Påbygging kapittel 4 Funksjoner 2 Løsninger til oppgavene i læreboka

Transkript

1 Påygging kpittel 4 Funksjoner Løsninger til oppgvene i læreok 4.1 D f = [ 1, 6,5] V = [ 1,4] f V f 4. D f Vnnstnden kl. 16 er gitt i punktet A på figuren. Vnnstnden vr c. 190 cm. Aschehoug Side 1 v 53

2 c Høyeste vnnstnd vr på c. 80 cm. Den inntrff c. kl og kl Lveste vnnstnd vr på c. 40 cm. Den inntrff c. kl og kl Aschehoug Side v 53

3 d Vnnstnden vr 180 cm kl , og e Verdimengden er hvilke verdier Ht () kn h, og lir i denne figuren V = [40, 80]. H 4.3 Vnnstnden i Hmmerfest kl er 100 cm. Aschehoug Side 3 v 53

4 Forskjellen i vnnstnden lir 195 cm 100 cm = 95 cm. c Vnnstndene i Bodø og Hmmerfest er like kl. 0.00, 08.15, og Aschehoug Side 4 v 53

5 d Høyeste vnnstnd i Bodø er kl og kl Dette er en tidsforskjell på 1 timer og 15 min. Høyeste vnnstnd i Hmmerfest er kl og kl Dette er en tidsforskjell på 1 timer og 30 min. e Verdimengden for Hmmerfest er V H = [55, 80] og for Bodø V B = [40, 80]. Dette viser t forskjellen i tidevnnshøyden i Hmmerfest er større enn i Bodø. Aschehoug Side 5 v 53

6 4.4 f ( 1) = 7, 5 f () = 3, 0 c Grfen skjærer y-ksen i (0, 6). d Grfen skjærer x-ksen i (4, 0). e Nullpunktet finner vi der grfen skjærer x-ksen, dvs. t nullpunktet er 4. f Vi tegner linj y =,5 i GeoGer og mrkerer skjæringspunktet der grfen krysser linj, se figuren. Vi leser v punktet C som hr koordintene (,3,,5). x hr d verdien,33. g Verdimengden er de verdiene f(x) kn h, V f = [ 1,5, 9]. Aschehoug Side 6 v 53

7 4.5 c f og g er egge lineære funksjoner. Stigningstllet er negtivt. D synker grfen mot høyre. d f skjærer y-ksen i (0,3). g skjærer y-ksen i (0, 3). e Verdimengden til f er de verdiene f(x) kn h, V f = [0,3] Verdimengden til g er de verdiene g(x) kn h, V g = [ 3, 6] er fste utgifter per måned, og 0,60 er prisen per kwh. Aschehoug Side 7 v 53

8 c Vi tster inn S(480) i GeoGer og får t el-utgiftene lir på 588 kr ved et forruk på 480 kwh. Alterntivt regner vi ut S (480) = , = 588. d Vi tegner linj y = 500 inn i GeoGer, mrkerer punktet der grfen krysser linj (punkt D på figuren), og finner x-verdien til dette punktet. Vi finner t forruket kn være mksimlt på 333,3 kwh. Alterntivt kn vi løse følgende likning: S(x) = , 60x = 500 0, 60x = x = 0,60 x = 333,3 e Verdimengden til S er de verdiene S(x) kn h, V g = [300, 600] er ntll liter ensin igjen på tnken når vi strter å måle, og 0,8 er hvor mnge liter ensin ilen ruker per mil. c Vi skriver B(5) i GeoGer og får t etter 5 mil er det 40 liter igjen på tnken. d B (3) = 60 0,8 3 = 34, 4 Etter t ilen hr kjørt 3 mil, er det 34,4 liter ensin igjen på tnken. e Vi leser v grfen t nullpunktet er 75. Etter 75 mil er det ikke mer ensin igjen på tnken, så ilen kn mksimlt kjøre 75 mil. f Verdimengden er de verdiene B(x) kn h, her V B = [0, 60]. Aschehoug Side 8 v 53

9 g Vi tegner linj y = 1 inn i GeoGer, mrkerer punktet der grfen krysser linj, og finner x-verdien til dette punktet (mrkert med A på figuren). Vi finner t når ensintnken hr 1 liter igjen, hr ilen kjørt 60 mil. Alterntivt kn vi løse følgende likning: Bx ( ) = ,8x = 1 0,8x = ,8x = x = 0,8 x = Påstnden er feil. Grfen krysser ikke x-ksen i x = 3. Påstnden er riktig. Grfen hr et toppunkt, så dermed må < 0. 3 Påstnden er riktig. Grfens toppunkt hr y-verdi på 4. Vi ser t f( x ) = 3 i punktene der grfens y-verdi er 3. Vi leser v grfen og ser t det skjer i to punkt, og dermed for to x-verdier. x = og x = 0. c Funksjonsverdien er negtiv for de x-verdiene der grfen ligger under x-ksen. Vi ser t det skjer når x < 3 eller når x > 1. Aschehoug Side 9 v 53

10 Funksjonen gjelder for de ti første dgene, og x står for ntll dger. Dermed skl vi tegne grfen for x-verdier mellom 0 og 10, eller sgt med mtemtiske symoler: 0 x 10. Konstntleddet tilsvrer hx ( )-verdien når x = 0. Det vil si t konstntleddet forteller oss hvor høy plnten vr i det Jenny plntet den. I dette tilfellet vr plnten 4 centimeter d den le stt i jord. Aschehoug Side 10 v 53

11 c d Vi tegner linj y = 6 i smme koordintsystem i GeoGer som grfen til h. Vi finner skjæringspunktet mellom linj og grfen ved å ruke verktøyknppen Skjæring mellom to ojekt, og vi klikker deretter på linj y = 6 og grfen til h. Vi finner d punktet (3,16, 6). Det vil si t x = 3,16 3,. Med ndre ord tr det 3, døgn før plnt hr litt 6 centimeter høy. Aschehoug Side 11 v 53

