER

Detaljer

EKSAMEN. 1. klassene, ingenørutdanning og Flexing. HansPetterHornæsogLarsNilsBakken. ANTALL SIDER UTLEVERT: 7 (innkl. forside og 4 sider formelark)

EKSAMEN. 1. klassene, ingenørutdanning og Flexing. HansPetterHornæsogLarsNilsBakken. ANTALL SIDER UTLEVERT: 7 (innkl. forside og 4 sider formelark) KANDIDATNUMMER: EKSAMEN EMNENAVN: Mtemtikk EMNENUMMER: REA4 og REA4f EKSAMENSDATO: 9. desember 0 KLASSE:. klssene, ingenørutdnning og Flexing. TID: kl. 9.00 3.00. FAGANSVARLIG: HnsPetterHornæsogLrsNilsBkken

Detaljer

Kapittel 3. Potensregning

Kapittel 3. Potensregning Kpittel. Potensregning I potensregning skriver vi tll som potenser og forenkler uttrykk som inneholder potenser. Dette kpitlet hndler blnt nnet om: Betydningen v potenser som hr negtiv eksponent eller

Detaljer

Kapittel 4.7. Newtons metode. Kapittel 4.8.

Kapittel 4.7. Newtons metode. Kapittel 4.8. Ekskt løsning Newtons metode - Integrsjon Forelesning i Mtemtikk TMA00 Hns Jko Rivertz Institutt for mtemtiske fg 0. septemer 0 Kpittel.7. Newtons metode Den ekskte løsningen v x x = 0er ikke særlig rukelig

Detaljer

1 Mandag 8. mars 2010

1 Mandag 8. mars 2010 1 Mndg 8. mrs 21 Vi hr tidligere integrert funksjoner lngs x-ksen, og vi hr integrert funksjoner i flere vrible over begrensede områder i xy-plnet. I denne forelesningen skl vi integrere funksjoner lngs

Detaljer

Løsningsforslag til Eksamen i fag MA1103 Flerdimensjonal analyse

Løsningsforslag til Eksamen i fag MA1103 Flerdimensjonal analyse Norges teknisk nturvitenskpelige universitet Institutt for mtemtiske fg Side 1 v 5 Løsningsforslg til Eksmen i fg MA113 Flerdimensjonl nlyse 2.5.6 Oppgve 1 Vi hr f(x, y) = (4 x 2 y 2 )e x+y. ) Kritiske

Detaljer

Tom Lindstrøm. Tilleggskapitler til. Kalkulus. 3. utgave. Universitetsforlaget,

Tom Lindstrøm. Tilleggskapitler til. Kalkulus. 3. utgave. Universitetsforlaget, Tom Lindstrøm Tilleggskpitler til Klkulus 3. utgve Universitetsforlget, Oslo 3. utgve Universitetsforlget AS 2006 1. utgve 1995 2. utgve 1996 ISBN-13: 978-82-15-00977-3 ISBN-10: 82-15-00977-8 Mterilet

Detaljer

2 Tallregning og algebra

2 Tallregning og algebra Tllregning og lger KATEGORI. Regnerekkefølge Oppgve.0 Regn uten digitlt hjelpemiddel. + ( + ) ( ) Oppgve. Regn uten digitlt hjelpemiddel. Oppgve. Regn ut med og uten digitlt hjelpemiddel. + (7 + ) ( 9)

Detaljer

a 2πf(x) 1 + (f (x)) 2 dx.

a 2πf(x) 1 + (f (x)) 2 dx. MA 4: Anlyse Uke 44, http://home.hi.no/ svldl/m4 H Høgskolen i Agder Avdeling for relfg Institutt for mtemtiske fg Om lengde v kurver. Noen få formler der integrsjon brukes for å beregne lengder, reler

Detaljer

Integral Kokeboken. sin(πx 2 ) sinh 2 (πx) dx = 2. 1 log x. + log(log x) dx = x log(log x) + C. cos(x 2 ) + sin(x 2 ) dx = 2π. x s 1 e x 1 dx = Γ(s)

Integral Kokeboken. sin(πx 2 ) sinh 2 (πx) dx = 2. 1 log x. + log(log x) dx = x log(log x) + C. cos(x 2 ) + sin(x 2 ) dx = 2π. x s 1 e x 1 dx = Γ(s) Integrl Kokeboken 4 3 4 6 8 log sinπ sinh π 4 + loglog loglog + C cos + sin π s e Γs n n s Γsζs π + sin +cos log + cos i Del I. Brøk................................... Trigonometriske funksjoner.....................

