2P kapittel 5 Eksamenstrening

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "2P kapittel 5 Eksamenstrening"

Transkript

1 P kpittel 5 Eksmenstrening Løsninger til oppgvene i ok Uten hjelpemidler E = = = = ( ) ( ) c d x x = 3 x x = 3 x x = 3 x = 3 x = 7x 1, 10 5,0 10 = 1, 5, = 6,0 10 = 6, ( ) ( 6) ( 1) = = = 3 = 3 = 3 = = e ( ) ( ) = = = = f g h i E ( 3) ( 3) = 1= 3 = = 3 = = ( ) + ( 4) = = = = ( ) 3 8 = = = = = ( ) + 1 ( 5) = = = = Vi finner vekstfktoren for hver v prisendringene. Først lir prisen stt ned med 30 %. 30 Vekstfktoren er 1 = 1 0,30 = 0, Så lir prisen stt ned med 0 %. 0 Vekstfktoren er 1 = 1 0, 0 = 0, Nå koster skiene: 5000 kr 0,70 0, 80 = 800 kr ( ) 3 8 Aschehoug Side 1 v 61

2 Smlet prisnedgng: 5000 kr 800 kr = 00 kr Det utgjør: 00 kr 100 % = 44 % 5000 kr 1400 kr 0,90 0,80 1, = 110 kr Løsninger til oppgvene i ok Vekstfktorene på 0,90 og 0,80 viser t prisen hr gått ned to gnger, først med 10 % og så med 0 %. Vekstfktoren på 1, viser t prisen hr gått opp én gng med 0 %. E3 Ny verdi = gmmel verdi. vekstfktor n I dg er ilen verdt kr. En reduksjon på 18 % svrer til en vekstfktor på 0,8. Vi skl finne verdien om fire år, ltså n = 4. 4 Verdien om fire år: kr 0,8 Vi skl finne verdien for fire år siden, ltså n = kr Verdien om fire år: kr 0,8 = 4 0,8 E4 c Endring Vekstfktor +5 % 1, 5 15 % 0,85 7,5 % 0, % 1,5 + % 1,0 75 % 0, % 40 Rtten er 40 %. D er vekstfktoren 1 = 1 0, 40 = 0, N= GV N = , 60 = 4800 D lir prisen på høstslget 4800 kr. Ny verdi = gmmel verdi. vekstfktor n I 010 vr det deltkere. En vekstfktor på 0 % svrer til en vekstfktor på 1,0. Vi skl finne ntll deltkere i 009, ltså er n = Antll deltkere i 009 vr: ,0 = = , 0 Vi skl finne ntll deltkere i 011, ltså er n = 1. 1 Antll deltkere i 011 vr ,0 = Økningen i ntll deltkere fr 009 til 011 vr: = Aschehoug Side v 61

3 E = 4, ,5 10 = = = = 0, = = 0,00 10 = = 1, = 1, ( 3) Løsninger til oppgvene i ok E = 3,5 10 0, = 5, = 5,3 10 0, = 3, = 3,4 10 = 3, ( ) ( 4) = = = ,000 5,5 10,5 3,5 10 8,0 10 = 3,5 8,0 10 = 8 10 =, =, E7 A: = = = = : = = = = = B Vi ser t røken B hr størst verdi. 15 Vekstfktoren er 1 = 0, Verdien vtr med 15 % per år, ltså er dette et eksempel på eksponentiell vekst. Ny verdi = gmmel verdi. vekstfktor n 10 Verdien etter 10 år er gitt ved regnestykket ,85. Regnestykke nr. 3 er det riktige. E8 De to 10 % prisøkningene i utikk B regnes v forskjellige priser og derfor lir det feil å si t dette er en prisøkning på 0 %. Eksempel: L oss si t vren koster 100 kr i de to utikkene. I utikk A kostet vren etter prisøkningen: 100 kr 1, 0 = 10 kr. I utikk B kostet vren etter de to prisøkningene: 100 kr 1,10 1,10 = 100 kr 1,10 = 11 kr. E9 Vi ser v grfen t det koster kr å produsere 50 stoler. D lir kostndene per stol kr : 50 = 800 kr. 4,46 10 =,46 0,0001 = 0, Aschehoug Side 3 v 61

4 E10 og c F C 17, ,8 Stig skl steke kk på 177 C. E11 1 Av grfen ser vi t høyden til vnnoverflten etter minutter er,5 dm. Det tr 5,8 minutter før høyden til vnnoverflten er 6,0 dm. 5,8 minutter = 5 minutter, og 0,8 60 sekunder = 5 minutter og 48 sekunder. E1 I tllfølgen 16, 1, 8, 4,..vtr hvert ledd med 4. Av grfen ser vi t stigningstllet er 4 og konstntleddet er 0. Dermed kn vi ruke formelen y = 4x+ 0 til å finne tll nummer x i tllfølgen. Aschehoug Side 4 v 61

5 E13 Ved å estille og etle turen 30 dger før vreise, får vi kr i vslg. Vi eregner vslget per dg slik: Løsninger til oppgvene i ok 1500 = 50. Vi får 50 kr i vslg per dg. 30 Ved å estille og etle turen 1 dger før vreise, får vi kr i vslg. Vi eregner vslget per dg slik: Stigningstllet for den rette linj er 50 kr/dg = 50. Vi får 50 kr i vslg per dg. 1 Vi ruker p(x) som symol for prisen x dger før vreise. px ( ) = 50x+ p(30) = = = = = En mtemtisk modell for prisen på reisene er gitt ved px ( ) = 50x Gyldighetsområdet er derfor x [ 14, 30]. 1 En firedel v ensinen på tnken er 56 L 14 L 4 =. 14 L D hr Lrsen kjørt 0 mil 0,7L/mil =. Full tnk er 56 L og Lrsen ruker 0,7 L/mil. En mtemtisk modell for hvor mye ensin Lrsen hr igjen på tnken er d x ( ) = 56 0,7x der x er ntll mil Lrsen hr kjørt etter t hn fylte tnken , 7x = 0 0,7x = x = = 80 0,7 Lrsen kn kjøre 80 mil før tnken er tom. x 0, 80. Gyldighetsområdet er derfor [ ] E14 1 Hvis innyggertllet i Fossefjell i dg er 9000 og synker med 150 per år, vil en mtemtisk modell som viser folketllet om x år, li F( x) = x Grfen C viser folketllet om x år etter denne modellen. For en il som kjøpes for kr og synker i verdi med 15 % per år, vil ilens verdi følge modellen Bx ( ) = ,85 x. Dette er en eksponentilfunksjon. Grfen F viser verdien v ilen x år etter t den le kjøpt. 3 Dersom siden i kvdrtet er x, kn relet uttrykkes ved funksjonen Ax ( ) = x. Grfen er en prel. Aschehoug Side 5 v 61

6 4 Grfen A viser relet v et kvdrt som funksjon v siden x i kvdrtet. I denne oppgven må x > 0. H x = x + x+. Grfen er en prel med toppunkt siden < 0. ( ) 4, 9 1 1, 8 H( x ) uttrykker llens høyde over kken etter x sekunder. H (0) = 1,8. Grfen E viser llens høyde over kken som funksjon v x. E15 Figur m 1 m m 3 m 4 m 5 m 6 Antll klosser m m1 = 10 5 = 5 m3 m = = 7 D må m m = og m 4 = = m m5 13 m m = og m 5 = = 37 = og m 6 = = 50 Vi ser t m 1 = 11 + = 5 D må m = + 3 = 10, m 3 = = 17, m 4 = = 6, m 5 = = 37, m 6 = = 50 En modell som viser hvor mnge klosser Sondre trenger for å lge m n er d gitt ved m= nn + ( n+ 1) = n+ n+ n m 0 = = 44 Aschehoug Side 6 v 61

7 E16 Løsninger til oppgvene i ok Siden ilens verdi synker med 10 % hvert år, ruker vi en eksponentiell modell. Lr vi x være ntll år etter t Stin kjøpte ilen, får vi x f( x ) = ,90 Siden ilens verdi hvert år synker med 10 %, vil det årlige verditpet li mindre og mindre etter hvert som ilens verdi lir mindre. Grfen for f vil derfor synke sktere og sktere når x øker. Dette stemmer re med grf C. E17 Stin: Du tjener 50 kr 5 = 50 kr Sondre: Når du hr spist opp hlvprten v dropsene, hr du spist 75 drops. Du spiser fem drops om dgen. Altså tr det 75 dger = 15 dger før du hr spist opp hlvprten v 5 dropsene. Sestin: Lengden skl være,0 cm større enn redden. Hvis redden er 3,0 cm, skl lengden være 5,0 cm. Arelet v tøystykket er 3,0 cm 5,0 cm = 15 cm. Stin: L x være ntll rmånd. Inntekten I( x ) kr gitt ved I( x) = 50x. Sondre: Antll drops i krukk vtr med 5 per dg. Etter x dger hr du igjen nx ( ) drops der nx ( ) = 150 5x. Sestin: Lengden og redden skl være i cm. Kller vi redden for, vil lengden være +. Arelet A ( ) i cm er d gitt ved A ( ) = +. c Stin: x må være et helt tll større enn eller lik null, x 0,. Sondre: Løser vi likningen 150 5x = 0, får vi x = 30. Krukk er ltså tom etter 30 dger. x 0,30. x må være et helt tll større eller lik null, og mindre enn eller lik 30, [ ] Sestin: Bredden kn ikke være negtiv, og den kn heller ikke være null. må være større enn null, 0,. Men det er egrenset hvor store tøystykker Sestin kn lge. Aschehoug Side 7 v 61

8 E18 Løsninger til oppgvene i ok Nedenfor er koordintsystemet med punktene tegnet v og en rett linje som psser med punktene er tegnet inn etter este evne. Vi ønsker å finne og i funksjonsuttrykket y = x + for den rette linj. Til hjelp hr vi merket v to punkter på linj. Punktet A = (0, 00) er skjæringspunktet med y-ksen, som forteller oss t konstntleddet = 00. Smmen med det ndre punktet, B = (10, 970), ser vi t økningen i y er 770 når økningen i x er 10. Stigningstllet for linj lir økning i y 770 = = = 77 økning i x 10 Funksjonsuttrykket for linj lir d y = 77x+ 00. Når det er 0 dl etnol i egeret, ser vi t vekten er 00 g, så derfor må vekten v egeret være 00 g. Stigningstllet forteller oss t når det fylles i én desiliter mer med etnol i egeret, øker vekten med 77 g, ltså t én desiliter etnol veier omtrent 77 g, og siden 1 liter inneholder 10 desiliter, veier én liter omtrent 770 g eller 0,77 kg. Aschehoug Side 8 v 61

9 E19 Av grfen ser vi t et 35 måneder gmmelt rn i gjennomsnitt kn c. 100 ord. c Linj går gjennom punktene (0, 300) og (50, 100). Stigningstllet for linj er = = Linj vi tegnet inn, skjærer Likningen for den rette linj lir d y = 60x x x 900 x 15 y ksen i 900. Altså er = 900. Av grfen ser vi også t modellen gjelder fr rnet er 15 måneder. Modellen ntr t rn i gjennomsnitt lærer 60 nye ord per måned fr de er 0 måneder til de er 50 måneder. Etter den lderen er det tvilsomt om rn d lærer 60 nye ord per måned. Grfen vil nok flte ut etter som rn lir eldre. Aschehoug Side 9 v 61

10 E0 Nedenfor hr vi tegnet figuren f 4. c f1 inneholder 6 perler, f inneholder 11 perler, f3 inneholder 16 perler. Antll perler øker med 5 for hver figur. Derfor vil f 4 inneholde 1 perler. Figuren f 5 vil inneholde 6 perler, og figuren f 6 vil inneholde 31 perler. n f n Vi kn d sette opp følgende modell for ntll perler i figuren f n : f = 6+ 5 ( n 1) = 6+ 5n 5= 5n+ 1 n f Det gir 36 = = 181. Det trengs 181 perler for å lge f 36. Vi kn sette opp 5n + 1 = n = = n = = 199,8 5 Med 1000 perler kn Siri lge f 199. E1 Summen v plsseringene hns er = , 4 9 = Gjennomsnittet v Aksel Lund Svindls plsseringer er 3,4. Vi skriver plsseringene i stigende rekkefølge: Det er 9 plsseringer.medinen er plssering nummer 5.Medinplssering er nummer 4. Aschehoug Side 10 v 61

11 Plssering Frekvens Kumultiv frekvens c Den kumultive frekvensen for tredjeplss er 4. Det etyr t Aksel Lund Svindl le nummer tre eller edre i fire v rennene. Løsninger til oppgvene i ok E c Timer Antll (frekvens) Kumultiv frekvens Kumultiv reltiv frekvens (%) % % % % % Vi skriver treningstidene i stigende rekkefølge: Det er til smmen 10 tider. Medinen ligger mellom tid nummer fem og tid nummer seks. Medinen er så gjennomsnittet v de to tidene på hver sin side v midtpunktet: + = Medinen v treningstidene er timer. Summen v jentenes treningstider er = = 3,5 Gjennomsnittet v treningstidene jentene rukte er 3,5 time. Seks treningstider er fr null til timer. Fire treningstider trekker gjennomsnittet opp. De typiske treningstiden er medinen. Første hlvdel v dtene er de som kommer før medinen, dvs Første kvrtil er medinen for disse fem treningstidene, så første kvrtil er 1 time. Andre hlvdel v dtene er de som kommer etter medinen, dvs Andre kvrtil er medinen for disse fem treningstidene, så ndre kvrtil er 6 timer. Vrisjonsredden er 9 timer 0 timer = 9 timer. Kvrtilredden er 6 timer 1 timer = 5 timer. Aschehoug Side 11 v 61