12 4.11 S (30) = 0, , = 19,8 Stopplengden er 19,8 meter. 1 Vi leser v figuren t hvis stopplengden er 45 m, er frten 50 km/h. Vi leser v figuren t hvis stopplengden er 90 m, er frten 75 km/h. c Vi ser t stopplengden øker rskere enn frten. I oppgven doles stopplengden når frten øker med 50 %. Aschehoug Side 1 v 53

13 4.1 Vi tegner grfen til funksjonen inn i GeoGer og mrkerer toppunktet A. Det største relet er Ax ( ) = 100 cm. x hr d verdien 10 som gir t egge sidene i rektnglet hr lengde 10 cm. Området hr d en kvdrtisk form c h (0) = 0, ,0 =,0 Dette etyr t kulestøteren strter kstet v kul, 0 m over kken. Vi regner ut for hånd: h (4) = 0, , 0 = 0, , 0 = 0,80 + 6, 0 = 5, 40 Kul er 5, 40 m over kken når x = 4. d Vi leser v y-verdien til toppunktet (mrkert med d på figuren). Største høyde er 7, m. Aschehoug Side 13 v 53

14 e 4.14 c Lengden v kulestøtet v vstnden lngs x-ksen er mrkert med punktet e i figuren. Lengden er m. V(1) V(0) 9, 5 0 = = 9, Gjennomsnittlig vekstfrt i intervllet [0, 1] er 9,5 liter/minutt. V (7) = 0, = 4, = 45,5 V (8) = 0, = = 48 V(8) V(7) 48 45,5 = =, Gjennomsnittlig vekstfrt i intervllet [7, 8] er,5 liter/minutt. V (10) = 0, = = 50 V(10) V(0) 50 0 = = Gjennomsnittlig vekstfrt i intervllet [0,10] er 5 liter/minutt Vi leser v grfen temperturen 37 C ved t = 5 og temperturen 31 C ved t = 10. Temperturen synker med 6 C fr t = 5 til t = 10. I dette tidsrommet synker temperturen med 1, C/min. y y = = = 1, t t Gjennomsnittlig vekstfrt er 1, C/min = = 15, Gjennomsnittlig vekstfrt er c. 16 C/time. De første tre timene synker temperturen gjennomsnittlig med 16 C/time. I intervllet [3, 5] er vekstfrten større. Vi ser dette fordi kurven flter ut og stigningstllet er mindre negtivt. f (0) = 0, , = 45 (0) = 0, , = 5 f Svrene forteller t rusflsk hr temperturen 45 C ved strten v vkjølingen, og etter 0 min hr rusflsk temperturen 5 C. f(0) f(0) 5 45 = = Gjennomsnittlig vekstfrt er 1 C/min. De første 0 min synker temperturen med gjennomsnittlig 1 C/min. Aschehoug Side 14 v 53

15 f (0) = 0, = f (4) = 0, = f(4) f(0) = = f (4) = 0, = f (8) = 0, = f(8) f(4) ( ) = = f(8) f(0) 3 = = Det siste svret forteller t f( x ) hr smme verdi for x = 0 og x = Vi plotter grfen i GeoGer. Vi finner nullpunktene 3 og 67 (mrkert med 1 og på figuren). Bedriften må produsere og selge mer enn enheter og mindre enn 68 enheter. Alterntiv skrivemåte: Bedriften får overskudd når < x < 68. Vi finner toppunktet (35, 105) (mrkert med på figuren). Overskuddet er størst når edriften produserer og selger 35 enheter. Overskuddet er d 105 kr. c Vi tegner linj y = 1000 i GeoGer og mrkerer krysning med grfen (mrkert med c1 og c). For t overskuddet skl li 1000 kr, må edriften produsere enten 30 eller 40 enheter. Aschehoug Side 15 v 53

16 d O(35) O(0) = = Gjennomsnittlig vekstfrt er 15 kr/enhet. O(40) O(35) = = Gjennomsnittlig vekstfrt er 5 kr/enhet. I intervllet [0, 35] øker overskuddet i gjennomsnitt med 15 kr for hver enhet produksjonen øker med. I intervllet [35, 40] minker overskuddet i gjennomsnitt med 5 kr for hver enhet produksjonen øker med. 3 F(0) = = F = + + = = (10) c Vi finner unnpunktet på grfen (mrkert med c på figuren). Folketllet vr lvest i det åttende året, dvs. i 008. Folketllet vr d på innyggere. Aschehoug Side 16 v 53

17 d F F F 3 () = + + = (8) = + + = (1) = + + = F(8) F() = = Gjennomsnittlig vekstfrt er 500 innyggere/år. F(1) F(8) = = Gjennomsnittlig vekstfrt er 150 innyggere/år. I intervllet [, 8] minker innyggertllet gjennomsnittlig med 500 personer per år. I intervllet [8,1] stiger innyggertllet gjennomsnittlig med 150 personer per år. 4.1 Vi løser denne oppgven på GeoGer. Vi tegner d den loddrette linj x = 16, og finner skjæringspunktet mellom linj og grfen til h med verktøyknppen Skjæring mellom to ojekt. Vi får d t y 166,6 centimeter. Det vil si t gjennomsnittshøyden til ei 16 år gmmel jente er 166,6 centimeter. Aschehoug Side 17 v 53

18 c Vi løser denne oppgven på GeoGer. Vi tegner d den vnnrette linj y = 150, og finner skjæringspunktet mellom linj og grfen til h med verktøyknppen Skjæring mellom to ojekt. Vi får d t x 11, 5. Det vil si t jenter i gjennomsnittshøyden psserer høyden 150 centimeter når de er 11 og et hlvt år gmle. 4. Kl x C 16,0 17,4 17,0 14,6 10, Vi setter x-verdiene inn i funksjonsuttrykket T( x) = 0, 4x + 1, x + 16 og regner ut. c Vi løser dette på GeoGer, og strter med å tegne den vnnrette linj y = 17 i smme koordintsystem som grfen. Temperturen vil være høyere enn 17 grder Celsius der grfen til T ligger over denne linj. Vi finner derfor skjæringspunktene mellom linj og grfen T med verktøyknppen Skjæring mellom to ojekt i GeoGer. Aschehoug Side 18 v 53