Detaljer

Fag: Matematikk 1T-Y for yrkesfag for elever og privatisterr. Eksamensdato: 16. januar 2012

Fag: Matematikk 1T-Y for yrkesfag for elever og privatisterr. Eksamensdato: 16. januar 2012 Loklt gittt eksmen Eksmen Fg: Mtemtikk 1T-Y for yrkesfg for elever og privtisterr Fgkode: MAT1006 Eksmensdto: 16. jnur 2012 Antll sider i oppgven: 7 inklusiv forside og opplysningsside Del 1: oppgve 1-5

Detaljer

1T kapittel 3 Funksjoner Løsninger til oppgavene i læreboka

1T kapittel 3 Funksjoner Løsninger til oppgavene i læreboka 1T kpittel 3 Funksjoner Løsninger til oppgvene i læreok Oppgve 3.1 Origo er skjæringspunktet mellom førsteksen og ndreksen. Koordintene til origo er ltså (0, 0). Førstekoordinten til punktet A er 15, og

Detaljer

Eneboerspillet. Håvard Johnsbråten

Eneboerspillet. Håvard Johnsbråten Håvrd Johnsråten Eneoerspillet Når vi tenker på nvendelser i mtemtikken, ser vi gjerne for oss Pytgors læresetning eller ndre formler som vi kn ruke til å eregne lengder, reler, kostnder osv. Men mer strkte

Detaljer

EKSAMEN. 1. klassene, ingenørutdanning og Flexing. ANTALL SIDER UTLEVERT: 5 (innkl. forside og 2 sider formelark)

EKSAMEN. 1. klassene, ingenørutdanning og Flexing. ANTALL SIDER UTLEVERT: 5 (innkl. forside og 2 sider formelark) KANDIDATNUMMER: EKSAMEN EMNENAVN: Mtemtikk EMNENUMMER: REA4 EKSAMENSDATO:. desember 9 KLASSE:. klssene, ingenørutdnning og Flexing. TID: kl. 9. 3.. FAGANSVARLIG: Hns Petter Hornæs ANTALL SIDER UTLEVERT:

Detaljer

Arne B. Sletsjøe. Kompendium, MAT 1012

Arne B. Sletsjøe. Kompendium, MAT 1012 Arne B. Sletsjøe Kompendium, MAT 2 Forord Dette kompendiet dekker nlysedelen v pensum i kurset MAT 2 ved Universitetet i Oslo. Kurset bygger på MAT og legger mer vekt på nvendelser v teorien enn på dens

Detaljer

Numerisk kvadratur. PROBLEM STILLING: Approksimér. f(x)dx. I(f) = hvor f : R R. Numerisk sett, integralet I(f) = b. f(x)dx approksimeres med en summe

Numerisk kvadratur. PROBLEM STILLING: Approksimér. f(x)dx. I(f) = hvor f : R R. Numerisk sett, integralet I(f) = b. f(x)dx approksimeres med en summe Numerisk kvdrtur PROBLEM STILLING: Approksimér 1/18 I(f) = f(x)dx. hvor f : R R. Numerisk sett, integrlet I(f) = f(x)dx pproksimeres med en summe Q n (f) = w i f(x i ), n-punkter regel hvor x 1 < x 2

