Integralregning. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "Integralregning. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne"

Transkript

1 8

2 Integrlregning Mål for opplæringen er t eleven skl kunne gjøre rede for definisjonen v estemt integrl som grense for en sum og uestemt integrl som ntiderivert eregne integrler v de sentrle funksjonene ved ntiderivsjon og ved hjelp v vrielskifte, ved delrøkoppsplting med lineære nevnere og ved delvis integrsjon tolke det estemte integrlet i modeller v prktiske situsjoner og ruke det til å eregne reler v plne områder og volumer v omdreiningslegemer formulere en mtemtisk modell ved hjelp v sentrle funksjoner på grunnlg v oserverte dt, ereide modellen og drøfte resultt og frmgngsmåte

3 . Antiderivert En il kjører på en rett vei med jevn frt. Idet ilen er 5 m fori et målepunkt, øker den frten. Etter t sekunder er frten målt i meter per sekund gitt ved v(t) = 2t + 5, t [, ] Vi skl finne vstnden s(t) i meter fr målepunktet etter t sekunder. Ettersom ilen er 5 m fr målepunktet ved t =, er s() = 5. Fr R vet vi t sʹ(t) = v(t). Dermed må sʹ(t) = 2t + 5 Vi må finne et funksjonsuttrkk som hr 2t + 5 som derivert. Et mulig uttrkk er for d er s(t) = t 2 + 5t sʹ(t) = (t 2 )ʹ + (5t)ʹ = 2t + 5 Den deriverte er riktig, men når s(t) = t 2 + 5t, er s() =. Det stemmer ikke. Også uttrkket s(t) = t 2 + 5t + 5 hr riktig derivert. Dette uttrkket gir verdien s() = 5. Dette uttrkket for s(t) er d det riktige. Legg merke til t hvis C er en konstnt (et fst tll), hr uttrkket s(t) = t 2 + 5t + C derivert lik sʹ(t) = 2t + 5.? Oppgve. En il kjører på en rett veistrekning og psserer et målepunkt ved tidspunktet t =. Bilen hr d frten 6 m/s. Etter t sekunder hr ilen kselersjonen (t) =,48t + 2,4, t [, 5] målt i m/s 2. ) Finn et uttrkk for frten v(t) etter t sekunder. ) Finn frten etter 5 s. c) Finn et uttrkk for strekningen s(t) som er tilkelgt på t sekunder. d) Hvor lngt er ilen kommet etter 5 s? Sinus R2 > Integrlregning

4 En funksjon f er gitt ved t f() = Funksjonen F gitt ved F() = hr derivert Fʹ() = Dermed er Fʹ() = f(). Å finne funksjonsuttrkket for en funksjon når vi kjenner funksjonsuttrkket for den deriverte, kller vi ntiderivsjon. Vi sier t funksjonen F er en ntiderivert til f dersom Fʹ() = f(). L funksjonen G være gitt ved G() = F() + 7 = Den deriverte er Gʹ() = Dermed er Gʹ() = f(), og G er en ntiderivert til f. L C være en konstnt. Funksjonen G gitt ved G() = F() + C = C hr f som derivert. G er dermed en ntiderivert til f for lle verdier v konstnten C. På slutten v delkpittelet viser vi t lle de ntideriverte til f kn skrives på denne måten. L F være en ntiderivert til funksjonen f. Enhver ntiderivert til f hr d et funksjonsuttrkk v tpen F() + C der C er en konstnt. Hvis vi klrer å finne én funksjon F som hr f som derivert, kn vi dermed finne lle. EKSEMPEL En funksjon f er gitt ved f() = ) Finn funksjonsuttrkkene til lle de ntideriverte til f. ) Finn den ntideriverte G til f som er slik t G() =.

5 Løsning: ) Funksjonen F gitt ved F() = hr f() som derivert fordi Fʹ() = = = f() Alle de ntideriverte til f hr d funksjonsuttrkk v tpen C der C er en konstnt. ) Når G er en ntiderivert til f, er G gitt ved G() = C der C er en konstnt. Krvet G() = gir denne likningen: G() = C = C = + C = C = Den ntideriverte som oppfller krvet, er G() = ? Oppgve. Finn funksjonsuttrkket til lle de ntideriverte til funksjonen f når ) f() = 4 2 ) f() = c) f() = 2 d) f() = Oppgve.2 Funksjonen f er gitt ved f() = Finn en ntiderivert F som er slik t F( ) = 2. Oppgve. Bruk derivsjonsregler fr R til å finne funksjonsuttrkket til lle de ntideriverte til f når ) f() = e ) f() =, > c) f() = 2 d) f() = Sinus R2 > Integrlregning

6 Bevis for t lle ntideriverte er v tpen F() + C Nå skl vi finne lle funksjonene H som er slik t Hʹ() = Ettersom Hʹ() = for lle, må grfen til H h en horisontl tngent i lle punkter. H må i tillegg være deriverr i lle punkter, og H er derfor en kontinuerlig funksjon. Grfen er d smmenhengende. En smmenhengende grf med horisontl tngent i lle punkter må være ei horisontl linje. Det gir t H() = C, der C er en konstnt. C H Vi hr nå vist t dersom Hʹ() = for lle, så er H() = C. Det omvendte er også riktig: Dersom H() = C, så er Hʹ() =. Vi hr evist t Hʹ() = H() = C Vi skl nå ruke dette resulttet til å finne lle de ntideriverte til en funksjon f hvis vi kjenner én v dem. L F være en ntiderivert til funksjonen f slik t Fʹ() = f(). L nå G være en nnen ntiderivert til f slik t Gʹ() = f(). Vi setter D er H() = G() F() Hʹ() = Gʹ() Fʹ() = f() f() = Men ettersom Hʹ() =, fins det en konstnt C slik t H() = C. Dermed er G() F() = C G() = F() + C Alle de ntideriverte til f er dermed på formen F() + C, der F er en tilfeldig vlgt ntiderivert til f og C er en konstnt.

7 .2 Uestemt integrl Vi ruker smolet f()d om funksjonsuttrkket til lle de ntideriverte til en funksjon f. Vi skriver for eksempel t (2 + )d = C fordi vi kn skrive lle de ntideriverte til 2 + som C. Smolet er et integrltegn. Uttrkket f()d kller vi et uestemt integrl, og funksjonsuttrkket f() kller vi integrnden. Vi sier t integrlet er uestemt fordi det inneholder en uestemt konstnt C. Å integrere f vil si å finne de ntideriverte til f. Smolet d i f()d kn virke unødvendig, men skrivemåten er prktisk lnt nnet når vi skifter vriel i et integrl. Det lærer vi om i kpittel 7. EKSEMPEL Finn de uestemte integrlene. ) (4 + 6)d ) (6t 2 4t + )dt Løsning: ) Vi skl finne lle funksjonene som hr som derivert. (4 + 6)d = C ) Vi skl finne de ntideriverte til 6t 2 4t +. (6t 2 4t + )dt = 2t 2t 2 + t + C? Oppgve.2 Regn ut de uestemte integrlene. ) (6 + 5)d ) 4 d c) ( )d d) ( )d 4 Sinus R2 > Integrlregning

8 Fr R vet vi t for lle reelle tll r er ( r )ʹ = r r. Dersom r, lir d ( r + r + ) ʹ = r + (r + )ʹ = Dermed hr vi vist denne integrsjonsregelen: r + (r + ) r + = r r d = r + r + + C, r Dersom r =, lir integrlet r d = d = d Dette integrlet estemmer vi i kpittel.. Formelen ovenfor gir lnt nnet disse integrsjonsreglene: d = C 2 d = + C d = C Integrsjonsregelen ovenfor gjelder også når eksponenten r er et negtivt tll eller en røk. Husk t og t = m n = n m der m og n er hele tll og n >. Spesielt er n = n. EKSEMPEL Finn de uestemte integrlene. ) 5 d ) d Løsning: ) 5 d = ) d = d = c) d = d = C = C C = C = 4 c) d C = C + C = 4 + C 5

9 Vi deriverer en sum v funksjoner ledd for ledd og kn derfor også integrere en sum v funksjoner ledd for ledd slik denne regelen viser: Dersom Fʹ() = f() og Gʹ() = g(), er ( f() + g())d = F() + G() + C der, og C er konstnter. Når vi nå skl evise regelen, er det nok å derivere F() + G() og se om vi får integrnden: ( F() + G())ʹ = Fʹ() + Gʹ() = f() + g() Regelen er ltså riktig. Regelen gjelder også for en sum med mer enn to ledd. EKSEMPEL Finn de uestemte integrlene. ) 6 2 d ) ( )d c) ( ) d Løsning: ) 6 2 d = 6 + C = 2 + C ) ( )d = C = C c) ( ) d = ( )d = C = C 6 Sinus R2 > Integrlregning

10 EKSEMPEL En il kjører på en rett veistrekning. Etter t sekunder hr den kseler sjonen (t) =,2t +, t [, 5] målt i meter per sekund i ndre (m/s 2 ). Finn frtsøkningen i meter per sekund i denne perioden. Løsning: Ettersom den deriverte v frt er kselersjon, er frt en ntiderivert til kselersjon. Dermed er frten i meter per sekund v(t) = (t)dt v(t) = (,2t + )dt =,t 2 + t + C Vi hr ikke opplsninger nok til å finne konstnten C, men vi kn likevel finne frtsøkningen. Den er v(5) v() = (, C) ( + + C) = 2, C C = 2,5 Frten øker med 2,5 m/s.? Oppgve.2 Regn ut de uestemte integrlene. ) ( t t ) 2 dt ) ( 2 2 ) d Oppgve.22 Etter t sekunder hr en il frten v(t) = 2 +,8t, t [, ] målt i meter per sekund. Hvor lngt kjører ilen på de ti sekundene? c) ( 2t 5 t 2 ) 5 dt d) 2 d Oppgve.2 ) Finn f() når f ʹ() = 4 2 og f() = 2. ) Finn f() når f ʹ() = og grfen til f skjærer ndreksen i punktet 2. c) Finn f() når f ʺ() = 2 6 og grfen hr et unnpunkt i (, ). 7

11 . Integrlet d I dette kpittelet skl vi integrere funksjonen f() = Funksjonen hr denne grfen: f Fr R vet vi t ln er definert når >, og t (ln )ʹ = For positive verdier v er derfor d = ln + C For negtive verdier v er tllet positivt, og d er ln( ) definert. Vi deriverer ln( ) ved hjelp v kjerneregelen. (ln( ))ʹ = ( )ʹ = ( ) = For negtive verdier v er dermed d = ln( ) + C De to uttrkkene for d kn vi kominere til ett ved hjelp v soluttverditegnet, fordi = når er positiv = når er negtiv 8 Sinus R2 > Integrlregning

12 d = ln + C EKSEMPEL Finn de uestemte integrlene. ) ( ) d ) ( ) d Løsning: ) ( ) d = ( ) d = ln + C ) ( ) d = ( ) d = ln C = ln 2 + C? Oppgve. Finn de uestemte integrlene. ) d ) ( ) d c) ( Oppgve. Finn de uestemte integrlene. ) + d ) d + ) 2 d Oppgve.2 Finn de uestemte integrlene. ) + d ) 2 + d Oppgve. L være et positivt tll. ) Deriver uttrkket ln ) Finn det uestemte integrlet ln d 9