19 Dette gir oss x-verdiene x = 1, 06 og x = 3,94. Her må vi huske t x-verdiene ngir ntll timer etter klokk 1, og t for å finne ntllet minutter må vi gnge desimlene med 60, siden det er 60 minutter per time. Vi får d klokkeslettene og Det vil si t det vr over 17 grder Celsius mellom klokk og klokk Inntektsfunksjonen er gitt ved I( x) = 90 x. Det vil si t hver fugleksse selges for 90 kroner. Vi regner ut inntektene og kostndene ved å produsere og selge 35 fugleksser. I (35) = = 3150 kroner. Det vil si t inntektene lir 3150 kroner. K (35) = 0,8 (35) = 3370 kroner. Det vil si t kostndene lir på 3370 kroner. Siden kostndene ved å produsere 35 fugleksser er større enn inntektene, ser vi t slget vil gå med underskudd. c Overskuddet er gitt ved inntekter minus kostnder. For å finne det største overskuddet lger vi en ny funksjon ( ) Ox. Ox ( ) = Ix ( ) Kx ( ) Ox ( ) = 90 x (0,8x 14x + 880) = 90x 0,8x + 14x 880 = 0,8x + 104x 880. Vi tegner nå Ox ( ) = 0,8x + 104x 880 i GeoGer, og finner toppunktet ved kommndoen Ekstremlpunkt[ O ]. Det gir oss punktet (65, 500). Det vil si t det største overskuddet kommer ved å produsere og selge 65 fugleksser, og overskuddet er d på 500 kroner. Aschehoug Side 19 v 53

20 4.4 Vi løser denne oppgven grfisk og digitlt. Vi tegner d den loddrette linj x = 8 i GeoGer, og finner skjæringspunktet mellom linj og grfen til v med verktøyknppen Skjæring mellom to ojekt. Vi får d t y = 4 km/h. Det vil si t frten ved tkeoff vr 4 kilometer per time. c Hlvprten v tkeoff-frten vil si 4 : = 11 km/t. Vi løser denne oppgven grfisk og digitlt. Vi tegner d den vnnrette linj y = 11 i GeoGer, og finner skjæringspunktet mellom linj og grfen til v med verktøyknppen Skjæring mellom to ojekt. Vi får d t t = 5, 1 5, sekunder. Det vil si t det tr 5, sekunder før frten er 11 kilometer per time. Aschehoug Side 0 v 53

21 4.5 f (5) = 0, = 100 Snødyden den 5. mrs vr 100 cm. c Vi finner unnpunktet (15, 60) på grfen (mrkert med c på figuren). Snødyden vr lvest den 15. mrs. Snødyden vr d 60 cm. d Vi tegner linj y = 70 inn i GeoGer og finner skjæring med grfen til f (mrkert med d1 og d på figuren). Snødyden vr 70 cm den 10. mrs og den 0. mrs. 4.6 O (50) = 0, = 3750 Overskuddet ved 50 produserte enheter er 3750 kr. Aschehoug Side 1 v 53

22 c Vi finner nullpunktene ved hjelp v GeoGer (mrkert med c1 og c på figuren). Nullpunktene er 00 og 500. Når ntll produserte enheter er 00 eller 500, er overskuddet null. d For å få overskudd må edriften produsere mer enn 00 enheter og mindre enn 500 enheter. Alterntiv skrivemåte: Bedriften får overskudd når 00 < x < 500. e Vi tegner linj y = 3750 inn i GeoGer og finner skjæring med grfen til O (mrkert med e1 og e på figuren). Bedriften får et overskudd på 3750 kr for 50 og 450 produserte enheter. f Vi finner toppunktet til grfen (350, 6750) (mrkert med f på figuren). Størst overskudd er ved 350 produserte enheter. Overskuddet er d 6750 kr. O(50) O(00) g = = Gjennomsnittlig vekstfrt er 75 kr/enhet. I intervllet [00, 50] øker overskuddet med gjennomsnittlig 75 kr per enhet. 4.7 Vi regner ut V (0) ved å sette t = 0 inn i funksjonsuttrykket Vt ( ) = 0,080t + 0, t + 0. V (0) = 0, som tilsvrer konstntleddet i uttrykket. Det vil si t det vr 0 liter vnn i tnken ved strt. Vi løser oppgven på GeoGer og tegner grfen Vt () i smme koordintsystem som den vnnrette linj y = 30. Vi finner så skjæringspunktet mellom linj og grfen til V med verktøyknppen Skjæring mellom to ojekt. Dette gir oss et punkt med t-verdi t = 10. Det vil si t det tr 10 minutter før det er 30 liter vnn i tnken. 4.8 Vi regner ut stopplengden til ilen ved å sette x = 90 inn i funksjonsuttrykket f( x) = 0,3x + 0,014x. f (90) = 0, , 014 (90) = 140, 4 Det vil si t stopplengden i 90 km/t er 140,4 meter, og Erik vil ikke greie å stoppe i tide. Vi regner ut stopplengden når x = 80. f (80) = 0, , 014 (80) = 113, 6. Det vil si t stopplengden i 80 km/h er 113,6 meter, og Erik vil greie å stoppe i tide. c Vi finner endringen i prosent ved å dele differnsen på utgngspunktet og gnge med 100. Frtsøkningen fr 80 til 90 km/t tilsvrer en økning på = 1,5 prosent. 80 Stopplengdenøkningen fr 113,6 til 140,4 tilsvrer en økning på 6,8 100 = 3, 6 prosent. 113,6 Aschehoug Side v 53