12 E3 Vi skriver ntll fmiliemedlemmer i hver fmilie i stigende rekkefølge: Løsninger til oppgvene i ok Det er 19 fmilier.medinen er plssering nummer 10.Medinen er 3 fmiliemedlemmer. Summen v ntll fmiliemedlemmer er = = 3 Gjennomsnittet v ntll medlemmer i en fmilie er 3. Vrisjonsredden er 7 fmiliemedlemmer 1 fmiliemedlem = 6 fmiliemedlemmer. Første hlvdel v dtene er de som kommer før medinen, dvs Første kvrtil er medinen for disse ni fmiliene, så første kvrtil er fmiliemedlemmer. Andre hlvdel v dtene er de som kommer etter medinen, dvs Andre kvrtil er medinen for disse ni fmiliene, så ndre kvrtil er 4 fmiliemedlemmer. Kvrtilredden er 4 fmiliemedlemmer fmiliemedlemmer = fmiliemedlemmer. E4 Krkter Antll elever Vrisjonsreddden er 6 1= 5 Fem elever fikk krkteren 4.Typetllet er 4. Vi skriver krkterene i stigende rekkefølge: Det er til smmen 0 elever. Medinen ligger mellom krkter nummer ti og krkter nummer 11. Medinen er så gjennomsnittet v de to tidene på hver sin side v midtpunktet: 3+ 4 = 3,5 Medinen er krkteren 3,5. Summen v ntll krkterene er = = 3, 4 Gjennomsnittskrkteren er 3,4. Aschehoug Side 1 v 61

13 E5 Årslønn ( i kr Midtpunkt x m Frekvens f 300, , , Sum = Gjennomsnittslønn er kr. E6 Lommepenger (kroner) Midtpunkt x m Frekvens f Løsninger til oppgvene i ok 0, , , , Sum = I gjennomsnitt får elevene 60 kr i lommepenger i uk. Medinen er midtpunktet i dtmterilet. Det er 100 elever i ved skolen. Medinen må d være gjennomsnittet v verdi nummer 50 og verdi nummer 51. Begge disse verdiene må ligge i klssen 300, 600. Medinen må derfor være mindre enn gjennomsnittet. E Klssemidtpunktet i 6,10 = = 8, dvs. A = 8. Summen v frekvensene er 400. D er B = 400 ( ) = 80 Summen v de reltive frekvensene er 1,00. D er C = 1,00 (0, , 0 + 0,15 + 0,15) = 0,10 Summen v produktene x r = 4, 0. D er D = 4, 0 (0, ,60 + 0,75 + 1, 5) = 1,0 m xm r = 4, 0. Det vil si t elevene i gjennomsnitt trener 4,0 timer per uke. c Medinen er midtpunktet i dtmterilet. Frekvensen er 400. Medinen må d være gjennomsnittet v verdi nummer 00 og verdi nummer 01. Siden B = 80, må egge disse verdiene må ligge i klssen,4. Medinen må derfor være mindre enn gjennomsnittet. xm f xm f Aschehoug Side 13 v 61

14 E8 Antll elever Frekvens Grdtllet Går 30 0,30 0, = 108 Sykler 40 0,40 0, = 144 Kjører uss 0 0,0 0, = 7 Kjører moped 10 0,10 0, = 36 Sum 100 1, E9 Gjennomsnittet er summen v lle frværsdgene delt på ntll elever: Gjennomsnitt = = = Gjennomsnittet er 5 dger per elev. Vi ordner dtene i stigende rekkefølge, og siden det er 0 oservsjoner, eregner vi medinen som gjennomsnittet v de to midterste Medinen = = Medinen er dger. Typetllet = 0, det vil si 0 dger. Medinen gir det este sentrlmålet for klssens frvær. De fleste elevene hr lite frvær. Noen få elever hr svært høyt frvær og idrr derfor til å heve gjennomsnittet. Aschehoug Side 14 v 61

15 E30 Antll meldinger Antll elever f Klssemidtpunkt x m f x m Løsninger til oppgvene i ok ,5 8, , ,5 148, , ,5 358 Sum Det er 0 elever i klssen, ltså et prtll. Medinen lir d gjennomsnittet v ntll meldinger som elev nr. 10 og 11 sendte. Begge disse elevene ligger i klssen Medinen ligger i klssen Gjennomsnitt: 990 meldinger = 49,5 meldinger. 0 E31 Tur Antll elever Grdtll for sektor Tur 1 (Roåt) = Tur (Sykkel) = Tur 3 (Høgfjell, kort løype) = Tur 4 (Høgfjell, lng løype) = Sum Aschehoug Side 15 v 61

16 Med hjelpemidler E3 5 3,5 x = 47 x x 5 47 = = 13,43 3,5 5 = = Med CAS: 13,43 1,68 3, 7 Vekstfktoren er 1+ = 1, Ny verdi = gmmel verdi. vekstfktor n Reidun setter inn kr. Vi skl finne verdien om fire år, ltså n = 4. 4 På kontoen etter fire år hr hun: ,037 = 57 80,9 c Hun hr d fått 57 80,9 kr , 00 kr = 7 80,9 kr d E33 Vi kn sette opp x = x = = x = = 1, 039 p 1+ = 1, p = 1, = 0, p = 0, = 3,9 Den ndre nken tilyr 3,9 % rente. Vi setter inn i formelen og får E= mc = 0,010 (3,0 10 ) = 9, Når en msse på 0,010 kg forsvinner fr en tomkjerne, lir det frigitt en energi på Vi omformer formelen og får 10 E 9, m = = = 1, 0 10 c 8 (3, 0 10 ) For å gi nok energi til en norsk husholdning i et år må det forsvinne eller 1, kg = 0,001g = 1,0 mg. 1, kg msse 14 9,0 10 J. Aschehoug Side 16 v 61

17 E34 1 Fr konstntleddet i funksjonsuttrykket ser vi t mormor stte inn kr på kontoen. Fr vekstfktoren i funksjonsuttrykket ser vi t den årlige renten er 4,5 %. 18 f (18) = ,045 = Etter 18 år er det kr på kontoen. Grfisk: Med CAS: Det tr 1,3 år før eløpet på kontoen psserer kr. c x = 1159,70 x x ,70 = = 1, = 5 = 1, ,03 Den årlige renten på denne kontoen er 3,0 %. Aschehoug Side 17 v 61

18 x x d Vi tegner grfen til funksjonen gx= ( ) , ,03. Med CAS: Vi ser t eløpene på de to kontoene vil til smmen pssere kr etter 15,4 år. E35 Når ntll milligrm ntiiotik som er igjen i kroppen reduseres med 11 % per time, er vekstfktoren 0,89. Mengden ntiiotik som er igjen i kroppen, reduseres med 11 % hver time, ltså er dette et eksempel på eksponentiell vekst. 1 Etter én time: 0 0,89 = 195,8 Etter en time er det igjen c. 196 mg ntiiotik i kroppen. 8 Etter åtte timer: 0 0,89 = 86, 6 Etter åtte timer er det igjen c. 87 mg ntiiotik i kroppen. 1 Hun tr den ndre tletten åtte timer etter den første tletten, dvs. hun hr igjen 86,6 mg ntiiotik i kroppen fr den første tletten , 6 = 306, 6 Rett etter t hun hr ttt sin ndre tlett, hr hun c. 307 mg ntiiotik i kroppen. Den tredje tletten tr hun seksten timer etter den første tletten. 16 Av den første tletten hun tok, hr hun igjen: 0 mg 0,89 = 34,1 mg. Av den ndre tletten hun tok, hr hun igjen 86,6 mg (se utregning ovenfor). 34,1+ 86, = 340, 7 Rett etter t hun hr ttt sin tredje tlett, hr hun c. 341 mg ntiiotik i kroppen. Aschehoug Side 18 v 61

19 c (I utregningene ovenfor hr vi forutstt t ntiiotiken i tletten lir ttt opp i kroppen med én gng. I virkeligheten vil jo dette t noe tid.) Mengden ntiiotik som er igjen i kroppen, vtr eksponentielt. E36 Vi regner ut kostndene slik: K( x) = Det gir K (60) = = Kostndene lir kr. K( x) x x 4000 Ex ( ) = = = + = 10 + x x x x x c x der x er ntll elever som deltr. d e Av grfen ser vi t enhetsprisen er 170 kr når det lir solgt 80 illetter. Av grfen ser vi t minst 134 elever må kjøpe illett for t rrngementet skl gå med overskudd når illettene selges for 150 kr per stk. Aschehoug Side 19 v 61

20 E37 Vi tegner opp grfen til I(x) og K(x) i det smme vinduet i GeoGer og mrkerer punktene (100,I(100)), (00,I(00)), (100,K(100)) og (00,K(00)). Vi ruker verktøyet Linje mellom punktene på grfen I og punktene på grfen til K. Vi får d opp likningene for linjene. Fr disse ser vi t stigningstllene er henholdvis 180 og , 00 er 130 Dette fører til t den gjennomsnittlige vekstfrten for K(x) i intervllet [ ] kr/enhet og den gjennomsnittlige vekstfrten for I(x) i intervllet [ 100, 00 ] er 180 kr/enhet. Med ndre ord kn vi si t kostnden øker med130 kr per enhet og inntekten med 180 kr per enhet når ntll enheter øker fr 100 til 00. På smme grf som vi tegnet i oppgve mrkerer vi punktene (150,I(150)) og (300,I(300)). Vi ruker verktøknppen Tngenter og finner tngenten til I(x) i de mrkerte punktene. Likningen for tngentene gir oss stigningstllet som tilsvrer den momentne vekstfrten i de mrkerte punktene. Den momentne vekstfrten i x = 150 er 60 kr/enhet og i x = 300 er 180 kr/enhet. Når det produseres 150 enheter, vil inntekten øke med c.180 kr hvis produksjonen øker med en enhet. Når det produseres 300 enheter, vil inntekten øke med c.60 kr hvis produksjonen øker med en enhet. Aschehoug Side 0 v 61

21 c Vi tegner grfene til I(x) og K(x) i det smme vinduet i GeoGer og ruker verktøyet Skjæring mellom to ojekt til å mrkere skjæringspunktene mellom grfene. Bedriften går med overskudd når inntektene er større enn kostndene. Dette leser vi ut fr grfen er når x 80, 30, det vil si når det produseres mellom 80 og 30 enheter. d Ox Ix Kx x x x x x x ( ) = ( ) ( ) = 0, (0, ) = 0, Aschehoug Side 1 v 61

22 e Vi tegner grfen til overskuddsfunksjonen fr oppgve d i GeoGer. Overskuddet er størst i toppunktet. I GeoGer skriver vi Ekstremlpunkt[O]. For t overskuddet skl li størst mulig må edriften produsere og selge 00 enheter. D er overskuddet 7 00 kr. E38 Tegner grfen til T(x) i GeoGer. Av grfen ser vi t det tr c. 6,5 minutter før temperturen er 160 C. 0,1 8 c T (8) = = 171,5 0,1 T () = = 86, 4 T(8) T() 171,5 86, 4 = = 14, 8 6 Den gjennomsnittlige vekstfrten for T(x) i intervllet [,8 ] er 14, C/min. d Vi legger inn punktet (8, T (8)). Vi tegner tngenten i punktet ved å skrive Tngent [150, T]. Stigningstllet til tngenten er 6,6. Momentn vekstfrt er 6,6 C/min når x = 8. Aschehoug Side v 61

23 E39 Hver dg produserer lgene 5 kg v giftstoffet. 16 Produksjonen øker med 16 %. Det gir vekstfktoren 1+ = 1, Mikroorgnismer ryter ned kg hver dg og denne mengden øker med 1,8 kg hver dg. D kn vi sette opp: Forndring = Produksjon Nedryting. Det gir x M( x) = 5 1,16 1,8x der x er ntll dger etter dg 0. Tegner grfen til M(x) i GeoGer. c Av grfen ser vi t mengden øker før det hr gått 3,7 dger og etter t det hr gått 8 dger. d Giftmengden minker mest i unnpunktet. I GeoGer skriver vi Ekstremlpunkt[ f ]. Vi ser t giftmengden minker mest etter 6 dger. E40 Tegner grfen til f(x) i GeoGer. Vi må finne topp og unnpunktet på grfen til f. I GeoGer skriver vi Ekstremlpunkt[ f ]. Aschehoug Side 3 v 61

24 Av grfen ser vi t giftmengden er lik 0 til å egynne med. Mengden øker de første 3,7 dgene. Så minker den frm til 8 dger, og deretter øker den igjen. Det er smme svret som i oppgve E39c. Det er mindre enn 4 kg gift i innsjøen før det hr gått dger og mellom 6 og 9,4 dger. E41 h (0) = 0,15 D treet le plntet, vr det 0,15 meter høyt. Tegner grfen til h(t) i GeoGer. c d e h() h(1) 1, 61 1, 07 = = 0,54 = 54 % 1 1 Treet hr vokst 54 % fr år 1 til år. Vi ser på grfen. Treet vokser i hele perioden, men veksten er vtgende omtrent frm til år fire. Treet vokser minst etter fire år. Deretter øker veksten igjen. Vi ruker digitlt verktøy eller leser v på grfen når treet er,5 meter høyt. Vi finner t treet er,5 meter høyt etter c. 6,4 år. Aschehoug Side 4 v 61