13 .4 Integrsjon v eksponentilfunksjoner Fr R vet vi t funksjonen f() = e er lik sin egen deriverte. (e )ʹ = e Det gir denne integrsjonsformelen: e d = e + C EKSEMPEL Regn ut det uestemte integrlet (4 + 2e )d Løsning: (4 + 2e )d = e + C Nå skl vi finne e k d, der k er en konstnt. Vi ruker kjerneregelen og deriverer e k. (e k )ʹ = e k (k)ʹ = e k k = k e k Hvis k, lir ( k ek ) ʹ = k (ek )ʹ = k k ek = e k Vi hr funnet en ntiderivert til e k, og dermed kn vi integrere e k. e k d = k ek + C, k EKSEMPEL Regn ut integrlene. ) e d ) 2e,5 d c) (2e 2 + 2e 2 )d 2 Sinus R2 > Integrlregning

14 Løsning: ) e d = e + C ) 2e,5 d = 2,5 e,5 + C = 4 e,5 + C c) (2e 2 + 2e 2 )d = 2 2 e e 2 + C = e 2 e 2 + C? Oppgve.4 Regn ut de uestemte integrlene. ) 2e d ) (6 e )d c) (4e 2 + 9e )d d) (e + e )d L være et positivt tll. Fr R vet vi t uttrkket hr den deriverte ( )ʹ = ln = ln Hvis, er konstnten ln. D er Uttrkket ( ln ) ʹ = ln ( )ʹ = ln ln = ln er dermed en ntiderivert til. Det gir denne regelen: d = ln + C, > og EKSEMPEL Regn ut integrlene. ) d ) 5,5 d c) (2 + 2 )d Løsning: ) d = ln + C ) 5,5 d = 5 c) (2 + 2 )d = 2 + ln,5 5,5 + C = ln,5,5 + C ln C 2

15 ? Oppgve.4 Regn ut de uestemte integrlene. ) ( 2 )d ) (2 )d c) (ln ln )d Oppgve.42 Finn integrlene. ) (54 e,8 )d ) (2 8,5 )d Oppgve.4 ) Deriver uttrkket e 2. ) Finn integrlet e 2 d.5 Bestemt integrl som grense for en sum Vi tegner grfen til funksjonen gitt ved f() = 2 A f 6 7 På figuren hr vi skrvert et fltestkke som er vgrenset v -ksen, linj =, linj = 6 og grfen til funksjonen f. Vi ønsker å finne relet A v dette fltestkket. Vi deler først intervllet [, 6] i fem like deler og tegner fem rektngler som går fr -ksen og opp til grfen. Arelet v de fem rektnglene er en grov tilnærming til relet A f 22 Sinus R2 > Integrlregning

16 Hvert rektngel hr redden, der = 6 = 5 = 5 5 Høden v rektnglene lir f(), f(2), f(), f(4) og f(5). Summen S 5 v relene v de fem rektnglene lir S 5 = f() + f(2) + f() + f(4) + f(5) = ,8 På figuren nedenfor hr vi delt intervllet [, 6] i ti like store deler og tegnet rektngler som når opp til grfen f Arelet v disse ti rektnglene gir en edre tilnærming til relet A under grfen til f. Hvert rektngel får redden, der = 6 = 5 =,5 Høden v rektnglene lir f(), f(,5), f(2) osv. Rektngelet lengst til høre hr høden f(5,5). Arelet S v de ti rektnglene er S = f() + f(,5) + f(2) f(5,5) =,5 +,5,5 + 2, ,5,5 8,76 Hvis vi deler området i n rektngler, lir redden v hvert rektngel = 6 n = 5 n L være den minste -verdien i det første rektngelet, 2 den minste -verdien i det ndre rektngelet, osv. Arelet S n v de n rektnglene lir d S n = f( ) + f( 2 ) + f( ) f( n ) Vi kn ruke en dtmskin eller lommeregneren til å regne ut denne summen for store verdier v n. Hvis vi deler opp området i 5 rektngler, får vi S 5 9,6 Hvis vi ruker, eller rektngler, får vi S 9,9 S 9, S 9, Det ser ut som relet nærmer seg 9,. 2

17 Når n, nærmer S n seg en grenseverdi som vi kller det estemte integrlet til f. Vi skriver 6 f()d = lim S n n Tllene og 6 kller vi integrsjonsgrensene. Tllet er nedre integrsjonsgrense, og 6 er øvre integrsjonsgrense. Denne grenseverdien er smtidig lik relet A mellom -ksen og grfen til f fr linj = til linj = 6. Etter utregningen forn er 6 f()d = 9,? Oppgve.5 Tegn grfen til funksjonen gitt ved f() = 2, [, 5] ) Skrver det fltestkket som er vgrenset v -ksen, linj =, linj = og grfen til f. ) Finn en tilnærmingsverdi for relet A ved regning. Bruk åtte rektngler. Nå skl vi definere det estemte integrlet for en funksjon f som er kontinuerlig i intervllet [, ]. Vi ser først på en funksjon f som er positiv i intervllet [, ]. Vi skl finne relet A v det fltestkket som er vgrenset v -ksen, linj =, linj = og grfen til f. Se figuren til venstre nedenfor. f f A Først deler vi intervllet [, ] i n like store deler som vist til høre ovenfor. 24 Sinus R2 > Integrlregning

18 Bredden v hver del er = n Over hver del tegner vi et rektngel slik t det øvre venstre hjørnet i rektngelet erører grfen. L være den minste -verdien i det første rektngelet, 2 den minste -verdien i det ndre rektngelet, osv. D er f( ) høden i det første rektngelet, f( 2 ) høden i det ndre rektngelet, osv. Summen S n v relene til de n rektnglene lir d S n = f( ) + f( 2 ) + f( ) f( n ) Det estemte integrlet til f fr til definerer vi på denne måten: f()d = lim S n n Tllene og er integrsjonsgrensene. Hvis f er positiv i intervllet [, ], er det estemte integrlet relet v det fltestkket som er vgrenset v -ksen, linj =, linj = og grfen til f. Hvis f ikke er positiv i intervllet [, ], definerer vi det estemte integrlet nøktig på den smme måten. Men nå lir integrlet ikke lik relet, for funksjonsverdien er ikke lik høden i rektnglene. Vi tegner grfen til en funksjon som er negtiv i intervllet. f Høden i et rektngel er et positivt tll. Funksjonsverdien er her et negtivt tll som i tllverdi lir lik høden. Når vi regner ut summen S n ovenfor, får vi relet v rektnglene med negtivt fortegn. Dermed lir også grenseverdien lim n S n relet mellom -ksen og grfen med negtivt fortegn. f()d. Men denne grenseverdien er det estemte integrlet 25

19 L A være relet v det fltestkket som er vgrenset v -ksen, linj =, linj = og grfen til funksjonen f. Dersom fltestkket ligger over -ksen, er A = f()d. Dersom fltestkket ligger under -ksen, er A = f()d.? Oppgve.5 Funksjonen f er gitt ved f() = ln ) Tegn grfen til f for, ]. ) Skrver det fltestkket som er vgrenset v -ksen, grfen til f, linj = og linj = 2. c) Finn en tilnærmingsverdi for relet v fltestkket. Bruk ti rektngler. d) Hv lir etter dette Oppgve.52 Funksjonen f er gitt ved 2 ln d tilnærmet lik? f() = 4 2 ) Tegn grfen til f for [, ]. ) Skrver det fltestkket F som er vgrenset v -ksen og grfen til f. c) Finn en tilnærmingsverdi for integrlet 2 2 ( 4 2 ) d ved regning. Bruk åtte rektngler. d) Finn en tilnærmingsverdi for relet v fltestkket F. Det estemte integrlet kn vi også finne ved hjelp v digitle hjelpemidler. Her viser vi hvordn vi finner integrlet 6 d ved hjelp v lommeregneren. På nettsidene til Sinus R2 finner du frmgngsmåten for noen ndre digitle hjelpemidler. Se for øvrig utregningene på side Sinus R2 > Integrlregning

20 ON CASIO Metode Vi velger GRAPH på ikonmenen og legger inn funksjonen Y = X. Deretter velger vi vindu estemt v t [, 6] og [, ]. Her ør -intervllet være det smme som grensene til integrlet. Vi trkker så på EXIT, velger DRAW og får tegnet grfen. Nå trkker vi på G-Solv og på F6. Vi velger d ved å trkke på F. Lommeregneren spør nå etter den nedre integrsjons grensen. Mrkøren står i punktet =. Vi godtr det ved å trkke på EXE. Nå spør lommeregneren etter den øvre integrsjonsgrensen. Vi ruker piltstene og fltter mrkøren til punktet = 6. Når vi så trkker på EXE, lir fltestkket skrvert, og vi får frm svret som vist på denne figuren: TEXAS Metode Vi trkker Y= og legger inn funksjonen Y = (X). Deretter velger vi et vindu estemt v t [, 7] og [, ]. Vi trkker så på GRAPH og får tegnet grfen. Deretter trkker vi på CALC og velger 7 : f()d. Lomme regneren spør nå etter den nedre integrsjons grensen. Vi tster etterfulgt v ENTER. Så spør lomme regneren etter den øvre integrsjonsgrensen. Vi tster 6 etterfulgt v ENTER. Nå lir fltestkket skrvert, og vi får frm svret som vist på denne figuren: Integrlet er 9,. Metode 2 Vi velger RUN på ikonmenen og trkker på OPTN. Nå velger vi CALC og d. Vi fullfører uttrkket slik denne figuren viser: Integrlet er 9,. Metode 2 Vi går til regneskjermen og trkker på MATH. Her velger vi 9:fnInt(. Så fullfører vi uttrkket slik denne figuren viser: Vi får svret 9, når vi trkker på ENTER. OFF Vi får svret 9, når vi trkker på EXE. 27

21 EKSEMPEL L funksjonen f være gitt ved f() = ) Tegn grfen til f. ) Bruk lommeregneren til å regne ut relet v det fltestkket som er vgrenset v -ksen og grfen. Løsning: ) Grfen ser slik ut: f ) Fltestkket ligger under -ksen mellom = og =. Vi ruker lommeregneren og finner det estemte integrlet. ( )d =, Ettersom fltestkket er under -ksen, er relet A = ( )d =,? Oppgve.5 Bruk digitle hjelpemidler og finn relet v det området som er vgrenset v -ksen, linj = og grfen til funksjonen f() = 2 Oppgve.54 Bruk digitle hjelpemidler og finn relet v det området som er vgrenset v -ksen og grfen til funksjonen f() = Sinus R2 > Integrlregning

22 .6 Bestemt integrl og ntiderivsjon På slutten v dette delkpittelet skl vi vise t når vi kjenner en ntiderivert til en funksjon, kn vi finne det estemte integrlet på denne måten: L F være en ntiderivert til f. D er f()d = F() F() EKSEMPEL Finn det estemte integrlet. ) ( 2 + )d ) ( )d Løsning: ) Vi må finne en ntiderivert til f() = 2 +. Vi velger F() = + Vi trenger ikke h med noen konstnt C, for vi skl re h én ntiderivert til f. D er F() = + = 4 F() = + = Dermed er ( 2 + )d = F() F() = 4 = 4 = ) Først finner vi en ntiderivert til funksjonen f() = Vi velger F() = D er F() = = = F() = = 2 + = 4 29

23 Dermed er ( )d = F() F() = 4 = 4 Dette stemmer godt med lommeregnerverdien på side 28. For differnsen F() F() ruker vi en egen skrivemåte. Vi skriver [ F () ] = F() F() Med denne skrivemåten regner vi ut estemte integrler slik: L F være en ntiderivert til funksjonen f. D er f()d = [ F () ] = F() F() Integrlet ( 2 4)d kn vi d finne på denne måten: ( 2 4)d = [ 4 ] = ( 4 ) ( 4 ) = 5 ( ) = 8 Uttrkket mellom hkeprentesene er en ntiderivert til uttrkket 2 4.! Når vi regner ut estemte integrler, trenger vi ikke tenke på om grfen ligger over eller under -ksen. Det er re når vi skl finne et rel, t vi trenger å tenke på det. EKSEMPEL Regn ut (2 e ) d. Løsning: (2 e ) d = [ 2 e ] = ( 2 e ) ( 2 e ) = ( e) ( ) = e + = 4 e Sinus R2 > Integrlregning