Detaljer

Fasit til utvalgte oppgaver MAT1100, uka 20-24/9

Fasit til utvalgte oppgaver MAT1100, uka 20-24/9 Fsit til utvlgte oppgver MAT00, uk 20-24/9 Øyvind Ryn oyvindry@ifi.uio.no September 24, 200 Oppgve 5..5 år vi viser t f er kontinuerlig i ved et ɛ δ-bevis, er det lurt å strte med uttrykket fx f, og finne

Detaljer

1T kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka

1T kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka T kpittel 8 Eksmenstrening Løsninger til oppgvene i lærebok Uten hjelpemidler E b c E b c Vi gnger vnlige tll med vnlige tll og tierpotenser med tierpotenser. Til slutt omformer vi svret så vi får et tll

Detaljer

Forkurs i matematikk. Kompendium av Amir Hashemi, UiB. Notater, eksempler og oppgaver med fasit/løsningsforslag 1

Forkurs i matematikk. Kompendium av Amir Hashemi, UiB. Notater, eksempler og oppgaver med fasit/løsningsforslag 1 Forkurs i mtemtikk Kompendium v Amir Hshemi, UiB. Notter, eksempler og oppgver med fsit/løsningsforslg Mtemtisk Institutt UiB Innhold Sist oppdtert 07. juni 0 i Forord... Kpittel 0 Test deg selv... Oppgver

Detaljer

Numerisk matematikk. Fra Matematikk 3MX (2002) Side

Numerisk matematikk. Fra Matematikk 3MX (2002) Side Numerisk mtemtikk Fr Mtemtikk 3MX (2002) Side 142 147 142 Kpittel 4: Integrlregning 47 NUMERISK MATEMATIKK pffiffiffiffiffi På lommeregneren finner du rskt t 71 er lik 8,426150, og t lg 5 er lik 0,698970

Detaljer

Ma1101. Part I. 1 Grunnleggende. 1.1 Noen symboler. 1.2 Tallene. 1.3 Noen algebraiske lover

Ma1101. Part I. 1 Grunnleggende. 1.1 Noen symboler. 1.2 Tallene. 1.3 Noen algebraiske lover Prt I M1101 1 Grunnleggende 1.1 Noen symboler Union A B i A og/eller B Snitt A B i både A og B Element i B er et element i B Undersett A B A er et undersett v B Skikkelig undersett A B A er et undersett

Detaljer

TFY4104 Fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Høsten Løsningsforslag til øving 8. a = e m E

TFY4104 Fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Høsten Løsningsforslag til øving 8. a = e m E TFY414 Fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Høsten 16. Løsningsforslg til øving 8. Oppgve 1. ) C F = E = m Newtons. lov. Her er = e, så elektronets kselersjon blir = e m E ltså mot venstre. b) C Totlt elektrisk

Detaljer

Årsprøve 2014 10. trinn Del 2

Årsprøve 2014 10. trinn Del 2 2 Årsprøve 2014 10. trinn Del 2 Informsjon for del 2 Prøvetid: Hjelpemidler på del 2: Vedlegg: Andre opplysninger: Fremgngsmåte og forklring: Veiledning om vurderingen: 5 timer totlt Del 2 skl du levere

Detaljer

Praktiske opplysninger til rektor. Fag: MATEMATIKK 1TY for yrkesfag Fagkode: MAT1006 Eksamensdato: Antall forberedelsesdager: Ingen

Praktiske opplysninger til rektor. Fag: MATEMATIKK 1TY for yrkesfag Fagkode: MAT1006 Eksamensdato: Antall forberedelsesdager: Ingen Loklt gitt eksmen 2013 Prktiske opplysninger til rektor Fg: MATEMATIKK 1TY for yrkesfg Fgkode: MAT1006 Eksmensdto: 30.5.2013 Antll foreredelsesdger: Ingen Forhold som skolen må være oppmerksom på: Eksmenen

Detaljer

YF kapittel 10 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka

YF kapittel 10 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka YF kpittel 10 Eksmenstrening Løsninger til oppgvene i læreok Uten hjelpemidler Oppgve E1 5 + 5 + 6 11 5 + 4 (5 + ) 5 + 4 7 10 6 + 8 d + ( + 1) 5 + 4 5 + 16 5 + 10 5 4 + 4 4 + 8 1 + + + + + + + + 49 49

Detaljer

Mer øving til kapittel 3

Mer øving til kapittel 3 Mer øving til kpittel 3 KAPITTEL 3 FUNKSJONER Oppgve 1 Tegn et koordintsystem og merk v punktene (1, 5) d (3, 2) ( 2, 3) e ( 3, 5) (4, 0) f (0, 4) Oppgve 2 Hvilke koordintpr hr de ulike punktene i koordintsystemet?