25 E4 Løsninger til oppgvene i ok Strt GeoGer og vis regnerk. Legg x-verdiene inn i kolonne A og T-verdiene i kolonne B. Klikk på Anlyser og velg Potens i rullegrdinmenyen under Regresjonsmodell. D ser det slik ut: 3 1,07 Vi ser t T( x) = 1, x er en pssende modell for tiden T som funksjon v distnsen x. Vi kopierer over grfen til grfikkvinduet i GeoGer. c Vi skriver inn (1097.5,T(1097,5)) i inntstingsfeltet i GeoGer og finner t T (1 097,5) = 60,994 Hn kommer snnsynligvis til å ruke omtrent 61 minutter på en hlvmrton. d Her er D 1 = 5 000, T 1 = 71,617 og D = 1 097,5. Vi skl finne T. Pete Riegels modell gir 1,06 T 1 097,5 = 71, T = 0, , 617 T = 59,853 Vi ser t hn etter denne modellen vil ruke omtrent 59,8 minutter. Smsvret med modellen vi fnt i oppgve 6, er r, for vviket er re omtrent 1,6 %. Aschehoug Side 5 v 61

26 E43 Grunnflten i esken er et kvdrt med side (50 x ) cm V x x x x x x x x Høyden er x cm. Siden x cm er høyden,må x > 0. Av uttrykket for lengden v siden ser vi t x < 5. Vi kn sette x 0, 5 Løsninger til oppgvene i ok. Høyden er x cm. 3 ( ) = (50 ) = (50 ) (50 ) = c Vi tegner grfen til V(x) i grfikkfeltet i GeoGer. E44 Volumet er størst i toppunktet på grfen. I GeoGer skriver vi Ekstremlpunkt[ V ]. Vi ser t det største volumet esken kn h er 9 59 cm 3 = 9,3 dm 3. Aschehoug Side 6 v 61

27 Punktene ligger ikke på en rett linje, så vi må h en funksjonstype med krum grf. Grfen ser ikke ut til å topp- eller unnpunkter.andre- og tredjegrdsfunksjoner er derfor lite ktuelle. Funksjonsverdien stiger mer og mer etter hvert som x-verdien øker. Grfen går ikke gjennom origo. D fller vlget på en eksponentilfunksjon. Strt GeoGer og vis regnerk. Legg x-verdiene inn i kolonne A og h(x) verdiene i kolonne B. Klikk på Anlyser og velg Eksponentiell i rullegrdinmenyen under Regresjonsmodell. D ser det slik ut: E45 Den este smmenhengen mellom høyden på plnten, h(x), og lderen på plnten x x er gitt ved: hx ( ) = 6,35 1,. Vi ruker regnerk i GeoGer. Legg x-verdiene inn i kolonne A og T(x) verdiene i kolonne B. Klikk på Anlyser og velg Lineær i rullegrdinmenyen under Regresjonsmodell. D ser det slik ut: Mrkus kommer frm til modellen T( x) = 0,79x+ 67,15. Vi ruker regnerk i GeoGer. Legg x-verdiene inn i kolonne A og T(x) verdiene i kolonne B. Klikk på Anlyser og velg Eksponentiell i rullegrdinmenyen under Regresjonsmodell. D ser det slik ut: Aschehoug Side 7 v 61

28 c d 1 Anit kommer frm til modellen T( x ) = 70,5 0,981 x. Funsjonsverdiene synker mer og mer etter hvert som x-verdiene øker. Eksponentilmodellen psser est med punktene i koordintsystemet og eskriver est temperturutviklingen I vnnet. 0 T (0) = 70,5 0,981 = 48 Temperturen i vnnet etter 0 minutter vr c. 48 C. Med CAS får vi E46 c Det tok c. 4 minutter (4 min. og 13 sek.) før temperturen vr 65 C. Funsjonsverdiene synker etter hvert som x-verdiene øker.grfen hr ikke topp-eller unnpunkt.andregrdsfunksjon er derfor ikke ktuell. Funksjonen må være h. Funsjonsverdiene stiger mer og mer etter hvert som x-verdiene øker. Etter som grfen ser ut til å gå gjennom origo, fller vlget på potensfunksjonen f. Grfen hr ett unnpunkt og ingen toppunkter. D er det en ndregrdsfunksjon som psser est. Funksjonen må være g. Aschehoug Side 8 v 61

29 E47 Løsninger til oppgvene i ok Strt GeoGer og vis regnerk. Legg x-verdiene inn i kolonne A og K(x) verdiene i kolonne B. Klikk på Anlyser og velg polynomfunksjon v grd i rullegrdinmenyene under Regresjonsmodell. D ser det slik ut: Det gir: K x x x ( ) = 0, , Ox x x O ( ) = 0, (50) = 0, = 3750 O O(350) O(50) = = = (350) = 0, = 6750 Den gjennomsnittlige vekstfrten for O(x) i intervllet [ ] 50, 350 er 30 kr/enhet. I gjennomsnitt øker overskuddet med 30 kr per enhet når ntll enheter øker fr 50 til 350. O (350) = 6750 O (450) = 0, = O(450) O(450) = = = Den gjennomsnittlige vekstfrten for O(x) i intervllet [ 350, 450 ] er 30 kr/enhet. I gjennomsnitt minker overskuddet med 30 kr per enhet når ntll enheter øker fr 350 til 450. Aschehoug Side 9 v 61

30 c Vi legger inn punktene (300, O(300)) og (400, O (400)). Vi tegner tngenten i punktene ved å skrive Tngent[300, O] og Tngent[400, O] i inntstingsfeltet. Vi ser t momentn vekstfrt for O(x) når x =300 er 30 kr/enhet. Når det produseres 300 enheter, vil overskuddet øke med 30 kr hvis produksjonen øker med en enhet. Vi ser t momentn vekstfrt for O(x) når x = 400 er 30 kr/enhet. Når det produseres 400 enheter, vil overskuddet minke med 30 kr hvis produksjonen øker med en enhet. d Overskuddet er størst i toppunktet på grfen. I GeoGer skriver vi Ekstremlpunkt[ O ]. Vi ser t den produksjonen som gir størst overskudd er 350 enheter. D er overskuddet 6750 kr. E48 Av grfen leser vi v t Henrik hr kjørt 0 mil når hn hr 40 L ensin på tnken. Grfen går gjennom punktene (0, 56) og (10, 48). Vi regner ut stigningstllet for den rette linj: y y = = 0,80 x x Det viser t ensinforruket er 0,80 L/mil. Aschehoug Side 30 v 61

31 c d Tnken på Henriks il rommer 56 L. Henrik kjører x mil og ilen forruker 0,80 L/mil. Antll liter ensin som er igjen på tnken når hn hr kjørt x mil er d gitt ved: V( x) = 56 0,80 x. V( x) ,80x 0 0,80x x 0,80 x 70 Gyldighetsområdet for V er d: x [0, 70]. E49 Hvis x = 5 lir FG = 5 og EF = 10. Arelet v det lå området lir d: = Vi må h x < 80 x < 40 Det gir t x 0, 40. c Alått område = AABCD AEFGH T( x) = x x= x d e T Vi løser likningen med CAS slik: (5) = = = 6350 E50 Det lå området er 3700 når x = 36,7. n Vi ruker smmenhengen: N= GV. Det gir = x x x = = 0, = = 0, 65 0,855 3 Aschehoug Side 31 v 61

32 p 1+ = 0, p = 1 0,855 = 0, p = 0, = 14,5 Den årlige prosentvise nedgngen er 14,5 %. Løsninger til oppgvene i ok Vi kn sette opp V( x ) = ,855 x, der x er ntll år etter t ilen vr ny. c d e Av grfen ser vi t verdien v Mgnes il er redusert til det hlve etter 4,4 år. Ved å nt t Mgnes il vtr med kr etter en lineær modell, kn vi sette opp Bx ( ) = x der x er nttll år etter t ilen vr ny. Vi setter opp Vx ( ) = Bx ( ) ,855 x = x Vi løser likningen med CAS slik f Etter 16,1 år er verdien v ilen lik etter de to modellene. (D ilen vr ny, vr verdien lik etter de to modellene.så er verdien lik igjen etter 16, år.) Verdien v ilen vtr mest de første årene slik t den eksponentielle modellen med en fst prosentvis nedgng gitt ved V(x) gir nok est uttrykk for verdiutviklingen. Etter noen år synker ikke ilens verdi like mye fordi prosenten regnes v en stdig lvere verdi. Aschehoug Side 3 v 61

33 E51 Funksjonen K( x) x Løsninger til oppgvene i ok = + er en linær funksjon. Vi ruker Geoger og viser regnerk. Vi legger distnsene inn i kolonne A kondisjonstllene i kolonne B. Vi mrkerer cellene, velger regresjonsnlyse, klikker på Anlyser og velger Lineær. D ser det slik ut: Av grfen ser vi t = 0,01 og = 10,9. Vi får d funksjonen K( x) = 0,01x 10,9 der K(x) er kondisjonstllet og x er løpt distnse I meter. K( x ) = 0, ,9 = 44,5 Et løp på 500 m svrer til kondisjonstllet 44,5. c For t en mnn i denne ldersgruppen skl være i middels god form, må kondisjonstllet minst være 3. Vi kn sette opp K( x) = 0, 01x 10,9 = 3 0, 01x = 10,9 + 3 = 4,9 4,9 x = = , 01 Innstt i CAS En mnn i ldersgruppen år må minst løpe 1941 m for å være i middels god form. For t en mnn i denne ldersgruppen skl være i svært r form, må kondisjonstllet minst være 46. Vi ruker CAS verktøy og får Hn må d løpe c. 574 m. Det er en økning på ( )m = 633 m. Aschehoug Side 33 v 61

34 E5 1 Vi ruker Geoger og viser regnerk. Vi legger ntll år etter 000 i kolonne A og ntll lg i kolonne B. Vi mrkerer cellene og ruker verktøyet Regresjonsnlyse. Vi ser ort fr punktene ( 5, 660 ) og ( 8, 963 ). og c Vi velger Regresjonsnlyse, klikker på Anlyser og velger Polynom,(grd ). D ser det slik ut: d Den modellen som psser est med ntll lg som i denne perioden er gitt ved f( x) = 30, 4x 60,9x+ 1 37,9 der f(x) er ntll lg og x er ntll år etter 000. Av grfen ser vi t modellen psser r med punktene i koordintsystemet. f (13) = 30, , ,9 = 3073,8 Etter modellen fullførte c lg stfetten i 013 som er en dårlig progose. Aschehoug Side 34 v 61

35 E53 Av tellen ser vi t prisen for en dimnt på 0,60 krt er 19 0 kr. Vi ruker Geoger og viser regnerk. Vi legger x krt i kolonne A og prisen (i tusen kroner) i kolonne B. Vi velger regresjonsnlyse, klikker på Anlyser og velger Eksponentiell. D ser det slik ut: Løsninger til oppgvene i ok c d Den eksponentilfunsjonen som psser est med verdiene i tellen, er gitt ved x Px ( ) = 0, ,50 P (0,50) = 0, = 11,30 Prisen for en dimnt på 0,50 krt lir c kr. 0,60 P (0, 60) = 0, = 19, Prisen for en dimnt på 0,60 krt lir c kr Prisøkningen lir: kr kr kr = kr % = 69,9 % Prisen øker med c. 70 % hvis dimnten øker i størrelse med 0,10 krt. Aschehoug Side 35 v 61

36 E54 Løsninger til oppgvene i ok Vi leser v noen utvlgte punkter fr figuren i oppgven og legger disse verdiene inn i regnerket i GeoGer. Vi velger regresjonsnlyse, klikker på Anlyser og velger Eksponentiell. D ser det slik ut: x Den funksjonen som psser est med grfen som er gitt i oppgven, er f( x ) = ,050. Vi skriver 0 inn i feltet for x = i regresjonsvinduet og får t Guri vil h kr i nken etter 0 år. Aschehoug Side 36 v 61

37 Vi kopierer grfen over i grfikkfeltet, tegner opp linjen y = og ruker verktøyet Skjæring mellom to ojekt. E55 Etter modellen vil eløpet i nken pssere kr etter 33 år. Tiden er lik vstnden dividert med frten ,50 10 m h 1 dg 1 år 6,0 10 = 6,0 10 s = 6,0 10 s = år = 19 år 50 m / s 3600 s 4 h 365 dg Forholdene mellom vstndene må være like i modellen og i virkeligheten. Avstndene i modellen til sol fr Sturn. Pluto og sentrum v Melkeveien kller vi x, y og z. 1 x 1,43 10 m = cm 1,50 10 m 1 1,43 10 x = 40 cm = 381cm = 3,81 m 11 1,50 10 Avstnden til sol fr Sturn er 3,81 m i modellen. 1 y 5,96 10 m = cm 1,50 10 m 1 5,96 10 y = 40 cm = 1589 cm = 15,9 m 11 1,50 10 Avstnden til sol fr Pluto er 15,9 m i modellen. 0 z 1, 0 10 m = cm 1,50 10 m 0 1, 0 10 z = 11 1,50 10 = = = cm 3, 0 10 cm 3,0 10 m 3,0 10 km Avstnden til sol fr sentrum v Melkeveien er 5 3, 0 10 km i modellen. Aschehoug Side 37 v 61