24 ! Legg merke til smolruken. Mellom og d står det funksjonsuttrkket f() som vi skl integrere. Mellom hkeprentesene [ og ] står en ntideri vert til f(). Når vi deretter setter inn integrsjonsgrensene, ruker vi vnlige prenteser og ikke hkeprenteser. Vi setter lltid inn øvre integrsjonsgrense først. Deretter trekker vi fr det uttrkket vi får når vi setter inn nedre integrsjonsgrense.? Oppgve.6 Tegn grfen til funksjonen f gitt ved f() = +, [, 5] ) Skrver det fltestkket som er vgrenset v -ksen, grfen til f, linj = og linj = 4. ) Regn ut relet A v dette fltestkket ved hjelp v formelen for relet v et trpes. c) Finn relet A ved integrsjon. Oppgve.6 Finn de estemte integrlene ved regning. 2 ) ( 2 + 2)d ) e d 5 e c) 2 d d) d Oppgve.62 Finn ved regning relet v det området som er vgrenset v -ksen, linj = og grfen til funksjonen f() = 2 Oppgve.6 Finn ved regning relet v det området som er vgrenset v -ksen og grfen til funksjonen f() = 2 2 Oppgve.64 Regn ut relet v det området som er vgrenset v grfen til f, -ksen, linj = og linj =. ) f() = e = 2 og = 2 ) f() = = og = 4 c) f() = = og = d) f() = 2 = 2 og =

25 Bevis for t f()d = F() F() L f være en kontinuerlig funksjon. I første omgng forutsetter vi t funksjonen er positiv i intervllet [, ]. Det estemte integrlet f()d er d relet A v det fltestkket som er vgrenset v -ksen, linj =, linj = og grfen til f. Se figuren til venstre nedenfor. f f A A(t) t Vi skl finne relet A. Først ser vi på relet A(t) v det fltestkket som ligger mellom grfen, -ksen, linj = og linj = t. Se figuren til høre ovenfor. Arelet A(t) er vhengig v hvor vi trekker linj = t. Arelet er en funksjon v t. Nå finner vi Aʹ(t) ved hjelp v definisjonen v den deriverte. Aʹ(t) = lim A(t + h) A(t) h h I utledningen forutsetter vi t h >, og t f er voksende nær = t. Vi kn gjøre et tilsvrende resonnement hvis h <, og hvis f er snkende nær = t. Figuren til venstre nedenfor viser de to relene A(t + h) og A(t). A(t) er relet v det fltestkket som er skrvert vertiklt, og A(t + h) er relet v det fltestkket som er skrvert horisontlt. f f(t + h) f(t) h f t t + h t t + h Differnsen A(t + h) A(t) i telleren ovenfor er relet v det fltestkket som er skrvert horisontlt og ikke vertiklt. Dette fltestkket er tegnet på ntt til høre ovenfor. Figuren 2 Sinus R2 > Integrlregning

26 viser t fltestkket er større enn et rektngel med redde h og høde f(t). Fltestkket er mindre enn et rektngel med redde h og høde f(t + h). Når vi smmenlikner relet v fltestkkene, får vi f(t) h < A(t + h ) A(t) < f(t + h) h Vi dividerer med det positive tllet h i denne doeltulikheten og får A(t + h) A(t) f(t) < < f(t + h) h Nå lr vi h. Funksjonen f er kontinuerlig slik t f(t + h) f(t) når A(t + h) A(t) h. Uttrkket ligger mellom f(t + h) og f(t) og må derfor h også nærme seg f(t) når h. Dermed er lim h A(t + h) A(t) = f(t) h Denne grenseverdien er per definisjon lik Aʹ(t). Dermed hr vi vist t Aʹ(t) = f(t) Utledningen forutsetter t f er voksende nær = t, og t h >. Vi får det smme resulttet om f er snkende, og om h <. Videre hr vi forutstt t f er positiv i intervllet [, ], men formelen Aʹ(t) = f(t) er riktig for lle kontinuerlige funksjoner f. Funksjonen A(t) er en ntiderivert til f(t). Hvis F(t) er en nnen ntiderivert til f(t), vet vi fr kpittel. t det fins en konstnt C slik t A(t) = F(t) + C Arelet A() er null, for det er relet v et fltestkke der redden er null. Det ruker vi for å finne C. A() = F() + C = C = F() Dermed er A(t) = F(t) F() Spesielt er A() = F() F() Ettersom A() = f()d, hr vi evist t f()d = F() F().

27 .7 Integrsjon og rel I kpittel.5 lærte vi å regne ut reler på denne måten: L A være relet v det fltestkket som er vgrenset v -ksen, linj =, linj = og grfen til funksjonen f. Dersom fltestkket ligger over -ksen, er A = f()d. Dersom fltestkket ligger under -ksen, er A = f()d. Noen gnger ligger fltestkket delvis over -ksen og delvis under. D må vi dele opp fltestkket i flere deler. EKSEMPEL Finn relet v det fltestkket som er vgrenset v -ksen og grfen til funksjonen gitt ved f() = Løsning: Vi tegner grfen for å se om fltestkket ligger under eller over -ksen: Vi ser t fltestkket ligger delvis over og delvis under -ksen, og vi må d regne ut relet v hver del for seg. Vi trenger nullpunktene til funksjonen. f() = = ( ) = = eller = 4 Sinus R2 > Integrlregning

28 Andregrdsformelen gir =, = 2 eller = 4 2 Arelet v det fltestkket som ligger over -ksen, er A = f()d. 4 Arelet v det fltestkket som ligger under -ksen, er A 2 = f()d. Vi regner ut integrlene f()d = ( )d = [ ] = ( ) ( ) = 4 = 4 4 f()d = ( )d = [ ] = ( ) ( ) = 4 = 4 Dermed er A = 4 og A 2 = ( 4) = 4. Smlet rel lir A = A + A 2 = = 8 4 Hvis vi regner ut integrlet f()d, får vi svret. Grunnen er t relene over og under -ksen er nøktig like store ? Oppgve.7 Tegn grfen til f og regn ut relet v området mellom -ksen, linj =, linj = og grfen til f. ) f() = e ) f() = 2 Oppgve.7 Funksjonen f er gitt ved f() = 4 ) Finn nullpunktene til f. ) Tegn grfen til f. c) Finn relet v området mellom -ksen og grfen til f. 5

29 Noen gnger får vi ruk for å finne relet A v et fltestkke som ligger mellom linj =, linj = og grfene til to funksjoner f og g. g A f Grfen til f ligger her over grfen til g i intervllet [, ]. Begge grfene ligger over -ksen i området. Arelet under grfen til f er f()d Arelet under grfen til g er g()d Arelet A mellom de to grfene er d A = f()d g()d Regnereglene for integrsjon gir A = (f() g())d I denne utledningen forutstte vi t egge grfene lå over -ksen i inter vllet [, ]. Vi kn vise t formelen er riktig selv om grfene helt eller delvis ligger under -ksen. L A være relet v fltestkket som er vgrenset v linj =, linj = og grfene til de to funksjonene f og g. Dersom f() g() når [, ], er A g f A = (f() g())d 6 Sinus R2 > Integrlregning

30 EKSEMPEL Funksjonene f og g er gitt ved f() = g() = Finn relet v det fltestkket som er vgrenset v grfene til f og g. Løsning: Først tegner vi grfene til f og g A g 2 f Grfen til f ligger over grfen til g i det ktuelle området. Vi må finne skjæringspunktene mellom grfene ved regning: f() = g() = = = Andregrdsformelen gir = eller = 4. Arelet er 4 A = (f() g())d 4 = (( ) ( ))d 4 = ( )d = [ ] = ( ) ( ) ( ) = 6 + = 27 = 9 = 6 4 7

31 ? Oppgve.72 Regn ut relet v det fltestkket som er vgrenset v grfen til f og grfen til g når f() = g() = 2 Oppgve.7 Regn ut relet v det fltestkket som er vgrenset v grfen til f og grfen til g når f() = g() = Oppgve.74 Regn ut relet v det fltestkket som er vgrenset v grfen til f og grfen til g når f() = g() = 2.8 Integrl og smlet resultt I kpittel.5 rukte vi en sum som tilnærming til et estemt integrl. Noen gnger ruker vi integrlet som en tilnærming til en sum. Det gjør vi når det er vnskelig å finne summen ekskt. EKSEMPEL Mrtin er 47 år gmmel og regner med å reide i 2 år til før hn lir pensjonist. Hn hr en lønnsvtle som gir lønnsøkning. jnur hvert år. Nå tjener hn kr per år, og hn regner med t lønn skl øke med 4 % per år i årene som kommer. Om år er lønn per år L() =,4 Finn smlet inntekt S i de neste 2 årene. 8 Sinus R2 > Integrlregning

32 Løsning: Smlet lønn lir S = L() + L() L(9) = +, ,4 9 Ved å regne ut lle verdiene og summere finner vi t smlet inntekt er kr. Vi kn finne en tilnærmingsverdi for denne summen ved å integrere funksjonen L. Funksjonen hr denne grfen: kr L år Vi hr delt området i 2 deler. Hvert rektngel hr redde lik. Høden v rektngelet er lik lønn per år. Arelet v rektngelet lengst til venstre er lik lønn det første året. Arelet v det neste rektngelet er lik lønn det ndre året, osv. Arelet v de 2 rektnglene lir smlet lønn i peri oden. Men dette relet er omtrent lik relet v flte stkket under grfen til L fr = til = 2. Det relet finner vi ved integrsjon. 2 2 S L()d =,4 d 2 = [ ln,4,4 ] = ln,4,42 ln,4,4 = Dette svret er litt høere enn det svret vi fnt ovenfor. Men påstnden om t lønn skl øke med 4 % per år er svært usikker, slik t vi ikke hr ruk for mnge siffer i svret. Mrtin tjener c. 9 millioner kroner i perioden. 9

33 En edrift hr tilltelse til å slippe ut 48 tonn CO 2 per år. Bedriften får så pålegg om å redusere utslippet. Utslippet i tonn per år år etter 2 skl høst være U() = 48e,25 Vi skl finne smlet lovlig utslipp i perioden 2, 2 og 22. Hvis edriften holder utslippet konstnt i løpet v året og reduserer det. jnur hvert år, lir utslippet disse tre årene slik: I 2: U() = 48 e,25 = 48 I 2: U() = 48 e,25 = 78 I 22: U(2) = 48 e,25 2 = 29 Smlet utslipp i tonn lir d U() + U() + U(2) = = 449 Denne summen er relet v rektnglene på figuren til venstre nedenfor. Der hr vi også tegnet grfen til U Sum = 449 U 2 U Sum = år år Mndighetene godtr ikke denne tolkningen v krvet. De forlnger t utslippet skl reduseres hver måned. I jnur 2 skl utslippet mksimlt være så stort t hvis utslippet fortsetter på smme måten ut året, lir utslippet i 2 U() = 48 Utslippet i jnur 2 kn mksimlt være U() 2 = 48 2 = 4 I ferur 2 kn utslippet være så stort t årsutslippet hdde litt U ( 2 ) = 48 e,25 2 = 47 Utslippet i ferur 2 kn d være U ( 2 ) 2 = 47 2 = 92 4 Sinus R2 > Integrlregning