23 4.9 Vi ser t grfen synker fr t = 0 og frm til unnpunktet, og fr toppunktet og til... Vi ser t funksjonen vokser fr unnpunktet og frm til toppunktet. Vi ruker kommndoen Ekstremlpunkt[ N ] og finner topp- og unnpunktet. Bunnpunktet hr t-verdi t = 4, 6, mens toppunktet hr t-verdi t = 67,6. Antllet fluer øker dermed fr 4,6 timer og frm til det hr gått 67,6 timer. Antllet fluer synker fr strt og til det hr gått 4,6 timer, og fr det hr gått 67,6 timer og frm til forsøkets slutt etter 90 timer Først må vi gjøre om klokkeslettet 5.15 til kommtll. Det gjør vi ved å gnge 0,15 med 100 og dele på 60, siden det er 60 minutter i en time. Det vil si t 5.15 tilsvrer kommtllet 5,5. Vi kunne også tenkt t 15 minutter er det smme som et kvrter, som utgjør en fjerdedels time. 0,5 er det smme som en fjerdedel. Vi regner nå ut h (5, 5) for å finne snødyden. 3 h (5, 5) = 0, 0075 (5, 5) 0, (5, 5) + 1, 055 5, 5 = 4, 45 Snødyden vr ltså 4,45 centimeter. Aschehoug Side 3 v 53

24 Vi løser oppgven på GeoGer og tegner grfen hx ( ) i smme koordintsystem som den vnnrette linj y =,0. Vi finner skjæringspunktet mellom linj og grfen til h med verktøyknppen Skjæring mellom to ojekt. Dette gir oss to punkt med x-verdiene x = 1, 95 og x = 10, 76. Det vil si t snødyden er,0 centimeter to gnger ntt til 1. juni. Første gng rett før klokk på ntt mens snømengden fortstt stiger, og ndre gng kvrt på 11 på morgen mens snømengden er i ferd med å smelte ort. c Vi ruker kommndoen Ekstremlpunkt[ h ] og finner toppunktet. Toppunktet hr koordintene (6,85, 4,81). Det vil si t snødyden vr størst 6,85 timer etter midntt, noe som tilsvrer klokkeslettet Vi klokkeslettet ved å gnge 0,51 med 60, siden det er 60 minutter i en time. Snødyden ved dette tidspunktet vr 4,81 centimeter. d Vi finner funksjonens nullpunkt ved kommndoen Nullpunkt[ h ]. Nullpunktets x-verdi er x = 11,86. Vi regner ut differnsen mellom nullpunktet og toppunktet: 11,86 6,85 = 5,01 5. Det vil si t det tr fem timer fr snøen er på sitt dypeste til den hr smeltet igjen Vi løser oppgven grfisk på GeoGer og tegner K( x) = 0,6x og I( x) = 5x i smme koordintsystem. Produksjonen vil gå i overskudd der grfen til I( x ) ligger over grfen til K( x ). Vi ser v grfen t dette skjer mellom de to skjæringspunktene. Vi finner skjæringspunktet mellom grfene med verktøyknppen Skjæring mellom to ojekt. Dette gir oss to punkt med x-verdiene x = 7,3 og x = 34, 4. Siden vi kun kn produsere hele enheter må 7,3 rundes opp og 34,4 rundes ned. Produksjonen vil gå med overskudd når den produserer fr og med 8 til og med 34 enheter. 8 x 34. Vi finner overskuddet ved å t inntekter minus kostnder. Vi lger en ny funksjon Ox ( ) = Ix ( ) Kx ( ). Ox ( ) = 5 x (0, 6x + 150) = 5x 0, 6x 150 = 0, 6x + 5x 150. Vi tegner Ox ( ) i GeoGer. Vi ruker kommndoen Ekstremlpunkt[ O ] og finner toppunktet. Toppunktet hr koordintene (0,8,110, 4). Det vil si t overskuddet lir størst ved å produsere 1 enheter. Vi regner ut O (1) og finner t dette overskuddet er 110,4 kroner. Aschehoug Side 4 v 53

25 4.3 Vi setter inn i formelen og regner ut: x = 4 x = 1 x = Bunnpunktet hr ltså x-verdi x =. Vi finner y-verdien ved å regne ut f (). f () = 4 5 = = 9 Bunnpunktet hr koordintene (, 9) Vi tegner grfen til overskuddsfunksjonen. Aschehoug Side 5 v 53

26 Vi finner nullpunktene til grfen 55,5 og 198 (mrkert med 1 og på figuren). For å få overskudd må edriften produsere mer enn 55 enheter og mindre enn 199 enheter. Alterntiv skrivemåte: Bedriften får overskudd når 55 < x < 199. c Vi tegner linj y = 4000 og finner skjæring med grfen til O (mrkert med c1 og c på figuren). Bedriften får et overskudd på over 4000 kr når den produserer mer enn 110 enheter og mindre enn 167 enheter. Alterntiv skrivemåte: Bedriften får et overskudd over 4000 kr når 110 < x < 167. d Vi finner toppunktet på grfen (140, 4840) (mrkert med d på figuren). Størst overskudd er for 140 produserte enheter. Overskuddet er d 4840 kr T (5) = 0, = 400 Det tr 400 sekunder (6 min og 40 s) å fylle eholderen til 5 dm. c Vi tegner linj y = 0 60 = 100 (må gjøre om til sekunder) og finner skjæring med grfen til T (mrkert med c på figuren). Vnnhøyden etter 0 min er 10 dm. T(10) T(0) d = = Gjennomsnittlig vekstfrt er 10 s/dm. I intervllet [0,10] øker tiden det tr å fylle eholderen, med gjennomsnittlig 10 s per dm. Aschehoug Side 6 v 53