38 c Tnkegngen er som i oppgve. Avstnden fr sol til jord i den nye modellen er s. s 11 1,50 10 m = 0 5,0 m 1,0 10 m 11 1,50 10 s = = 0 1, ,0 m 6,5 10 m Avstnden fr sol til jord i den nye modellen er 9 6,5 10 m. E56 Når oservsjonene strter er det 1000 kterier i kteriekulturen. Siden ntll kterier doles hver sjette time, vil kteriekulturen li firedolet etter 4 timer. Antll kterier etter 4 timer lir d = Vi kn sette opp følgende modell som viser hvordn ntll kterier endrer seg i løpet v to døgn: 1 t ( 6 ) t ( ) t ,1 Bt = = =, der t er ntll timer som vrierer fr 0 til 48. c Vi vet t d oservsjonene strtet, vr det 1000 kterier, og etter seks timer vr det 000 kterier i kteriekulturen. D kn vi sette opp p = 000, der p etyr vekstfktoren p = = p = = 1,1 p 1+ = 1,1 100 p = 1, d Antll kterier øker med 1, % per time. Antll kterier etter 40 timer lir d ,1 = Vi kn også regne ut ntll kterier etter 40 timer ved å enytte modellen i oppgve Det gir B (40) = 1000 = Etter denne modellen vil det etter 40 h være kterier i kteriekulturen. Forskjellen i ntll kterier skyldes vrunding ved eregning v p i oppgve c. Vi vet t kterietllet fordoles hver sjette time. Vi ntr t kteriekulturen inneholder c terier etter 40 timer. Det vr d hlvprten så mnge kterier, dvs kterier for 6 timer siden. Det vil ltså være kterier i kteriekulturen etter c. 34 timer. Aschehoug Side 38 v 61

39 E57 Løsninger til oppgvene i ok Siden det er en lineær smmenheng mellom ntll kjørte kilometer, ser vi v de oppgitte dt t merutgiftene for hver kjørte 50 km er 15 kr. Merutgiftene ved å kjøre 300 km og ikke 150 km er derfor 3 15 kr = 375 kr. Leieprisen om fmilien kjører 300 km, er ltså 65 kr kr = 1000 kr. Vi lr x være ntll kjørte kilometer og y være leieprisen. Siden smmenhengen mellom x og y er oppgitt til å være lineær, kn vi skrive y = x +. = tilvekst i y 15,5 tilvekst i x = 50 = For å estemme tllet løser vi likningen 500 =, = = Den lineære modellen lir y =,5x c Tllet =,5 forteller oss t illeien koster,5 kr for hver kjørte kilometer. Tllet = 50 er en leievgift som ikke erøres v hvor lngt vi velger å kjøre. E58 og Vi legger inn tllene i tellen i regnerket i GeoGer, mrkerer cellene, ruker verktøyknppen Regresjonsnlyse, klikker på Anlyser og velger Lineær i rullegrdinmenyen. Vi får dette vinduet: Den lineære funksjonen som psser est med tllene i tellen lir y =,94x Vi kopierer grfen over til grfikkfeltet i GeoGer. Aschehoug Side 39 v 61

40 c Vi regner ut ved hjelp v modellen fr oppgve hvor mye doppir som er rukt når dimeteren er 38 mm. 38 =,94x + 101, 65,94x = 63, 65 x = 1,65 Dorullen inneholder ifølge modellen omtrent meter doppir. d På pkk står det t den inneholder 160 rk v lengde 0,14 m ,14 =, 4 Det svrer ltså til t dorullen inneholder omtrent meter doppir. Det er god overensstemmelse mellom modellen vår og det som er oppgitt på pkk. Vi kn ikke forlnge større presisjon i modellen når tllmterilet som rukes til å lge modellen, er oppgitt såpss lite nøyktig som tilfellet er for doppirlengdene, som utgjør x-verdiene våre. E59 1 Vi legger inn tllene i tellen i regnerket i GeoGer, mrkerer cellene, ruker verktøyknppen Regresjonsnlyse, klikker på Anlyser og velger Lineær i rullegrdinmenyen. Den lineære modellen som psser est med tllene i tellen er f( x) = 0,88x+ 4. Aschehoug Side 40 v 61

41 Vi velger Eksponentiell i rullegrdinmenyen. Den eksponentielle modellen som psser est med tllene i tellen er gitt ved f( x ) = 44 0,97 x. Vi ruker CAS og setter inn x = 35 Etter den lineære modellen vil c. 11 % være røykere i 00, mens etter den eksponentielle vil c. 16 % være røykere i 00. c Vi ruker CAS med x = 5 Av grfen ser vi t ndelen mnnlige røykere lir lvere enn 5 % når x = 4, dvs. i 07 i følge den lineære modellen og når x = 7, dvs. i 057 i følge den eksponentielle modellen. d Det er lite snnsynlig t den lineære modellen vil fortsette etter c. 030 ( x = 30). D lir prosenten negtiv. Den eksponentielle modellen viser t ndelen røykere minker. Grfen flter ut, men lir ldri null. Noen menn vil nok lltid røyke. Denne modellen er nok derfor mest snnsynlig. Aschehoug Side 41 v 61

42 E60 og Vi strter GeoGer og viser Regnerk. Vi legger nummer på månedene i kolonne A og ntll kilogrm pølser i kolonne B. Vi mrkerer cellene og velger Regresjonsnlyse. Vi klikker på Anlyser og velger Polynom (grd 3). D ser det slik ut: 3 Tredjegrdsmodellen er derfor f( x) = x + 10, 4x + 0,9x+ 14, 6 Vi kopierer grfen over i grfikkfeltet og setter riktig enhet på ksene. c Pølseslget i 01 vil være 0 % høyere enn i 011. Vi regner d ut pølseslget i 01 ved å multiplisere slget i 011 med vekstfktoren 1,0. Eksempel for jnur: 45 1, = 54 Tilsvrende eregning er utført for de neste månedene. Se tellen nedenfor. Måned Jnur Mrs Juni Juli August Desemer Antll kg pølser Aschehoug Side 4 v 61

43 Vi ruker regnerk og legger nummer på månedene i kolonne A og det nye ntll kilogrm pølser i kolonne B. Vi mrkerer cellene og velger Regresjonsnlyse. Vi klikker på Anlyser og velger Polynom (grd 3). D ser det slik ut: Vi finner t den funksjonen som psser est med punktene i koordintsystemet, er gitt ved gx x x x 3 ( ) = 1, + 1, 4 + 5,5 + 17, Vi kopierer grfen over i grfikkfeltet og setter riktig enhet på ksene. Vi tegner inn linjen y = 300. Av grfen ser vi t utikken selger mer enn 300 kg pølser per måned fr slutten v pril til egynnelsen v oktoer. Aschehoug Side 43 v 61

44 E61 c n Løsninger til oppgvene i ok For hvert nytt ledd legger vi til et kvdrt som er 1 større i lengde og redde enn det forrige. P = 1 1 P = 1+ = 1+ P = = osv. P = P + 3 = = 14 P P 3 = P + = + = = P + = + = P6 = P5 + 6 = = 91 nn ( + 1)(n+ 1) Pn = 6 n = 6 gir 6(6 + 1)( 6 + 1) P6 = = = Formelen i læreok er ltså riktig for P 6. nn ( + 1)(n+ 1) = Vi ruker digitlt verktøy og finner t n = 13,98. Hn kn lge P 13. Det nederste lget hr 13 = 169 okser. Vi enytter formelen for P n og finner P 13 13(13+ 1)( ) = = = = 181 Hn hr 181 okser til overs når hn er ferdig med pyrmiden Aschehoug Side 44 v 61

45 E6 1 Årstll Innyggertll Endring fr året før Prosentvis endring fr året før 15,4 % 15,1 % 15, % 15, % 15,5 % I en lineær modell vil innyggertllet minke med like mnge mennesker hvert år. Her ser vi tydelig t nedgngen i innyggertllet vtr med årene, og t den prosentvise endringen fr året før er tilnærmet konstnt. Hns og Grete ør derfor velge en eksponentiell modell. Vi legger inn tllene i tellen i regnerket i GeoGer, mrkerer cellene, ruker verktøyknppen Regresjonsnlyse, klikker på Anlyser og velger Eksponentiell i rullegrdinmenyen. Den eksponentielle modellen som psser est med tllene i tellen er f( x ) = 649,7 0,848 x. c 1 Vi ruker muligheten for å regne ut funksjonsverdien i regresjonsnlysevinduet: Innyggertllet vil ifølge modellen være omtrent 55 i 00. x Vi løser likningen 649, 7 0,848 = 100 med CAS slik Det gir x = 11,35. Det etyr t innyggertllet kryper under 100 i løpet v 016. d Vi regner ut folketllet i 00 etter den lineære modell til Hns: y (15) = = 466. Innyggertllet i kommunen kn ldri li mindre enn 0. Denne modellen kn derfor ikke rukes i de siste årene frm til 00. Aschehoug Side 45 v 61

46 E63 1 Vi lger en liste med punkter i regnerket i GeoGer. Vi legger dimeterne i kolonne A og volumene i kolonne B. Vi mrkerer cellene og velger Regresjonsnlyse. Løsninger til oppgvene i ok Vi klikker på Anlyser og velger Potens i rullegrdinmenyen. D ser det slik ut: Aschehoug Side 46 v 61

47 Vi kopierer grfen til grfikkfeltet og legger inn linj y = Vi ruker GeoGer kommndoen Skjæring mellom to ojekter og finner skjæringspunktet mellom linj og grfen til f. c En kule med volum på 1000 ml hr en dimeter på 1,4 cm. d Rdien er hlvprten v dimeteren, r =. Vi setter inn i formelen for volumet v kul og får 4 3 V = π r 3 4 d V = π d V = π π 3 V = d V = 0,5 d I oppgve fnt vi t volumet f( x ) til kuler med dimeteren x er gitt ved Resulttet i oppgve stemmer med formelen. f( x) 0,5 3,0 = x. E64 1 Vi lger en tell der ntll plsser øker med to for hver rd. Rdnummer Antll plsser per rd Vi ser t det er 0 plsser på rd 6 og 8 plsser på rd 10. Vi lr oss inspirere v figuren og tenker t det er røde og grønne seter i slen slik t de midterste 8 setene lltid er røde. Vi ser d t det er grønne seter på rd 1 (ett på hver side), 4 grønne seter på rd (to på hver side) og 6 grønne seter på rd 3 (tre på hver side). Antll grønne seter må være to gnger rdnummeret, mens de røde lltid er 8. Dette gir oss f( n) = 8+ n, der f( n ) er ntll plsser på rden som funksjon v rdnummeret n. Vi ser t denne funksjonen gir oss tellen ovenfor. Aschehoug Side 47 v 61

48 Vi lr gn ( ) = n være prisen per sete på rd n som funksjon v rdnummeret n. Vi ser t dette stemmer med opplysningene om 350 kr på rd 1, 340 kr på rd, og videre reduksjon på 10 kr per rd kover. Den smlede prisen til illettene på en rd må være produktet v ntll plsser og prisen per plss. Om vi kller den smlede prisen som funksjon v rdnummeret hn ( ), får vi c hn ( ) = f( n) gn ( ) = (8 + n) ( n) Videre ereiding v funksjonsuttrykket gir oss hn ( ) = (8 + n)( n) = n+ n 360 n 10n= n+ 70n 0n hn ( ) = 0n + 640n+ 880 Vi ser t hn ( ) er en ndregrdsfunksjon, og siden det står et negtivt tll forn ndregrdsleddet, vet vi t funksjonen hr et toppunkt. Vi tegner grfen for å finne dette. I GeoGer fins kommndoen Ekstremlpunkt for å finne topp- og unnpunkter for polynomfunksjoner. Vi skriver inn Ekstremlpunkt[h] og punktet A lir tegnet. Vi leser v koordintene og finner t illettene koster mest til smmen på rd 16. Den smlede prisen på rd 16 er 8000 kr. E65 Av figuren ser vi t siden redden er x og lengden er y,kn vi sette opp 4x+ y = 500 y = x+ 50 Arelet v rektnglet lir Ax ( ) = x y= x( x+ 50) = x + 50x Vi tegner til A(x) i GeoGer. I GeoGer fins kommndoen Ekstremlpunkt for å finne topp- og unnpunkter for polynomfunksjoner. Vi skriver inn Ekstremlpunkt[A] og punktet A lir tegnet. D ser det slik ut: Aschehoug Side 48 v 61

49 Av grfen ser vi t det området får størst mulig rel når x = 6,5 m. D er y = 6,5 m + 50 m = 15 m. E66 Vi legger de 0 plsseringene inn i kolonne A i regnerket i GeoGer. Så mrkerer vi de 0 plsseringene og klikker på Anlyse v en vriel. Av tellen ser vi t: Gjennomsnittsplsseringen hennes er 8,1 og medinplseringen er 3. Typetlllet er siden hun hr fått flest ndreplsser. Av tellen ser vi t første kvrtil er og ndre kvrtil er 14. Omtrent en firedel v plsseringene er. plss eller edre, og omtrent en firedel v plsseringene er 14. plss eller dårligere. Aschehoug Side 49 v 61

50 E67 Løsninger til oppgvene i ok Vi legger lle krkterene inn i regnerket i GeoGer og mrkerer cellene. Deretter klikker vi på Anlyse v en vriel og får et digrm som viser fordelingen v krkterene. Videre klikker vi på sttistikk-verktøyet og får opp denne tellen: Av tellen ser vi t: Medinen v krkterene er 3. c Gjennomsnittskrkteren er 3,3. d Vrisjonsredden er 6 1= 5. Første kvrtil er og tredje kvrtil er 4. D er kvrtilredden 4 =. Dtmterilet er ikke symmetrisk fordelt.det er forholdsvis mnge toere og treere i forhold til firere og femere.d er det est å ruke kvrtilredden som spredningsmål. Aschehoug Side 50 v 61