34 Fr jnur 2 til desemer 22 hr det gått 5 måneder. Utslippet i den siste måneden kn d mksimlt være U ( 5 2 ) 2 = 25 2 = 9 Smlet utslipp kn d mksimlt være U() 2 + U ( 2 ) U ( 5 2 ) 2 Ved hjelp v lommeregneren kn vi regne ut og summere lle disse leddene. Vi får summen 26. Smlet utslipp lir mksimlt 26 tonn hvis vi forutsetter t utslippet skl reduseres hver måned. På figuren til høre på forrige side hr rektngelet lengst til venstre høden U() og redden. Arelet v rektngelet er dermed U() 2 2, som er utslippet i jnur 2. Arelet v det neste rektngelet er lik utslippet i ferur 2. Smlet utslipp S i perioden lir dermed lik relet v lle de 6 rektnglene. Dette relet er prktisk tlt lik relet under grfen til U. Nå deler vi opp de tre årene i n perioder. D lir lengden v hver periode = n L være det første tidspunktet i periode nr., 2 det første tidspunktet i periode nr. 2, osv. D er smlet utslipp S n i de tre årene S n = U( ) + U( 2 ) U( n ) Nå lr vi n. Ifølge definisjonen v det estemte integrlet nærmer summen seg integrlet U()d. Dersom utslippet lir redusert kontinuerlig i de tre årene, lir dermed smlet utslipp lik S = U()d = 48 e,25 d = [ 48,25 e,25 ] = 9 2 e,25 ( 9 2 e ) = e,75 = = [ 9 2 e,25 ] Smlet utslipp i de tre årene lir d mksimlt tonn CO 2. Det stemmer godt med summen 26 ovenfor. Funksjonen U er en modell for utslippet fr edriften. Ovenfor hr vi tolket denne modellen på tre ulike måter. 4

35 Den første tolkningen gikk ut på t U() vr lovlig utslipp det første året, t U() vr lovlig utslipp det ndre året osv. Vi regnet d ikke med noen reduksjon i utslippet i løpet v året. D fnt vi smlet utslipp ved å summere tre tll. Den ndre tolkningen gikk ut på t utslippet skulle ned hver måned. D fnt vi smlet utslipp ved å summere 6 tll. Den tredje tolkningen gikk ut på t utslippet skulle reduseres fortløpende i perioden. Vi hr d en kontinuerlig reduksjon, og vi fnt smlet utslipp ved integrsjon. Vi vet ikke hvilken tolkning som er den riktige. Det er ikke slik t den este tolkningen lltid er den som gir vnskeligst mtemtikk. En produksjon eller et forruk etter tidsenheter er f() enheter per tidsenhet. Ved kontinuerlig endring er smlet produksjon eller forruk i perioden fr = til = gitt ved S = f()d EKSEMPEL En edrift slipper ut 4 tonn CO 2 per måned. Bedriften lir pålgt å redusere utslippet med 5 % per måned i årene som kommer. ) Finn ut hvor stort utslippet d er per måned om to år. ) Finn smlet utslipp i de to første årene. 42 Sinus R2 > Integrlregning

36 Løsning: ) Utslippet etter måneder er U() = 4,95 Om to år (24 måneder) er utslippet U(24) = 4,95 24 = 7 Utslippet om to år er 7 tonn CO 2 per måned. ) Smlet utslipp i de første 24 månedene er 24 S = 24 U()d = 4,95 d = [ 4 = 24 ln,95,95 ] 4 ln,95, ln,95,95 = 552 Smlet utslipp de to neste årene er 552 tonn CO 2.? Oppgve.8 En edrift produserer en rtikkel. Etterspørselen er økende, og edriften estemmer seg for å øke produksjonskpsiteten grdvis. Om t uker regner de med å produsere f(t) = 25 e,t enheter per uke. ) Hvor mnge enheter regner edriften med å produsere per uke om ett år? ) Hvor mnge enheter regner edriften med å produsere det første året? c) Hvor mnge enheter produserer edriften i gjennomsnitt per uke dette året? Oppgve.8 I et lnd lir det i dg født 5 rn per år. Stremktene regner med t fødselstllet vil øke med,2 % hvert år i årene som kommer. ) Finn fødselstllet om år. ) Hvor mnge rn lir født i lt de første årene hvis prognosen er riktig? c) Hvor mnge rn lir det født i gjennomsnitt per år i denne perioden? 4

37 ? Oppgve.82 En smårnsfmilie regner med t mtutgiftene i kroner per år om år er gitt ved M() = Finn de gjennomsnittlige mtutgiftene per år i de neste 2 årene. Oppgve.8 Mrte tjener 24 kr per år og får kr i lønnsøkning hvert år i årene som kommer. Sondre tjener 2 kr per år og får 5 % lønnsøkning per år. Finn ut hvem som tjener mest de neste 25 årene ved å regne ut to estemte integrler..9 Integrsjon og volum Nå skl vi vise hvordn vi kn ruke det estemte integrlet til å finne volumet v en gjenstnd. Vi tegner d gjenstnden smmen med en koordint kse. A() Gjenstnden strekker seg fr = til = som vist på figuren. Vi legger et pln gjennom gjenstnden slik t koordintksen står vinkelrett på plnet. Plnet går gjennom punktet på koordintksen. Alle punktene i plnet hr d smme koordint. Vi lr A() være relet v snittflten mellom plnet og gjenstnden. På slutten v delkpittelet eviser vi denne formelen: Vi plsserer en koordintkse ved en gjenstnd. Gjenstnden strekker seg fr = til = på ksen. Volumet v gjenstnden er d V = A()d der relet A() er som eskrevet ovenfor. 44 Sinus R2 > Integrlregning

38 Denne formelen ruker vi ofte når vi skl evise volumformler. EKSEMPEL Bevis t volumet V v ei kule med rdius r er gitt ved formelen V = 4 r Løsning: Vi legger koordintksen med origo i sentrum v kul som vist nedenfor. Kul strekker seg d fr = r til = r. r O r r() r Snittflten med koordint lik er en sirkel med rdius r(). Denne rdien kn vi finne ved hjelp v ptgorssetningen. (r()) = r 2 (r()) 2 = r 2 2 Arelet v snittflten er A() = (r()) 2 = (r 2 2 ) Volumet v kul er r V = A()d = (r 2 2 )d r r = [ r 2 r ] r r = ( ( r ) r ( r ) ) ( r) = ( 2 r + 2 ) r = 4 r 45

39 Nå skl vi finne volumet v omdreiningsgjenstnder, som er gjenstnder v det slget som vi kn frmstille i en dreieenk. En slik gjenstnd hr en sentrl kse. Alle snittflter som ksen står normlt på, er sirkelflter. Vi kn tenke oss t gjenstnden er litt til på denne måten: Vi hr en funksjon f og ser på det fltestkket som er vgrenset v -ksen, linj =, linj = og grfen til f. Dette fltestkket dreier vi 6 om -ksen og får frm gjenstnden på figuren til høre nedenfor. f f() f A() Snittflten med førstekoordint er en sirkel med rdius r = f(). Arelet v snittflten er A() = r 2 = (f()) 2 Volumet v gjenstnden lir V = A()d = (f()) 2 d = (f()) 2 d Et fltestkke er vgrenset v -ksen, linj =, linj = og grfen til en funksjon f. Dersom vi dreier dette fltestkket 6 om -ksen, får vi en omdreiningsgjenstnd med volumet V = (f()) 2 d EKSEMPEL Et fltestkke er vgrenset v -ksen, -ksen, linj = og grfen til funksjonen f() = 2 + Vi dreier fltestkket 6 om -ksen. Finn volumet v den omdreiningsgjenstnden vi d får. 46 Sinus R2 > Integrlregning

40 Løsning: Først tegner vi fltestkket og omdreiningsgjenstnden. 4 f 4 f Volumet er V = (f()) 2 d = = [ + ] ( 2 + ) 2 d = ( 2 + )d = ( ( + ) ) = (9 + ) = 2 EKSEMPEL Utled formelen for volumet v ei rett kjegle med rdius r og høde h. Løsning: Vi får frm sideflten v ei kjegle når vi dreier et linjestkke gjennom origo 6 om -ksen. For t rdien skl li r, må linjestkket være som på figuren til venstre nedenfor. f f h r h r Stigningstllet til linj er r. Linj er derfor grfen til funksjonen h f() = r h 47

41 Volumet lir h V = (f()) 2 d = = r2 h 2 [ ] h( r h = r2 h ) 2 d = h r 2 h 2 ( h ) = h 2 2 d = r2 h 2 2 d r 2 h 2 h = r2 h h? Oppgve.9 Et fltestkke er vgrenset v -ksen, -ksen, linj = 2 og grfen til funksjonen f() = + Finn volumet v den gjenstnden vi får når vi dreier fltestkket 6 om -ksen. Oppgve.9 Et fltestkke er vgrenset v -ksen, linj =, linj = 2 og grfen til funksjonen f() = 2 Finn volumet v den gjenstnden vi får når vi dreier fltestkket 6 om -ksen. Oppgve.92 Et fltestkke er vgrenset v -ksen og grfen til funksjonen f() = r 2 2, [ r, r] ) Hv slgs fltestkke er dette? ) Hv slgs gjenstnd får vi når vi dreier dette fltestkket 6 om -ksen? c) Bevis formelen for volumet v ei kule med rdius r. Oppgve.9 Hvis vi tegner lle punktene (, ) som psser i likningen = får vi en kurve som vi kller en ellipse. Tllene og er hlvksene i ellipsen. ) Finn volumet v den figuren vi får når vi dreier ellipsen 8 om -ksen. ) Hvordn kn vi ruke dette resulttet til å evise formelen for volumet v ei kule? 48 Sinus R2 > Integrlregning

42 Bevis for t V = A()d Vi lger en snittflte gjennom gjenstnden slik t koordintksen står vinkelrett på snittflten. Alle punktene på denne snittflten hr d smme koordint. L A() være relet v snittflten med koordint lik som vist på denne figuren: A() Vi deler intervllet [, ] i n like deler og lr i være den minste -verdien i del nr i. Bredden v hver del er. Vi deler så gjenstnden i n deler ved hjelp v snittflter med relet A( ), A( 2 ),..., A( n ). Oppdelingen er som når vi deler et rød i n like tkke rødskiver. Avstnden mellom hver snittflte er. Dersom er liten, lir skive nr. i en romfigur med grunnflte A( i ) og høde. Volumet v skive nr. i er tilnærmet lik A( i ). Summen v disse volumene er S n = A( ) + A( 2 ) A( n ) Denne summen er en tilnærmingsverdi for volumet V v gjenstnden. Nå lr vi n. D nærmer S n seg det riktige volumet V. V = lim n S n Men etter definisjonen v det estemte integrlet er lim S n n = A()d Dermed hr vi evist t volumet V = A()d. 49

43 SAM MEN DRAG Antiderivert F er en ntiderivert til funksjonen f hvis Fʹ() = f(). Enhver ntiderivert til f hr d funksjonsuttrkket F() + C der C er en konstnt. Uestemt integrl Dersom Fʹ() = f(), er f() d = F() + C En integrsjonsregel Dersom Fʹ() = f() og Gʹ() = g(), er ( f() + g())d = F() + G() + C der, og C er konstnter. Integrsjonsformler r d = r + r + + C når r d = ln + C e d = e + C e k d = k ek + C, k d = ln + C, > og Bestemt integrl Vi deler intervllet [, ] i n like store deler som hver hr redden = n. L være den minste -verdien i den første delen, 2 den minste -verdien i den ndre delen, osv. L S n = f( ) + f( 2 ) + f( ) f( n ) Det estemte integrlet til f fr til er d f()d = lim S n n 5 Sinus R2 > Integrlregning