27 4.35 Vi tegner grfen i GeoGer og finner toppunktet (3,1, 39,1) (mrkert med på figuren). Høyeste tempertur oppnås etter 3,1 timer (3 timer og 6 min). Temperturen er d 39,1 C. Vi finner t C (5) = 35,8 (mrkert med på figuren). V C = [35,8, 39,1] c Vi regner ut verdiene vi trenger: 3 V (0) = 0, , = 37 3 V (1) = 0, , = 37,5 3 V () = 0,14 + 0, = 38,5 3 V (3) = 0, , = 39,1 Vi regner ut gjennomsnittlig vekstfrt i intervllene. V(1) V(0) 37,5 37 = = 0, V() V(1) 38,5 37,5 = = 1, V(3) V() 39,1 38,5 = = 0,6 3 1 Gjennomsnittlig vekstfrt i [0, 1] er 0,5 grder/time. Gjennomsnittlig vekstfrt i [1, ] er 1,0 grder/time. Gjennomsnittlig vekstfrt i [, 3] er 0,6 grder/time. Svrene forteller oss t kroppstemperturen øker med o 0,5 C/h den første timen, o 1, 0 C/h o den ndre timen og 0,6 C/h den tredje timen. Størst temperturendring er i løpet v den ndre timen etter vksineringen. Aschehoug Side 7 v 53

28 K (0) = ,035 = 5000 Amund stte inn 5000 kr inn på kontoen. Vekstfktoren er 1,035. Renten nken gir, er 3,5 %. c d 018 er 4 år ettter 014, dvs. x = 4. 4 K (4) = ,035 = 5737,6 I egynnelsen v 018 står det 5737,6 kr på kontoen til Amund. Grfisk mrkerer vi punktet på grfen i GeoGer (kn skrive ( 4, K (4)) for å få opp punktet mrkert med d på figuren). Vi leser v t Amund hr 5737,6 kr på kontoen i egynnelsen v 018. e Vi tegner linj y = 7000 og finner skjæring med grfen til K (mrkert med e på figuren). I løpet v år 10 (03) psserer eløpet på Amunds konto 7000 kr. Aschehoug Side 8 v 53

29 4.37 c 0 V (0) = ,85 = Bilen kostet kr. Vekstfrten er 0,85. Bilen vtr 15 % i verdi per år. d 4.38 c Vi tegner linj y = og finner skjæring med grfen til V (mrkert med c på figuren). Det tr 5 år før verdien v ilen hr sunket til kr. V(5) V(0) = = Gjennomsnittlig vekstfrt er kr/år. I intervllet [0,5] synker verdien v ilen med gjennomsnittlig kr per år. 0 A (0) = 860 0,94 = 860 I 013 hdde edriften 860 nstte. Vekstfrten er 0,94. Antll nstte le redusert med 6 % per år. Vi tegner linj 670 y = og finner skjæring med grfen til A (mrkert med c på figuren). Det tr c. 4 år før ntll nstte hr sunket til 670. Aschehoug Side 9 v 53

30 4.39 c d 0,664 T (50) = 18, 6 50 = 49,8 Det tr 50 sekunder (4 min og 10 s) å løtkoke et egg på 50 grm. 0,664 T (55) = 18, 6 55 = 66,1 Det tr 66 sekunder (4 min og 6 s) å løtkoke et egg på 55 grm. T(55) T(50) = 16,3 Det tr c. 16 sekunder lenger å koke et egg på 55 grm enn et egg på 50 grm. V(55) V(50) 16,3 = = 3, Gjennomsnittlig vekstfrt er 3,3 s/g. I intervllet [50, 55] øker tiden det tr for å løtkoke et egg, med gjennomsnittlig 3,3 s per grm Vi tegner funksjonen F( x) = x. Vi tegner linj 60 y = og finner skjæring med grfen til F. Vekstfktoren er 1,05. Folketllet økte med,5 % per år. Aschehoug Side 30 v 53

31 4.41 Vi tegner grfen til funksjonen Ut ( ) = t. Vi tegner linj y = 6 og finner skjæring med grfen til U. Vekstfktoren er 0,85. Slget v ntll enheter snk med 15 % per dg. 4.4 v (10) = = 50, 4 Frten til steinen etter 10 m er 50,4 km/h. c Vi tegner linj 80 y = og finner skjæring med grfen til v (mrkert med c på figuren). Når frten til steinen er 80 km/h, hr steinen flt 5, m. Aschehoug Side 31 v 53

32 f (30) = 65 1,10 = 71,5 Stoffskiftet til fisken er 71,5 mg O per kg per time. Vi tegner linj y = 04 og finner skjæring med grfen til f. Hvtemperturen når stoffskiftet er 04 mg O per kg per time, er 1 C Vi tegner linj 45 y = og finner skjæring med grfen til N. Antll dyr le større enn 45 i løpet v det femte året, dvs. i 009. Aschehoug Side 3 v 53

33 4.45 0,4 f (3) = 1,3 3 =,0 Omsetningen det tredje året vil være,0 mill. kr. c Vi tegner linj y = 3 og finner skjæring med grfen til f. Bedriften vil oppnå en omsetning på 3 mill. kr i egynnelsen v år 8. f(3) f(0),0 0 = = 0, f(8) f(3),99,0 = = 0, Gjennomsnittlig vekstfrt i [0, 3] er 0,67 mill. kr/år. Gjennomsnittlig vekstfrt i [3, 8] er 0,19 mill. kr/år. Det første tre årene øker omsetningen med 0,67 mill.kr. per år, mens de fem neste vr omsetningen på 0,19 mill. kr per år. Aschehoug Side 33 v 53

34 4.46 gx= ( ) 100 1,05 x Vi tegner egge funksjonene inn i GeoGer. Vi finner skjæringen mellom grfene til f og g (mrkert med på figuren). I egynnelsen v år 13 (07) vil Crmine hr mer enn Corneli på kontoen. c Vi tegner funksjonen y = g 100 inn i GeoGer (mrkert med rødt på figuren) og finner skjæringen mellom grfene til f og y (mrkert med c på figuren). I egynnelsen v år 8 (0) vil Corneli hr mindre enn 100 kr mer enn Crmine på kontoen. Aschehoug Side 34 v 53