51 E68 Vi legger inn tllene i regnerket i GeoGer, klikker på Anlyse v en vriel og på sttistikkknppen. D får vi denne tellen: c d Av tellen ser vi t vrisjonsredden er 64 timer 10 timer = 54 timer Og medintiden er 30,5 timer Vi leser v tellen t gjennomsnittlig ntll timer forn TV-en er 31, 4 timer. Videre leser vi v tellen t stndrdvviket er 16,9 timer. For å finne gjennomsnittet utvider vi tellen ved å gnge midtpunktet med frekvensen. Timer per måned Midtpunkt Frekvens xm f x f m [10, [0, [30, [40, [50, [60, Sum ,5 Gjennomsnittet lir dermed: 60 = Dermed hr vi t disse 60 elevene så i gjennomsnitt 34,5 timer på TV i løpet v en måned. Aschehoug Side 51 v 61

52 e f Av tellen ser vi t 9 elever så minst 50 timer på TV. Det utgjør % = 15 %. 60 E69 Ktegorier Reltiv frekvens Grdtll Meget r = Litt r = Verken r eller dårlig = Litt dårlig = Veldig dårlig = Sum Aschehoug Side 5 v 61

53 E70 Vi legger de høydene inn i kolonne A i regnerket i GeoGer. Så mrkerer vi de plsseringene og klikker på verktøyknppen Anlyse v en vriel. Av tellen ser vi t gjennomsnittshøyden er 170,8 cm. Medinhøyden er 168 cm. Stndrdvviket er 7,8 cm Vrisjonsredden er 189 cm 160 cm = 9 cm. Første kvrtil er 166 cm og tredje kvrtil er 177 cm. Kvrtilredden er d 177 cm 166cm = 11 cm. Aschehoug Side 53 v 61

54 c Høyde Frekvens 160, , , , , ,190 1 Sum Aschehoug Side 54 v 61

55 E71 Prti Totlt Grdtll Ap = H = FrP = KrF = Sp = V = SV = MDG = Sum Aschehoug Side 55 v 61

56 E7 Lger en grfisk frmstilling v krkterene i de to klssene i Excel. Aschehoug Side 56 v 61

57 Vi legger de 0 krkterene i klsse A inn i kolonne A i regnerket i GeoGer. Så mrkerer vi de 0 plsseringene og klikker på «Anlyse v en vriel». Vi legger de 0 krkterene i klsse B inn i kolonne A i regnerket i GeoGer. Så mrkerer vi de 0 plsseringene og klikker på «Anlyse v en vriel». I tellen finner vi t gjennomsnittskrkteren i A er 4,0, medinkrkteren er 4 og stndrdvviket er 1,6. Videre ser vi t gjennomsnittskrkteren i B er 4,0, medinkrkteren er 4 og stndrdvviket er 0,79. Det er mindre spredning i krkterene i klsse B enn i klsse A. Gjennomsnittskrkteren er den smme, men stndrdvviket i B er mindre enn i A. Aschehoug Side 57 v 61

58 E73 Frtsgrense 50 km/h: Frtsgrense 80 km/h: Ved å legge smmen ntll iler i de to tellene finner vi t politiet kontrollerer 80 iler i egge frtssonene. Frtsgrense 50 km/h. 10 % eller mer over frtsgrensen vil si 55 km/h, eller fortere. Av tellen ser vi t det er 9 iler som kjører så fort % 36,3 % 80 = C. 36 % v ilene kjører 10 % eller mer over frtsgrensen der frtsgrensen er 50 km/h. Frtsgrense 80 km/h. 10 % eller mer over frtsgrensen vil her si 88 km/h, eller fortere. Av tellen ser vi t 8 iler hr en frt i intervllet 85, 90 km/h. Hvis vi ntr t frten til disse ilene fordelte seg jevnt utover dette intervllet, kn vi gå ut fr t c. 3 v disse ilene kjører i 88 km/h eller i 89 km/h. Til smmen er det d 8 iler som kjører 10 % eller mer over frtsgrensen % 10 % 80 = C. 10 % v ilene kjører 10 % eller mer over frtsgrensen der frtsgrensen er 80 km/h. Aschehoug Side 58 v 61

59 c d e Frt i km/h Midtpunkt x m Frekvens f [45,50 47, ,5 [50,55 5, [55,60 57,5 3 13,5 [60,65 6, ,5 [65,70 67,5 135 [70,75 7,5 1 7,5 Sum , = Gjennomsnittsfrten er c. 53 km/h i 50-sonen. Frt i km/h Midtpunkt Frekvens xm f x f m [70,75 7, ,5 [75,80 77, ,5 [80,85 8, ,5 [85,90 87, [90,95 9,5 0 0 [95, Sum ,5 649,5 = 81, Gjennomsnittsfrten er c. 81 km/h i 80-sonen. 3, % 6,8 % 50 = I 50-sonen er gjennomsnittsfrten c. 6,8 % over frtsgrensen. 1, % 1, 4 % 80 = I 80-sonen er gjennomsnittsfrten c. 1, 4 % over frtsgrensen. Av stolpedigrmmene ser vi t i 50-sonen svrer den høyeste stolpen til iler som hr en frt i intervllet [50,55 km/h, ltså over frtsgrensen. Slik er det ikke i 80-sonen, selv om det der er en liten gruppe som kjører mye for fort. I 50-sonen kjører c. 36 % v ilene, dvs. mer enn hver tredje il, 10 % eller mer over frtsgrensen. I 80-sonen kjører c. 10 % v ilene, dvs. hver tiende il, 10 % eller mer over frtsgrensen. Gjennomsnittsfrten i 50-sonen er c. 53 km/h, eller c. 6 % over frtsgrensen. I 80-sonen er gjennomsnittsfrten c. 81 km/h, eller c. 1,3 % over frtsgrensen. Konklusjonen lir d t ilførerne der frtsgrensen er 50 km/h, er de mest lovlydige. xm f Aschehoug Side 59 v 61

60 E74 c d Gjennomsnittstemperturen i C for de to stedene: Måned Phuket Antly Jnur 7,9 10 Ferur 8,7 10 Mrs 9,3 1,5 April 9,5 16 Mi 8,4 0 Juni 8,3 5 Juli 7,8 8 August 7,9 7,5 Septemer 7,3 5 Oktoer 7,4 0 Novemer 7,5 15 Desemer 7,6 1 Løsninger til oppgvene i ok Vi ruker GeoGer. I regnerket legger vi inn tllene for Phuket i kolonne A og tllene for Antly i kolonne B. Vi merker kolonne A og velger kommndoen Lg Liste. Verdiene for Phuket ligger nå i Liste1. Vi gjør det smme for kolonne B slik t verdiene for Antly ligger i Liste. 1 Kommndoen Gjennomsnitt[Liste1] gir gjennomsnittsverdien for Phuket. Vi finner gjennomsnittsverdien for Antly på tilsvrende måte. Resulttene lir: Gjennomsnittstempertur Phuket: 8,1 C Gjennomsnittstempertur Antly: 18, 4 C Kommndoen Stndrdvvik[Liste1] gir stndrdvviket for Phuket. Tilsvrende for Antly. Resulttene lir: Stndrdvvik Phuket: 0,69 C Stndrdvvik Antly: 6,5 C Vi ser t det er rukt veldig forskjellig skl på ndreksen. Ser mn på digrmmene uten å se på sklen på ndreksen, kn det virke som om temperturen vrierer like mye på de to stedene. I tellen i oppgve og i eregningene i oppgve vlgte vi å tolke digrmmene slik t gjennomsnittstemperturen for én måned er den temperturen vi leser v rett ovenfor nvnet på måneden. Smtidig viser digrmmene t temperturen endrer seg gjennom en måned. Dette kn skpe tvil om hvordn vi skl lese v/estemme gjennomsnittstemperturen. For å unngå feiltolkning måtte digrmmene i hvert fll htt smme skl lngs ndreksen. En nnen digrmtype hdde nok egnet seg edre, for eksempel et stolpedigrm. Vi velger å ruke Excel til å lge et stolpedigrm. Vi strter med å skrive inn tellen: Aschehoug Side 60 v 61

Eksempeloppgaver 2014 Løsninger

Eksempeloppgaver 2014 Løsninger DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med centimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 19 millirder 9 10 = 19 10 = 1,9 10 0,089 10 = 8,9 10 10 = 8,9 10 Oppgve 6 6 8 Prosentvis

Detaljer

1P kapittel 3 Funksjoner

1P kapittel 3 Funksjoner Løsninger til oppgvene i ok 1P kpittel 3 Funksjoner Løsninger til oppgvene i ok 3.1 Origo hr koordintene (0, 0). Vi finner koordintene til punktene ved å lese v punktets verdi på x-ksen og y-ksen. A =

Detaljer

S1 kapittel 6 Derivasjon Løsninger til oppgavene i boka

S1 kapittel 6 Derivasjon Løsninger til oppgavene i boka S kpittel 6 Derivsjon Løsninger til oppgvene i ok 6. c y x y x = = = = y x 4 5 9 4 y 5 6 x 4 = = = = y x y x = = = = 7 ( 5) 6 ( ) 8 6. f( x ) f( x ) 5 7 x x ( ) 4 = = = = 6. T( x) = 0,x +,0 T T = + = (0)

Detaljer

1T kapittel 3 Funksjoner Løsninger til oppgavene i læreboka

1T kapittel 3 Funksjoner Løsninger til oppgavene i læreboka 1T kpittel 3 Funksjoner Løsninger til oppgvene i læreok Oppgve 3.1 Origo er skjæringspunktet mellom førsteksen og ndreksen. Koordintene til origo er ltså (0, 0). Førstekoordinten til punktet A er 15, og

Detaljer

Terminprøve Matematikk for 1P 1NA høsten 2014

Terminprøve Matematikk for 1P 1NA høsten 2014 Terminprøve Mtemtikk for 1P 1NA høsten 2014 DEL 1 Vrer 1,5 time Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med entimetermål og vinkelmåler. Forsøk på lle oppgvene selv om du er usikker

Detaljer

Terminprøve Matematikk Påbygging høsten 2014

Terminprøve Matematikk Påbygging høsten 2014 Terminprøve høsten 2014 Terminprøve Mtemtikk Påygging høsten 2014 DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med entimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 Regn ut 3 3 3 4 1 3 3 2

Detaljer

Tall i arbeid Påbygging terminprøve våren 2013

Tall i arbeid Påbygging terminprøve våren 2013 Tll i rei Påygging terminprøve våren 2013 DEL 1 Uten hjelpemiler Hjelpemiler: vnlige skrivesker, psser, linjl me entimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 Skriv tllene på stnrform. 1 0,000 00015 2 19,6 millirer

Detaljer

S1 kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka

S1 kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka S1 kpittel 8 Eksmenstrening Løsninger til oppgvene i læreok E1 995 995 5 + 5 (995 5) (995 + 5) + 5 990 1000 + 5 990 000 + 5 990 05 E E (61+ 9) 51 49) (51+ 49) 61 9 (61 9) 51 49 ( 100 100 11 1997 00 199

Detaljer

2P kapittel 2 Funksjoner

2P kapittel 2 Funksjoner Løsninger til oppgvene i ok P kpittel Funksjoner Løsninger til oppgvene i ok.1 D f = [ 1, 6,5] V = [ 1,4] f V f. D f Vnnstnden kl. 16 er gitt i punktet A på figuren. Vnnstnden vr c. 190 cm. Aschehoug www.lokus.no

Detaljer

Kapittel 4 Tall og algebra Mer øving

Kapittel 4 Tall og algebra Mer øving Kpittel 4 Tll og lger Mer øving Oppgve 1 d Oppgve 2 Se på uttrykket A = g h. Hv forteller de ulike okstvene? Se på uttrykket A = 2π. Hv står de ulike symolene for? Forklr hv vi mener med en vriel og en

Detaljer

Påbygging kapittel 7 Eksamenstrening

Påbygging kapittel 7 Eksamenstrening Påygging kapittel 7 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i oka Uten hjelpemidler E1 a 3 4 0 3+ 4+ 0 7 a a a a a = = = a = a 5 5 5 a a a ( ) ( ) c d 7 5 3 3 3 3 6 4 3 6 4 3 3x x = 3 x x = 3 x x = 3 x

Detaljer

Mer øving til kapittel 3

Mer øving til kapittel 3 Mer øving til kpittel 3 KAPITTEL 3 FUNKSJONER Oppgve 1 Tegn et koordintsystem og merk v punktene (1, 5) d (3, 2) ( 2, 3) e ( 3, 5) (4, 0) f (0, 4) Oppgve 2 Hvilke koordintpr hr de ulike punktene i koordintsystemet?