Detaljer

MAT 100a - LAB 4. Før vi gjør dette, skal vi for ordens skyld gjennomgå Maple-kommandoene for integrasjon (cf. GswM kap. 12).

MAT 100a - LAB 4. Før vi gjør dette, skal vi for ordens skyld gjennomgå Maple-kommandoene for integrasjon (cf. GswM kap. 12). MAT 00 - LAB 4 Denne øvelsen er i hovedsk viet til integrsjon. For mnge er integrsjon i prksis det smme som ntiderivsjon, og noe som kn rukes til å eregne relet v enkelte områder i plnet som lr seg egrense

Detaljer

Kontinuitet og grenseverdier

Kontinuitet og grenseverdier Kontinuitet og grenseverdier Avdeling for lærerutdanning, Høgskolen i Vestfold 5. januar 2009 1 Innledning Kontinuitetsbegrepet For å motivere og innlede til kontinuitetsbegrep skal vi først undersøke

Detaljer

Løsningsforslag til obligatorisk oppgave i ECON 2130

Løsningsforslag til obligatorisk oppgave i ECON 2130 Andres Mhre April 13 Løsningsforslg til obligtorisk oppgve i ECON 13 Oppgve 1: E(XY) = E(X(Z X)) Setter inn Y = Z - X E(XY) = E(XZ X ) E(XY) = E(XZ) E(X ) X og Z er uvhengige v hverndre, så Cov(X, Z) =.

Detaljer

Arne B. Sletsjøe. Kompendium, MAT 1012

Arne B. Sletsjøe. Kompendium, MAT 1012 Arne B. Sletsjøe Kompendium, MAT 2 En-vribel klkulus I denne første forelesningen skl vi friske opp litt rundt funksjoner i en vribel, se på hvordn de vokser/vtr, studere kritiske punkter og beskrive krumning

Detaljer

Bioberegninger - notat 3: Anvendelser av Newton s metode

Bioberegninger - notat 3: Anvendelser av Newton s metode Bioberegninger - nott 3: Anvendelser v Newton s metode 20. februr 2004 1 Euler-Lotk ligningen L oss tenke oss en populsjon bestående v individer v ulik lder. L n være mksiml lder. L m i være ntll vkom

Detaljer

Kompendium av Amir Hashemi, HiB. Notater, eksempler og oppgaver med fasit/løsningsforslag Institutt for Matematikk og Statistikk, UiT, Høsten 2012

Kompendium av Amir Hashemi, HiB. Notater, eksempler og oppgaver med fasit/løsningsforslag Institutt for Matematikk og Statistikk, UiT, Høsten 2012 Forkurs i mtemtikk til MAT-, ugust Kompendium v Amir Hshemi, HiB. Notter, eksempler og oppgver med fsit/løsningsforslg Institutt for Mtemtikk og Sttistikk, UiT, Høsten Innhold Forord... Kpittel Test deg

Detaljer

OPPLÆRINGSREGION NORD. Skriftlig eksamen. MAT1001 Matematikk 1P-Y HØSTEN 2011. Privatister. Yrkesfag. Alle yrkesfaglige utdanningsprogrammer

OPPLÆRINGSREGION NORD. Skriftlig eksamen. MAT1001 Matematikk 1P-Y HØSTEN 2011. Privatister. Yrkesfag. Alle yrkesfaglige utdanningsprogrammer OPPLÆRINGSREGION NORD LK06 Finnmrk fylkeskommune Troms fylkeskommune Nordlnd fylkeskommune Nord-Trøndelg fylkeskommune Sør-Trøndelg fylkeskommune Møre og Romsdl fylke Skriftlig eksmen MAT1001 Mtemtikk