44 Bestemt integrl og ntiderivsjon L F være en ntiderivert til f. D er f()d = [ F() ] = F() F() Arelet mellom en grf og -ksen L A være relet v det fltestkket som er vgrenset v -ksen, linj =, linj = og grfen til funksjonen f. Dersom fltestkket ligger over -ksen, er A = f()d Dersom fltestkket ligger under -ksen, er A = f()d Arelet mellom to grfer L A være relet v det fltestkket som er vgrenset v linj =, linj = og grfene til funksjonene f og g. Dersom f() g() når [, ], er A = (f() g())d Smlet produksjon eller forruk Hvis produksjonen eller forruket etter tidsenheter er f() enheter per tidsenhet, er smlet produksjon eller forruk i perioden fr = til = gitt ved S = f()d Volumet v en omdreiningsgjenstnd Et fltestkke er vgrenset v -ksen, linj =, linj = og grfen til en funksjon f. Dersom vi dreier dette fltestkket 6 om -ksen, får vi en omdreiningsgjenstnd med volumet V = (f()) 2 d 5

Integrasjon Skoleprosjekt MAT4010

Integrasjon Skoleprosjekt MAT4010 Integrsjon Skoleprosjekt MAT4010 Tiin K. Kristinslund, Julin F. Rossnes og Torstein Hermnsen 19. mrs 2014 1 Innhold 1 Innledning 3 2 Integrsjon 3 3 Anlysens fundmentlteorem 7 4 Refernser 10 2 1 Innledning

Detaljer

Kapittel 4 Tall og algebra Mer øving

Kapittel 4 Tall og algebra Mer øving Kpittel 4 Tll og lger Mer øving Oppgve 1 d Oppgve 2 Se på uttrykket A = g h. Hv forteller de ulike okstvene? Se på uttrykket A = 2π. Hv står de ulike symolene for? Forklr hv vi mener med en vriel og en

Detaljer

M2, vår 2008 Funksjonslære Integrasjon

M2, vår 2008 Funksjonslære Integrasjon M, vår 008 Funksjonslære Integrsjon Avdeling for lærerutdnning, Høgskolen i Vestfold. pril 009 1 Arelet under en grf Vi begynner vår diskusjon v integrsjon, på smme måte som vi begynte med derivsjon, ved

Detaljer

1 Tallregning og algebra

1 Tallregning og algebra Tllregning og lger ØV MER. REGNEREKKEFØLGE Oppgve.0 6 d) ( : 6) Oppgve. ( ) ( ) ()() ( ) ( ) ( ) () (6 ) () d) ( ) 7() ( ) Oppgve. 6 ( ) d) Oppgve. Med ett ddisjonstegn, ett sutrksjonstegn, ett multipliksjonstegn

Detaljer

S1 kapittel 6 Derivasjon Løsninger til oppgavene i boka

S1 kapittel 6 Derivasjon Løsninger til oppgavene i boka S kpittel 6 Derivsjon Løsninger til oppgvene i ok 6. c y x y x = = = = y x 4 5 9 4 y 5 6 x 4 = = = = y x y x = = = = 7 ( 5) 6 ( ) 8 6. f( x ) f( x ) 5 7 x x ( ) 4 = = = = 6. T( x) = 0,x +,0 T T = + = (0)

Detaljer

2 Symboler i matematikken

2 Symboler i matematikken 2 Symoler i mtemtikken 2.1 Symoler som står for tll og størrelser Nvn i geometri Nvn i mtemtikken enyttes på lignende måte som nvn på yer og personer, de refererer eller representerer et tll eller en størrelse,

Detaljer

EKSAMEN. ANTALL SIDER UTLEVERT: 7 (innkl. forside og 2 sider formelark)

EKSAMEN. ANTALL SIDER UTLEVERT: 7 (innkl. forside og 2 sider formelark) KANDIDATNUMMER: EKSAMEN FAGNAVN: Mtemtikk FAGNUMMER: REA EKSAMENSDATO: 5. desember 6 KLASSE:. klssene, ingenørutdnning. TID: kl. 9... FAGLÆRER: Hns Petter Hornæs ANTALL SIDER UTLEVERT: 7 (innkl. forside

Detaljer

Matematikk 1000. Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 8 Numerisk integrasjon

Matematikk 1000. Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 8 Numerisk integrasjon Mtemtikk 1000 Øvingsoppgver i numerikk leksjon 8 Numerisk integrsjon Som kjent kn vi regne ut (bestemte) integrler ved nti-derivsjon. Dette resulttet er et v de viktikgste innen klkulus; det heter tross

Detaljer

... JULEPRØVE 9. trinn...

... JULEPRØVE 9. trinn... .... JULEPRØVE 9. trinn.... Nvn: Gruppe: DELPRØVE 1 uten hjelpemidler ( 37 poeng) På denne delprøven kn du re ruke skrivesker, psser og linjl. Alle oppgvene i del 1 skl føres rett på rket. I noen oppgver

Detaljer

5: Algebra. Oppgaver Innhold Dato

5: Algebra. Oppgaver Innhold Dato 5: Alger Pln resten v året: - Kpittel 6: Ferur - Kpittel 7: Ferur/mrs - Kpittel 8: Mrs - Repetisjon: April/mi - Eventuell offentlig eksmen: Mi - Økter, prøver, prosjekter: Mi - juni For mnge er egrepet

Detaljer

1 Geometri KATEGORI 1. 1.1 Vinkelsummen i mangekanter. 1.2 Vinkler i formlike figurer

1 Geometri KATEGORI 1. 1.1 Vinkelsummen i mangekanter. 1.2 Vinkler i formlike figurer Oppgver 1 Geometri KTGORI 1 1.1 Vinkelsummen i mngeknter Oppgve 1.110 ) I en treknt er to v vinklene 65 og 5. Finn den tredje vinkelen. b) I en firknt er tre v vinklene 0, 50 og 150. Finn den fjerde vinkelen.

Detaljer

Kalkulus 2. Volum av et omdreiningslegeme. Rotasjon rundt x-aksen

Kalkulus 2. Volum av et omdreiningslegeme. Rotasjon rundt x-aksen Klkulus Klkulus Volum v et omdreiningslegeme Rotsjon rundt x-ksen På figuren nedenfor hr vi skrvert området vgrenset v grfen til den kontinuerlige funksjonen y = f( x) og x-ksen fr x= til x=. Når vi roterer

Detaljer

1T kapittel 3 Funksjoner Løsninger til oppgavene i læreboka

1T kapittel 3 Funksjoner Løsninger til oppgavene i læreboka 1T kpittel 3 Funksjoner Løsninger til oppgvene i læreok Oppgve 3.1 Origo er skjæringspunktet mellom førsteksen og ndreksen. Koordintene til origo er ltså (0, 0). Førstekoordinten til punktet A er 15, og

Detaljer

R2 - Heldagsprøve våren 2013

R2 - Heldagsprøve våren 2013 Løsningsskisser HD R R - Heldgsprøve våren 0 Løsningsskisser Viktigste oppsummeringer: Må skrive med penn på eksmen! Slurv og regnefeil, både med tll og bokstver, er hovedproblemet. Beste måten å fikse

Detaljer

2 Tallregning og algebra

2 Tallregning og algebra Tllregning og lger KATEGORI. Regnerekkefølge Oppgve.0 Regn uten digitlt hjelpemiddel. + ( + ) ( ) Oppgve. Regn uten digitlt hjelpemiddel. Oppgve. Regn ut med og uten digitlt hjelpemiddel. + (7 + ) ( 9)

Detaljer

S1 kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka

S1 kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka S1 kpittel 8 Eksmenstrening Løsninger til oppgvene i læreok E1 995 995 5 + 5 (995 5) (995 + 5) + 5 990 1000 + 5 990 000 + 5 990 05 E E (61+ 9) 51 49) (51+ 49) 61 9 (61 9) 51 49 ( 100 100 11 1997 00 199

Detaljer

Fag: Matematikk 1T-Y for yrkesfag for elever og privatisterr. Eksamensdato: 16. januar 2012

Fag: Matematikk 1T-Y for yrkesfag for elever og privatisterr. Eksamensdato: 16. januar 2012 Loklt gittt eksmen Eksmen Fg: Mtemtikk 1T-Y for yrkesfg for elever og privtisterr Fgkode: MAT1006 Eksmensdto: 16. jnur 2012 Antll sider i oppgven: 7 inklusiv forside og opplysningsside Del 1: oppgve 1-5

Detaljer

1 k 2 + 1, k= 5. i=1. i = k + 6 eller k = i 6. m+6. (i 6) i=1

1 k 2 + 1, k= 5. i=1. i = k + 6 eller k = i 6. m+6. (i 6) i=1 TMA4 Høst 6 Norges teknisk nturvitenskpelige universitet Institutt for mtemtiske fg Løsningsforslg Øving 5 5..6 Vi er gitt summen og ønsker å skrive den på formen m k=5 k +, f(i). i= Strtpunktene er henholdsvis

Detaljer

1 Mandag 1. mars 2010

1 Mandag 1. mars 2010 Mndg. mrs Fundmentlteoremet sier t integrsjon og derivsjon er motstte opersjoner. Vi hr de siste ukene sett hvordn vi på ulike måter kn derivere funksjoner i flere vrible. Nå er turen kommet til den motstte

Detaljer

... JULEPRØVE

... JULEPRØVE Ashehoug JULEPRØVE 2014 9. trinn.... JULEPRØVE 2014.... Nvn: Gruppe: DELPRØVE 1 uten hjelpemidler ( 37 poeng) På denne delprøven kn du re ruke skrivesker, psser og linjl. Alle oppgvene i del 1 skl føres

Detaljer

9 Potenser. Logaritmer

9 Potenser. Logaritmer 9 Potenser. Logritmer Foret utregingene nedenfor: 5 5 c 6 7 d e 5 f g h i Regn ut og gjør svrene så enkle som mulige: c y y d e f g h i j y y + y + y + + y Prisen på en motorsg vr kr 56 i 99. Vi regner

Detaljer

Sammendrag kapittel 1 - Aritmetikk og algebra

Sammendrag kapittel 1 - Aritmetikk og algebra Smmendrg kpittel 1 - Aritmetikk og lgebr Regneregler for brøker Utvide brøk: Gng med smme tll i teller og nevner. b = k b k Forkorte brøk: del med smme tll i teller og nevner. b = : k b : k Summere brøker:

Detaljer

R2 2010/11 - Kapittel 4: 30. november 2011 16. januar 2012

R2 2010/11 - Kapittel 4: 30. november 2011 16. januar 2012 R 00/ - Kpittel 4: 0. noemer 0 6. jnr 0 Pln for skoleåret 0/0: Kpittel 5: 6/ 6/. Kpittel 6: 6/ /. Kpittel 7: / /4. Prøer på eller skoletime etter hert kpittel. Én heildgsprøe i her termin. En del prøer

Detaljer

Brøkregning og likninger med teskje

Brøkregning og likninger med teskje Brøkregning og likninger med teskje Dette heftet gir en uformell trinn for trinn gjennomgng v grunnleggende regler for brøkregning og likninger. Dette er sto som vi i FYS 000 egentlig forventer t dere

Detaljer

a 5 (2 + 8) d 5 (2 + 8) 4 g b 3 5 (2 + 8) e h 3 ( ) j Begrunn hvorfor du ikke får samme svar på oppgave b og g.

a 5 (2 + 8) d 5 (2 + 8) 4 g b 3 5 (2 + 8) e h 3 ( ) j Begrunn hvorfor du ikke får samme svar på oppgave b og g. Mtemtikk for ungomstrinnet KAPITTEL 4 TALL OG ALGEBRA MER ØVING Oppgve 1 Oppgve 2 Se på uttrykket A = g h. Hv forteller e ulike okstvene? Se på uttrykket O = 2π. Hv står e ulike symolene for? Forklr hv