Detaljer

S1 kapittel 4 Logaritmer Løsninger til oppgavene i boka

S1 kapittel 4 Logaritmer Løsninger til oppgavene i boka Løsninger til oppgvene i ok S kpittel 4 Logritmer Løsninger til oppgvene i ok 4. Vi leser v fr tllet 4 på y-ksen og ser t vi får den tilhørende verdien,6 på -ksen. lg 4,6 Vi leser v fr tllet,5 på y-ksen

Detaljer

YF kapittel 10 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka

YF kapittel 10 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka YF kpittel 10 Eksmenstrening Løsninger til oppgvene i læreok Uten hjelpemidler Oppgve E1 5 + 5 + 6 11 5 + 4 (5 + ) 5 + 4 7 10 6 + 8 d + ( + 1) 5 + 4 5 + 16 5 + 10 5 4 + 4 4 + 8 1 + + + + + + + + 49 49

Detaljer

Fag: Matematikk 1T-Y for yrkesfag for elever og privatisterr. Eksamensdato: 16. januar 2012

Fag: Matematikk 1T-Y for yrkesfag for elever og privatisterr. Eksamensdato: 16. januar 2012 Loklt gittt eksmen Eksmen Fg: Mtemtikk 1T-Y for yrkesfg for elever og privtisterr Fgkode: MAT1006 Eksmensdto: 16. jnur 2012 Antll sider i oppgven: 7 inklusiv forside og opplysningsside Del 1: oppgve 1-5

Detaljer

... JULEPRØVE 9. trinn...

... JULEPRØVE 9. trinn... .... JULEPRØVE 9. trinn.... Nvn: Gruppe: DELPRØVE 1 uten hjelpemidler ( 37 poeng) På denne delprøven kn du re ruke skrivesker, psser og linjl. Alle oppgvene i del 1 skl føres rett på rket. I noen oppgver

Detaljer

Integralregning. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne

Integralregning. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne 8 Integrlregning Mål for opplæringen er t eleven skl kunne gjøre rede for definisjonen v estemt integrl som grense for en sum og uestemt integrl som ntiderivert eregne integrler v de sentrle funksjonene

Detaljer

STATISTIKK, KOMBINATORIKK OG SANNSYNLIGHET

STATISTIKK, KOMBINATORIKK OG SANNSYNLIGHET Mer øving til kpittel 4 STATISTIKK, KOMBINATORIKK OG SANNSYNLIGHET Oppgve 1 Under ser du resulttet v ntll kinoesøk for en klsse de siste to måneder: 1, 3, 5, 4, 2, 7, 1, 1, 4, 5, 3, 3, 4, 0, 1, 3, 6, 5,

Detaljer

1 c 6. 1 c 2. b Olav får 1500 kr. Trine får 3000 kr. c 4 Oppgave 39 165,50 kr 6 Oppgave 40 a 0 b 28 c 9 d F.eks. 15 8 e

1 c 6. 1 c 2. b Olav får 1500 kr. Trine får 3000 kr. c 4 Oppgave 39 165,50 kr 6 Oppgave 40 a 0 b 28 c 9 d F.eks. 15 8 e Fsit Fsit I gng igjen Oppgve 0 Oppgve > < > < Oppgve 9 Oppgve 6 6 Oppgve = < < < Oppgve 6 0 0 0 0 Oppgve 7 6 6 6 Oppgve 0,7 000 Oppgve 9 0,09 700 0,79 7 Oppgve 0 0, 0, 0, 0, Oppgve 0,07 0,7,,7 Oppgve Oppgve

Detaljer

Tall i arbeid Påbygging terminprøve våren 2014

Tall i arbeid Påbygging terminprøve våren 2014 Terminprøve våren 014 Tll i rei Påygging terminprøve våren 014 DEL 1 Uten hjelpemiler Hjelpemiler: vnlige skrivesker, psser, linjl me entimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 1 Skriv tllet Skriv tllet 6 3,15

Detaljer

DEL 1 Uten hjelpemidler

DEL 1 Uten hjelpemidler Eksmen høsten 013 Løsninger Eksmen høsten 013 Løsninger DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med centimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 150 sider Vi finner først hvor mnge

Detaljer

Påbygging kapittel 2 Funksjoner 1 Løsninger til oppgavene i boka

Påbygging kapittel 2 Funksjoner 1 Løsninger til oppgavene i boka Påygging kpittel 2 Funksjoner 1 Løsninger til oppgvene i ok 2.1 Origo hr koordintene (0, 0). Vi finner koordintene til punktene ved å lese v punktets verdi på x-ksen og y-ksen. A = (125,10) B = (0, 12,5)

Detaljer

... JULEPRØVE

... JULEPRØVE Ashehoug JULEPRØVE 2014 9. trinn.... JULEPRØVE 2014.... Nvn: Gruppe: DELPRØVE 1 uten hjelpemidler ( 37 poeng) På denne delprøven kn du re ruke skrivesker, psser og linjl. Alle oppgvene i del 1 skl føres

Detaljer

YF kapittel 8 Rom Løsninger til oppgavene i læreboka

YF kapittel 8 Rom Løsninger til oppgavene i læreboka YF kpittel 8 Rom Løsninger til oppgvene i læreok Oppgve 809 Vi skl gå ett hkk mot venstre, og deler derfor med 10. 40 dl = (40 :10) L = 4 L Vi skl gå to hkk mot venstre, og deler derfor med 10 10 = 100.

Detaljer

1 Algebra. 1 Skriv disse uttrykkene så enkelt som mulig: a) 2(a + 3) (3 + 3a) b) 2(1 a) + a(2 + a) c) 1 + 2(1 3a) + 5a d) 4a 3ab 2(a 5b) + 3(ab 2b)

1 Algebra. 1 Skriv disse uttrykkene så enkelt som mulig: a) 2(a + 3) (3 + 3a) b) 2(1 a) + a(2 + a) c) 1 + 2(1 3a) + 5a d) 4a 3ab 2(a 5b) + 3(ab 2b) Alger Skriv disse uttrykkene så enkelt som mulig c 5 d 5 Multipliser ut og gjør svrene så enkle som mulige c c c c d e f g h 5 i Regn ut 5 Regn ut og vis frmgngsmåten 5 c Regn ut og vis frmgngsmåten 5

Detaljer

Mer øving til kapittel 2

Mer øving til kapittel 2 Mer øving til kpittel 2 KAPITTEL 2 GEOMETRI OG MÅLING Oppgve 1 Oppgve 2 Oppgve 3 Anne hr vært på ferie til sine esteforeldre fr 28. juni til 9. ugust. Hvor mnge dger hr hun vært på ferie? Fr hun kom hjem

Detaljer

1T kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka

1T kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka T kpittel 8 Eksmenstrening Løsninger til oppgvene i lærebok Uten hjelpemidler E b c E b c Vi gnger vnlige tll med vnlige tll og tierpotenser med tierpotenser. Til slutt omformer vi svret så vi får et tll

Detaljer

Fasit. Grunnbok. Kapittel 2. Bokmål

Fasit. Grunnbok. Kapittel 2. Bokmål Fsit 9 Grunnbok Kpittel Bokmål Kpittel Lineære funksjoner rette linjer. ƒ(x) = 4x + 5 ƒ() = 3 ƒ(4) = ƒ(6) = 9.6 ƒ(x) = -x b ƒ(x) = x b ƒ(x) = (x + ) 3 ƒ() = ƒ(4) = 8 ƒ(6) = 4 ƒ(x) = x 4 ƒ() = - ƒ(4) =

Detaljer

R1 kapittel 1 Algebra

R1 kapittel 1 Algebra Løsninger til oppgvene i ok R1 kpittel 1 Alger Løsninger til oppgvene i ok Oppgve 1.1 1 8 4 ( ) 15 5 (4 ) 7 1 7 ( ) d ( )( ) ( 4)( ) ( ) ( 4) ( )( 1) Oppgve 1. 49 7 ( 7)( 7) 5 5 5 5 1y 75 (4y 5) ( y) 5

Detaljer

1 Tallregning og algebra

1 Tallregning og algebra Tllregning og lger ØV MER. REGNEREKKEFØLGE Oppgve.0 6 d) ( : 6) Oppgve. ( ) ( ) ()() ( ) ( ) ( ) () (6 ) () d) ( ) 7() ( ) Oppgve. 6 ( ) d) Oppgve. Med ett ddisjonstegn, ett sutrksjonstegn, ett multipliksjonstegn

Detaljer

Oppgave 1 Diagrammet nedenfor viser hvordan karakteren var fordelt på en norskprøve.

Oppgave 1 Diagrammet nedenfor viser hvordan karakteren var fordelt på en norskprøve. Mtemtikk for ungomstrinnet KAPITTEL 5 STATISTIKK OG SANNSYNLIGHET MER ØVING Oppgve 1 Digrmmet neenfor viser hvorn krkteren vr forelt på en norskprøve. 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 Hvor mnge fikk krkteren 4?

Detaljer

5: Algebra. Oppgaver Innhold Dato

5: Algebra. Oppgaver Innhold Dato 5: Alger Pln resten v året: - Kpittel 6: Ferur - Kpittel 7: Ferur/mrs - Kpittel 8: Mrs - Repetisjon: April/mi - Eventuell offentlig eksmen: Mi - Økter, prøver, prosjekter: Mi - juni For mnge er egrepet

Detaljer

S2 kapittel 5 Vekstmodeller. Løsninger til oppgavene i boka Vi løser oppgaven i CAS i GeoGebra.

S2 kapittel 5 Vekstmodeller. Løsninger til oppgavene i boka Vi løser oppgaven i CAS i GeoGebra. Løsninger til oppgvene i ok S kpittel 5 Vekstmodeller Løsninger til oppgvene i ok 5. Vi løser oppgven i CAS i GeoGer. Veksten er lineær på formen y = x +. Vi ser t stigningstllet lir 59, og t konstntleddet

Detaljer

Juleprøve trinn Del 1. Navn: Del 1 Aschehoug JULEPRØVE trinn. Informasjon for del 1

Juleprøve trinn Del 1. Navn: Del 1 Aschehoug JULEPRØVE trinn. Informasjon for del 1 Juleprøve 2015 10. Del 1 Nvn: Informsjon for del 1 Prøvetid Hjelpemidler i del 1 Andre opplysninger Frmgngsmåte og forklring 5 timer totlt Del 1 og del 2 lir delt ut smtidig. Del 1 skl leveres inn seinest

Detaljer

Flere utfordringer til kapittel 1

Flere utfordringer til kapittel 1 Flere utfordringer til kpittel 1 KAPITTEL 1 TALL OG TALLREGNING Oppgve 1 Forklr forskjellen på rsjonle og irrsjonle tll. Hv kjennetegner dem? Hvordn kn vi se t et tll er rsjonlt eller irrsjonlt? Skriv

Detaljer

MATEMATIKKPRØVE 11. FEBRUAR.

MATEMATIKKPRØVE 11. FEBRUAR. MATEMATIKKPRØVE 11. FEBRUAR. Nvn: Klsse: DELPRØVE 1 uten lommeregner og p (41 poeng) Alle oppgvene i del 1 skl føres rett på rket. I noen oppgver er det en regnerute. Her skl du føre oppgven oversiktlig

Detaljer

9 Potenser. Logaritmer

9 Potenser. Logaritmer 9 Potenser. Logritmer Foret utregingene nedenfor: 5 5 c 6 7 d e 5 f g h i Regn ut og gjør svrene så enkle som mulige: c y y d e f g h i j y y + y + y + + y Prisen på en motorsg vr kr 56 i 99. Vi regner

Detaljer

Mer øving til kapittel 1

Mer øving til kapittel 1 Mer øving til kpittel 1 KAPITTEL 1 TALL OG TALLREGNING Oppgve 1 Finn svret ve hoeregning. Velg to v oppgvene og forklr hvilken strtegi u hr rukt. 27 + 38 e 160 70 i 130 4 35 + 75 f 19 5 j 6 7,5 58 + 42

Detaljer

a 5 (2 + 8) d 5 (2 + 8) 4 g b 3 5 (2 + 8) e h 3 ( ) j Begrunn hvorfor du ikke får samme svar på oppgave b og g.

a 5 (2 + 8) d 5 (2 + 8) 4 g b 3 5 (2 + 8) e h 3 ( ) j Begrunn hvorfor du ikke får samme svar på oppgave b og g. Mtemtikk for ungomstrinnet KAPITTEL 4 TALL OG ALGEBRA MER ØVING Oppgve 1 Oppgve 2 Se på uttrykket A = g h. Hv forteller e ulike okstvene? Se på uttrykket O = 2π. Hv står e ulike symolene for? Forklr hv

Detaljer

1P kapittel 8 Eksamenstrening

1P kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgvene i ok 1P kpittel 8 Eksmenstrening Løsninger til oppgvene i ok Uten hjelpemidler E1 Vi ytter ut 7,60 kr med 8 kr og 104 euro med euro. Det gir: 8 kr 4 300 kr. For fire overnttinger

Detaljer

Praktiske opplysninger til rektor. Fag: MATEMATIKK 1TY for yrkesfag Fagkode: MAT1006 Eksamensdato: Antall forberedelsesdager: Ingen

Praktiske opplysninger til rektor. Fag: MATEMATIKK 1TY for yrkesfag Fagkode: MAT1006 Eksamensdato: Antall forberedelsesdager: Ingen Loklt gitt eksmen 2013 Prktiske opplysninger til rektor Fg: MATEMATIKK 1TY for yrkesfg Fgkode: MAT1006 Eksmensdto: 30.5.2013 Antll foreredelsesdger: Ingen Forhold som skolen må være oppmerksom på: Eksmenen

Detaljer

YF kapittel 6 Lengder og vinkler Løsninger til oppgavene i læreboka

YF kapittel 6 Lengder og vinkler Løsninger til oppgavene i læreboka YF kpittel 6 Lengder og vinkler Løsninger til oppgvene i læreok Oppgve 601 Vi skl gå ett hkk mot høyre, og gnger derfor med 10. 14 cm 14 10 mm 140 mm c Vi skl gå to hkk mot høyre, og gnger derfor med 10

Detaljer

Påbygging kapittel 4 Funksjoner 2 Løsninger til oppgavene i læreboka

Påbygging kapittel 4 Funksjoner 2 Løsninger til oppgavene i læreboka Påygging kpittel 4 Funksjoner Løsninger til oppgvene i læreok 4.1 D f = [ 1, 6,5] V = [ 1,4] f V f 4. D f Vnnstnden kl. 16 er gitt i punktet A på figuren. Vnnstnden vr c. 190 cm. Aschehoug www.lokus.no

Detaljer

Fag: Matematikk 1T-Y for elever og privatister. Antall sider i oppgaven: 8 inklusiv forside og opplysningsside

Fag: Matematikk 1T-Y for elever og privatister. Antall sider i oppgaven: 8 inklusiv forside og opplysningsside Loklt gitt eksmen 2012 Eksmen Fg: Mtemtikk 1T-Y for elever og privtister Fgkode: MAT1006 Eksmensdto: 25. mi Antll sider i oppgven: 8 inklusiv forside og opplysningsside Eksmenstid: Hjelpemidler under eksmen:

Detaljer

Årsprøve 2014 10. trinn Del 2

Årsprøve 2014 10. trinn Del 2 2 Årsprøve 2014 10. trinn Del 2 Informsjon for del 2 Prøvetid: Hjelpemidler på del 2: Vedlegg: Andre opplysninger: Fremgngsmåte og forklring: Veiledning om vurderingen: 5 timer totlt Del 2 skl du levere

Detaljer

Kapittel 5 Statistikk og sannsynlighet Mer øving

Kapittel 5 Statistikk og sannsynlighet Mer øving Kpittel 5 Sttistikk og snnsynlighet Mer øving Oppgve 1 Digrmmet nefor viser hvorn krkteren vr forelt på en norskprøve. 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 Hvor mnge fikk krkteren 4? Hvor mnge elever er et i klssen?