Detaljer

R2 2010/11 - Kapittel 4: 30. november 2011 16. januar 2012

R2 2010/11 - Kapittel 4: 30. november 2011 16. januar 2012 R 00/ - Kpittel 4: 0. noemer 0 6. jnr 0 Pln for skoleåret 0/0: Kpittel 5: 6/ 6/. Kpittel 6: 6/ /. Kpittel 7: / /4. Prøer på eller skoletime etter hert kpittel. Én heildgsprøe i her termin. En del prøer

Detaljer

KAPITTEL 9 Approksimasjon av funksjoner

KAPITTEL 9 Approksimasjon av funksjoner KAPITTEL 9 Approksimsjon v funksjoner En grunnleggende teknikk som ofte brukes i ulike deler v mtemtikk og nvendelser er å tilnærme eller pproksimere et objekt med et nnet. Som regel er objektet som skl

Detaljer

I løpet av uken blir løsningsforslag lagt ut på emnesiden http://www.hig.no/toel/allmennfag/emnesider/rea1042

I løpet av uken blir løsningsforslag lagt ut på emnesiden http://www.hig.no/toel/allmennfag/emnesider/rea1042 Ukeoppgver, uke 43, i Mtemtikk, Substitusjon. Høgskolen i Gjøvik Avdeling for ingeniørfg Mtemtikk Ukeoppgver uke 43 I løpet v uken blir løsningsforslg lgt ut på emnesiden http://www.hig.no/toel/llmennfg/emnesider/re4

Detaljer

Forkunnskaper i matematikk for fysikkstudenter. Trigonometri. Omregning mellom grader og radianer skjer etter formelen nedenfor:

Forkunnskaper i matematikk for fysikkstudenter. Trigonometri. Omregning mellom grader og radianer skjer etter formelen nedenfor: Forkunnskper i mtemtikk for fysikkstudenter.. Vinkelmål. Vinkler måles trdisjonelt i grder. Utgngspunktet er d t en hel sirkel deles i 6 like store deler, der her del klles en grd. En grd kn deles inn

Detaljer

R1 kapittel 1 Algebra

R1 kapittel 1 Algebra Løsninger til oppgvene i ok R1 kpittel 1 Alger Løsninger til oppgvene i ok Oppgve 1.1 1 8 4 ( ) 15 5 (4 ) 7 1 7 ( ) d ( )( ) ( 4)( ) ( ) ( 4) ( )( 1) Oppgve 1. 49 7 ( 7)( 7) 5 5 5 5 1y 75 (4y 5) ( y) 5

Detaljer

dy ycos 2 y = dx. Ved å integrere på begge sider av likhetstegnet får man ved å substituere u = y,du = dy dy ycos 2 y = 2du cos 2 u = x.

dy ycos 2 y = dx. Ved å integrere på begge sider av likhetstegnet får man ved å substituere u = y,du = dy dy ycos 2 y = 2du cos 2 u = x. NTNU Institutt for mtemtiske fg TMA Mtemtikk høsten 2 Løsningsforslg - Øving 7 Avsnitt 6.5 ) En hr t y = e, så 2y +y = 2e +e = e. b) En hr t y = e 2 e (/2), så 2y +y = 2e e (/2) +e +e (/2) = e. c) En hr

Detaljer

ALTERNATIV GRUNNBOK BOKMÅL

ALTERNATIV GRUNNBOK BOKMÅL Anne Rsch-Hlvorsen Oddvr Asen Illustrtør: Bjørn Eidsvik 7B NY UTGAVE ALTERNATIV GRUNNBOK BOKMÅL CAPPELEN DAMM AS, 2011 Mterilet i denne publiksjonen er omfttet v åndsverklovens bestemmelser. Uten særskilt

Detaljer

Formelsamling i matematikk

Formelsamling i matematikk Formelsmling i mtemtikk Algebr Aritmetiske opersjoner (b + c) b + c + c b Potensregler Polynom b + c b b + c d + bc d bc b c d b d c d bc x y x+y x x / x y x y n x x /n 0 x n x n ( x ) y xy (b) x x y (

Detaljer

Øving 4: Coulombs lov. Elektrisk felt. Magnetfelt.