35 4.47 Vi tegner linj y = 8 og finner skjæring med grfen til h. Treet oppnådde en høyde på 8 meter i egynnelsen v det åttende c 4.48 h h = = 0,8 (1) 1,5 1 1,5 = = 0,8 (6) 1,5 6 6, 9 h(6) h(1) 6, 9 1, 5 = = 0, Gjennomsnittlig vekstfrt er 0,96 m/år. Det første fem årene vokser treet med c. 1 meter per år. 0,8 h(5) = 1,5 5 = 5, 44 h(6) h(5) 6, 9 5, 44 = = 0,156 h(5) 5, 44 Treet le c.16 % høyere i løpet v det femte året etter t det le plntet. året. Aschehoug Side 35 v 53

36 0,63 f (800) = = 0, 68 Restfunktigheten er 68, % når omdreiningsfrten er 800 omdreininger per minutt. c Vi tegner linj y = 0,5 og finner skjæring med grfen til f (mrkert med c på figuren). Når restfuktigheten er 50 %, er omdreiningsfrten 1310 omdreininger per minutt. d Høyeste og lveste restfuktighet er mrkert med d1 og d på figuren: 4.49 f 0,63 f (500) = = 0,917 0,63 (1500) = = 0, 459 Høyeste restfuktighet er 91,7 %, og lveste restfuktighet er 45,9 %. O(1) = 0, =,034 1 O(3) = 0, = 0,973 3 O(3) O(1) 0,973,034 = = 0, Gjennomsnittlig vekstfrt er 0,531 mill. kr/år. O(6) = 0, = 1,557 6 O(9) = 0, =,976 9 O(9) O(6),976 1,557 = = 0, Gjennomsnittlig vekstfrt er 0,473 mill. kr/år. Omsetningen snk med 0,531 millioner kroner per år fr 014 til 016. Omsetningen steg med 0,473 millioner kroner per år fr 018 til Aschehoug Side 36 v 53

37 O (0) = 5 1,03 = 3 0+ Omsetningen i 013 vr på 3 millioner kroner. 0 4 O (4) = 5 1, 03 = 4,96 4+ Omsetningen i 017 vr på c. 4,96 millioner kroner. 4 4 O(4) O(0) 4,96 3 c = = 0, O(8) = 5 1, 03 = 5,93 8+ O(8) O(4) 5,93 4,96 = = 0, Gjennomsnittlig vekstfrt i intervllet [0, 4] er 0,49 mill. kr/år, og i intervllet [4, 8] er den 0,4 mill. kr/år. d Vi tegner linj y = 6 og finner skjæring med grfen til O (mrkert med c på figuren). Etter 8,3 år (pril 01) psserer edriften en omsetning på 6 millioner kroner. e Funksjonen O er smmenstt v to type funksjoner , 03 t er en eksponentilfunksjon, og er en røkfunksjon. t S() = = ,18 10 S(10) = 7,5 1, 74 = I 005 le det solgt 1380 elektriske iler, og i 013 le det solgt elektriske iler. 4.5 S(0) = = 1080 S(7) = = 3355 S(7) S(0) = = Gjennomsnittlig vekstfrt er 35 iler/år. Fr 003 til 010 økte slget v eliler med gjennomsnittlig 35 iler per år. 1,18 8 S(8) = 7,5 1, 74 = ,18 10 S(10) = 7,5 1, 74 = S(10) S(8) = = 6914, Gjennomsnittlig vekstfrt er 6914 iler/år. Fr 011 til 013 økte slget v eliler med gjennomsnittlig 6914 iler per år. Aschehoug Side 37 v 53

38 P () = 10 Hvis turen er km lng, er prisen 10 kr. P (8) = = 16 Hvis turen er 8 km lng, er prisen 16 kr. c Vi tegner linj y = 180 og finner skjæring med grfen til P (mrkert med c på figuren). Vi kn kjøre 5 km for 180 kr y y1 1,7 = = 1,7 x x1 1 Momentn vekstfrt i punkt P er 1, y y1 1, = = 1, x x1 1 I punktet A er momentn vekstfrt 1,. y y1 0, 4 = = 0, 4 x x1 1 I punktet B er momentn vekstfrt 0,4. Aschehoug Side 38 v 53

39 4.56 y y = = 10 x x1 3 1 For x = 3 er den momentne vekstfrten 10 mm/dg. y y = = 7 x x For x = 1 er den momentne vekstfrten 7 mm/dg. Den momentne vekstfrten er størst for x = 7, ltså dg Tngenten i A er uttrykt ved funksjonen y = 7, x+ 93,. Momentn vekstfrt for x = 1 er 7, mm/dg. Svret forteller t kkurt 1 dger etter plnting er plnten i ferd med å vokse 7, mm per dg. Aschehoug Side 39 v 53

40 4.58 Tngenten i punktet er gitt ved y = 36x Momentn vekstfrt 5. mrs er 36 esøkende/dg. Tngenten i punktet er gitt ved y = 54x Momentn vekstfrt 0. mrs er 54 esøkende/dg. Svrene forteller t 5. mrs vtr ntll esøkende i lpinkken med 36 personer per dg, og 0. mrs øker ntll esøkende i lpinkken med 54 personer per dg y y1 1, 8 1 = = 0, 4 x x1 4 Stigningstllet til tngenten er 0,4. Den momentne vekstfrten når x =, er lik stigningstllet til tngenten, dvs. 0,4. Aschehoug Side 40 v 53

41 4.60 Vi tegner grfen og tngenten for 7 x =. Tngenten i punktet A er gitt ved y = 3x+ 4,5. Momentn vekstfrt etter 7 minutter er 3 L/min. Svret forteller t etter kkurt 7 minutter øker vnnvolumet i tnken med 3 liter per minutt c 4 f (4) = 7 0,9 4 = 15,3 Temperturen kl er 15,3 C. Vi tegner inn tngentene til tidspunktene og 0.00 (mrkert på figuren med c1 og c). Stigningstllet til tngentene er, 5 og 1, 61. Momentn vekstfrt er,5 grder/time. Momentn vekstfrt er 1,61 grder/time. Svrene forteller t kl synker temperturen med,5 C/time og kl synker temperturen med 1,61 C/time. Aschehoug Side 41 v 53