Detaljer

Fasit. Grunnbok. Kapittel 4. Bokmål

Fasit. Grunnbok. Kapittel 4. Bokmål Fsit Grunnok Kpittel 4 Bokmål Kpittel 4 Kvdrtiske funksjoner ndregrdsfunksjoner 4.1 Stigningstll Skjæring -kse Skjæring y-kse 4 ( 2, 0) (0, 8) 1 (1, 0) (0, 1) 1 (9, 0) (0, 3) 3 4.5 y = + = 0, y =, y =

Detaljer

DELPRØVE 2 (35 poeng)

DELPRØVE 2 (35 poeng) DELPRØVE 2 (35 poeng) På denne delprøven er lle hjelpemidler tilltt. Alle oppgvene i del 2 skl føres på eget rk. Før svrene oversiktlig, slik t det går tydelig frm hvordn du hr løst oppgvene. Bruk penn.

Detaljer

Basisoppgaver til 2P kap. 1 Tall og algebra

Basisoppgaver til 2P kap. 1 Tall og algebra Bsisoppgver til P kp. Tll og lger. Potenser. Nye potenser. Store og små tll. Stnrform. Tllsystemer. Femtllsystemet. Totllsystemet.7 Prosentregning me vekstfktor.8 Renteregning Ashehoug www.lokus.no Ashehoug

Detaljer

Regn i hodet. a) 15 : 3 = b) 24 : 6 = c) 36 : 4 = d) 48 : 8 = Regn i hodet. a) 21 : 3 = b) 28 : 7 = c) 49 : 7 = d) 64 : 8 =

Regn i hodet. a) 15 : 3 = b) 24 : 6 = c) 36 : 4 = d) 48 : 8 = Regn i hodet. a) 21 : 3 = b) 28 : 7 = c) 49 : 7 = d) 64 : 8 = 10 Divisjon 2 1 Regn i hodet. ) 15 : 3 = b) 24 : 6 = c) 36 : 4 = d) 48 : 8 = 2 Regn i hodet. ) 21 : 3 = b) 28 : 7 = c) 49 : 7 = d) 64 : 8 = 3 ) 39 : 3 = b) 56 : 4 = c) 96 : 8 = d) 98 : 7 = 4 Gi svret med

Detaljer

2 Tallregning og algebra

2 Tallregning og algebra Tllregning og lger KATEGORI. Regnerekkefølge Oppgve.0 Regn uten digitlt hjelpemiddel. + ( + ) ( ) Oppgve. Regn uten digitlt hjelpemiddel. Oppgve. Regn ut med og uten digitlt hjelpemiddel. + (7 + ) ( 9)

Detaljer

2 Symboler i matematikken

2 Symboler i matematikken 2 Symoler i mtemtikken 2.1 Symoler som står for tll og størrelser Nvn i geometri Nvn i mtemtikken enyttes på lignende måte som nvn på yer og personer, de refererer eller representerer et tll eller en størrelse,

Detaljer

Eneboerspillet. Håvard Johnsbråten

Eneboerspillet. Håvard Johnsbråten Håvrd Johnsråten Eneoerspillet Når vi tenker på nvendelser i mtemtikken, ser vi gjerne for oss Pytgors læresetning eller ndre formler som vi kn ruke til å eregne lengder, reler, kostnder osv. Men mer strkte

Detaljer

Nytt skoleår, nye bøker, nye muligheter!

Nytt skoleår, nye bøker, nye muligheter! Nytt skoleår, nye øker, nye muligheter! Utstyret dere trenger, er som i fjor: Læreok lånes v skolen vinkelmåler, --9 og - -9-treknter, psser, lynt, viskelær, penn, A-rk til innføring og A klddeok. Og en

Detaljer

2P kapittel 3 Modellering

2P kapittel 3 Modellering P kapittel 3 Modellering Løsninger til oppgavene i oka 3.1 a Forskerne fant 00 individer av fiskearten da de startet areidet. I løpet av de neste 10 årene sank estanden og etter 10 år var den utryddet.

Detaljer

... ÅRSPRØVE 2014...

... ÅRSPRØVE 2014... Delprøve 1 Ashehoug ÅRSPRØVE 014 9. trinn.... ÅRSPRØVE 014... Nvn: Gruppe: DELPRØVE 1 uten hjelpemiler (39 poeng) Alle oppgvene i el 1 skl føres rett på rket. I noen oppgver er et en regnerute. Her skl

Detaljer

2P kapittel 1 Tall og algebra Løsninger til oppgavene i læreboka

2P kapittel 1 Tall og algebra Løsninger til oppgavene i læreboka P kpittel 1 Tll og lger Løsninger til oppgvene i læreok Oppgve 1.1 ( ) Oppgve 1. 8 = 8 8 = = = 00 ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) = 1 ( ) = =() = 7 Oppgve 1. 81 = 9 9 = 9 81= = 1= = = ( ) ( ) = = Oppgve 1. 8 = 1

Detaljer

Integrasjon Skoleprosjekt MAT4010

Integrasjon Skoleprosjekt MAT4010 Integrsjon Skoleprosjekt MAT4010 Tiin K. Kristinslund, Julin F. Rossnes og Torstein Hermnsen 19. mrs 2014 1 Innhold 1 Innledning 3 2 Integrsjon 3 3 Anlysens fundmentlteorem 7 4 Refernser 10 2 1 Innledning

Detaljer

Brøkregning og likninger med teskje

Brøkregning og likninger med teskje Brøkregning og likninger med teskje Dette heftet gir en uformell trinn for trinn gjennomgng v grunnleggende regler for brøkregning og likninger. Dette er sto som vi i FYS 000 egentlig forventer t dere

Detaljer

R1 kapittel 7 Sannsynlighet. Kapitteltest. Oppgave 1. Oppgave 2. Oppgave 3. Del 1 Uten hjelpemidler. Løsninger til oppgavene i boka

R1 kapittel 7 Sannsynlighet. Kapitteltest. Oppgave 1. Oppgave 2. Oppgave 3. Del 1 Uten hjelpemidler. Løsninger til oppgavene i boka Løsninger til oppgvene i ok R1 kpittel 7 Snnsynlighet Løsninger til oppgvene i ok Kpitteltest Del 1 Uten hjelpemidler Oppgve 1 De fem lppene kn ordnes i rekkefølge på 5! = 15 = forskjellige måter. Vi kn

Detaljer

S1 kapittel 5 Funksjoner Løsninger til oppgavene i boka

S1 kapittel 5 Funksjoner Løsninger til oppgavene i boka S1 kapittel 5 Funksjoner Løsninger til oppgavene i boka 5.1 a f( x) = 4x+ 0 I GeoGebra skriver vi f(x)=funksjon[-4x+0,-5,5]. Grafen viser at [ 0, 40] V =. f b gx ( ) =,5x+ 10 I GeoGebra skriver vi f(x)=funksjon[,5x+10,-10,4].

Detaljer

OPPLÆRINGSREGION NORD. Skriftlig eksamen. MAT1001 Matematikk 1P-Y HØSTEN 2011. Privatister. Yrkesfag. Alle yrkesfaglige utdanningsprogrammer

OPPLÆRINGSREGION NORD. Skriftlig eksamen. MAT1001 Matematikk 1P-Y HØSTEN 2011. Privatister. Yrkesfag. Alle yrkesfaglige utdanningsprogrammer OPPLÆRINGSREGION NORD LK06 Finnmrk fylkeskommune Troms fylkeskommune Nordlnd fylkeskommune Nord-Trøndelg fylkeskommune Sør-Trøndelg fylkeskommune Møre og Romsdl fylke Skriftlig eksmen MAT1001 Mtemtikk

Detaljer

S1 kapittel 1 Algebra Løsninger til oppgavene i læreboka

S1 kapittel 1 Algebra Løsninger til oppgavene i læreboka Løsninger til oppgvene i ok S kpittel Alger Løsninger til oppgvene i læreok. 8 ( ) 5 9. e = = 9 = = 8 5 = = 0 = 0 0 0 = 000 =. e Ashehoug www.lokus.no Sie v Løsninger til oppgvene i ok..5..7 = = + 5 =

Detaljer

E K S A M E N. Matematikk 3MX. Elevar/Elever Privatistar/Privatister. AA6524/AA6526 8. desember 2004 UTDANNINGSDIREKTORATET

E K S A M E N. Matematikk 3MX. Elevar/Elever Privatistar/Privatister. AA6524/AA6526 8. desember 2004 UTDANNINGSDIREKTORATET E K S A M E N UTDANNINGSDIREKTORATET Mtemtikk 3MX Elevr/Elever Privtistr/Privtister AA654/AA656 8. desember 004 Vidregånde kurs II / Videregående kurs II Studieretning for llmenne, økonomiske og dministrtive

Detaljer

Navn: Klasse: Ekstrahefte 2. Brøk

Navn: Klasse: Ekstrahefte 2. Brøk Nvn: Klsse: Ekstrhefte Brøk Brøk Oppg. ) Finn største felles fktor (sff) for teller og nevner ved å fktorisere. Bruk dette til å forkorte røken. 0 6 ) Finn minste felles multiplum (mfm) for nevnerne ved

Detaljer

Årsprøve trinn Del 1. Navn: Informasjon for del 1. Del 1 skal du levere innen 2 timer.ere innen 2 timer. Del 2 leverer du innen 5 timer.

Årsprøve trinn Del 1. Navn: Informasjon for del 1. Del 1 skal du levere innen 2 timer.ere innen 2 timer. Del 2 leverer du innen 5 timer. Årsprøve 2015 10. trinn Del 1 Nvn: Informsjon for del 1 Prøvetid: Hjelpemidler på del 1: Andre opplysninger: Fremgngsmåte og forklring: 5 timer totlt. Del 1 skl du levere innen 2 timer.ere innen 2 timer.

Detaljer

R2 - Heldagsprøve våren 2013

R2 - Heldagsprøve våren 2013 Løsningsskisser HD R R - Heldgsprøve våren 0 Løsningsskisser Viktigste oppsummeringer: Må skrive med penn på eksmen! Slurv og regnefeil, både med tll og bokstver, er hovedproblemet. Beste måten å fikse

Detaljer

1 Geometri KATEGORI 1. 1.1 Vinkelsummen i mangekanter. 1.2 Vinkler i formlike figurer

1 Geometri KATEGORI 1. 1.1 Vinkelsummen i mangekanter. 1.2 Vinkler i formlike figurer Oppgver 1 Geometri KTGORI 1 1.1 Vinkelsummen i mngeknter Oppgve 1.110 ) I en treknt er to v vinklene 65 og 5. Finn den tredje vinkelen. b) I en firknt er tre v vinklene 0, 50 og 150. Finn den fjerde vinkelen.