Detaljer

Terminprøve Matematikk for 1P 1NA høsten 2014

Terminprøve Matematikk for 1P 1NA høsten 2014 Terminprøve Mtemtikk for 1P 1NA høsten 2014 DEL 1 Vrer 1,5 time Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med entimetermål og vinkelmåler. Forsøk på lle oppgvene selv om du er usikker

Detaljer

1 Mandag 18. januar 2010

1 Mandag 18. januar 2010 Mndg 8. jnur 2 I denne første forelesningen skl vi friske opp litt rundt funksjoner i en vribel, se på hvordn de vokser/vtr, studere kritiske punkter og beskrive krumning og vendepunkter. Vi får ikke direkte

Detaljer

YF kapittel 10 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka

YF kapittel 10 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka YF kpittel 10 Eksmenstrening Løsninger til oppgvene i læreok Uten hjelpemidler Oppgve E1 5 + 5 + 6 11 5 + 4 (5 + ) 5 + 4 7 10 6 + 8 d + ( + 1) 5 + 4 5 + 16 5 + 10 5 4 + 4 4 + 8 1 + + + + + + + + 49 49

Detaljer

Mer øving til kapittel 2

Mer øving til kapittel 2 Mer øving til kpittel 2 KAPITTEL 2 GEOMETRI OG MÅLING Oppgve 1 Oppgve 2 Oppgve 3 Anne hr vært på ferie til sine esteforeldre fr 28. juni til 9. ugust. Hvor mnge dger hr hun vært på ferie? Fr hun kom hjem

Detaljer

1T kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka

1T kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka T kpittel 8 Eksmenstrening Løsninger til oppgvene i lærebok Uten hjelpemidler E b c E b c Vi gnger vnlige tll med vnlige tll og tierpotenser med tierpotenser. Til slutt omformer vi svret så vi får et tll

Detaljer

E K S A M E N. Matematikk 3MX. Elevar/Elever Privatistar/Privatister. AA6524/AA6526 8. desember 2004 UTDANNINGSDIREKTORATET

E K S A M E N. Matematikk 3MX. Elevar/Elever Privatistar/Privatister. AA6524/AA6526 8. desember 2004 UTDANNINGSDIREKTORATET E K S A M E N UTDANNINGSDIREKTORATET Mtemtikk 3MX Elevr/Elever Privtistr/Privtister AA654/AA656 8. desember 004 Vidregånde kurs II / Videregående kurs II Studieretning for llmenne, økonomiske og dministrtive

Detaljer

R1 kapittel 1 Algebra

R1 kapittel 1 Algebra Løsninger til oppgvene i ok R1 kpittel 1 Alger Løsninger til oppgvene i ok Oppgve 1.1 1 8 4 ( ) 15 5 (4 ) 7 1 7 ( ) d ( )( ) ( 4)( ) ( ) ( 4) ( )( 1) Oppgve 1. 49 7 ( 7)( 7) 5 5 5 5 1y 75 (4y 5) ( y) 5

Detaljer

DEL 1 Uten hjelpemidler

DEL 1 Uten hjelpemidler Eksmen høsten 013 Løsninger Eksmen høsten 013 Løsninger DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med centimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 150 sider Vi finner først hvor mnge

Detaljer

Kapittel 4.7. Newtons metode. Kapittel 4.8.

Kapittel 4.7. Newtons metode. Kapittel 4.8. Ekskt løsning Newtons metode - Integrsjon Forelesning i Mtemtikk TMA00 Hns Jko Rivertz Institutt for mtemtiske fg 0. septemer 0 Kpittel.7. Newtons metode Den ekskte løsningen v x x = 0er ikke særlig rukelig

Detaljer

Fag: Matematikk 1T-Y for elever og privatister. Antall sider i oppgaven: 8 inklusiv forside og opplysningsside

Fag: Matematikk 1T-Y for elever og privatister. Antall sider i oppgaven: 8 inklusiv forside og opplysningsside Loklt gitt eksmen 2012 Eksmen Fg: Mtemtikk 1T-Y for elever og privtister Fgkode: MAT1006 Eksmensdto: 25. mi Antll sider i oppgven: 8 inklusiv forside og opplysningsside Eksmenstid: Hjelpemidler under eksmen:

Detaljer

Mer øving til kapittel 3

Mer øving til kapittel 3 Mer øving til kpittel 3 KAPITTEL 3 FUNKSJONER Oppgve 1 Tegn et koordintsystem og merk v punktene (1, 5) d (3, 2) ( 2, 3) e ( 3, 5) (4, 0) f (0, 4) Oppgve 2 Hvilke koordintpr hr de ulike punktene i koordintsystemet?

Detaljer

R1 kapittel 8 Eksamenstrening

R1 kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgvene i ok R kpittel 8 Eksmenstrening Løsninger til oppgvene i ok Uten hjelpemidler Oppgve E Hvis er et nullpunkt for De mulige nullpunktene for P, er konstntleddet 8 delelig med. P er

Detaljer

1P kapittel 3 Funksjoner

1P kapittel 3 Funksjoner Løsninger til oppgvene i ok 1P kpittel 3 Funksjoner Løsninger til oppgvene i ok 3.1 Origo hr koordintene (0, 0). Vi finner koordintene til punktene ved å lese v punktets verdi på x-ksen og y-ksen. A =

Detaljer

Matematikk Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 9 Numerisk integrasjon

Matematikk Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 9 Numerisk integrasjon Mtemtikk 1000 Øvingsoppgver i numerikk leksjon 9 Numerisk integrsjon Forståelsen v integrlet som et rel ligger til grunn når vi skl beregne integrler numerisk. Litt mer presist: Når f(x) 0 for lle x i

Detaljer

a 2πf(x) 1 + (f (x)) 2 dx.

a 2πf(x) 1 + (f (x)) 2 dx. MA 4: Anlyse Uke 44, http://home.hi.no/ svldl/m4 H Høgskolen i Agder Avdeling for relfg Institutt for mtemtiske fg Om lengde v kurver. Noen få formler der integrsjon brukes for å beregne lengder, reler

Detaljer

1 Algebra. 1 Skriv disse uttrykkene så enkelt som mulig: a) 2(a + 3) (3 + 3a) b) 2(1 a) + a(2 + a) c) 1 + 2(1 3a) + 5a d) 4a 3ab 2(a 5b) + 3(ab 2b)

1 Algebra. 1 Skriv disse uttrykkene så enkelt som mulig: a) 2(a + 3) (3 + 3a) b) 2(1 a) + a(2 + a) c) 1 + 2(1 3a) + 5a d) 4a 3ab 2(a 5b) + 3(ab 2b) Alger Skriv disse uttrykkene så enkelt som mulig c 5 d 5 Multipliser ut og gjør svrene så enkle som mulige c c c c d e f g h 5 i Regn ut 5 Regn ut og vis frmgngsmåten 5 c Regn ut og vis frmgngsmåten 5

Detaljer

S1 kapittel 4 Logaritmer Løsninger til oppgavene i boka

S1 kapittel 4 Logaritmer Løsninger til oppgavene i boka Løsninger til oppgvene i ok S kpittel 4 Logritmer Løsninger til oppgvene i ok 4. Vi leser v fr tllet 4 på y-ksen og ser t vi får den tilhørende verdien,6 på -ksen. lg 4,6 Vi leser v fr tllet,5 på y-ksen

Detaljer

Oppfriskningskurs i matematikk 2007

Oppfriskningskurs i matematikk 2007 Oppfriskningskurs i mtemtikk 2007 Mrte Pernille Htlo Institutt for mtemtiske fg, NTNU 6.-11. ugust 2007 Velkommen! 2 Temer Algebr Trigonometri Funksjoner og derivsjon Integrsjon Eksponensil- og logritmefunksjoner

Detaljer

Faktorisering. 1 Hva er faktorisering? 2 Hvorfor skal vi faktorisere? Per G. Østerlie Senter for IKT i utdanningen 11.

Faktorisering. 1 Hva er faktorisering? 2 Hvorfor skal vi faktorisere? Per G. Østerlie Senter for IKT i utdanningen 11. Fktorisering Per G. Østerlie Senter for IKT i utdnningen per@osterlie.no 11. mi 013 1 Hv er fktorisering? Vi må se på veret å fktorisere. Hv er det vi skl gjøre når vi fktoriserer? Svret er: å lge fktorer.

Detaljer

Tom Lindstrøm. Tilleggskapitler til. Kalkulus. 3. utgave. Universitetsforlaget,

Tom Lindstrøm. Tilleggskapitler til. Kalkulus. 3. utgave. Universitetsforlaget, Tom Lindstrøm Tilleggskpitler til Klkulus 3. utgve Universitetsforlget, Oslo 3. utgve Universitetsforlget AS 2006 1. utgve 1995 2. utgve 1996 ISBN-13: 978-82-15-00977-3 ISBN-10: 82-15-00977-8 Mterilet

Detaljer

Del 2. Alle oppgaver føres inn på eget ark. Vis tydelig hvordan du har kommet frem til svaret. Oppgave 2

Del 2. Alle oppgaver føres inn på eget ark. Vis tydelig hvordan du har kommet frem til svaret. Oppgave 2 Del 2 Alle oppgver føres inn på eget rk. Vis tydelig hvordn du hr kommet frem til svret. Oppgve 1 Figuren viser sidefltene til et prisme. Grunnflten og toppflten mngler. ) Hvilken form må grunn- og toppflten

Detaljer

Juleprøve trinn Del 1. Navn: Del 1 Aschehoug JULEPRØVE trinn. Informasjon for del 1

Juleprøve trinn Del 1. Navn: Del 1 Aschehoug JULEPRØVE trinn. Informasjon for del 1 Juleprøve 2015 10. Del 1 Nvn: Informsjon for del 1 Prøvetid Hjelpemidler i del 1 Andre opplysninger Frmgngsmåte og forklring 5 timer totlt Del 1 og del 2 lir delt ut smtidig. Del 1 skl leveres inn seinest

Detaljer

Årsprøve 2014 10. trinn Del 2

Årsprøve 2014 10. trinn Del 2 2 Årsprøve 2014 10. trinn Del 2 Informsjon for del 2 Prøvetid: Hjelpemidler på del 2: Vedlegg: Andre opplysninger: Fremgngsmåte og forklring: Veiledning om vurderingen: 5 timer totlt Del 2 skl du levere

Detaljer

Tall i arbeid Påbygging terminprøve våren 2013

Tall i arbeid Påbygging terminprøve våren 2013 Tll i rei Påygging terminprøve våren 2013 DEL 1 Uten hjelpemiler Hjelpemiler: vnlige skrivesker, psser, linjl me entimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 Skriv tllene på stnrform. 1 0,000 00015 2 19,6 millirer

Detaljer

Numerisk matematikk. Fra Matematikk 3MX (2002) Side

Numerisk matematikk. Fra Matematikk 3MX (2002) Side Numerisk mtemtikk Fr Mtemtikk 3MX (2002) Side 142 147 142 Kpittel 4: Integrlregning 47 NUMERISK MATEMATIKK pffiffiffiffiffi På lommeregneren finner du rskt t 71 er lik 8,426150, og t lg 5 er lik 0,698970

Detaljer

Temahefte nr. 1. Hvordan du regner med hele tall

Temahefte nr. 1. Hvordan du regner med hele tall 1 ARBEIDSHEFTE I MATEMATIKK SNART MATTE EKSAMEN Hvordn du effektivt kn forberede deg til eksmen Temhefte nr. 1 Hvordn du regner med hele tll Av Mtthis Lorentzen mttegrisenforlg.com Opplysning: De nturlige