Øving 4: Coulombs lov. Elektrisk felt. Magnetfelt. Lørdgsverksted i fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Høsten 007. Veiledning: 9. september kl 1:15 15:00. Øving 4: oulombs lov. Elektrisk felt. Mgnetfelt. Oppgve 1 (Flervlgsoppgver) ) Et proton med hstighet

Detaljer

Arne B. Sletsjøe. Kompendium, MAT 1012

Arne B. Sletsjøe. Kompendium, MAT 1012 Arne B. Sletsjøe Kompendium, MAT 2 Dette kompendiet dekker nlysedelen v pensum i kurset MAT 2 ved Universitetet i Oslo. Kurset bygger på MAT og legger mer vekt på nvendelser v teorien enn på dens formelle

Detaljer

Eksempeloppgaver 2014 Løsninger

Eksempeloppgaver 2014 Løsninger DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med centimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 19 millirder 9 10 = 19 10 = 1,9 10 0,089 10 = 8,9 10 10 = 8,9 10 Oppgve 6 6 8 Prosentvis

Detaljer

DEL 1 Uten hjelpemidler

DEL 1 Uten hjelpemidler Eksmen høsten 013 Løsninger Eksmen høsten 013 Løsninger DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med centimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 150 sider Vi finner først hvor mnge

Detaljer

Tall i arbeid Påbygging terminprøve våren 2013

Tall i arbeid Påbygging terminprøve våren 2013 Tll i rei Påygging terminprøve våren 2013 DEL 1 Uten hjelpemiler Hjelpemiler: vnlige skrivesker, psser, linjl me entimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 Skriv tllene på stnrform. 1 0,000 00015 2 19,6 millirer

Detaljer

Øving 13, løsningsskisse.

Øving 13, løsningsskisse. TFY455/FY3 Elektr & mgnetisme Øving 3, løsningsskisse nduksjon Forskyvningsstrøm Vekselstrømskretser nst for fysikk 5 Oppgve nduktns for koksilkbel ) Med strømmen jmt fordelt over tverrsnittet på lederne

Detaljer

Kap. 3 Krumningsflatemetoden

Kap. 3 Krumningsflatemetoden SIDE. KRUMNINGSFLTEMETODEN I kpittel. og. hr vi sett t en bjelkes krefter og deformsjon kn beskrives ved fire integrler som henger smmen : Skjærkrft : V d Vinkelendring : φ M d Moment : M V d Forskyvning

Detaljer

Terminprøve Matematikk for 1P 1NA høsten 2014

Terminprøve Matematikk for 1P 1NA høsten 2014 Terminprøve Mtemtikk for 1P 1NA høsten 2014 DEL 1 Vrer 1,5 time Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med entimetermål og vinkelmåler. Forsøk på lle oppgvene selv om du er usikker

Detaljer

1P kapittel 3 Funksjoner

1P kapittel 3 Funksjoner Løsninger til oppgvene i ok 1P kpittel 3 Funksjoner Løsninger til oppgvene i ok 3.1 Origo hr koordintene (0, 0). Vi finner koordintene til punktene ved å lese v punktets verdi på x-ksen og y-ksen. A =

Detaljer

MED SVARFORSLAG UNIVERSITETET I OSLO

MED SVARFORSLAG UNIVERSITETET I OSLO Eksmen i : MED SVARFORSLAG UNIVERSITETET I OSLO Det mtemtisk-nturvitenskpelige fkultet INF5110 - Kompiltorteknikk Eksmensdg : Onsdg 6. juni 2012 Tid for eksmen : 14.30-18.30 Oppgvesettet er på : Vedlegg