Detaljer

Oppgaver i matematikk, 9-åringer

Oppgaver i matematikk, 9-åringer Oppgver i mtemtikk, 9-åringer Her er gjengitt e frigitte oppgvene fr TIMSS 2003. For 4. klsse enyttes nå etegnelsen mønstre for et som i 1995 le omtlt som lger. Oppgvene er innelt i isse emnene: Tll Geometri

Detaljer

6 Brøk. Matematisk innhold Brøk i praktiske situasjoner Brøk som del av en mengde. Utstyr Eventuelt ulike konkreter, som brikker og knapper

6 Brøk. Matematisk innhold Brøk i praktiske situasjoner Brøk som del av en mengde. Utstyr Eventuelt ulike konkreter, som brikker og knapper Brøk I dette kpitlet lærer elevene om røk som del v en helhet, der helheten kn være en mengde, en lengde eller en figur, og de skl lære om røk som del v en mengde. De skl lære å finne delen når det hele

Detaljer

R1 kapittel 8 Eksamenstrening

R1 kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgvene i ok R kpittel 8 Eksmenstrening Løsninger til oppgvene i ok Uten hjelpemidler Oppgve E Hvis er et nullpunkt for De mulige nullpunktene for P, er konstntleddet 8 delelig med. P er

Detaljer

YF kapittel 7 Flate Løsninger til oppgavene i læreboka

YF kapittel 7 Flate Løsninger til oppgavene i læreboka YF kpittel 7 Flte Løsninger til oppgvene i læreok Oppgve 701 Vinkel C er en rett vinkel. Altså er C = 90. c AB er motstående side til den rette vinkelen i treknten. Derfor er AB ypotenus. AC er osliggende

Detaljer

Fasit. Oppgavebok. Kapittel 6. Bokmål

Fasit. Oppgavebok. Kapittel 6. Bokmål Fsit Oppgveok Kpittel 6 Bokmål Kpittel 6 Oppgver uten ruk v hjelpemidler 6.1 965 d 178 848 76 e 47 c 10,6 f 45 6. 1, km d 40 d 100 cm e 1 000 000 mg c 155 min f 0 dm 6. 5 4 5 c 8 e 1 8 d 11 10 f 6 6.4

Detaljer

M2, vår 2008 Funksjonslære Integrasjon

M2, vår 2008 Funksjonslære Integrasjon M, vår 008 Funksjonslære Integrsjon Avdeling for lærerutdnning, Høgskolen i Vestfold. pril 009 1 Arelet under en grf Vi begynner vår diskusjon v integrsjon, på smme måte som vi begynte med derivsjon, ved

Detaljer

Sem 1 ECON 1410 Halvor Teslo

Sem 1 ECON 1410 Halvor Teslo Løsningsforslg til seminr i ECON : Internsjonl økonomi.seminruke V ) Den økonomien vi her står ovenfor produserer re to goder, tø og vin. Altså vil lterntivkostnden for den ene vren nødvendigvis måles

Detaljer

Innledning. Kategori Regnerekkefølge. 1.2 Bokstavregning og parenteser

Innledning. Kategori Regnerekkefølge. 1.2 Bokstavregning og parenteser Innledning Ktegori. Regnerekkefølge Oppgve.0 Regn uten lommeregner. b) ( ) d) ( ) Oppgve. Regn uten lommeregner. b) d) Oppgve. Regn ut med og uten lommeregner. b) ( ) d) ( 9) Oppgve. Regn ut med lommeregner.

Detaljer

Matematikk 1000. Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 8 Numerisk integrasjon

Matematikk 1000. Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 8 Numerisk integrasjon Mtemtikk 1000 Øvingsoppgver i numerikk leksjon 8 Numerisk integrsjon Som kjent kn vi regne ut (bestemte) integrler ved nti-derivsjon. Dette resulttet er et v de viktikgste innen klkulus; det heter tross

Detaljer

2P kapittel 4 Statistikk Løsninger til oppgavene i læreboka

2P kapittel 4 Statistikk Løsninger til oppgavene i læreboka P kapittel 4 Statistikk Løsninger til oppgavene i læreoka 4.1 a Det er 5 + 8 = 13 elever som ruker inntil 119 minutter på sosiale medier. Da er det 5 13 = 1 elever som ruker 10 179 minutter på sosiale

Detaljer

1T kapittel 6 Geometri Løsninger til oppgavene i læreboka

1T kapittel 6 Geometri Løsninger til oppgavene i læreboka T kpittel 6 Geometri Løsninger til oppgvene i læreok Oppgve 6. Vi ruker pytgorssetningen. h 5 + 6 h 5 + 36 h 6 h ± 6 Hypotenusen er 6. Vi ruker pytgorssetningen. h, 4 + 6,7 h h 5, 076 + 45, 04 50, 047

Detaljer

Eksamensdato: 25. mai. I del 3 skal du gjøre oppgavene for ditt utdanningsprogram.

Eksamensdato: 25. mai. I del 3 skal du gjøre oppgavene for ditt utdanningsprogram. Lokl gitt eksmen 2012 Eksmen Fg: Mtemtikk 1P for yrkesfg for elever og privtister Fgkode: MAT1001 Eksmensdto: 25. mi Del 1: oppgve 1-5 Del 2: oppgve 6-11 Del 3: oppgve 12-13 I del 3 skl du gjøre oppgvene

Detaljer

YF kapittel 1 Tall Løsninger til oppgavene i læreboka

YF kapittel 1 Tall Løsninger til oppgavene i læreboka YF kpittel 1 Tll Løsninger til oppgvene i læreok Oppgve 10,, 0, 1,, 5,,, 0 Oppgve 10 Tllet 5 står til høyre for tllet på tllinj. Altså er 5>. Tllet 5 står til venstre for tllet 1 på tllinj. Altså er 5

Detaljer

R1 kapittel 6 Vektorer. Løsninger til oppgavene i boka Løsninger til oppgavene i boka

R1 kapittel 6 Vektorer. Løsninger til oppgavene i boka Løsninger til oppgavene i boka R1 kpittel 6 Vektorer Løsninger til oppgvene i ok Løsninger til oppgvene i ok 6.1 Tilfellene, e og f er vektorstørrelser fordi de hr retning. Tilfellene, og d er sklrer fordi de ikke hr retning. 6. d e

Detaljer

2P kapittel 2 Modellering Løsninger til innlæringsoppgavene

2P kapittel 2 Modellering Løsninger til innlæringsoppgavene P kapittel Modellering Løsninger til innlæringsoppgavene.1 a c d e y = 4x+ 1 Stigningstallet er 4. Konstantleddet er 1. Linja skjærer altså y-aksen i punktet (0,1). y = 3x 4 Stigningstallet er 3. Konstantleddet

Detaljer

Juleprøve trinn Del 1 Navn:

Juleprøve trinn Del 1 Navn: Juleprøve 2014 10. Del 1 Nvn: Informsjon for del 1 1 Prøvetid 5 timer totlt. Del1 og Del 2 skl deles ut smtidig. Del 1 skl du levere innen 2 timer. Hjelpemidler i del 1 Andre opplysninger Del 2 skl du

Detaljer

Oppgave N2.1. Kontantstrømmer

Oppgave N2.1. Kontantstrømmer 1 Orientering: Oppgvenummereringen leses slik: N står for nettsiden, første siffer står for kpittelnummer og ndre for oppgvenummer. Oppgve N2.1. Kontntstrømmer En edrift vurderer å investere 38 millioner

Detaljer

Oppgave 2 Betydningen til hvert enkelt siffer er bestemt av sifferets plassering eller posisjon. Tallet 4321 betyr

Oppgave 2 Betydningen til hvert enkelt siffer er bestemt av sifferets plassering eller posisjon. Tallet 4321 betyr KAPITTEL 1 TALL OG TALLREGNING FLERE UTFORDRINGER Oppgve 1 Du hr sifrene A 1 3 5 7 9 og B 2 4 6 8 Ve å ruke tre v sifrene i enten A eller B skl u lge ett tll så nærme 500 som mulig. Du kn re ruke ett siffer

Detaljer

3.7 Pythagoras på mange måter

3.7 Pythagoras på mange måter Oppgve 3.18 Vis t det er mulig å multiplisere og dividere linjestykker som vist i figur 3.. Bruk formlikhet. 3.7 Pythgors på mnge måter Grekeren Pythgors le født på Smos 569 og døde. år 500 f. Kr. Setningen

Detaljer

Sammendrag kapittel 1 - Aritmetikk og algebra

Sammendrag kapittel 1 - Aritmetikk og algebra Smmendrg kpittel 1 - Aritmetikk og lgebr Regneregler for brøker Utvide brøk: Gng med smme tll i teller og nevner. b = k b k Forkorte brøk: del med smme tll i teller og nevner. b = : k b : k Summere brøker:

Detaljer

Matematikk Oppgavesamling

Matematikk Oppgavesamling Mtemtikk Oppgvesmling Odd T Heir Gunnr Erstd John Engeseth Ørnulf Borgn Per Inge Pedersen BOKMÅL Mtemtikk T Oppgvesmling er en del v læreverket Mtemtikk T. Verket dekker målene i læreplnen v 00 for Mtemtikk

Detaljer

Del 2. Alle oppgaver føres inn på eget ark. Vis tydelig hvordan du har kommet frem til svaret. Oppgave 2

Del 2. Alle oppgaver føres inn på eget ark. Vis tydelig hvordan du har kommet frem til svaret. Oppgave 2 Del 2 Alle oppgver føres inn på eget rk. Vis tydelig hvordn du hr kommet frem til svret. Oppgve 1 Figuren viser sidefltene til et prisme. Grunnflten og toppflten mngler. ) Hvilken form må grunn- og toppflten

Detaljer

Løsningsforslag til obligatorisk oppgave i ECON 2130

Løsningsforslag til obligatorisk oppgave i ECON 2130 Andres Mhre April 13 Løsningsforslg til obligtorisk oppgve i ECON 13 Oppgve 1: E(XY) = E(X(Z X)) Setter inn Y = Z - X E(XY) = E(XZ X ) E(XY) = E(XZ) E(X ) X og Z er uvhengige v hverndre, så Cov(X, Z) =.

Detaljer

Lokalt gitt eksamen 2010

Lokalt gitt eksamen 2010 Loklt gitt eksmen 2010 Eksmen Fg: Mtemtikk 1P for yrkesfg Fgkode: MAT1001 Eksmensdto: 28. mi Del 1: oppgve 1 6 Del 2: oppgve 7 11 Antll sider til smmen i del 1 og 2 inkl. forside: 9 Del 3: oppgve 12 13

Detaljer

Årsprøve trinn Del 1. Navn: Informasjon for del 1

Årsprøve trinn Del 1. Navn: Informasjon for del 1 Årsprøve 2015 9. trinn Del 1 Nvn: Informsjon for del 1 Prøvetid: Hjelpemidler på del 1: Andre opplysninger: Fremgngsmåte og forklring: 5 timer totlt. Del 1 og Del 2 skl deles ut smtidig Del 1 skl du levere

Detaljer

Kapittel 5 Verb. 5.4 For å få tak i en engelsk avis. For å finne utenlandske varer. For å treffe venninna si. For å invitere henne med til lunsj.

Kapittel 5 Verb. 5.4 For å få tak i en engelsk avis. For å finne utenlandske varer. For å treffe venninna si. For å invitere henne med til lunsj. Kpittel 5 Ver 5.1 For eksempel: Hver dg pleier jeg å sove middg Liker du ikke å dnse? I dg kn jeg ikke hndle mt. Jeg orker ikke å lge slt. Nå må jeg lese norsk. Jeg hr ikke tid til å t ferie. Kn du synge?

Detaljer

Microsoft PowerPoint MER ENN KULEPUNKTER

Microsoft PowerPoint MER ENN KULEPUNKTER Mirosoft PowerPoint MER ENN KULEPUNKTER INNHOLDSFORTEGNELSE: Opprette en ny presentsjon: «Ml» vs. «tomt skll» Bilder: Sette inn ilder fr Google ildesøk. Bilder: Sette inn llerede lgrede ilder. Bilder:

Detaljer

R1 kapittel 7 Sannsynlighet

R1 kapittel 7 Sannsynlighet Løsninger til oppgvene i ok R kpittel 7 Snnsynlighet Løsninger til oppgvene i ok Oppgve 7. Hvis A hr inntruffet, ltså t den første kul er lå, så er det tre røde og én lå kule igjen i esken når vi skl trekke

Detaljer

Lokalt gitt eksamen 2010. Fag: Matematikk 1P for yrkesfag. Eksamensdato: 18. august

Lokalt gitt eksamen 2010. Fag: Matematikk 1P for yrkesfag. Eksamensdato: 18. august Loklt gitt eksmen 2010 Eksmen Fg: Mtemtikk 1P for yrkesfg Fgkode: MAT1001 Eksmensdto: 18. ugust Del 1: oppgve 1 4 Del 2: oppgve 5 10 Antll sider til smmen i del 1 og 2 inkl. forside: 10 Del 3: oppgve 11

Detaljer

1 Mandag 1. mars 2010

1 Mandag 1. mars 2010 Mndg. mrs Fundmentlteoremet sier t integrsjon og derivsjon er motstte opersjoner. Vi hr de siste ukene sett hvordn vi på ulike måter kn derivere funksjoner i flere vrible. Nå er turen kommet til den motstte

Detaljer

Faktorisering. 1 Hva er faktorisering? 2 Hvorfor skal vi faktorisere? Per G. Østerlie Senter for IKT i utdanningen 11.

Faktorisering. 1 Hva er faktorisering? 2 Hvorfor skal vi faktorisere? Per G. Østerlie Senter for IKT i utdanningen 11. Fktorisering Per G. Østerlie Senter for IKT i utdnningen per@osterlie.no 11. mi 013 1 Hv er fktorisering? Vi må se på veret å fktorisere. Hv er det vi skl gjøre når vi fktoriserer? Svret er: å lge fktorer.

Detaljer

Kalkulus 2. Volum av et omdreiningslegeme. Rotasjon rundt x-aksen

Kalkulus 2. Volum av et omdreiningslegeme. Rotasjon rundt x-aksen Klkulus Klkulus Volum v et omdreiningslegeme Rotsjon rundt x-ksen På figuren nedenfor hr vi skrvert området vgrenset v grfen til den kontinuerlige funksjonen y = f( x) og x-ksen fr x= til x=. Når vi roterer

Detaljer