42 4.6 s (35) = 0, , 7 35 = 9,1 Vi tegner tngenten for v = 35 og finner stiningstllet til tngenten, som er 1, 4. Momentn vekstfrt er 1,4 m/(km/h). Svrene forteller t for 35 km/h så er stopplengden litt over 9 meter. I tillegg øker stopplengden med 1, 4 meter for hver km/h vi øker frten med V (19) = = 17 V () = = = 60 Mellom kl. 19 til kl. renner det ut 60 liter vnn. Aschehoug Side 4 v 53

43 c Vi tegner linj y = 100 og finner skjæring med grfen (mrkert med c på figuren). Vi ser t grfen til V ligger over grfen til y helt frm til skjæringspunktet. Det er mer enn 100 liter 0,35 h = 0,35 h 60 min/h = 1 min vnn i tnken fr kl til kl. 0.1 ( ) c d 0,8 0,75 f (0) = = 4000 Fødselsvekten til gutten vr 4000 grm. Vi tegner linj y = 4000 og finner skjæring med grfen (mrkert med på figuren). Gutten psserer fødselsvekten etter 3, uker. Vi finner unnpunktet på grfen (mrkert med c på figuren). Gutten er lettest i slutten v den første uk (0,9 uker) og veier d c grm. Aschehoug Side 43 v 53

44 4.65 Totlprisen for rrngementet lir Px ( ) = x, der 3000 er prisen for loklet og 150 per deltker. For å finne prisen per deltker må vi dele på ntll deltkere, som er x : 3000 Ex ( ) = x Vi tegner grfen og linj y = 00 og finner skjæring med grfen (mrkert med på figuren). Det må minst melde seg på 60 deltkere for t prisen per deltker skl li lvere enn 00 kr. Aschehoug Side 44 v 53

45 4.66 Vi tegner grfen, mrkerer punktene og tegner tngenten i de punktene. (x-ksen på grfen er forskjøvet opp slik t vi kn lettere skille mellom punktene.) Vi leser v den momentne vekstfrten i GeoGer. For x = 0 er den momentne vekstfrten 0,3 kr/døgn. For x = 0 er den momentne vekstfrten 0, 5 kr/døgn. For x = 50 er den momentne vekstfrten 0,14 kr/døgn. Svrene forteller t personen vil vt i vekt med 0,3 kg første døgnet, 0,5 kg det 0. døgnet, og 0,14 kg det 50. døgnet. Vekten vil vt mest i egynnelsen v kuren Vi skisserer en tngent i punktet [, 1] og leser v to punkter på tngenten: 1,8 1 0,8 = = 0,4 4 Den momentne vekstfrten når x =, er 0,4. Aschehoug Side 45 v 53

46 4.68 Merk t vi hr skjøvet på ksene slik t vi lettere kn se grfen. Vi mrkerer punktet for x = 90, tegner tngenten og finner stigningstllet. Den momentne vekstfrten når x = 90 er 8, 4 enheter/kr. Svret forteller t når prisen er på 90 kr, vil slget v vren synke med 8 enheter per krone prisen øker i kr Vi gjør om klokkeslett til desimltll først og setter deretter inn i funksjonen. V (18) = , 5 18 = 147 V (18,75) = ,75 = = 15 Det hr rent ut 15 liter vnn mellom kl og kl Aschehoug Side 46 v 53

47 4.70 Vi tegner linj y = 50 og finner skjæring med grfen (mrkert med 1 og på figuren). Vi leser v x-koordintene til punktene som er x = 5 for 1 og c. x = 16 for. Temperturen i vnnet vr høyere enn 50 C i tidsrommet 5 til 16 minutter. c 4.71 Temperturen i kjøleskpet må være den temperturen vnnet vil få etter lng tid. Vi kn enten lese v grfen hv funksjonen nærmer seg ettersom x lir stor, eller vi kn sette inn store verdier for x inn i den siste funksjonen. Vi ser t temperturen nærmer seg 4 C. (16) 7, , 0 d = = Dimeteren til sirkelen etter 16 år er 14 mm. Aschehoug Side 47 v 53

48 c Vi tegner linj y = 35 og finner skjæring med grfen (mrkert med c på figuren). Det er 37 år siden isen forsvnt. d d(1) = 7, = 0 d(16) d(1) 14 0 = = 3, Gjennomsnittlig vekstfrt er 3,5 mm/år. I løpet v de 4 første årene lven vokser, øker dimeteren med gjennomsnittlig 3,5 mm per år. e Vi mrkerer punktet ved t = 16, tegner tngenten og finner stigningtllet til tngenten. Momentn vekstfrt når t = 16, er 1,75 mm/år. Etter 16 år øker dimeteren til sirkelen med lv med 1,75 mm per år. 4.7 c 1,6 h (5) = 0, ,5 = 8,1 Treet vr litt over 8 meter høyt etter 5 år. 1,6 h(0) = 0, ,5= 1,5 1,6 h() = 0,5 + 1,5= 3,0 1,6 h(4) = 0, ,5 = 6,09 h() h(0) 3, 0 1,5 = = 0,76 0 h(4) h() 6,09 3,0 = = 1,54 4 Gjennomsnittlig vekstfrt i [0, ] er 0,76 m/år. Gjennomsnittlig vekstfrt i [, 4] er 1,54 m/år. De første to årene vokser treet gjennomsnittlig med 0,76 m per år. De to neste årene vokser treet med gjennomsnittlig 1,54 meter per år. Aschehoug Side 48 v 53