Detaljer

3.7 Pythagoras på mange måter

3.7 Pythagoras på mange måter Oppgve 3.18 Vis t det er mulig å multiplisere og dividere linjestykker som vist i figur 3.. Bruk formlikhet. 3.7 Pythgors på mnge måter Grekeren Pythgors le født på Smos 569 og døde. år 500 f. Kr. Setningen

Detaljer

6 Brøk. Matematisk innhold Brøk i praktiske situasjoner Brøk som del av en mengde. Utstyr Eventuelt ulike konkreter, som brikker og knapper

6 Brøk. Matematisk innhold Brøk i praktiske situasjoner Brøk som del av en mengde. Utstyr Eventuelt ulike konkreter, som brikker og knapper Brøk I dette kpitlet lærer elevene om røk som del v en helhet, der helheten kn være en mengde, en lengde eller en figur, og de skl lære om røk som del v en mengde. De skl lære å finne delen når det hele

Detaljer

Løsningsforslag til Eksamen i fag MA1103 Flerdimensjonal analyse

Løsningsforslag til Eksamen i fag MA1103 Flerdimensjonal analyse Norges teknisk nturvitenskpelige universitet Institutt for mtemtiske fg Side 1 v 5 Løsningsforslg til Eksmen i fg MA113 Flerdimensjonl nlyse 2.5.6 Oppgve 1 Vi hr f(x, y) = (4 x 2 y 2 )e x+y. ) Kritiske

Detaljer

Forkunnskaper i matematikk for fysikkstudenter. Trigonometri. Omregning mellom grader og radianer skjer etter formelen nedenfor:

Forkunnskaper i matematikk for fysikkstudenter. Trigonometri. Omregning mellom grader og radianer skjer etter formelen nedenfor: Forkunnskper i mtemtikk for fysikkstudenter.. Vinkelmål. Vinkler måles trdisjonelt i grder. Utgngspunktet er d t en hel sirkel deles i 6 like store deler, der her del klles en grd. En grd kn deles inn

Detaljer

Eneboerspillet. Håvard Johnsbråten

Eneboerspillet. Håvard Johnsbråten Håvrd Johnsråten Eneoerspillet Når vi tenker på nvendelser i mtemtikken, ser vi gjerne for oss Pytgors læresetning eller ndre formler som vi kn ruke til å eregne lengder, reler, kostnder osv. Men mer strkte

Detaljer

OPPLÆRINGSREGION NORD. Skriftlig eksamen. MAT1001 Matematikk 1P-Y HØSTEN 2011. Privatister. Yrkesfag. Alle yrkesfaglige utdanningsprogrammer

OPPLÆRINGSREGION NORD. Skriftlig eksamen. MAT1001 Matematikk 1P-Y HØSTEN 2011. Privatister. Yrkesfag. Alle yrkesfaglige utdanningsprogrammer OPPLÆRINGSREGION NORD LK06 Finnmrk fylkeskommune Troms fylkeskommune Nordlnd fylkeskommune Nord-Trøndelg fylkeskommune Sør-Trøndelg fylkeskommune Møre og Romsdl fylke Skriftlig eksmen MAT1001 Mtemtikk

Detaljer

Litt av matematikken bak solur

Litt av matematikken bak solur Anne Bruvold Revidert mrs 005 Bkgrunn Min interesse for solur le vekket d jeg i 000 skulle holde et lite foredrg om kjeglesnitt og under foreredelsen v dette kom over rtikler som kolet kjeglesnitt med

Detaljer

Eksempeloppgaver 2014 Løsninger

Eksempeloppgaver 2014 Løsninger DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med centimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 19 millirder 9 10 = 19 10 = 1,9 10 0,089 10 = 8,9 10 10 = 8,9 10 Oppgve 6 6 8 Prosentvis

Detaljer

... ÅRSPRØVE 2014...

... ÅRSPRØVE 2014... Delprøve 1 Ashehoug ÅRSPRØVE 014 9. trinn.... ÅRSPRØVE 014... Nvn: Gruppe: DELPRØVE 1 uten hjelpemiler (39 poeng) Alle oppgvene i el 1 skl føres rett på rket. I noen oppgver er et en regnerute. Her skl

Detaljer

Kapittel 3. Potensregning

Kapittel 3. Potensregning Kpittel. Potensregning I potensregning skriver vi tll som potenser og forenkler uttrykk som inneholder potenser. Dette kpitlet hndler blnt nnet om: Betydningen v potenser som hr negtiv eksponent eller

Detaljer

Multippel integrasjon. Geir Ellingsrud

Multippel integrasjon. Geir Ellingsrud Multippel integrsjon. Geir Ellingsrud 2. pril 24 2 NB: Dette er en midlertidig versjon dtert 2. pril 24. Den kommer til å bli utvidet og korrigert fortløpende!!. Dobbelt integrlet over rektngler og iterert

Detaljer

EKSAMEN. 1. klassene, ingenørutdanning og Flexing. ANTALL SIDER UTLEVERT: 5 (innkl. forside og 2 sider formelark)

EKSAMEN. 1. klassene, ingenørutdanning og Flexing. ANTALL SIDER UTLEVERT: 5 (innkl. forside og 2 sider formelark) KANDIDATNUMMER: EKSAMEN EMNENAVN: Mtemtikk EMNENUMMER: REA42 og REA42f EKSAMENSDATO:. desember 2 KLASSE:. klssene, ingenørutdnning og Flexing. TID: kl. 9... FAGANSVARLIG: Hns Petter Hornæs ANTALL SIDER

Detaljer

Fasit. Grunnbok. Kapittel 2. Bokmål

Fasit. Grunnbok. Kapittel 2. Bokmål Fsit 9 Grunnbok Kpittel Bokmål Kpittel Lineære funksjoner rette linjer. ƒ(x) = 4x + 5 ƒ() = 3 ƒ(4) = ƒ(6) = 9.6 ƒ(x) = -x b ƒ(x) = x b ƒ(x) = (x + ) 3 ƒ() = ƒ(4) = 8 ƒ(6) = 4 ƒ(x) = x 4 ƒ() = - ƒ(4) =

Detaljer

Tall i arbeid Påbygging terminprøve våren 2014

Tall i arbeid Påbygging terminprøve våren 2014 Terminprøve våren 014 Tll i rei Påygging terminprøve våren 014 DEL 1 Uten hjelpemiler Hjelpemiler: vnlige skrivesker, psser, linjl me entimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 1 Skriv tllet Skriv tllet 6 3,15

Detaljer

DELPRØVE 2 (35 poeng)

DELPRØVE 2 (35 poeng) DELPRØVE 2 (35 poeng) På denne delprøven er lle hjelpemidler tilltt. Alle oppgvene i del 2 skl føres på eget rk. Før svrene oversiktlig, slik t det går tydelig frm hvordn du hr løst oppgvene. Bruk penn.

Detaljer

Årsprøve trinn Del 1. Navn: Informasjon for del 1

Årsprøve trinn Del 1. Navn: Informasjon for del 1 Årsprøve 2015 9. trinn Del 1 Nvn: Informsjon for del 1 Prøvetid: Hjelpemidler på del 1: Andre opplysninger: Fremgngsmåte og forklring: 5 timer totlt. Del 1 og Del 2 skl deles ut smtidig Del 1 skl du levere

Detaljer

EKSAMEN. 1. klassene, ingenørutdanning og flexing. ANTALL SIDER UTLEVERT: 5(innkl. forside og 2 sider formelark)

EKSAMEN. 1. klassene, ingenørutdanning og flexing. ANTALL SIDER UTLEVERT: 5(innkl. forside og 2 sider formelark) KANDIDATNUMMER: EKSAMEN EMNENAVN: Mtemtikk EMNENUMMER: REA4 og REA4f EKSAMENSDATO:. ugust 9 KLASSE:. klssene, ingenørutdnning og fleing. TID: kl. 9... FAGANSVARLIG: Hns Petter Hornæs ANTALL SIDER UTLEVERT:

Detaljer

Juleprøve trinn Del 1 Navn:

Juleprøve trinn Del 1 Navn: Juleprøve 2014 10. Del 1 Nvn: Informsjon for del 1 1 Prøvetid 5 timer totlt. Del1 og Del 2 skl deles ut smtidig. Del 1 skl du levere innen 2 timer. Hjelpemidler i del 1 Andre opplysninger Del 2 skl du

Detaljer

1 Mandag 8. mars 2010

1 Mandag 8. mars 2010 1 Mndg 8. mrs 21 Vi hr tidligere integrert funksjoner lngs x-ksen, og vi hr integrert funksjoner i flere vrible over begrensede områder i xy-plnet. I denne forelesningen skl vi integrere funksjoner lngs

Detaljer

Praktiske opplysninger til rektor. Fag: MATEMATIKK 1TY for yrkesfag Fagkode: MAT1006 Eksamensdato: Antall forberedelsesdager: Ingen

Praktiske opplysninger til rektor. Fag: MATEMATIKK 1TY for yrkesfag Fagkode: MAT1006 Eksamensdato: Antall forberedelsesdager: Ingen Loklt gitt eksmen 2013 Prktiske opplysninger til rektor Fg: MATEMATIKK 1TY for yrkesfg Fgkode: MAT1006 Eksmensdto: 30.5.2013 Antll foreredelsesdger: Ingen Forhold som skolen må være oppmerksom på: Eksmenen

Detaljer

TFY4104 Fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Høsten Løsningsforslag til øving 8. a = e m E

TFY4104 Fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Høsten Løsningsforslag til øving 8. a = e m E TFY414 Fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Høsten 16. Løsningsforslg til øving 8. Oppgve 1. ) C F = E = m Newtons. lov. Her er = e, så elektronets kselersjon blir = e m E ltså mot venstre. b) C Totlt elektrisk

Detaljer

Numerisk derivasjon og integrasjon utledning av feilestimater

Numerisk derivasjon og integrasjon utledning av feilestimater Numerisk derivsjon og integrsjon utledning v feilestimter Knut Mørken 6 oktober 007 1 Innledning På forelesningen /10 brukte vi litt tid på å repetere inhomogene differensligninger og rkk dermed ikke gjennomgå

Detaljer

S2 kapittel 5 Vekstmodeller. Løsninger til oppgavene i boka Vi løser oppgaven i CAS i GeoGebra.