Detaljer

1 Algebra. 1 Skriv disse uttrykkene så enkelt som mulig: a) 2(a + 3) (3 + 3a) b) 2(1 a) + a(2 + a) c) 1 + 2(1 3a) + 5a d) 4a 3ab 2(a 5b) + 3(ab 2b)

1 Algebra. 1 Skriv disse uttrykkene så enkelt som mulig: a) 2(a + 3) (3 + 3a) b) 2(1 a) + a(2 + a) c) 1 + 2(1 3a) + 5a d) 4a 3ab 2(a 5b) + 3(ab 2b) Alger Skriv disse uttrykkene så enkelt som mulig c 5 d 5 Multipliser ut og gjør svrene så enkle som mulige c c c c d e f g h 5 i Regn ut 5 Regn ut og vis frmgngsmåten 5 c Regn ut og vis frmgngsmåten 5

Detaljer

Vår 2004 Ordinær eksamen

Vår 2004 Ordinær eksamen år Ordinær eksmen. En bil kjører med en hstighet på 9 km/h lngs en rett strekning. Sjåføren tråkker plutselig på bremsene, men gjør dette med økende krft slik t (den negtive) kselersjonen (retrdsjonen)

Detaljer

9 Potenser. Logaritmer

9 Potenser. Logaritmer 9 Potenser. Logritmer Foret utregingene nedenfor: 5 5 c 6 7 d e 5 f g h i Regn ut og gjør svrene så enkle som mulige: c y y d e f g h i j y y + y + y + + y Prisen på en motorsg vr kr 56 i 99. Vi regner

Detaljer

Integrasjon. et supplement til Kalkulus. Harald Hanche-Olsen 14. november 2016

Integrasjon. et supplement til Kalkulus. Harald Hanche-Olsen 14. november 2016 Integrsjon et supplement til Klkulus Hrl Hnhe-Olsen 14. novemer 2016 Dette nottet er ment som et supplement og elvis lterntiv til eler v kpittel 8 i Tom Linstrøm: Klkulus (åe 3. og 4. utgve). Foruten et

Detaljer

Formelsamling i matematikk

Formelsamling i matematikk Formelsmling i mtemtikk Alger Aritmetiske opersjoner ( + c) = + c + c Potensregler Polynom = + c + c d + c = d c c d = d c = d c x y = x+y x = x / x y = x y n x = x /n 0 = x n = x n ( x ) y = xy () x =

Detaljer

S1 kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka

S1 kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka S1 kpittel 8 Eksmenstrening Løsninger til oppgvene i læreok E1 995 995 5 + 5 (995 5) (995 + 5) + 5 990 1000 + 5 990 000 + 5 990 05 E E (61+ 9) 51 49) (51+ 49) 61 9 (61 9) 51 49 ( 100 100 11 1997 00 199

Detaljer

EKSAMEN. 1. klassene, ingenørutdanning og flexing. ANTALL SIDER UTLEVERT: 5(innkl. forside og 2 sider formelark)

EKSAMEN. 1. klassene, ingenørutdanning og flexing. ANTALL SIDER UTLEVERT: 5(innkl. forside og 2 sider formelark) KANDIDATNUMMER: EKSAMEN EMNENAVN: Mtemtikk EMNENUMMER: REA4 og REA4f EKSAMENSDATO:. ugust 9 KLASSE:. klssene, ingenørutdnning og fleing. TID: kl. 9... FAGANSVARLIG: Hns Petter Hornæs ANTALL SIDER UTLEVERT:

Detaljer

Integrasjon del 2. October 15, Department of Mathematical Sciences, NTNU, Norway. Integrasjon

Integrasjon del 2. October 15, Department of Mathematical Sciences, NTNU, Norway. Integrasjon Integrsjon del Deprtment of Mthemticl Sciences, NTNU, Norwy Octoer 5, 4 Integrsjon Sustitusjon for estemte integrler Husk kjærneregel d dt f (g(t)) = f (g(t)) g (t) ved fundmentlteoremet (del ) vi får

Detaljer