49 d Vi mrkerer punktet for x = og x = 4, tegner tngentene og finner stigningtllet til tngentene (mrkert med d1 og d på figuren). Momentn vekstfrt for x = er 1,1 m/år, og for x = 4 er den 1,84 m/år. Etter år vokser treet med 1,1 meter per år, og etter 4 år vokser treet med 1,84 meter per år Vi tegner grfen, mrkerer punktene ved t = 100 og t = 300, tegner tngentene og finner stigningstllet til tngentene Volumet minker med Volumet øker med 3 3 cm /min. 3 1cm /min. 300 D (0) = = ,88 Det le stt ut 15 dyr. Her kn vi sette inn store verdier for t og se hvilken verdi Dt () ser ut til å gå mot, lterntivt kn vi lese v grfen til D. Vi ser v figuren over t ntll dyr vil stilisere seg på 300 dyr. Aschehoug Side 49 v 53

50 c Vi mrkerer punktene for t = 10, t = 4, og t = 36, tegner tngentene og finner stigningstllet til tngentene. Ved t = 10 er momentn vekstfrt 5,1 dyr/år. Ved t = 4 er momentn vekstfrt 9,6 dyr/år. Ved t = 36 er momentn vekstfrt 5, dyr/år. Etter 10 år vokser estnden med 5,1 dyr per år, etter 4 år vokser estnden rskere med 9,6 dyr per år, og etter 36 år vokser estnden sktere igjen med 5, dyr per år (3) = ,85 = 7, 0 v ( 3 ) v ( 4 ) (4) = ,85 = 33,5 Frten etter 3 sekunder er 7,0 m/s, og etter 4 sekunder er frten 33,5 m/s. c Vi mrkerer punktene for t = 3 og t = 4, tegner tngentene og finner stigningstllet til tngentene. Momentn vekstfrt etter 3 s er 7,0 m/s, og etter 4 s er den 5,9 m/s. Etter 3 sekunder øker frten med med m/s 5,9 s ( 5,9 m/s ) =. m/s 7,0 s ( 7,0 m/s ) =, og etter 4 sekunder øker frten Kpitteltest Del 1 Uten hjelpemidler Aschehoug Side 50 v 53

51 Oppgve 1 Vi leser v grfen: 1 Når frostvæsken utgjør 0 %, er frysepunktet 10 C. Når frostvæsken utgjør 40 %, er frysepunktet 5 C. 3 Når frostvæsken utgjør 70 %, er frysepunktet 49 C. For et frysepunkt på 30 C må konsentrsjonen være c. 45 % eller 9 %. c Bunnpunktet til grfen er (60, 55). Dette punktet viser konsentrsjonen v frostvæske (60 %) som vi må h for å få den lveste mulig temperturen ( 54 C ). d For t frysepunktet skl ligge lvere enn 30 C, må konsentrsjonen være i intervllet 45, 9 %. Oppgve Vi leser v y-verdien når t = 3. Kul hr kommet 1,5 meter etter 3 sekunder. Vi leser v x-verdien når st ( ) = 0,5. Kul er 0,5 meter fr utgngspunktet etter 0,6 sekunder og 5,4 sekunder. c D s = [0, 6] V s = [0,1,5] d Toppunktet er (3,1,5). Toppunktet eskriver når kul er lengst fr utgngspunktet. s(3) s(0) 1,5 0 e = = 0, s(6) s(3) 0 1,5 = = 0, Gjennomsnittlig vekstfrt i intervllet [0, 3] er 0,5 m/s. Gjennomsnittlig vekstfrt i intervllet [3, 6] er 0,5 m/s. De første 3 sekundene øker vstnden fr utgngsposisjonen med gjennomsnittlig 0,5 meter per sekund, dvs. t kul triller vekk fr strtpunktet. De neste 3 sekundene minker vstnden til utgngsposisjonen med gjennomsnittlig 0,5 meter per sekund, dvs. t kul triller nedover mot strtpunktet igjen. Del Med hjelpemidler Oppgve 3 Vi tegner grfen i GeoGer. Aschehoug Side 51 v 53

52 Grfen viser åpningen. Høyden (mrkert med C på figuren) er 0 cm. Bredden på åpningen er vstnden for y = 0, dvs. vstnden fr A til B lngs x-ksen på figuren. xb xa = 50 ( 50) = = 100 Avstnden på åpningen ved kken er 100 cm. f ( 5) = 0, 088 ( 5) + 0 = 165 f (5) = 0, = 165 Svrene forteller t 5 cm til høyre og venstre side v midten v åpningen er høyden 165 cm. c Vi tegner linj y = 185 og finner skjæringspunktene med grfen (mrkert med D og E på figuren). Vi regner ut redden v åpningen: xe xd = 0 ( 0) = = 40 Åpningen 185 cm over kken er på 40 cm. Oppgve 4 Aschehoug Side 5 v 53

53 1 5 L (5) = ,5 0,90 = 41,3 Lengden er 41,3 cm. 10 L (10) = ,5 0,90 = 65,3 Lengden er 65,3 cm. c L(10) L(5) 65,3 41, = = 4, Gjennomsnittlig vekstfrt er 4,8 cm/år. Lengden v fisken øker med gjennomsnittlig 4,8 cm per år fr fisken er 5 år til den er 10 år gmmel. d Vi kn se på figuren t ettersom x øker, går lengden mot 100 cm. Alterntivt så kn vi sette inn en stdig større verdi for x i funksjonen og se hv Lx ( ) går mot. e Vi tegner linj y = 5 og finner skjæring med grfen (mrkert med e på figuren). Når fisken er 5 cm lng, er den nesten 7 år (6,9 år). Vi tegner tngenten i punktet e og finner stigningtllet til tngenten. Den momentne vekstfrten er 5,1 cm/år. Når fisken er 7 år, vokser den med 5,1 cm per år. f Vi tegner linj y = 40 og linj y = 60, og finner skjæring med grfen (mrkert med f1 og f på figuren). Vi leser v x -koordintene til punktene. Alderen for fisk som norml fnges, er i intervllet 4,80, 8,65, dvs. fr litt under 5 år til litt over 8 og et hlvt år. Aschehoug Side 53 v 53