S2 kapittel 5 Vekstmodeller. Løsninger til oppgavene i boka Vi løser oppgaven i CAS i GeoGebra. Løsninger til oppgvene i ok S kpittel 5 Vekstmodeller Løsninger til oppgvene i ok 5. Vi løser oppgven i CAS i GeoGer. Veksten er lineær på formen y = x +. Vi ser t stigningstllet lir 59, og t konstntleddet

Detaljer

Integrasjon av trigonometriske funksjoner

Integrasjon av trigonometriske funksjoner Integrsjon v trigonometriske funksjoner øistein Søvik 3. november 15 I dette dokumentet skl jeg vise litt ulike integrsjonsteknikker og metoder for å utforske integrlene v (cos x) og (sin x). De bestemte

Detaljer

2P kapittel 5 Eksamenstrening

2P kapittel 5 Eksamenstrening P kpittel 5 Eksmenstrening Løsninger til oppgvene i ok Uten hjelpemidler E1 3 4 0 3+ 4+ 0 7 = = = = 5 5 5 ( ) ( ) c d 7 5 3 3 3 3 6 4 3 6 4 3 3x x = 3 x x = 3 x x = 3 x = 3 x = 7x 1, 10 5,0 10 = 1, 5,0

Detaljer

Terminprøve Matematikk Påbygging høsten 2014

Terminprøve Matematikk Påbygging høsten 2014 Terminprøve høsten 2014 Terminprøve Mtemtikk Påygging høsten 2014 DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med entimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 Regn ut 3 3 3 4 1 3 3 2

Detaljer

2x 3 4/x dx. 2 5 x 3 + LF: Vi utfører polynomdivisjon. 2x + 1 dx = + C = 5x8/ ln 2x C 4. πx 2 e 3x3 dx = π

2x 3 4/x dx. 2 5 x 3 + LF: Vi utfører polynomdivisjon. 2x + 1 dx = + C = 5x8/ ln 2x C 4. πx 2 e 3x3 dx = π Innlevering ELFE KJFE MAFE Mtemtikk HIOA Obligtorisk innlevering 5 Innleveringsfrist Mndg 6. oktober 5 før forelesningen : Antll oppgver: Løsningsforslg Finn de ubestemte integrlene ) x 4/x dx LF: x 4/x

Detaljer

Fasit. Grunnbok. Kapittel 4. Bokmål

Fasit. Grunnbok. Kapittel 4. Bokmål Fsit Grunnok Kpittel 4 Bokmål Kpittel 4 Kvdrtiske funksjoner ndregrdsfunksjoner 4.1 Stigningstll Skjæring -kse Skjæring y-kse 4 ( 2, 0) (0, 8) 1 (1, 0) (0, 1) 1 (9, 0) (0, 3) 3 4.5 y = + = 0, y =, y =

Detaljer

Oppgave N2.1. Kontantstrømmer

Oppgave N2.1. Kontantstrømmer 1 Orientering: Oppgvenummereringen leses slik: N står for nettsiden, første siffer står for kpittelnummer og ndre for oppgvenummer. Oppgve N2.1. Kontntstrømmer En edrift vurderer å investere 38 millioner

Detaljer

Høgskolen i Bergen. Formelsamling. for. ingeniørutdanningen. FOA150 høsten 2006 fellespensum. 3.utgave

Høgskolen i Bergen. Formelsamling. for. ingeniørutdanningen. FOA150 høsten 2006 fellespensum. 3.utgave Høgskolen i Bergen Formelsmling for ingeniørutdnningen FOA5 høsten 6 fellespensum. 3.utgve Funksjoner. Elementære regneregler og funksjoner: y = y, ( ) =, y y =,, =, = ) = ) = = log = ln ln c) ln y = y

Detaljer

MATEMATIKKPRØVE 11. FEBRUAR.

MATEMATIKKPRØVE 11. FEBRUAR. MATEMATIKKPRØVE 11. FEBRUAR. Nvn: Klsse: DELPRØVE 1 uten lommeregner og p (41 poeng) Alle oppgvene i del 1 skl føres rett på rket. I noen oppgver er det en regnerute. Her skl du føre oppgven oversiktlig

Detaljer

Sem 1 ECON 1410 Halvor Teslo

Sem 1 ECON 1410 Halvor Teslo Løsningsforslg til seminr i ECON : Internsjonl økonomi.seminruke V ) Den økonomien vi her står ovenfor produserer re to goder, tø og vin. Altså vil lterntivkostnden for den ene vren nødvendigvis måles

Detaljer

Forkurs i matematikk. Kompendium av Amir Hashemi, UiB. Notater, eksempler og oppgaver med fasit/løsningsforslag 1

Forkurs i matematikk. Kompendium av Amir Hashemi, UiB. Notater, eksempler og oppgaver med fasit/løsningsforslag 1 Forkurs i mtemtikk Kompendium v Amir Hshemi, UiB. Notter, eksempler og oppgver med fsit/løsningsforslg Mtemtisk Institutt UiB Innhold Sist oppdtert 07. juni 0 i Forord... Kpittel 0 Test deg selv... Oppgver

Detaljer

STATISTIKK, KOMBINATORIKK OG SANNSYNLIGHET

STATISTIKK, KOMBINATORIKK OG SANNSYNLIGHET Mer øving til kpittel 4 STATISTIKK, KOMBINATORIKK OG SANNSYNLIGHET Oppgve 1 Under ser du resulttet v ntll kinoesøk for en klsse de siste to måneder: 1, 3, 5, 4, 2, 7, 1, 1, 4, 5, 3, 3, 4, 0, 1, 3, 6, 5,

Detaljer

Årsprøve trinn Del 1. Navn: Informasjon for del 1. Del 1 skal du levere innen 2 timer.ere innen 2 timer. Del 2 leverer du innen 5 timer.

Årsprøve trinn Del 1. Navn: Informasjon for del 1. Del 1 skal du levere innen 2 timer.ere innen 2 timer. Del 2 leverer du innen 5 timer. Årsprøve 2015 10. trinn Del 1 Nvn: Informsjon for del 1 Prøvetid: Hjelpemidler på del 1: Andre opplysninger: Fremgngsmåte og forklring: 5 timer totlt. Del 1 skl du levere innen 2 timer.ere innen 2 timer.

Detaljer

EKSAMEN. 1. klassene, ingenørutdanning og Flexing. ANTALL SIDER UTLEVERT: 5 (innkl. forside og 2 sider formelark)

EKSAMEN. 1. klassene, ingenørutdanning og Flexing. ANTALL SIDER UTLEVERT: 5 (innkl. forside og 2 sider formelark) KANDIDATNUMMER: EKSAMEN EMNENAVN: Mtemtikk EMNENUMMER: REA4 EKSAMENSDATO:. desember 9 KLASSE:. klssene, ingenørutdnning og Flexing. TID: kl. 9. 3.. FAGANSVARLIG: Hns Petter Hornæs ANTALL SIDER UTLEVERT:

Detaljer

R1 kapittel 6 Vektorer. Løsninger til oppgavene i boka Løsninger til oppgavene i boka

R1 kapittel 6 Vektorer. Løsninger til oppgavene i boka Løsninger til oppgavene i boka R1 kpittel 6 Vektorer Løsninger til oppgvene i ok Løsninger til oppgvene i ok 6.1 Tilfellene, e og f er vektorstørrelser fordi de hr retning. Tilfellene, og d er sklrer fordi de ikke hr retning. 6. d e

Detaljer

Oppgave 2 Betydningen til hvert enkelt siffer er bestemt av sifferets plassering eller posisjon. Tallet 4321 betyr

Oppgave 2 Betydningen til hvert enkelt siffer er bestemt av sifferets plassering eller posisjon. Tallet 4321 betyr KAPITTEL 1 TALL OG TALLREGNING FLERE UTFORDRINGER Oppgve 1 Du hr sifrene A 1 3 5 7 9 og B 2 4 6 8 Ve å ruke tre v sifrene i enten A eller B skl u lge ett tll så nærme 500 som mulig. Du kn re ruke ett siffer

Detaljer

Problemløsning eller matematiske idéer i undervisningen?

Problemløsning eller matematiske idéer i undervisningen? Prolemløsning eller mtemtiske idéer i undervisningen? n Lksov Något som oft förekommer i diskussionen om skolns mtemtikundervisning är vvägningen melln prolemlösning och teori. I denn rtikel poängterr

Detaljer

MAT 100a - LAB 4. Før vi gjør dette, skal vi for ordens skyld gjennomgå Maple-kommandoene for integrasjon (cf. GswM kap. 12).

MAT 100a - LAB 4. Før vi gjør dette, skal vi for ordens skyld gjennomgå Maple-kommandoene for integrasjon (cf. GswM kap. 12). MAT 00 - LAB 4 Denne øvelsen er i hovedsk viet til integrsjon. For mnge er integrsjon i prksis det smme som ntiderivsjon, og noe som kn rukes til å eregne relet v enkelte områder i plnet som lr seg egrense

Detaljer

Oppgaver i matematikk, 9-åringer

Oppgaver i matematikk, 9-åringer Oppgver i mtemtikk, 9-åringer Her er gjengitt e frigitte oppgvene fr TIMSS 2003. For 4. klsse enyttes nå etegnelsen mønstre for et som i 1995 le omtlt som lger. Oppgvene er innelt i isse emnene: Tll Geometri

Detaljer

ALTERNATIV GRUNNBOK BOKMÅL

ALTERNATIV GRUNNBOK BOKMÅL Anne Rsch-Hlvorsen Oddvr Asen Illustrtør: Bjørn Eidsvik 7B NY UTGAVE ALTERNATIV GRUNNBOK BOKMÅL CAPPELEN DAMM AS, 2011 Mterilet i denne publiksjonen er omfttet v åndsverklovens bestemmelser. Uten særskilt

Detaljer

Nytt skoleår, nye bøker, nye muligheter!

Nytt skoleår, nye bøker, nye muligheter! Nytt skoleår, nye øker, nye muligheter! Utstyret dere trenger, er som i fjor: Læreok lånes v skolen vinkelmåler, --9 og - -9-treknter, psser, lynt, viskelær, penn, A-rk til innføring og A klddeok. Og en

Detaljer

Påbygging kapittel 2 Funksjoner 1 Løsninger til oppgavene i boka

Påbygging kapittel 2 Funksjoner 1 Løsninger til oppgavene i boka Påygging kpittel 2 Funksjoner 1 Løsninger til oppgvene i ok 2.1 Origo hr koordintene (0, 0). Vi finner koordintene til punktene ved å lese v punktets verdi på x-ksen og y-ksen. A = (125,10) B = (0, 12,5)

Detaljer

Øving 4: Coulombs lov. Elektrisk felt. Magnetfelt.

Øving 4: Coulombs lov. Elektrisk felt. Magnetfelt. Lørdgsverksted i fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Høsten 007. Veiledning: 9. september kl 1:15 15:00. Øving 4: oulombs lov. Elektrisk felt. Mgnetfelt. Oppgve 1 (Flervlgsoppgver) ) Et proton med hstighet

Detaljer

Kapittel 5 Statistikk og sannsynlighet Mer øving

Kapittel 5 Statistikk og sannsynlighet Mer øving Kpittel 5 Sttistikk og snnsynlighet Mer øving Oppgve 1 Digrmmet nefor viser hvorn krkteren vr forelt på en norskprøve. 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 Hvor mnge fikk krkteren 4? Hvor mnge elever er et i klssen?

Detaljer

Litt av matematikken bak solur

Litt av matematikken bak solur Anne Bruvold Revidert oktoer 003 Bkgrunn Min interesse for solur le vekket d jeg i 000 skulle holde et lite foredrg om kjeglesnitt og under foreredelsen v dette kom over rtikler som kolet kjeglesnitt med

Detaljer

t-r t_t T 4 Hvorfor arbeider vi? I-l II l- l=i 2 Vokabular 1 Hva er viktig med jobb? Je V Sett kryss og diskuter.

t-r t_t T 4 Hvorfor arbeider vi? I-l II l- l=i 2 Vokabular 1 Hva er viktig med jobb? Je V Sett kryss og diskuter. Hvorfor reider vi? 1 Hv er viktig med jo? Sett kryss og diskuter. For meg er det viktig à treffe mennesker! Ti 3 Er Det er lnn som er viktisstl Jeg symes det er viktig á fà ruke evnene mine. Det er viktig

Detaljer

Oppgave 1 Diagrammet nedenfor viser hvordan karakteren var fordelt på en norskprøve.

Oppgave 1 Diagrammet nedenfor viser hvordan karakteren var fordelt på en norskprøve. Mtemtikk for ungomstrinnet KAPITTEL 5 STATISTIKK OG SANNSYNLIGHET MER ØVING Oppgve 1 Digrmmet neenfor viser hvorn krkteren vr forelt på en norskprøve. 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 Hvor mnge fikk krkteren 4?

Detaljer